备课参考 二次函数
2015中考-基础篇-22-二次函数 -学生版
2015中考－基础篇－22－二次函数 － 学生版纵观近年中考命题，不难发现考题一直在求新求变，网上那些过时的参考资料已经不堪再用。
本套资料选题全部选自2014年全国各地中考真题，时效性特别强，针对中考各章重点、难点、易错点以及热点问题进行了全面的汇总和梳理，每道题都配有答案，大多数题目都配有【考点解剖】、【解题思路】、【解答过程】、【方法规律】、【易错点睛】等贴心栏目，特别适合初三毕业班学生专项复习用，同时也适合教师备课参考之用。
本文作者系初中数学教师郑荣国，仓促而作，错漏之处在所难免，恳请读者批评指正！一、二次函数的定义、图象与性质基本概念1． (2014浙江丽水，12，4分)写出图象经过点(－1，1)的一个函数解析式是________．2． (2014甘肃省兰州，6，分)抛物线()213y x =--的对称轴是( )A ．y 轴B ．直线x ＝－1C ．直线x ＝1D ．直线x ＝－33． (2A ．y 轴B ．直线x ＝25 C ．直线x ＝2 D ．直线x ＝234． (2014年广东珠海，9，4分)如图，对称轴平行于y 轴的抛物线与x 轴交于(1，0)，(3，0)两点，则它的对称轴为_________．第4题图第8题图5． (2014江苏南通，14，3分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴的公共点是(－4，0)，(2，0)，则这条抛物线的对称轴是直线______________．6． (2014河南，12，3分)已知抛物线2y ax bx c =++(0a ≠)与x 轴交于A 、B 两点，若点A 的坐标为(2,0)-，抛物线的对称轴为直线x ＝2，则线段AB 的长为_____________．7． (2014黑龙江牡丹江，18，3分)抛物线2y ax bx c =++经过点A (－3，0)，对称轴是直线1x =-，则a b c ++=___________．8． (2014吉林长春，14，3分)如图，在平面直角坐标系中，点A 在第二象限，以A 为顶点的抛物线经过原点，与x 轴负半轴交于点B ，对称轴为直线x ＝ －2，点C 在抛物线上，且位于点A 、B 之间(C 不与A 、B 重合)．若△ABC 的周长为a ，则四边形AOBC 的周长为_________ ．( 用含a 的式子表示)．三种形式9．(2014四川成都，9，3分)将二次函数y ＝ x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h )2＋k 的形式，结果为( ) A ． y ＝(x ＋1)2＋4 B ． y ＝(x ＋1)2＋2 C ． y ＝(x －1)2＋4 D ． y ＝(x －1)2＋210．(2014湖南长沙，12，3分)抛物线y ＝3(x －2)2＋5的顶点坐标为____________；11． (2014云南，12，3分)抛物线223y x x =-+的顶点坐标为________．12． (2014天津，16，3分)抛物线223y x x =-+的顶点坐标是__________．图象13． (2014贵州黔东南州，7，4分)若抛物线y ＝x 2－x －1与x 轴的交点坐标为(m ，0)，则代数式m 2－m ＋2014的值为 ( )A ．2012B ．2013C ．2014D ．2015 14． (2014江苏苏州，8，3分)二次函数y ＝ax 2＋bx －1(a ≠0)的图象经过点(1，1)，则代数式1－a －b 的值为( ) A ． －3 B ． －1 C ． 2 D ． 515． (2014甘肃白银，9，3分)二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 中，若b ＋c ＝0，则它的图象一定过点( ) A ．(1，－1) B ．(－1，1) C ．(－1，－1) D ．(1，1)16． (2014广东，10，3分)二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误．．的是( ) A ．函数有最小值 B ．对称轴是直线x ＝21C ．当x <21，y 随x 的增大而减小 D ．当 －1 < x < 2时，y >0第16题图第17题图17． (2014广东深圳，11，3分)二次函数2y ax bx c =++图像如图所示，下列正确的个数为( )① 0bc > ② 230a c -< ③ 20a b +>④20ax bx c ++=有两个解12,x x ，120,0x x >< ⑤ 0a b c ++>⑥ 当1x >时，y 随x 增大而减小A ．2B ．3C ．4D ．518． (2014新疆维吾尔自治区，6，5分)对于二次函数y ＝(x —1)2＋2的图象，下列说法正确的是( )A ．开口向下B ．对称轴是x ＝—1C ．顶点坐标是(1，2)D ．与x 轴有两个交点19．(2014宁夏，8，3分)已知a ≠0，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y =的图象有可能是( )A B C D20． (2014贵州遵义，6，3分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx 和直线y ＝ax ＋b 在同一坐标系内的图象如图所示，其中正确的是( )21． (2014黑龙江牡丹江，22，6分)如图，抛物线22y ax x c =++经过点A (0，3)，B (－1，0)，请回答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）抛物线的顶点为D ，对称轴与x 轴交于点E ，连接BD ，求BD 的长．注：抛物线2y ax bx c =++的顶点坐标是24(,)24b ac b a a--．性质22．(2014贵州毕节，11，3分)抛物线22y x =，22y x =-，212y x =的共同性质是( ) A ．开口向上 B ．对称轴是y 轴C ．都有最高点D ．y 随x 的增大而增大二次函数图象的平移二次函数的平移规律：将抛物线y ＝ a x 2(a ≠0)向上平移k (k >0)个单位所得的函数关系式为y ＝ax 2＋k ，向下平移k (k >0)个单位所得函数关系式为y ＝ax 2－k ；向左平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x ＋h )2；向右平移h (h >0)个单位所得函数关系式为y ＝a (x －h )2；这一规律可简记为“上加下减，左加右减”；点的平移规律：“上加xA ．B ．D ．C ．下减，左减右加”23．(2014上海，3，4分)如果将抛物线y ＝x 2向右平移1个单位，那么所得的抛物线的表达式是( )． (A ) y ＝x 2－1； (B ) y ＝x 2＋1； (C ) y ＝(x －1)2； (D ) y ＝(x ＋1)2．24． (2014内蒙古包头，8，3分)在平面直角坐标系中，将抛物线23x y =先向右平移一个单位，再向上平移2个单位，得到的抛物线的解析式是( )A ．()2132++=x y B ． ()2132-+=x yC ． ()2132+-=x y D ． ()2132--=x y25． (2014黑龙江牡丹江，5，3分)将抛物线2(1)3y x =-+向左平移1个单位，得到的抛物线与y 轴的交点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，3)C ．(0，4)D ．(0，7)26． (2014甘肃天水，4，4分)将二次函数2y x =的图像向左平移1个单位，再向下平移2个单位后，所得函数的函数解析式是( )A ． ()21x y 2-+= B ． ()21x y 2--= C ．()21x y 2+-= D ．2(1)2y x =-+27．(2014甘肃兰州市，11，4分)把抛物线y ＝－2x 2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得函数的表达式为( )A.y ＝－2(x ＋1)2＋2 B ．y ＝－2(x ＋1)2－2 C ．y ＝－2(x －1)2＋2 D ．y ＝－2(x －1)2－228． (2014江苏宿迁，7，3分)若将抛物线y ＝x 2向右平移2个单位，再向上平移3个单位，则所得抛物线的解析式为( )A ．y ＝(x ＋2)2＋3B ．y ＝(x －2)2＋3C ．y ＝(x ＋2)2－3D ．y ＝(x －2)2－329． (2014浙江丽水，8，3分)在同一平面直角坐标系内，将函数2243y x x =+-的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．()3,6--B ．()1,4-C ．()1,6-D ．()3,4--30． (2014湖北荆门，4，3分)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －4)2－2C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －1)2－331． (2014黑龙江哈尔滨，8，3分)将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )(A )y ＝－2(x ＋1)2－1 (B )y ＝－2(x ＋1)2＋3 (C )y ＝－2(x －1)2＋1 (D )y ＝－2(x －1)2＋332． (2014湖北荆州，4，3分)将抛物线y ＝x 2－6x ＋5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度后，得到的抛物线解析式是( )A ．