浙江省2017年中考数学专题二：动定之间的风景(二次函数的最值问题)

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专题15二次函数的应用2年中考1年模拟备战2017年中考数学(附解析)

专题15 二次函数的应用☞解读考点☞考点归纳归纳1：二次函数与几何的综合运用．基础知识归纳：求点的坐标，求抛物线解析式，求线段长或图形面积的最值，点的存在性．基本方法归纳：待定系数法、数形结合思想、分类讨论思想．注意问题归纳：合理使用割补法表达面积，分类讨论要全面．【例1】（2016四川省内江市）某中学课外兴趣活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成，已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．（1）若苗圃园的面积为72平方米，求x；（2）若平行与墙的一边长不小于8米，这个苗圃园的面积有最大值和最小值吗？如果有，求出最大值和最小值；如果没有，请说明理由；（3）当这个苗圃园的面积不小于100平方米时，直接写出x的取值范围．【答案】（1）12；（2）y最大=112.5；（3）5≤x≤10．【分析】（1）根据题意得方程求解即可；（2）设苗圃园的面积为y ，根据题意得到二次函数解析式y =x （30﹣2x ）=2230x x -+，根据二次函数的性质求解即可；（3）由题意得不等式，即可得到结论．【点评】此题考查了二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的实际应用问题．解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．归纳 2：二次函数与实际应用题的综合运用基础知识归纳：待定系数法求抛物线解析式，配方法求二次函数最值．基本方法归纳：关键是熟练掌握二次函数的性质．注意问题归纳：在求二次函数最值时一定要准确求出自变量的取值，特别要观察顶点是否在取值范围内，若在，则取顶点纵坐标为最值；若不在，则根据取值范围在对称轴左右和开口方向，利用增减性求最值．【例2】（2016浙江省绍兴市）课本中有一个例题：有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m 2．我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？请通过计算说明．【答案】（1）254m ；（2）与课本中的例题比较，现在窗户透光面积的最大值变大．【分析】（1）根据矩形和正方形的周长进行解答即可；（2）设AB 为xcm ，利用二次函数的最值解答即可．【点评】此题考查二次函数的应用，关键是利用二次函数的最值解答．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．【例3】（2016山东省青岛市）某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q （元）与月产销量y （个）满足如下关系：（1）写出月产销量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；（2）求每个玩具的固定成本Q （元）与月产销量y （个）之间的函数关系式；（3）若每个玩具的固定成本为30元，则它占销售单价的几分之几？（4）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，则每个玩具的固定成本至少为多少元？销售单价最低为多少元？【答案】（1）y =﹣2x +860；（2）Q =9600y；（3）19；（4）固定成本至少是24元，销售单价最底为230元．【分析】（1）设y =kx +b ，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可．（2）观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q （元）与月产销量y （个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q =m y，由此即可解决问题．（3）求出销售价即可解决问题．（4）根据条件分别列出不等式即可解决问题．（3）当Q =30时，y =320，由（1）可知y =﹣2x +860，所以y =270，即销售单价为270元，由于30270=19，∴成本占销售价的19．（4）若y ≤400，则Q ≥9600400，即Q ≥24，固定成本至少是24元，400≥﹣2x +860，解得x ≥230，即销售单价最底为230元．【点评】本题考查一次函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题，属于中考常考题型．考点：1．二次函数的应用；2．待定系数法求一次函数解析式．【例4】（2016广西钦州市）如图1，在平面直径坐标系中，抛物线22y ax bx =+-与x 轴交于点A （﹣3，0）．B （1，0），与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的函数解析式；（2）以OC 为半径的⊙O 与y 轴的正半轴交于点E ，若弦CD 过AB 的中点M ，试求出DC的长；（3）将抛物线向上平移32个单位长度（如图2）若动点P （x ，y ）在平移后的抛物线上，且点P 在第三象限，请求出△PDE 的面积关于x 的函数关系式，并写出△PDE 面积的最大值．【答案】（1）224233y x x =+-；（2）5；（3）S △PDE =282221515x x --+（22--＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为361120．【分析】（1）由点A 、B 的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）令抛物线解析式中x =0求出点C 的坐标，根据点A 、B 的坐标即可求出其中点M 的坐标，由此即可得出CM 的长，根据圆中直径对的圆周角为90°即可得出△COM ∽△CDE ，根据相似三角形的性质即可得出OC CM DC CE=，代入数据即可求出DC 的长度；（3）根据平移的性质求出平移后的抛物线的解析式，令其y =0，求出平移后的抛物线与x 轴的交点坐标，由此即可得出点P 横坐标的范围，再过点P 作PP ′⊥y 轴于点P ′，过点D 作DD ′⊥y 轴于点D ′，通过分割图形求面积法找出S △PDE 关于x 的函数关系式，利用配方结合而成函数的性质即可得出△PDE 面积的最大值．（2）令224233y x x =+-中x =0，则y =﹣2，∴C （0，﹣2），∴OC =2，CE =4． ∵A （﹣3，0），B （1，0），点M 为线段AB 的中点，∴M （﹣1，0），∴CM∵CE 为⊙O 的直径，∴∠CDE =90°，∴△COM ∽△CDE ，∴OC CM DC CE =，∴DC =5．过点P 作PP ′⊥y 轴于点P ′，过点D 作DD ′⊥y 轴于点D ′，如图所示．在Rt △CDE 中，CD =5，CE =4，∴DE 5sin ∠DCE =DE CE =5，在Rt △CDD ′中，CD =，∠CD ′D =90°，∴DD ′=CD •sin ∠DCE =85，CD 165，OD ′=CD ′﹣OC =65，∴D （85-，65），D ′（0，65），∵P （x ，2241332x x +-），∴P ′（0，2241332x x +-），∴S △PDE =S △DD ′E +S 梯形DD ′P ′P ﹣S △EPP ′=12DD ′•ED ′+12（DD ′+PP ′）•D ′P ′﹣12PP ′•EP ′=282221515x x --+＜x ＜0），∵S △PDE =282221515x x --+=2811361()158120x -++，22-＜118-＜0，∴当x =118-时，S △PDE 取最大值，最大值为361120．故：△PDE 的面积关于x 的函数关系式为S △PDE =282221515x x --+＜x ＜0），且△PDE 面积的最大值为361120．【点评】本题考查了待定系数法求函数解析式、两点间的距离、相似三角形的判定与性质以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）利用待定系数法求出函数解析式；（2）根据相似三角形的性质找出边与边之间的关系；（3）利用分割图形求面积法找出S△PDE关于x的函数关系式．本题属于中档题，难度不大，但数据稍显繁琐，本题巧妙的利用了分割图形法求不规则的图形面积，给解题带来了极大的方便．考点：1．二次函数综合题；2．最值问题；3．二次函数的最值；4．二次函数图象与几何变换；5．压轴题．☞2年中考【2016年题组】一、选择题1．（2016广西钦州市）如图，△ABC中，AB=6，BC=8，tan∠B=43，点D是边BC上的一个动点（点D与点B不重合），过点D作DE⊥AB，垂足为E，点F是AD的中点，连接EF，设△AEF的面积为y，点D从点B沿BC运动到点C的过程中，D与B的距离为x，则能表示y与x的函数关系的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B．【解析】考点：1．动点问题的函数图象；2．二次函数的应用；3．动点型．二、填空题2．（2016山东省日照市）如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽度为米．【答案】．【解析】考点：二次函数的应用．3．（2016江苏省扬州市）某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，a 的取值范围应为．【答案】0＜a ≤5．【解析】试题分析：设未来30天每天获得的利润为y ，y =（110﹣40﹣t ）（20+4t ）﹣（20+4t ）a ，化简，得：24(2604)140020y t a t a =-+-+-每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t （t 为正整数）的增大而增大，∴24(4)(140020)(2604)4(4)a a ⨯-⨯---⨯-≥﹣4×230+（260﹣4a ）×30+1400﹣20a 解得，a ≤5，又∵a ＞0，即a 的取值范围是：0＜a ≤5．考点：二次函数的应用．4．（2016浙江省台州市）竖直上抛的小球离地高度是它运动时间的二次函数，小军相隔1秒依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1秒时到达相同的最大离地高度，第一个小球抛出后t 秒时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t = ．【答案】1.6．【解析】考点：二次函数的应用．5．（2016浙江省衢州市）某农场拟建三间长方形种牛饲养室，饲养室的一面靠墙（墙长50m ），中间用两道墙隔开（如图）．