数学---上海市复旦大学附中2016-2017学年高二(上)期中试卷(解析版)
复旦附2016学年第一学期高二年级数学期末考试试卷
复旦大学附属中学2016学年第一学期高二年级数学期末试卷一填空（每题4分，共48分） 1.抛物线22y x =的准线方程是21-=x ． 2.直线l 过抛物线22(0)y px p =>的焦点，且与x 轴垂直，若直线l 被抛物线截的线段长为4，则p =2．3.过点()2,2-且与2221x y -=有公共渐近线的双曲线方程是14222=-x y ． 4.若椭圆的两焦点分长轴为三等分，则短轴与长轴的长度的比值为322． 5.p 为双曲线221916x y -=上的动点，过p 作x 轴的垂线，D 为垂足，则PD 的中点轨迹方程是14922=-y x ． 6.过点()0,2p 且与圆()2234x y -+=相切的直线的方程为2=y 或2512+-=x y ． 7.直线y kx m =+与双曲线22221x y a b-=的交点个数最多有 2个．8.设1F 和2F 为双曲线221124x y -=的两个焦点，点p 在双曲线上，且满足1290F PF ∠= ，则的12F PF ∆面积是 4．9.参数方程2cos 1sin x y θθ⎧=⎨=+⎩（θ为参数）化为普通方程是()[]1,0,112∈=-+x y x ．10.过点()1,1p -作直线与椭圆22142x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点为p ，则直线AB 的方程是 032=+-y x ．11.对于直线()()3y k x x R =-∈与双曲线22127x y m -=，某学生作如下变形：由()223127y k x x y m =-⎧⎪⎨-=⎪⎩消去y 后得到形如：20ax bx c ++=的方程，当0a =时，该方程恰有一解；当0a ≠时，240b ac ∆=-≥对一切使0a ≠的k 恒成立。
假设该学生的演算过程是正确的，根据该学生的演算过程提供的信息，则实数m 的取值范围为(]9,0 ．12.在平面直角坐标系中，定义：()2112,d P Q x x y y =-+-为两点()()1122,,,P x y Q x y 之间的“折线距离”。
数学-高二-上海市复旦大学附属中学高二上学期期中考试数学试题
复旦大学附属中学2015学年第一学期 高二数学期中考试试卷2015．11考试时间：100分钟 满分：120分请将所有答案写在答题纸上一、填空题（毎题4分，共48分）1．线性方程组21200x z x y y z -=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩的增广矩阵是________2．计算矩阵乘积： 1 0 0 1x y u v -⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎝⎭⎝⎭=________3．直线410x y ++=的倾斜角α=________4．直线1:4360l x y ++=与直线2:8610l x y +-=的距离是________5．已知4a =，e 为单位向量，当a 与e 的夹角为120︒时，a 在e 方向上的投影是________ 6．已知向量()2, 1a =-，()1, b m =-，()1, 2c =-，若()a b c +∥，则实数m =________ 7．已知等比数列{}n a 的首项11a =，公比为()0x x >，其前n 项和为记为n S ，则函数()1lim nn n S f x S →∞+=的解析式为________8．已知a ，b 是平面内两个相互垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=，则c 的最大值为________9．若光线经过点()2, 3P 射到直线10x y ++=上，反射后经过点()1, 1Q ，则反射光线所在的直线方程为________10．如图，在ABC △中，13AM AB =，14AN AC =，BN 与CM 交于点E ，若AE xAB y AC =+，则x y +=________MNE CBA11．作边长为1的正三角形的内切圆，在这个圆内做新的内接正三角形，在新的正三角形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的面积为________ 12．已知R α∈，()ππ2k k Z α≠+∈，设直线:tan l y x m α=+，其中0m ≠，给出下列结论： ①直线l 的方向向量与向量()cos , sin a αα=共线；②若π04α<<，则直线l 与直线y x =的夹角为π4α-；③直线l 与直线sin cos 0x y n αα-+=（n m ≠）一定平行；写出所有真命题的序号________ 二、选择题（每题4分，共16分）13．“1a =”是“直线1y ax =+与直线()21y a x =--垂直”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件14．设()f x 是定义在正整数集上的函数，且满足：对于定义域内任意的k ，若()2f k k ≥成立，则()()211f k k ++≥成立。
2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷
6.关于x，y的二元线性方程组nx−3y=2的增广矩阵经过变换，最后得到的矩阵为22tanθ−sinθ=0有两个不等实根a和b，那么过点A a,a2，B b,b2的直线与圆2016年上海中学高二上学期数学期中考试试卷一、填空题（共12小题；共60分）1.已知A4,6，B−3,−1，C5,−5三点，则经过点A且与BC平行的直线l的点斜式方程为．2.已知a=1，b=2，且λa+b⊥2a−λb，a与b的夹角为60∘，则实数λ=3.直线x+3y+2=0与直线x+1=0的夹角为．y≥0,4.设变量x，y满足约束条件x−y+1≥0,则z=2x+y的最大值为．x+y−3≤0,5.圆心为1,2且与直线5x−12y−7=0相切的圆的方程为．．2x+my=5,103011则m=．n7.对任意实数m，圆x2+y2−2mx−4my+6m−2=0恒过定点，则其坐标为．，2x74x8.在行列式4−34中，第3行第2列的元素的代数余子式记作f x，则y=1+f x的零65−1点是．9.已知定点A0,−5，P是圆x−22+y+32=2上的动点，则当PA取到最大值时，P点的坐标为．10.已知P是△ABC内的一点，且满足PA+3PB+5PC=0，记△ABP，△BCP，△ACP的面积依次为S1，S2，S3，则S1:S2:S3=．11.若直线y=x+b与曲线y=3−4x−x2有公共点，则实数b的取值范围是．12.已知a>1，x≥1，y≥1，且loga x+logay=logaa4x4+logaa4y4，则logaxy的取值范围是．二、选择题（共4小题；共20分）x y113.已知直线方程为351=0，则下列各点不在这条直线上的是 −231A.−2,3B.4,7C.3,5D.0.5,414.直线2x+3y−6=0关于点1,−1对称的直线方程是 A.2x+3y+7=0 C.2x+3y+8=0B.3x−2y+2=0 D.3x−2y−12=015.若O为△ABC的内心，且满足OB−OC⋅OB+OC−2OA=0，则△ABC的形状为 A.等腰三角形B.正三角形C.直角三角形D.以上都不对16.已知方程x2+x1x2+y2=1的位置关系是 A.相交B.相切C.相离D.随θ值的变化而变化三、解答题（共5小题；共65分）mx+y=−1,17.利用行列式解关于x，y的二元一次方程组3mx−my=2m+3.18.设两个向量a，b满足a=2，b=1，a，b的夹角为60∘，若向量2t a+7b与向量a+t b的夹角为钝角，求实数t的取值范围．19.已知直线l过点1,3，且与x轴、y轴都交于正半轴，求：（1）直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值及此时直线l的方程；（2）直线l与两坐标轴截距之和的最小值及此时直线l的方程．20.已知A0,2是定圆C:x2+y2=16内的一个定点，D是圆上的动点，P是线段AD的中点，求：（1）P点所在的曲线方程E；（2）过点A且斜率为−3的直线与曲线E交于M，N两点，求线段MN的长度．421.在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，r（r>0）为半径的定圆C，与过原点且斜率为k1（k≠0）的动直线交于P，Q两点，在x轴正半轴上有一个定点R m,0，P，Q，R三点构成三角形，求：（1△）PQR的面积S1的表达式，并求出S1的取值范围；（2△）PQR的外接圆C2的面积S2的表达式，并求出S2的取值范围．3− 2 2【解析】关于 x ，y 的二元线性方程组 nx − 3y = 2 的增广矩阵经过变换可化为：2x + my = 5, x = 3, 6 + m = 5,答案第一部分1. y − 6 = − 1 x − 42【解析】k BC = −1+5 = − 1，利用点斜式可得：y − 6 = − 1 x − 4 ．2. −1 ± 3【解析】因为 λa + b ⊥ 2a − λb ， 所以 λa + b ⋅ 2a − λb = 0，所以：2λa 2 + 2 − λ2 a ⋅ b − λb 2 = 0，所以 2λ × 1 + 2 − λ2 × 1 × 2 × 1 − λ × 22 = 0， 2所以 λ2 + 2λ − 2 = 0，解得 λ = −1 ± 3． 3. 60∘【解析】因为直线 x + 3y + 2 = 0 的斜率为 − 13= − 3 ，故它的倾斜角为 150∘，3因为直线 x + 1 = 0 的斜率不存在，故它的倾斜角为 90∘，故直线 x + 3y + 2 = 0 与直线 x + 1 = 0 的夹角为 150∘ − 90∘ = 60∘．4. 6y ≥ 0,【解析】由约束条件 x − y + 1 ≥ 0, 得如图所示的三角形区域，x + y − 3 ≤ 0三个顶点坐标为 A 1,2 ，B −1,0 ，C 3,0 ，由 z = 2x + y 可得 y = −2x + z ，则 z 表示直线 y = −2x + z 在 y 轴上的截距，截距越大，z 越大，直线 z = 2x + y 过点 C 3,0 时，z 取得最大值为 6． 5. x − 1 2 + y − 2 2 =4【解析】所求圆的半径就是圆心 1,2 到直线 5x − 12y − 7 = 0 的距离：d = 所以圆的方程： x − 1 2 + y − 2 2 = 4． 5×1−12×2−7 52+ −12 2= 2，6. − 352x + my = 5, 1 0 3 0 1 1m = −1,故 y = 1 是方程组 nx − 3y = 2 的解，即 3n − 3 = 2, 解得： n = 5 ,3，A 32 = − 2 93所以 m = − 3．n57. 1,1 或 1 , 75 5【解析】x 2 + y 2 − 2mx − 4my + 6m − 2 = 0，所以 x 2 + y 2 − 2 = 2x + 4y − 6 m ，所以x 2 + y 2 − 2 = 0,2x + 4y − 6 = 0,解得 x = 1，y = 1 或 x = 1，y = 7．55所以定点的坐标是 1,1 或1 , 7 5 5．8. −1【解析】第 3 行第 2 列的元素的代数余子式x 4x4 4= −4 × 2x + 4 × 4x = −2x +2 1 − 2x . 所以 f x = −2x +2 1 − 2x ，y = 1 + f x= 1 − 2x +2 1 − 2x .令 y = 0，即 2x +2 1 − 2x = 1，解得：x = −1．9. 3, −2【解析】由题意，当 PA 取到最大值时，直线 PA 过圆心 2, −3 ，则直线 PA 的斜率为 1，直线方程为 y = x − 5，与圆的方程联立，可得 x − 2 2 + x − 2 2 = 2，所以 x = 3 或 1，根据题意，当 PA 取到最大值时，P 点的坐标为 3, −2 ．10. 5: 1: 3【解析】记 △ ABC 的面积为 S ，因为 PA + 3PB + 5PC = 0，所以 − 1 PA = 3 PB + 5 PC = PD ，888则 D 在 BC 上，且 BD : CD = 5: 3，故 PD : AD = 1: 9，即当以 BC 为底时，△ BCP 的高是 △ ABC 的 1，9所以 S 2 = 1 S ，9同理：S 1 = 5 S ，S 3 = 1 S ， 所以 S 1: S 2: S 3 = 5: 1: 3． 11. 1 − 2 2, 3【解析】在同一平面直角坐标系中画出曲线 y = 3 − 4x − x 2（注：该曲线是以点 C 2,3 为圆心、 2 为半径的圆不在直线 y = 3 上方的部分）与直线 y = x 的图象如图所示，2=2，b=1−22．2222平移该直线，结合图形分析可知，当直线沿y轴正方向平移到点0,3的过程中的任何位置，相应的直线与曲线y=3−4x−x2都有公共点；注意到与y=x平行且过点0,3的直线的方程是y=x+3；当直线y=x+b与以点C2,3为圆心、2为半径的圆（圆不在直线y=3上方的部分）相切时，有2−3+b结合图形可知，b的取值范围是1−22,3．12.23+2,4+42【解析】由题意：logax+logay=logaa4x4+logaa4y4，化简可得：logax−4logax+logay−4logay=8，令m=log a x，n=log a y，则有：n2+m2−4m−4n=8，且log a xy=n+m．因为a>1，x≥1，y≥1，所以n≥0，m≥0，因为n2+m2−4m−4n=8⇒n−22+m−22=42表示为2,2为圆心，半径为4的圆．令m+n=Z Z≥0，则n+m−Z=0．数形结合法：如图：当直线m+n−Z=0过B点或A点时最小．当直线m+n−Z=0过C点时最大．可知：A23+2,0，故得Z min=23+2，即为log a xymin=23+2．当过C点时，直线与圆相切，d=r=4=4−Z2，解得：Zmax=4+42，即为logaxymax=4+42．所以：logaxy的取值范围是23+2,4+42．第二部分22+32 ．化简得： c − 1 = 7．即 c = −6 或 c = 8． sin θ = 0的两个不等的实根，得到 a + b = −tan θ −tan θ，sin θ ，所以直线 l AB : y = b + a x − a +b + a +b ．x y 113. B 【解析】 3 5 1 = 5x − 2y + 9 + 10 − 3y − 3x = 0，整理得：2x − 5y + 19 = 0．−2 3 1由当 x = −2，y = 3 时，2x − 5y + 19 = −2 × 2 − 5 × 3 + 19 = 0，故 −2,3 在直线上，当 x = 4，y = 7 时，2x − 5y + 19 = 8 − 35 + 19 = 8 ≠ 0， 所以 4,7 不在直线上，当 x = 3，y = 5 时，2x − 5y + 19 = 6 − 25 + 19 = 0， 所以 3,5 在直线上，当 x = 0.5，y = 4 时，2x − 5y + 19 = 1 − 20 + 19 = 0， 所以 0.5,4 在直线上． 14. C 【解析】解法一：因为直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线斜率不变， 故设对称后的直线方程 l ʹ 为 2x + 3y + c = 0， 又因为点 1, −1 到两直线距离相等．所以 2−3+c 22+32= 2−3−6所以 l ʹ 方程为 2x + 3y − 6 = 0（舍）或2x + 3y + 8 = 0， 直线 2x + 3y − 6 = 0 关于点 1, −1 对称的直线方程是 2x + 3y + 8 = 0． 解法二：在直线 2x + 3y − 6 = 0 上任选两点，比如 A 0,2 ，B 3,0 ， 所以点 A ，B 关于点 1, −1 对称的点 Aʹ，Bʹ 在所求直线上． 因为 A 与 Aʹ 的中点为点 1, −1 ，所以点 Aʹ 2, −4 ，同理可得 Bʹ −1, −2 ． 由两点式得直线 AʹBʹ 方程为：2x + 3y + 8 = 0．15. A【解析】由已知得 CB ⋅ AC + AB = 0，即 BC 边的中线即为高，所以 AB = AC ．16. B 【解析】由 a 和 b 为方程 x 2 + x 1 1ab = −1又 A a , a 2，B b , b 2 ， 得到直线 AB 的斜率 k = a2−b 2a−b= a + b ，线段 AB 的中点坐标为a +b , a 2+b 2 2 2，2 22 2由圆 x 2 + y 2 = 1，得到圆心坐标为 0,0 ，半径 r = 1，则圆心到直线 AB 的距离a 2+b 2 − −3m −m = −m 2 − 3m = −m m + 3 ，= −m − 3，D y = 1 设 2t a + 7b ≠ −k ⋅ a + t b （k > 0），则 7 ≠ −kt , 得 t ≠ ± 14，d==a +b 2 2 2 12 + a + b 2a +b 2−2ab a +b 22 2 12 + a + b 2===1 = r .ab12 + a + b1 sin θ1 1+tan 2θ2所以直线 AB 与圆的位置关系是相切．第三部分17. 由题意得，D = m 1则 D x = −1 1 m −1 2m + 3 −m 3m 2m + 3= 2m 2 + 6m = 2m m + 3 ，（1）当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，D ≠ 0，原方程组有唯一组解，所以 x =1 D × D x = m ，y =1 D× D y = −2，（2）当 m = 0 时，D = 0，D x = −3 ≠ 0，原方程组无解；（3）当 m = −3 时，D = 0，D x = 0，D y = 0，原方程组有无穷组解．综上，当 m = 0 时，无解；当 m = −3 时，无穷解；当 m ≠ 0 且 m ≠ −3 时，有唯一解，x = 1 ， my = −2．18. 由题意可得 a ⋅ b = 2 × 1 × cos60∘ = 1，设向量 2t a + 7b 与向量 a + t b 的夹角为 θ，则 θ ∈ 90∘, 180∘ ，则有 cos θ < 0，且 cos θ ≠ −1．即 2t a + 7b 与向量 a + t b 的不能反向共线，且向量数量积 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，2t ≠ −k , 2由 2t a + 7b ⋅ a + t b < 0，得 2t a 2 + 7t b 2 + 2t 2 + 7 a ⋅ b < 0， 所以 2t 2 + 15t + 7 < 0，解得 −7 < t < − 1 且 t ≠ ±14， 22故实数 t 的取值范围为 t− 7 < t < − 1 , 且t ≠ −214 2．19. （1） 设直线 l 的方程为：y − 3 = k x − 1 k < 0 ，可得与坐标轴的交点分别为 A 0,3 − k ，B 1 − 3 , 0 ．k所以第7页（共9页）−k ≥4+2−k−k=3+3=1．，2所以△PQR的外接圆C2的半径的平方=m+4k2，4k2=m2π1+k2>1，所以S2>mπ．13△??ABO=3−k1−2k19=−k++62−k19≥2−k×+62−k=6,当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴围成的图形的面积的最小值为6，此时直线l的方程为：y−3=−3x−1，化为3x+y−6=0．（2）由（Ⅰ）知直线l与两坐标轴截距之和=3−k+1−3=4+−k+k4+23，当且仅当−k=3即k=−3时取等号．所以直线l与两坐标轴截距之和的最小值为4+23，所以此时直线l的方程为：x+y1+33⋅320.（1）设AD中点为P x,y，由中点坐标公式可知，D点坐标为2x,2y−2，因为D点在圆x2+y2=16上，所以2x2+2y−22=16．故线段AD中点的轨迹方程为x2+y−12=4．（2）过点A且斜率为−3的直线方程为3x+4y−8=0，由（1）知，曲线E是以0,1为圆心，42为半径的圆，所以圆心到直线3x+4y−8=0的距离d=所以线段MN的长度为24−16=421．2554−832+42=4，521.（1）由题意，设tanα=k，则sinα=kk2+1所以△PQR的面积S1=2×1×因为0<k<1，1+k2kk2+1rm=k rm，k2+1所以0<S1<mr．（2）由题意得，PQ的垂直平分线方程为y=−1x，OR的垂直平分线方程为x=m，k2联立可得△PQR的外接圆C2的圆心坐标为m2,−m，2k24m2所以S2=π⋅m2+m21．4第8页（共9页）第9页（共9页）。
2016-2017学年上海市复旦大学附中高二（上）数学期中试卷带解析答案
2016-2017学年上海市复旦⼤学附中⾼⼆（上）数学期中试卷带解析答案2016-2017学年上海市复旦⼤学附中⾼⼆（上）期中数学试卷⼀.填空题1．（3分）已知向量，．若，则实数k=．2．（3分）线性⽅程组的增⼴矩阵为．3．（3分）已知，则实数x的取值范围是．4．（3分）计算：=．5．（3分）若实数x，y满⾜，则z=x+y的最⼤值是．6．（3分）已知直线l经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的⽅程是．7．（3分）直线l1与l2的斜率分别是⽅程6x2+x﹣1=0的两根，则直线l1与l2的夹⾓为．8．（3分）已知A（1，1）、B（﹣2，3），直线y=ax﹣1与线段AB相交，则实数a的范围是．9．（3分）直线l过点P（3，3），点Q（﹣1，1）到它的距离等于4，则直线l 的⽅程是．10．（3分）已知△ABC为等边三⾓形，AB=2，设点P，Q满⾜，，若，则λ=．11．（3分）直线2x+3y﹣6=0分别交x，y轴于A，B两点，点P在直线y=﹣x﹣1上，则|PA|+|PB|的最⼩值是．12．（3分）已知两个不相等的⾮零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列⽽成，记S=?+?+?+?+?，S min表⽰S所有可能取值中的最⼩值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||⽆关；③若∥，则S min与||⽆关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹⾓为．⼆.选择题13．（3分）有下⾯四个命题：①若，则；②若a n＞0，，则A＞0；③若，则；④若，则；其中正确结论的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个14．（3分）对于任意实数m，直线mx﹣y+1﹣3m=0必经过的定点坐标是（）A．（3，1） B．（1，3） C．D．⽆法确定15．（3分）记，设a，b为平⾯内的⾮零向量，则（）A．B．C．D．16．（3分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个。
