2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十七不等式的实际应用新人教B版必修5

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2017-2018学年高中数学人教B版必修5 课时跟踪检测十一

课时跟踪检测（十一）等比数列的前n 项和层级一学业水平达标1．设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1解析：选A 因为S n －S n －1＝a n ，又{S n }是等差数列，所以a n 为定值，即数列{a n }为常数列，所以q ＝a na n －1＝1. 2．已知数列{a n }是公比为3的等比数列，其前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)，则实数k 为( ) A ．0 B ．1 C ．－1D ．2解析：选C 由数列{a n }的前n 项和S n ＝3n＋k (n ∈N ＋)，当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋k ；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝3n ＋k －(3n －1＋k )＝2×3n －1.因为数列{a n }是公比为3的等比数列，所以a 1＝2×31－1＝3＋k ，解得k ＝－1.3．已知等比数列的公比为2，且前5项和为1，那么前10项和等于( ) A ．31 B ．33 C ．35D ．37解析：选B 根据等比数列性质得S 10－S 5S 5＝q 5， ∴S 10－11＝25，∴S 10＝33.4．在等比数列{a n }中，a 3＝32，其前三项的和S 3＝92，则数列{a n }的公比q ＝( )A ．－12B.12C ．－12或1D.12或1解析：选C 由题意，可得a 1q 2＝32，a 1＋a 1q ＋a 1q 2＝92，两式相除，得1＋q ＋q 2q 2＝3，解得q ＝－12或1.5．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 5＝2，S 10＝6，则a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20等于( ) A ．8B ．12C ．16D ．24解析：选C 设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 2n －S n ＝q nS n ，所以S 10－S 5＝q 5S 5，所以6－2＝2q 5，所以q 5＝2，所以a 16＋a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝a 1q 15＋a 2q 15＋a 3q 15＋a 4q 15＋a 5q 15＝q 15(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5)＝q 15S 5＝23×2＝16.6．等比数列{a n }共有2n 项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________. 解析：设{a n }的公比为q ，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，偶数项之和与奇数项之和分别为S 偶，S 奇，由题意S 偶＋S 奇＝3S 奇，即S 偶＝2S 奇，因为数列{a n }的项数为偶数，所以q ＝S 偶S 奇＝2. 答案：27．等比数列{a n }中，若a 1＋a 3＋…＋a 99＝150，且公比q ＝2，则数列{a n }的前100项和为________．解析：由a 2＋a 4＋…＋a 100a 1＋a 3＋…＋a 99＝q ，q ＝2，得a 2＋a 4＋…＋a 100150＝2⇒a 2＋a 4＋…＋a 100＝300，则数列{a n }的前100项的和S 100＝(a 1＋a 3＋…＋a 99)＋(a 2＋a 4＋…＋a 100)＝150＋300＝450.答案：4508．设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________.解析：∵S 4＝a 1－q41－q，a 4＝a 1q 3，∴S 4a 4＝1－q 4q 3－q＝15. 答案：159．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 2＝6,6a 1＋a 3＝30，求a n 和S n .解：设{a n }的公比为q ，由题设得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＝6，6a 1＋a 1q 2＝30，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，q ＝3.当a 1＝3，q ＝2时，a n ＝3×2n －1，S n ＝3(2n－1)；当a 1＝2，q ＝3时，a n ＝2×3n －1，S n ＝3n－1.10．已知等比数列{a n }中，a 1＝13，公比q ＝13.(1)S n 为数列{a n }的前n 项和，证明：S n ＝1－a n2；(2)设b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ，求数列{b n }的通项公式．解：(1)证明：因为a n ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1＝13n ，S n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝1－13n 2，所以S n ＝1－a n2.(2)b n ＝log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a n ＝－(1＋2＋…＋n )＝－n n ＋2.所以{b n }的通项公式为b n ＝－n n ＋2.层级二应试能力达标1．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和，且8a 2＋a 5＝0，则S 5S 2等于( ) A ．11 B ．5 C ．－8D ．－11解析：选D 设{a n }的公比为q .因为8a 2＋a 5＝0. 所以8a 2＋a 2·q 3＝0.所以a 2(8＋q 3)＝0. 因为a 2≠0，所以q 3＝－8.所以q ＝－2.所以S 5S 2＝a 1－q51－qa 1－q 21－q＝1－q 51－q 2＝1＋321－4＝33－3＝－11. 故选D.2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.158解析：选C 由题意，q ≠1，由9S 3＝S 6，得9×a 1－q 31－q＝a 1－q 61－q，解得q ＝2，故a n ＝a 1qn －1＝2n －1，1a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以1为首项，12为公比的等比数列，其前5项和为1×⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1251－12＝3116.3．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝( ) A ．(2n－1)2B.13(4n－1)C.13(2n－1) D ．4n－1解析：选B 由a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n－1，得a 1＝1，a 2＝2，所以{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列，所以{a 2n }是以1为首项，4为公比的等比数列，所以a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝－4n1－4＝13(4n－1)． 4．一座七层的塔，每层所点的灯的盏数都等于上面一层的2倍，一共点381盏灯，则底层所点灯的盏数是( )A ．190B ．191C ．192D ．193解析：选C 设最下面一层灯的盏数为a 1，则公比q ＝12，n ＝7，由a 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫1271－12＝381，解得a 1＝192.5．设数列{a n }是首项为1，公比为－2的等比数列，则a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝________. 解析：依题意得a 1＝1，a 2＝－2，a 3＝4，a 4＝－8，所以a 1＋|a 2|＋a 3＋|a 4|＝15. 答案：156．设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N ＋)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，则数列{b n }的前n 项和T n ＝________.解析：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎪⎫n 2＋12n －[(n －1)2＋12(n －1)]＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N ＋)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝3n＋32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝－9n1－9＝9n ＋1－98. 答案：9n ＋1－987．已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{2a n }的前n 项和S n . 解：(1)由题设，知公差d ≠0，由a 1＝1，a 1，a 3，a 9成等比数列，得1＋2d 1＝1＋8d1＋2d，解得d ＝1，或d ＝0(舍去)．故{a n }的通项a n ＝1＋(n －1)×1＝n .(2)由(1)，知2a n ＝2n，由等比数列前n 项和公式，得S n ＝2＋22＋23＋ (2)＝－2n1－2＝2n ＋1－2.8．某地本年度旅游业收入估计为400万元，由于该地出台了一系列措施，进一步发展旅游业，预计今后旅游业的收入每年会比上一年增加14.(1)求n 年内旅游业的总收入；(2)试估计大约几年后，旅游业的总收入超过8 000万元．解：(1)设第n 年的旅游业收入估计为a n 万元，则a 1＝400，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14a n ＝54a n ， ∴a n ＋1a n ＝54，∴数列{a n }是公比为54的等比数列， ∴S n ＝a 1－qn1－q＝400⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫54n 1－54＝1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1，即n 年内旅游业总收入为1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1万元．(2)由(1)知S n ＝1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1，令S n >8 000，即1 600⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫54n －1>8 000，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫54n >6，∴lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫54n>lg 6， ∴n >lg 6lg54≈8.029 6. ∴大约第9年后，旅游业总收入超过8 000万元．。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测十七平面向量大体定理新人教B版必修4

