零点存在性定理PPT课件
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零点的存在性定理
06 参考文献
参考文献
01
[1] 张三. (2018). 零点存在性定理研究. 科学出版社.
02
[2] 李四, 王五. (2020). 数学分析中的零点存在性定理及其 应用. 高等教育出版社.
03
[3] 刘海涛. (2015). 实数完备性与零点存在性定理. 清华大 学出版社.
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扩展二
总结词
探索零点存在性定理在多维空间的应用
详细描述
零点存在性定理主要应用于一维实数线上。然而，这 个定理也可以推广到多维空间中。通过研究高维空间 中函数的零点存在性，可以揭示出更多有趣的数学现 象和性质。
扩展三
总结词
将零点存在性定理与其他数学定理结合
详细描述
零点存在性定理可以与其他重要的数学定理结合使用， 以解决更复杂的问题。例如，它可以与极限理论、积分 理论等结合，用于证明更广泛的数学命题。这种结合可 以促进数学不同分支之间的交叉融合，推动数学的发展 。
证明方法二
总结词
利用极限的存在性和函数值的符号变化证明。
详细描述
首先，我们需要证明函数在某一点的极限存在，并且函数值从正变为负或从负变为正。这样，我们可 以确定函数在这一点附近有零点。通过分析函数在区间两端的取值和变化趋势，我们可以找到这样的 点，从而证明零点的存在性。
证明方法三
总结词
利用导数和函数的单调性证明。
感谢您的观看
推论一
推论一
如果函数在区间两端取值异号，则函数在此区间内至少存在 一个零点。
证明
假设函数在区间$[a, b]$两端取值异号，即$f(a) cdot f(b) < 0$。 根据连续函数的性质，函数在区间$[a, b]$上必存在至少一个零 点，使得$f(c) = 0$，其中$c in (a, b)$。
高中数学必修一全册PPT课件
例如：book中的字母的集合表示为：A=｛x|x是 book中的字母｝
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
思考：1、比较这三个集合：
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
6 、A 设 { | x x 2 集 4 x 0B 合 } { | , x x 2 2 ( 1 a ) a 2 - x 1 0 a , R} 若 B A ，a 的 求 . 值 实数
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
2021
8
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
33函数零点的判定零点存在性定理函数零点的判定零点存在性定理如果函数如果函数yfx在区间在区间ab上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线并且有断的一条曲线并且有那么函那么函数数yfx在区间在区间内有零点内有零点即存在即存在cab使得使得这个这个也就是也就是f
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2021
(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
所有奇数组成的集合：A={x∈R|x=2k+1, k∈Z} 所有偶数组成的集合：A={x∈R|x=2k, k∈Z}
注意：1、中间的“|”不能缺失； 2、不要忘记标明x∈R或者k∈Z，除非上下文明确表示 。
思考：1、比较这三个集合：
5、设A={1，2}，B={x|xA}，问A与B有什么关系？并用列举法写出B？
6 、A 设 { | x x 2 集 4 x 0B 合 } { | , x x 2 2 ( 1 a ) a 2 - x 1 0 a , R} 若 B A ，a 的 求 . 值 实数
7、判断下列表示是否正确:
(1)a {a}; (2) {a} ∈{a,b};
A={x ∈Z|x<10}，B={x ∈R|x<10} ， C={x |x<10} ；
例题：求由方程x2-1=0的实数解构成的集合。
解：(1)列举法：{-1,1}或{1，-1}。
(2)描述法：{x|x2-1=0，x∈R}或{X|X为方程x2-1=0的实数解}
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8
2、两个集合相等
如果两个集合的元素完全相同，则它们相等。
33函数零点的判定零点存在性定理函数零点的判定零点存在性定理如果函数如果函数yfx在区间在区间ab上的图象是连续不上的图象是连续不断的一条曲线并且有断的一条曲线并且有那么函那么函数数yfx在区间在区间内有零点内有零点即存在即存在cab使得使得这个这个也就是也就是f
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(3){a,b} {b,a}; (4){-1,1}{-1,0,1}
(5)0;
(6) {-1,1}.