已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m ，则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为 m 2．【答案】144．【解析】试题分析：如图，设设总占地面积为S （m 2），CD 的长度为x （m ），由题意知：A B =CD =EF =GH =x ，∴BH =48﹣4x ，∵0＜BH ≤50，CD ＞0，∴0＜x ＜12，∴S =AB •BH =x （48﹣4x ）=24(6)144x --+，∴x =6时，S 可取得最大值，最大值为S =144．考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．三、解答题6．（2016山东省淄博市）已知，点M 是二次函数2y ax =（a ＞0）图象上的一点，点F 的坐标为（0，14a ），直角坐标系中的坐标原点O 与点M ，F 在同一个圆上，圆心Q 的纵坐标为18．（1）求a 的值；（2）当O ，Q ，M 三点在同一条直线上时，求点M 和点Q 的坐标；（3）当点M 在第一象限时，过点M 作MN ⊥x 轴，垂足为点N ，求证：MF =MN +OF ．【答案】（1）a =1；（2）M 1（12，14），Q 1（14，18）或M 2（﹣12，14），Q 2（﹣14，18）；（3）证明见解析．【解析】（3）设M （n ，2n ）（n ＞0），则N （n ，0），F （0，14），利用勾股定理求出MF 即可解决问题．试题解析：（1）∵圆心O 的纵坐标为18，∴设Q （m ，18），F （0，14a ），∵QO =QF ，∴2222111()()884m m a+=+-，∴a =1，∴抛物线为2y x =．（2）∵M 在抛物线上，设M （t ，2t ），Q （m ，18），∵O 、Q 、M 在同一直线上，∴K OM =K OQ ，∴218t t m=，∴18m t =，∵QO =QM ，∴2222211()()()88m m t t +=-=-，整理得到：2421204t t t mt -++-=，∴424310t t +-=，∴22(1)(41)0t t +-=，∴112t =，212t =-，当112t =时，114m =，当212t =-时，214m =-，∴M 1（12，14），Q 1（14，18），M 2（﹣12，14），Q 2（﹣14，18）．（3）设M （n ，2n ）（n ＞0），∴N （n ，0），F （0，14），∴MF =214n +，MN +OF =214n +，∴MF =MN +OF ．考点：二次函数的应用．7．（2016山东省潍坊市）旅游公司在景区内配置了50辆观光车共游客租赁使用，假定每辆观光车一天内最多只能出租一次，且每辆车的日租金x （元）是5的倍数．发现每天的营运规律如下：当x 不超过100元时，观光车能全部租出；当x 超过100元时，每辆车的日租金每增加5元，租出去的观光车就会减少1辆．已知所有观光车每天的管理费是1100元．（1）优惠活动期间，为使观光车全部租出且每天的净收入为正，则每辆车的日租金至少应为多少元？（注：净收入=租车收入﹣管理费）（2）当每辆车的日租金为多少元时，每天的净收入最多？【答案】（1）25；（2）当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．【解析】（2）设每辆车的净收入为y 元，当0＜x ≤100时，y 1=50x ﹣1100，∵y 1随x 的增大而增大，∴当x =100时，y 1的最大值为50×100﹣1100=3900；当x ＞100时，y 2=（50﹣1005x -）x ﹣1100=217011005x x -+-=21(175)50255x --+ 当x =175时，y 2的最大值为5025，5025＞3900，故当每辆车的日租金为175元时，每天的净收入最多是5025元．考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．8．（2016山东省青岛市）如图，需在一面墙上绘制几个相同的抛物线型图案．按照图中的直角坐标系，最左边的抛物线可以用2y ax bx =+（a ≠0）表示．已知抛物线上B ，C 两点到地面的距离均为34m ，到墙边OA 的距离分别为12m ，32m ．（1）求该拋物线的函数关系式，并求图案最高点到地面的距离；（2）若该墙的长度为10m ，则最多可以连续绘制几个这样的拋物线型图案？【答案】（1）22y x x =-+，1；（2）5．【解析】∴图案最高点到地面的距离=224(1)-⨯-=1；（2）令y =0，即220x x -+=，∴10x =，22x =，∴10÷2=5，∴最多可以连续绘制5个这样的拋物线型图案．考点：二次函数的应用．9．（2016云南省）草莓是云南多地盛产的一种水果，今年某水果销售店在草莓销售旺季，试销售成本为每千克20元的草莓，规定试销期间销售单价不低于成本单价，也不高于每千克40元，经试销发现，销售量y （千克）与销售单价x （元）符合一次函数关系，如图是y 与x 的函数关系图象．（1）求y 与x 的函数解析式（也称关系式）；（2）设该水果销售店试销草莓获得的利润为W 元，求W 的最大值．【答案】（1）y =﹣2x +340（20≤x ≤40）；（2）5200．【解析】考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．10．（2016四川省成都市）某果园有100颗橙子树，平均每颗树结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x 棵橙子树．（1）直接写出平均每棵树结的橙子个数y （个）与x 之间的关系；（2）果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？【答案】（1）6005y x =-；（2）果园多种10棵橙子树时，可以使橙子的总产量最大，最大为60500个．【解析】试题分析：（1）根据每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；考点：二次函数的应用．11．（2016江苏省南京市）图中是抛物线拱桥，P处有一照明灯，水面OA宽4m，从O、A两处观测P处，仰角分别为α、β，且tanα=12，tanβ=32，以O为原点，OA所在直线为x轴建立直角坐标系．（1）求点P的坐标；（2）水面上升1m 1.41，结果精确到0.1m）？【答案】（1）P（3，32）；（2）2.8米．【解析】试题分析：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图，设PH=3x，运用三角函数可得OH=6x，AH=2x，根据条件OA=4可求出x，即可得到点P的坐标；（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，运用待定系数法可求出抛物线的解析式，然后求出y=1时x的值，就可解决问题．试题解析：（1）过点P作PH⊥OA于H，如图．设PH=3x，在Rt△OHP中，∵tanα=12PHOH，∴OH=6x．在Rt△AHP中，∵tanβ=PHAH=32，∴AH=2x，∴OA=OH+AH=8x=4，∴x=12，∴OH=3，PH=32，∴点P的坐标为（3，32）；（2）若水面上升1m后到达BC位置，如图，过点O（0，0），A（4，0）的抛物线的解析式可设为y=ax（x﹣4），∵P（3，32）在抛物线y=ax（x﹣4）上，∴3a（3﹣4）=32，解得a=12-，∴抛物线的解析式为1(4)2y x x=--．当y=1时，1(4)1 2x x--=，解得12x=22x=∴BC=（2﹣（2=×1.41=2.82≈2.8．答：水面上升1m，水面宽约为2.8米．考点：1．二次函数的应用；2．解直角三角形的应用-仰角俯角问题．12．（2016江苏省宿迁市）某景点试开放期间，团队收费方案如下：不超过30人时，人均收费120元；超过30人且不超过m（30＜m≤100）人时，每增加1人，人均收费降低1元；超过m人时，人均收费都按照m人时的标准．设景点接待有x名游客的某团队，收取总费用为y元．（1）求y关于x的函数表达式；（2）景点工作人员发现：当接待某团队人数超过一定数量时，会出现随着人数的增加收取的总费用反而减少这一现象．为了让收取的总费用随着团队中人数的增加而增加，求m的取值范围．【答案】（1）y=120 (030)[120(30)] (30)[120(30)] (100)x xx x x mm x m x<≤⎧⎪--<≤⎨⎪--<≤⎩；（2）30＜m≤75．【解析】考点：1．二次函数的应用；2．分段函数；3．最值问题；4．二次函数的最值．13．（2016江苏省徐州市）某宾馆拥有客房100间，经营中发现：每天入住的客房数y（间）与其价格x（元）（180≤x≤300）满足一次函数关系，部分对应值如表：（1）求y与x之间的函数表达式；（2）已知每间入住的客房，宾馆每日需支出各种费用100元；每日空置的客房需支出各种费用60元，当房价为多少元时，宾馆当日利润最大？求出最大值．（宾馆当日利润=当日房费收入﹣当日支出）【答案】（1）11902y x=-+（180≤x≤300）；（2）当房价为210元时，宾馆当日利润最大，最大利润为8450元．【解析】考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．14．（2016浙江省丽水市）如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线2143105y x x =-+的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为14，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k ≤2.5时，求m 的取值范围．【答案】（1）75m ；（2）2.1m ；（3）4≤m ≤8-．【解析】（3）∵MN =DC =3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上，∴抛物线F 2的顶点坐标为：（142m +，k ），∴抛物线F 2的解析式为：211(4)42y x m k =--+，把C （8，3）代入得：211(84)342m k --+=，解得：211(4)342k m =--+，∴k =21(8)316m --+，∴k 是关于m 的二次函数，又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧，∴k 随m 的增大而增大，∴当k =2时，21(8)3216m --+=，解得：14m =，212m =（不符合题意，舍去），当k =2.5时，21(8)3 2.516m --+=，解得：18m =-28m =+，∴m 的取值范围是：4≤m ≤8-．考点：二次函数的应用．15．（2016浙江省杭州市）把一个足球垂直水平地面向上踢，时间为t （秒）时该足球距离地面的高度h （米）适用公式2205h t t =-（0≤t ≤4）．