y ＝(x －4)2－6B ．y ＝(x －4)2－2C ．y ＝(x －2)2－2D ．y ＝(x －1)2－333． (2014浙江丽水，8，3分)在同一平面直角坐标系内，将函数2243y x x =+-的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位，得到图象的顶点坐标是( )A ．()3,6--B ．()1,4-C ．()1,6-D ．()3,4--34．(2014贵州铜仁，9，4分)将抛物线231x y =向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( ) A ． ()12312--=x y B ．()12312+-=x y C ． ()12312++=x y D ．()12312-+=x y35． (2014江苏淮安，16，3分)将二次函数221y x =-的图像沿y 轴向上平移2个单位，则所得图像对应的函数表达式为_______．增减性与最值36．(2014江苏南京，16，分)已知二次函数2y ax bx c =++中，函数y 与自变量x 的部分对应值如下表：则当y ＜5时，x37． (2014辽宁大连，10，3分)函数3)1(2+-=x y 的最小值为________．二、二次函数的解析式1． (2014辽宁抚顺，14，3分) 将抛物线2(3)1y x =-+先向上平移2个单位，再向左平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_____．2．(2014山东淄博，8，4分)如图，二次函数c bx x y ++=2的图象过点B (0，﹣2)，它与反比例函数xy 8-=的图象交于点A (m ，4)，则这个二次函数的解析式为( )A ．22--=x x yB ．22+-=x x yC ．22-+=x x yD ．22++=x x y3． (2014浙江杭州，15，4分)设抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)过点A (0，2)，B (4，3)，C 三点，其中点C 在直线x ＝2上，且点C 到抛物线的对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_____________________．三、二次函数与一元二次方程1．(2014广西柳州，11，3分)小兰画了一个函数y ＝x 2＋ax ＋b 的图象如图，则关于x 的方程x 2＋ax ＋b ＝0的解是( )A ．无解B ．x ＝1C ．x ＝－4D ．x ＝－1或x ＝4第1题图第3题图第4题图yx3 －O2． (2014年山东东营，9，3分)若函数y ＝mx 2＋(m ＋2)x ＋12m ＋1的图象与x 轴只有一个交点，那么m 的值为( ) A ．0 B ．0或2 C ．2或－2 D ．0，2或－23． (2014湖北黄石，7，3分)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图像如图所示，则函数值0y >时，x 的取值范围是( )A ．1x <-B ． 3x >C ．13x -<<D ． 1x <-或3x >4．(2014浙江金华，9，3分)如图是二次函数224y x x =-++的图象，使1y ≤成立的x 的取值范围是( ) A ．－1≤x ≤3 B ．x ≤－1 C ．x ≥1 D ．x ≤－1或x ≥35． (2014辽宁锦州，7，3分)二次函数2y ax bx c =++(a ≠0，a ，b ，c 为常数)的图象如图所示，2ax bx c m ++=有实数根的条件是( )A ． 2m ≥-B ． m ≥５C ． 0m ≥D ． 4m ＞第5题图 第6题图6． (2014山东济南，15，3分)二次函数2y x bx =+的图象如图，对称轴为直线x ＝1．若关于x 的一元二次方程20x bx t +-=(t 为实数)在－1＜x ＜4的范围内有解，则t 的取值范围是 A ． t ≥－1 B ． －1≤t ＜3 C ． －1≤t ＜8 D ． 3＜t ＜87． (2014山东济宁，8，3分)―如果二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴有两个公共点，那么一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根．‖请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m 、n (m <n )是关于x 的方程()()01=---b x a x 的两根，且a < b ， 则a 、b 、m 、n 的大小关系是( )A ．m ＜a ＜b ＜nB ．a ＜m ＜n ＜bC ．a ＜m ＜b ＜nD ．m ＜a ＜n ＜b8． (2014黑龙江大庆，第25题，7分)关于x 的函数y ＝(m 2－1)x 2－(2m ＋2)x ＋2的图象与x 轴只有一个交点，求m 的值．9． (2014江苏南京，24，8分)已知二次函数2223y x mx m =-++(m 是常数)． （1）求证：不论m 为何值，该函数的图象与x 轴没有公共点； （2）把该函数的图象沿y 轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x 轴只有一个公共点？四、二次函数的实际应用1． (2014河北，9，3分)某种正方形合金板材的成本y (元)与它的面积成正比，设边长为x 厘米，当x ＝3时，y ＝18，那么当成本为72元时，边长为( )A ．6厘米B ．12厘米C ．24厘米D ．36厘米2． (2014湖北咸宁，7，3分)用一条长为40 cm 的绳子围成一个面积为a cm 2的长方形，a 的值不可能．．．为( ) A ．20 B ．40 C ．100 D ．1203． (2014安徽，12，5分)某厂今年一月份新产品的研发资金为a 元，以后每月新产品的研发资金与上月比增长率都是x ，则该厂今年三月份的研发资金y (元)关于x 的函数关系式为y ＝____________．4． (2014辽宁沈阳，15，4分)某种商品每件进价为20元，调查表明：在某段时间内若以每件x 元(20≤x ≤30，且x 为整数)出售，可卖出(30－x )件．若使利润最大，每件的售价应为________________元．5． (2014江苏徐州，26，8分)某种商品每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间满足关系：y ＝ax 2＋bx －75，其图象如图所示．（1）销售单价为多少元时，这种商品每天的销售利润最大？最大利润为多少元？ （2）销售单价在什么范围时，该商品每天的销售利润不低于16元？6． (2014江苏扬州，27，12分)某店因为经营不善欠下38400元的无息贷款的债务，想转行经营服装专卖店又缺少资金．―梦想中国秀‖栏目组决定借给该店30000元资金，并约定利用经营的利润偿还债务(所有债务均不计利息)．已知该店代理的品牌服装进价为每件40元，该品牌服装日销售量y (件)与销售价x (元/件)之间的关系可用图中的一条折线(实线)来表示．该店应支付员工的工资为每人每天82元，每天还应支付其它费用为106元(不包含债务)．（1）求日销售量(件)和销售价(元/件)之间的函数关系式； (2若该店暂不考虑偿还债务，当天的销售价为48元时/件时，当天正好收支平衡(收入＝支出)，求该店员工的人数； （3）若该店只有2名员工，则该店最早需要多少天能还清所有债务，此时每件服装的价格应定定为多少元？7． (2014浙江台州，23，12分)某公司经营杨梅业务，以3万元/吨的价格向农户收购杨梅后，分拣成A 、B 两类，A 类杨梅包装后直接销售，B 类杨梅深加工再销售．A 类杨梅的包装成本为1万元/吨，根据市场调查，它的平均销售价格y (单位∶万元/吨)与销售数量x (x ≥2)(取位∶吨)之间的函数关系式如图，B 类杨梅深加工总费用s (单位：万元)与加工数量t (单位∶吨)之间的函数关系是s ＝12＋3t ，平均销售价格为9万元/吨． （1）直接写出A 类杨梅平均销售价格y 与销售量x 这间的函数关系式．（2）第一次，该公司收购了20吨杨梅，其中A 类杨梅x 吨，经营这批杨梅所获得的毛利润为w 万元(毛利润＝销售总收人－经营总成本)． ①求w 关于x 的函数关系式；②若该公司获得了30万元毛利润，问∶用于直销的A 类杨梅有多少吨？（3）第二次该公司准备投入132万元资金，请设计－种经营方案，使公司获得最大毛利润，并求出最大毛利润．8． (2014贵州毕节，25，12分)某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次．第1档次(最低档次)的产品一天能生产95件，每件利润6元．每提高一个档次，每件利润增加2元，但一天产量减少5件．（1）若生产第x 档次的产品一天的总利润为y 元(其中x 为正整数，且1≤x ≤10)，求出y 关于x 的函数关系式； （2）若生产第x 档次的产品一天的总利润为1120元，求该产品的质量档次．9． (2014湖北武汉，23，10分)九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x (1≤x ≤90)天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30（1）求出y 与x 的函数关系式；（2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4 800元？