在有界闭区间上复合函数的黎曼可积性
一元函数可积的条件
一元函数可积的条件
一元函数可积的条件包括：
1. 有界性：函数在区间上应该是有界的。
2. 有限性：函数在区间上应该是有限的。
3. 连续性：函数在区间上应该是连续的。
4. 可分性：函数在区间上应该是可分的。
5. 一致连续：函数在区间上应该是一致连续的。
6. 区间上的振幅总和逼近零：函数在区间上的振幅总和应该向零逼近。
7. 区间上的积分逼近零：函数在区间上的积分应该向零逼近。
其中，有界性、有限性、连续性和可分性是黎曼可积的必要条件，而一致连续、区间上的振幅总和逼近零和区间上的积分逼近零则是黎曼可积的充分条件。
黎曼函数的性质及其证明
黎曼函数的性质及其证明
黎曼函数是分析学中重要的应用，它是由数学家L.E.J Bromwich于1892年提出的，
定义为在若干定义域收敛无穷的函数的变换。
一般来说，它表示的是一个函数的傅立叶变
换的反变换。
黎曼函数有三个重要的性质，这些性质是该函数在实际应用中的主要基础：
一、对称性：当函数f(x)关于原点x = 0对称时，其黎曼函数ρ(x)关于x =0也具
有对称性。
证明：因为黎曼函数是函数f(x)的傅立叶变换的反变换，根据傅立叶变换的定义，函数f(x)关于原点x=0对称时，它的傅立叶变换F(k)也具有对称性。
从而黎曼函数ρ{x}在反变换F(k)后也具有对称性，即ρ(x)关于x=0也具有对称性。
二、绝对终止性：黎曼函数ρ(x)趋于于定值p时，在该定值上的函数f(x)必定为0。
证明：因为黎曼函数ρ(x)是函数f(x)的傅立叶变换的反变换，根据定理可知，满足
反变换等式的函数f(x)和ρ(x)在任何定义的定值上都可以交换。
即ρ(x)和f(x)在所有
可定义的定值都可以交换。
以上便是黎曼函数的三个重要性质及其证明，它在分析学中的应用很广泛，可以让我
们更加深入地理解函数以及它们之间的关系。
黎曼可积三大充要条件
黎曼可积三大充要条件黎曼可积是数学中一个重要的概念，它是指对于定义在闭区间上的函数，如果对其进行分割，每个分割的长度趋近于0时，分割后的和趋近于一个确定的值，那么这个函数就是黎曼可积的。
下面我们将详细介绍黎曼可积的三个充要条件。
第一个充要条件是有界性。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果它在这个区间上是有界的，即存在一个实数M，对于任意的x∈[a, b]，都有|f(x)|≤M成立，那么f(x)是黎曼可积的。
这个条件保证了函数在闭区间上的振幅是有限的，不存在无穷大的情况。
第二个充要条件是有限性。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果它在这个区间上只有有限个不连续点，那么f(x)是黎曼可积的。
这个条件保证了函数在闭区间上的间断点是有限的，不存在无穷多个间断点的情况。
第三个充要条件是零测度性。
对于一个定义在闭区间[a, b]上的函数f(x)，如果它在这个区间上的间断点的集合是零测度的，即其测度为0，那么f(x)是黎曼可积的。
这个条件保证了函数在闭区间上的间断点的分布是稀疏的，可以看作是一个点集的测度为零。
这三个条件共同构成了黎曼可积的充要条件。
有界性保证了函数的振幅是有限的，有限性保证了函数的间断点是有限的，零测度性保证了函数的间断点的分布是稀疏的。
这三个条件的同时满足，才能保证函数是黎曼可积的。
值得注意的是，黎曼可积的概念是基于闭区间上的函数定义的，如果将函数定义在开区间上，那么黎曼可积的条件将有所不同。
此外，黎曼可积是一种较弱的可积性概念，还有更强的可积性概念如勒贝格可积和黎曼-斯蒂尔杰斯可积等。
总结起来，黎曼可积的三个充要条件是有界性、有限性和零测度性。
这些条件保证了函数在闭区间上的振幅有限、间断点有限且分布稀疏，从而使得函数能够被黎曼积分。
这些条件是黎曼可积的基本要求，也是数学分析中的重要概念之一。
对于研究函数的性质和计算积分具有重要意义。
函数可积性的进一步讨论
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2023, 12(10), 4173-4176Published Online October 2023 in Hans. https:///journal/aamhttps:///10.12677/aam.2023.1210409函数可积性的进一步讨论于欢欢1，路正玉2*1广东理工学院基础课教学研究部，广东肇庆2广东理工学院艺术设计学院，广东肇庆收稿日期：2023年9月9日；录用日期：2023年10月3日；发布日期：2023年10月11日摘要本文首先介绍了可积函数的概念；其次介绍了函数可积性的充分、必要和充分必要条件。
重点研究一元函数可积性的反例的构造。
最后结合例子进一步讨论了如何证明一个函数在给定区间上是否可积的问题，例如：复合函数的可积性。