函数的零点存在性定理ppt课件
结合思想，培养学生的辨证思 维能力，以及分析问题解决问 题的能力．
教学过程
（一）回顾旧知，发现问题 问题1 函数的零点： _________________________________ 问题2 求出函数的零点:
f (x) 4x 3 f (x) x2 2x 3
问题3 用上述方法能否求出下列函数的零点
2.数学思想方面： 函数与方程的相互转化，即转化思想 借助图象探寻规律，即数形结合思想
【课后作业】
1.函数f (x) ex x 2 的零点所在的一个区间是 A.(-2,-1) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) 2.方程lg x x 0 的根所在的区间可能是 A.( ,0) B.(0.1,1) C.(1,2) D.(2,4)
f (x) x3 3x 5
f (x) ln x 2x 6
分析函数(画图)
f (x) 4x 3
f (x) x2 2x 3
问题1 分别找出上述函数零点所在的大致区间. 问题2 观察区间端点的函数值的符号变化问题.
总结归纳，形成概念:
函数零点的存在性定理： __________________________________ _______________________
【学习目标】
1 .知识和技能目标：掌握函数零点的存在性定理；正确判断
出零点所在的区间.
2 .过程与方法：有些函数通过求方程的根求零点,有些函数不
易通过求方程的根求出零点.以这个问题为突破口,引出零点存在 性.在课堂探究中体会数形结合的数学思想，从特殊到一般的归 纳思想.
3 .情感、态度、价值观：在函数与方程的联系中体验数形
讨论：零点个数一定是一个吗？ 逆定理成立 吗？试举例并结合图形来分析.
根的存在性证明(零点定理)
根的存在性定理：如果)(x f 在闭区间[a,b]上连续0)(,,0)()(=∈<ξξf b a b f a f ）使得（则存在。
证明 利用构造法的思想，将)(x f 的零点范围逐步缩小。
先将[a,b]二等分为],2[],2,[b b a b a a ++，如果0)2(=+b a f 。
则定理获证。
如果0)2(≠+b a f ，则f(a)和f(b)中必然有一个与)2(b a f +异号，记这个小区间为[11,b a ],它满足2-0)()(1111a b a b b f a f -=<且区间的长度。
又将[11,b a ]二等分，考虑中点的函数值，要么为零，要么不为零。
如果中点的函数值为零，则定理获证。
如果中点的函数值不为零，那么必然可以选出一个小区间，使得f(x)在这个区间的端点值异号，记这个小区间为],[22b a ，它满足[a,b]⊃[11,b a ]],[22b a ⊃，0)()(222222<-=-a f b f a b a b 且。
采用这样的方法一直进行下去，或者到有限步时，某个区间的中点的函数值为零，这样定理的结论成立。
或者所有区间的中点的函数值不为零，那么我们就会得到一个无穷的区间序列{],[n n b a }，它满足:①[a,b]⊃[11,b a ]⋅⋅⋅⊃⊃],[22b a ；②nn n a b a b 2-=-；③0)()(<n n a f b f 。
由单调有界定理，可以得到],[lim lim b a b a n n n n ∈==∞→∞→ξ，如果0)(=ξf ，则定理获证。
如果0)(≠ξf ，因为f(x)在ξ点连续，因而由连续函数的局部保号性：存在一个0>δ，使得f(x)在],[),(b a ⋂+-δξδξ上与)(ξf 同号。
根据所构造的区间的性质②，存在正整数N ，当n>N 时，],[),(],[b a b a n n ⋂+-⊂δξδξ。
方程的根与函数的零点 课件
此判定方法经常考，要注意条件一定要完备，缺一不可． 反之，若函数 y＝f(x)在(a，b)内有零点，则 f(a)·f(b)＜0 不一定 成立． 因为 f(x)在(a，b)内的零点可能为不变号零点，也可能不止一个 零点．