请直接写出结果．10． (2014江苏淮安，25，10分)用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x 米，面积为y 平方米．（1）求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？（3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由．11．(2014福建莆田，23，10分)某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y 1(元)与销售时间第x 月之间存在如图1所示(一条线段)的变化趋势，每千克成本y 2(元)与销售时间第x 月满足函数关系式y 2＝mx2－8mx ＋n ，其变化趋势如图2所示． （1）求y 2的解析式；（2）第几月销售这种水果，每千克所获得利润最大？最大利润是多少？图1 图212． (2014广东茂名，23，8分)网络购物越来越方便快捷，远方的朋友通过网购就可以迅速品尝到茂名的新鲜荔枝，同时也增加了种植户的收入．种植户老张去年将全部荔枝按批发价卖给水果商，收入6万元．今年的荔枝产量比去年增加2000千克，计划全部采用互联网销售，网上售价比去年的批发价高50%，若按此价格售完，今年的收入将达到10．8万元．（1）去年的批发价和今年的网上售价分别是多少？（2）若今年老张按（1）中的网上售价销售，则每天的销量相同，20天恰好可将荔枝售完，经调查发现，当网上售价每上升0．1元/千克，每日销量将减少5千克，将网上售价定为多少，才能使日销售收入最大？13． (2014湖北鄂州，23，10分)大学生小张利用暑假50天在一超市勤工俭学，被安排销售一款成本为40元/件的销售单价q (元/件)与x 满足：当112512560;255040x q x x q x≤<=+≤≤=+时当时． （1）(2分)请分析表格中销售量p 与x 的关系，求出销售量p 与x 的函数关系． （2）(4分)求该超市销售该新商品第x 天获得的利润y 元关于x 的函数关系式． （3）(4分)这50天中，该超市第几天获得利润最大？最大利润为多少？14．(2014山东潍坊，23，12分)经统计分析，某市跨河大桥上的车流速度 v (千米/小时)是车流密度x (辆/千米)的函数，当桥上的车流密度达到220辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/小时；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为80千米/小时，研究表示：当20≤x ≤220时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数． （1）求大桥上车流密度为100辆/千米时的车流速度；（2）在交通高峰时段，为使大桥上的车流速度大于40千米/小时且小于60千米/小时，应控制大桥上的车流密度在什么范围内？（3）车流量(辆/小时)是单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，即：车流量＝车流速度×车流密度．求大桥上车流量y 的最大值．(月)15．(2014湖北荆州，23，10分)我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务．（1）试确定月销售量y(台)与售价x(元/台)之间的函数关系式；并求出自变量x的取值范围；（2）当售价x(元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w(元)最大？最大利润是多少？16．(2014四川资阳，22，9分)某商家计划从厂家采购空调和冰箱两种产品共20台．空调的采购单价y1(元/台)与采购量x1(台)满足y1＝－20 x1＋1500(0＜x1≤20，x1为整数)；冰箱的采购单价y2(元/台)与采购量x2(台)满足y2＝－10 x2＋1300(0＜x2≤20，x2为整数)．（1）经商家与厂家协商，采购空调的数量不少于冰箱数量的119，且空调采购单价不低于1200元，问该商家共有几种进货方案？（2）该商家分别以1760元/台和1700元/台的销售单价售出空调和冰箱，且全部售完．在（1）的条件下，问采购空调多少台时总利润最大？并求最大利润．17．(2014辽宁丹东，24，10分)在2014年巴西世界杯足球赛前夕，某体育用品店购进一批单价为40元的球服，如果按单价60元销售，那么一个月内可售出240套．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高5元，销售量相应减少20套．设销售单价为x(x≥60)元，销售量为y套．（1）求出y与x的函数关系式．（2）当销售单价为多少元时，月销售额为14000元？（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？18．(2014辽宁朝阳，24，10分)长城汽车销售公司5月份销售某型号汽车．当月该型号汽车的进价为30万元/辆，若当月销售辆超过5辆时，每多售出1辆，所有售出的汽车进价均降低0．1万元/辆．根据市场调查，月销售量不会突破30台．（1）设当月该型号汽车的销售量为x辆(x≤30，且x正为整数)，实际进价为y万元/辆，求y与x的函数关系式；（2）已知该型号汽车的销售价为32万元/辆，公司计划当月销售利润45万元，那么该月需要售出多少辆汽车？(注：销售利润＝销售价－进价)19．(2014青海西宁，27，10分)今年5月1日起实施《青海省保障性住房准入分配退出和运营管理实施细则》规定：公共租赁住房和廉租住房并轨运行(以下简称并轨房)，计划10年内解决低收入人群住房问题．已知第x年(x为正整数)投入使用的并轨房面积为y 百万平方米，且y 与x 的函数关系式为y ＝－61x ＋5．由于物价上涨等因素的影响，每年单位面积租金也随之上调．假设每年的并轨房全部出租完，预计第x 年投入使用的并轨房的单位面积租（2）设第x 年政府投入使用的并轨房收取的租金为W 百万元，请问政府在第几年投入使用的并轨房收取的租金最多，最多为多少百万元？ 20．(2014四川眉山，24，9分)―丹棱冻肥‖是眉山特色小吃，产品畅销省内外，现有一个产品销售点在经销时发现：如果每箱产品盈利10元，每天可销售50箱；若每箱产品每涨价1元，日销售量将减少2箱．（1）现要使该销售点每天刚好盈利600元，同时又要顾客得到实惠，那么每箱产品应涨价多少元？ （2）若该销售点单纯从经济角度考虑，每箱产品应涨价多少元才能获利最高？21． (2014湖北荆门，22，10分)我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容缓．我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价是200元/台．经过市场销售后发现：在一个月内，当售价是400元/台时，可售出200台，且售价每降低10元，就可多售出50台．若供货商规定这种空气净化器售价不能低于300元/台，代理销售商每月要完成不低于450台的销售任务． （1）试确定月销售量y (台)与售价x (元/台)之间的函数关系式； （2）求售价x 的范围；（3）当售价x (元/台)定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润w (元)最大？最大利润是多少？22． (2014辽宁本溪，24，12分)国家推行―节能减排，低碳经济‖政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A 、B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同．销售中发现A 型汽车的每周销量y A (台)与售价x (万元/台)满足函数关系式y A ＝－x ＋20 ， B 型汽车的每周销量y B (台)与售价x (万元/台)满足函数关系式y B ＝－x ＋14． （1）求A 、B 两种型号的汽车的进货单价：（2） 己知A 型汽车售价比B 型汽车的售价高2 万/台，设B 型汽车售价为t 万元／台．每周销售这两种车的总利润为W 万元．求W 与t 的函数关系式，A 、B 两种型号的汽车售价各为多少时，每周销售这两种车的总利润最大？最大总利润是多少万元？23．(2014辽宁锦州，24，10分)在机器调试过程中，生产甲、乙两种产品的效率分别为y 1、y 2(单位：件/时)，y 1、y 2与工作时间x (小时)之间大致满足如图所示的函数关系，y 1的图像为折线OABC ，y 2的图像是过O 、B 、C 三点的抛物线一部分．（1）根据图像回答： 调试过程中，生产乙的效率高于甲的效率的时间x (小时)的取值范围是_________________________； 说明线段AB 的实际意义是___________________．（2）求出调试过程中，当8x 6≤≤时，生产甲种产品的效率y 1(件/时)与工作时间x (小时)之间的函数关系式． （3）调试结束后，一台机器先以图中甲的最大效率生产甲产品m 小时，再以图中乙的最大效率生产乙产品，两种产品共生产6小时，求甲、乙两种产品的生产总量Z (件24． (2014辽宁铁岭，24，12分)某商场在1月至12月份经销某种品牌的服装，由于受到时令的影响，该种服装的销售情况如下：销售价格y 1(元/件)与销售月份x (月)的关系大致满足如图所示的函数图象，销售成本y 2(元/件)，与销售月份x (月)满足y 2＝()()1010016146123x x x x x x ⎧-+<⎪⎨⎪⎩≤且为整数≤≤且为整数，月销售量y 3(件)，与销售月份x (月)，满足y 3＝l 0x＋20．