（1）当t =3时，求足球距离地面的高度；（2）当足球距离地面的高度为10米时，求t ；（3）若存在实数1t ，2t （12t t ≠）当t =1t 或2t 时，足球距离地面的高度都为m （米），求m 的取值范围．【答案】（1）15；（2）t =2+t =2（3）0≤m ＜20．【解析】考点：1．一元二次方程的应用；2．二次函数的应用．16．（2016浙江省舟山市）小明的爸爸和妈妈分别驾车从家同时出发去上班，爸爸行驶到甲处时，看到前面路口时红灯，他立即刹车减速并在乙处停车等待，爸爸驾车从家到乙处的过程中，速度v （m /s ）与时间t （s ）的关系如图1中的实线所示，行驶路程s （m ）与时间t （s ）的关系如图2所示，在加速过程中，s 与t 满足表达式s =at 2（1）根据图中的信息，写出小明家到乙处的路程，并求a 的值；（2）求图2中A 点的纵坐标h ，并说明它的实际意义；（3）爸爸在乙处等代理7秒后绿灯亮起继续前行，为了节约能源，减少刹车，妈妈驾车从家出发的行驶过程中，速度v （m /s ）与时间t （s ）的关系如图1中的折线O ﹣B ﹣C 所示，行驶路程s （m ）与时间t （s ）的关系也满足2s at =，当她行驶到甲处时，前方的绿灯刚好亮起，求此时妈妈驾车的行驶速度．【答案】（1）180，34a =；（2）表示小明家到甲处的路程为156m ；（3）6m /s ．【解析】考点：二次函数的应用．17．（2016湖北省十堰市）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本价是80元/kg，销售单价不低于120元/kg．且不高于180元/kg，经销一段时间后得到如下数据：设y与x的关系是我们所学过的某一种函数关系．（1）直接写出y与x的函数关系式，并指出自变量x的取值范围；（2）当销售单价为多少时，销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣0.5x+160（120≤x≤180）；（2）当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元．【解析】考点：1．一次函数的应用；2．二次函数的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题． 18．（2016湖北省黄冈市）东坡商贸公司购进某种水果的成本为20元/kg ，经过市场调研发现，这种水果在未来48天的销售单价p （元/kg ）与时间t （天）之间的函数关系式为：130(14)4148(2548)2t t t p t t t ⎧+≤≤⎪⎪=⎨⎪-+<≤⎪⎩，为整数，为整数，且其日销售量y （kg ）与时间t （天）的关系如下表：（1）已知y 与t 之间的变化规律符合一次函数关系，试求在第30天的日销售量是多少？（2）问哪一天的销售利润最大？最大日销售利润为多少？（3）在实际销售的前24天中，公司决定每销售1kg 水果就捐赠n 元利润（n ＜9）给“精准扶贫”对象．现发现：在前24天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t 的增大而增大，求n 的取值范围．【答案】（1）y =120-2t ，60；（2）在第10天的销售利润最大，最大利润为1250元；（3）7≤n ＜9．【解析】考点：1．一次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数；5．二次函数的应用．19．（2016湖北省咸宁市）某网店销售某款童装，每件售价60元，每星期可卖300件，为了促销，该网店决定降价销售．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖30件．已知该款童装每件成本价40元，设该款童装每件售价x元，每星期的销售量为y件．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润多少元？（3）若该网店每星期想要获得不低于6480元的利润，每星期至少要销售该款童装多少件？【答案】（1）y =﹣30x +2100；（2）每件售价定为55元时，每星期的销售利润最大，最大利润6750元；（3）360．【解析】考点：1．二次函数的应用；2．最值问题；3．二次函数的最值．20．（2016湖北省武汉市）某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x 件．已知产销两种产品的有关信息如表：其中a 为常数，且3≤a ≤5．（1）若产销甲、乙两种产品的年利润分别为1y 万元、2y 万元，直接写出1y 、2y 与x 的函数关系式；（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．【答案】（1）1y =（6﹣a ）x ﹣20，（0＜x ≤200），220.051040y x x =-+-．（0＜x ≤80）；（2）1y 的值最大=（1180﹣200a ）万元，2y 最大值=440万元；（3）当a =3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；当3≤a ＜3.7时，生产甲产品利润比较高；当3.7＜a ≤5时，生产乙产品利润比较高．【解析】试题分析：（1）根据利润=销售数量×每件的利润即可解决问题．（2）根据一次函数的增减性，二次函数的增减性即可解决问题．考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题．21．（2016贵州省铜仁市）2016年3月国际风筝节在铜仁市万山区举办，王大伯决定销售一批风筝，经市场调研：蝙蝠型风筝进价每个为10元，当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个，请回答以下问题：（1）用表达式表示蝙蝠型风筝销售量y（个）与售价x（元）之间的函数关系（12≤x≤30）；（2）王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为多少？（3）当售价定为多少时，王大伯获得利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）y=﹣10x+300（12≤x≤30）；（2）16；（3）当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．【解析】试题分析：（1）设蝙蝠型风筝售价为x元时，销售量为y个，根据“当售价每个为12元时，销售量为180个，若售价每提高1元，销售量就会减少10个”，即可得出y关于x的函数关系式；（2）设王大伯获得的利润为W，根据“总利润=单个利润×销售量”，即可得出W关于x的函数关系式，代入W=840求出x的值，由此即可得出结论；（3）利用配方法将W 关于x 的函数关系式变形为W =210(20)1000x --+，根据二次函数的性质即可解决最值问题．试题解析：（1）设蝙蝠型风筝售价为x 元时，销售量为y 个，根据题意可知：y =180﹣10（x ﹣12）=﹣10x +300（12≤x ≤30）．（2）设王大伯获得的利润为W ，则W =（x ﹣10）y =2104003000x x -+-，令W =840，则2104003000x x -+-=840，解得：1x =16，2x =24．答：王大伯为了让利给顾客，并同时获得840元利润，售价应定为16元．（3）∵W =﹣10x 2+400x ﹣3000=210(20)1000x --+，∵a =﹣10＜0，∴当x =20时，W 取最大值，最大值为1000．答：当售价定为20元时，王大伯获得利润最大，最大利润是1000元．考点：1．二次函数的应用；2．一元二次方程的应用；3．二次函数的最值；4．最值问题． 22．（2016贵州省黔东南州）凯里市某文具店某种型号的计算器每只进价12元，售价20元，多买优惠，优势方法是：凡是一次买10只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降价0.1元，例如：某人买18只计算器，于是每只降价0.1×（18﹣10）=0.8（元），因此所买的18只计算器都按每只19.2元的价格购买，但是每只计算器的最低售价为16元．（1）求一次至少购买多少只计算器，才能以最低价购买？（2）求写出该文具店一次销售x （x ＞10）只时，所获利润y （元）与x （只）之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3）一天，甲顾客购买了46只，乙顾客购买了50只，店主发现卖46只赚的钱反而比卖50只赚的钱多，请你说明发生这一现象的原因；当10＜x ≤50时，为了获得最大利润，店家一次应卖多少只？这时的售价是多少？【答案】（1）50；（2）20.19(1050)4 (50)x x x y x x ⎧-+<≤=⎨>⎩；（3）理由见解析，店家一次应卖45只，最低售价为16.5元，此时利润最大．【解析】（3）首先把函数变为y =20.19x x -+=20.1(45)202.5x --+，然后可以得到函数的增减性，再结合已知条件即可解决问题．考点：1．二次函数的应用；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．分段函数；5．分类讨论．23．（2016湖北省襄阳市）襄阳市某企业积极响应政府“创新发展”的号召，研发了一种新产品．已知研发、生产这种产品的成本为30元/件，且年销售量y （万件）关于售价x （元/件）的函数解析式为：2140 (4060)80 (6070)x x y x x -+≤<⎧=⎨-+≤≤⎩．（1）若企业销售该产品获得的年利润为W （万元），请直接写出年利润W （万元）关于售价x （元/件）的函数解析式；（2）当该产品的售价x （元/件）为多少时，企业销售该产品获得的年利润最大？最大年利润是多少？（3）若企业销售该产品的年利润不少于750万元，试确定该产品的售价x（元/件）的取值范围．【答案】（1）2222004200 (4060)1102400 (6070)x x xWx x x⎧-+-≤<⎪=⎨-+-≤≤⎪⎩；（2）该产品的售价x为50元/件时，企业销售该产品获得的年利润最大，最大年利润是800万元；（3）45≤x≤55．【解析】试题分析：（1）根据：年利润=（售价﹣成本）×年销售量，结合x的取值范围可列函数关系式；（2）将（1）中两个二次函数配方后依据二次函数的性质可得其最值情况，比较后可得答案；（3）根据题意知W≥750，可列关于x的不等式，求解可得x的范围．考点：二次函数的应用．24．（2016湖北省鄂州市）某宾馆有50个房间供游客居住，当每个房间定价120元时，房间会全部住满，当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20元的各种费用，设每个房间定价增加10x元（x为整数）．（1）直接写出每天游客居住的房间数量y与x的函数关系式．（2）设宾馆每天的利润为W元，当每间房价定价为多少元时，宾馆每天所获利润最大，最。

