高等数学总复习指导(1)

高等数学总复习指导（1）

本学期高等数学课程的内容是一元函数微积分、级数和常微分方程，共8章内容。同学们学习时应抓住重点，围绕基本概念和基本方法进行训练和学习，下面逐章指出各章的重点，并结合重点给出相应的典型例题，希望能对大家的学习提供一定的帮助。

第一章函数

本章重点：

1．函数概念及其性质

理解函数的概念，了解决定函数的要素是定义域和对应关系，能根据这两个要素判别两个函数是否相等。能熟练地求出函数的定义域和函数值。

了解函数的周期性、奇偶性、单调性、和有界性，特别是要会判断函数的奇偶性。

例1求下列函数的定义域

（1）43)

1ln(1-+--=x x x y （2）?????≤>-=2ln 2

21x x

x x y 解（1）函数的定义域是

???≥-≠->-0430)1ln(01x x x 解得???????≥≠>3421x x x 即函数的定义域是3

4≥x 且2≠x 。（2）分段函数的定义域是所有定义区间的并集，此分段函数的定义域是2>x 或2≤x ，但x ln 的定义域是0>x ，故综合起来可知所求函数的定义域是0>x 。

例2

若函数x x f 2sin )2(=+，求)0(1(),(f x

f x f 。解已知x x f 2sin )2(=+，即)22(2sin )2(-+=+x x f 根据函数概念可知

)2(2sin )(-=x x f ，

（即下划线的部分替换成x ）)21(2sin )1(-=x x f ，（即下划线的部分替换成x

1）)20(2sin )0(-=f ＝4sin -，

（即下划线的部分替换成0）规范以上的做法就是：设t x =+2，则2

-=t x 将2-=t x 代入x x f 2sin )2(=+中，即有

)2(2sin )(-=t t f ，

令x t =，则有)

2(2sin )(-=x x f 令x t 1=，则有)21(2sin )1(-=x

x f

令0=t ，则有)20(2sin )0(-=f ＝4

sin -例3（1）下列函数对中，哪一对函数表示的是同一个函数？

A ．2ln )(,ln 2)(x

x g x x f ==B ．1

2ln )(+-=x x x f ，)1ln()2ln()(+--=x x x g C ．x e x x g x e x x x f x

x -=-=)(,)()(2

D ．1)(,1

1)(2-=+-=x x g x x x f （2）下列函数中，哪个函数是奇函数？

A ．)

12sin()(++=x x x f B ．)

1ln()(2++=x x x f C ．x

e x x

f x

-=)(D ．x x

x x f sin 1)(2?-=解（1）A,B,D 中两个函数的定义域都不相同，故它们不是同一函数，C 中函数2)()(x

e x x x

f x -=的定义域是0≠x ，对应关系可化为

)()()(2

x g x e x x e x x x f x x =-=-=故这两个函数是相同的函数。

（2）由奇函数的定义验证A,C 可知它们都不满足)()(x f x f -=-，

D 满足)()(x f x f =-，即它为偶函数

验证B )1)(()1)((ln

)1)(ln()(22222x x x x x x x f ++--+-=+-+-=-)

()1ln(11

ln 22x f x x x x -=++-=++=故此函数是奇函数。

2．基本初等函数

熟练掌握六类基本初等函数的定义域、性质和图形。这些内容在今后的学习过程中，要经常用到。

3．复合函数和初等函数的概念

了解复合函数、初等函数的概念，会分析复合函数的复合过程，能把一个复合函数分解成几个简单函数。这在学习第三章导数与微分内容时要用到。

例4

将函数)]1ln(21cos[2++=x y 分解成几个简单函数。解u y cos =，v u +=1，w v 2=，s w ln =，12+=x s 。

第二章极限与连续

本章重点：

1．极限的计算

了解极限的概念，知道左右极限的概念，知道函数在点0x 处存在极限的充分必要条件是)(x f 在0x 处的左右极限存在且相等。

关于极限的计算，要熟练掌握以下几种常用方法：

（1）极限的四则运算法则：运用时要注意法则的条件是各个部分的极限都存在，且分母不

为0。当所求极限不满足条件时，常根据函数的具体情况进行分解因式（以消去零因子）、或无理式的有理化、或三角函数变换、或分子分母同时除以n x （分子分母同趋于无穷大时）等变形手段，以使函数满足四则运算法则的条件。