（1）根据图象求出销售价格y 1(元/件)与销售月份x (月)之间的函数关系式；(6≤．．x ．≤12．．．且．x ．为整数．．．) （2）求出该服装月销售利润W (元)与月份x (月)之间的函数关系式，并求出哪个月份的销售利润最大？最大利润是多少?(6≤．．x ．≤12．．．且．x ．为整数．．．) 25． (2014广西贵港，24，9分)在开展―美丽广西，清洁乡村‖的活动中某乡镇计划购买A 、B 两种树苗共100棵，已知A 种树苗每棵30元，B 种树苗每棵90元．（1）设购买A 种树苗x 棵，购买A 、B 两种树苗的总费用为y 元，请你写出y 与x 之间的函数关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)；（2）如果购买A 、B 两种树苗的总费用不超过7560元，且B 种树苗的棵树不少于A 种树苗棵树的3倍，那么有哪几种购买树苗的方案？（3）从节约开支的角度考虑，你认为采用哪种方案更合算？26． (2014年湖北恩施州，22，10分)某超市经销一种绿茶，每千克成本为60元，经过市场调查发现，在一段时间内，该种绿茶的销售量y (千克（1）求y 与x 的函数解析式；（2）当销售单价为多少元时，该种绿茶的销售利润最大？（3）如果物价部门规定这种绿茶每千克销售单价不高于95元，若超市计划在这段时间内获得该种绿茶的销售利润OABC 时y (件/为1600元，其销售单价应定为多少？27． (2014江苏常州，25，7分) 某小商场以每件20元的价格购进一种服装，先试销一周，试销期间每天的销售（1）试求t 与x 之间的函数关系式；（2）在商品不积压且不考虑其他因素的条件下，每件服装的销售价定为多少时，该小商场销售这种服装每天获得的毛利润最大?每天的最大毛利润是多少?(注：每件服装销售的毛利润＝每件服装的销售价－每件服装的进货价)28．(2014辽宁抚顺，24，12分) 某经销商销售一种产品，这种产品的成本价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量y (千克)与销售价x (元 /千克)之间的函数关系如图所示：（1）求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求每天的销售利润W (元)与销售价x (元/千克)之间的函数关系式．当销售价为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？29． (2014山东青岛，22，10分)某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不得低于成本．（1）求出每天的销售利润y (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式； （2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制在什么范围内？(每天的总成本＝每件的成本×每天的销售量)30． (2014黑龙江农垦牡丹江，27，10分)某体育用品商店试销一款成本为50元的排球，规定试销期间单价不低于成本价，且获利不得高于40%．经试销发现，销售量y (个)与销售单价x (元)之间满足如图所示的一次函数关系． （1）试确定y 与x 之间的函数关系式；（2）若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q 元，试写出利润Q (元)与销售单价x (元)之间的函数关系式；当试销单价定为多少元时，该商店可获最大利润？最大利润是多少元？（3）若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元，请确定销售单价x 的取值范围．元/千克)31．(2014辽宁辽阳，23，12分)巴西世界杯足球赛期间，某商店购进一批单价为30元的纪念品，如果按每件40元出售，那么每天可销售100件．经市场调研发现，纪念品的销售单价每上涨1元，其销售量每天相应减少5件，如果每件纪念品的利润不超过40%，设纪念品的销售单价上涨x元，每天销售量为y件．（1）直接写出y与x之间的函数关系式．（2）将纪念品销售单价定为多少，才能使每天所获销售利润最大？最大利润是多少？32．(2014辽宁盘锦，12分，24)某旅游景点的门票价格是20元/人，日接待游客500人，进入旅游旺季时，景点想提高门票价格增加盈利．经过市场调查发现，门票价格每提高5元，日接待游客人数就会减少50人．设提价后的门票价格为x(元/人)(x＞20)，日接待游客的人数为y(人)．（1）求y与x(x＞20)的函数关系式；（2）已知景点每日的接待成本为z(元)，z与y满足函数关系式：z＝100＋10y．求z与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当门票价格为多少时，景点每日获取的利润最大？最大利润是多少？(利润＝门票收入－接待成本)33．(2014内蒙古呼伦贝尔，25，10分)某商品的进价为每件20元，售价为每件25元时，每天可卖出250件．市场调查反映：如果调整价格，一件商品每涨价1元，每天要少卖出10件．（1）求出每天所得的销售利润w(元)与每件涨价x(元)之间的函数关系式；（2）求销售单价为多少元时，该商品每天的销售利润最大；（3）商场的营销部在调控价格方面，提出了A，B两种营销方案．方案A：每件商品涨价不超过5元；方案B：每件商品的利润至少为16元．请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．34．(2014浙江绍兴，13，5分)如图的一座拱桥，当水面宽AB为12m时，桥洞顶部离水面4m．已知桥洞的拱形是抛物线，以水平方向为x轴，建立平面直角坐标系，若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y＝－19(x－6)2＋4，则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是___________．42。
初三试讲 二次函数.pdf
二次函数知识点归纳：1、二次函数的定义一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的函数，叫二次函数．其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项．2、二次函数的自变量的取值范围（1）一般情况下，二次函数的自变量的取值范围是全体实数．如二次函数y＝2x2－x＋1，y=－x2＋2，它们的自变量x的取值范围为全体实数．（2）实际问题中的二次函数，其自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．如圆的面积S与圆的半径r的关系式S＝πr2是一个二次函数，自变量r的取值范围是r>0，这里r不能小于或等于0．3、回顾学过的函数一次函数y＝kx＋b(k≠0)，其中包括正比例函数y＝kx(k≠0).反比例函数(k≠0)，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，这些函数的名称都反映了函数解析式与自变量的关系．二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质知识归纳:1、用配方法可把y=ax2＋bx＋c(a≠0)化成y=a(x－h)2＋k的形式，因此y=ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，形状与y=ax2的形状相同，只是位置不同．2、y=ax2＋bx＋c配方为，故抛物线y=ax2＋bx＋c的顶点为，对称轴为直线．3、二次函数y=ax2＋bx＋c的图象与性质如下：①当a>0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向上，时，y随x的增大而减小；时，y随x的增大而增大；时，y有最小值，则抛物线的顶点是其最低点．②当a<0时，抛物线y=ax2＋bx＋c的开口向下，时，y随x的增大而增大；时，y随x的增大而减小；时，y有最大值，则抛物线的顶点是其最高点．二次函数y=a(x－h)2＋k的图象与性质知识归纳:1、二次函数y=a(x－h)2＋k(a≠0)的图象是一条抛物线，它的形状与y=ax2(a≠0)的形状相同，只是位置不同．抛物线y=a(x－h)2＋k的顶点是(h，k)，对称轴是直线x=h．2、二次函数y=a(x －h)2＋k(a ≠0)的性质如下：当a>0时，若x<h ，则y 随x 的增大而减小；若x>h ，则y 随x 的增大而增大；当x=h 时，y 有最小值k ；当a<0时，若x<h ，则y 随x 的增大而增大；若x>h ，则y 随x 的增大而减小；当x=h 时，y 有最大值k ．3、抛物线y=a(x －h)2＋k(a ≠0)与y=ax 2(a ≠0)的关系．抛物线y=ax 2向右(h>0)或向左(h<0)平移|h|个单位，得抛物线y=a(x －h)2，再把抛物线y=a(x －h)2向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位得抛物线y=a(x －h)2＋k ．（二）、知识要点1.二次函数解析式的几种形式：①一般式：（a 、b 、c 为常数，a ≠0） ②顶点式：（a 、h 、k 为常数，a ≠0），其中（h ，k ）为顶点坐标。
