高一数学：函数的单调性知识点+例题讲解+课堂练习

第3讲 函数的单调性

教学内容

一、知识梳理

单调性定义

设函数y ＝)(x f 的定义域为A ，区间A M ⊆.

如果取区间M 上的任意两个值x 1 , x 2，改变量12x x x -=∆＞0，则 当)()(12x f x f y -=∆＞0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数； 当)()(12x f x f y -=∆＜0时，就称函数)(x f 在区间M 上是增函数． 如果一个函数在某个区间M 上是增函数或是减函数，就说这个函数在这个区间M 上具有单调性（区间M 称为单调区间）．

二、方法归纳

在同一单调区间上，两个增（减）函数的和仍为增（减）函数，但单调性相同的两个函数的积未必是增函数．

设[]b a x x ,,21∈，若有 （1）

2121)

()(x x x f x f --＞0，则有[]b a x f ,)(在上是增函数．

（2）

2

121)

()(x x x f x f --＜0，则有[]b a x f ,)(在上是减函数．

在函数)(x f 、)(x g 公共定义域内，

增函数+)(x f 增函数)(x g 是增函数； 减函数+)(x f 减函数)(x g 是减函数； 增函数-)(x f 减函数)(x g 是增函数； 减函数-)(x f 增函数)(x g 是减函数． 函数的单调性常应用于如下三类问题： （1）利用函数的单调性比较函数值的大小．

（2）利用函数的单调性解不等式，常见题型是，已知函数的单调性，给出两 个函数的大小，求含于自变量中的某个特定的系数，这时就应该利用函数的单调性“脱”去抽象的函数“外衣”，以实现不等式间的转化．

（3）利用函数的单调性确定函数的值域，求函数的最大值和最小值． 若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递增，则函数值域为()(a f ，)(b f )；

若函数)(x f y =在定义域()b a ,上递减,则函数值域为()(b f ，)(a f )； 若函数)(x f y =在定义域[]b a , 上递增，则函数值域为 [)(a f ，)(b f ] ； 若函数)(x f y =在定义域 []b a , 上递减，则函数值域为 [)(b f ，)(a f ]； 若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递增，则函数的最大值为)(b f ，最小值为

)(a f ；

若函数)(x f y =在定义域[]b a ,上递减，则函数的最大值为)(a f ，最小值为

)(b f ；

三、典型例题精讲

［例1］若ax y =与x

b y -=在()+∞,0上都是减函数，对函数bx ax y +=3

的单调性描述正确的是( )

A. 在()+∞∞-,上是增函数

B. 在()+∞,0上是增函数

C. 在()+∞∞-,上是减函数

D. 在()0,∞-上是增函数，在()+∞,0上是减函数 解析: 由函数 ax y =在()+∞,0上是减函数，得 a ＜0，

又函数x

b

y -

=在()+∞,0上是减函数，得 b ＜0， 于是，函数3

ax ，bx 在()+∞∞-,上都是减函数， ∴ 函数bx ax y +=3

在()+∞∞-,上是减函数，故选C ．

【技巧提示】 熟悉函数ax y =，3

ax y =，bx y =，x

b

y =

的单调性与a 、b 的符号的关系，就能正确的描述由它们组合而成的函数的单调性．

［例2］求函数31)(--+=

x x x f 的最大值．

解析：由3

1431)(-++=

--+=

x x x x x f ，

知函数31)(--+=x x x f 在其定义域 [3，+∞ )上是减函数． 所以31)(--+=

x x x f 的最大值是2)3(=f ．

【技巧提示】 显然由3

1431-++=

--+x x x x 使得问题简单化，

当然函数定义域是必须考虑的．

又例 已知[]1,0∈x ，则函数x x y --+=12的值域是 .

解析：∵ x x y --+=

12在[]1,0∈x 上单调递增，

∴ 函数x x y --+=12的值域是[])1(),0(f f ．

即

[

]

3,12-．

再例 求函数x x y 21++=的值域．

解析：∵ x x y 21++= 在定义域⎪⎭⎫

⎢⎣⎡+∞-,21上是增函数，

∴ 函数x x y 21++=的值域为 ⎪⎭

⎫

⎢⎣⎡+∞-,21．

［例3］函数)(x f 在R 上为增函数，求函数)1(+=x f y 单调递减区间． 解析：令1+=x u ，则u 在(－∞,－1]上递减， 又函数)(x f 在R 上为增函数，

∴ 函数)1(+=x f y 单调递减区间为(－∞,－1].

【技巧提示】 这是一个求复合函数的单调性的例子，同时又含有抽象函数．只要知道函数1+x 的单调性，)1(+=x f y 与1+x 的单调性和单调区间相同．如果变函数)(x f 在R 上为减函数，那么函数)1(+=x f y 的单调性与函数

1+x 的单调性相反，即函数)1(+=x f y 单调递增区间为(－∞,－1].

又例 设函数)(x f 在R 上为减函数，求函数)1

(x

f y =单调区间． 再例 设函数)(x f 在R 上为增函数，且)(x f ＞0，求证函数)

(1

x f y =

在R 上单调递减．

［例4］试判断函数x

b

ax x f +=)()0,0(>>b a 在()0,+∞上的单调性并给出证明.

解析：设120x x >> ，()()()

12121212

ax x b

f x f x x x x x --=- 由于120x x ->

故当12,x x ⎫∈∞⎪⎪⎭ 时()()120f x f x ->，此时函数()f x

在⎫

∞⎪⎪

⎭

上增函数，同理可证函数()f x

在⎛

⎝上为减函数.