2017年中考数学复习中考专题：圆与二次函数结合题

2017年中考数学复习中考专题：圆与函数综合题1、如图，平面直角坐标系中，以点C （2，3）为圆心，以2为半径的圆与轴交于A 、B 两点．（1）求A 、B 两点的坐标；（2）若二次函数2y x bx c =++的图象经过点A 、B ，试确定此二次函数的解析式．2、如图，半径为2的⊙C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正半轴交于点B ，点C 的坐标为（1，0）．若抛物线23y x bx c =-++过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线上是否存在点P ，使得∠PBO=∠POB ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在说明理由；（3）若点M 是抛物线（在第一象限内的部分）上一点，△MAB 的面积为S ，求S 的最大（小）值．3、如图，抛物线2y ax bx c =++的对称轴为轴，且经过（0,0），（1a,16）两点，点P 在抛物线上运动，以P 为圆心的⊙P 经过定点A （0,2），(1)求a,b,c 的值；(2)求证：点P 在运动过程中，⊙P 始终与轴相交；（3）设⊙P 与轴相交于M ()1x ,0，N ()()212x ,0x x 两点，当△AMN 为等腰三角形时，求圆心P 的纵坐标。

4、如图，二次函数y =x 2+bx －3b +3的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），交y 轴于点C ，且经过点（b －2，2b 2－5b －1）.（1）求这条抛物线的解析式；（2）⊙M 过A 、B 、C 三点，交y 轴于另一点D ，求点M 的坐标；（3）连接AM 、DM ，将∠AMD 绕点M 顺时针旋转，两边MA 、MD 与x 轴、y 轴分别交于点E 、F ，若△DMF 为等腰三角形，求点E 的坐标.5、类比、转化、分类讨论等思想方法和数学基本图形在数学学习和解题中经常用到，如下是一个案例，请补充完整。

原题：如图1，在⊙O 中，MN 是直径，AB ⊥MN 于点B ，CD ⊥MN 于点D ，∠AOC =90°，AB =3，CD =4，则BD = 。

中考数学复习指导：如何求解二次函数最值不在顶点处的问题

如何求解二次函数最值不在顶点处的问题如何求解二次函数最值不在顶点处的问题有一类二次函数的最值问题，它的自变量x 的取值范围为全体实数中的“某一段”，欲解x 的这段范围内的函数最值问题，应视情况而定：当x 的“某一段”范围分布在对称轴的两侧时，函数最值就是二次函数的最值；当x 的“某一段”范围分布在对称轴的左侧或右侧时，要根据对称轴两侧二次函数的增减性来确定最值，常常在“端点”处的纵坐标值就是此段范围内的函数的最大值或最小值．例1 当－2≤x ≤1时，二次函数y =－(x －m )2 + m 2 + 1有最大值4，则实数m 的值为( )(A) －74 (B)(C) 2 或－74分析这里，二次函数中自变量x 的范围不是一切实数，而是实数范围中的“某一段”．x 的“某一段”有可能在对称轴x = m 的左侧，也有可能在直线x = m 的右侧，也有可能在直线x = m 的两侧．此三种情况均可画出对应的“草图”以增强问题分析的直观性．解抛物线开口向上，对称轴为直线x = m ．① x 的“某一段”分布在对称轴的右侧即m <－2，如图1，函数值y 随x 的增大而减小，所以当x =－2时函数值最大，即－(－2－m )2 + m 2 + 1=4．解得m =－74，这与m <－2相矛盾，故此种情形不存在． ② x 的“某一段”分布在对称轴的两侧即－2≤m ≤1，如图2，当x = m 时函数值最大，即为二次函数的最大值，即 m 2 + 1=4．解得m =，但m 舍去．③ x 的“某一段”分布在对称轴的左侧即m >1，如图3，函数值y 随x 的增大而增大，所以当x = 1时函数值最大，即－(1－m )2 + m 2 + 1=4，解得m =2．综上，m 的值为2．故选C ．评注情况①③的对称轴都没有在指定的x 的取值范围内，所以两种情况下的最值求解，依据的是二次函数对称轴一侧的增减性，而不是利用的最值公式；情况②的对称轴在指定的x 的范围内，最值为二次函数在全体实数范围内的最值．例2 已知二次函数y = x 2 + bx + c (b ，c 为常数)．(1) 当b =2，c =－3时，求二次函数的最小值；(2) 当c =5时，若在函数值y =1的情况下，只有一个自变量x 的值与其对应，求此时二次函数的解析式；(3) 当c =b 2时，若在自变量x 的值满足b ≤x ≤b +3的情况下，与其对应的函数值y 的最小值为21，求此时二次函数的解析式．分析第(1) 问求二次函数在全体实数范围内的最值，利用的是最值公式．第(2) 问根据已知条件，可得关于x 的方程x 2 + bx + 4=0，利用判别式=0，得b =±4．第(3) 问抛物线开口方向向上，与y 轴的交点 (0，c 2) 在y 轴的正半轴上，据此画出“草图”．抛物线与x 轴的交点有可能都落在x 轴的正半轴上，也有可能都落在x 轴的负半轴上；又因函数的最小值是指定自变量x 范围内的最小值，应从自变量x 的指定范围与对称轴x =－2b 的位置关系的三种情况出发逐一分析．解 (1) y 最小=241(3)241××−−×=－4．(2) 由题意，得x 2 + bx + 4=0，方程有两个相等的实数根，故△=b 2－4×1×4=0，解得b =±4．所以二次函数的解析式为y = x 2 + 4x + 5，或y = x 2－4x + 5．(3) y =x 2 + bx + b 2，对称轴x =－2b 与x 指定范围的位置关系有三种情况： (i) 当b ≤x ≤b +3分布在对称轴x =－2b 的右侧时，则－2b <b ，得b >0．对称轴右侧的函数值y 随x 值的增大而增大，当x =b 时函数值最小，即b 2+b 2+b 2=21，解得b=但b=b(ii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的左侧时，有－2b>b + 3，得b <－2．对称轴左侧的函数值y 随x 值的增大而减小，当x =b +3时函数值最小，即 (b + 3)2 + b (b + 3) + b 2=21，解得b =－4，b =1．但b=1舍去，所以b =－4．(iii) 当b ≤x ≤b + 3分布在对称轴x =－2b 的两侧时，有 6<－2b <b +3，得－2<b <0．此时，抛物线顶点纵坐标的值即为最小值，即2244b b −=21整理，得b 2=28，解得b =±但b=±综上，得y = x 2 x + 7，或y = x 2－4x +16．总之，求二次函数的最值，必须根据其自变量的取值范围进行分析和讨论．。

