高中数学椭圆焦半径公式及应用

智愛高中數學 椭圆焦半径公式及应用

在椭圆曲线中，焦半径是一个非常重要的几何量，与其有关的问题是各类考试的热点，故值得我们深入研究。 思路1：由椭圆的定义有：r r a

1221+=<>

故只要设法用x a c 0、、等表示出r r 12-（或r r 12·），问题就可迎刃而解。

由题意知()r x c y 1202

02=++， ()r x c y 2202

02=-+

两式相减得()()r r r r cx 121204+-=

∴-=

+==<>r r cx r r cx a

ex 120120

44222

联立<1>、<2>解得：r a ex r a ex 1020=+=-，

点评：在r a ex 10=+与r a ex 20=-中，ex 0前的符号不表示正、负，真正的正、负由x 0确定。

思路2：设焦点()()

F ae F ae 1200-，、，

则r r a 122+=，即

()()x ae y x ae y a

0202

0202

21+++

-+=<>

另有()[]()[]

x ae y x ae y aex 02

02

02

02

42++--+=<>

<2>÷<1>得：

()()x ae y x ae y ex 0202

0202

23++-

-+=<>

<1>、<3>联立解得：

()x ae y r a ex 020210++==+ ()x ae y r a ex 0202

20-+==-

点评：把<1>、<3>两式左边的两个根式看成两个未知数，构建方程组得解。 思路3：推敲()r x c y a ex 10202

0=

++⇒+的沟通渠道，应从消除差异做起，根

式中y 02

理应代换。

由点M 在椭圆上，易知y b x a 0

22

2

21=-⎛⎝ ⎫⎭

⎪

则r x cx c b b a

x 10

2

02

2

22022=+++-=-⎛⎝ ⎫⎭⎪++12220202

b a x a

c a x a ·

()=

++ex aex a 0202

2

由010<<-≤≤e a x a ，，知ex a 00+> 故r a ex 10=+ 同理r a ex 20=-

点评：上述思路体现了先消元()y 02

转换成关于x 0的二次三项式，再化成完全平方式的思想。由a 、e 是常数与-≤≤a x a 0，容易推出r a c 1(max)=+（x a 0=时取得），r a c 1(min)=-（x a 0=-时取得）。

思路4：椭圆的第二定义为求焦半径r 1铺设了沟通的桥梁。

如图，作椭圆的左准线l ，作MH ⊥l 于H 点

则MF MH e 1

= 即r MF MH e x a c e a ex 11020===--⎛⎝ ⎫⎭

⎪=+··

同理可求得：r a ex 20=-

点评：应用椭圆的第二定义求焦半径的优越性是将两点M F 、1的距离等价转化

成平行于x 轴的直线上点M 、H 的距离轻松得解，是上述四条思路中的最佳途径。

请你独立探求焦点在y 轴上的椭圆()y a x b

a b 222

210+=>>上任一点()

M x y 00，的两条焦半径（a ey ±0）。

一、椭圆焦半径公式

P 是椭圆x a y b

222

2+＝1()a b >>0上一点，E 、F 是左、右焦点，e 是椭圆的离

心率，则（1）||PE a ex P =+，（2）||PF a ex P =-。 P 是椭圆y a x b

a b 222

210+=>>()上一点，E 、F 是上、下焦点，e 是椭圆的离

心率，则（3）PE a ey PF a ey P P =-=+，()||4。

以上结论由椭圆的第二定义及第一定义和椭圆的方程易得。 （一）用椭圆方程求椭圆的焦点半径公式

例1 已知点P （x ，y ）是椭圆122

22=+b y a x 上任意一点，F 1（-c,0）和F 2(c,0)是

椭圆的两个焦点.求证：|PF 1|=a+x a c ；|PF 2|=a -x a

c

.

【分析】 可用距离公式先将|PF 1|和|PF 2|分别表示出来.然后利用椭圆的方程

“消y ”即可.

【解答】 由两点间距离公式，可知

|PF 1|=22)(y c x ++ (1)

从椭圆方程

12

22

2=+

b y a x 解出)(222

22

x a a b y -=

(2)

代（2）于（1）并化简，得 |PF 1|=x a

c

a +

(-a ≤x ≤a) 同理有 |PF 2|=x a

c

a -

(-a ≤x ≤a) 【说明】 通过例1，得出了椭圆的焦半径公式

r 1=a+ex r 2=a-ex (e=a

c

)

从公式看到，椭圆的焦半径的长度是点P （x,y ）横坐标的一次函数. r 1是x 的增函数，r 2是x 的减函数，它们都有最大值a+c,最小值a-c.从焦半径公式，还可得椭圆的对称性质（关于x,y 轴，关于原点）. （二）、用椭圆的定义求椭圆的焦点半径

用椭圆方程推导焦半径公式，虽然过程简便，但容易使人误解，以为焦半径公式的成立是以椭圆方程为其依赖的.为了看清焦半径公式的基础性，我们考虑从椭圆定义直接导出公式来.

椭圆的焦半径公式，是椭圆“坐标化”后的产物,按椭圆定义，对焦半径直接