(2)应用零点存在性定理应注意以下问题： ①并非函数所有的零点都能用该定理找到，当函数值在零点左 右不变号时就不能应用该定理，如函数 y＝x2 在零点 x0＝0 左右 的函数值都是正值，显然不能使用定理判断，只有函数值在零 点的左右两侧异号时才能用这种方法． ②利用零点存在性定理只能判别函数 y＝f(x)在区间(a，b)上零 点的存在性，但不能确定零点的个数．
2．解决有关根的分布问题应注意以下几点： (1)首先画出符合题意的草图，转化为函数问题． (2)结合草图考虑四个方面：①Δ 与 0 的大小；②对称轴与所给 端点值的关系；③端点的函数值与零的关系；④开口方向． (3)写出由题意得到的不等式． (4)由得到的不等式去验证图象是否符合题意，这类问题充分体 现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点．在 写不等式时要注意条件的完备性．
方程的根与函数的零点
自学导引 1．函数的零点 对于函数 y＝f(x)，把 使f(x)＝0的实数x 叫做函数 y＝f(x)的零点． 想一想：函数的零点是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点吗？ 提示 函数的零点不是函数 y＝f(x)与 x 轴的交点，而是 y＝f(x) 与 x 轴交点的横坐标，也就是说函数的零点不是一个点，而是 一个实数．
如 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)的两个零点为
x1，x2(x1≤x2)且 k1＜x1≤x2＜k2.
Δ≥0， 则k1＜－2ba＜k2，
ffkk12＞ ＞00， ，
题型一 求函数的零点 【例 1】 判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f(x)＝xx＋；3 (2)f(x)＝x2＋2x＋4； (3)f(x)＝2x－3； (4)f(x)＝1－log3x； [思路探索] 利用解方程的方法求相应方程的根即可．
零点存在定理
并且有 f (a) f (b) 0 ， 那么， 函数 y f ( x) 在区间 a , b 内有零点，
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
即存在 c a, b ，使得 f (c) 0 ，这个 c 也就是方程 f ( x) 0 的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
归纳求函数 y f x 零点的方法 代数法： 求出对应方程的f x =0的根 几何法： 画出函数的图象
练习： （1）判断下列方程有没有根？有几个根？
1 x 2 3x 5 0 2 x2 4 x 4
（2）判断函数零点的个数，并指出零 所在的大致区间（长度不超过1）
f x e 4x 4
x1
小结：
1、 函数y f ( x)的零点定义
2、三种等价关系 3、函数零点或方程根的存在性以及根的个数的判定。
函数的零点和方程的根
y f x f x 0
函数零点的定义：
对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点
零点：
对于函数y f ( x)，我们把使f ( x) 0的实数x叫做
函数y f ( x)的 零点。
1、不是所有的函数都有零点 2、函数的零点并不是“点”，而是 数 3、方程的根与函数的零点关系密切，方程有 几个根，函数就有几个零点，方程无根，则函 数无零点。
函数零点意义：
函数y f ( x)的零点就是方程f ( x) 0的实数根,
也就是函数y=f x的图象与x轴交点的横坐标。
例题 2：判定函数 f ( x ) Inx 2 x 6 是否有零点？ 若有，则有几个？指出函数零点所在的大致区间
函数的零点_优秀课件
的零点个数
基 础 知 识
梳
为( )
理
聚
焦
A．3
B．2
考 向
透
C．1
D．0
析
感
悟
解析：当x≤0时，由f(x)＝x2＋2x－3＝0得x＝－3(x＝1舍去)；
经 典
考
当x＞0时，由f(x)＝－2＋ln x＝0得x＝e2，所以函数有2个零点，故 题
课
时
选B.