初中数学一轮复习《二次函数专题--动点最值问题》

一轮复习二次函数专题《动点最值问题》
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引例：某种中性笔的进价为1元，在某时段若以每支x元出售，可卖（5-x)支，应如何定价才能使利润最大？解：设利润为y元.
知识点1：二次函数的解析式. 1.二次函数的图象交x轴于A、B点，交y轴于点D，点B的坐标（5,0），顶点C的坐标为（3 , 4）求二次函数的解析式________________
（1）若每件衬衫降低 x 元（x 取整数），商场平均每天盈利 y 元，试写出 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围．
y =（（20+2x）（0≤x≤12）．
2．练习，巩固所学二次函数内容
（2）每件衬衫降低多少元时，商场每天（平均）盈利最多？
y =-2（x - 15）2 +1 250（0≤x≤12）．当 x = 12 时，盈利最多，为 1 232 元．
知识点3：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
知识点4：二次函数综合应用
3．小结
（1）我们是如何研究二次函数的动点最值问题？（2）二次函数在动点最值问题应用中需要注意什么？
4．布置作业
学有余力：巩固所学二次函数内容
问题某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，
进价是每件 80 元，售价是每件 120 元，为了扩大销售，增加盈利，减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫降低 1 元，商场平均每天可多售出 2 件，但每件最低价不得低于 108 元．

2017年中考数学专项复习《二次函数的应用(1)》练习(无答案) 浙教版

二次函数的应用（01）一、选择题1．小兰画了一个函数y=x2+ax+b的图象如图，则关于x的方程x2+ax+b=0的解是（）A．无解 B．x=1 C．x=﹣4 D．x=﹣1或x=42．二次函数y=x2+x+c的图象与x轴的两个交点A（x1，0），B（x2，0），且x1＜x2，点P（m，n）是图象上一点，那么下列判断正确的是（）A．当n＜0时，m＜0 B．当n＞0时，m＞x2C．当n＜0时，x1＜m＜x2D．当n＞0时，m＜x13．如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＞0时，自变量x的取值范围是（）A．x＜﹣2 B．﹣2＜x＜4 C．x＞0 D．x＞44．下列关于二次函数y=ax2﹣2ax+1（a＞1）的图象与x轴交点的判断，正确的是（）A．没有交点B．只有一个交点，且它位于y轴右侧C．有两个交点，且它们均位于y轴左侧D．有两个交点，且它们均位于y轴右侧5．二次函数y=a（x﹣4）2﹣4（a≠0）的图象在2＜x＜3这一段位于x轴的下方，在6＜x＜7这一段位于x轴的上方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣26．如图，抛物线y=﹣2x2+8x﹣6与x轴交于点A、B，把抛物线在x轴及其上方的部分记作C1，将C1向右平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y=x+m与C1、C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是（）A．﹣2＜m＜ B．﹣3＜m＜﹣C．﹣3＜m＜﹣2 D．﹣3＜m＜﹣7．若二次函数y=x2+bx的图象的对称轴是经过点（2，0）且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2+bx=5的解为（）A．x1=0，x2=4 B．x1=1，x2=5 C．x1=1，x2=﹣5 D．x1=﹣1，x2=58．已知抛物线y=﹣x2+x+6与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C．若D为AB的中点，则CD的长为（）A． B． C． D．9．下列图形中阴影部分的面积相等的是（）A．②③ B．③④ C．①② D．①④10．已知抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的一个交点为（m，0），则代数式m2﹣m+2014的值为（）A．2012 B．2013 C．2014 D．201511．“如果二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个公共点，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根．”请根据你对这句话的理解，解决下面问题：若m、n（m＜n）是关于x的方程1﹣（x﹣a）（x﹣b）=0的两根，且a＜b，则a、b、m、n的大小关系是（）A．m＜a＜b＜n B．a＜m＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．m＜a＜n＜b12．设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A．a（x1﹣x2）=d B．a（x2﹣x1）=d C．a（x1﹣x2）2=d D．a（x1+x2）2=d13．若二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴有两个交点，坐标分别为（x1，0）、（x2，0），且x1＜x2，图象上有一点M（x0，y0），在x轴下方，则下列判断正确的是（）A．a（x0﹣x1）（x0﹣x2）＜0 B．a＞0C．b2﹣4ac≥0 D．x1＜x0＜x214．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）的图象如图，ax2+bx+c=m有实数根的条件是（）A．m≥﹣2 B．m≥5 C．m≥0 D．m＞4二、填空题15．已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．16．关于x的一元二次方程ax2﹣3x﹣1=0的两个不相等的实数根都在﹣1和0之间（不包括﹣1和0），则a的取值范围是．17．如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴是过点（1，0）且平行于y轴的直线，若点P（4，0）在该抛物线上，则4a﹣2b+c的值为．18．已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为（﹣2，0），抛物线的对称轴为直线x=2，则线段AB的长为．19．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴的公共点是（﹣4，0），（2，0），则这条抛物线的对称轴是直线．20．已知抛物线y=x2﹣k的顶点为P，与x轴交于点A，B，且△ABP是正三角形，则k的值是．三、解答题21．已知关于x的方程kx2+（2k+1）x+2=0．（1）求证：无论k取任何实数时，方程总有实数根；（2）当抛物线y=kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点的横坐标均为整数，且k为正整数时，若P （a，y1），Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围；（3）已知抛物线y=kx2+（2k+1）x+2恒过定点，求出定点坐标．22．已知二次函数y=﹣x2+2x+m．（1）如果二次函数的图象与x轴有两个交点，求m的取值范围；（2）如图，二次函数的图象过点A（3，0），与y轴交于点B，直线AB与这个二次函数图象的对称轴交于点P，求点P的坐标．23．已知抛物线y=（x﹣m）2﹣（x﹣m），其中m是常数．（1）求证：不论m为何值，该抛物线与x轴一定有两个公共点；（2）若该抛物线的对称轴为直线x=．①求该抛物线的函数解析式；②把该抛物线沿y轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x轴只有一个公共点．24．已知关于x的一元二次方程：x2﹣（m﹣3）x﹣m=0．（1）试判断原方程根的情况；（2）若抛物线y=x2﹣（m﹣3）x﹣m与x轴交于A（x1，0），B（x2，0）两点，则A，B两点间的距离是否存在最大或最小值？若存在，求出这个值；若不存在，请说明理由．（友情提示：AB=|x2﹣x1|）25．如图，抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（3，0）．请解答下列问题：（1）求抛物线的解析式；（2）点E（2，m）在抛物线上，抛物线的对称轴与x轴交于点H，点F是AE中点，连接FH，求线段FH的长．注：抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是x=﹣．26．如图，二次函数的图象与x轴交于A（﹣3，0）和B（1，0）两点，交y轴于点C（0，3），点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D．（1）请直接写出D点的坐标．（2）求二次函数的解析式．（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围．27．抛物线y=x2﹣4x+3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点C是此抛物线的顶点．（1）求点A、B、C的坐标；（2）点C在反比例函数y=（k≠0）的图象上，求反比例函数的解析式．28．已知二次函数y=x2﹣4x+3．（1）用配方法求其图象的顶点C的坐标，并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况；（2）求函数图象与x轴的交点A，B的坐标，及△ABC的面积．29．如图，抛物线y=﹣x2+2x+c与x轴交于A，B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME ⊥y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标为（﹣1，0）．（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标．（2）求△EMF与△BNF的面积之比．30．已知二次函数y=x2﹣2mx+m2+3（m是常数）．（1）求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；（2）把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？。