人教版数学九年级上册22.1.1：二次函数 教案
二次函数的教学设计一、教学内容二次函数（新人教版九年级下册）二、教学目标1.知识技能通过对实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数。
2.教学思考学生能对具体情境中的数学信息做出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系。
3.解决问题体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学知识解决，体验问题“生活数学化”的过程。
4.情感态度通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，让学生体验成功，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识。
三、教学重点与难点1.教学重点认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程。
2.教学难点根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念。
四、教学流程安排教学活动流程活动内容和目的活动1：温故知新，揭示课题由回顾所学过的函数入手，引入函数大家庭中还会认识哪一种函数呢？再由打篮球的例子引入二次函数。
活动2：合作探究，获得新知通过学生自己独立解决运用函数知识表述变量间关系，合作探究环节学生互动，来自主探究新知，从而通过观察，归纳五、教学过程设计2.循序渐进2.请写出这些二次函数中a，b，c的值。
二次函数 a b cy=2x2 2 0 0y=x2+3 1 0 3y=(x+1)2+2 1 2 3y=3x2-2x-5 3 -2 -5特别强调：只有把解析式整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a，b，c.【循序渐进】例1 一块矩形草地，它的长比宽多2m,设它的长为xm,面积为ycm2,请写出用x表示y的函数表达式，y是x的二次函数吗？例2 关于x的函数是二次函数, 求m的值.例3 已知二次函数y=x2+2x-3.（1）当x=1时，求她所对应的函数值y；（2）当y=0时，求它所对应的自变量x的值。
例4 已知二次函数y=x2+px+q,当x=1时，函数值为4，当x=2时，函数值为-5，求这个二次函数的解析式。
人教版实际问题与二次函数备课优质教案
人教版实际问题与二次函数备课优质教案第1课时教学内容22.3 实际问题与二次函数（1）．教学目标1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．教学重点求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课同学们好，我们上节课学习了二次函数与一元二次方程，可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么我们就可以利用二次函数的图象和性质来进行研究．二、新课教学问题从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是h＝30t－5t2 (0≤t ≤6)．小球运动的时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？教师引导学生找出问题中的两个变量：小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）．然后画出函数h＝30t－5t2 (0≤t ≤6)的图象（可见教材第49页图）．根据函数图象，可以观察到当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．也就是说，当小球运动的时间是3s时，小球最高，小球运动中的最大高度是45m．一般地，当a＞0（a＜0），抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最低（高）点，也就是说，当x＝－时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小（大）值．探究1 用总长为60 m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化．当l是多少米时，场地的面积S最大？教师引导学生参照问题1的解法，先找出两个变量，然后写出S 关于l的函数解析式，最后求出使S最大的l值．具体步骤可见教材第50页．三、巩固练习1．已知一个矩形的周长是100 cm，设它的一边长为x cm，则它的另一边长为______cm，若设面积为s cm2，则s与x的函数关系式是__________，自变量x的取值范围是________．当x等于_____cm 时，s最大，为_______ cm2.2．已知：正方形ABCD的边长为4，E是BC上任意一点，且AE=AF，若EC=x，请写出△AEF的面积y与x之间的函数关系式，并求出x为何值时y最大．参考答案：1．50－x，s=x(50－x)，0 2．y＝－x2＋4x，当x＝4时，y 有最大值8．四、课堂小结今天学习了什么，有什么收获？五、布置作业习题22.3 第1、4题．第2课时教学内容22.3实际问题与二次函数（2）．教学目标1．会求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．2．能够从实际问题中抽象出二次函数关系，并运用二次函数及性质解决最小（大）值等实际问题．3．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．教学重点1．根据不同条件设自变量x求二次函数的关系式．2．求二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小（大）值．教学难点将实际问题转化成二次函数问题．教学过程一、导入新课复习利用二次函数解决实际问题的过程导入新课的教学．二、新课教学1．探究2：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？教师引导学生阅读问题，理清自变量和变量，根据不同情况列出函数关系式．具体步骤见教材第50页．2．巩固练习重庆某区地理环境偏僻，严重制约经济发展，丰富的花木产品只能在本地销售，区政府对该花木产品每投资x万元，所获利润为P＝－(x－30)2＋10万元，为了响应我国西部大开发的宏伟决策，区政府在制定经济发展的10年规划时，拟开发此花木产品，而开发前后可用于该项目投资的专项资金每年最多50万元，若开发该产品，在前5年中，必须每年从专项资金中拿出25万元投资修通一条公路，且5年修通，公路修通后，花木产品除在本地销售外，还可运往外地销售，运往外地销售的花木产品，每投资x万元可获利润Q＝－(50－x)2＋(50－x)＋308万元．（1）若不进行开发，求10年所获利润最大值是多少?（2）若按此规划开发，求10年所获利润的最大值是多少?（3）根据（1）（2）计算的结果，请你用一句话谈谈你的想法．教师引导学生先自主分析，小组进行讨论．在学生分析、讨论过程中，对学生进行学法引导，引导学生先了解二次函数的基本性质，并学会从实际问题中抽象出二次函数的模型，借助二次函数的性质来解决这类实际应用题．解：（1）若不开发此产品，按原来的投资方式，由P＝－(x－30)2＋10知道，只需从50万元专款中拿出30万元投资，每年即可获最大利润10万元，则10年的最大利润为M1＝10×10＝100万元．（2）若对该产品开发，在前5年中，当x＝25时，每年最大利润是：P＝－(25－30)2＋10＝9.5（万元）．则前5年的最大利润为M2＝9.5×5＝47.5万元．设后5年中x万元就是用于本地销售的投资，则由Q＝－(50－x)＋(50－x)＋308知，将余下的(50－x)万元全部用于外地销售的投资．才有可能获得最大利润．则后5年的利润是M3＝[－(x－30)2＋10]×5＋(－x2＋x＋308)×5＝－5(x－20)2＋3500．故当x＝20时，M3取得最大值为3500万元．∴10年的最大利润为M＝M2＋M3＝3547.5万元．（3）因为3547.5＞100，所以该项目有极大的开发价值．三、课堂小结今天你学习了什么？有什么收获？四、布置作业习题22.3第8题．。
九年级数学教研过程记录(3篇)
第1篇一、教研背景为了提高九年级数学教学质量，加强教师之间的交流与合作，我校于2021年9月开展了九年级数学教研活动。
本次教研活动旨在通过集体备课、听课评课、专题讲座等形式，提升教师的教学水平和专业素养。
二、教研内容1. 集体备课（1）备课主题：九年级数学上册第一章《二次函数》（2）备课内容：本章节包括二次函数的定义、图像、性质、解析式等知识点，重点讲解二次函数的图像和性质。
（3）备课过程：①分析教材，明确教学目标。
本章节的教学目标是让学生掌握二次函数的定义、图像、性质，并能运用二次函数解决实际问题。
②研究学情，制定教学策略。
针对九年级学生的认知特点，采用启发式、探究式教学，引导学生主动参与课堂，提高学习兴趣。
③设计教学环节，优化教学过程。
结合教材内容和学情，设计教学环节，包括导入、新课讲解、练习巩固、总结反思等。
④讨论交流，完善教学设计。
教师们针对教学设计进行讨论，提出修改意见，共同完善教学方案。
2. 听课评课（1）听课对象：九年级全体数学教师（2）听课内容：九年级数学上册第一章《二次函数》第一节课（3）听课过程：①教师认真备课，精心设计教学环节，充分调动学生的学习积极性。
②教师运用多种教学方法，如多媒体教学、小组合作等，提高课堂效率。