上海市复旦大学附属中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试题(含解析)
复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 3. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .4. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ．6. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 .9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值是 .10. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 . 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4的直线被椭圆截得的弦长.20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M 、N 两动点在双曲线C 的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P 是直线MN 与双曲线右支的一个公共点，MP PN λ=. （1）求双曲线C 的方程；（2）当=1λ时，求PM PN 的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.复旦大学附属中学2020学年第一学期高二年级数学 期中考试一. 填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 若直线l 过点()()1,0,2,3A B ，则它的点法向式方程为 . 【答案】3(1)0x y --+= 2. 若行列式36125894 t的元素6的代数余子式的值为18-，则实数t = ． 【答案】453. 在直角坐标平面内的△ABC 中，(2,0)A -、(2,0)C ，若sin sin 2sin A C B +=，则△ABC 面积的最大值为 .【答案】434. 直线1210111xy =的倾斜角是____________.PNM y xO【答案】34π 5. 设点(,)P x y 位于线性约束条件32102x y x y y x +≤⎧⎪-+≤⎨⎪≤⎩所表示的【公众号魔都Maths 】区域内（含边界），则目标函数4z x y =+的最大值是 ． 【答案】86. 已知点P 和点Q 的坐标分别为()1,1-和()1,2，若直线:0l x my m ++=与线段PQ 相交，则m 的取值范围是_____________.【答案】11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦7. 已知方程221410x y k k+=--表示椭圆，则实数k 的取值范围为 .【答案】(4,7)(7,10)8. 已知△ABC 的顶点()()3,06,0A B -、，若顶点C 在抛物线2y x =上移动，则△ABC 的重心的轨迹方程为 . 【答案】()()2311y x x =-≠9. 若实数,x y 满足条件111y x y x ⎧≥--⎪⎨≤-+⎪⎩，则25x y +-的最大值【公众号魔都Maths 】是 .【答案】11210. 已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x E 的半焦距为c ，且b c 3=，若椭圆E 经过B A ,两点，且AB 是圆222:(2)(1)M x y r ++-=的一条直径，则直线AB 的方程为 .【解析】由点差法，得2222214AB OMb b k k a bc ⋅=-=-=-+，而(2,1)M -，所以12OM k =-，所以12AB k =， 所以直线AB 的方程为11(2)2y x -=+，即240x y -+=. 11. 设y x ,满足22220x y x y +--=______________.【解析】由22220x y x y +--=可得22(||1)(||1)2x y -+-=，根据对称性，作出此方程图象，(,)x y与点(51--连线的斜率，由图形得取值范围为[0,1].12. 已知在面积为2的△ABC 中, O 、E 、F 分别是三条边AB 、AC 、BC 的中点,点P 在直线EF 上，若90COP ∠=︒，则2AC BP OB +的取值范围是 .【解析】如图建系，因为△ABC 面积为2， 【公众号魔都Maths 】所以12222m t mt ⋅=⇒=，设点,2t P x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由90COP ∠=︒得225t x =-，所以2,252t t P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2(02,,),2t t AO m CP s s ⎛⎫==--- ⎪⎝⎭，()22()AC BP OB BO OP AO OC OB =+⋅+++222t t s AO OB AO OP OC BO C O s B m t s s P ⎛⎫⎛⎫=⋅=-+=-+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-+⋅+⋅+， 所以2AC BP OB +的取值范围是(),2222,⎡-∞-+∞⎦⎣.二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13. “1m =”是“直线1:60l x my ++=和直线2:20l x my -+=垂直”的（ A ）.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 若椭圆()22:1111122n x y C n N n n*+=∈+-，n C 的面积记作n S ，则lim =n n S →+∞（ B ）. A. 2π B. π C. 2 D. 115. 已知直线:210l kx y k +--=与两坐标轴分别交于,A B 两点，如果△AOB 的面积为4，那么满足要求的直线l 的条数是（ C ）.A. 1B. 2C. 3D. 416. 已知圆22:1O x y +=上有三个不同的点,,A B C ，其中0OA OB =，若存在实数,a b 满足0OC aOA bOB ++=，则直线:10l ax by +-=与圆O 的位置关系为（ A ）. A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 【解析】由题意得22()()1aOA bOB OC +=-=，即221a b +=，所以圆心到直线l 的距离1d r ===，故相切，选A .三. 解答题（本大题共5题，共76分）17.（本题14分）,m n 为已知实数， 直线1l 的方程为(1)+280m x my m --=，直线2l 的方程为(21)+440n x ny n --=. （1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求这两条平行线的距离的最大值.【解析】（1）(1)28(21)44m x my mn x ny n-+=⎧⎨-+=⎩12444+22(2)214m m D mn n mn m m n n n-==--=--（2分）12,,l l ≠⇔≠（a)当D 0m 2n 时相交（4分）D=⇒当0m=2n 时，(21)416(21)44n x ny nn x ny n -+=⎧⎨-+=⎩=（b ）m=2n 0，12,l l 重合 （6分） ≠（c ）m=2n 0，12l l （8分）（2）法一： 1220l l m n =≠当时，，此时1:(21)4160l n x ny n -+-=恒过点()0,4A ；2:(21)440l n x ny n -+-= 恒过点()0,1B ，（12分）根据斜边总是大于直角边，所以当12,l l 与线段AB 垂直时，12,l l 这两条平行线的 距离最大，最大值为3. （14分）法二：两者之间的距离，（10分）所以1234≤= （12分）当且仅当1,12m =n=时，max 3.d = （14分） 18.（本题14分）直线BC 经过定点)2,0(N ，点M 在直线BC 上，且OM BC ⊥. （1）当直线BC 绕着点N 转动时，求点M 的轨迹E 的方程．（2）已知点()3,1T -，Q 是轨迹E 上一个动点，P 是直线:20l x y --=上的一个动点，求+TP PQ 的最小值.【解析】（1）(,)M x y 设，因为0OM BC OM MN OM MN ⊥⇒⊥⇒⋅=（2分）()()2,0,20(2)0x y x y x y y ⇒⋅--=⇒+-=2220M x y y +-=即点的轨迹方程为：（6分） （2） 22'E (1)1,O 0,1x y +-=圆方程：圆心为 （）'00T -3,1T (,)l x y 设（）关于的对称点为000000111335312022y x x y x y -⎧⋅=-⎪=⎧+⎪⇒⎨⎨=--+⎩⎪--=⎪⎩则 ，所以(3,5)T '- （9分） '''O T O Q l P 联结线段交圆于，交直线于'''''TP +PQ +Q PQ +QO O T P T O =+≥===则（12分）''00O ,,,Q P T 当且仅当共线时，达到最小值因为'QO =1，所以()minTP +PQ1=（14分）19. （本题14分） 折纸又称“工艺折纸”，是一种把纸张折成各种不同形状物品的艺术活动，在我国源远流长. 某些折纸活动蕴含丰富的数学内容，例如：用圆形纸片，按如下步骤折纸（如下图），步骤1：设圆心是O ，在圆内不是圆心处取一点，标记为F ； 步骤2：把纸片对折，使圆周正好通过F ；步骤3：把纸片展开，于是就留下一条折痕；步骤4：不停重复步骤2和3，能得到越来越多条的折痕．所有这些折痕围成的图形是一个椭圆.若取半径为4的圆形纸片，设定点F 到圆心O 的距离为2，按上述方法折纸. （1）建立适当的坐标系，求折痕围成椭圆的标准方程；（2）求经过F ，且与直线FO 夹角为4π的直线被椭圆截得的弦长. 【解析】（1）如图，以FO 所在的直线为x 轴，FO 的中点M 为原点建立平面直角坐标P 设（x,y)为椭圆上一点，由图可知PF +PO =AO =4FO =2⇒（2分）所以P 点轨迹以F ，O 为左右焦点，长轴长24a =的椭圆（4分） 因为22,24c a ==，所以2221,23c a b a c ==⇒=-=（6分）所以22143x y +=椭圆标准方程为（7分） （2）如图，不妨令过()F 1,0-的直线交椭圆于A ，B 且倾斜角45︒所以1AB y x =+直线方程为（9分）222341278801x y x x y x ⎧+=⇒+-=⎨=+⎩联立（11分）所以12224277AB ==（14分） 20.（本题16分）如图，已知半圆()2221:0C x y b y +=≤与x 轴交于,A B 两点，与y 轴交于E 点.半椭圆2C ：()222210y x y a b+=≥的上焦点为F ，并且△ABF 是面积为2的等腰直角三角形. 将满足22222221,0,0y x y a b x y b y ⎧+=≥⎪⎨⎪+=≤⎩的曲线记为Γ. （1）求实数,a b 的值；（2）点P 在曲线Γ上，且3PE =，求EPF ∠；以下（3）选做一题（两题都做则以得分低者计入总分．．．．．．．．） （3）直线:2l y x =与曲线Γ交于,M N 两点，在曲线Γ上再取两点,S T （,S T 分别在直线l 两侧），使得这四个点形成的四边形面积最大，求此最大面积. （3）设()()0,T t t R ∈，M 是曲线Γ上任意一点，求MT 的最小值.21.（本题18分）如图，已知双曲线C 的方程为12222=-by a x （0a b >>【解析】（1）由2222c a b b cbc ⎧=-⎪=⎨⎪=⎩（2分）得2a b =⎧⎪⎨=⎪⎩ （4分）（2）设组成Γ的上半个椭圆为2C ，下半个圆为1C因为2,PE =3BE =由>1BE P Γ知，只能在上（5分）注意到E为椭圆的下焦点，所以PE =2a-1,PE EF ==又（7分）所以1PEF cos EPF=3∆∠在中，由余弦定理可得（9分） 所以1arccos3EPF ∠= （10分） （3）<1>设与MN 平行的直线l 与1C 的切点为0S ，与2C 的切点为0T则当S ，T 恰好取0S ，0T 两点时，四边形MSNT 面积最大令:l y λ=+，得22142y y x λ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得22440x x ++-=λ0=λλ∆=-据得l y =+： （12分）所以003MN S MN T d d →→===13分）22M 142y y x ⎧=⎪⎨+=⎪⎩再由得（，所以OM =所以MN =15分）所以max112MSNTS==+.（16分）（3）<2> (]min,0MTt TE t∈-∞==据圆的性质：当时（11分）[)minC2,MT2TC t∈+∞==-设为椭圆的上顶点，则当t时，（12分）()20,2M MTt C∈当时，必在上，可取最小值[]22M1(0,2)24x yy+=∈设（x,y)则MT==由（13分）(](]min20,20,12,t y t MT∈∈==知即t时，只需可得（14分）()()min22,41,22, 2.t t y MT t∈∈==-即时，只需可得（15分）所以，(]()(]min0,1=2,1,,0tMT t tt t∈-∈+∞⎨⎪∈-∞⎪⎩（16分）），两条渐近线的夹角为3arccos5，焦点到渐近线的距离为1．M、N两动点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一象限和第四象限，P是直线MN与双曲线右支的一个公共点，MP PNλ=.（1）求双曲线C的方程；（2）当=1λ时，求PM PN的取值范围；（3）试用λ表示△MON 的面积S ，设双曲线C 上的点到其焦点的距离的取值范围为集合Ω，若5λ∈Ω，求S 的取值范围.【解析】（1）由题意双曲线渐近线为0bx ay ±=.根据夹角公式2222222222345b aa b a b a b a b --==⇒=++.（2分）又222114bc b a b a =⇒=⇒=+.所以2214x y -=. （4分） （2）设2,),(2,),0,0m m N n n m n ->>（， =1PM=PN ,2m n P m n λ-⎛⎫⇒+ ⎪⎝⎭，， ()22()1 1.44m n m n mn -+-=⇒= （6分）所以(,),22m n n m PM PN m n n m +--⎛⎫⋅=-⋅- ⎪⎝⎭ ()22253())442m n m n m n mn +=---=-++（（8分）532 1.42mn mn mn ≤-⋅+=-=-所以(],1PM PN ⋅∈-∞-.（10分）（3）根据条件得22,11m n m n P λλλλ+-⎛⎫⎪++⎝⎭. （11分）PNMyxO把点P 的坐标代入双曲线的方程得22221141m n m n λλλλ+⎛⎫⎪-+⎛⎫⎝⎭-= ⎪+⎝⎭.222()()(1)m n m n λλλ+--=+ 所以2(1)4mn +=λλ（13分）所以21211S=212.222001m m mmn n mn n n-==-（14分） 212111()122S λλλλλ++=⋅=++.（15分）设(),P x y 是双曲线上一点，[)222,.2d x x x ====-=-∈+∞，所以))2,10+d λ⎡∈+∞⇒∈∞⎣，. （17分）因为S 在)10+⎡∞⎣，上关于λ单调递增， 所以当10λ时， min S =所以19S +.5⎡⎫∈∞⎪⎢⎪⎣⎭，（18分）。
2016-2017学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B =________3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C按从小到大的顺序排列是________.6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X-=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X∆=-- ，已知{}2,A y y x x R==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B中元素个数最少，并用列举法表示集合B；复旦附中高一期中数学卷一.填空题1.集合{1,2,3,,2015,2016}⋅⋅⋅的子集个数为________【答案】20162【分析】若集合中有n 个元素,则该集合有2n 个子集,显然,集合中的元素有2016个,即2016n =,代入2n 中即可【详解】由题,集合中有2016个元素,所以该集合有20162个子集,故答案为:20162【点睛】本题考查集合的子集个数,属于基础题2.已知全集U =R ，集合{|1}A x x =≤，集合{|2}B x x =≥，则()U C A B = ________【答案】{|12}x x <<【分析】先求的A B ⋃,再求得补集即可【详解】由题,{|1A B x x ⋃=≤或}2x ≥,所以(){}U |12A B x x ⋃=<<ð,故答案为:{|12}x x <<【点睛】本题考查集合的并集、补集运算,属于基础题3.已知集合{|12}A x x =≤≤，集合{|}B x x a =≤，若A B ⋂≠∅，则实数a 的取值范围是________【答案】1a ≥【分析】由A B ⋂≠∅,画出数轴,表示出集合,即可求解【详解】因为A B ⋂≠∅,则画出数轴,并表示出集合,如下:可得1a ≥,故答案为:1a ≥【点睛】本题考查已知交集结果求参数范围,属于基础题4.如果全集{,,,,,}U a b c d e f =，{,,,}A a b c d =，{}A B a = ，(){}U C A B f = ，则B =________【答案】{,}a e 【分析】由题,用维恩图来表示集合,由图即可得到B 集合【详解】由题,将集合用维恩图表示,则{},B a e =,故答案为:{,}a e 【点睛】本题考查图示法处理集合问题,属于基础题5.已知210a a >>，210b b >>，且12121a a b b +=+=，记1122A a b a b =+，1221B a b a b =+，12C =，则、、A B C 按从小到大的顺序排列是________.【答案】B ＜C ＜A【分析】根据题设，取符合题设的特殊值即可快速判断，或者采用排序原理也可判断.【详解】方法一：212112120,0,1a a b b a a b b >>>>+=+= ，不妨令12121212,,,3333a ab b ====，11221221145224,999999A a b a bB a b a b =+=+==+=+=，1 4.529C == ，B C A \<<，故答案为：B ＜C ＜A .方法二：∵210a a >>，210b b >>，∴由排序原理可知：22112112a b a b a b a b +>+，∵12121,1a a b b +=+=，()()1212111221221a a b b a b a b a b a b ∴=++=+++()()()2211211222112a b a b a b a b a b a b =+++<+221112a b a b ∴+>，∴A ＞C ＞B ﹒故答案为：B ＜C ＜A .6.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.7.我们将b a -称为集合{|}M x a x b =≤≤的“长度”，若集合2{|}3M x m x m =≤≤+，{|0.5}N x n x n =-≤≤，且集合M 和集合N 都是集合{|01}x x ≤≤的子集，则集合M N ⋂的“长度”的最小值是________【答案】16【分析】当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,由此能求出M N ⋂的“长度”的最小值【详解】由题,M 的“长度”为23,N 的“长度”为12,当集合M N ⋂的“长度”的最小值时,M 与N 应分别在区间[]0,1的左右两端,故M N ⋂的“长度”的最小值是2111326+-=,故答案为:16【点睛】本题考查交集的“长度”的最小值的求法,考查新定义的合理运用8.已知{}A x x =>，{|(3)(3)0}B x x x x =-+>，则A B = ________【答案】{|30}-<<x x【分析】先分别求解集合中元素的所满足的不等式,再由交集的定义求解即可【详解】由题,因为20xx >-≥⎪⎩,解得1x <,则{}|1A x x =<,因为()()330x x x -+>,解得30x -<<或3x >,则{|30B x x =-<<或}3x >,所以{}|30A B x x ⋂=-<<,故答案为:{|30}-<<x x 【点睛】本题考查集合的交集运算,考查含根式的不等式的运算,考查解高次不等式9.