① 与；② 与；③ 与；④― 与 .
A．①②B．①③
C．①④D．③④
解析：选B 寻觅不共线的向量组即可，在▱ABCD中，与不共线，与不共线；而 ∥ ， ∥ ，故①③可作为基底．
3．假设AD是△ABC的中线，已知＝a，＝b，那么以a，b为基底表示＝( )
A． (a－b)B． (a＋b)
课时跟踪检测（十七）平面向量大体定理
层级一学业水平达标
1．已知平行四边形ABCD中，P是对角线AC所在直线上一点，且＝t ＋(t－1) ，那么t＝( )
A．0B．1
C．－1D．任意实数
解析：选B ，，共始点，且P，A，C三点共线，因此t＋t－1＝1，故t＝1，应选B.
2．设点O是▱ABCD两对角线的交点，以下的向量组中可作为那个平行四边形所在平面上表示其他所有向量的基底的是( )
C． (b－a)D． b＋a
解析：选B 如图，AD是△ABC的中线，那么D为线段BC的中点，从而＝，即－＝－，从而＝ ( ＋ )＝ (a＋b)．
4．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，假设＝e1，＝e2，那么＝( )
A． (e1＋e2)B． (e1－e2)
C． (2e2－e1)D． (e2－e1)
＝－＝ b－a.
∴ ＝－＝－
＝ (a＋b)－a＝ b－ a
＝＝ .
∴G在BE上，同理可证＝，
即G在CF上．
故AD，BE，CF三线交于同一点．
层级二应试能力达标
1．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2 ，设＝a，＝b，那么可用基底a，b表示为( )
A. (a＋b)B. a＋ b
解析：∵a，b是一组基底，∴a与b不共线，

2017-2018学年高中数学课时作业21 基本不等式的应用习题课新人教A版必修5

(1)试用x，y表示S；
(2)若要使S最大，则x，y的值各为多少？
解析：(1)由题可得，xy＝1 800，b＝2a，则y＝a＋b＋6＝3a＋6，
S＝(x－4)a＋(x－6)b＝(3x－16)a＝
(3x－16) ＝1 832－6x－ y(x>6，y>6，xy＝1 800)．
(2)法一S＝1 832－6x－ y≤1 832－2 ＝1 832－480＝1 352，
答案：A
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．(山东卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．
解析：由题设可得＋＝1，∵a>0，b>0，
∴2a＋b＝(2a＋b) ＝2＋＋＋2
≥4＋2 ＝8
.
故2a＋b的最小值为8.
答案：8
7．(安徽淮北二模)已知正数x，y满足x＋2y－2xy＝0，那么2x＋y的最小值是________．
13．已知x>0，y>0，且3x＋4y＝12，求lgx＋lgy的最大值及相应的x，y的值．
解析：由x>0，y>0，且3x＋4y＝12，得xy＝ ·(3x)·(4y)≤ 2＝3.
所以lgx＋lgy＝lg(xy)≤lg3，当且仅当3x＝4y＝6，即x＝2，y＝时，等号成立．故当x＝2，y＝时，lgx＋lgy的最大值是lg3.
∵x>0，y>0，∴ ＋＝(x＋3y) ＝2＋＋ ≥2＋2 ＝4，当且仅当x＝3y＝时取等号．所以＋的最小值为4.故选C.
答案：C
5．(河南平顶山一模)若对于任意的x>0，不等式 ≤a恒成立，则实数a的取值范围是()
A．a≥ B．a>

2017-2018学年高中数学北师大版必修5：课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十七）基本不等式层级一学业水平达标1．设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则t 与s 的大小关系是( )A ．s ≥tB ．s >tC ．s ≤tD ．s <t解析：选A ∵b 2＋1≥2b ，∴a ＋2b ≤a ＋b 2＋1.2．已知f (x )＝x ＋1x －2(x ＜0)，则f (x )有( )A ．最大值为0B ．最小值为0C ．最大值为－4D ．最小值为－4解析：选C ∵x ＜0，∴f (x )＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋1(－x )－2≤－2－2＝－4，当且仅当－x ＝1－x，即x ＝－1时取等号． 3．下列不等式一定成立的是( )A ．lg ⎝⎛⎭⎫x 2＋14>lg x (x >0) B ．sin x ＋1sin x≥2(x ≠k π，k ∈Z) C ．x 2＋1≥2|x |(x ∈R)D.1x 2＋1>1(x ∈R) 解析：选C A 中x ＝12时，不等式不成立；B 中sin x 不总大于0；D 中，x ＝0时，不等式不成立．故选C.4．已知x >0，若x ＋81x 的值最小，则x 为( )A ．81B ．9C ．3D ．16解析：选B 因为x >0，所以x ＋81x ≥2x ·81x ＝18，当且仅当x ＝81x ，即x ＝9时等号成立．5．已知x ，y ∈R ，下列不等关系中正确的是( )A ．x 2＋y 2≥2|xy |B ．x 2＋y 2≤2|xy |C ．x 2＋y 2>2|xy |D ．x 2＋y 2<2|xy |解析：选A x 2＋y 2＝|x |2＋|y |2≥2|x ||y |＝2|xy |. 当且仅当|x |＝|y |时等号成立．6．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②x 2＋3x 2≥23；③a ＋b ab≤2；④x 2＋1x 2＋1≥1.其中正确命题的序号是________．解析：由基本不等式可知②④正确．答案：②④7．已知a >1，b >1，则log a b ＋log b a ________2(填“≥”“＝”或“≤”)．解析：∵a >1，b >1，∴log a b >0，log b a >0，∴log a b ＋log b a ＝log a b ＋1log a b≥2. 答案： ≥8．已知a ＞b ＞c ，则(a －b )(b －c )与a －c 2的大小关系是________．解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，∴a －c 2＝(a －b )＋(b －c )2≥(a －b )(b －c ). 答案：(a －b )(b －c )≤a －c 29．已知x <0，求证：x ＋4x≤－4. 证明：由x <0，得－x >0，∴(－x )＋4(－x )≥2(－x )×4(－x )＝4， ∴x ＋4x ＝－⎣⎡⎦⎤(－x )＋4(－x )≤－4. 10．已知a ，b ，c 均为正实数，求证：2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c≥3. 证明：∵a ，b ，c 均为正实数，∴2b a ＋a 2b≥2(当且仅当a ＝2b 时等号成立)， 3c a ＋a3c ≥2(当且仅当a ＝3c 时等号成立)，3c 2b ＋2b 3c≥2(当且仅当2b ＝3c 时等号成立)，将上述三式相加得⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b ＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c ＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c ≥6(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫2b a ＋a 2b －1＋⎝⎛⎭⎫3c a ＋a 3c －1＋⎝⎛⎭⎫3c 2b ＋2b 3c －1≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)，即2b ＋3c －a a ＋a ＋3c －2b 2b ＋a ＋2b －3c 3c ≥3(当且仅当a ＝2b ＝3c 时等号成立)．层级二应试能力达标1．下列命题：①x ＋1x ≥2(x <0)，②⎪⎪⎪⎪x ＋1x ≥2，③x 2＋1＋1x 2＋1≥2.其中正确的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C ①错误，x <0时，x ＋1x 是负数；②正确，分x <0和x >0两种情形证明；③正确，直接利用基本不等式．2．四个不相等的正数a ，b ，c ，d 成等差数列，则( ) A.a ＋d 2>bc B.a ＋d 2<bc C.a ＋d 2＝bc D.a ＋d 2≤bc 解析：选A 因为a ，b ，c ，d 成等差数列，则a ＋d ＝b ＋c ，又因为a ，b ，c ，d 均大于0且不相等，所以b ＋c >2bc ，故a ＋d 2>bc . 3．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ，a ，b 为正实数，A ＝f ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，G ＝f (ab )，H ＝f ⎝⎛⎭⎫2ab a ＋b ，则A ，G ，H 的大小关系是( )A ．A ≤G ≤HB ．A ≤H ≤GC ．G ≤H ≤AD ．H ≤G ≤A 解析：选A ∵a >0，b >0，∴a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b＝2ab a ＋b.当且仅当a ＝b 时等号成立，又∵函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 是减函数，∴A ≤G ≤H .4．设a ，b 是正实数，且a ＋b ＝4，则有( )A.1ab ≥12B. 1a ＋1b ≥1C.ab ≥2D. 1a 2＋b 2≥14 解析：选B 由a >0，b >0，且a ＋b ＝4得2ab ≤4⇔ab ≤2，1ab ≥14，1a ＋1b ＝4ab≥1. 又由1a 2＋b 2≤1⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，即1a 2＋b 2≤14. 由此可知，A ，C ，D 都不正确，只有B 正确．5．已知m ＝a ＋1a －2(a ＞2)，n ＝22－b 2(b ≠0)，则m ，n 之间的大小关系是________．解析：m ＝a ＋1a －2＝(a －2)＋1a －2＋2， ∵a ＞2，∴a －2＞0，∴m ≥2 (a －2)·1a －2＋2＝4，即m ∈[4，＋∞)．∵b ≠0，∴b 2≠0，∴2－b 2＜2，∴22－b 2＜4，即n ＜4，∴m ＞n .答案：m ＞n6．若a ，b 是两个实数且a ＋2b ＝4，则2a ＋4b ________8.(填“≥”“＝”或“≤”) 解析：利用基本不等式，得2a ＋22b ≥22a ×22b ＝8.答案：≥7．已知a ，b 都是正数，且a ＋b ＝1，求证：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 证明：法一：∵a >0，b >0，且a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b a ·⎝⎛⎭⎫1＋a ＋b b ＝⎝⎛⎭⎫2＋b a ·⎝⎛⎭⎫2＋a b ＝5＋2⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ≥5＋4b a ·a b ＝9.当且仅当b a ＝a b，即a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥9. 法二：⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋1b ＋1a ＋1ab ＝1＋a ＋b ab ＋1ab .∵a ＋b ＝1，∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ＝1＋2ab. 又∵a ，b >0，∴ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14.∴1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取“＝”号． ∴⎝⎛⎭⎫1＋1a ⎝⎛⎭⎫1＋1b ≥1＋2×4＝9.8．若0＜x ＜1，a ＞0，b ＞0. 求证：a 2x ＋b 21－x≥(a ＋b )2. 证明：左边＝[x ＋(1－x )]⎝⎛⎭⎫a 2x ＋b 21－x ＝a 2＋b 2＋x 1－xb 2＋1－x x a 2 ≥a 2＋b 2＋2x 1－x b 2·1－x x a 2 ＝a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2＝右边，当且仅当x 1－xb 2＝1－x x a 2，即x ＝a a ＋b 时等号成立， ∴a 2x ＋b 21－x≥(a ＋b )2.。