（2）两个重要极限：熟记e x

x x x x x =+=∞→→11(lim ,1sin lim 0，要注意这两个公式自变量的变化趋势以及相应的函数表达式，同时要熟悉它们的变形形式：e x x

x x x =+=→∞→10)1(lim ,11sin lim 。（3）利用无穷小的性质计算：无穷小量是指极限为0的量，有限个无穷小量之和、积都

是无穷小量，有界变量与无穷小量之和还是无穷小量。

（4）利用函数的连续性计算：连续函数在一点的极限值等于函数在该点的函数值。

（5）利用洛必塔法则计算：参看第四章的有关内容。

例1求下列极限

（1）100

72)43()12()1(lim --+∞→x x x x （2）11cos 1lim 20-+-→x x x （3）x

x x 1sin lim 20→（4）x x x 10)21(lim -→+（5）)ctg sin cos (lim 220x x

x x -→（6）)3(lim 22x x x x x --++∞→解（1）分子、分母同除以100x ，则

1002872)43()12()1(lim --+∞→x x x x ＝100

2872)43()12()11(lim x x x x --+∞→＝1002872)43(lim )12(lim )11(lim x x x x x --+∞→∞→∞→＝1002832（2）首先将分母有理化，然后在利用重要极限计算11cos 1lim 20-+-→x x x ＝)

11)(11()

11)(cos 1(lim 2220++-+++-→x x x x x ＝1

)1()

11)(cos 1(lim 2220-+++-→x x x x ＝)11(lim )cos 1(lim 2020++-→→x x x x x ＝)11(lim 2sin 2lim 202

0++→→x x x x x ＝1221=?（3）由于0→x 时，有02→x ，11sin

≤x ，因此x x 1sin 2还是无穷小量，故

01sin lim 20=→x

x x （4）x x x 1

0)21(lim -→+＝210])21(lim[x x -→+＝2

e （5）)ctg sin cos (lim 220x x x x -→＝x x x x 220sin cos cos lim -→＝x

x x x 20sin )cos 1(cos lim -→＝x

x x x x x 2220sin cos 1cos lim ?-?→＝211211=??（6）)

3(lim 22x x x x x --++∞→＝x

x x x x x x x x x x x x -++-++--++∞→2222223)

3)(3(lim ＝x x x x x

x -+++∞→2234lim ＝x x x 11314

lim 2-+++∞

→＝21

14=+2．函数连续理解函数在一点连续的概念，它包括三层含义①)(x f 在0x 的一个邻域内有定义；②)(x f 在0x 处存在极限；③极限值等于)(x f 在0x 处的函数值，这三点缺一不可。若函数)(x f 在0x 至少有一条不满足上述三条，则函数在该点是间断的，会求函数的间断点。

了解函数在区间上连续的概念，由函数在一点连续的定义，会讨论分段函数的连续性。

知道连续函数的和、差、积、商（分母不为0）仍是连续函数，两个连续函数的复合仍为连续函数，初等函数在其定义域内是连续函数。知道闭区间上连续函数的性质（最大最小值存在定理、零点定理、介值定理）。

例2讨论函数

???????>=<=0sin 10001sin )(x x x

x x x x x f 在0=x 处的连续性。

解)(x f 的定义域为)

,(+∞-∞01sin lim )(lim 00

==--→→x x f x x 1sin 1lim )(lim 00==++→→x x x f x x 由于)(x f 在0=x 点处的左右极限不相等，故极限不存在，因此函数)(x f 在0=x 点间断。

（补充说明：由于0)0(=f ，所以)(x f 在0=x 点左连续，它的连续区间应为为]0,(-∞，),0(+∞。）

高数一总复习

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。

例4：设解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。例5： f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

大一高数公式

高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：一些初等函数：两个重要极限：三角函数公式： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