对任意两个集合X 与Y ，定义①{X Y x x X -=∈且}x Y ∉，②()()X Y X Y Y X ∆=-- ，已知{}2,A y y x x R ==∈，{}22B y y =-≤≤，则A B ∆=_________.【答案】[)()2,02-+∞ ，【分析】由A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，先求出A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，再求A △B 的值．【详解】∵A ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }＝{y |y ≥0}，B ＝{y |﹣2≤y ≤2}，∴A ﹣B ＝{y |y ＞2}，B ﹣A ＝{y |﹣2≤y ＜0}，∴A △B ＝{y |y ＞2}∪{y |﹣2≤y ＜0}，故答案为[﹣2，0）∪（2，+∞）．【点睛】本题考查集合的交、并、补集的运算，解题时要认真审题，仔细解答，注意正确理解X ﹣Y ＝{x |x ∈X 且x ∉Y }、X △Y ＝（X ﹣Y ）∪（Y ﹣X ）．10.已知常数a 是正整数，集合1{|||,}2A x x a a x Z =-<+∈，{|||2,}B x x a x Z =<∈，则集合A B ⋃中所有元素之和为________【答案】2a【分析】分别求出集合A 、B 中的元素,再求出集合A 、B 的并集,即可求解【详解】由题,因为12x a a -<+,所以11222x a -<<+,则11|2,22A x x a x Z ⎧⎫=-<<+∈⎨⎬⎩⎭；因为2x a <,所以22a x a -<<,则{}|22,B x a x a x Z =-<<∈,因为常数a 是正整数,所以{}0,,,,2A a a = ,{}21,,0,,21B a a =-+- ,所以{}21,,0,,21,2A B a a a ⋃=-+- ,所以A B ⋃中所有元素之和是2a ,故答案为:2a【点睛】本题考查集合的并集,考查解含绝对值的不等式11.非空集合G 关于运算*满足：①对任意,a b G ∈，都有a b G *∈；②存在e G ∈使对一切a G ∈都有a e e a a *=*=，则称G 是关于运算*的融洽集，现有下列集合及运算：①G 是非负整数集，*运算：实数的加法；②G 是偶数集，*运算：实数的乘法；③G 是所有二次三项式组成的集合，*运算：多项式的乘法；④{|,}G x x a a b Q ==+∈，*运算：实数的乘法；其中为融洽集的是________【答案】①④【分析】逐一验证几个选项是否分别满足“融洽集”的两个条件,若两个条件都满足,是“融洽集”,有一个不满足,则不是“融洽集”【详解】①对于任意非负整数,a b ,则a b +仍为非负整数,即a b G +∈；取0e =,则00a a a +=+=,故①符合题意；②对于任意偶数,a b ,则ab 仍为偶数,即ab G ∈；但是不存在e G ∈,使对一切a G ∈都有ae ea a ==,故②不符合题意；③对于G 是所有二次三项式组成的集合,若,a b G ∈,ab 不再是二次三项式,故③不符合题意；④对于{|,}G x x a a b Q ==+∈,设1x a =+2x c =+,则()(122x x ac bd ad bc ⋅=+++,即12x x G ⋅∈；取1e =,则11a a a ⨯=⨯=,故④符合题意,故答案为:①④【点睛】本题考查对新定义“融洽集”的理解,考查理解分析能力12.集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，已知集合A B ⋂中有且仅有一个元素，则常数a 的取值范围是______________．【答案】[]1,1-【分析】将A B ⋂中有且仅有一个元素，转化为方程只有一个解，分情况讨论，确定参数范围.【详解】由集合(){},,R A x y y a x x ==∈，(){},,R B x y y x a x ==+∈，且A B ⋂中有且仅有一个元素，a x x a ∴=+只有1个解，若0x ≥，则ax x a =+，1a x a =-，若0x <，则ax x a -=+，1ax a =-+，所以0101a a a a ⎧≥⎪⎪-⎨⎪-≥⎪+⎩或0101aa a a ⎧≤⎪⎪-⎨⎪-≤⎪+⎩或101a a a =⎧⎪⎨-<⎪+⎩或011a a a ⎧≥⎪-⎨⎪=-⎩，解得11a -≤≤，故答案为：[]1,1-.二.选择题13.已知集合{1,2,3,,2015,2016}A =⋅⋅⋅，集合{|31,}B x x k k Z ==+∈，则A B ⋂中的最大元素是（）A.2014B.2015C.2016D.以上答案都不对【答案】A【分析】由题意可知集合B 表示整数的3倍且大1的数的集合,则找到集合A 中符合条件的最大元素即可【详解】由题,因为{|31,}B x x k k Z ==+∈,即为整数的3倍且大1的数的集合,则A B ⋂中的最大元素为2014,故选:A【点睛】本题考查集合的交集定义,属于基础题14.已知全集U =A B ⋃中有m 个元素，()()U U A B ⋃痧中有n 个元素．若A B ⋂非空，则A B ⋂的元素个数为A.mnB.m n+ C.n m- D.m n-【答案】D【详解】因为()()()U UUB A B A ⋃=⋂痧所以()()U UU A B A B ⋂=⋃⎡⎤⎣⎦痧，所以A B ⋂共有m n -个元素，故选D ．15.命题“已知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是（）A.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠且0y ≠B.已知,x y R ∈，若220x y +≠，则0x ≠或0y ≠C.已知,x y R ∈，若0x ≠且0y ≠，则220x y +≠D.已知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则22x y +≠【答案】D【分析】直接利用逆否命题的定义得到答案.【详解】己知,x y R ∈，若220x y +=，则0x =且0y =”的逆否命题是：己知,x y R ∈，若0x ≠或0y ≠，则220x y +≠故选D【点睛】本题考查了命题的逆否命题，意在考查学生对于命题基础知识的掌握情况.16.对任意实数,,a b c ，给出下列命题：①“a b =”是“ac bc =”的充要条件；②“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件；③“a b >”是“22a b >”的充分条件；④“4a <”是“3a <”的必要条件；其中真命题的个数是（）A.1个B.2个C.3个D.4个【答案】B【分析】利用等式与不等式的性质逐一验证命题的真假即可【详解】①“a b =”⇒“ac bc =”,但当0c =时,“ac bc =”无法推出“a b =”,则“a b =”是“ac bc =”的充分不必要条件,故①是假命题；②“5a +是无理数”⇒“a 是无理数”,且“a 是无理数”⇒“5a +是无理数”,则“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充要条件,故②是真命题；③当12a b =>-=时,2214a b =<=,即“a b >”无法推出“22a b >”,且当2241a b =>=时,21a b =-<=,即“22a b >”无法推出“a b >”,则“a b >”是“22a b >”的既不充分也不必要条件,故③是假命题；④因为{}|3a a <{}|4a a <,所以“4a <”是“3a <”的必要条件,故④是真命题；综上,真命题有2个,故选:B【点睛】本题考查命题的真假的判断,考查两命题的充分性和必要性的判断,考查等式与不等式的性质的应用三.解答题17.已知集合{1,2,3}A =，2{|(1)0,}B x x a x a x R =-++=∈，若A B A ⋃=，求实数a ；【答案】1a =或2或3【分析】由A B A ⋃=可得B A ⊆,分别讨论B =∅与B ≠∅的情况,进而求解即可【详解】由A B A ⋃=可得B A ⊆,若B =∅,则()2140a a ∆=+-<,解得a ∈∅；若B ≠∅,则()()10x a x --=,解得1x a =,21x =,①当1a =,则{}1B =,符合题意；②当2a =,则{}1,2B =,符合题意；③当3a =,则{}1,3B =,符合题意；综上,1a =或2或3【点睛】本题考查已知集合的包含关系求参数,考查分类讨论思想18.已知,,a b c R +∈，求证：3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c ++≥+++++；【答案】证明见解析【分析】先对33+a b 与22a b ab +作差证明3322a b a b ab +≥+,同理证明3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,再求和即可得证【详解】证明:()()()()()()()()233222222a b a b ab a a b b b a a b a b a b a b +-+=-+-=--=+-,因为,,a b c R +∈,所以0a b +>,()20a b -≥,所以()()33220a b a b ab +-+≥,即3322a b a b ab +≥+,同理,3322a c a c ac +≥+,3322b c b c bc +≥+,所以333333222222a b b c a c a b ab b c bc a c ac +++++≥+++++,即3332222222()a b c ab a b bc b c ac a c++≥+++++【点睛】本题考查作差法证明不等式,考查推理论证能力19.设正有理数1a21211a a =++，求证：（11a 与2a 之间；（2）2a 比1a【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）作差(12111a a a -=+,讨论1a2a （2）整理问题为21a a <-,进而求证即可【详解】证明:（1）(121112111a a a a --=+-++,因为若1a >,则10a >,又10<,则2a <；若1a <则10a <,又10-<,则2a >,介于1a 与2a 之间（2）12111121a a a a a a ----=--+,因为10a >20-<,10a>,所以210a a -<,所以21a a -<-所以2a 比1a 【点睛】本题考查不等式的证明,考查运算能力与分类讨论思想20.已知对任意实数x ，不等式2(3)10mx m x --+>成立或不等式0mx >成立，求实数m 的取值范围；【答案】19m <<【分析】①对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,讨论0m =与0m ≠的情况,进而求解；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,二者求并集即可【详解】解:①由题,对任意实数x ,不等式2(3)10mx m x --+>成立,当0m =时,不等式为310x -+>不成立,舍去；当0m ≠时,()20340m m m >⎧⎪⎨∆=--<⎪⎩,解得19m <<；②对任意实数x ,不等式0mx >成立,则m ∈∅,综上,19m <<【点睛】本题考查含参的一元二次不等式恒成立问题,考查分类讨论思想21.已知关于x 的不等式2(4129)(211)0kx k k x ---->，其中R k ∈；（1）试求不等式的解集A ；（2）对于不等式的解集A ，记B A Z = （其中Z 为整数集），若集合B 为有限集，求实数k 的取值范围，使得集合B 中元素个数最少，并用列举法表示集合B ；【答案】（1）答案见解析（2）[44k ∈--+，{2,3,4,5}B =【分析】（1）对k 进行分类讨论,分别讨论0k =,0k <,01k <<或9k >,19k ≤≤的情况,进而求解即可；（2）由（1）可知当0k <时,集合B 为有限集,利用对勾函数可知933442k k ++≤,当且仅当3k =-时等号成立,进而求解即可【详解】（1）当0k =,11{|}2A x x =<；当0k ≠时,令21291142k k k ++=,解得1k =或9k =,则当1k <或9k >时,9113442k k ++<,当19k <<时,9113442k k ++>,①当0k <,911{|3}442k A x x k =++<<；②当01k <<或9k >,11{|2A x x =<或93}44k x k >++；③当19k ≤≤,9{|344k A x x k =<++或11}2x >；（2）因为B A Z = （其中Z 为整数集）,由（1）,当0k ≥时,集合B 中的元素的个数无限；当0k <时,集合B 中的元素的个数有限,此时集合B 为有限集,因为0k <,所以9933333444422k k k k ⎛⎫++=---+≤-+= ⎪⎝⎭,当且仅当944k k -=-,即3k =-时等号成立,所以{2,3,4,5}B =且93144k k++≥，所以2890k k ++≤，所以[44k ∈--+【点睛】本题考查解含参的不等式,考查交集的定义的应用,考查分类讨论思想。
2023-2024学年上海市复旦大学附属中学高二上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2023学年第一学期高二年级数学期中考试试卷（A ）时间：120分钟满分：150分一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1.直线210x y --=的倾斜角是__________.2.抛物线224y x =-的准线方程是__________.3.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=平行，则直线l 的方程是__________.4.椭圆22145x y +=的离心率是__________.5.过点(5,3)作圆22(3)4x y -+=的切线，则切线的方程为__________.6.在ABC 中，(3,0)A -，(3,0)B ，3sin 3sin sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是__________.7.直线12x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数，R t ∈）和曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，R θ∈）交于P 、Q 两点，则||PQ =__________.8.已知直线1:2160l x y --=和直线2:10l x +=，则抛物线24y x =上的动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为__________.9.已知双曲线22:41C x y -=，过点(0,0)作直线l 和双曲线C 交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线BH 倾斜角的取值范围是__________.10.如图，圆柱的底面直径与高均为2，一平面截圆柱，其截面为椭圆，该平面与圆柱的底面所成的二面角为45 ，该椭圆的内接六边形ABCDEF 的最大面积为__________.11.一质点在矩形ABCD 内运动，从AB 的中点O 沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC 、CD 、DA 反射.反射点分别为1P 、2P 、3P （入射角等于反射角），最后落在线段OA 上的4P （不包括端点）.若()1,0A -、()10B ,、()1,1C 和()11D -,，则1OP 的斜率的取值范围是_______.12.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为1F 、2F ，P 为该椭圆上一点，O 为坐标原点且||OP a λ=，满足21212F F PF PF =⋅，则λ的取值范围为__________.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B 铅笔涂黑.13.关于方程2220x xy y -+=所表示的曲线，下列说法正确的是（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于y x =轴对称D.关于原点中心对称14.已知直线:0l ax by c ++=，点()11,M x y 、()22,N x y ，设111ax by c λ=++，222ax by c λ=++，以下选项中命题都正确的为（）（1）若120λλ+=，则线段MN 的中点在直线l 上（2）若120λλ-=，则直线MN 与直线l 平行（3）若120λλ⋅<，则点M 、 N 分布在直线l 的两侧（4）若121λλ>，则直线l 与线段MN 的延长线相交A .（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（3）（4）15.12,x x 是关于x 的二次方程22830mx x m -+-=的两个不同实数根，则经过两点()211,A x x ，()222,B x x 的直线与抛物线28y x =公共点的个数是（）A.2 B.1 C.0 D.不确定16.足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路DC 平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P 处起脚射门进球的可能性最佳（即点P 对球门AB 所张的角APB ∠最大），假如每条虚线都表示在规定的区域BCDE 内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P ，为了研究方便，如图建立坐标系，设()1,0A -、()10B ,，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点(),P x y 应在怎样的曲线上（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知两条直线1:(1)20l t x y t -+-=和2:40l x ty t ++-=.（1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求它们之间的距离；当直线1l 与2l 相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t 的取值.18.已知拋物线C 的方程为24y x =.（1）求过点(0,2)且与抛物线C 只有一个公共点的直线的方程；（2）已知直线l 过焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，点M 为该抛物线准线上一点，求证：0MA MB ⋅≥19.如图，设直线l 为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A 处发现了海面B 处有一艘走私船，A 与公海相距20海里.走私船可能向任一方向逃窜，若它进入公海则逃脱成功.假设走私船和巡逻艇都是沿直线航行，巡逻艇的航速是走私船航速的()1λλ>倍.（1）当2λ=，()0,0A ，()6,6B 时，走私船能被截获的点在一个圆上，求这个圆的标准方程；（2）可知非截获区域是一个圆的内部，如果此圆和分界线l 没有公共点，则巡逻艇可以成功截获走私船.已知B 在A 的北偏东45︒，相距102海里处，为了成功截获走私船，求λ的最小整数值.20.已知直线30x y ++=与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆E 的内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于椭圆的左焦点，S 是四边形ABCD 的面积，求S 的最小值.21.平面上，直线1l 和2l 相交于点O ，它们的夹角为2θ.已知动点P 到直线1l 与2l 的距离之积为定值2(0)m m >，动点P 的轨迹记为曲线E .我们以O 为坐标原点，以直线1l 与2l 夹角的平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）当1m =，π4θ=时，直线l 与曲线E 顺次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：AB CD = ；（3）当125m =，3arctan 4θ=时，是否存在直线l 与曲线E 只有A 、B 、C 三个不同公共点（点B 在线段AC 上），使得OA OC ⊥ ？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.复旦大学附属中学2023学年第一学期高二年级数学期中考试试卷（A ）一、填空题（本大题共有12小题，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.直线210x y --=的倾斜角是__________.【答案】arctan 2【分析】直接根据斜率可得倾斜角.【详解】210x y --=即21y x =-，设倾斜角为,0παα≤<，则tan 2α=所以arctan 2α=.故答案为：arctan 2.2.抛物线224y x =-的准线方程是__________.【答案】6x =【分析】根据抛物的标准方程，直接求出结果.【详解】因为抛物线的方程为224y x =-，所以准线方程为6x =，故答案为：6x =.3.