关键词可积函数，可积性，一元函数，构造反例Further Discussion of FunctionIntegrabilityHuanhuan Yu1, Zhengyu Lu2*1Basic Course Teaching and Research Department, Guangdong Technology College, Zhaoqing Guangdong2College of Art and Design, Guangdong Technology College, Zhaoqing GuangdongReceived: Sep. 9th, 2023; accepted: Oct. 3rd, 2023; published: Oct. 11th, 2023AbstractFirstly, we introduce the concept of integrable function in the paper; secondly, the sufficient con-dition, necessary condition, sufficient and necessary condition of the integrability of function are introduced. We mainly focus on the counter-example construction of integrability of one variable function. Finally, combining with examples, we further discuss the problem that how to prove whether a function is integrable on a given interval, for example: the integrability of the composite function.*通讯作者。
勒贝格积分和黎曼积分的关系和区别
勒贝格积分的若干简介我们先学习了Riemann 积分（简称R 积分），从而慢慢引入到了勒贝格积分，因此我将在下文中分几部分来讲勒贝格积分。
首先介绍一下在有界函数围，R 积分还是存在这很大的缺陷，主要表现在以下两个方面[1]：⑴R 积分与极限可交换的条件太严。
⑵积分运算不完全是微分运算的逆运算。
⑶不适宜于无界区间：黎曼积分只能用来在有界区间对函数进行积分。
⑷缺乏单调收敛。
鉴于R 积分的上述缺陷，人们致力于对此进行改进。
1902年，法国数学家勒贝格基于可列可加的测度，成功引进了一种新的积分，即Lebesgue 积分（简称L 积分）。
那么，建立L 积分的基本思路和步骤是怎么样的呢？L 积分的思路也基本与R 积分一样先分割，作积分和，取取极限。
在重新审视R 积分和曲边梯形面积的关系时，另一个建立L 积分的思路浮现出来。
首先，为了避免可测函数不是有界函数，最后的积分值可能会出现∞-∞的不定情形的出现，在定义L 积分时第一步仅限于非负函数。
其次，注意到非负函数围成的曲边梯形的面积，对于L 积分，可以将“可测集分割”加以取代，形成所谓“简单函数”，从而过度到L 积分“横着数”的思想。
下文将详细的介绍L 积分和R 积分的区别和联系。
关于Lebesgue 积分与Riemann 积分的定义比较1.1勒贝格积分的定义[3]:定义1：设)(x f 是n R E ⊂()∞<mE 上的非负可测函数.我们定义)(x f 是E 上的Lebesgue 积分()()()sup ():()x Eh x f x E E f x dx h x dx h x ∈≤⎧⎫=⎨⎬⎩⎭⎰⎰是n R 上的非负可测简单函数}，这里的积分可以是+∞;若∞<⎰Edx x f )(,则称)(x f 在E 上Lebesgue 可积的。
设)(x f 是n R E ⊂上的可测函数,若积分⎰+E dx x f )(，⎰-Edx x f )(中至少有一个是有限值,则称⎰⎰⎰-+-=EE E dx x f dx x f dx x f )()()(为)(x f 是E 上的Lebesgue 积分;当上式右端两个积分值皆为有限时,则称)(x f 是E 上是Lebesgue 可积的。
有界函数黎曼可积的充要条件
下证充分性。
设∆xi′′ 是使得ωi < ε的那些部分区间的长度，∑i′′ 表示这些区间长度求和，以Ω表示f (x)表
示f (x)在[a, b]上的幅度，于是
∑n
∑
∑
∑
∑
ωi∆xi = ωi′ ∆xi′ + ωi′′ ∆xi′′ < Ω ∆xi′ + ε ∆xi′′ < Ωσ + ε(b − a)
使得相应的振幅满足 ∑n ωi△xi < ϵ
i=1
证明：必要性是显然的，下面证充分性。
设∀ϵ > 0，存在一种划分P ′，使得相应的振幅满足
∑p ωi′ △x′i
<
ϵ 3
i=1
即 S(P ′) − S(P ′) < ϵ 3
取 对任意一个满足
δ
=
min(△x′1,
△x′2,
.