高等数学一常用公式表

常用公式表（一） 1。乘法公式 ()()22212a b a ab b +=++ ()()2 2222a b a ab b -=-+ ()()()223a b a b a b -=+- ()()()33224a b a b a ab b +=+-+ ()()()33225a b a b a ab b -=-++ 2、指数公式： ()()0 110a a =≠ ()12p p a a -= ()3m n a = ()4m n m n a a a += ()5m m n m n n a a a a a -÷= = ()() 6n m m n a a = ()() 7n n n ab a b = ()8n n n a a b b ?? = ??? ()2 9a = (10a = () 1 111a a -= (1 2 12a = 3、指数与对数关系：（1）若N a b =，则 N b a log = （2）若N b =10 ，则N b lg = （3）若N e b =，则N b ln = 4、对数公式：（1） b a b a =log , ln b e b = (2)log 10,ln 10a == （3）N a aN =log ，ln N e N = ()ln 4log ln a N N a = （5）a b b e a ln = （6）N M MN ln ln ln += ()7ln ln ln M M N N =- （8） M n M n ln ln = ()1 9ln ln M n = 5、三角恒等式：（1）22sin cos 1α α+= （2）2 2 1tan sec αα += （3）221cot csc αα+= () sin 4tan cos αα α = () cos 5cot sin αα α = ()1 6cot tan α α = ()17csc sin α α = ()18sec cos αα = 6.倍角公式：（1）α ααcos sin 22sin = ()2 2tan 2tan 21tan αα α = - （3）α αααα2 2 2 2 sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= 7.半角公式（降幂公式）： ()2 1cos 1sin 22 α α -= ()2 1cos 2cos 2 2 α α += ()1cos sin 3tan 2 sin 1cos α ααα α -= = +

高等数学下册试题及答案解析word版本

高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分） 1、 z =)0()(log 2 2>+a y x a 的定义域为D= 。 2、二重积分 ?? ≤++1 ||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为。 3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为，其值为。 4、设曲线L 的参数方程表示为),() () (βαψ?≤≤?? ?==x t y t x 则弧长元素=ds 。 5、设曲面∑为92 2 =+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则 =++?? ∑ ds y x )122 （。 6、微分方程x y x y dx dy tan +=的通解为。 7、方程04) 4(=-y y 的通解为。 8、级数 ∑∞ =+1) 1(1 n n n 的和为。二、选择题（每小题2分，共计16分） 1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（）（A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ?'-?'-?),(),(0000当0)()(2 2→?+?y x 时，是无穷小；（D ）0) ()(),(),(lim 2 2 00000 =?+??'-?'-?→?→?y x y y x f x y x f z y x y x 。 2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222y u y x u x ??+??等于（）（A ）y x +；（B ）x ； (C)y ； (D)0 。 3、设Ω：,0,12 2 2 ≥≤++z z y x 则三重积分???Ω = zdV I 等于（）（A ）4 ? ??20 20 1 3cos sin π π ???θdr r d d ；

高等数学教材1

目录一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (3) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (4) 5、复合函数 (5) 6、初等函数 (5) 7、双曲函数及反双曲函数 (6) 8、数列的极限 (7) 9、函数的极限 (8) 10、函数极限的运算规则 (9)

一、函数与极限 1、集合的概念一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a?A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。集合的表示方法 ⑴、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A?B（或B?A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作?，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A?A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。）即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A∩B。即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： ①全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集。通常记作U。 ②补集：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集。简称为集合A的补集，记作C U A。即C U A＝｛x|x∈U，且x?A｝。集合中元素的个数 ⑴、有限集：我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，含有无限个元素的集合叫做无限集。 ⑵、用card来表示有限集中元素的个数。例如A＝｛a,b,c｝，则card(A)=3。 ⑶、一般地，对任意两个集合A、B，有 card(A)+card(B)=card(A∪B)+card(A∩B) 我的问题： 1、学校里开运动会，设A＝｛x|x是参加一百米跑的同学｝，B＝｛x|x是参加二百米跑的同学｝，C＝｛x|x是参加四百米跑的同学｝。学校规定，每个参加上述比赛的同学最多只能参加两项，请你用集合的运算说明这项规定，并解释以下集合运算的含义。⑴、A∪B；⑵、A∩B。