直线l 过点(1,2)-且与直线2340x y -+=平行，则直线l 的方程是__________.【答案】2380x y -+=【分析】设与直线2340x y -+=平行的直线方程为230x y c -+=，代入已知点计算即可.【详解】设与直线2340x y -+=平行的直线方程为230x y c -+=，带入点(1,2)-得2320c --⨯+=，得8c =，所以直线l 的方程是2380x y -+=.故答案为：2380x y -+=.4.椭圆22145x y +=的离心率是__________.【答案】55【分析】根据条件，求出,a c ，再利用离心率的定义即可求出结果.【详解】由椭圆方程22145x y +=，知a =，1c ==，所以，离心率55c e a ===，5.过点(5,3)作圆22(3)4x y -+=的切线，则切线的方程为__________.【答案】5x =或512110x y -+=【分析】考虑所作切线斜率是否存在，存在时，设出其方程，利用圆心到切线的距离等于半径，列式计算，求得参数，即可求得答案.【详解】由圆22(3)4x y -+=可知圆心为(3,0)，半径为2r =，当过点(5,3)的直线斜率不存在时，直线方程为5x =，此时圆心(3,0)到5x =的距离为532-=，此时5x =和圆22(3)4x y -+=相切；当过点(5,3)的直线斜率存在且和圆22(3)4x y -+=相切时，设其方程为3(5)y k x -=-，即530kx y k --+=，2=，解得512k =，即切线方程为525301212x y --+=，即512110x y -+=，故切线的方程为5x =或512110x y -+=，故答案为：5x =或512110x y -+=6.在ABC 中，(3,0)A -，(3,0)B ，3sin 3sin sin B A C -=，则顶点C 的轨迹方程是__________.【答案】2281(0)y x x -=>【分析】由正弦定理化角为边后确定点的轨迹，由双曲线的标准方程求解．【详解】∵(3,0)A -，(3,0)B ，∴6c AB ==，∵3sin 3sin sin B A C -=，∴由正弦定理得33b a c -=，即23c b a -==，2CA CB -=，所以C 点轨迹是以,A B 为焦点的双曲线的右支．该双曲线的半焦距为3，实半轴长为212==，所以轨迹方程为2281(0)y x x -=>．故答案为：2281(0)y x x -=>．7.直线12x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数，R t ∈）和曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，R θ∈）交于P 、Q 两点，则||PQ =__________.【答案】5【分析】将参数方程化为直角坐标方程，再求出圆心到直线的距离，最后由勾股定理、垂径定理计算可得.【详解】直线12x t y t =-⎧⎨=+⎩（t 为参数，R t ∈），即210x y +-=，曲线:x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，（θ为参数，R θ∈），即222x y +=，表示圆心为坐标原点，半径r =其中坐标原点到直线210x y +-=的距离55d ==，所以5PQ ===.故答案为：6558.已知直线1:2160l x y --=和直线2:10l x +=，则抛物线24y x =上的动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为__________.【答案】【分析】利用抛物线的定义将距离和最小值转化为点到直线的距离求解即可.【详解】直线2:10l x +=为抛物线24y x =的准线，()1,0F 为抛物线24y x =的焦点，过点P 作2PH l ⊥于H ，作1⊥PM l 于M ，过F 作1FN l ⊥于N ，由抛物线的定义可得PF PH =，PH PM PF PM FN ∴+=+≥，当,,F P N '三点共线时等号成立，又FN ==即动点P 到直线1l 和2l 的距离之和的最小值为.故答案为：.9.已知双曲线22:41C x y -=，过点(0,0)作直线l 和双曲线C 交于A ，B 两点.点A 在第一象限，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，则直线BH 倾斜角的取值范围是__________.【答案】π(0,)4【分析】由题意设l 的方程为,(02)y kx k =<<，设11(,)A x y ，从而表示出BH 的斜率，推得2BH k k =，即可确定其取值范围，从而求得倾斜角的取值范围.【详解】由题意知双曲线22:41C x y -=的渐近线方程为2y x =±，由于直线l 过点(0,0)，点A 在第一象限，故设直线l 的方程为,(02)y kx k =<<，设11(,)A x y ，则111(,),(,0)B x y H x --，故1122BH y k k x ==，则(0,1)2BH k k =∈，由于直线倾斜角范围为[0,π)，则直线BH 倾斜角的取值范围是π(0,4，故答案为：π(0,410.如图，圆柱的底面直径与高均为2，一平面截圆柱，其截面为椭圆，该平面与圆柱的底面所成的二面角为45 ，该椭圆的内接六边形ABCDEF 的最大面积为__________.【答案】362362【分析】根据题意求出椭圆的长轴长和短轴长，即确定,a b 的值，结合当椭圆的内接六边形ABCDEF 为正六边形时，其面积最大，即可求得答案.【详解】如图，由题意可知截面与圆柱的底面所成的二面角为45 ，即45CAB ∠= ，圆柱的底面直径与高均为2，故2AC =,则椭圆的长轴长222,2a a =∴=而椭圆的短轴长2b 即等于圆柱底面圆的直径，即22,1b b =∴=，当椭圆的内接六边形ABCDEF 为正六边形时，其面积最大，最大值为621π36sin 232⨯=，故答案为：36211.一质点在矩形ABCD 内运动，从AB 的中点O 沿一确定方向发射该质点，依次由线段BC 、CD 、DA 反射.反射点分别为1P 、2P 、3P （入射角等于反射角），最后落在线段OA 上的4P （不包括端点）.若()1,0A -、()10B ,、()1,1C 和()11D -,，则1OP 的斜率的取值范围是_______.【答案】12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】根据题意线段123OP P P ，1234PP P P ，分别找出4P 点落在线段OA 上的临界位置，即可求解.【详解】由题意知：123OP P P ，1234PP P P ，设()11,P b ，则线段1OP 的斜率：010b k b -==-，为使4P 点落在线段OA 上（不包括端点），所以得：当4P 落到点O ，点A 时为相应的两种临界位置，当4P 落到点O 时：由题意知：O 点为AB 的中点，且从O 点出发又回到O 点，所以可得：此时1P 位于线段BC 的中点位置，所以得此时1OP 的斜率：112k b ==；当4P 落到点A 时：4P 点与3P 点重合，如下图所示，设1POB θ∠=，可得：1223PP C DP P θ∠=∠=，且tan b θ=，所以得：11CP b =-，2111b CP b b -==-，213DP b =-，所以得：321tan 13DP b DP b θ===-，解之得：23b =,所以此时斜率：223k =，综上所述：可得1OP 的斜率范围为：1223k <<，即12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭.12.已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点为1F 、2F ，P 为该椭圆上一点，O 为坐标原点且||OP a λ=，满足21212F F PF PF =⋅，则λ的取值范围为__________.【答案】312λ≤≤【分析】设出00(,)P x y ，利用条件21212F F PF PF =⋅和点在椭圆上得到22224c a e x =-，再根据条件||OP a λ=，得到22253b aλ=-，再利用b a λ≤，即可建立不等关系求出结果.【详解】如图，设00(,)P x y ，易知，12(,0),(,0)F c F c -，则1PF =，又2200221x y a b +=，得到222002(1)x y b a-⨯=，代入1PF =10PF ex a =+，同理可得，10PF ex a =-，又0a x a -≤≤，21212F F PF PF =⋅，得到2222222004c e x a a e x =-=-，又||OP a λ=，则222200x y a λ+=，由2222002200221x y a x y ab λ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，消0y 得到，222202e a b x λ=-，又222204c a e x =-，所以2222222453a a b c b a λ=+-=-，得到22253b aλ=-，又由||OP a λ=，易知，b a a λ≤≤，得到baλ≤且01λ<≤，所以22225353b a λλ=-≤-，得到234λ≤，所以312λ≤≤，故答案为：312λ≤≤.二、选择题（本大题共有4小题，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分，满分18分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将正确选项用2B 铅笔涂黑.13.关于方程2220x xy y -+=所表示的曲线，下列说法正确的是（）A.关于x 轴对称B.关于y 轴对称C.关于y x =轴对称D.关于原点中心对称【答案】D【分析】根据题意，由曲线方程，依次分析选项即可得出答案.【详解】对于A ，将方程中y 换为y -，则有()()2220x x y y --+-=，则2220x xy y ++=，与原方程不同，所以方程2220x xy y -+=不关于x 轴对称；对于B ，将方程中x 换为x -，则有()()2220x x y y ---+=，则2220x xy y ++=，与原方程不同，所以方程2220x xy y -+=不关于y 轴对称；对于C ，将方程中x 换为y ，y 换为x ，则有2220y yx x -+=，与原方程相同，所以方程2220x xy y -+=不关于y x =轴对称；对于D ，将方程中x 换为x -，y 换为y -，则有()()()2220x x y y ----+=，则2220x xy y -+=，与原方程相同，所以方程2220x xy y -+=关于原点中心对称.故选：D .14.已知直线:0l ax by c ++=，点()11,M x y 、()22,N x y ，设111ax by c λ=++，222ax by c λ=++，以下选项中命题都正确的为（）（1）若120λλ+=，则线段MN 的中点在直线l 上（2）若120λλ-=，则直线MN 与直线l 平行（3）若120λλ⋅<，则点M 、 N 分布在直线l 的两侧（4）若121λλ>，则直线l 与线段MN 的延长线相交A.（1）（2）（3） B.（2）（3）（4） C.（1）（3）（4） D.（1）（2）（3）（4）【答案】C【分析】根据条件，再合（1）（2）（3）（4）中所给条件，逐一分析判断即可得出结果.【详解】对于（1），因为120λλ+=，所以121211221212()()22[(()]022x x y y ax by c ax by c a x x b y y c a b c +++++++=++++=++=，即1212()()022x x y y a b c ++++=，所以（1）正确；对于（2），当120λλ==时，满足120λλ-=，此时有110ax by c ++=，220ax by c ++=，即()11,M x y 、()22,N x y均在直线l 上，所以（2）错误；对于（3），由120λλ⋅<，得到1122()()0ax by c ax by c ++⋅++<，由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知选项C 正确；对于（4），由121λλ>，得到11221ax by c ax by c ++>++，则有1122()()0ax by c ax by c ++⋅++>，由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，知点M 、 N 分布在直线l 的同侧，且由11221ax by cax by c ++>++，得到121222[()()]()0a x x b y y ax by c -+-++>，所以1212()()0a x x b y y -+-≠，从而有1212y y a b x x --≠-，所以（4）正确，故选：C.15.12,x x 是关于x 的二次方程22830mx x m -+-=的两个不同实数根，则经过两点()211,A x x ，()222,B x x 的直线与抛物线28y x =公共点的个数是（）A.2B.1C.0D.不确定【答案】A【分析】先利用二次方程根与系数的关系求出1212,,x x x x +，然后代入经过两点()211,A x x ，()222,B x x 的直线方程，整理后可得直线恒过定点，根据定点和抛物线的关系可得直线与抛物线的公共点个数.【详解】12,x x 是关于x 的二次方程22830mx x m -+-=的两个不同实数根,121228383x x m m x x m m ⎧+=⎪⎪∴⎨-⎪==-⎪⎩,又()44830m m ∆=-->，得4133m <或4133m >，且0m ≠，经过两点()211,A x x ，()222,B x x 的直线为()222211121x x y x x x x x --=--，整理得()1212y x x x x x =+-即()282343y x x m m m⎛⎫=--=-+ ⎪⎝⎭该直线恒过点()4,3A ，且斜率不为零，根据图像可得直线与抛物线28y x =公共点的个数是2，故选：A.16.足球教练带领运动员对“带球射门”进行专项训练.如图，教练员指导运动员沿着与边路DC 平行的路线带球并起脚射门，教练员强调要在路线上的相应位置P 处起脚射门进球的可能性最佳（即点P 对球门AB 所张的角APB ∠最大），假如每条虚线都表示在规定的区域BCDE 内为运动员预设的带球路线，而每条路线上都有一个最佳起脚射门点P ，为了研究方便，如图建立坐标系，设()1,0A -、()10B ,，请你判断：每条虚线上的最一佳起脚射门点(),P x y 应在怎样的曲线上（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【答案】B【分析】根据椭圆定义即可判断.【详解】设PA a =，PB b =,在APB 中，()22224424cos 222a b ab a b ab APB ab ab ab+--+--∠==≥,因为cos APB ∠随着APB ∠增大而减小，所以∠APB 最大时，则cos ∠APB 最小，由基本不等式可知，当且仅当a b +为定值时，cos ∠APB 有最小值，即PA PB +为定值且2PA PB +>，所以射门点P 应该在椭圆上.故选：B .三、解答题（本大题共5题，满分78分）解答下列各题须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.已知两条直线1:(1)20l t x y t -+-=和2:40l x ty t ++-=.（1）讨论直线1l 与2l 的位置关系；（2）当直线1l 与2l 平行时，求它们之间的距离；当直线1l 与2l 相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应t 的取值.【答案】（1）答案见解析；（2）平行时距离为924，相交时最大夹角为90︒．【分析】（1）由两相交求得t 的范围，再讨论平行与重合的情形即可；（2）由平行线间距离公式求距离，考虑特殊情形即两直线能否垂直，垂直时夹角最大为90︒．【小问1详解】(1)20t t --≠，2t ≠且1t ≠-时，两直线相交，2t =时，两直线方程分别为220x y +-=和220x y +-=，两直线重合，1t =-时，两直线方程分别为2210x y -++=和50x y --=，两直线平行．综上，2t ≠且1t ≠-时，两直线相交，2t =时，两直线重合，1t =-时，两直线平行．【小问2详解】由（1）两直线平行时，两直线方程分别为2210x y -++=和50x y --=即为2210x y --=和22100x y --=，距离为924d ==，两直线相交时，2t ≠且1t ≠-，0t ≠时，1l 的斜率为112t k -=-，2l 的斜率为21k t =-，由11(12t t --⋅-=-得13t =，即13t =时两直线垂直，夹角最大为90︒．18.已知拋物线C 的方程为24y x =.（1）求过点(0,2)且与抛物线C 只有一个公共点的直线的方程；（2）已知直线l 过焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，点M 为该抛物线准线上一点，求证：0MA MB ⋅≥【答案】（1）122y x =+，0x =和2y =；（2）证明见解析．【分析】（1）考虑直线斜率不存在和与抛物线对称轴平行的直线，再在斜率存在时，设方程2y kx =+，由它与抛物线相切得结论．（2）直线l 方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，设(1,)M t -，直线方程代入抛物线方程应用韦达定理，代入MA MB ⋅计算可得．【小问1详解】显然直线0x =和直线2y =都是与抛物线只有一个公共点，再设直线方程为2y kx =+，代入抛物线方程得224(1)40k x k x +-+=，由2216(1)160k k ∆=--=得12k =，直线方程为122y x =+，它与抛物线相切．只有一个公共点．所以所求直线方程为122y x =+，0x =和2y =；【小问2详解】由已知抛物线焦点为(1,0)F ，设直线l 方程为1x my =+，设1122(,),(,)A x y B x y ，由214x my y x=+⎧⎨=⎩得2440y my --=，124y y m +=，124y y =-，准线方程是=1x -，设(1,)M t -，所以11221212(1,)(1,)(1)(1)()()MA MB x y t x y t x x y t y t ⋅=+-⋅+-=+++--1212(2)(2)()()my my y t y t =++---221212(1)(2)()4m y y m t y y t =++-+++22244(2)0t mt m t m =++=+≥．19.如图，设直线l 为公海与领海的分界线，一巡逻艇在A 处发现了海面B 处有一艘走私船，A 与公海相距20海里.走私船可能向任一方向逃窜，若它进入公海则逃脱成功.假设走私船和巡逻艇都是沿直线航行，巡逻艇的航速是走私船航速的()1λλ>倍.（1）当2λ=，()0,0A ，()6,6B 时，走私船能被截获的点在一个圆上，求这个圆的标准方程；（2）可知非截获区域是一个圆的内部，如果此圆和分界线l 没有公共点，则巡逻艇可以成功截获走私船.已知B 在A 的北偏东45︒，相距海里处，为了成功截获走私船，求λ的最小整数值.【答案】（1）22(8)(8)32x y -+-=；（2）3【分析】（1）设(,)P x y ，用坐标表示出2PA PB =，化简即得；（2）建立如图的直角坐标系，设(,)P x y ，用坐标表示出PA PB λ=，化简即得圆方程，从而求得圆心坐标和半径，该圆外部是截获区域，因此该圆与分界线不能相交，从而可求得λ的范围得出最小整数值．【小问1详解】设(,)P x y 是截获点，则2PA PB =，=22(8)(8)32x y -+-=；【小问2详解】以海岸线为x 轴，A 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则(10,10)B ，设(,)P x y 是截获点，则PA PB λ=，即=，化简得2222222221010200()()11(1)x y λλλλλλ-+-=---，截获点所在圆为以22221010(,)11λλλλ--为圆心，21021λ-为半径的圆，该圆外部为截获区域，要能成功截获走私船，则该圆与分界线不能相交，所以222101022011λλλ+≤--，因为1λ>，故解得21022λ≥+，所以λ的最小整数值为3.20.已知直线0x y ++=与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点.（1）求椭圆E 的方程；（2）是否存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称？若存在，求λ的取值范围；若不存在，请说明理由；（3）椭圆E 的内接四边形ABCD 的对角线AC 与BD 垂直相交于椭圆的左焦点，S 是四边形ABCD 的面积，求S的最小值.【答案】（1）2212x y +=（2）存在，66,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭（3）2【分析】（1）将直线方程和椭圆方程联立，利用Δ0=求解即可；（2）假设存在实数λ，设:20PQ l x y t ++=，通过0∆>求出t 的范围，然后与椭圆联立，求出线段PQ 的中点，代入直线20x y λ--=，求出t 与λ的关系，进而可得λ大范围；（3）先求出对角线AC 与BD 中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时的S ，再求对角线AC 与BD 的斜率即存在，又不为零时的S ，对于这种情况，设:1,0AC l x ty t =-≠，与椭圆联立，然后利用弦长公式求出AC ，同理求出BD ，通过12S AC BD =计算求其范围，然后综合可得S 的最小值.