生物数学模型研究
生物系统的数学模型
生物系统的数学模型引言生物系统是由生物体组成的复杂系统，其中包括生物体的结构、功能和相互作用。
为了更好地理解和解释生物系统的行为，科学家们使用数学模型来描述和研究这些系统。
生物系统的数学模型是一种用数学语言描述生物系统的方式，通过建立数学方程和模拟方法，可以预测和探索生物系统的行为和特性。
1. 动力系统模型动力系统模型是生物系统中常用的一种数学模型。
它描述了生物体在时间上随着不同因素的变化而变化的过程。
例如，人体的代谢过程可以用动力系统模型来描述。
该模型将人体的代谢活动分解为一系列的化学反应，并使用微分方程来描述反应速率和物质浓度的变化。
通过求解这些微分方程，可以预测不同条件下人体代谢的动态变化。
2. 群体动力学模型群体动力学模型是用来描述群体中个体之间相互作用的数学模型。
生物系统中的许多行为和特性是由群体中个体之间的相互作用所决定的，例如群体中的迁徙、繁殖和竞争等。
群体动力学模型使用微分方程或差分方程来描述个体之间的相互作用和群体的动态变化。
通过改变模型的参数和初始条件，可以预测群体行为的变化和演化。
3. 网络模型网络模型是一种描述生物系统中各个组成部分之间相互连接关系的数学模型。
生物系统中的许多结构和功能是通过各个组成部分之间的网络连接实现的，例如脑部神经元之间的连接和代谢途径之间的关联。
网络模型使用图论和复杂网络理论来描述和分析这些连接关系。
通过分析网络的拓扑结构和动态特性，可以揭示生物系统中的关键组成部分和功能模块，并预测系统的稳定性和鲁棒性。
4. 遗传算法模型遗传算法模型是一种基于遗传和进化原理的数学模型，用于解决生物系统中的优化和适应性问题。
生物系统中的许多特性和行为是通过进化过程中的适应性选择所形成的，例如生物体的形态和行为特征。
遗传算法模型使用遗传算法的原理来模拟和优化生物系统的演化过程。
通过不断迭代和优化，可以找到生物系统中的最优解或接近最优解的解决方案。
结论生物系统的数学模型是一种用数学语言描述和解释生物系统行为的方法。
生物过程数学建模及其在生物学中的应用探究
生物过程数学建模及其在生物学中的应用探究随着技术的不断进步和理论的不断完善，生物学中的各种过程也越来越多地被运用到数学模型中进行研究。
生物过程数学建模是将生物学过程有机地结合到数学模型中，通过解析、计算和模拟等手段来研究生物现象的一种方法。
本文就探讨一下生物过程数学建模及其在生物学中的应用。
一、生物过程数学建模生物过程数学建模是将生物学过程有机地结合到数学模型中，通过解析、计算和模拟等手段来研究生物现象的一种方法。
生物过程数学建模的基本原则是将生物过程抽象成数学符号和方程式，根据生物学的基本原理，构建生物物理、生物化学和生物学等领域的数学模型，并从计算、仿真和实验等角度进行验证和研究。
该方法能够有效地揭示生物过程的本质和内在机制，对于深入了解生物学的物理、化学和生物学等方面都有重要的意义。
生物过程数学建模可以分为两种类型：定量和定性。
定量模型是建立在确定数据和参数的基础上，其中所用到的变量是具有数量特征的。
定性模型则是针对研究过程中所涉及到的物质或变量进行描述，并对它们之间的关系进行研究。
定性模型更贴近于自然现象，可以更好地揭示过程的本质。
二、生物过程数学建模在生物学中的应用（一）生物分子结构生物分子结构是指构成细胞的生物大分子，包括蛋白质、核酸和多糖等。
生物过程数学建模在此方面的应用在于分析生物大分子之间的相互作用和运动、反应与调控等方面，从而研究相应的反应动力学、结构特性和功能属性等。
由此，我们可以揭示分子间相互作用的本质和内在机制，为制药领域的开发和生物技术的应用提供一些理论支持。
（二）生物细胞结构生物细胞结构是指构成生物细胞的基本物质，包括细胞膜、细胞核、内质网和线粒体等。
生物过程数学建模在此方面的应用在于分析细胞内部分子之间的相互作用和机制、细胞的能量与物质代谢功能、以及细胞信号传导路径等方面，从而探究细胞生物学的基本原则和机制。
由此，我们可以更好地理解细胞内生命活动的本质，并为人类健康和疾病治疗提供理论支持。
生物数学模型第一讲 数学模型与生物数学
生物数学模型第一讲数学模型与生物数学在我们生活的这个丰富多彩的世界里，生物学和数学这两个看似截然不同的领域，其实有着千丝万缕的联系。