(完整版)同济大学___高数上册知识点

高等数学上册复习要点一、函数与极限（一）函数 1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）； 2、反函数、复合函数、函数的运算； 3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数； 4、函数的连续性与间断点；函数)(x f 在 0x 连续 )()(lim 00 x f x f x x =→ 第一类：左右极限均存在. 间断点可去间断点、跳跃间断点第二类：左右极限、至少有一个不存在. 无穷间断点、振荡间断点 5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理、介值定理及其推论. （二）极限 1、定义 1）数列极限 εε<->?N ∈?>??=∞ →a x N n N a x n n n , , ,0lim 2）函数极限 εδδε<-<-?>??=→A x f x x x A x f x x )( 0 , ,0 ,0)(lim 00 时，当左极限：)(lim )(0 0x f x f x x - →-= 右极限：)(lim )(0 0x f x f x x +→+=

)()( )(lim 000 + -→=?=x f x f A x f x x 存在 2、极限存在准则 1）夹逼准则： 1）)(0n n z x y n n n ≥≤≤ 2 ） a z y n n n n ==→∞ →∞ lim lim a x n n =∞ →lim 2）单调有界准则：单调有界数列必有极限. 3、无穷小（大）量 1）定义：若0lim =α则称为无穷小量；若∞=αlim 则称为无穷大量. 2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、k 阶无穷小 Th1 )(~ ααββαo +=?; Th2 αβαβαβββαα' ' =''''lim lim lim ,~,~存在，则（无穷小代换） 4、求极限的方法 1）单调有界准则； 2）夹逼准则； 3）极限运算准则及函数连续性； 4）两个重要极限： a) 1sin lim 0=→x x x b) e x x x x x x =+=++∞→→)11(lim )1(lim 1 0 5）无穷小代换：（0→x ） a) x x x x x arctan ~arcsin ~tan ~sin ~ b) 2 2 1~cos 1x x -

高数一全面复习总汇

《高等数学复习》教程第一讲函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期）几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 3.连续函数连续（左、右连续）与间断理解并会应用闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值）二、题型与解法 A.极限的求法（1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子）（3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求（6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质）

1.61 2arctan lim )21ln(arctan lim 3030-=-=+->->-x x x x x x x x （等价小量与洛必达） 2.已知2030) (6lim 0)(6sin lim x x f x x xf x x x +=+>->-，求解：2 0303')(6cos 6lim )(6sin lim x xy x f x x x xf x x x ++=+>->- 72 )0(''06)0(''32166 ' ''''36cos 216lim 6'''26sin 36lim 00=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x 362 72 2''lim 2'lim )(6lim 0020====+>->->-y x y x x f x x x （洛必达） 3.1 21)1 2(lim ->-+x x x x x （重要极限） 4.已知a 、b 为正常数，x x x x b a 3 0)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3 ln ,)2(3 -+=+=x x x x x b a x t b a t 2/300)() ln(23)ln ln (3lim ln lim ab t ab b b a a b a t x x x x x x =∴=++=>->-（变量替换） 5.) 1ln(1 2) (cos lim x x x +>- 解：令)ln(cos ) 1ln(1 ln ,) (cos 2 ) 1ln(1 2 x x t x t x +==+ 2/100 2 1 2tan lim ln lim ->->-=∴-=-=e t x x t x x （变量替换） 6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim 2 2 =? ? >-x x x dt t f x dt t f （洛必达与微积分性质） 7.已知???=≠=-0 ,0 ,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a 解：令2/1/)ln(cos lim 2 -==>-x x a x （连续性的概念）