③教师关注学生的学习情况，及时调整教学进度，确保学生掌握知识。
（4）评课过程：①教师们针对听课内容进行评课，肯定优点，指出不足。
②针对不足之处，提出改进意见，共同提高教学水平。
3. 专题讲座（1）讲座主题：如何提高九年级数学教学质量（2）讲座内容：①分析九年级学生的心理特点和学习需求，制定合适的教学策略。
②提高教师自身的专业素养，不断学习新知识、新技能。
③加强教学研究，探索有效的教学方法，提高课堂效率。
④关注学生个体差异，实施差异化教学，提高全体学生的成绩。
（3）讲座过程：①教师们认真聆听讲座，积极思考，记录关键内容。
②讲座结束后，教师们针对讲座内容进行讨论，分享自己的心得体会。
“双减”背景下初中数学教学优化策略——以“二次函数”为例
㊀㊀㊀㊀㊀㊀双减背景下初中数学教学优化策略双减 背景下初中数学教学优化策略㊀㊀㊀ 以 二次函数 为例Һ郜冠强㊀（兵希中学，江苏㊀昆山㊀２１５３００）㊀㊀ʌ摘要ɔ 双减 政策的正式实施对教育教学的改革产生了巨大的促进作用．数学是很多学生感到学习困难的一门学科，所以更加应该在 双减 中寻求变革的突破，以让学生更好地适应数学学习．文章介绍了初中数学 双减 背景下的改进措施，并以初中阶段的实际教学案例和教学内容为载体，从上课教学要 精 ，作业布置要 简 ，因材施教要 准 三个方面出发，以苏科版初中数学 二次函数 教学为例阐述了改进教学策略的具体方法．ʌ关键词ɔ 双减 政策；初中数学；教学策略随着基础教育水平质量的逐年提升，学生在小学㊁初中阶段学到的知识也日益增多，义务教育中数学的难度和广度也逐年加大，家庭背景的差异和学校之间的差异，使得每一名学生的数学基础知识水平㊁数理思维逻辑㊁学习态度千差万别，这些差异性的特征最终使得他们的数学成绩差异巨大，同时增加了数学教师在教学中的难度．为此，在 双减 背景下，教师在教学上要有所针对性地设计教学目标㊁教学进度㊁教学内容，以适应每一名学生的不同需要，同时需要研究新的教学方式来符合时代的要求㊁学生的需要和家长的期望．一㊁ 双减 背景双减 政策是为了提高学校课堂教学质量，优化作业布置，提升课后活动质量，减轻学生的课余负担，达到提升学生综合素养，构建教育良好生态的目的．同时 双减 政策也是为了减轻家长的精神负担和家庭的经济负担，让学科教育重新回归学校主阵地．在这样一个背景下，学校的教育教学要为适应 双减 的目标做出相应的改变，而初中教育教学则是重要的一环．在初中教育教学中，由于升学压力的存在，学生㊁家长及教师都在面对学科成绩的压力．所以教师要在教学中寻求改变，提升教学效率，提升作业质量，把 双减 政策落到实处．二㊁数学教学追求 精 简 准初中数学的板块较多，而苏科版九年级 二次函数 是其中综合性较强的一个章节， 二次函数 的教学几乎涉及了初中教学的所有内容，所引申出的题型也千变万化，既涉及代数的求解㊁几何的变换，又需要通过分析图像进行应用题求解等．所以 二次函数 的学习是学生感到最困难的一个内容，也是教师在教学中最具教学难度的章节．教师在讲 二次函数 时，特别是习题讲解和复习时经常会为了面面俱到而讲解太多㊁太难，学生听起来吃力，学起来更加吃力，虽然教师准备充分㊁讲解卖力，但在实际教学效果上收效甚微．为了适应 双减 政策，同时为了提升课堂教学效率㊁习题课效果， 二次函数 这一章节的教学需要进行适当的调整，以提升效率为出发点，减轻学生的学习负担，让中等生㊁后进生能够以最少的时间收获最大的成果，让尖子生能够以适当的练习量得到最大的提升，达到解一题而知百题的学习效果．（一）课上教学要 精课上教学要 精 体现在两个方面：一是提问要 精 ，二是选题要 精 ．首先，提问要 精 ．课堂教学时间有限，留给教师的时间是宝贵的，所以课堂提问需通过 精 将教学效果最大化．例如，在教学苏科版九年级 二次函数的图像与性质 中，很多教师过多地注重提问的总量，误认为提出的问题越多教学效果越好，这样很容易导致课堂教学时间不够用，而有难度的问题又因为时间的关系没有给足学生思考的时间，出现教师自问自答的情况，失去了提问的意义．针对上述问题，在 二次函数 教学中，教师的提问要 精 ，要注重教学效率，如简单的概念题可以通过全班学生回答的方式来完成，以达到提问的目的，即让学生独立思考，并拓展学生的思维．其次，选题要 精 ．教师在教学时所选择的题目要恰当，既要有基础题符合所有学生的学习能力，也要有提高题符合学生的最近发展区，切不可认为难题㊀㊀㊀㊀㊀等于提高题，一味追求难度只会打击学生的学习积极性，最后适得其反．如果教师在课堂教学中能够做到选题 精 ，则能在有限的时间内覆盖更多的知识点，更有助于提升课堂教学效率．如复习课涉及的数学知识点㊁技巧点过多，一堂课很难面面俱到，若选出一道能整合各知识点的综合题，则能促使学生的学习融会贯通．例如，在教学苏科版九年级 二次函数 图像性质的复习课中，教师可以选择一个组合型选择题来覆盖所有内容：例题 如图１，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的对称轴为直线ｘ＝－１，给出下列结论：①ｂ２＝４ａｃ；②ａｂｃ＞０；③ａ＞ｃ；④４ａ－２ｂ＋ｃ＞０，其中正确的个数有（㊀㊀）．图１Ａ．１个㊀㊀㊀Ｂ．２个㊀㊀㊀Ｃ．３个㊀㊀㊀Ｄ．４个这是一道 二次函数 图像的综合运用题，题目包含了确定 二次函数 系数符号，对称轴的运用， 二次函数 与一元二次方程的综合运用，代值确定函数值等内容，题目只有一个，但是涵盖了 二次函数 图像中的大部分内容，学生通过这一题目能够复习之前所学的知识．（二）作业布置要 简数学作业的布置要 简 ，简的含义是要让学生做起来简单．而如何让学生做起来简单，则体现在备课与作业要贯通，教师上课讲的内容要和学生课后作业有联系．这对小学数学教学来说难度不大，但对初中数学教学来说却很难．例如，在教学 解一元一次不等式 时，教师在课堂上一般着重讲解 解不等式 这一内容，在教师的讲解和学生的演练上，一节课转瞬即逝，学生基本学会了解不等式，也知道应该注意什么，看似掌握得很好，但是做作业时错误百出．例如这样一个问题：已知关于ｘ的方程３（ｘ－２ａ）＋２＝ｘ－ａ＋１的解适合不等式２（ｘ－５）ȡ８ａ＋１，求ａ的取值范围．其实此题的难度不大，但部分学生在解题时还是会出现不会解答的情况，主要是因为不能理解题目的含义．教师虽然在课堂上对解不等式讲解得非常详细，但忽略了数学题目表述方式的多样化，有时候换了一种形式提问学生可能就不会了．这也是目前学生学习数学比较头疼的地方，长此以往将会影响学生学习数学的积极性，对自信心也会产生负面影响，甚至对今后的数学学习产生畏难情绪．课后作业的目的是巩固课堂所学，所以教师应考虑布置什么形式的课后作业，所布置的作业内容要巩固哪部分课堂教学内容．简 ，不单单只是学生做起来简单，教师也要控制题量，题海战术不可取．大量重复题目的堆积，会使学生疲于应付，作业效果反而会越来越差．长久以来， 数量多 计算量大 难度高 是数学作业的标签．特别是到了初三，数学作业过于注重知识㊁概念㊁方法的检测，形式单一㊁内容雷同，充满了应试教育的色彩．题海战术虽然会有短期的效果，但是在整个初三下半学期过多采用题海战术的话，容易造成学生消极心理的出现，导致学习效率低下．教师在选择作业时一定要控制题量，做到精讲精练，在设计作业时，要分别从内容㊁能力㊁情境三个维度构建作业框架．同时，教师对习题数量的设计要根据学生所能完成的平均时间设定．教师要认识到布置作业的目的是培养学生主动学习，提高学生的探究能力，提升学生科学素养的重要途径．课后作业及作业的订正与反思是一体化的，教师所布置的课后作业要达到加深学生理解课堂内容记忆的目的，从而逐渐提升学生各方面的思维．（三）因材施教要 准初中是学生分化的重要时期，不同班级的学情不一样，同一班级不同学生的能力也不一样，所以因材施教显得尤为重要．因材施教也是分层教学，是初中教学的一大难点，也是最重要的一环．因材施教，首先需要教师了解班级的整体学情，并在此基础上对班级学生的能力进行评估，一般来说可以分成３个层次，然后根据３个层次学生的能力，挖掘他们的最近发展区．最近发展区是教学发展的最佳期，即 教学最佳期 ．在 教学最佳期 对学生进行教学是最有效的教学．所以说，教师在教学过程中应考虑学生现有的知识基础㊁能力水平，并以此为基础设定教学目标和教学内容．在具体教学中，教师首先要充分备课，考虑不同学生的能力层级，设置不同难度的题型．如果整体题目难度过大，那么对中等及以下的学生来说打击巨大，不但会挫伤他们的学习积极性，还会使其产生对数学的畏难情绪，长此以往将会对数学的学习失去兴趣．如㊀㊀㊀㊀㊀㊀果整体题目难度太简单，那么对优秀的学生来说不管是课堂学习，还是课后做作业都会觉得枯燥无味，会让他们失去对数学探索的热情和冲击高分的激情．教师在数学教学上的因材施教主要体现在课堂教学和课后作业两个方面．首先是课堂教学上的因材施教．由于课堂是一个整体，大家做的题目都是一样的，教师不能在课堂上人为将学生 分层 ，所以课堂上的 分层 要有智慧，可以在一个题目中设置分层难度：例题１㊀如图２，在四边形ＡＢＣＤ中，øＢ＝øＣ＝９０ʎ，Ｐ是边ＢＣ上的一点，ＰＡ＝ＰＤ，øＡＰＤ＝９０ʎ．求证：ＡＢ＋ＣＤ＝ＢＣ．图２㊀图３例题２㊀如图３，在四边形ＡＢＣＤ中，øＢ＝øＣ＝４５ʎ，Ｐ是边ＢＣ上的一点，ＰＡ＝ＰＤ，øＡＰＤ＝９０ʎ．求ＡＢ＋ＣＤＢＣ的值．问题１较为简单，考查了 Ｋ型 的运用，几乎所有学生都可以独立完成；而问题２难度陡增，学生需要作出相应的辅助线构建 Ｋ型 再进行求证．教师在课堂上设置这样的题目，既能照顾到中等及中等以下学生的基础运用，又能照顾到中等及以上学生的能力拓展，做到了一题多用，一题分层教学．其次是在作业中进行 分层 ．作业中的分层相对而言较为简单，教师可以直接设置不同的题目让学生进行选做．例如，在二次函数图像的综合运用中，虽然题目看上去差不多，但实际上做起来难度则差距巨大．