而生物数学，就是将数学的方法和理论应用于生物学研究的一门交叉学科。
今天，让我们一同走进生物数学模型的第一讲——数学模型与生物数学。
数学模型，简单来说，就是用数学的语言和方法来描述现实世界中的现象和问题。
它就像是一个抽象的蓝图，能够帮助我们理解和预测复杂的系统行为。
在生物学中，数学模型可以帮助我们研究生物的生长、繁殖、进化、生态系统的动态变化等各种问题。
比如说，我们来考虑一个关于细菌生长的问题。
假设在一个培养皿中，细菌的数量会随着时间的推移而增加。
我们可以用一个简单的数学模型来描述这个过程。
假设细菌的增长率是恒定的，那么细菌数量的增长就可以用一个指数函数来表示：N(t) ＝ N₀ e^（rt)，其中 N(t) 表示在时间 t 时的细菌数量，N₀是初始的细菌数量，r 是增长率。
通过这个数学模型，我们可以预测在未来的某个时间点，细菌的数量会达到多少。
再比如，在研究生态系统中物种之间的相互作用时，数学模型也能发挥重要作用。
假设有两种生物，A 和 B，A 以 B 为食。
我们可以建立一个数学模型来描述它们数量的变化。
通过这个模型，我们可以研究在不同的条件下，比如食物的丰富程度、环境的变化等，这两个物种的数量会如何变化，以及它们是否能够共存。
那么，为什么我们需要在生物学中使用数学模型呢？首先，数学模型能够帮助我们简化复杂的生物现象，使我们能够更清晰地理解其本质。
生物系统往往非常复杂，包含了众多的因素和变量。
通过建立数学模型，我们可以忽略一些次要的因素，专注于关键的变量和它们之间的关系。
其次，数学模型可以帮助我们进行预测。
通过对过去和现在的数据进行分析，建立数学模型，我们可以预测未来的生物现象，为我们的决策提供依据。
比如，在疾病的传播研究中，通过建立数学模型，我们可以预测疾病的传播趋势，从而制定相应的防控措施。
生物模型的建立和应用研究
生物模型的建立和应用研究生物模型指的是一种仿真模型，在生物科学中应用广泛。
它是基于对研究对象生物的数学分析，逐步构建出来的模型。
生物模型的建立和应用研究，既是科学研究的一项重要工作，同时也是生物学研究的一个难点。
本文将从以下几个方面探讨生物模型的建立和应用研究。
动物行为模型的建立动物行为模型是指生物学家通过对动物行为的观察和实验，从而形成的一种描述和理解动物行为的数学模型。
在生物学的研究当中，动物行为模型一直是一个非常重要的研究方向。
例如，许多生物制药公司需要通过对动物行为模型的研究，来确定药物的作用机制、有效性和安全性。
动物行为模型的建立是非常复杂的。
这需要生物学家们对动物行为的复杂性和多变性有充分的认识，并根据实验结果对模型进行不断的修正和改进。
因此，建立动物行为模型的工作需要多学科的合作，如动物行为学、心理学、计算机科学等等，同时需要高水平的技术支持。
在动物行为模型的应用研究中，最重要的是在进行药物研发的时候，对新型药物的安全性进行评估。
在进行临床试验前，在动物行为模型中测试生物药物的安全性和有效性，可以帮助生物制药公司预测新药可能出现的疾病和副作用，以及评估药物的有效性。
生物信号模型的建立生物信号模型是指经过特定生物现象验证和序列分析，分析蛋白质或DNA序列之间相互的关系，并从中获得有价值信息的一种模型。
生物信号模型包含了多种类型，如基因调控网络模型、代谢途径模型等。
利用生物信号模型进行基因调控网络的分析可以帮助生物学家们发现基因表达调控过程中的规律性和复杂性，从而探索不同细胞状态和疾病的发生机理。
在生物信号模型的应用研究中，最常见的是基于调控网络模型的基因表达分析。
例如，许多基因芯片技术就是基于这种思想，实现生物信号模型的研究。
目前，生物芯片技术应用在了许多重要生物研究领域，如生物医药、生物物理学、生态学等等。
神经网络模型的建立神经网络模型是指一种描述人类大脑和神经系统功能的数学模型。
生物数学研究方向介绍
生物数学研究方向介绍生物数学是数学与生物学相结合的学科领域，通过数学模型和方法来解释和解决生物学中的问题。
生物数学的研究方向非常广泛，涉及到生物系统的建模、动力学分析、优化理论等多个方面。
本文将介绍几个典型的生物数学研究方向。