2017届中考数学专题复习第3章函数第11讲二次函数

第11讲二次函数☞【基础知识归纳】☜☞归纳1. 一般地，形如 y=ax 2+bx+c(a ≠0，a ，b ，c 为常数) 的函数叫做二次函数，当 a=0 时，是一次函数．☞归纳2. 二次函数2y ax bx c =++的图象是一条抛物线，对称轴是直线2b x a =-，顶点坐标是(2ba-，244ac b a -)☞归纳3. 抛物线的开口方向由a 确定, a 的值越大，开口越小．当0a >时，开口向上；当0a <时，开口向下；☞归纳4. 抛物线与y 轴的交点坐标为（0，c ）．当0c >时，与y 轴的正半轴有交点；当0c <时，与y 轴的负半轴有交点；当0c =时，抛物线过（0，0）．☞归纳5. 若a >0，当2bx a =-时, y 有最小值，为244ac b a-若a <0，当2b x a=-时,y 有最大值，为244ac b a -☞归纳6. 当0m >时，二次函数2y ax =的图象向左平移 m 个单位得到二次函数2()y a x m =+的图象；当0k >时，二次函数2y ax =的图象向上平移 k 个单位得到二次函数2y ax k =+的图象．☺ 二次函数图像平移的口诀：左加右减；上加下减．☞归纳7. 一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的解的情况⇔抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的公共点的个数.抛物线2(0)y ax bx c a =++≠与x 轴的公共点有三种情况：（1）有两个公共点12(,0)(,0)x x ，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个不相等实根⇔240b ac ->（2）只有一个公共点时，一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有两个相等实根⇔240b ac -=（3）没有公共点一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠没有实数根⇔240b ac -<☞【常考题型剖析】☜☺ 题型一、二次函数图象的开口方向＆对称轴＆顶点坐标【例1】（2015怀化）二次函数22y x x =+的顶点坐标为，对称轴是直线【答案】（﹣1，﹣1），x=﹣1．【例2】（2016南充）抛物线223y x x =++的对称轴是（）A ．直线1x =B ．直线1x =-C ．直线2x =-D ．直线2x =【答案】B ．【举一反三】1.（2015新疆）抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A. (-1, 2)B. (-1,-2)C. (1,-2)D. (1, 2) 【答案】D2.（2016成都）二次函数223y x =-的图象是一条抛物线，下列关于该抛物线的说法，正确的是（）A. 抛物线开口向下B. 抛物线经过点（2，3）C. 抛物线的对称轴是直线1x =D. 抛物线与x 轴有两个交点【答案】D3.（2016河南）已知A （0,3），B （2,3）是抛物线c bx x y ++-=2上两点，该抛物线的顶点坐标是_________________ 【答案】（1,4）.☺ 题型二、二次函数的最大（小）值【例3】(2016哈尔滨) 二次函数22(3)4y x =--的最小值为．【答案】-4.【举一反三】4.（2016兰州）二次函数243y x x =+-的最小值是．【答案】﹣7．5.（2016乐山）二次函数224y x x =-++的最大值为（） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C☺ 题型三、二次函数图象的平移【例4】(2016上海) 如果将抛物线22y x =+向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A. 2(1)2y x =-+ B. 2(1)2y x =++ C. 21y x =+ D. 23y x =+【答案】C【举一反三】6.（2016甘孜州）将2y x =向上平移2个单位后所得的抛物线的解析式为（）A. 22y x =+ B. 22y x =- C. 2(2)y x =+ D. 2(2)y x =-【答案】A【解析】根据平移的规律：“上加下减”，所以平移后的解析式为22y x =+7.（2016来宾）设抛物线C 1：2y x =向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到抛物线C 2，则抛物线C 2对应的函数解析式是（）A. 2(2)3y x =-- B. 2(2)3y x =+-C. 2(2)3y x =-+D. 2(2)3y x =++ 【答案】A☺题型四、二次函数图象与系数的关系【例5】(2016河池) 二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论不正确的是（）A. 0a <B. 0c >C. 0a b c ++>D. 240b ac -> 【答案】C ．【举一反三】8.（2016常德）二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠的图象如图所示，下列结论：①0b <；②0c >；③a c b +<；④240b ac ->，其中正确的个数是（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C.9.（2016枣庄）二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠的图象如图所示，给出以下四个结论：①0=abc ；②0>++c b a ；③b a >；④042<-b ac .其中，正确的结论有（）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C.10.（2016营口）如图，二次函数2y ax bx c =++ (0)a ≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴是直线1x =-，点B 的坐标为（1，0）．下面的四个结论： ①AB=4； ②240b ac ->； ③0ab <； ④0a b c -+<，其中正确的结论是（填写序号）．【答案】①②④☞【巩固提升自我】☜1.（2016广州）对于二次函数2144y x x =-+-，下列说法正确的是（） A. 当0x >时，y 随x 的增大而增大 B. 当2x =时，y 有最大值﹣3C. 图象的顶点坐标为（﹣2,﹣7）D. 图象与x 轴有两个交点【答案】B2.（2015深圳）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，下列说法正确的个数是（）①0a >； ②0b >； ③0c <； ④240b ac ->A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】B3.（2014广东）二次函数()20y ax bx c a =++≠的大致图象如图所示，关于该二次函数，下列说法错误的是（）A. 函数有最小值B. 对称轴是直线12x = C. 当12x <时, y 随x 的增大而减小 D. 当12x -<<时,0y > 【答案】D4.（2013广东）已知二次函数1222-+-=m mx x y（1）当二次函数的图象经过坐标原点O(0,0)时, 求二次函数的解析式; （2）如图, 当2=m 时, 该抛物线与y 轴交于点C, 顶点为D,求C 、D 两点的坐标;（3）在(2)的条件下, x 轴上是否存在一点P, 使得PC+PD 最短?若P 点存在, 求出P 点的坐标; 若P 点不存在, 请说明理由.【解答】（1）∵二次函数的图象经过坐标原点O （0，0），∴代入二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1=0，解得：m=±1， ∴二次函数的解析式为：y=x2﹣2x 或y=x2+2x ；（2）∵m=2，∴二次函数y=x2﹣2mx+m2﹣1得：y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点为：D （2，﹣1），当x=0时，y=3，∴C 点坐标为：（0，3）；（3）当P 、C 、D 共线时PC+PD 最短，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，∵PO ∥DE ，∴=，∴=，解得：PO=，∴PC+PD 最短时，P 点的坐标为：P （，0）．。

2017年中考数学专项复习(7)《二次函数的图象》练习(无答案) 浙教版

二次函数的图象（07）一、选择题1．如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是（）A．y=（x﹣1）2+2 B．y=（x+1）2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+32．将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（）A．y=（x﹣2）2B．y=（x﹣2）2+6 C．y=x2+6 D．y=x23．将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A．y=3（x﹣2）2﹣1 B．y=3（x﹣2）2+1 C．y=3（x+2）2﹣1 D．y=3（x+2）2+1 4．抛物线y=x2+bx+c的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为y=（x﹣1）2﹣4，则b、c的值为（）A．b=2，c=﹣6 B．b=2，c=0 C．b=﹣6，c=8 D．b=﹣6，c=25．把抛物线y=3x2沿x轴向左平移2个单位，则平移后的抛物线的解析式为（）A．y=（3x+2）2B．y=（3x﹣2）2C．y=3（x+2）2D．y=3（x﹣2）26．把抛物线先向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的抛物线的解析式为（）A．B．C．D．7．把抛物线y=（x+1）2向下平移2个单位，再向右平移1个单位，所得到的抛物线是（）A．y=（x+2）2+2 B．y=（x+2）2﹣2 C．y=x2+2 D．y=x2﹣28．将二次函数y=x2﹣2x+3化为y=（x﹣h）2+k的形式，结果为（）A．y=（x+1）2+4 B．y=（x+1）2+2 C．y=（x﹣1）2+4 D．y=（x﹣1）2+29．将二次函数y=x2的图象向右平移一个单位长度，再向上平移3个单位长度所得的图象解析式为（）A．y=（x﹣1）2+3 B．y=（x+1）2+3 C．y=（x﹣1）2﹣3 D．y=（x+1）2﹣310．下列二次函数的图象，不能通过函数y=3x2的图象平移得到的是（）A．y=3x2+2 B．y=3（x﹣1）2C．y=3（x﹣1）2+2 D．y=2x211．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x2经过平移得到抛物线y=x2﹣2x，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．16二、填空题12．在平面直角坐标系中，把抛物线y=﹣x2+1向上平移3个单位，再向左平移1个单位，则所得抛物线的解析式是．13．把二次函数y=x2﹣12x化为形如y=a（x﹣h）2+k的形式．14．如图，一段抛物线C1：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）与x轴交于点O，A1；将C1向右平移得第2段抛物线C2，交x轴于点A1，A2；再将C2向右平移得第3段抛物线C3，交x轴于点A2，A3；又将C3向右平移得第4段抛物线C4，交x轴于点A3，A4，若P（11，m）在C4上，则m的值是．15．如图，一段抛物线：y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3），记为C1，它与x轴交于点O，A1；将C1绕点A1旋转180°得C2，交x轴于点A2；将C2绕点A2旋转180°得C3，交x轴于点A3；…如此进行下去，直至得C13．若P（37，m）在第13段抛物线C13上，则m= ．16．如图，抛物线的顶点为P（﹣2，2），与y轴交于点A（0，3）．若平移该抛物线使其顶点P沿直线移动到点P′（2，﹣2），点A的对应点为A′，则抛物线上PA段扫过的区域（阴影部分）的面积为．17．如图，抛物线y=x2+bx+与y轴相交于点A，与过点A平行于x轴的直线相交于点B（点B在第一象限）．抛物线的顶点C在直线OB上，对称轴与x轴相交于点D．平移抛物线，使其经过点A、D，则平移后的抛物线的解析式为．三、解答题18．已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（1，0），B（3，0），且过点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式和顶点坐标；（2）请你写出一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在直线y=﹣x上，并写出平移后抛物线的解析式．19．如图所示，已知抛物线y=﹣2x2﹣4x的图象E，将其向右平移两个单位后得到图象F．（1）求图象F所表示的抛物线的解析式：（2）设抛物线F和x轴相交于点O、点B（点B位于点O的右侧），顶点为点C，点A位于y轴负半轴上，且到x轴的距离等于点C到x轴的距离的2倍，求AB所在直线的解析式．20．先阅读以下材料，然后解答问题：材料：将二次函数y=﹣x2+2x+3的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，求平移后的抛物线的解析式（平移后抛物线的形状不变）．解：在抛物线y=﹣x2+2x+3图象上任取两点A（0，3）、B（1，4），由题意知：点A向左平移1个单位得到A′（﹣1，3），再向下平移2个单位得到A″（﹣1，1）；点B向左平移1个单位得到B′（0，4），再向下平移2个单位得到B″（0，2）．设平移后的抛物线的解析式为y=﹣x2+bx+c．则点A″（﹣1，1），B″（0，2）在抛物线上．可得：，解得：．所以平移后的抛物线的解析式为：y=﹣x2+2．根据以上信息解答下列问题：将直线y=2x﹣3向右平移3个单位，再向上平移1个单位，求平移后的直线的解析式．。