【小问1详解】联立22201x y x y a⎧++=⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()2222120a x x a +++=直线0x y ++=与椭圆222:1x E y a+=有且只有一个公共点，∴()()2222810a a ∆=-+=，解得22a =即椭圆E 的方程为2212x y +=；【小问2详解】假设存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称，设:20PQ l x y t ++=，()()1122,,,P x y Q x y 联立222012x y t x y ++=⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得226420y ty t ++-=，则()22162420t t ∆=-->，解得t <<由韦达定理得1223t y y +=-，()12122223t x x y y t ∴+=-+-=-，121222022333x x y y t t tλλλ++∴⨯--=-+-=--=，66,333t λ⎛⎫∴=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭，∴存在实数λ，使椭圆E 上存在不同两点P 、Q 关于直线20x y λ--=对称，且λ的取值范围是6633⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭.【小问3详解】椭圆的左焦点为()1,0-，当对角线AC 与BD中有一个斜率不存在，另一个斜率为零时，2112122222b S AC BD a a ==⨯⨯=⨯，当对角线AC 与BD 的斜率即存在，又不为零时，设:1,0AC l x ty t =-≠，()()()()11223344,,,,,,,A x y C x y B x y D x y 则1:1BD l x y t=--，联立22112x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()222210t y ty +--=，则12122221,22t y y y y t t +==-++，)2212t AC t +∴=+，同理：)22221111212t t BD t t ⎫+⎪+⎝⎭==++，))()()()2222222211411122221221t t t S AC BD t t t t +++∴==⋅⋅=++++令21,1t m m +=>，则()()()()()2222222241422212211221t m m m m m m t t +===++---++，2222121,1,10,0,2211m m m m m >∴>∴->∴>∴+>-- ，综合得2S ≥，即S 的最小值为2.21.平面上，直线1l 和2l 相交于点O ，它们的夹角为2θ.已知动点P 到直线1l 与2l 的距离之积为定值2(0)m m >，动点P 的轨迹记为曲线E .我们以O 为坐标原点，以直线1l 与2l 夹角的平分线为x 轴，建立直角坐标系，如图.（1）求曲线E 的方程；（2）当1m =，π4θ=时，直线l 与曲线E 顺次交于A 、B 、C 、D 四点，求证：AB CD = ；（3）当125m =，3arctan 4θ=时，是否存在直线l 与曲线E 只有A 、B 、C 三个不同公共点（点B 在线段AC 上），使得OA OC ⊥？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22222sin cos x y m θθ-=（2）证明见解析（3）直线l 不存在，理由见解析【分析】（1）根据题意建立关于,x y 的等式化简即可求得；（2）根据题意求得曲线E 的方程，直线与曲线联立方程组，消掉一个未知数y ，得到关于x 的一元二次方程，利用根与系数的关系表示A D B C x x x x +=+，即可得证；（3）根据题意求得曲线E 的方程，讨论直线斜率与双曲线渐近线方程斜率的关系即可求解.【小问1详解】由题意，直线1l 的方程为tan y x θ=，即tan 0x y θ-=，直线2l 的方程为tan y x θ=-，即tan 0x y θ+=，设动点(,)P x y 是所求轨迹上的任意一点，2m =，整理得22222sin cos x y m θθ-=，即动点P 的轨迹方程为22222sin cos x y m θθ-=.【小问2详解】当π41,m θ==，时，可得曲线E 的方程为222x y -=，即222x y -=或222y x -=，当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y kx t =+，联立方程组222y kx t x y =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221220k x ktx t ----=，则10∆>，221A D kt x x k +=-，联立方程组222y kx t y x =+⎧⎨-=⎩，整理得()2221220k x ktx t -++-=，则20∆>，221B C kt x x k+=-，可得A D B C x x x x +=+，即AD 与BC 的中点重合，所以AB CD = ；当直线l 不存在时，显然线段AD 与BC 的中点重合，所以AB CD = ，综上可得，当直线l 与曲线E 顺次交于A 、B 、C 、D 四点，则AB CD =成立.【小问3详解】当125m =，3arctan 4θ=时，可得22916sin ,cos 2525θθ==，所以曲线E 的方程为22916144252525x y -=，即221169x y -=，即曲线E 的方程为221:1169x y C -=或222:1916y x C --=，所以双曲线E 的渐近线为：34y x =±,1、当直线l 的斜率34k <时，有题意可知，此时直线l 与2C 相切于点B ，于1C 相交于点A ，C ，设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程组221169y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(916)32161440k x kmx m ----=，设1122(,),(,)A x y C x y ，可得12232916km x x k +=-，212216144916m x x k--=-，因为OA OC ⊥ ，可得1OA OC k k ⋅=-，即12120x x y y +=，可得2212121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=，可得222221614432(1)0916916m km k km m k k --+⨯+⨯+=--，整理可得：22271441440916m k k---=-,即2271441440m k ++=，此时方程无解，2、当直线l 的斜率34k >时，有题意可知，此时直线l 与1C 相切于点B ，于2C 相交于点A ，C ，设直线l 的方程为y kx m =+，联立方程组221169y kx m x y =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(916)32161440k x kbx m ----=，则222Δ(32)4(916)(16144)0km k m =-⨯---=，整理得221449810k m -++=①联立方程组221916y kx m y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，整理得222(169)32161440k x kmx m -++-=，设1122(,),(,)A x y C x y ，可得12232169km x x k -+=-，212216144169m x x k -=-，因为OA OC ⊥ ，可得1OA OC k k ⋅=-，即12120x x y y +=，可得2212121212()()(1)()0x x kx m kx m k x x km x x m +++=++++=，可得222221614432(1)0169169m km k km m k k --+⨯+⨯+=--，整理可得：22271441440916m k k--=-,即2271441440m k --=，②由①-②可知222250m +=，此方程无解，3、当34k =时，直线l 与渐近线平行，此时直线l 与曲线E 有且最多只有两个交点，不满足题意，综上所述：直线l 方程不存在.【点睛】关键点点睛：本题第三问解题关键是以渐近线的斜率为标准对直线l 的斜率进行分类讨论，讨论切点与交点的位置情况，考查学生分类讨论的思想以及数学运算能力.。
上海市高二上学期期中数学试卷含答案(共3套)
上海市高二第一学期数学期中考试试卷（满分：100分 考试时间：90分钟）一、填空题（本大题满分36分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每小 题填对得3分，否则一律得零分.1. 已知()1,3a =-，则a =___________.2. 方程组21320x y x y -=⎧⎨+=⎩的增广矩阵为_______________________.3. 行列式101213131--- 中3-的代数余子式的值为___________.4. 已知R a ∈，若11321lim22=+--+∞→n n n an n ,则=a ___________． 5. 1134lim 34n nn n n ++→∞-=+____________． 6. 若首项为2的无穷等比数列{}n a 的各项的和为10，则公比q =___________.7. 已知3a =，4b =，5a b +=，则a 与b 的夹角为 . 8. 已知()1,2a =，(),4b m =，()||2a a b +，则实数m 的值为_____________. 9. 设向量()3,0a =-，()2,6b =-，则b 在a 上的投影为______________. 10. 已知数列}{n a 是首项为1，公差为2的等差数列，n S 是其前n 项和，则=∞→2limnnn a S __________．11. 已知向量a ，b 是同一平面内的两个向量，其中()1,2a =，()1,1b =，a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是____________________.12. 如图所示：矩形n n n n A B P Q 的一边n n A B 在x 轴上，另两个顶点,n n P Q 在函数22()(0)1xf x x x =>+的图像上（其中点n B 的坐标为()*,0(2,)n n n N ≥∈），矩形n n n n A B P Q 的面积记为n S ，则lim n n S →∞= .二、选择题（本大题满分12分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的.13. 下列命题中，真命题为………………………………………………………（ ）（A ）若0 =a ，则0=a； （B ）若b a =，则b a =或b a -=；（C ）若a 与b 是平行的向量，则a 与b是相等的向量；（D ）若a b -=，则0=+b a ． 14. 数列{}n a 的通项公式是1(1)2nn a +-=，则此数列…………………………（ ）（A ）有极限，其值是整数； （B ）有极限，其值是分数； （C ）有两个极限； （D ）lim n n a →∞不存在．15. 在数列{}n a 中，111111234212n a n n=-+-++--，则1k a +=…………（ ） (A) 121k a k ++ (B) 112224k a k k +-++ (C) 122k a k ++ (D)112122k a k k +-++ 16. 有下列四个命题：①若22lim A a n n =∞→，则A a n n =∞→lim ； ②若0>n a ，A a n n =∞→lim ，则0>A ；③若()0lim =-∞→n n n b a ，则n n n n b a ∞→∞→=lim lim ；④若A a n n =∞→lim ，则22lim A a n n =∞→.其中正确命题的个数是……………………………………………………………（ ） （A ）1个 （B ） 2个 （C ） 3个 （D ）4个三、解答题（本大题满分52分）本大题共有5题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17.（本题满分10分）已知)10,5(),4,3(---B A ，O 为坐标原点， (1) 求向量AB 的坐标及AB ；(2) 若OB OA OC +=，求与OC 同向的单位向量的坐标．18.（本题满分10分）用行列式的方法解关于x 、y 的二元一次方程组1323mx y mx my m +=-⎧⎨-=+⎩，并对解的情况进行讨论.19. （本题满分10分）已知O 为坐标原点，()3,4OA =-，()6,3OB =-，()5,3OC m m =---. （1）若A ，B ，C 三点共线，求m 的值；（2）若△ABC 是以角A 为直角顶点的直角三角形，求m 的值以及此时三角形的面积.20．（本题满分10分）已知等比数列{}n a ，首项为1a ，公比为q ，11lim()12n n a q q →∞-=+，求首项1a 的取值范围.21.（本题满分12分）已知点的序列(),0,*,n n A x n N ∈，其中()120,0,x x a a ==>，3A 是线段12A A 的中点，4A 是线段23A A 的中点，n A 是线段21n n A A --的中点，（1）写出n x 与12,n n x x --之间的关系式()3n ≥；（2）设1n n n a x x +=-，计算123,,,a a a 由此推测数列{}n a 的通项公式，并加以证明.第一学期高二数学期中考试试卷答案及评分细则注：填空题结果只要等价就得分；解答题其他解法相应给分。
上海市复旦大学附属中学2016-2017学年高二上学期期中考试英语试题 Word版含答案
复旦大学附属中学2016学年第一学期高二年级期中考试试卷2016-11-8II. Grammar and vocabulary (26%)Section ADirections: Read the following two passages. Fill in the blanks to make the passage coherent. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper from of the given word. For the other blanks, fill in each blank with one proper word. Make sure that your answers are grammatically correct.(A)As a student, I get so many assignments every day. I have to stay up late in order to finish all my homework. I used to complain about all this pressure (25) ______ school with my classmates. We did not appreciate our teachers for their hard work. We only (26) _______ (know) that we got a lot of homework.After a few months, we did not complain about homework anymore (27) _______ we knew that our teachers worked (28) ________ (hard) than we did. We had no right to complain. Sometimes, we said, “I didn’t go to bed until 12:00 o’clock last night. Now I just want to sleep.” Our teacher would answer us, “I go to bed at 1:00 a.m. every day.” Since we knew how hard teachers work, we started to appreciate them. To give our thanks, we wrote a big card to the teachers (29) _______ it was teachers’ day. When they got our card, they (30) _________ (touch) because their students finally knew the teachers’ effort.After (31) _________ (give) the card, I realized (31) powerful the sentence “thank you” is. When we give our thanks to somebody, the world is full of love.I say “thank you” to my friends, fami ly, classmates, teachers, and even strangers.I like to see the smiles on their faces, so (32) ________ (say) “thank you” every day is the way I make the world a better place.(B)Phyllis Rawlins’ house was destroyed after a tornado(龙卷风) swept through her town of Kokomo, Ind., on Sunday. Last summer, she lost (33)_______ husband of over 40 years, Edgar. In the tornado’s rubble(瓦砾), Rawlins searched for Edgar’s wedding ring. “Digging and praying. Digging and praying,” she told local station Fox 59.“It was everything to me, because that’s one thing that I had,” she said.Rawlins had been visiting family in Kentucky when the storm came through. She returned (34) ________ find her home completely in pieces. “This was the house that love built,” she told W THR.Without her husband or her house, she was determined to find the ring. But (35) ________ (locate) it among the piles of rubble seemed to be hopeless.Somehow, her brother spotted something under (36) _______ piece of the roof and called her over. The ring, (37) _______ (bury) in the rubble, had turned up.“It was a miracle,” Rawlins said. “We both just hugged each other, (38) _______ (cry). That was (39) _______ I had searched and searched for,”When all was lost, the special ring he left was finally found.“I’m very strong with my faith, and I know that God is in control of (40) _________, the good and the bad,” Rawlins said.Section BDirections: Complete the following passage by using the words in the box．Each word can only be used once. Note that there is one word more than you need．Zhou Yeling couldn’t wait until 7am for a long-awaited date with her favourite Englishman.The 19-year-old from the city of Shanghai dragged herself out of bed at 5am to watch the third season premiere of Sherlock on the BBC’s website. Two hours later, the episode started showing with Chinese subtitles on , a video website.Youku says it was viewed more than 5 million times in the first 24 hours, becoming the site’s most popular programme to 41.