1. 生物系统建模生物系统建模是生物数学的核心内容之一，它主要研究如何通过数学模型来描述和分析生物系统中的各种过程和关系。
生物系统可以是细胞、生物群体、生态系统等不同尺度的系统。
建立生物系统的数学模型可以帮助我们理解生物系统的运作机理，预测其行为，并为生物学研究提供理论基础。
2. 动力学分析动力学分析是生物数学中的一个重要方法，它研究的是生物系统中各种过程的变化规律和稳定性。
通过建立微分方程等数学模型，可以研究生物系统的稳定性、周期性、吸引子等特性。
动力学分析可以帮助我们理解生物系统的稳定性和可变性，揭示生物系统中的重要调控机制，为生物学实验和应用提供指导。
3. 优化理论在生物学中的应用优化理论是生物数学中的另一个重要研究方向，它研究的是如何在给定的约束条件下，寻找最优解或最优策略。
生物学中有许多与优化相关的问题，如生物进化中的适应性优化、生物网络中的信息传递优化等。
优化理论可以帮助我们理解生物系统的优化机制，揭示生物系统中的最优策略，并为生物学实验设计和生物工程应用提供指导。
4. 生物数学在药物动力学中的应用药物动力学是研究药物在生物体内的吸收、分布、代谢和排泄等过程的科学。
生物数学在药物动力学中的应用主要包括建立药物动力学模型、优化药物治疗方案和预测药物响应等。
通过数学模型和计算方法，可以更好地理解药物在生物体内的行为，优化药物治疗方案，提高药物疗效和减少药物副作用。
5. 生物数学在流行病学中的应用流行病学是研究疾病在人群中传播和流行的科学。
生物数学在流行病学中的应用主要包括建立传染病传播模型、预测疫情发展趋势和评估防控策略等。
通过数学模型和计算方法，可以更好地理解疾病的传播机制，预测疫情的发展趋势，评估不同防控策略的效果，为公共卫生工作提供科学依据。
生物学中的数学模型分析与研究
生物学中的数学模型分析与研究生物学是研究生命现象的科学，而数学则是探究现象规律性的学科。
两者似乎没有什么联系，但是在生物学研究中，数学模型是非常重要的工具。
数学模型可以对生物学的很多现象进行定量分析和预测。
本文将从模型的构建、应用以及研究现状三方面来探讨生物学中的数学模型分析与研究。
一、模型的构建生物学中的数学模型，一般都是以微分方程为基础构建的。
为此，研究者需要对问题的背景及相关生物现象进行深入理解，摸索出可能的变量，考虑变量之间的关系，再通过将其转化为数学表达式，构建微分方程模型。
以疾病传播为例，我们可以定义“易感人群”、“感染人群”、“康复人群”三个变量。
则易感人群流向感染人群的量，取决于感染人群的数量和易感人群的数量；感染人群流向康复人群的量，则取决于感染人群的数量和康复速率。
将这些变量转化为微分方程模型，即：dS/dt = -aSIdI/dt = aSI - bIdR/dt = bI其中，S、I、R分别为易感人群、感染人群、康复人群的数量，a、b分别为感染率和康复率。
这样的模型可以预测疾病传播的规律。
二、模型的应用数学模型的应用非常广泛，以农业生产为例，数学模型可以帮助我们进行精准农业。
现在的精准农业，不只关注土壤肥力、植物品种的选择等自然因素，还要根据相关数据建立模型，预测光照、水分、温度等因素，提高生产效率。
数学模型甚至还可以帮助科学家预测气候变化和推测奇怪的动物行为模式。
利用数学模型，我们可以根据历史数据和模式建立预测算法，得出不同情况下的未来预测。
三、研究现状当前，生物学与数学的合作已经非常紧密。
生物学数据的爆炸式增长需要数学的技术进行有效的整理、分析和应用。
数学提供了应对这些数据的工具，比如回归分析、聚类算法、朴素贝叶斯等等。
这些算法是预测模型的基础，在疾病易感性、预测农作物产量、预测自然灾害等方面都得到了广泛应用。
另外，生物学中的数学模型还有一些不足，一方面，传统模型只考虑了局部的生物学现象，无法完美反映整体的现象。
数学模型在生物学领域中的应用研究
数学模型在生物学领域中的应用研究生物学是一门研究生命现象的学科，而数学则是一门研究数量、结构、变化以及空间等概念的学科。
这两个学科看似有着截然不同的性质，然而，在实际应用中，数学模型在生物学领域中扮演着重要的角色。
数学模型的应用不仅可以帮助生物学家解决复杂的问题，还可以提供预测和优化的方法，为生物学研究提供了新的思路和工具。