高等数学(1)课程导学

高等数学（1）课程导学一、课程性质任务《高等数学（1）》是广播电视大学理工科各专业的一门必修的重要基础课。它是为培养适应四个现代化需要的、符合社会主义市场经济要求的大专应用型人才服务的。通过本课程的学习，使学生获得微积分的基本知识，培养学生的基本运算能力，增强学生用定性与定量相结合的方法处理实际问题的初步能力。通过本课程的学习，要为学习理工科各专业的后继课程和今后工作需要打下必要的数学基础。二、课程的教学目的与要求使学生对极限的思想和方法有初步认识，对具体与抽象、特殊与一般、有限与无限等辩证关系有初步的了解，初步掌握微积分的基本知识、基本理论和基本技能，建立变量的思想，培养辩证唯物主义观点，并受到运用变量数学方法解决简单实际问题的初步训练。三、课程内容简介课程内容包括：第一章函数主要内容有：函数概念、函数的简单性质、反函数、基本初等函数、复合函数、初等函数、以及常见的简单经济函数。第二章极限与连续本章的主要内容有：数列极限、函数极限、无穷小量及无穷大量、无究小量的运算性质、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性与间断点。第三章导数与微分本章的主要内容有：导数概念及其几何意义、导数的基本公式及运算法则（导数的四则运算法则、复合函数求导法则，以及反函数、隐函数、取对数求导方法的举例）、高阶导数的概念及计算；微分的概念及计算、微分与导数的关系；导数在实际问题中的简单应用。第四章导数的应用本章的主要内容有：中值定理、洛必达法则、函数单调性及函数凹凸性的判别、极值的概念及判别、极值应用──求某些实际问题或几何问题中的最值。第五章不积分学本章的主要内容有：原函数与不定积分的概念、不定积分性质、基本积分公式、换元积分法和分部法，以及不定积分的简单经济应用。第六章定积分及其应用本章的主要内容有：定积分的概念及其性质、微积分基本定理、牛顿──菜布尼兹公式、定积分的换元积分法和分部积分法、广义积分的概念及计算、定积分在几何问题中的应用──求平面图形的面积、旋转体体积、定积分在日常生活中的应用。常微分方程简介（常微分方程的一般概念、可分离变量微分方程和一阶线性微分方程及其解法）。第七章无穷级数

高等数学-第一章-1-5-作业答案

第49页习题1-5 1 计算下列极限（1）225 lim 3 x x x →+- 将2x =代入到25 3x x +-中，由于解析式有意义，因此 222525 lim 9323x x x →++==--- （2 ）2231 x x x -+ 将x =223 1 x x -+中，解析式有意义，因此 ()22 2 233 01 1 x x x --= =++ （3）22121 lim 1 x x x x →-+- 将1x =代入到解析式中，分子为0，分母为0，因此该极限为型，因式分解，可得 ()()()()()2 221111121 0lim lim lim 011112 x x x x x x x x x x x →→→---+====-+-+ （4）322042lim 32x x x x x x →-++ 将0x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为型，因式分解，可得 ()()()() 22322000421421421lim lim lim 3232322x x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+-+-+===+++ （5）()2 2 lim h x h x h →+- 将0h =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为型，因式分解，可得 ()()()2 2 2lim lim lim 22h h h x h x x h h x h x h h →→→+-+==+=

（6）211lim 2x x x →∞ ??- + ??? 由于lim 22x →∞ =，1lim 0x x →∞??- = ???，22lim 0x x →∞?? = ??? 因此由极限四则运算法则可知 221112lim 2lim 2lim lim 2002x x x x x x x x →∞ →∞→∞→∞?????? - +=+-+=++= ? ? ??????? （7）221 lim 21 x x x x →∞--- 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是2 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2 2 2221 1 1lim1lim 1101lim lim 1111 212002 2lim 2lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞- ---====-------- （8）242lim 31 x x x x x →∞+-+ 当x →∞时，分子→∞，分母→∞，因此该极限为∞ ∞ 型，分子分母同时除以x 的最高次项，也就是4 x ，再利用极限四则运算法则，可知： 2 2323422424 1111lim lim 00lim lim 0113131100 13lim1lim lim x x x x x x x x x x x x x x x x x x x →∞→∞→∞→∞→∞→∞→∞++++====-+-+-+-+ （9）22468 lim 54 x x x x x →-+-+ 4x =代入到解析式中，分子为0，分母为0. 因此该极限为型，因式分解，可得 ()()()()2244424682422 lim lim lim 54141413 x x x x x x x x x x x x x →→→---+--====-+---- （10）211lim 12x x x →∞ ???? + - ???????