“I was excited beyond words,” said Zhou, a student in the central Chinese city of Changsha.Sherlock has become a global 42, but nowhere more than in China, which was one of the first countries where the new season was shown.Online fan clubs have attracted thousands of members. Chinese fans write their own stories about the modern version of author Arthur Conan Doyle’s prickly, Victorian detective and his 43, Dr Watson, to fill the time between the brief, three-episode seasons.“The Sherlock production team shoot something more like a movie, not just a TV drama,” said YuFei, a veteran writer of TV crime dramas for Chinese television. Scenes in which Holmes44 clues in a suspect’s clothes or picks apart an alibi are so richly detailed that “it seems like a wasteful luxury,” Yu said.Even the Communist Party newspaper People’s Daily is a fan.“45 plot, bizarre story, exquisite production, excellent performances,” it said of the third season’s first episode.With its mix of odd villains, eccentric aristocrats and fashionable London settings, Sherlock can draw on a Chinese fondness for a storybook version of Britain. Wealthy Chinese send their children to local branches of British schools such as Eton and Dulwich.On the outskirts of Shanghai, a developer has built Thames Town, modelled on an English village with 46Tudor houses and classic red phone booths.“The whole drama has the rich scent of British culture and47,” Yu said. “Our drama doesn’t have that.”The series has given a48to , part of a fast-growing Chinese online video industry. Dozens of sites, some independent and others run by Chinese television stations, show local and imported programmes such as The Good Wife and The Big Bang Theory. says that after two weeks, total 49 for the Sherlock third season premiere had risen to 14.5 million people. That compares with the 8 to 9 million people who the BBC says watch first-run episodes in Britain. The total in China is bumped up by viewers on pay TV service BesTV, which also has rights to the programme.Appearing online gives Sherlock an unusual 50over Chinese dramas. To support a fledgling industry, communist authorities have exempted video websites from most censorship and limits on showing foreign programming that apply to traditional TV stations. That allows outlets such as Youku to show series that might be deemed too violent or political for state TV and to release them faster.III. Cloze (15points)Section A (15分)Directions: For each blank in the following passage there are four words or phrases marked A, B, C and D. Fill in each blank with the word or phrase that best fits the context.Summer is an ideal time to get the jump on your college admissions essay. These less hurried months before the onslaught of a highly pressured fall offer the chance for students to think, 51and connect with a writing topic of your admissions essay.So how can you use the summer to your best 52?First，you’d better clear your head. 53 like TV, texting, video games and Internet surfing can seriously inhibit 54. Once your school term is over, 55some time away from those electronic diversions and find a park bench, rooftop, library carrel or some other quiet place where you can hear your thoughts bubbling up from deep down in your 56Next，ask yourself questions. In looking for an essay topic, an excellent way to begin is by asking questions that can 57some juicy conflict. But don’t forget write it down. carry around a pad and pencil or some kind of wireless 58to record your thoughts. if you don’t write it down, you’re 59 to lose them.Certainly,you are required to familiarize yourself with the narrative form. It is far better to think of the college admissions essay as your chance to tell a good story. Stories are narratives. Be conscious of their narrative 60Last but not least.you should enjoy yourself. These feel-good months make it easier to relax, and61the college admissions essay with less anxiety is a good thing. It would be extremely 62to view this assignment as a creative act. You’ll want to 63yourself to the work, think that your essay will 64 through a series of drafts and allow yourself to take some 65in the process.51. A. renew B. reflect C. reserve D. resign52. A.advantage B.gain C favor D. profit53. A.Discussions B. Distributions C. Distinctions D. Distractions54. A.motive B. awareness C.inspiration D.shelter55. A.schedule B. program C. draft D. enclose56. A. consequence B.consensus C. conscience D. consciousness.57. A. turn B. dress C.catch D. run58. A. dignity B.devil C. dialect D.device59. A. free B. bound C. obliged D.possible60. A. technologies B.negotiations C.discussions D. techniques61. A. moving B.accessing C.approaching D. entering62. A. Irresistible B. beneficial C.discreet D.inevitable63. A.attach B.reply C. commit D. appeal64. A.emerge B.flutter C.stoop D. evolve65. A. pleasure B. worth C.literacy D. courageIV. Reading Comprehension (15 points)Section ADirections:Read the following three passages. Each passage is followed by several questions or unfinished statements. For each of them there are four choices marked A,B,C,andD.choose the one that fits best according to the information given in the passage you have read.(A)Texting has long been bemoaned (哀叹）as the downfall of the written word,“penmanship for illiter,”as one critic called it. To which the proper response is LOL.Texting properly isn′t writing at all. It′s a “spoken” language that is getting richer and more complex by the year.First,some historical perspective. Writing was only invented 5,500 years ago. whereas Ianguage probably traces back at least 80.000 years. Thus talking came first; writing is just a craft that came along later. As such, the first writing was based on the way people talk，with short sentences.However, while talking is largely subconscious and rapid, writing is deliberate and slow, Over time,writers took advantage of this and started cratting long-winded sentences such as this one:The whole engagement lasted above 12 hours, till the gradual retreat of the Per trsians was changed into a disorderly flight, of which the shameful example was given by the principal leaders and……”No one talks like that casually — or should. But it is natural to desire to do so for special occasions. In the old days, we didn’t much wr ite like talking because there was no mechanism to reproduce the speed of conversation. But texting and instant messaging do —and a revolution has begun. It involves the crude mechanics of writing, but in its economy, spontaneity and even vulgaritv. texting is actually a new kind of talking, with its own kind of grammar and conventions.Take LOL. It doesn’t actually mean “laughing out loud” in a literal sense anymore. LOL has evolved into something much subtler and sophisticated and is used even when not hing is remotely amusing. Jocelyn texts “Where have you been?” and Annabelle texts back ，LOL at the library studying for two hours.” LOL signals basic empath)’（同感)between tcxters. easing tension and creating a sense of equality. Instead of having a literal meaning, it docs something - conveying an attitude —just like the -cd ending conveys past tense rather than “meaning.，anything. LOL.of all things, is grammar.Of course no one thinks about that consciously. But then most of communication operates without being noticed. Over time, the meaning of a word or an expression drifts meat used to mean any kind of food, silly used to mean, believe it or not，blessed.Civilization, then，is fine 一 people banging away on their smartphones are fluently using a code separate from the one they use in actual writing, and there is no evidence that texting is ruining composition skills. Worldwide people speak differently from the w ay they write, and texting -quick, casual and only intended to be read once — is actually a way of talking with your fingers.66.In what way does the author say writing is different from talking?A) It is crafted with specific skills.B) It expresses ideas more deeply.C) It does not have as long a history.D) It is not as easy to comprehend.67.Why is LOL much used in texting?A) It brings texters closer to each other.B) It shows the texter's sophistication.C) It is a trendy way to communicateD) It adds to the humor of the text68.Examples like meat and silly are cited to showA) the difference between writing and talkingB) how different words are used in textingC) why people use the words the way they doD) the gradual change of word meaning(B)Mark Twain has been called the inventor of the American novel. And he surely deserves additional praise: the man who popularized the clever literary attack on racism.I say clever because anti-slavery fiction had been the important part of the literature in the years before the Civil War. H. B. Stowe’s Uncle Tom’s Cabin is only the most famous example. These early stories dealt directly with slavery. With minor exceptions, Twain planted his attacks on slavery and prejudice into tales that were on the surface about something else entirely. He drew his readers into the argument by drawing them into the story.Again and again, in the postwar years, Twain seemed forced to deal with the challenge of race. Consider the most controversial, at least today, of Twain’s novels, Adventures of Huckleberry Finn. Only a few books have been kicked off the shelves as o ften as Huckleberry Finn, Twain’s most widely read tale. Once upon a time, people hated the book because it struckthemas