2017-2018学年高中数学人教B版必修1课时跟踪检测十七指数函数及其性质精品

课时跟踪检测（十七）指数函数及其性质层级一学业水平达标1．下列函数中，指数函数的个数为( )①y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1；②y ＝a x (a >0，且a ≠1)；③y ＝1x；④y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122x－1.A ．0B ．1C ．3D ．4解析：选B 由指数函数的定义可判定，只有②正确． 2．函数y ＝2x－1的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．(－∞，0] C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：选C 由2x－1≥0，得2x≥20，∴x ≥0. 3．当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x ＋1－1的图象一定过点( )A ．(0,1)B ．(0，－1)C ．(－1,0)D ．(1,0)解析：选C 当x ＝－1时，显然f (x )＝0，因此图象必过点(－1,0)． 4．函数f (x )＝a x与g (x )＝－x ＋a 的图象大致是( )解析：选A 当a ＞1时，函数f (x )＝a x单调递增，当x ＝0时，g (0)＝a ＞1，此时两函数的图象大致为选项A.5．指数函数y ＝a x与y ＝b x的图象如图，则( )A ． a ＜0，b ＜0B ．a ＜0，b ＞0C ．0＜a ＜1，b ＞1D ．0＜a ＜1,0＜b ＜1解析：选C 由图象知，函数y ＝a x在R 上单调递减，故0＜a ＜1；函数y ＝b x在R 上单调递增，故b ＞1.6．若函数f (x )＝(a 2－2a ＋2)(a ＋1)x是指数函数，则a ＝______.解析：由指数函数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a ＋2＝1，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝1.答案：17．已知函数f (x )＝a x＋b (a ＞0，且a ≠1)，经过点(－1,5)，(0,4)，则f (－2)的值为______．解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a －1＋b ＝5，a 0＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝3，所以f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3，所以f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＋3＝4＋3＝7.答案：78．若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ＜0，－2－x，x ＞0，则函数f (x )的值域是________．解析：由x ＜0，得0＜2x＜1；由x ＞0，∴－x ＜0,0＜2－x＜1，∴－1＜－2－x＜0.∴函数f (x )的值域为(－1,0)∪(0,1)．答案：(－1,0)∪(0,1)9．求下列函数的定义域和值域：(1)y ＝2x1－1；(2) y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－.解：(1)要使y ＝2x 1－1有意义，需x ≠0，则2x 1＞0且2x 1≠1，故2x 1－1＞－1且2x1－1≠0，故函数y ＝2x1－1的定义域为{x |x ≠0}，函数的值域为(－1,0)∪(0，＋∞)．(2)函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－的定义域为实数集R ，由于2x 2≥0，则2x 2－2≥－2，故0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－≤9，所以函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 222－的值域为(0,9]．10．已知函数f (x )＝a x －1(x ≥0)的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，其中a ＞0且a ≠1. (1)求a 的值．(2)求函数y ＝f (x )(x ≥0)的值域．解：(1)函数图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以a 2－1＝12，则a ＝12.(2)由(1)知函数为f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1(x ≥0)，由x ≥0，得x －1≥－1.于是0＜⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＝2，所以函数的值域为(0,2]．层级二应试能力达标1．函数y ＝16－4x的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0,4] C ．[0,4)D ．(0,4)解析：选C 要使函数式有意义，则16－4x≥0.又因为4x＞0，∴0≤16－4x＜16，即函数y ＝ 16－4x 的值域为[0,4)．2．函数y ＝2x －1x－1的定义域、值域分别是( ) A ．R ，(0，＋∞)B ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1}C ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠1}D ．{x |x ≠0}，{y |y ＞－1，且y ≠0} 解析：选C 要使y ＝2x －1x －1有意义，只需x －1x 有意义，即x ≠0.若令u ＝x －1x ＝1－1x，则可知u ≠1，∴y ≠21－1＝1.又∵y ＝2x －1x －1＞0－1＝－1，∴函数y ＝2x －1x－1的定义域为{x |x ≠0}，值域为{y |y ＞－1，且y ≠1}．3．函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝－x 对称解析：选C 设点(x ，y )为函数f (x )＝πx的图象上任意一点，则点(－x ，y )为g (x )＝π－x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象上的点．因为点(x ，y )与点(－x ，y )关于y 轴对称，所以函数f (x )＝πx与g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1πx 的图象关于y 轴对称，选C.4．已知1＞n ＞m ＞0，则指数函数①y ＝m x，②y ＝n x的图象为( )解析：选C 由于0＜m ＜n ＜1，所以y ＝m x与y ＝n x都是减函数，故排除A 、B ，作直线x ＝1与两个曲线相交，交点在下面的是函数y ＝m x 的图象，故选C.5．已知函数f (x )是指数函数，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525，则f (x )＝________.解析：设f (x )＝a x(a ＞0，且a ≠1)，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝525得，a －32＝512－2＝5－32，∴a ＝5，∴f (x )＝5x .答案：5x6．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．解析：作出y ＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.答案：[1，＋∞)∪{0}7．已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13|x |－1.(1)作出f (x )的简图；(2)若关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解，求m 的取值范围．解：(1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －1，x ≥0，3x －1，x ＜0，如图所示．(2)作出直线y ＝3m ，当－1＜3m ＜0时，即－13＜m ＜0时，函数y ＝f (x )与y ＝3m 有两个交点，即关于x 的方程f (x )＝3m 有两个解．8．已知－1≤x ≤2，求函数f (x )＝3＋2×3x ＋1－9x的最大值和最小值．解：设t ＝3x ，∵－1≤x ≤2，∴13≤t ≤9，则f (x )＝g (t )＝－(t －3)2＋12，故当t ＝3，即x ＝1时，f (x )取得最大值12；当t ＝9，即x ＝2时，f (x )取得最小值－24.。