大一高数上复习重点

大一高数上复习重点 Prepared on 24 November 2020

高数高数重点本章公式：两个重要极限：常用的8个等价无穷小公式：当x→0时， sinx~x tanx~x arcsinx~x arctanx~x 1-cosx~1/2*（x^2）（e^x）-1~x ln(1+x)~x [(1+x)^1/n]-1~（1/n）*x 二.导数与微分熟悉函数的可导性与连续性的关系求高阶导数会运用两边同取对数隐函数的显化会求由参数方程确定的函数的导数

三.微分中值定理与导数的应用：

洛必达法则：利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意： ① 在着手求极限以前，首先要检查是否满足或型，否则滥用洛必达法则会出错.当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则失效，应从另外途径求极限 . ② 洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止. ③ 洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 曲线的凹凸性与拐点：注意：首先看定义域然后判断函数的单调区间求极值和最值利用公式判断在指定区间内的凹凸性或者用函数的二阶导数判断（注意二阶导数的符号）四.不定积分：（要求：将例题重新做一遍）对原函数的理解原函数与不定积分 1 基本积分表基本积分表（共24个基本积分公式）不定积分的性质

2 第一类换元法（凑微分法） 2 第二类换元法（三角代换无理代换倒代换） 3 分部积分法 f(x)中含有可考虑用代换

高等数学公式(一元

高等数学公式篇

·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式 ·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·tanβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·tanγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B

高等数学同济第七版7版下册习题全解

数，故 /, = Jj( x2 + y1)3d(j = 2jj(x2+ y1) 3dcr. fh i)i 又由于D3关于;t轴对称，被积函数(/ +r2)3关于y是偶函数，故jj(x2 +j2)3dcr=2j(x2+y2)3da=2/2. Dy 1)：从而得 /, = 4/2. (2)利用对称性来计算二重积分还有以下两个结论值得注意：如果积分区域关于^轴对称，而被积函数/(x,y)关于y是奇函数，即fix, -y) = -f(x,y) ,PJ jf/(x,y)da =0； D 如果积分区域D关于：K轴对称，而被积函数/(x，y)关于：c是奇函数，即/(~x,y)=-/(太，y)，则 =0. D ?3.利用二重积分定义证明： (1)jj da=(其中(7为的面积)； IJ (2)JJ/c/( X ,y)drr =Aj|y’(A:，y)do■(其中A：为常数)； o n (3 ) JJ/( x,y)clcr = JJ/( x,y)drr + jJ/( x ,y) dcr ,其中 /) = /)! U /)2，，A 为两个 I) b\ lh 尤公共内点的W K域. 证(丨)由于被枳函数./U,y)=1,故山二t积分定义得 n"

jj'ltr = Hm y^/( ,rji) A

高等数学(下册)期末复习试题及答案【可直接使用】.doc

一、填空题（共21分每小题3分） 1．曲线???=+=0 12x y z 绕z 轴旋转一周生成的旋转曲面方程为12 2++=y x z ． 2．直线35422:1z y x L =--=-+与直线?? ? ??+=+-==t z t y t x L 72313:2的夹角为 2π． 3．设函数2 2232),,(z y x z y x f ++=，则= )1,1,1(grad f }6,4,2{． 4．设级数 ∑∞ =1 n n u 收敛，则=∞ →n n u lim 0 ． 5．设周期函数在一个周期内的表达式为???≤<+≤<-=, 0,10 ,0)(ππx x x x f 则它的傅里叶级数在π=x 处收敛于 2 1π+． 6．全微分方程0d d =+y x x y 的通解为 C xy =． 7．写出微分方程x e y y y =-'+''2的特解的形式 x axe y =*．二、解答题（共18分每小题6分） 1．求过点)1,2,1(-且垂直于直线???=+-+=-+-0 20 32z y x z y x 的平面方程．解：设所求平面的法向量为n ，则{}3,2,11 11121=--=k j i n (4分) 所求平面方程为 032=++z y x (6分) 2．将积分 ???Ω v z y x f d ),,(化为柱面坐标系下的三次积分，其中Ω是曲面 )(22 2y x z +-=及22y x z +=所围成的区域．解： πθ20 ,10 ,2 :2 ≤≤≤≤-≤≤Ωr r z r (3分)