.
.
,
△x′p,
3(p
−
ϵ 1)(M
λ→0 i=1
充要条件二
定理二：有界函数f (x)在[a, b]可积的充分必要条件是，对任意的划分，当
时，有下面的结果
λ = max (∆x) → 0
1≤i≤n
∑n lim ωi∆xi = 0
λ→0 i=1
2
证明： 先证明必要性。 由定理一可知，若有界函数f (x)在[a, b]上可积，则对于任意的划分P ，有
+[S(P ′′) − S(P )]
<
ϵ
+0+
ϵ
ϵ +0&#定理1，可知f (x)在[a, b]上可积。
充要条件四
定理四： 有界函数f (x)在[a, b]上可积的充分必要条件是，对于任意给定ε > 0，σ > 0，存在δ > 0，使得
勒贝格积分与黎曼积分的比较
Lebesgue积分与Riemann积分的比较449 陈佳龙 908 王珏 194 杜腾飞关键词：黎曼积分，勒贝格可测函数，勒贝格积分，示性函数，连续函数，测度论，几乎处处，零测集.正文一：黎曼积分与勒贝格积分定义比较 R积分创立于19世纪中叶，近半个世纪之后的1902年法国数学家勒贝格创立了勒贝格积分。
其初衷是试图寻找解决诸如量子物理中的物理量与一般随机量的数学期望值等课题。
事实上运用L 积分可以解决包括古典物理问题之外的更一般的问题。
基于勒贝格测度论定义的勒贝格积分对函数的限制更加宽泛，已经跳出了定义于R 上有界函数的范畴而上升到了广义可测实函数，因而其研究范围也由R 上有界闭区间延伸到了整个N R 的有界可测集E ，进而借助示性函数我们可以将L 积分定义在整个N R 空间。
这种优越性是基于测度论与可测函数相关理论而在其定义上便已显现出来了。
为更好地说明L 积分与R 积分的异同，我们有必要将R 积分的定义在此描述。
R 积分是这样定义的： 定义 设函数()x f 在区间[]b a ,上有定义，用分点b x x x x a n =<<<<=K 210将区间[]b a ,分成n 个小区间。
令λ表示一切小区间长度()n k x x x k k k ≤≤-=∆-11中的最大者，即k nk x ∆=≤≤1max λ。
在每个小区间[]k k x x ,1-上任取一点()k k k k x x ≤≤-ξξ1，并且作和()k nk k x f ∆=∑=1ξσ.如果当0→λ时，和数σ不管分割如何取法，也不管k ξ如何取法，都有共同的极限I ，即 (),lim lim 1I x f k nk k =∆=∑=→→ξσλλ则称此极限I 为函数()x f 从a 到b 的黎曼积分，记作()dx x f I ba⎰=，关于勒贝格积分有多种等价表述形式，为了更好的的说明问题，我们选取了两种定义模式，当然还有其它的定义方式，如张喜堂老师编的《实变函数论的典型问题与法方》中，对L 积分的定义是先从有界函数的L 积分着手，即定义有限可测集E 的一个分划D ，进而定义于D 相关的小和数与大和数。
可积第二充要条件
可积第二充要条件可积性是数学中一个重要的概念，特别在积分学中起着至关重要的作用。
本文将介绍可积性的第二充要条件，并对其进行详细解释。
在数学中，可积性是指函数能够被积分的性质。
具体而言，对于一个函数f(x)，如果存在一个数M，使得对于任意的区间[a, b]，函数f(x)在该区间上的积分的绝对值都小于等于M，那么我们称函数f(x)是可积的。
可积性的第二充要条件即为：一个函数f(x)是可积的，当且仅当它是有界的，并且在有限个点上的间断是可去的。
我们来解释可积性的第二充要条件中的第一个条件：函数f(x)是有界的。
一个函数是有界的意味着它在定义域内的取值不会无限增长或无限减小。
换句话说，存在一个数M，使得对于定义域内的任意x，函数f(x)的取值都在[-M, M]之间。