2017-2018学年高中数学选修4-5课时跟踪检测1 不等式的

课时跟踪检测(一) 不等式的基本性质1．下列命题中不．正确的是( ) A ．若3a >3b ，则a >b B ．若a >b ，c >d ，则a －d >b －c C ．若a >b >0，c >d >0，则a d >b cD ．若a >b >0，ac >bd ，则c >d解析：选D 当a >b >0，ac >ad 时，c ，d 的大小关系不确定． 2．已知a >b >c ，则下列不等式正确的是( ) A ．ac >bc B ．ac 2>bc 2C ．b (a －b )>c (a －b )D ．|ac |>|bc |解析：选C a >b >c ⇒a －b >0⇒(a －b )b >(a －b )c . 3．如果a 0，ab >0，故1a －1b ＝b －a ab >0，1a >1b，故A 项错误；对于B 项，由a 0，ab >b 2，故B 项错误；对于C 项，由a 0，a 2>ab ，即－ab >－a 2，故C 项错误；对于D 项，由a 0，故－1a －⎝ ⎛⎭⎪⎫－1b ＝a －b ab <0，－1a <－1b成立，故D 项正确．4．若a ＞0＞b ＞－a ，c ＜d ＜0，则下列结论：①ad ＞bc ；②a d ＋bc＜0；③a －c ＞b －d ；④a (d －c )＞b (d －c )中，成立的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选C ∵a ＞0＞b ，c ＜d ＜0，∴ad ＜0，bc ＞0，∴ad ＜bc ，故①不成立．∵a ＞0＞b ＞－a ，∴a ＞－b ＞0，∵c ＜d ＜0，∴－c ＞－d ＞0，∴a (－c )＞(－b )(－d )，∴ac ＋bd ＜0，∴a d ＋b c ＝ac ＋bdcd＜0，故②成立．∵c ＜d ，∴－c ＞－d ，∵a ＞b ，∴a ＋(－c )＞b ＋(－d )，a －c ＞b －d ，故③成立．∵a ＞b ，d －c ＞0，∴a (d －c )＞b (d －c )，故④成立．成立的个数为3.5．给出四个条件：①b >0>a ；②0>a >b ；③a >0>b ；④a >b >0. 能得出1a ＜1b成立的有________(填序号)．解析：由1a <1b ，得1a －1b <0，b －a ab <0，故①②④可推得1a <1b成立．答案：①②④6．设a >b >1，c <0，给出下列三个结论：①c a >c b；②a c log a (b －c )．其中所有的正确结论的序号是________．解析：由a >b >1，c <0，得1a <1b ，c a >c b；幂函数y ＝x c (c <0)是减函数，所以a c b －c ，所以log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，①②③均正确．答案：①②③7．已知－1<x ＋y <4且2<x －y <3，则z ＝2x －3y 的取值范围是________．解析：设z ＝2x －3y ＝m (x ＋y )＋n (x －y )，即2x －3y ＝(m ＋n )x ＋(m －n )y .∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝2，m －n ＝－3.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－12，n ＝52.∴2x －3y ＝－12(x ＋y )＋52(x －y )．∵－1<x ＋y <4,2<x －y <3，∴－2<－12(x ＋y )<12，5<52(x －y )<152.由不等式同向可加性，得3<－12(x ＋y )＋52(x －y )<8，即3<z <8.答案：(3,8)8．若a >0，b >0，求证：b 2a ＋a 2b≥a ＋b .证明：∵b 2a ＋a 2b －a －b ＝(a －b )⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －b a ＝ a －b 2 a ＋b ab ，(a －b )2≥0恒成立，且已知a ＞0，b ＞0， ∴a ＋b >0，ab >0.∴a －b 2a ＋bab≥0.∴b 2a ＋a 2b≥a ＋b .9．已知－6<a <8,2<b <3，分别求2a ＋b ，a －b ，a b的取值范围．解：∵－6<a <8，∴－12<2a <16. 又20，a ≠1. (1)比较下列各式大小．①a 2＋1与a ＋a ；②a 3＋1与a 2＋a ； ③a 5＋1与a 3＋a 2.(2)探讨在m ，n ∈N ＋条件下，am ＋n＋1与a m ＋a n的大小关系，并加以证明．解：(1)由题意，知a >0，a ≠1，①a 2＋1－(a ＋a )＝a 2＋1－2a ＝(a －1)2>0. ∴a 2＋1>a ＋a .②a 3＋1－(a 2＋a )＝a 2(a －1)－(a －1) ＝(a ＋1)(a －1)2＞0，∴a 3＋1>a 2＋a ， ③a 5＋1－(a 3＋a 2)＝a 3(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 2－1)(a 3－1)．当a >1时，a 3>1，a 2>1，∴(a 2－1)(a 3－1)>0. 当0<a <1时，0<a 3<1,0<a 2<1， ∴(a 2－1)(a 3－1)>0，即a 5＋1>a 3＋a 2. (2)根据(1)可得am ＋n＋1＞a m ＋a n.证明如下：a m ＋n ＋1－(a m ＋a n )＝a m (a n －1)＋(1－a n )＝(a m －1)(a n －1)．当a >1时，a m>1，a n>1，∴(a m－1)(a n－1)>0. 当0<a <1时，0<a m<1,0<a n<1， ∴(a m－1)(a n－1)>0.综上可知(a m－1)(a n－1)>0，即a m ＋n＋1>a m ＋a n.。