一、数学模型在生物进化研究中的应用生物进化是生物学中的一个重要研究方向，通过对物种的遗传变异和自然选择的研究，可以揭示生物多样性的形成和演化规律。
数学模型在生物进化研究中的应用，可以帮助我们理解进化过程中的关键参数和机制。
例如，基于遗传算法的数学模型可以模拟物种的遗传变异和自然选择过程，通过大量的计算实验，可以预测不同环境条件下物种的适应性和灭绝概率，为保护濒危物种和生态系统的可持续发展提供科学依据。
二、数学模型在神经科学研究中的应用神经科学是研究神经系统结构和功能的学科，而神经系统是一个复杂的网络系统。
数学模型在神经科学研究中的应用，可以帮助我们理解神经网络的信息传递和处理机制。
例如，基于神经网络理论的数学模型可以模拟神经元之间的连接和信号传递过程，通过对模型的分析和仿真实验，可以揭示神经网络的动力学特性和信息处理能力。
这些研究对于理解神经系统的正常功能和疾病机制具有重要意义，也为神经科学研究提供了新的思路和方法。
三、数学模型在生物医学研究中的应用生物医学是研究生物学在医学领域中的应用的学科，而数学模型在生物医学研究中的应用，可以帮助我们理解疾病的发生和发展机制，以及药物的作用和副作用。
例如，基于药物动力学和药物代谢的数学模型可以模拟药物在人体内的吸收、分布、代谢和排泄过程，通过对模型的参数估计和敏感性分析，可以优化药物的剂量和给药方案，提高治疗效果和减少不良反应。
这些研究对于药物研发和个体化治疗具有重要意义，也为生物医学研究提供了新的工具和方法。
总结起来，数学模型在生物学领域中的应用研究涵盖了生物进化、神经科学和生物医学等多个方向。
生物学中的数学模型探讨
生物学中的数学模型探讨在生物学领域内，许多现象的预测和解释都需要一定的数学模型进行辅助和支撑。
这些数学模型可以帮助生物学家更好地理解和解释生命现象，并且帮助我们实现更加精确的实验和判断。
本文将探讨几种在生物学领域内常用的数学模型。
1. 朗盖文方程朗盖文方程是一个常微分方程，在生物学领域内常用于描述各种生物过程中的时空演化规律。
比如在生态学领域内，朗盖文方程可以用来描述种群的增长和衰退规律。
在许多生物过程的分析中，朗盖文方程可以作为一个基本框架，来帮助生物学家描述生命现象的动态变化。
2. SIR模型在研究流行病学时，SIR模型被广泛用于描述传染病的传播。
SIR模型也是一个常微分方程模型，由三个变量S、I和R组成。
其中，S为易感者数量，I为感染者数量，R为康复或死亡者数量。
这个模型可以帮助我们预测传染病的爆发和后续的传播情况，同时指导生物学家制定更加合理的防控措施。
3. 马尔可夫过程马尔可夫过程是一类以转移矩阵的形式来描述状态转移的随机过程。
在生态学和进化生物学领域内，马尔可夫过程被广泛用于描述物种多样性、基因型频率和潜在的适应性等。
这些应用都需要将复杂的生命现象抽象成为一个状态集合，通过概率转移矩阵来描述状态之间的变化。
马尔可夫过程不仅可以描述物种的进化演化，同时也能帮助生物学家理解生态系统的稳定性和动态变化。
4. 神经网络模型神经网络模型模仿人类神经系统的工作原理，通过多个节点互联来构建一个多层次的计算网络。
这个模型可以模拟生物神经元之间的信号传递过程。
在生物学领域内，神经网络模型被广泛用于描述神经元之间的联结和信息交流，同时也被用于识别不同的生物信号和图像。
这个模型在生物学和人工智能领域内都发挥着重要的作用。
总结生物学中的数学模型是一项重要的研究工具。
这些模型不仅可以帮助我们预测生物现象的发展动态，同时也能够深入切实地理解复杂生态系统和生物神经网络的运作原理。
随着数学和计算机科学技术的不断发展，生物学中的数学模型也将会更加精确和高效。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
关于部分离散的单种群模型的研究
摘要生物数学是用数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究的一门学科。
生命现象是非常复杂的，从生物学中提出的数学问题往往也是比较复杂，因此需要进行大量的计算工作，建立模型于是成了必需。