??? Ω v z y x f d ),,(? ??-=2 210 20 d ),sin ,cos (d d r r z z r r f r r θθθπ (6分) 3．计算二重积分??+-= D y x y x e I d d ) (22，其中闭区域.4:22≤+y x D 解 ??-= 20 20 d d 2 r r e I r π θ??-- =-20220)(d d 212 r e r πθ?-?-=202 d 22 1r e π)1(4--=e π 三、解答题（共35分每题7分） 1．设v ue z =，而2 2y x u +=，xy v =，求z d ．解： )2(232y y x x e y ue x e x v v z x u u z x z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (3分) )2(223xy x y e x ue y e y v v z y u u z y z xy v v ++=?+?=?????+?????=?? (6分) y xy x y e x y y x x e z xy xy d )2(d )2(d 2332+++++= (7分) 2．函数),(y x z z =由方程0=-xyz e z 所确定，求y z x z ????,．解：令xyz e z y x F z -=),,(， (2分) 则 ,yz F x -= ,xz F y -= ,xy e F z z -= (5分) xy e yz F F x z z z x -=-=??， xy e xz F F y z z z y -=-=??． (7分) 3．计算曲线积分?+-L y x x y d d ，其中L 是在圆周22x x y -=上由)0,2(A 到点)0,0(O 的有向弧段．解：添加有向辅助线段OA ，有向辅助线段OA 与有向弧段OA 围成的闭区域记为D ，根据格林公式 ????+--=+-OA D L y x x y y x y x x y d d d d 2d d (5分) ππ =-?=02 2 (7分) 4．设曲线积分 ?++L x y x f x y x f e d )(d )]([与路径无关，其中)(x f 是连续可微函数且满足1)0(=f ，

大一经典高数复习资料经典最新经典全面复习

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高等数学(本科少学时类型) 第一章函数与极限第一节函数 ○函数基础（高中函数部分相关知识）(★★★) ○邻域（去心邻域)(★) (){} ,|U a x x a δδ=-< (){},|0U a x x a δδ=<-< 第二节数列的极限 ○数列极限的证明（★) 【题型示例】已知数列{}n x ，证明{}lim n x x a →∞ = 【证明示例】N -ε语言 1．由n x a ε-<化简得()εg n >, ∴()N g ε=???? 2.即对0>?ε,()N g ε?=????,当N n >时,始终有不等式n x a ε-<成立， ∴{}a x n x =∞ →lim 第三节函数的极限 ○0x x →时函数极限的证明（★）【题型示例】已知函数()x f ，证明()A x f x x =→0 lim 【证明示例】δε-语言１．由()f x A ε-<化简得()00x x g ε<-<， ∴()εδg = 2．即对0>?ε,()εδg =?,当00x x δ<-<时,始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x x =→0 lim ○∞→x 时函数极限的证明（★) 【题型示例】已知函数()x f ,证明()A x f x =∞ →lim 【证明示例】X -ε语言 1.由()f x A ε-<化简得()x g ε>, ∴()εg X = ２.即对0>?ε，()εg X =?，当X x >时，始终有不等式()f x A ε-<成立， ∴()A x f x =∞ →lim 第四节无穷小与无穷大 ○无穷小与无穷大的本质(★）函数()x f 无穷小?()0lim =x f 函数()x f 无穷大?()∞=x f lim ○无穷小与无穷大的相关定理与推论（★★) (定理三）假设()x f 为有界函数,()x g 为无穷小, 则()()lim 0f x g x ?=???? （定理四)在自变量的某个变化过程中，若()x f 为无穷大,则()1f x -为无穷小;反之，若()x f 为无穷小,且()0f x ≠，则()x f 1 -为无穷大【题型示例】计算：()()0 lim x x f x g x →?????（或∞→x ）１.∵()f x ≤M ∴函数()f x 在0x x =的任一去心邻域()δ,0x U 内是有界的； (∵()f x ≤M ,∴函数()f x 在D x ∈上有界；）２．()0lim 0 =→x g x x 即函数()x g 是0x x →时的无穷小; （()0lim =∞→x g x 即函数()x g 是∞→x 时的无穷小；) 3．由定理可知()()0 lim 0x x f x g x →?=???? （()()lim 0x f x g x →∞ ?=????）第五节极限运算法则 ○极限的四则运算法则（★★） (定理一）加减法则 (定理二）乘除法则关于多项式()p x 、()x q 商式的极限运算设:()()?????+?++=+?++=--n n n m m m b x b x b x q a x a x a x p 1 101 10 则有()()???????∞=∞→0 lim 0 b a x q x p x m n m n m n >=< ()()() ()000lim 0 0x x f x g x f x g x →?? ??=∞????? ()()()()()0000000,00g x g x f x g x f x ≠=≠== (特别地，当()()00 lim 0 x x f x g x →=（不定型）时，通常分子分母约去公因式即约去可去间断点便可求解出极限值，也可以用罗比达法则求解) 【题型示例】求值2 3 3 lim 9 x x x →--