2017-2018学年高中数学课时跟踪检测(八)等差数列的前n项和新人教B版必修5

课时跟踪检测（八）等差数列的前n 项和层级一学业水平达标1．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2－3n ，则{a n }的前n 项和S n 等于( ) A ．－32n 2＋n2B ．－32n 2－n2C.32n 2＋n 2D.32n 2－n 2解析：选A ∵a n ＝2－3n ，∴a 1＝2－3＝－1，∴S n ＝n －1＋2－3n2＝－32n 2＋n2.2．若等差数列{a n }的前5项的和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7等于( ) A ．12 B ．13 C ．14D ．15解析：选B ∵S 5＝5a 3＝25，∴a 3＝5. ∴d ＝a 3－a 2＝5－3＝2.∴a 7＝a 2＋5d ＝3＋10＝13.故选B.3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36D ．27 解析：选B ∵a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，而由等差数列的性质可知，S 3，S 6－S 3，S 9－S 6构成等差数列，所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝2×36－3×9＝45.4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n,7a 5＋5a 9＝0，且a 9>a 5，则S n 取得最小值时n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8解析：选B 由7a 5＋5a 9＝0，得a 1d ＝－173.又a 9>a 5，所以d >0，a 1<0.因为函数y ＝d 2x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫a 1－d 2x 的图象的对称轴为x ＝12－a 1d ＝12＋173＝376，取最接近的整数6，故S n 取得最小值时n 的值为6.5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 5a 3＝59，则S 9S 5等于( )A ．1B ．－1C ．2D.12解析：选A S 9S 5＝92a 1＋a952a 1＋a5＝9×2a 55×2a 3＝9a 55a 3＝95×59＝1. 6．若等差数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，则该数列的公差为________．解析：数列{a n }的前n 项和为S n ＝An 2＋Bn ，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝An 2＋Bn －A (n －1)2－B (n －1)＝2An ＋B －A ，当n ＝1时满足，所以d ＝2A .答案：2A7．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S m ＝－2，S m ＋1＝0，S m ＋2＝3，则m ＝________. 解析：因为S n 是等差数列{a n }的前n 项和，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，所以S m m ＋S m ＋2m ＋2＝2S m ＋1m ＋1，即－2m ＋3m ＋2＝0，解得m ＝4. 答案：48．设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是______，项数是______．解析：设等差数列{a n }的项数为2n ＋1，S 奇＝a 1＋a 3＋…＋a 2n ＋1＝n ＋a 1＋a 2n ＋12＝(n ＋1)a n ＋1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝n a 2＋a 2n2＝na n ＋1，所以S 奇S 偶＝n ＋1n ＝4433，解得n ＝3，所以项数2n ＋1＝7， S 奇－S 偶＝a n ＋1，即a 4＝44－33＝11为所求中间项．答案：11 79．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，求数列{a n }的通项公式．解：由已知条件，可得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1.当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n ＋1－1)－(2n －1)＝2n，又当n ＝1时，3≠21，故a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧3，n ＝1，2n，n ≥2.10．在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取得最小值．解：(1)设{a n }的首项、公差分别为a 1，d . 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝18，a 1＋2d ＝－3，解得a 1＝－9，d ＝3， ∴a n ＝3n －12. (2)S n ＝n a 1＋a n2＝12(3n 2－21n ) ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫n －722－1478，∴当n ＝3或4时，前n 项的和取得最小值为－18.层级二应试能力达标1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝( ) A ．12 B ．14 C ．16D ．18解析：选B 因为S n －S n －4＝a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40，所以4(a 1＋a n )＝120，a 1＋a n ＝30，由S n ＝n a 1＋a n2＝210，得n ＝14.2．在等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，且S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，则正整数k 为( ) A ．2 014 B ．2 015 C ．2 016D ．2 017解析：选C 因为等差数列的前n 项和S n 是关于n 的二次函数，所以由二次函数的对称性及S 2 011＝S 2 014，S k ＝S 2 009，可得2 011＋2 0142＝2 009＋k2，解得k ＝2 016.故选C.3．若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N ＋)，则数列{a n }的前n 项和数值最大时，n 的值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎪⎨⎪⎧22－3k ≥0，22－k ＋，所以193≤k ≤223.因为k ∈N ＋，所以k ＝7. 故满足条件的n 的值为7.4．已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则使得a nb n为整数的正整数n 的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选 D ∵a nb n ＝a 1＋a 2n －12b 1＋b 2n －12＝a 1＋a 2n －12n －b 1＋b 2n －12n －＝A 2n －1B 2n －1＝n －＋452n －1＋3＝14n ＋382n ＋2＝7＋12n ＋1，∴当n 取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n 的个数是5. 5．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________．解析：由a 203＋a 204>0⇒a 1＋a 406>0⇒S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4056．在等差数列{a n }中，a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，则满足S n <0的n 的最大值为________．解析：因为a 10<0，a 11>0，且a 11>|a 10|，所以a 11>－a 10，a 1＋a 20＝a 10＋a 11>0，所以S 20＝a 1＋a 202>0.又因为a 10＋a 10<0，所以S 19＝a 10＋a 102＝19a 10<0，故满足S n <0的n 的最大值为19. 答案：197．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若b n ＝S nn ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，求c 的值．解：(1)∵S 4＝28，∴a 1＋a 42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14，又a 2a 3＝45，公差d >0， ∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S nn ＋c ＝2n 2－nn ＋c，∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c .又{b n }也是等差数列， ∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c ，解得c ＝－12(c ＝0舍去)．8．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22. (1)数列{a n }前多少项和最大？ (2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53. 令a n >0，得n <533，∴当n ≤17，n ∈N ＋时，a n >0；当n ≥18，n ∈N ＋时，a n <0， ∴{a n }的前17项和最大． (2)当n ≤17，n ∈N ＋时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n n －2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N ＋时， |a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×172＋1032×17－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N ＋，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N＋.。

2017_2018学年高中数学课时跟踪检测八等差数列的前n项和新人教B版必修5

A．2B．3
C．4D．5
解析：选D∵ ＝＝＝＝＝＝7＋，∴当n取1,2,3,5,11时，符合条件，∴符合条件的n的个数是5.
5．假设数列{an}是等差数列，首项a1<0，a203＋a204>0，a203·a204<0，那么使前n项和Sn<0的最大自然数n是________．
解析：由a203＋a204>0⇒a1＋a406>0⇒S406>0，又由a1<0且a203·a204<0，知a203<0，a204>0，因此公差d>0，那么数列{an}的前203项都是负数，那么2a203＝a1＋a405<0，因此S405<0，因此使前n项和Sn<0的最大自然数n＝405.
5．设Sn是等差数列{an}的前n项和，假设＝，那么等于( )
A．1B．－1
C．2D.
解析：选A ＝＝
＝＝ × ＝1.
6．假设等差数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，那么该数列的公差为________．
解析：数列{an}的前n项和为Sn＝An2＋Bn，因此当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝An2＋Bn－A(n－1)2－B(n－1)＝2An＋B－A，当n＝1时知足，因此d＝2A.
A．12B．14
C．16D．18
解析：选B 因为Sn－Sn－4＝an＋an－1＋an－2＋an－3＝80，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝40，因此4(a1＋an)＝120，a1＋an＝30，由Sn＝＝210，得n＝14.
2．在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 011＝S2 014，Sk＝S2 009，那么正整数k为( )
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,7a5＋5a9＝0，且a9>a5，那么Sn取得最小值时n的值为( )