规 范
训
答案：B
练
基
础
考向三 由函数零点的存在情况求参数值
考 题
课 时
规
范
训
练
【思维流程】
基
求导，及 k＝f′(1)．
础 知
识
梳
利用点斜式写切线方程．
理
聚
讨论两极值点的大小，当－(a＋2)≤0，确定 f(x)在[0，＋∞)
焦 考
向
上的单调性，从而判断 f(x)＝k 的根的情况．
透 析
感
当－(a＋2)＞0 时，f(x)在[0，＋∞)上先减后增．
悟 经
典
考
求 f(x)在[0，＋∞)上的最小值 f(－(a＋2))．
悟 经 典 考
题
() A.0，12
课
时
B.21，1
规 范 训 练
C．(1,2)
D．(2,3)
【审题视点】 (1)将方程的根转化为两个函数图象交点问题，
基
础
结合图象以及单调性进行求解．
知 识
梳
(2)根据区间(a，b)上的零点存在定理．f(a)f(b)＜0判定．
理
聚
焦
【解析】 (1)由题意知，x≠0，则原方
函数的零点与方程的解ppt课件
二、函数零点的性质及求法
【强调3】f(a)f(b)<0（异号性）
对于[a,b]上的函数f(x)，“异号”和“连续”能够证明在 （a,b）内存在零点。 “连续不异号”：不能说明是否有零点 “异号不连续”：不能说明是否有零点 “不异号不连续”：不能说明是否有零点
二、函数零点的性质及求法
函数零点的求法：
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
一、函数零点的概念 已学基本初等函数的零点
二、函数零点的性质及求法
零点存在性定理：
如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线， 并且有f(a)f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间（a,b）内至少有一 个零点。
函数零点个数的判定： （3）利用单调性和奇偶性综合判断 已知，函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=log2x+x, 则函数y=f(x)有几个零点？
三、课堂小结
把这里的实数a与b都叫做相应区间上的端点。
一、函数零点的概念
对于一般函数y=f(x)，我们把f(x)=0的 实数x叫做函数y=f(x)的零点。
【强调】函数的零点不是一个点，而是一个实数。
一、函数零点的概念
【练习1】函数f(x)=x2-5x+6的零点为： A. 2，3 B.（2，0），（3，0） C.（2，3） D. -2，-3
即存在
，使得
，这个c也就是方程f(x)=0的解。
二、函数零点的性质及求法
【强调1】连续不断（连续性） 【练习】（多选）下列函数中是连续函数的是：
二、函数零点的性质及求法
【强调2】闭区间[a,b]
二、函数零点的性质及求法
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零点存在性定理 （勘根定理）
1
复习： 函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点．
1.任意函数 都有零点吗?
2.零点是点 还是数?
2
方程 y=0
函数
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
如何解下列方程
（3） x32x60
（4） ln x3x80 16
练习：
1.在二次函数 yax2bxc中，ac<0,则其零
点的个数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 y f (x) 不是常数函数且最小值为１，则 yf(x)1
的零点个数（ D ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.０或１ Ｄ.不确定
３.已知函数f ( x )是定义域为Ｒ的奇函数，且 f ( x )
结论：一元二次方程的根是相应二次
函数图象与x轴交点的横坐标!
这种关系可以推广一般情形吗？
对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x），上 述结论是否成立呢？
（1） 2x 10
y 2x 1
（2） lo2gx10
ylo2gx1
4
方程的根和相应的函数图象与x 轴交点的横坐标相同
x0是方 fx程 0的实数根
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|的x|零1点有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究题：
设函数 f(x)2xa x1
（1）探求a=2和a=3时函数的零点个数；
（2）当 a时R，函数f(x)的零点是怎样分布的？
fx4x212x9
8
论 结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
9
讨论探究，揭示定理
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
ln x3x80
7
探究
问题2：如图，请观察，这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图 象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有 人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻的 温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？
10
讨论探究，揭示定理
引导: 1) 在4日——8日（区间(4，8)）之间温度 会不会达到0摄氏度呢？为什么？
2) 如果已知一个函数图象在区间[a，b]上是 连续的，那么,什么情况下，图象在区间(a， b)内肯定会与x轴有交点呢？
如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续，
且f(a)·f(b)<0，那么这个函数图象在区间
（a，b）内肯定会跟x轴相交，也就是在区间
（a，b）内肯定会存在零点。
11
讨论探究，揭示定理 引导:
(3)我们已经知道,区间(4,8)内肯定会有零点, 那么会有几个零点呢?是否只有一个呢?(4,8) 内的图象会是什么样的呢?