rude. Twain himself wrote that those who banned the book considered the novel “trash and suitable only for the slums(贫民窟).” More recently the book has been attacked because of the character Jim, the escaped slave, and many occurrences of the word nigger. (The term Nigger Jim, for which the novel is often severely criticized, never appears in it.)But the attacks were and are silly—and miss the point. The novel is strongly anti-slavery. Jim’s search through the slave states for the family from whom he has been forcibly parted is heroic. As J. Chadwick has pointed out, the character of Jim was a first in American fiction—a recognition that the slave had two personalities, “the voice of survival within a white slave culture and the voice of the individual: Jim, the father and the man.”There is much more. Twain’s mystery novel Pudd’nhead Wilson stood as a challenge to the racial beliefs of even many of the liberals of his day. Written at a time when the accepted wisdom held Negroes to be inferior (低等的) to whites, especially in intelligence, Twain’s tale centered in part around two babies switched at birth.A slave gave birth to her master’s bab y and, for fear that the child should be sold South, switched him for the master’s baby by his wife. The slave’s light-skinned child was taken to be white and grew up with both the attitudes and the education of the slave-holding class. The master’s wife’s baby was taken for black and grew up with the attitudes and intonations of the slave.The point was difficult to miss: nurture (养育), not nature, was the key to social status. The features of the black man that provided the stuff of prejudice—manner of speech, for example—were, to Twain, indicative of nothing other than the conditioning that slavery forced on its victims.Twain’s racial tone was not perfect. One is left uneasy, for example, by the lengthy passage in his autobiography (自传) about how much he loved what were called “nigger shows” in his youth—mostly with white men performing in black-face—and his delight in getting his mother to laugh at them. Yet there is no reason to think Twain saw the shows as representing reality. His frequent attacks on slavery and prejudice suggest his keen awareness that they did not.Was Twain a racist? Asking the questioning the 21 stcentury is as wise as asking the same of Lincoln. If we read the words and attitudes of the past through the “wisdom” of the considered m oral judgments of the present, we will find nothing but error. Lincoln, who believed the black man the inferior of the white, fought and won a war to free him. And Twain, raised in a slave state, briefly a soldier, and inventor of Jim, may have done more to anger the nation over racial injustice and awaken its collective conscience than any other novelist in the past century.69. How do Twain’s novels on slavery differ from Stowes?A. Twain was more willing to deal with racism.B. Twain’s attack on racism w as much less open.C. Twain’s themes seemed to agree with plots.D. Twain was openly concerned with racism.70. What best proves Twain’s anti slavery stand according to the author?A. Jim’s search for his family was described in detail.B. The slave’s voic e was first heard in American novels.C. Jim grew up into a man and a father in the white culture.D. Twain suspected that the slaves were less intelligent.71. The story of two babies switched mainly indicates that .A. slaves were forced to give up their babies to their mastersB. slaves babies could pickup slave holders‵ way of speakingC. blacks‵ social position was shaped by how they were brought upD. blacks were born with certain features of prejudice72. What does the author mainly argue for?A. Twain had done more than his contemporary writers to attack racism.B. Twain was an admirable figure comparable to Abraham Lincoln.C. Twain’s works had been banned on unreasonable grounds.D. Twain s works should be read from a historical point of view.Section BDirections:complete the following passage by using the sentences in the box. Each sentence can only be used once. Note that there are two sentences more than you need.Scientists have identified the clear biological advantages that give the world's sporting champions a head start in life before they have even begun their rigorous training programs.The coach for the French Olympic team says: “We measure special attributes between the ages of 16 and 18. But only one in 10, 000 people has the physical aspects needed to compete at the very top level in sporting events.___73___.We take into account the height, strength and endurance of a person. We also regard mental application as important, how an individual reacts when the competition gets really tou gh.”Scientists say that medical evidence is playing an increasingly important role in the selection of athletes. A study of the 40-year dominance of Kenyan runners in long distance athletic events has revealed that 45 per cent of them come from the Nandi tribe. What is remarkable is that this tribe makes up only 3 per cent of the Kenyan population.___74___. Athletic organizations consider these genetic factors a good indicator when selecting athletes to produce superior running performances.___75___.For example, David Beckham's bandy legs have been partly credited with helping to put a spin on the football when he takes a free kick for England. Other biological characteristics are more measurable. The American tennis player, AndyRoddick, has the fastest serve in the game. He is able to arch his back so much that it increases the rotation of his arm to 130 degrees. This is 44 per cent better than the average professional player and this allows him to drive the ball over the net at 240 kilometers per hour. Michael Phelps, the fourteen-times Olympic swimming champion, has over-size feet which act like flippers to propel him through the water.___76___.Mia Hamm, probably the best all-round woman footballer in the world, produces less than one liter of sweat an hour when doing vigorous exercise, which is half the human average. When it comes to speed, take the example of woman racing driver, Liz Halliday. A normal person would take 300 milliseconds to make a reactive decision. She can do it in 260 milliseconds. It may not sound much quicker but at top race speeds this makes a difference of three car lengths.The difference between success and failure is very small and all these biological factors are crucial in finding future champions.V. Productive Grammar (10 points )Directions:After reading the passage below, fill in the blanks to make the passages coherent and grammatically correct. For the blanks with a given word, fill in each blank with the proper form of the given word;for the other blanks, use one word that best fits each blank.Golden Rules of Good DesignWhat makes good design? Over the years, designers and artists __77_____(try) to capture the essentials of good design. They have found that some sayings can help people understand the ideas of good design. There are four____78_____follows.Less is more. This saying is associated with the German-born architect Mies van der Rohe. In his Modernist view, beauty lies in simplicity and elegance, and the aim of the designer is ____79_____(create) solutions to problems through the most efficient means. Design should avoid unnecessary decorations.More is not a bore. The American-born architect Robert Venturi concluded that____80___ simplicity is done badly, the result is soulless design. Post-Modernist designers began to experiment with decoration and color again. Product design was heavily influenced by this view and can be seen in kitchen appliances ____81____ ____81____ovens and kettles.Fitness for purpose. Successful product design takes into consideration a product’s function, purpose, shape, form, color, and so on.The most important result for the user is that the product does____82____is needed. For example, think of a(n) adjustable desk lamp. It needs to be constructed from materials that will stand the heat of the lamp and regular adjustments by the user. It also needs to be stable. ____83____(importantly), it needs to direct light where it is needed.From follows emotion. This phrase is associated with the German designer Hartmut Esslinger.He believes design____84____take into account the sensory side of____85____nature—sight, smell, touch and taste. These are as important as rational(理性的). When ____86____(choose)everyday products such as toothpaste, we appreciate a cool-looking device that allows us to easily squeeze the toothpaste onto our brush.VI. Translation ( 15 points )Directions: Translate the following sentences into English, using the words given in the brackets.86.不可否认鼓励学生的最好方法之一是颁发奖学金。
2016-2017年上海市浦东新区高二上学期期中数学试卷及参考答案