2017-2018学年高中数学选修4-5课时跟踪检测2 基本不等式含答案精品

课时跟踪检测(二) 基本不等式1．下列不等式中，正确的个数是( )①若a ，b ∈R ，则a ＋b 2≥ab ； ②若x ∈R ，则x 2＋2＋1x 2＋2≥2； ③若x ∈R ，则x 2＋1＋1x 2＋1≥2； ④若a ，b 为正实数，则a ＋b2≥ab .A ．0B ．1C ．2D ．3解析：选C 显然①不正确，③正确；虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2>2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4. 2．已知a >0，b >0，a ，b 的等差中项是12，且α＝a ＋1a ，β＝b ＋1b，则α＋β的最小值是( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C ∵a ＋b ＝2×12＝1，a >0，b >0， ∴α＋β＝a ＋1a ＋b ＋1b ＝1＋1ab ≥1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＝5，当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立． 3．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意的正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8解析：选B (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋y x ＋ax y≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2(x ，y ，a >0)，当且仅当y ＝ax 时取等号，所以(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y 的最小值为(a ＋1)2，于是(a ＋1)2≥9恒成立，所以a ≥4，故选B.4．要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是( ) A．80元B．120元C．160元D．240元解析：选C 设底面矩形的长和宽分别为a m，b m，则ab＝4.容器的总造价为20ab＋2(a＋b)×10＝80＋20(a＋b)≥80＋40ab＝160(元)(当且仅当a＝b＝2时，等号成立)．5．已知函数f(x)＝4x＋ax(x＞0，a＞0)在x＝3时取得最小值，则a＝________.解析：∵x＞0，a＞0，∴f(x)＝4x＋ax≥24x·ax＝4a，当且仅当4x＝ax时等号成立，此时a＝4x2，由已知x＝3时函数取得最小值，∴a＝4×9＝36.答案：366．若log2x＋log2y＝4，则x＋y的最小值是________．解析：由题意知x>0，y>0，log2xy＝4，得xy＝4，∴x＋y≥2xy＝4(当且仅当x＝y时，等号成立)．答案：47．y＝3＋x＋x2x＋1(x>0)的最小值是________．解析：∵x>0，∴y＝3＋x＋x2x＋1＝3x＋1＋x＋1－1≥23－1.当且仅当x＋1＝3时，等号成立．答案：23－18．已知a，b是正数，求证：(1) a2＋b22≥a＋b2；(2)ab≥21a＋1b.证明：(1)左边＝a2＋b2＋a2＋b24≥ a2＋b2＋2ab4＝a＋b24＝a＋b2＝右边，原不等式成立．(2)右边＝21a ＋1b ≤221ab＝ab ＝左边，原不等式成立． 9．设x >0，y >0且x ＋y ＝4，要使不等式1x ＋4y≥m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：由x >0，y >0且x ＋y ＝4，得x ＋y 4＝1， ∴1x ＋4y ＝x ＋y 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋y x ＋4x y ＋4 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y ≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ·4x y ＝94. 当且仅当y x ＝4x y 时，等号成立．即y ＝2x (∵x >0，y >0，∴y ＝－2x 舍去)．此时，结合x ＋y ＝4，解得x ＝43，y ＝83. ∴1x ＋4y 的最小值为94，∴m ≤94， ∴m 的取值范围为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，94.10．如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2(k ＞0)表示的曲线上，其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹落地点的横坐标．(1)求炮的最大射程．(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由．解：(1)令y＝0，得kx－120(1＋k2)x2＝0.由实际意义和题设条件知x＞0，k＞0，故x＝20k1＋k2＝20k＋1k≤202＝10，当且仅当k＝1时取等号．所以炮的最大射程为10千米．(2)因为a＞0，所以炮弹可击中飞行物，即存在k＞0，使3.2＝ka－120(1＋k2)a2成立，即关于k的方程a2k2－20ak＋a2＋64＝0有正根⇒Δ＝(－20a)2－4a2(a2＋64)≥0⇒a≤6.所以当a不超过6(千米)时，可击中飞行物．。