大一高等数学公式(精华整理的)

高等数学公式 1导数公式： 2基本积分表： 3三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=，　，　，　 a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π

《高等数学(一)》复习资料-姜作廉

一、客观部分：（单项选择、多项选择、不定项选择、判断）（一）、单项选择部分 1．函数x x x f )321 ()321 ()(-++=为（）。（A ）奇函数；（B ）周期函数；（C ）幂函数；（D ）偶函数 ★考核知识点:函数的性质，参见P4-7 附1.1.1（考核知识点解释及答案）：函数的基本特性：有界性：设函数f (x )的定义域为D ，如果有0>M ，使得对D x ∈?，都有M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有界。如果对D x ∈?，使得M x f ≤)(，则称f (x )在D 上有上界。单调性：设函数f (x )的定义域为D ，如果对D x x ∈?21,，当21x x <时，恒有)()(21x f x f ≤ ，就称上在D x f )(为单调递增函数。同理，可以定义单调递减函数。我们统称单调递增和单调递减函数为单调函数。奇偶性：设f (x )的定义域为D ，对 D x ∈? ，如果 (i))()(x f x f =-，则称该函数为奇函数； (ii)) ()(x f x f -=-，则称该函数为偶函数．周期性：设函数f (x )的定义域为D ，如果存在T ≠0，使得对D x ∈?，总有则称f (x )为D 上的周期函数，T 为f (x )的一个周期．通常周期函数有无穷多个周期．习惯上，我们把最小的正周期叫做该函数的周期计算过程如下：----(-)===f(x)x x x x x x f x =+++ 答案：（D ）偶函数。 2．函数()ln(1sin ) (0)f x x x =+→为（）。

（A ）无穷小量；（B ）无穷大量；（C ）零函数；（D ）常数函数 ★考核知识点:无穷小与无穷大，参见P25-27 附1.1.2（考核知识点解释及答案）：当0x x →时，如果函数)(x f 的绝对值大于任意预先给定的正数M ，则我们称函数)(x f 为当0x x →时的无穷大量，记为∞=→)(lim 0 x f x x 。若0)(lim 0 =→x f x x ，则称函数)(x f 在该极限过程中为无穷小量．简称无穷小。答案：（A ）无穷小量。 3．函数sin 0x y x x ==在点处（）。（A ）可导；（B ）间断；（C ）可微；（D ）连续 ★考核知识点:连续与可导性，参见P40-46 附1.1.3（考核知识点解释及答案】）：函数在某点处连续是函数在该点处可导的必要条件，但不是充分条件.若函数在某点处不连续，则它在该点处一定不可导. 答案：（B ）间断。 4．若()ln(2sin ),(0)f x x f '=+=则（）。（A ）-1；（B ）0；（C ） 12 ；（D ）1 ★考核知识点:复合函数微分法，参见P61-63 附1.1.4（考核知识点解释及答案）：下述“基本的求导公式”是各种导数与微分计算的基础，要求熟练掌握。在这里作为复习我们全部给出，提供多处习题计算时使用，可以反复查找使用。