2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷一、填空题1．（5分）4和10的等差中项是．2．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=．3．（5分）向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=．4．（5分）=．5．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8=．8．（5分）已知等边△ABC的边长为1，则=．9．（5分）已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为．10．（5分）在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．11．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为．12．（5分）数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于．二、选做题13．（5分）=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣214．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n 是（）A．7 B．7或8 C．8 D．915．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a416．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0三、解答题17．（14分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n 项和S n．18．（14分）已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．19．（14分）已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．20．（14分）已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m的值．21．（14分）已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；之间插入b k （3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．2016-2017学年上海市浦东新区高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）4和10的等差中项是7．【解答】解：4和10的等差中项==7，故答案为：7．2．（5分）等比数列{a n}中，a1=2，公比q=3，则a5=162．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a1=2，公比q=3，得a5=．故答案为：162．3．（5分）向量=（4，﹣3），则与同向的单位向量=（，﹣）．【解答】解：∵向量=（4，﹣3），∴||==5，∴与同向的单位向量=（，﹣），故答案为：（，﹣）．4．（5分）=2．【解答】解：==2，故答案为：2．5．（5分）在平面直角坐标系中，已知两点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，则点P的坐标为（0，3）．【解答】解：设P（a，b），点A（2，﹣1）和B（﹣1，5），点P满足=2，可得（a﹣2，b+1）=2（﹣1﹣a，5﹣b），可得a﹣2=﹣2﹣2a，b+1=10﹣2b，解得a=0，b=3．点P的坐标为（0，3）．故答案为：（0，3）．6．（5分）等比数列{a n}中，a2=1，a4=4，则a6=16．【解答】解：在等比数列{a n}中，由a2=1，a4=4，得，∴．故答案为：16．7．（5分）S n是数列{a n}的前n项和，若a4=7，a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），则S8= 64．【解答】解：∵a n=a n﹣1+2（n≥2，n∈N*），∴数列{a n}是公差为2的等差数列，又a4=7，∴a1+3×2=7，解得a1=1．∴S8=8+=64．故答案为：64．8．（5分）已知等边△ABC的边长为1，则=．【解答】解：由题意，等边三角形ABC的边长为1，∴=﹣=﹣1×1×cos60°=﹣，故答案为：﹣．9．（5分）已知向量=（1，2），=（3，﹣4），则向量在向量上的投影为﹣1．【解答】解：由已知向量在向量上的投影为==﹣1；故答案为：﹣1．10．（5分）在数列{a n}中，S n是其前n项和，若S n=n2+1，n∈N*，则a n=．【解答】解：∵S n=n2+1，n∈N*，∴n=1时，a 1=S1=2，n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=n2+1﹣[（n﹣1）2+1]=2n﹣1，则a n=．故答案为：．11．（5分）若等比数列{a n}的前n项和S n=（）n+a（n∈N*），则数列{a n}的各项和为﹣1．【解答】解：由，得，=（n≥2），∵数列{a n}是等比数列，∴，得a=﹣1．∴，则，则数列{a n}的各项和为．故答案为：﹣1．12．（5分）数列{a n}中，a n+1=，a1=2，则数列{a n}的前2015项的积等于3．【解答】解：∵且a1=2，∴a2===﹣3，a3===﹣，a4===，a5===2，不难发现数列{a n}是周期数列，四个为一周期且最前四个乘积为=1，∵2015=503×4+3，∴数列{a n}前2015项的积为：=3，故答案为：3．二、选做题13．（5分）=（1，2），=（k，4），若∥，则下列结论正确的是（）A．k=﹣6 B．k=2 C．k=6 D．k=﹣2【解答】解：因为=（1，2），=（k，4），∥，所以4=2k，解得k=2；故选：B．14．（5分）已知等差数列{a n}中，前n项和S n=n2﹣15n，则使S n有最小值的n 是（）A．7 B．7或8 C．8 D．9【解答】解：S n=n2﹣15n=（n﹣）2﹣，∴数列{S n}的图象是分布在抛物线y=（x﹣）2﹣上的横坐标为正整数的离散的点．又抛物线开口向上，以x=为对称轴，且|﹣7|=|8﹣|，所以当n=7，8时，S n有最小值．故选：B．15．（5分）用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a4【解答】解：用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1时，把当n=1代入，左端=1+a+a2．故选：C．16．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①若2b=a+c，则a，b，c成等差数列；②“a，b，c成等比数列”的充要条件是“b2=ac”；③若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列；④若||=||，则=．A．3 B．2 C．1 D．0【解答】解：对于①，若2b=a+c，则b﹣a=c﹣b，即a，b，c成等差数列，故①正确；对于②，由b2=ac，不一定有a，b，c成等比数列，反之，若a，b，c成等比数列，则b2=ac，∴b2=ac是a，b，c成等比数列的必要不充分条件，故②错误；对于③，若数列{a n2}是等比数列，则数列{a n}也是等比数列错误，如1，2，4成等比数列，但﹣1，﹣，2不是等比数列，故③错误；对于④，由，不一定有，如，故④错误．∴正确命题的个数是1个，故选：C．三、解答题17．（14分）在等差数列{a n}中，已知a1+a2=2，a2+a3=10，求通项公式a n及前n 项和S n．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a1+a2=2，a2+a3=10，∴2a1+d=2，2a1+3d=10，联立解得a1=﹣1，d=4．∴通项公式a n=﹣1+4（n﹣1）=4n﹣5，前n项和S n==2n2﹣3n．18．（14分）已知||=2，||=3，且向量与的夹角为，求|3﹣2|．【解答】解：|3﹣2|2==36+36﹣12×=36；|3﹣2|=6．19．（14分）已知数列满足a1=1，a n+1=2a n+1（n∈N*）（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）求{a n}的通项公式．=2a n+1得a n+1+1=2（a n+1），【解答】解：（1）由a n+1又a n+1≠0，∴=2，即{a n+1}为等比数列；（2）由（1）知a n+1=（a1+1）q n﹣1，即a n=（a1+1）q n﹣1﹣1=2•2n﹣1﹣1=2n﹣1．20．（14分）已知=（m﹣2）+2，=+（m+1），其中、分别为x、y轴正方向单位向量．（1）若m=2，求与的夹角；（2）若（+）⊥（﹣），求实数m的值．【解答】解：因为、分别为x、y轴正方向单位向量，所以=（m﹣2，2），=（1，m+1），所以（1）m=2时，=（0，2，），=（1，3），与的夹角的余弦值，所以与的夹角为arccos；（2）+=（m﹣1，m+2），﹣=（m﹣3，1﹣m），又（+）⊥（﹣），所以（m﹣1）（m﹣3）+（m+2）（1﹣m）=0，即﹣5m+5=0，解得m=1．21．（14分）已知各项为正的数列{a n}是等比数列，a1=2，a5=32，数列{b n}满足：对于任意n∈N*，有a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令f（n）=a2+a4+…+a2n，求的值；之间插入b k （3）求数列{b n}通项公式，若在数列{a n}的任意相邻两项a k与a k+1（k∈N*）后，得到一个新的数列{c n}，求数列{c n}的前100项之和T100．【解答】解：（1）∵a1=2，a5=32，∴q==2，∴a n=2n．（2）f（n）=a2+a4+…+a2n=22+24+…+22n==，f（n+1）=．∴===4．（3）∵a1b1+a2b2+…+a n b n=（n﹣1）•2n+1+2，∴当n≥2时，a1b1+a2b2+…+a n﹣1b n﹣1=（n﹣2）•2n+2，两式相减得：a n b n=（n﹣1）•2n+1+2﹣（n﹣2）•2n+2=n•2n，即b n==n（n≥2），又∵a1b1=2，即b1=1满足上式，∴b n=n；设S n表示数列{c n}的前n项之和，S100=（a1+a2+…+a50）+（b1+b2+…+b50）=2+22+…+250+1+2+…+50=+=251+1273．赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型：图形特征：运用举例：1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1，若∠ADC＝∠BCD＝90°，AD＝CD，求证AC⊥BD；(2)如图2，若AC⊥BD，垂足为E，AB＝2，DC＝4，求⊙O的半径.O DAB CEAOD CB2.如图，已知四边形ABCD 内接于⊙O ，对角线AC ⊥BD 于P ，设⊙O 的半径是2。
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2016-2017学年上海市复旦大学附中高二（上）期中数学试卷一.填空题1．（3分）已知向量，．若，则实数k=．2．（3分）线性方程组的增广矩阵为．3．（3分）已知，则实数x的取值范围是．4．（3分）计算：=．5．（3分）若实数x，y满足，则z=x+y的最大值是．6．（3分）已知直线l经过点（3，2），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程是．7．（3分）直线l1与l2的斜率分别是方程6x2+x﹣1=0的两根，则直线l1与l2的夹角为．8．（3分）已知A（1，1）、B（﹣2，3），直线y=ax﹣1与线段AB相交，则实数a的范围是．9．（3分）直线l过点P（3，3），点Q（﹣1，1）到它的距离等于4，则直线l的方程是．10．（3分）已知△ABC为等边三角形，AB=2，设点P，Q满足，，若，则λ=．11．（3分）直线2x+3y﹣6=0分别交x，y轴于A，B两点，点P在直线y=﹣x﹣1上，则|P A|+|PB|的最小值是．12．（3分）已知两个不相等的非零向量，，两组向量，，，，和，，，，均由2个和3个排列而成，记S=•+•+•+•+•，S min表示S所有可能取值中的最小值．则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①S有5个不同的值；②若⊥，则S min与||无关；③若∥，则S min与||无关；④若||＞4||，则S min＞0；⑤若||=2||，S min=8||2，则与的夹角为．二.选择题13．（3分）有下面四个命题：①若，则；②若a n＞0，，则A＞0；③若，则；④若，则；其中正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个14．（3分）对于任意实数m，直线mx﹣y+1﹣3m=0必经过的定点坐标是（）A．（3，1）B．（1，3）C．D．无法确定15．（3分）记，设a，b为平面内的非零向量，则（）A．B．C．D．16．（3分）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（）A．无论k，P1，P2如何，总是无解B．无论k，P1，P2如何，总有唯一解C．存在k，P1，P2，使之恰有两解D．存在k，P1，P2，使之有无穷多解三.解答题17．已知与所成的角为，且||=2，||=，求，并求与的夹角．18．已知直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+（2m﹣1）y﹣5=0，问实数m为何值时，分别有：（1）l1与l2相交？（2）l1∥l2？（3）l1与l2重合？19．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（2，3），C（3，2），点P（x，y）在△ABC 三边围成的区域（含边界）上．（Ⅰ）若++=，求||；（Ⅱ）设=m+n（m，n∈R），用x，y表示m﹣n，并求m﹣n的最大值．20．已知直线l1：y=2x，l2：y=﹣2x，过点M（﹣2，0）的直线l分别与直线l1，l2交于A，B，其中点A在第三象限，点B在第二象限，点N（1，0）；（1）若△NAB的面积为16，求直线l的方程；（2）直线AN交l2于点P，直线BN交l1于点Q，若直线l、PQ的斜率均存在，分别设为k1，k2，判断是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由．21．在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），…，A n（n，a n），…，简记为{A n}、若由构成的数列{b n}满足b n+1＞b n，n=1，2，…，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称{A n}为T点列，（1）判断，，是否为T点列，并说明理由；（2）若{A n}为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点A k、A k+1、A k+2，判断△A k A k+1A k+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若{A n}为T点列，正整数1≤m＜n＜p＜q满足m+q=n+p，求证：．参考答案一.填空题1．【解析】由，得1×（k﹣6）﹣9k=0，解得k=﹣，故答案为：．2．【解析】由增广矩阵的定义：增广矩阵就是在系数矩阵的右边添上一列，这一列是方程组的等号右边的值可直接写出增广矩阵为．故答案为：．3．（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）【解析】，即4（x+3）﹣x2＜0，可化为（x+2）（x﹣6）＞0，∴实数x的取值范围是（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞），故答案为（﹣∞，﹣2）∪（6，+∞）．4．【解析】===．故答案为：．5．1【解析】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点A时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得A（1，0），代入目标函数z=x+y得z=1+0=1．即目标函数z=x+y的最大值为1．故答案为：1．6．x+y=5或2x﹣3y=0【解析】当直线过原点时，方程为y=x，即2x﹣3y=0．当直线不过原点时，设直线的方程为x+y=k，把点A（3，2）代入直线的方程可得k=5，故直线方程是x+y﹣5=0．综上，所求的直线方程为x+y=5或2x﹣3y=0，故答案为：x+y=5或2x﹣3y=0．7．【解析】设l1、l2两直线的斜率分别为k1、k2，则由题意可得k1=﹣，k2=，设直线l1与l2的夹角是θ，由tanθ=||=1，可得θ=，故答案为：．8．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【解析】直线y=ax﹣1经过定点P（0，﹣1），k P A==2，k PB==﹣2．∵直线y=ax﹣1与线段AB相交，∴a≤﹣2或a≥2．故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．9．x=3或3x+4y﹣21=0【解析】当直线l的斜率不存在时，直线方程为x=3，点Q（﹣1，1）到直线x=3的距离等于4，故x=3符合条件；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣3=k（x﹣3），即kx﹣y﹣3k+3=0，∵点Q（﹣1，1）到它的距离等于4，∴=4，解得k=﹣，∴直线方程，整理，得3x+4y﹣21=0．∴直线l的方程为x=3或3x+4y﹣21=0．故答案为x=3或3x+4y﹣21=0．10．【解析】如图所示，∵===﹣，=22cos60°=2，，∴=2（λ﹣λ2+1）﹣4（1﹣λ）﹣4λ=2λ﹣2λ2﹣2，又∵，∴，化为（2λ﹣1）2=0，解得．故答案为．11．【解析】由题意，A（3，0），B（0，2），设设点B（0，2）关于直线y=﹣x﹣1的对称点B′（m，n），则由•（﹣1）=﹣1，且=﹣﹣1，解得n=﹣1，m=﹣3，可得B′（﹣3，﹣1），∴|P A|+|PB|≥|AB′|==，故答案为：12．②④【解析】∵x i，y i（i=1，2，3，4，5）均由2个和3个排列而成，∴S=x i y i可能情况有三种：①S=2+3；②S=+2•+2；③S=4•+．S有3种结果：S1=++++，S2=+•+•++，S3=•+•+•+•+，故①错误；∵S1﹣S2=S2﹣S3=+﹣2•≥+﹣2||•||=≥0，∴S中最小为S3；若⊥，则S min=S3=，与||无关，故②正确；③若∥，则S min=S3=4•+，与||有关，故③错误；④若||＞4||，则S min=S3=4||•||cosθ+＞﹣4||•||+＞﹣+=0，故④正确；⑤若||=2||，S min=S3=8||2cosθ+4=8，∴2cosθ=1，∴θ=，即与的夹角为．综上所述，命题正确的是②④，故答案为：②④．二.选择题13．A【解析】①若，则或﹣A，故①错；②若a n＞0，，则A＞0，比如a n=，=0，即A=0，故②错；③若，则，故③正确；④若，则，不一定成立，比如a n=b n=n，则a n，b n的极限不存在，故④错；故选：A．14．A【解析】直线mx﹣y+1﹣3m=0化为：m（x﹣3）+（1﹣y）=0，令，解得x=3，y=1．∴直线恒过定点（3，1）．故选A．15．D【解析】对于A，当⊥时，根据向量加法与减法的几何意义知，|+|=|﹣|＞min{||，||}成立，故原不等式不成立；对于B，=±2•+，∴﹣（+）=±2•，根据平面向量数量积的定义知，±2•≥0不成立，故原不等式不成立；对于C，当与共线时，根据向量加法与减法的几何意义知，min{|+|，|﹣|}＜min{||，||}成立，故原不等式不成立；对于D，=±2•+，∴﹣（+）=±2•，根据平面向量数量积的定义知，min{，}≤+成立．故选：D．16．B【解析】P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1，①×b2﹣②×b1得：（a1b2﹣a2b1）x=b2﹣b1，即（a1﹣a2）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．故选：B．三.解答题17．解：与所成的角为θ=，且||=2，||=，∴•=||×||cosθ=2××cos=﹣3；∴=9+12•+4=9×22+12×（﹣3）+4×=12，∴==2；又（3+2）•=3+2•=3×22+2×（﹣3）=6，设与的夹角为α，则cosα===，又α∈[0，π]，∴α=，即所求的夹角为．18．解：（1）∵直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+（2m﹣1）y﹣5=0，l1与l2相交，∴，解得，m≠4．（2）∵直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+（2m﹣1）y﹣5=0，l1与l2平行，∴，解得．（3）∵直线l1：（m+2）x+（m+3）y﹣5=0和l2：6x+（2m﹣1）y﹣5=0，l1与l2重合，∴，解得m=4．19．解：（Ⅰ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），++=，∴（1﹣x，1﹣y）+（2﹣x，3﹣y）+（3﹣x，2﹣y）=0∴3x﹣6=0，3y﹣6=0∴x=2，y=2，即=（2，2）∴（Ⅱ）∵A（1，1），B（2，3），C（3，2），∴，∵=m+n，∴（x，y）=（m+2n，2m+n）∴x=m+2n，y=2m+n∴m﹣n=y﹣x，令y﹣x=t，由图知，当直线y=x+t过点B（2，3）时，t取得最大值1，故m﹣n的最大值为1．20．解：（1）设直线方程为y=k（x+2），与直线l1：y=2x，l2：y=﹣2x，分别联立，可得A，B的纵坐标分别为，，∵△NAB的面积为16，∴|MN|•（y B﹣y A）=16，即（﹣）=16，解得k=±4，∴直线l的方程为4x±y+8=0；（2）由（1）可得A（，），B（﹣，），又N（1，0），设P（a，﹣2a），Q（b，2b），由A，N，P共线，可得=，解得a=，即有P（，﹣），由B，N，Q共线，可得=，解得b=，即有Q（，），则k2==﹣5k1，即有为定值﹣．21．解：（1）由题意可知，∴，显然有b n+1＞b n，∴{A n}是T点列（2）在△A k A k+1A k+2中，，∵点A2在点A1的右上方，∴b1=a2﹣a1＞0，∵{A n}为T点列，∴b n≥b1＞0，∴（a k+2﹣a k+1）（a k﹣a k+1）=﹣b k+1b k＜0，则∴∠A k A k+1A k+2为钝角，∴△A k A k+1A k+2为钝角三角形、（3）∵1≤m＜n＜p＜q，m+q=n+p，∴q﹣p=n﹣m＞0①a q﹣a p=a q﹣a q﹣1+a q﹣1﹣a q﹣2+…+a p+1﹣a p=b q﹣1+b q﹣2+…+b p≥（q﹣p）b p②同理a n﹣a m=b n﹣1+b n﹣2+…+b m≤（n﹣m）b n﹣1③由于{A n}为T点列，于是b p＞b n﹣1④由①、②、③、④可推得a q﹣a p＞a n﹣a m，∴a q﹣a n＞a p﹣a m，即。