数学模型能定量地描述生物现象，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，通过获得的理论知识对生命或非生命现象进行研究。
1. 单种群模型建立的一般性原理
衡量一个模型是否完善的标准是看该模型是否是最一般化、最真实、最实用和最简单。
为了使一个模型是有用的，并且是成功的，我们认为一个好的单种群模型应该满足：
1. 准确刻画自然现象并与实验数据相吻合；
2. 帮助理解未知的种群动态行为；
3. 能够自然地得到推广和改进并能考虑复杂的种内相互作用。
以下是建立单种群模型的几个基本原理。
（1）原理一：指数增长；
自然界中很多物种或个体都是以指数或几何级数增长的。
（2）原理二：合作；
生物种群为了生存、繁殖和防御外敌侵犯，个体之间需要有共同的合作行动。
（3）原理三：种内竞争；
物种竞争也是自然界中普遍存在的规律。
比如，雄蝗虫为争夺雌蝗虫所发生的竞争以及雌蝗虫为了竞争产卵场所而发生的争夺空间的竞争等，都限制了蝗虫生物潜能的发挥。
2. 离散Malthus 人口模型和Berverton-Holt 模型
提到具有离散特征的单种群模型，人们首先想到的是离散Malthus 人口模型。
英国人口学家Malthus (1766-1834) 根据百余年的人口统计资料，于1798提出了著名的人口指数增长模型。
这个模型的基本假设是人口的增长率是常数，或者说，单位时间内人口的增长量与当时的人口数量成正比。
表1 美国1800-1860年的人口统计数据和相应的模型预测值
时间 观测数据 预测值
0 5.3 5.3
1 7.
2 7.1285
2 9.6 9.5878
3 12.9 12.8956
4 17.1 17.3446
5 23.2 23.3285
6 31.4 31.3769
离散Malthus 差分方程如下
1t t N RN += （2.1）
与连续Malthus 人口模型一样，我们也可以利用离散增长模型（2.1）来预测早期美国人口增长规律。
1R =，种群数量保持恒定；
01R <<种群数量下降；
0R =，雌体没有繁殖，种群在一代中灭亡。
对于1R >，因为空间、食物等资源的有限性以及种群自身的密度制约效应说明在模型（2.1）中引入密度制约的效应，即在净增长率R 中考虑种间竞争的影响。
下面从几何直观我们给出一个具有密度制约效应的离散单种群模型的严格
推导过程。
图1比率1
t t N N +与t N 的函数关系 在图1中给出了比率1
t t N N +与t N 的函数关系。
图1中的点A 所表示生物意义可以这样理解：当种群数量非常小的时候，种群之间的相互竞争非常小甚至没有，此时净增长率R 不需要任何的修改。
因此，模型1t t N RN +=，当种群数量非常小的时，关系仍然成立。
重新改写成该方程得到
11t t N N R += (2.2)
然而，随着种群数量的增加，种群之间的竞争起来越强，这使得精确的净增长率被这种竞争而修正，并且一定存在一点使得竞争强到种群的数量不再增长，即1
t t N N +充分接近1。
此时的种群数量达到种群的环境容纳量K ，即为图1中的点B 。
由图1知，当种群数量从A 点到B 点时，比值1
t t N N +也一定增加。
为了简单起见，我们假设比值1
t t N N +与t N 具有如图1中的直线关系，该直线的方程为
1
111t t t N N R N K R +⎛⎫- ⎪⎝⎭=+ （2.3） 简化上式得 1(1)t t t
N KR N K R N +=+- （2.4） 记(1)/b R K =-，则式（2.2）可简化为 11t t t
N R N bN +=+ （2.5） 由方程（2.5）我们看出，当考虑种间竞争时净增长率R 被因子1t
R bN +代替，该因子与连续Logistic 模型中的因子1N r K ⎛⎫- ⎪⎝⎭
具有相同的作用。
微分方程（2.4）就是著名的Beverton-Holt 模型。
实际上，模型（2.4）可以直接从连续Logistic 模型的解析解推导出来。
以下介绍的是如何从Logistic 模型的解析解得到离散的Beverton-Holt 模型。
由于Logistic 模型的解析解为
000()t rt KN N N K N e
-=+- （2.6） 并记00