2017年中考数学专项复习21《二次函数的应用》练习浙教版精品

1 二次函数的应用（21）一、解答题 1．如图，矩形OABC在平面直角坐标系xOy中，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，OA=4，OC=3，若抛物线的顶点在BC边上，且抛物线经过O，A两点，直线AC交抛物线于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点M在抛物线上，点N在x轴上，是否存在以A，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

2．综合与探究：如图，抛物线y=x2﹣x﹣4与x轴交与A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，连接BC，以BC为一边，点O为对称中心作菱形BDEC，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q．（1）求点A，B，C的坐标．（2）当点P在线段OB上运动时，直线l分别交BD，BC于点M，N．试探究m为何值时，四边形CQMD是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM的形状，并说明理由．（3）当点P在线段EB上运动时，是否存在点Q，使△BDQ为直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2

3．如图，已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x交于点O（0，0），A（a，12）．点B是抛物线上O，A之间的一个动点，过点B分别作x轴、y轴的平行线与直线OA交于点C，E．（1）求抛物线的函数解析式；（2）若点C为OA的中点，求BC的长；（3）以BC，BE为边构造矩形BCDE，设点D的坐标为（m，n），求出m，n之间的关系式．（4）将射线OA绕原点旋转45°并与抛物线交于点P，求出P点坐标．

4．如图，抛物线y=ax2+c（a≠0）经过C（2，0），D（0，﹣1）两点，并与直线y=kx交于A、B两点，直线l过点E（0，﹣2）且平行于x轴，过A、B两点分别作直线l的垂线，垂足分别为点M、N．（1）求此抛物线的解析式；（2）求证：AO=AM；（3）探究： ①当k=0时，直线y=kx与x轴重合，求出此时的值； ②试说明无论k取何值，的值都等于同一个常数． 3

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附答案

中考数学总复习《二次函数的最值》练习题-附答案一、单选题(共12题；共24分)1．关于二次函数y=-2(x-3)²+5的最大值，下列说法正确的是()A．最大值是3B．最大值是-3C．最大值是5D．最大值是-52．一副三角板（△ABC与△DEF）如图放置，点D在AB边上滑动，DE交AC于点G，DF交BC于点H，且在滑动过程中始终保持DG＝DH，若AC＝2，则△BDH面积的最大值是（）A．3B．3 √3C．32D．3√323．如图，2017年国际泳联世锦赛在布达佩斯举行，某运动员在10米跳台跳水比赛时估测身体(看成一点)在空中的运动路线是抛物线y＝－256x2＋103x(图中标出的数据为已知条件)，则运动员在空中运动的最大高度离水面的距离为()A．10米B．10 25米C．9 13米D．10 23米4．设x≥0，y≥0，2x+y=6，则u=4x2+3xy+y2﹣6x﹣3y的最大值是（）A．272B．18C．20D．不存在5．二次函数y＝（x﹣m）2﹣m2﹣1有最小值﹣4，则实数m的值可能是（）A．﹣B．﹣3C．D．4 6．对于抛物线y=13(x−5)2+3，下列说法错误的是（）A．对称轴是直线x=5B．函数的最小值是3C．当x>5时，y随x的增大而增大D．开口向下，顶点坐标(5,3)7．已知抛物线y=-2（x-3）2+5，则此抛物线（）A．开口向下，对称轴为直线x=-3B．顶点坐标为（-3，5）C．最小值为5D．当x＞3时y随x的增大而减小8．二次函数y=x2+2x+4的最小值为（）A．3B．4C．5D．69．如图，在平面直角坐标系中，点P是以C（﹣√2，√7）为圆心，1为半径的△C上的一个动点，已知A（﹣1，0），B（1，0），连接PA，PB，则PA2+PB2的最小值是（）A．6B．8C．10D．1210．已知二次函数y=ax2+2x+1（a为实数，且a<0），对于满足0≤x≤x0的任意一个x的值，都有−3≤y≤3，则x0的最大值为（）A．2√3−2B．2√3+2C．2√5+2D．2√5−211．如图，已知点A（12，0），O为坐标原点，P是线段OA上任意一点（不含端点O，A），过P、O两点的二次函数y1和过P、A两点的二次函数y2的图象开口均向下，它们的顶点分别为B、C，射线OB与AC相交于点D.当OD＝AD＝8时，这两个二次函数的最大值之和等于（）A．5B．2√7C．8D．612．在函数y=−x2+2x−2中，若2≤x≤5，那么函数y的最大值是（）A．1B．−1C．−2D．−17二、填空题(共6题；共7分)13．若y=x2﹣2x﹣3化为y=（x﹣m）2+k的形式（其中m，k为常数），则m+k=；当x=时，二次函数y=x2+2x﹣2有最小值．14．二次函数y＝x2﹣2x＋m的最小值为2，则m的值为．15．如图，在四边形ABCD中，AC△BD，BD－AC=4，连接BC，设AC＝x，BC＝y，若△ABC＝△BDC，则y2－6x的最小值为.16．二次函数y ＝ax 2＋4x ＋a 的最大值是3，则a= .17．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a 元（a ＞0）。

