高一数学指数函数知识点及练习题(含答案)

+
⎩ + 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
（1）根式的概念 ①如果 x
n
= a , a ∈ R , x ∈ R , n > 1，且 n ∈ N ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根．当 n 是奇数时，a 的 n 次
方根用符号 n a 表示；当 n 是偶数时，正数 a 的正的 n 次方根用符号 n a 表示，负的 n 次方根用符号 - n
a
表示；0 的 n 次方根是 0；负数 a 没有 n 次方根．
②式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数．当 n 为奇数时， a 为任意实数；当 n 为偶数时， a ≥ 0 ．
n n n n
⎧a (a ≥ 0)
③根式的性质：( a ) = a ；当 n 为奇数时， a = a ；当
n 为偶数时， =| a |= ⎨-a
．
(a < 0)
（2）分数指数幂的概念
m
①正数的正分数指数幂的意义是：a
n
= n a m
(a > 0, m , n ∈ N , 且 n > 1) ．0 的正分数指数幂等于 0．②
- m 1 m 1 正数的负分数指数幂的意义是： a
n
= ( ) n = n
( )m (a > 0, m , n ∈ N + , 且 n > 1) ．0 的负分数指
a a
数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质
①
a r ⋅ a s = a r +s (a > 0,r , s ∈ R )
②
(a r )s = a rs (a > 0, r , s ∈ R )
③
(ab )r = a r b r (a > 0, b > 0, r ∈ R )
2.1.2 指数函数及其性质
函数名称 指数函数
定义
函数 y = a
(a > 0 且 a ≠ 1)
叫做指数函数
图象
a > 1
0 < a < 1
y = 1 y
O
y = a
x
(0, 1)
x
y = a x
y = 1
O
y
( 0 , 1 )
x
定义域 R
值域 （0,+∞）
过定点 图象过定点（0,1），即当 x=0 时，y=1．
奇偶性 非奇非偶
单调性
在 R 上是增函数
在 R 上是减函数
函数值的变化情况
y ＞1(x ＞0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＜0)
y ＞1(x ＜0), y=1(x=0), 0＜y ＜1(x ＞0)
n a n
3
9 1 + 5
1 ± 5 1
2.1 指数函数练习
1．下列各式中成立的一项
（
）
A ． ( n )7 = n 7 m 7
m
B ． 12 (-3)4
=
C ． 4
x 3
+ y 3
3
(x + y )
4
D ．
= 2 1 1 1 1 1 5
2．化简(a 3 b 2
)(-3a 2 b 3
) ÷ ( 3
a 6
b 6 )的结果
（
）
A ． 6a
B ． - a
C ． - 9a
D ． 9a
2
3．设指数函数 f (x ) = a x
(a > 0, a ≠ 1) ，则下列等式中不正确的是
（ ）
f (x )
f ( y )
C ． f (nx ) = [ f (x )]
n
(n ∈ Q )
- 1
4．函数 y = (x - 5)0
+ (x - 2)
2
A ．{x | x ≠ 5, x ≠ 2} C ．{x | x > 5}
（
）
B ．{x | x > 2}
D ．{x | 2 < x < 5或x > 5}
5．若指数函数 y = a x
在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a 等于
（ ）
A ．
B ．
2
2
C ．
D ．
2
2
6．当 a ≠ 0 时，函数 y = ax + b 和 y = b ax
的图象只可能是
（
）
7．函数 f (x ) = 2
-|x |
的值域是
（ ） A ． (0,1]
B ． (0,1)
⎧⎪
2- x
- 1, x ≤ 0 C ． (0,+∞)
D ．R
8．函数 f (x ) = ⎨ 1 ，满足 f (x ) > 1的 x 的取值范围
⎪⎩x 2 , x > 0
（ ）
A ． (-1,1)
B ． (-1,+∞)
C ．{x | x > 0或x < -2}
D ．{x | x > 1或x < -1}
9．函数 y = ( 1 ) 2 - x 2 + x +2
得单调递增区间是 （ ）
1
1
A ． [-1, ]
2
B ． (-∞,
-
1]
3 - 3
3 3
- 1 + 5 5 ± 1
,2] C．[2, ) D．[
2
⎩ x e x - e - x
10．已知 f (x ) = ，则下列正确的是
（ ）
2
A ．奇函数，在 R 上为增函数
B ．偶函数，在 R 上为增函数
C ．奇函数，在 R 上为减函数
D ．偶函数，在 R 上为减函数
11．已知函数 f (x )的定义域是（1，2），则函数 f (2 x
) 的定义域是 .
12．当 a ＞0 且 a ≠1 时，函数 f (x )=a x －
2－3 必过定点
.
三、解答题：
13．求函数 y = 1
的定义域.
5 x -1 - 1
14．若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，
求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .
15．已知函数 f (x ) = a x - 1 a x
+ 1
(a ＞1). （1）判断函数f (x )的奇偶性；（2）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.
16．函数 f(x)＝a x (a>0，且 a ≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大 a
，求 a 的
值． 2
参考答案
一、DCDDD AAD D A
二、11．(0,1)；
12．(2，－2)；
三、13． 解：要使函数有意义必须：
⎧x - 1 ≠ 0
⎧x ≠ 1 ⎪ x ⇒
⎨ ≠ 0 ⎩ x - 1
⎨x ≠ 0 ⎪
∴定义域为：{x x ∈R且x ≠ 0, x ≠ 1}
1 a +1 a +1
2 14． 解： a r + b
r
⎛ a ⎫r
⎛ b ⎫r
，其中 0 <
a
< 1,0 < b
< 1.
= ⎪ c r
c + ⎪ c ⎝ ⎭ ⎝ ⎭
当r ＞1时，
⎛ a ⎫ r
⎛ b ⎫
r
a b ，所以a r +b r ＜c r ；
⎪ + ⎪ < + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c
当 r ＜1 时，
⎛ a ⎫r
⎛ b ⎫
r
a b
，所以 a r +b r ＞c r .
⎪ + ⎪ > + = 1 ⎝ c ⎭ ⎝ c ⎭ c c
15．解：(1)是奇函数.
(2) x ＜x ，
a x 1 -1
a x
2 -1 。

= (a x 1 -1)(a x 2 + 1) - (a x 1 + 1)(a x 2 -1)
设 1
2
则 f (x 1 ) - f (x 2 ) =
a x + 1 -
a x 2 + 1
(a x 1 + 1)(a x 2 + 1)
∵a ＞1，x ＜x ，∴a x 1
＜a x 2
. 又 ∵ x 1
＞0， x 2
＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2).
函数 f(x)在(－∞，+∞)上是增函数.
16、 (1)若 a>1，则 f(x)在[1,2]上递增，
∴a 2－a
＝a ，即 2
a ＝3或2 a ＝0(舍去)． (2)若 0<a<1，则 f(x)在[1,2]上递减，
∴a －a 2＝ a ，即 1 a ＝ 或
a ＝0(舍去)，
综上所述，所求 a 2 的值为1
2 2
或
3. 2
1 c c。