2017-2018学年高中数学人教B版必修5 课时跟踪检测十

课时跟踪检测（十）等比数列的性质层级一学业水平达标1．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12D ．24解析：选A 由题意知(3x ＋3)2＝x (6x ＋6)，即x 2＋4x ＋3＝0，解得x ＝－3或x ＝－1(舍去)，所以等比数列的前3项是－3，－6，－12，则第四项为－24.2．对任意等比数列{a n }，下列说法一定正确的是( ) A ．a 1，a 3，a 9成等比数列 B ．a 2，a 3，a 6成等比数列 C ．a 2，a 4，a 8成等比数列D ．a 3，a 6，a 9成等比数列解析：选D 设等比数列的公比为q ，因为a 6a 3＝a 9a 6＝q 3，即a 26＝a 3a 9，所以a 3，a 6，a 9成等比数列．故选D.3．在正项等比数列{a n }中，a n ＋1<a n ，a 2·a 8＝6，a 4＋a 6＝5，则a 5a 7等于( ) A.56 B.65C.23D.32解析：选D 设公比为q ，则由等比数列{a n }各项为正数且a n ＋1<a n 知0<q <1，由a 2·a 8＝6，得a 25＝6.∴a 5＝6，a 4＋a 6＝6q＋6q ＝5.解得q ＝26，∴a 5a 7＝1q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32.4．已知公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一个等比数列，则该等比数列的公比q 为( )A.13 B ．3 C ．±13D ．±3解析：选B 设等差数列为{a n }，公差为d ，d ≠0. 则a 23＝a 2·a 6，∴(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )·(a 1＋5d )，化简得d 2＝－2a 1d ， ∵d ≠0，∴d ＝－2a 1，∴a 2＝－a 1，a 3＝－3a 1，∴q ＝a 3a 2＝3.5．已知各项均为正数的等比数列{a n }中，lg(a 3a 8a 13)＝6，则a 1·a 15的值为( ) A ．100 B ．－100 C ．10 000D ．－10 000解析：选C ∵a 3a 8a 13＝a 38，∴lg(a 3a 8a 13)＝lg a 38＝3lg a 8＝6.∴a 8＝100.又a 1a 15＝a 28＝10 000，故选C.6．在3和一个未知数间填上一个数，使三数成等差数列，若中间项减去6，成等比数列，则此未知数是________．解析：设此三数为3，a ，b ，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝3＋b ，a －2＝3b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝15，b ＝27.所以这个未知数为3或27.答案：3或277．设数列{a n }为公比q >1的等比数列，若a 4，a 5是方程4x 2－8x ＋3＝0的两根，则a 6＋a 7＝________.解析：由题意得a 4＝12，a 5＝32，∴q ＝a 5a 4＝3.∴a 6＋a 7＝(a 4＋a 5)q 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋32×32＝18.答案：188．画一个边长为2厘米的正方形，再以这个正方形的对角线为边画第2个正方形，以第2个正方形的对角线为边画第3个正方形，这样一共画了10个正方形，则第10个正方形的面积等于________平方厘米．解析：这10个正方形的边长构成以2为首项，2为公比的等比数列{a n }(1≤n ≤10，n ∈N ＋)，则第10个正方形的面积S ＝a 210＝22·29＝211＝2 048. 答案：2 0489．在由实数组成的等比数列{a n }中，a 3＋a 7＋a 11＝28，a 2·a 7·a 12＝512，求q . 解：法一：由条件得⎩⎪⎨⎪⎧a 7q －4＋a 7＋a 7q 4＝28， ①a 7q －5·a 7·a 7q 5＝512， ②由②得a 37＝512，即a 7＝8. 将其代入①得2q 8－5q 4＋2＝0.解得q 4＝12或q 4＝2，即q ＝±142或q ＝±42.法二：∵a 3a 11＝a 2a 12＝a 27， ∴a 37＝512，即a 7＝8.于是有⎩⎪⎨⎪⎧a 3＋a 11＝20，a 3a 11＝64，即a 3和a 11是方程x 2－20x ＋64＝0的两根，解此方程得x ＝4或x ＝16.因此⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝4，a 11＝16或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝16，a 11＝4.又∵a 11＝a 3·q 8， ∴q ＝±⎝⎛⎭⎪⎫a 11a 318＝±418＝±42或q ＝±⎝ ⎛⎭⎪⎫1418＝±142.10．在正项等比数列{a n }中，a 1a 5－2a 3a 5＋a 3a 7＝36，a 2a 4＋2a 2a 6＋a 4a 6＝100，求数列{a n }的通项公式．解：∵a 1a 5＝a 23，a 3a 7＝a 25， ∴由题意，得a 23－2a 3a 5＋a 25＝36，同理得a 23＋2a 3a 5＋a 25＝100，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 52＝36，a 3＋a 52＝100.即⎩⎪⎨⎪⎧a 3－a 5＝±6，a 3＋a 5＝10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝2，a 5＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝8，a 5＝2.分别解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，q ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝32，q ＝12.∴a n ＝2n －2或a n ＝26－n.层级二应试能力达标1．在等比数列{a n }中，T n 表示前n 项的积，若T 5＝1，则( ) A ．a 1＝1 B ．a 3＝1 C ．a 4＝1D ．a 5＝1解析：选B 由题意，可得a 1·a 2·a 3·a 4·a 5＝1，即(a 1·a 5)·(a 2·a 4)·a 3＝1，又a 1·a 5＝a 2·a 4＝a 23，所以a 53＝1，得a 3＝1.2．已知等比数列{a n }中，a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且b 7＝a 7，则b 5＋b 9等于( ) A ．2B ．4C ．8D ．16解析：选C 等比数列{a n }中，a 3a 11＝a 27＝4a 7，解得a 7＝4，等差数列{b n }中，b 5＋b 9＝2b 7＝2a 7＝8.3．已知数列{a n }为等差数列，a 1，a 2，a 3成等比数列，a 1＝1，则a 2 016＝( ) A ．5 B ．1 C ．0D ．－1解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，则由a 1，a 2，a 3成等比数列得(1＋d )2＝1＋2d ，解得d ＝0，所以a 2 016＝a 1＝1.4．设各项为正数的等比数列{a n }中，公比q ＝2，且a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230，则a 3·a 6·a 9·…·a 30＝( )A ．230B ．210C ．220D ．215解析：选C ∵a 1·a 2·a 3·…·a 30＝230， ∴a 301·q1＋2＋3＋…＋29＝a 301·q29×302＝230， ∴a 1＝2－272，∴a 3·a 6·a 9·…·a 30＝a 103·(q 3)9×102＝(2－272×22)10×(23)45＝220. 5．在等比数列{a n }中，若a 7＝－2，则此数列的前13项之积等于________．解析：由于{a n }是等比数列，∴a 1a 13＝a 2a 12＝a 3a 11＝a 4a 10＝a 5a 9＝a 6a 8＝a 27， ∴a 1a 2a 3…a 13＝(a 27)6·a 7＝a 137，而a 7＝－2.∴a 1a 2a 3…a 13＝(－2)13＝－213. 答案：－2136．已知－7，a 1，a 2，－1四个实数成等差数列，－4，b 1，b 2，b 3，－1五个实数成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________. 解析：由题意，知a 2－a 1＝－1－－3＝2，b 22＝(－4)×(－1)＝4.又因为b 2是等比数列中的第三项，所以b 2与第一项同号，即b 2＝－2，所以a 2－a 1b 2＝2－2＝－1. 答案：－17．已知数列{a n }为等差数列，公差d ≠0，由{a n }中的部分项组成的数列ab 1，ab 2，…，ab n ，…为等比数列，其中b 1＝1，b 2＝5，b 3＝17.求数列{b n }的通项公式．解：依题意a 25＝a 1a 17，即(a 1＋4d )2＝a 1(a 1＋16d )，所以a 1d ＝2d 2，因为d ≠0，所以a 1＝2d ，数列{ab n }的公比q ＝a 5a 1＝a 1＋4da 1＝3，所以ab n ＝a 13n －1，①又ab n ＝a 1＋(b n －1)d ＝b n ＋12a 1，②由①②得a 1·3n －1＝b n ＋12·a 1.因为a 1＝2d ≠0，所以b n ＝2×3n －1－1.8．一个等比数列的第3项与第4项分别是12和18，数列中的a 3，a 7与a 5有怎样的关系？在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3·a n ＋3(n ＞3)成立吗？把3换成k ，即a 2n ＝a n －k a n ＋k ，这里的k 应满足怎样的条件？解：设这个数列的首项为a 1，公比为q ，依题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝12，a 1q 3＝18，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝32，a 1＝163.所以a n ＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1，则a 3＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫322，a 5＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫324， a 7＝163×⎝ ⎛⎭⎪⎫326，可知a 3a 7＝a 25. 在任一个等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －3a n ＋3(n ＞3)一定成立．在等比数列{a n }中，a 2n ＝a n －k ·a n ＋k 要成立，只需满足n ＞k ＞0，且k ∈N ＋即可．。

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课时跟踪检测（十七）不等式的实际应用层级一学业水平达标 1．某工人共加工300个零件．在加工100个零件后，改进了操作方法，每天多加工15个，用了不到20天的时间就完成了任务．则改进操作方法前，每天至少要加工零件的个数为( ) A．9 B．10 C．8 D．11 解析：选A 设每天至少要加工x零件．

由题意得：100x＋200x＋15<20，解得x>53或x<－53，设每天至少要加工9个零件． 2.行驶中的汽车，在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽

车的刹车距离s(m)与汽车的车速v(km/h)满足下列关系：s＝nv100＋v2400(n为常数，且n∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据如图所示，其中 6

n为( )