2017届中考数学一轮专题复习第12讲二次函数精讲精练浙教版

第12讲二次函数【例1】 1.抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，则一次函数y=ax+b 与反比例函数y=在同一平面直角坐标系内的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．2.已知x=2m+n+2和x=m+2n 时，多项式x 2+4x+6的值相等，且m ﹣n+2≠0，则当x=3（m+n+1）时，多项式x 2+4x+6的值等于．3.已知二次函数y=ax 2﹣2ax+1（a ＜0）图象上三点A （﹣1，y 1），B （2，y 2）C （4，y 3），则y 1、y 2、y 3的大小关系为（）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 1＜y 3＜y 2D ．y 3＜y 1＜y 2方法总结 1．将抛物线解析式写成y ＝a(x －h)2＋k 的形式，则顶点坐标为(h ，k)，对称轴为直线x ＝h ，也可应用对称轴公式x ＝－，顶点坐标（-，)来求对称轴及顶点坐标．2．比较两个二次函数值大小的方法： (1)直接代入自变量求值法；(2)当自变量在对称轴两侧时，看两个数到对称轴的距离及函数值的增减性判断； (3)当自变量在对称轴同侧时，根据函数值的增减性判断．举一反三 1.已知点A （a ﹣2b ，2﹣4ab ）在抛物线y=x 2+4x+10上，则点A 关于抛物线对称轴的对称点坐标为（） A ．（﹣3，7）B ．（﹣1，7）C ．（﹣4，10）D ．（0，10）2.已知关于x 的函数y=（2m ﹣1）x 2+3x+m 图象与坐标轴只有2个公共点，则m= ．3.设A 1(2)y -，，B 2(1)y ，，C 3(2)y ，是抛物线2(1)y x a =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（）A ．312y y y >>B ．312y y y >>C ．321y y y >>D ．213y y y >> 考点二、二次函数系数的符号及其之间的关系【例2】二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，给出下列结论：①2a +b ＞0；②b＞a ＞c ；③若﹣1＜m ＜n ＜1，则m+n ＜﹣；④3|a|+|c|＜2|b|．其中正确的结论是（写出你认为正确的所有结论序号）．方法总结根据二次函数的图象确定有关代数式的符号，是二次函数中的一类典型的数形结合问题，具有较强的推理性．解题时应注意a 决定抛物线的开口方向，c 决定抛物线与y 轴的交点，抛物线的对称轴由a ，b 共同决定，b 2－4ac 决定抛物线与x 轴的交点情况．当x ＝1时，决定a ＋b ＋c 的符号，当x ＝－1时，决定a －b ＋c 的符号．在此基础上，还可推出其他代数式的符号．运用数形结合的思想更直观、更简捷．举一反三 1.二次函数y=ax 2+bx+c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论： ①b 2﹣4ac ＞0； ②4a+c ＞2b ； ③（a+c ）2＞b 2； ④x （ax+b ）≤a ﹣b ．其中正确结论的是．（请把正确结论的序号都填在横线上）2.一次函数y=ax+b （a ≠0）、二次函数y=ax 2+bx 和反比例函数y=（k ≠0）在同一直角坐标系中的图象如图所示，A 点的坐标为（﹣2，0），则下列结论中，正确的是（）A．b=2a+k B．a=b+k C．a＞b＞0 D．a＞k＞0考点三、二次函数图象的平移【例3】二次函数y＝－2x2＋4x＋1的图象怎样平移得到y＝－2x2的图象( )A．向左平移1个单位，再向上平移3个单位B．向右平移1个单位，再向上平移3个单位C．向左平移1个单位，再向下平移3个单位D．向右平移1个单位，再向下平移3个单位方法总结二次函数图象的平移实际上就是顶点位置的变换，因此先将二次函数解析式转化为顶点式确定其顶点坐标，然后按照“左加右减、上加下减”的规律进行操作．举一反三将二次函数y＝x2的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位后，所得图象的函数解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2 B．y＝(x＋1)2＋2 C．y＝(x－1)2－2 D．y＝(x＋1)2－2考点四、确定二次函数的解析式【例4】如图，四边形ABCD是菱形，点D的坐标是(0，3)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c恰好经过x轴上A，B两点．(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求经过A，B，C三点的抛物线的解析式．方法总结用待定系数法求二次函数解析式，需根据已知条件，灵活选择解析式：若已知图象上三个点的坐标，可设一般式；若已知二次函数图象与x轴两个交点的横坐标，可设交点式；若已知抛物线顶点坐标或对称轴与最大(或小)值，可设顶点式．举一反三已知抛物线p：y=ax2+bx+c的顶点为C，与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C′，我们称以A为顶点且过点C′，对称轴与y轴平行的抛物线为抛物线p 的“梦之星”抛物线，直线AC′为抛物线p的“梦之星”直线．若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y=x2+2x+1和y=2x+2，则这条抛物线的解析式为．考点五、二次函数的实际应用【例5】九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表：已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元．（1）求出y与x的函数关系式；（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．方法总结运用二次函数的性质解决生活和实际生产中的最大值和最小值问题是最常见的题目类型，解决这类问题的方法是：1．列出二次函数的关系式，列关系式时，要根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围．2．在自变量取值范围内，运用公式法或配方法求出二次函数的最大值和最小值．举一反三大学毕业生小王响应国家“自主创业”的号召，利用银行小额无息贷款开办了一家饰品店．该店购进一种今年新上市的饰品进行销售，饰品的进价为每件40元，售价为每件60元，每月可卖出300件．市场调查反映：调整价格时，售价每涨1元每月要少卖10件；售价每下降1元每月要多卖20件．为了获得更大的利润，现将饰品售价调整为60+x（元/件）（x＞0即售价上涨，x＜0即售价下降），每月饰品销量为y（件），月利润为w（元）．（1）直接写出y与x之间的函数关系式；（2）如何确定销售价格才能使月利润最大？求最大月利润；（3）为了使每月利润不少于6000元应如何控制销售价格？考点六、二次函数的面积问题【例6】如图，对称轴为x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标．（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC，求点P的坐标．②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．方法总结对于此类二次函数题型考查了待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，二次函数的性质以及三角形面积、线段长度问题，解题的关键是运用方程思想与数形结合思想．其次就是应用到二次函数常见的水平宽铅垂高．举一反三如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，﹣），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m （m＜0）的顶点．（1）求A、B两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由；（3）当△BDM为直角三角形时，求m的值．考点七、二次函数的综合应用【例7】如图抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC、CD、AD．（1）求该二次函数的解析式；（2）求△ACD的面积；（3）若点Q在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点P，使得以A、B、Q、P四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．方法总结此类题型主要考查二次函数与其他知识点的综合应用，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理、勾股定理的逆定理求三角形的形状；利用平行四边形的性质：对角线互相平分，对边相等是求出题中P 点的关键．所以对于考查二次函数与三角形、四边形、圆、相似等相关知识的结合性题目时一定要把握好它们的性质及其常考定理与推理的综合应用．举一反三在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A （﹣4，0），B （0，﹣4），C （2，0）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S ．求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值．（3）若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=﹣x 上的动点，判断有几个位置能够使得点P 、Q 、B 、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标．一、选择题1．已知抛物线()3y k x 1x k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭-与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，则能使△ABC 为等腰三角形的抛物线的条数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5 2．已知下列命题：①对于不为零的实数c ，关于x 的方程1+=+c xcx 的根是c ； ②在反比例函数xy 2=中，如果函数值y ＜1时，那么自变量x ＞2； ③二次函数 2222-+-=m mx x y 的顶点在x 轴下方；④函数y= kx 2+(3k+2)x+1，对于任意负实数k ，当x<m 时，y 随x 的增大而增大，则m 的最大整数值为2-.其中真命题为（）A ．①③B ．③C ．②④D ．③④3．(2013杭州，10)给出下列命题及函数x y =，2x y =和xy 1=的图象 ①如果21a a a>>，那么10<<a ； ②如果aa a 12>>，那么1>a ；③如果a a a>>21，那么01<<-a ；④如果a aa >>12时，那么1-<a 。

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2017年中考数学专题2
动定之间的风景
——二次函数的最值问题
【提出问题】
函数是中学数学中最重要的概念之一，在初中阶段，一次函数、反比例函数、二次函数是讨论的重点，而且二次函数的函数值是的核心内容。

在二次函数的解题中，最值问题时常在动、定之间转换，让我们头痛不已……
【分析问题】
讨论二次函数)0＞( 2
a c bx ax y ++=当n x m ≤≤时的最大值和最小值.
想一想：当a ＜0时，情况又如何呢？
【解决问题】
（一）正向型
指的是已知二次函数和自变量x 的取值范围，求其最值。

此类问题包括以下四种情形：（1）对称轴定，范围定；（2）对称轴定，范围动；（3）对称轴动，范围定；（4）对称轴动，范围动，我们初中解决前三种。

1．对称轴定，范围定
例1 求的最大值和最小值.
练一练：
（1）二次函数）53（ 542
≤≤+-=x x x y 的最小值是，最大值是 .
（2）二次函数的最大值是 . （3）若，则的最小值是，最大值是 .
2. 对称轴定，范围动
例2 求的最大值和最小值.
)22( 322
≤≤---=x x x y ）0（ 542
a x x x y ≤≤--=）2
321（ 1042
≤≤---=x x y 1223且,0，0=+≥≥y x y x xy
练一练：
求二次函数的最大值.
3. 对称轴动，范围定
例3 求的最大值和最小值.
）11-（22
≤≤+=x ax x y ）2（ 322
+≤≤--=t x t x x y
练一练：
求二次函数的最大值.
（二）逆向型
指已知二次函数在某取值范围上的最值，求函数或取值范围中的参数。

例4 已知二次函数）23（122
≤≤-++=x ax ax y 的最大值为4，求实数a 的值.
例5 函数）10（22≤≤--=x ax x y 的最大值是2
a ，求实数a 的取值范围.
)11)(
(-≤≤--=x a x x y。