例如下面两个题目：例题３㊀如图４，对于二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的图像，得出了下面五条信息：①ｃ＞０；②ｂ＝６ａ；③ｂ２－４ａｃ＞０；④ａ＋ｂ＋ｃ＜０；⑤对于图像上的两点（－６，ｍ），（１，ｎ），有ｍ＜ｎ．其中正确的是．图４㊀图５例题４㊀如图５，抛物线ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的对称轴为直线ｘ＝－２，与ｘ轴的一个交点在（－３，０）和（－４，０）之间，其部分图像如图所示，则下列结论：①４ａ－ｂ＝０；②ｃ＜０；③－３ａ＋ｃ＞０；④４ａ－２ｂ＞ａｔ２＋ｂｔ（ｔ为实数）；⑤点－９２，ｙ１æèçöø÷，－５２，ｙ２æèçöø÷，－１２，ｙ３æèçöø÷是该抛物线上的点，则ｙ１＜ｙ２＜ｙ３．正确的结论有．这两个题目的考点完全一样，但是难度则大不相同．例题３的难度较为简单，因为图像直接给出了二次函数与ｘ轴的交点坐标，所以图像清晰明了，对称轴也能直接得到，例４的难度则比较大，特别是③④⑤点的判断，适合中等以上的学生．因为先天条件㊁家庭因素和成长的环境不同，一个人智力的成长也是不一样的，每名学生数学能力不同，能够接受的题目难度也不同，教师要了解不同学生的不同能力，精心选题，先提高学生学习的积极性，再因材施教．结㊀语综上所述， 双减 政策的落地主要是为了提升课堂教学效果，减轻学生课后作业负担，促进学生更加全面的发展．在此背景下，初中教师应做出相应的改变，可以通过分层优化课后作业㊁因材施教等教学策略，提升学生课堂学习效率，使学生能够更加轻松地学习数学知识，进而提升学生的学习兴趣和学习主动性．ʌ参考文献ɔ［１］胡启宙，孙庆括．初中数学教师课堂提问的方式和反馈水平实证研究：基于三位教师课堂录像的编码分析［Ｊ］．数学教育学报，２０１５，２４（４）：７２－７５．［２］郜冠强．乡村中学初三数学走班制教学的现状问题与对策研究［Ｄ］．锦州：渤海大学，２０２１．［３］马晓强．作业分层设计在初中数学教学中的有效实施［Ｊ］．中学课程辅导（教师教育），２０２１（２）：１０３－１０４．［４］刘焕新．解密分层教学［Ｍ］．北京：北京知识出版社．２０１６．［５］虎进万．最近发展区理论与分层教学的实施［Ｊ］．学周刊，２０１８（３４）：１１８－１１９．。
九年级数学下册《二次函数》教学反思
九年级数学下册《二次函数》教学反思（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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对初高中函数教学衔接问题的探讨——以二次函数为例
-057-2021年第12期︵总第264期︶教学案例JIAOXUE ANLI引 言函数概念是中学数学中一个十分重要的基本概念，在整个中学阶段的数学学习中起着非常重要的作用。
在初中阶段，学生只需了解函数的基本概念及基本性质，如单调性、奇偶性、周期性等即可。
而不同于初中函数的学习，高中阶段，学生要学习函数的概念、定义域、函数解析式等更加抽象的内容。
函数的基本性质也需要在任意函数中体现出来，而并不只局限于某一特殊函数［1］。
正是这些严密抽象的数学语言、多变丰富的表达方式，使得函数成为刚步入高中阶段的学生最难理解与掌握的内容。
因此，要想做好高中函数的入门教学工作，教师就要处理好二次函数的教学衔接工作。
本文主要从初高中二次函数的教学差异着手，提出了初高中二次函数教学衔接的具体建议。
一、初高中二次函数教学差异（一）要求不同初中对二次函数的要求相对较低，只要求学生了解常量与变量的含义，能从变量的角度来理解二次函数的概念，能通过描点、画图掌握二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点、函数的对称轴、有无最值的求解即可。
高中对二次函数的要求则相对较高，要求学生学会用集合对应的语言来刻画二次函数，并且此阶段学习的二次函数更加抽象、复杂。
对于二次函数解析式和最值的考查，在初中的教学中，教师往往会通过以下例题引入。
例1：已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A (-1,10)，B (1,4)，C (2,7)三点。
（1）求该抛物线的解析式；（2）利用配方法或公式法求该抛物线的顶点坐标和对称轴。
解：（1）由已知的三点，可得关于a ，b ，c 的三元一次方程组解这个方程组，得a =2，b =-3，c =5.所求二次函数是y =2x 2-3x +5（2）根据公式法，对称轴，顶点坐标是,则y =2x 2-3x +5的对称轴为34，顶点坐标为.而在高中数学教学中，例题的难度会增加很多。
例2：已知f (x )=ax 2-2x +1，若13≤a ≤1，且f (x )在[1,3]上的最大值为M (a )，最小值为N (a )，令g (a )=M (a )-N (a )，求g (a )的表达式.解：因为，由13≤a ≤1，得1≤1a ≤3，所以.当1≤1a ≤2，即12≤a ≤1时，M (a )=f (3)=9a -5，故；当2≤1a≤3，即13≤a ≤12时，M (a )=f (1)=a -1，故.所以由以上例题可知，初中求解二次函数的解析式一般是用待定系数法，求顶点或顶点坐标一般也采用配方法或者公式法；而学习高中二次函数，要求学生能够熟练地应用配方法讨论函数的对称轴及最值问题，理解不同形式的最值、单调性问题，掌握所应用的数形结合思想、分类讨论思想及化归与转化的数学思想。
传道 授业 解惑——关于二次函数配方法教学的思考
生： 老师 ， 你今 天讲 的二次 函数 的
配 方法 是 怎 么 同事 ？ 我 们 没 有 芹清 楚 ．
师： 哪里不 明白？我们来举个例子 说明吧 ！将 函数ｙ ＝ ３ ｘ ２ － ２ ＋ ４ 进行 配方处 理． 二次 函数 的二次项 系数 是多少？
生： 是３ ， 要 先 提公 因式 ．
２ Ｘ ２ ＋ ２ Ｘ ＋ Ｈ ｓ ］ ．
第＿ 二步 ， 整 理 配方 的前 二 ｔ 项 可 组 成 一 个 完 全 平
凝 聚的思维过程． 通过配方法 ．能使学
生 正确认 知一些 对二次 函数进行 处理
师 ： 整 理 可 得 ｙ ＝ ３ （ ２ 一 ； ＋ ； ） ，
生 对认 知世 界 的兴 趣 ．
生： 对．
师： 然 后进 行 配 方 ， 配 Ｉ 一 次 项 系 数 一 半 的 平 斤 ， 整 理 得 ｖ＝
讲解完 毕之后 ， 根据 以往 的教学 经 验， 笔者对学 生说 ： “ 町能有 部分同学 不 明白配方法 的理 由， 请 大家按 照老师的
配方了． ” 课堂之上 ， 笔者准备 了几道二
次函数 配方 练习题 给学生 ， 并请几位成
绩 较好 的学生板 演 ，完 成质量非 常不
：
笔 者 板 书 ： ｙ ＝ ｓ ｆ （ 一 ） ２ 一 １ ＋ － ］
３ ｆ 一１
＼ ３／ ３
错 ．于 是笔者 厂 ｛ 认 为本 堂课 应该效 率
有提 出、 配方 式 中 的运 算 出错 、 配 方
艾滨浩斯遗忘 曲线告诉 ห้องสมุดไป่ตู้们 ， 不是
九年级数学上册 22.1.1 二次函数 二次函数的概念教案 新人教版(2021-2022学年)
一、新课导入问题1：正方体的六的面都是什么图形?（全等的正方形) （1)设正方体的棱长确定之后,正方体的表面积是否也随之确定了?y 是x 的函数吗?（２)ｘ的值是否可以任意取?如果不能任意取,请求出它的范围。
ｘ的值不能任意取,其范围是ｘ0。
(３)求y 与x 的函数关系式.ｙ=6(ｘ0）。
问题２：ｎ个球队参加比赛，每两个对之间进行一场比赛,比赛的场次数ｍ与球队数n 有什么关系？师生合作探究：每个队要与其他（n-1)个球队各比赛一场，甲队对乙对的比赛与乙对对甲队的比赛是同一场比赛。
所以比赛的场次数m=,即问题 3 :某种产品现在的年产量是２0t,计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x 倍,那么两年后这种产品的产;量y 将随计划所定的值而确定,y 与x 之间的关系应怎样表示?师生合作探究:这种产品的原产量是20t ，一年后的产量是2０（1＋x ）t,再经过一年后的产量是2０（1+x)（1+ｘ)t,即两年后的产量y=20(１+x),即y= 二、探究新知教师引导学生观察函数关系式,提出以下问题让学生思考回答:（1） 上述函数关系式的自变量各有几个?（2） 上述函数关系式有什么共同点?师生共同探究：都是用自变量的二次多项式来表示的。
≥2x ≥)1(21-n n n n m 21212-=22040202++x x教师总结二次函数的定义:一般地，形如y ＝（a ，ｂ,ｃ是常数，ａ≠0)的函数,叫做x 的二次函数。
其中,x 是自变量,a ，b ，c 分别是函数解析式的二次项的系数、一次项的系数和常数项。
提出问题:概念中的二次项的系数ａ为什么不能是0？b 和ｃ可以是０吗?如果ｂ和c 有一个０，上面的函数式可以改写成怎样？你认为他们还是二次函数吗?如果b 和c 全为0,上面的函数式可以改写成怎样？你认为他还是二次函数吗？你认为一个函数是二次函数，关键是看什么？课堂练习下列函数中，哪些是二次函数？（１）y=5ｘ+1;（2)4ｘ;(3）y=2x ;(4）ｙ＝５x 三、巩固练习四、课堂小结本节课主要学习了:1、二次函数的概念，用二次函数的模型描述客观世界的某些变化规律. 2、 判断一个函数是否为二次函数的关键是看函数的最高项的次数是否为２。
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第三单元 函数及其图像
第14课时 二次函数
教学目标
【考试目标】
1.了解二次函数的意义，根据已知条件确定二次函数的表达式，会用待定系数法
求函数表达式.