K N c N -=，则式（3.1.6）简化为
1t rt K N ce -=+ （2.7） 因此有
(1)(1),1r r t rt K KR N t R e ce R ce
-+-+===++ （2.8） 由于
()()rt K N t ce N t --=
则当只考虑整数时刻种群的数量t N 我们有如下的差分方程
1(1)1t t t t t RN N KR N K R N N K
+==+-+ （2.9） 比较（2.4）和（2.9），可以看出两种不同的建模方法得到的完全相同的模型。
利用离散Beverton-Holt 模型和连续的Logistic 模型的这一关系，我们可以推断离散Beverton-Holt 模型和Logistic 模型具有完全相同的动态行为，包括正平衡态的存在和稳定性、周期系统周期解的存在性和稳定性。
也正是由于上述性质，使得我们可以利用这两种模型各自相应的研究方法去研究对方的动态行为。
3. 具脉冲的自治单种群离散模型
最简单的离散脉冲方程
1t t pk pk N rN N qN +
+=⎧⎪⎨=⎪⎩ （3.1）
其中p 为正常数表示脉冲周期，即每隔p 个世代实施一次脉冲效应，k K ∈，q 为脉冲量常数。
在没有脉冲的条件下，差分方程（3.1）过初0N 的解为
0t t N r N =
当t p =时，由脉冲条件得
0p p p N qr N qN +== （3.2）
此时如果把时间间隔看成p ，则模型（3.2）是一个具有间隔时间为p 的Multhus 离散方程，其动态行为在第三章已有详细研究。
Berezansky 和Braverman 在2004年研究了如下的自治脉冲Beverton-Holt 模型
11
11t t t t t aN N BN N bN d ++++⎧=⎪+⎨⎪=-⎩ （3.3） 其中01,0b d <≤≥为常数。
模型（3.3）假设脉冲摄动在每一个世代发生，当然
我们可以假设每隔一个任意整数世代脉冲摄动才发生，但根据前面的我们对Beverton-Holt 模型解析解的研究知道，经过任意次迭代后解仍可表示为模型（3.3）第一个方程完全一样的形式。
由模型（3.3）容易得到 ()111t t t t t ba Bd N d aN N b d BN BN +--⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭
（3.4） 记ba dB β=-，研究脉冲系统（3.3）解的渐近行为和持久性等价于研究模型（3.4）相应的性质。
这里介绍Berezansky 和Braverman 的主要结论，为了方便，记
11,(1)22
dB R βωωβ+-+===+ （3.5） 得到的主要结论如下。
（1） 当14
R <
时，如果(1)(12β++<，则模型（3.4）的任意解在一个有限世代变为小于零，即种群最终是绝灭的；如1β>，则对
满足的初始
011max 0,N B B βω-+⎧⎫>-⎨⎬⎩
⎭的任意解对所有的0t ≥是严格正的且极限 11lim t t N B B
βω+→∞+=- 成立 （2） 当14
R =
时，如果1β<，则模型（3.4）的任意解在一个有限的世代变负；如果1β>，则任何满足初始012N B
β-≥的解对所有的0t ≥是严格正的且极限1lim 2t t N B
β→∞-= 成立 （3） 当14R >时，模型（3.4）对任意初始出发的解都将在一个有限时间变负。
参考文献
[1] 唐三一，肖燕妮．单种群生物动力系统．科学出版社．
[2] 杨东方，苗振清．数学模型在生态学的应用及研究1．海洋出版社
[3] 陆征一，王稳地．生物数学前沿．科学出版社．
[4] 牛翠娟，娄安如，孙儒泳，李庆芬等．基础生态学．高等教育出版社，第2版
[5] 张怀强，金建玲，刘波等．应用与环境生物学报，2005，11
[6] Lin J , Lee S , Koo Y． J Microbiol Biotechnol，2005
[7]Dick Neal ．Introduction to population biology． Cambridge University Press , 20041pp :51～53．。