A．7 B．5 C．6 D．8

解析：选C 依题意得 6<40n100＋1 600400<8，14<70n100＋4 900400<17，

解得 53．某出版社，如果以每本2.50元的价格发行一种图书，可发行80 000本．如果一本书的定价每升高0.1元，发行量就减少2 000本，那么要使收入不低于200 000元，这种书的最高定价应当是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选C 设这种书的最高定价应当为x元，由题意得：[80 000－(x－2.5)×20 000]×x≥200 000，解得： 52≤x≤4，所以最高定价为4元． 4．某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y＝3 000＋20x－0.1x2(0＜x＜240，x∈R)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时最低产量是( ) A．100台 B．120台 C．150台 D．180台解析：选C 由题意知3 000＋20x－0.1x2≤25x ⇔x2

＋50x－30 000≥0，

解得x≤－200(舍去)或x≥150. 5．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为( ) A．500件 B．1 000件 C．2 500件 D．5 000件

解析：选B 设每次进x件费用为y元，由y＝10 000×100x＋x2×2≥21 000 000x·x＝2 000，当1 000 000x＝x，x＝1 000时，y最小． 6．某家庭用14.4万元购买了一辆汽车，使用中维修费用逐年上升，第n年维修费用约为0.2n万元，每年其他费用为0.9万元．报废损失最小指的是购车费、维修费及其他费用之和的年平均值最小，则这辆车应在________年后报废损失最小．

解析：年平均值y＝14.4＋0.9n＋0.21＋2＋…＋nn＝14.4n＋0.1n＋1≥3.4，

当且仅当14.4n＝0.1n，即n＝12时，年平均值最小，所以12年后报废损失最小．答案：12 7．某地每年销售木材约20万m3，每立方米价格为2 400元．为了减少木材消耗，决定

按销售收入的t%征收木材税，这样每年的木材销售量减少52t万m3.为了既减少木材消耗又保证税金收入每年不少于900万元，则t的取值范围是________．解析：设按销售收入的t%征收木材税时，税金收入为y万元，则y＝2 40020－52t×t%＝60(8t－t2)．令y≥900，即60(8t－t2)≥900，解得3≤t≤5. 答案：[3,5] 8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x＝________吨．

解析：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，则需要购买400x次，运费为4

万元/次，一年的总存储费用为4x万元，所以一年的总运费与总存储费用之和为1 600x＋4x万元，而1 600x＋4x≥160，当且仅当1 600x＝4x，即x＝20时，一年的总运费与总存储费用之和最小．答案：20 9．甲、乙两家饭馆的老板同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100 kg大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？解：设两次大米的价格分别为a元/千克，b元/千克(a，b>0，a≠b)，则甲两次购买大米

的平均价格是100a＋b200＝a＋b2 元/千克；

乙两次购买大米的平均价格是200100a＋100b＝21a＋1b＝2aba＋b元/千克．

∵a＋b2－2aba＋b＝a＋b2－4ab2a＋b＝a－b22a＋b>0， ∴a＋b2>2aba＋b. ∴乙饭馆的老板购买大米的方式更合算． 10．某同学要把自己的计算机接入因特网．现有两家ISP公司可供选择．公司A每小时收费1.5元；公司B在用户每次上的第1小时内收费1.7元，第2小时内收费1.6元，以后每小时减少0.1元(若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算)．假设该同学一次上网时间总是小于17小时，那么该同学如何选择ISP公司较省钱？解：假设一次上网x小时，则公司A收取的费用为1.5x元，

公司B收取的费用为x35－x20元．若能够保证选择A比选择B费用少，则x35－x20>1.5x(0整理得x2－5x<0，解得0所以当一次上网时间在5小时以内时，选择公司A的费用少；超过5小时，选择公司B的费用少．层级二应试能力达标 1．某商品在最近30天内的价格f(t)与时间t(单位：天)的函数关系是f(t)＝t＋10(0则使这种商品日销售金额不小于500元的t的范围为( ) A．[15,20] B．[10,15] C．(10,15) D．(0,10] 解析：选B 由日销售金额为(t＋10)(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15. 2.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m2的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x(单位：m)的取值范围是( ) A．[15,30] B．[12,25] C．[10,30] D．[20,30]

解析：选C 设矩形的另一边长为y m，则由三角形相似知，x40＝40－y40，∴y＝40－x，∵xy≥300，∴x(40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30. 3．一种产品的年产量情况是第一年为a件，第二年比第一年增长P1%，第三年比第二年增长P2%，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，如果年平均增长x%，则有( ) A．x＝P B．x≤P C．x≥P D．x＜P 解析：选B 设三年后产量为y，

则y＝a(1＋P1%)(1＋P2%)≤a·1＋P1%＋1＋P2%22＝a·(1＋P%)2. 又∵年平均增长x%，则y＝a(1＋x%)2， ∴a(1＋x%)2≤a(1＋P%)2，∴x≤P. 4．某商店销售某种商品，每件获利20元时，销售量为m件，为了促销，拟采用每销售1件商品向顾客赠送1件小礼品的办法．试验表明赠送价值为n(n∈N＋)元的礼品比赠送价值为n－1元的礼品销售量增加了10%，为了获得最大利润，应赠送的礼品价值为( )

A．9元或10元 B．10元或11元 C．8元或9元 D．8元或10元解析：选A 设礼品价值为n元时，总利润为an，则an＝(20－n)m(1＋10%)n＝m(20－n)1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．

依题意得 an≥an－1，an≥an＋1，即 20－n·1.1≥21－n，20－n≥19－n·1.1，解得9≤n≤10.由n∈N＋，知n＝9或n＝10.故选A. 5．现有含盐7%的食盐水200克，生产上需要含盐5%以上、6%以下的食盐水，设需要加入含盐4%的食盐水为x克，则x的取值范围是________．

解析：5%解得x的范围是(100,400)．答案：(100,400) 6．某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x%，八月份销售额比七月份递增x%，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7 000万元，则x的最小值是________．解析：七月份的销售额为500(1＋x%)，八月份的销售额为500(1＋x%)2，则一月份到十月份的销售总额是3 860＋500＋2 [500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]，根据题意有3 860＋500＋2[500(1＋x%)＋500(1＋x%)2]≥7 000，即25(1＋x%)＋25(1＋x%)2≥66，令t＝1＋x%，

则25t2＋25t－66≥0，解得t≥65或者t≤－115(舍去)，

故1＋x%≥65，解得x≥20. 答案：20 7．某商场预计全年分批购入每台价值为2 000元的电视机共3 600台，每批都购入x台(x是正整数)，且每批均需付运费400元，贮存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值(不含运费)成正比，若每批购入400台，则全年需用去运输费和保管费共43 600元．现在全年只有24 000元资金可以用于支付这笔费用，请问：能否恰当安排每批进货的数量使资金够用？写出你的结论，并说明理由．

解：设每批购入x台，运输费和保管费共y元，则需进货3 600x次，每批进货总价值为2 000x

元，设全年保管费为2 000kx(k＞0)元．依题意得，43 600＝2 000×400k＋3 600400×400，则k＝120，

∴y＝3 600x×400＋2 000kx＝1 440 000x＋100x≥21 440 000x×100x＝24 000，当且仅当1 440 000x＝100x，即x＝120时，等号成立．故每批进货120台时，能使资金够用．

8．某工厂生产商品M，若每件定价80元，则每年可销售80万件，税务部门对市场销售