2.会画二次函数的图象，根据二次函数的图象和解析表达式理解其性质，会用配
方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.
3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解.
【教学重点】
1.了解二次函数的概念，以及二次函数解析式的三种形式.
2.掌握二次函数的图象与性质.
3.掌握用待定系数法求二次函数的解析式.
4.掌握二次函数系数与图象的关系.
5.掌握二次函数图象的平移，了解二次函数图象的对称，旋转.
6.掌握二次函数与一元二次方程的关系.
教学过程
一、体系图引入，引发思考
二、引入真题，深化理解
【例1】（2017年长沙）抛物线y=2（x-3）
2
+4的顶点坐标是（A）
A.（3，4） B.（-3，4） C.（3，-4） D.（2，4）
【解析】由题意可得：y=2（x-3）
2
+4是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特
点可知，顶点坐标为（3，4）.故选A.
【考点】此题考查了二次函数的性质.
【例2】如图，已知二次函数y=ax
2
+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（-1,0），
与y轴的交点B在（0,-2）和（0,-1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x=1，
下列结论：（D）
①abc＞0 ②4a+2b+c＞0
③4ac-b2＜8a ④
⑤b＞c
A.①③ B.①③④
C.②④⑤ D.①③④⑤
【解析】①中，∵函数图象开口向上，∴a＞0，对称轴在y轴右侧，故ab异号，
12
33
＜＜a
抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0.∴abc＞0，故①正确.
②中，∵二次函数图象与x轴的一个交点为A（-1,0）函数图象对称轴为
x=1，∴该二次函数图象与x轴的另一个交点为（3,0），由题可知当-1＜x＜3时，
y＜0，故当x=2时，y=4a+2b+c＜0，故②错误.
③中，∵图象与x轴有两个交点，∴b
2-4ac＞0，故4ac-b2
＜0，又因为a
＞0，∴8a＞0，∴4ac-b2＜8a，故③正确.
④中，∵函数图象与x轴的一个交点为（-1,0），∴当x=-1时，a-b+c=0，
c=b-a.又因为对称轴为x=1，则 即b=-2a，∴c=-3a.又∵函数图象与y轴交
点在（0，-2）（0，-1）之间，∴-2＜c＜-1，即-2＜-3a＜-1，∴ .故④正
确.
⑤中，∵a＞0，∴b-c＞0（a=b-c），即b＞c.故⑤也正确.
故选择D选项.
【考点】考查了二次函数系数与图象间的关系，熟练掌握二次函数图象的性质对
理解二次函数系数与图象之间的关系有很大的帮助.
【例3】（2017年浙江）下列函数中，y关于x的二次函数的是
（B）
A. y=2x+1 B.y=2x（x+1） C.22xy D.y=(x-2)2-x2
【解析】A.y=2x+1是一次函数，故A错误；B.y=2x（x+1）是二次函数，故B正
确；C.22xy不是二次函数，故C错误；D.y=(x-2)2-x2是一次函数，故D错误.
【考点】本题考查了二次函数的定义.
【例4】设抛物线的解析式为y=ax2过点B
1
(1, 0)作x轴的垂线，交抛物线于点
A1 (1, 2 )；过点B2（ ）作x轴的垂线，交抛物线于点A2，······，
过点B
n（ ）（n为正整数）作x轴的垂线，交抛物线于点An
，连接
An Bn+1 , 得直角三角形AnBnBn+1.
（1）求a的值；
（2）直接写出线段A
nBn，BnBn+1
的长（用含n的式子表示）；
（3）在系列Rt△A
nBnBn+1
中，探究下列问题：
①当n为何值时，Rt△A
nBnBn+1
是等腰直角三角形？
②设1≤k＜m≤n(k , m均为正整数) ，问是否存在Rt△A
kBkBk+1
与
Rt△AmBmBm+1相似？若存在，求出其相似比；若不存在，说明理由.
12ba
12
33
＜＜a
11,02n
1
,0
2
【解析】（1）把A（1,2）代入y=ax2得：2=a×1，∴a=2.
（2）AnBn=
BnBn+1=
（3）①若Rt△AnBnBn+1是等腰直角三角形，则AnBn= BnBn+1.
，∴n=3.
②若Rt△AkBkBk+1与Rt△AmBmBm+1相似，则
且m，k都是正整数，∴ 或 .
代入得相似比为8:1或64:1.
【考点】此题考查了二次函数解析式的求法，以及二次函数与寻找规律以及三角
形结合起来考查.
【例5】如图，二次函数y=ax
2
+bx的图象经过
点A（2,4）与B（6,0）.
（1）求a，b的值；
（2）点C是该二次图像上A,B两点之间的一个动点，
横坐标为x（2＜x＜6）,写出四边形OACB的面积关于点C横坐标的函数表达式，
并求出S的最大值.
【解析】（1）将A（2,4）与B（6,0）代入y=ax
2
+bx，得
解得
（2）如图，过A作x轴的垂线，垂足为D（2,0）,
连接CD，过C作CE⊥AD，CF⊥x轴，垂足分别
为E、F.则：
2
23321122.22n-1=nn
11111111222222nnnnn
3222nn
1111或kkkkkkkkmmmmmmmmABBBABBBABBBBBAB
323232322222,22226或或＞，kkkkmmmmmkkmmk
Q
51mk
42mk
1
2
3ab
4243660abab
【考点】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式，并且结合多边形的面积
考查了二次函数的应用以及二次函数的最值问题.熟练掌握二次函数的性质，会
合理分割不规则多边形是解决本题的关键.
三、师生互动，总结知识
先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.
课后作业
布置作业：同步导练
教学反思
本课时内容单独理解并不是很难，但是要熟练应用，还要结合其他知识熟练掌握
很难，大家要多多练习，尽可能熟练的掌握本课时的知识.
22
22
2
11
244.22114224.22111436.2224246826.48416.△OAD△ACD△BCD△OAD△ACD△BCDmaxSSS∴S=SSS＜＜S=-=ODADADCExxBDCFxxxxxxxxxx