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连 续，但f(a)·f(b)<0，图象在区间(a，b)
y
问题 1 观察二次函数 f (x) x2 2x 3的
5 4
图象，如右图，我们发现函数
3 2
f (x) x2 2x 3在区间2,1 上有零点。
1 -2 -1 0
12
345 x
-1
计算 f (2)和 f (1) 的乘积，你能发现这
-2
-3
个乘积有什么特点？在区间2,4上是 -4
否也具有这种特点呢？
20
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函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
y
y
a o bx
(1)
ao
(2) y
bx
y
ao
x
b
(3)
bb
a
o
b
b
(4)
b
x
14
试一试：
函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
分 析 ： 判 断 区 间 a,b 是 否 为 f (x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
内与x轴有交点吗？为什么?你能举个
例子吗?
13
发现：零点存在性定理（勘根定理）
如果函数 y f (x)在(1)区间a,b上的(2)图象是连续不断的一条曲线，
并且有(3) f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x) 在区间a,b 内有零点，反之
不成立
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
f (a) f (b) 0是否成立。
经代入计算得 f (2) In2 1 0， f (3) In3 2 0
f (2) f (3) 0，
3
f (x)在2,3内有零点。
选 B
15
方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移
例2 求函数 y(x2)2(x22x3)
的零点:
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
在(0, )上有一个零点，则 f ( x ) 的零点个数为( A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
17
4.问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、幂函数有零点吗？
18
小结
函数的零点定义
等价关系
代数法
零点的求法
函数零点存在性原理
数学思想方法
数
形
转
结
化
合 思
思
想
想
方 程 函 数 思 想
1
复习： 函数零点的定义：
对于函数y=f(x)，我们把使f(x)=0成立的实数 x叫做函数y=f(x)的零点．
1.任意函数 都有零点吗?
2.零点是点 还是数?
2
方程 y=0
函数
x2－2x－3=0 y= x2－2x－3
x2－2x+1=0 y= x2－2x+1
x2－2x+3=0 y= x2－2x+3
如何解下列方程
（3） x32x60
（4） ln x3x80 16
练习：
1.在二次函数 yax2bxc中，ac<0,则其零
点的个数为（ B ）
Ａ.１
Ｂ.２
Ｃ.３ Ｄ.不存在
2.若 y f (x) 不是常数函数且最小值为１，则 yf(x)1
的零点个数（ D ）
Ａ.０ Ｂ.１ Ｃ.０或１ Ｄ.不确定
３.已知函数f ( x )是定义域为Ｒ的奇函数，且 f ( x )
结论：一元二次方程的根是相应二次
函数图象与x轴交点的横坐标!
这种关系可以推广一般情形吗？
对于任意方程f（x）=0与对应函数y=f（x），上 述结论是否成立呢？
（1） 2x 10
y 2x 1
（2） lo2gx10
ylo2gx1
4
方程的根和相应的函数图象与x 轴交点的横坐标相同
x0是方 fx程 0的实数根
图像法
函数零点方程根， 形数本是同根生。 函数零点端点判， 图象连续不能忘。
19
必做题:
1、教材P 92 A组 2
2、函数 ylo2g|的x|零1点有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
探究题：
设函数 f(x)2xa x1
（1）探求a=2和a=3时函数的零点个数；
（2）当 a时R，函数f(x)的零点是怎样分布的？
fx4x212x9
8
论 结 如果函数 y f (x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线，
并且有 f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x)在区间a,b内有零点，
即存在ca,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
例
a
b
a
b
a
b
a
b
9
讨论探究，揭示定理
函数 yfx的图象 x轴 与
有交点 x0,0数？
问题2：你能从中分析 函数有哪些零点吗？
2
3
6
设问激疑,延伸拓展 例1:求函数 fx4x212x9 的零点个数。
再次思考问题：你能求出下列方程的实数根个数 吗?
x32x60
(3)
(4)
ln x3x80
7
探究
问题2：如图，请观察，这是某地在12月份几天内 的一张气温变化模拟函数图（即一个连续函数图 象），由于图象中有一段被墨水污染了，现在有 人想了解一下在4日到8日之间可能有几个时刻的 温度会达到0摄氏度，你能帮助他吗？
10
讨论探究，揭示定理
引导: 1) 在4日——8日（区间(4，8)）之间温度 会不会达到0摄氏度呢？为什么？
2) 如果已知一个函数图象在区间[a，b]上是 连续的，那么,什么情况下，图象在区间(a， b)内肯定会与x轴有交点呢？
如果已知一个函数图象在区间[a，b]上连续，
且f(a)·f(b)<0，那么这个函数图象在区间
（a，b）内肯定会跟x轴相交，也就是在区间
（a，b）内肯定会存在零点。
11
讨论探究，揭示定理 引导:
(3)我们已经知道,区间(4,8)内肯定会有零点, 那么会有几个零点呢?是否只有一个呢?(4,8) 内的图象会是什么样的呢?
12
引导:
（4）若一个函数图象在[a，b]上连
续，但f(a)·f(b)>0，图象在区间(a，b)
内与x轴有交点吗y ？为什么?你能举个
例子吗?
a o bx
(5) 若一个函数图(1) 象在[a，b]上不连 续，但f(a)·f(b)<0，图象在区间(a，b)
y
问题 1 观察二次函数 f (x) x2 2x 3的
5 4
图象，如右图，我们发现函数
3 2
f (x) x2 2x 3在区间2,1 上有零点。
1 -2 -1 0
12
345 x
-1
计算 f (2)和 f (1) 的乘积，你能发现这
-2
-3
个乘积有什么特点？在区间2,4上是 -4
否也具有这种特点呢？
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函数图象 (简图）
y
.
2
.
.y
.
.1
.
－1 0 1 2 3
－1
－2 －3
. －4
2
x 1. . . －1 0 1 2 x
方程的实数根
函数的图象 与x轴的交点
x1=－1,x2=3 (－1,0)、(3,0)
x1=x2=1 (1,0)
y
.5 . .4 . 3.
2 1
－1 0 1 2 3 x
无实数根
无交点
3
y
y
a o bx
(1)
ao
(2) y
bx
y
ao
x
b
(3)
bb
a
o
b
b
(4)
b
x
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试一试：
函数 f (x) Inx 2 的零点所在的大致区间是（ B ） x
A．1, 2
B． 2, 3
C．1,
1 e
和3,
4
D． e,
分 析 ： 判 断 区 间 a,b 是 否 为 f (x) 零 点 所 在 的 区 间 ， 只 要 判 断
内与x轴有交点吗？为什么?你能举个
例子吗?
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发现：零点存在性定理（勘根定理）
如果函数 y f (x)在(1)区间a,b上的(2)图象是连续不断的一条曲线，
并且有(3) f (a) f (b) 0，那么，函数 y f (x) 在区间a,b 内有零点，反之
不成立
即存在c a,b，使得 f (c) 0，这个c也就是方程 f (x) 0的根。
f (a) f (b) 0是否成立。
经代入计算得 f (2) In2 1 0， f (3) In3 2 0
f (2) f (3) 0，
3
f (x)在2,3内有零点。
选 B
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方程的根与函数的零点
初步应用,理论迁移
例2 求函数 y(x2)2(x22x3)
的零点:
求函数零点的步骤： (1)令f(x)=0; (2)解方程f(x)=0； (3)写出零点
在(0, )上有一个零点，则 f ( x ) 的零点个数为( A)
Ａ.３ Ｂ.２ Ｃ.１ Ｄ.不确定
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4.问题：一次函数、反比例函数、指数函数、 对数函数、幂函数有零点吗？
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小结
函数的零点定义
等价关系
代数法
零点的求法
函数零点存在性原理
数学思想方法
数
形
转
结
化
合 思
思
想
想
方 程 函 数 思 想