这个条件的作用是保证函数在整个定义域上的积分的绝对值都是有限的，从而保证了函数的可积性。
接下来，我们解释可积性的第二充要条件中的第二个条件：函数在有限个点上的间断是可去的。
这个条件是说函数在有限个点上可能存在间断，但这些间断都可以通过修正函数在该点的值来消除。
也就是说，在这些间断点上，我们可以通过重新定义函数在该点的值，使得函数变得连续。
这个条件的作用是确保函数在间断点附近的积分的绝对值趋近于0，从而保证了函数的可积性。
通过以上的解释，我们可以看出可积性的第二充要条件的意义和作用。
它告诉我们，一个函数在定义域内是有界的，并且在有限个点上的间断是可去的，那么这个函数就是可积的。
这个条件为我们研究函数的可积性提供了一个判断标准，使得我们可以准确地判断一个函数是否可积。
在实际的应用中，可积性的第二充要条件有着广泛的应用。
比如在物理学中，许多物理量的计算都需要对函数进行积分。
如果一个函数是可积的，那么我们可以利用积分的性质来计算物理量，从而简化计算过程。
另外，在数学分析和实变函数等领域，可积性的研究也是一个重要的课题，对于深入理解积分学的基本概念和性质具有重要意义。
黎曼积分概念及性质
【取极限】 max{ i的直径 }
m lim f ( M i ) i
0
i 1 n
2018年11月13日星期二
i 1
i 1
华北科技学院基础部
8
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
2. 黎曼积分的概念
n个 函数f ( M )在上有界 . 将任意划分为
( 2) [ f ( M ) g( M )]d
f ( M )d g( M )d
[ f ( x) g( x)]dx f x dx g x dx
b b b a a a
[ f ( x, y) g( x, y)]d f ( x, y)d g( x, y )d
n
f ( i ,i ) i V f ( x , y )d lim 0 i 1
D
z
f i ,i
小柱体体积无限累加 得到以曲面为顶，
y
z f ( x, y )
区域D为底的曲顶
o x
D
柱体的体积 V. ( , )
i i
2018年11月13日星期二
i
定义 设Ω表示一个有界的可度量几何形体，
小部分 i , i 1,2,, n. i也表示其度量 . 任取M i i , 作乘积 f ( M i ) i , i 1,2, n.
作和式 f ( M i ) i .
i 1
2018年11月13日星期二
n
华北科技学院基础部
《数学分析》(2)
Ch19
黎曼积分的概念和性质
第四部分 多变量积分学
CH19 黎曼积分的定义和性质
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质.doc.gzip
第4章 柯西-黎曼积分及其应用和推广与牛顿-莱布尼茨积分不同，柯西-黎曼积分是建立在近代极限理论的基础上。
由于本篇中暂时避开了近代极限理论，所以我们也只能用“无限接近”的说法来定义柯西-黎曼积分。
同样，关于柯西-黎曼积分的性质，我们也只能用几何图形来说明。
§4-1 柯西-黎曼积分的定义及其性质1.柯西-黎曼积分的定义 设函数)(x f 定义在区间[,]a b 上.首先用分点：01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=把区间[,]a b 划分成n 个小区间，并用nx∆表示最大小区间的长度。
柯西在19世纪初，建议把函数)(x f 在区间],[b a 上的积分定义为“极限”1101lim()()()d nnb i i i xai f xx x f x x --∆→=-=∑⎰（图4-1）【注意】不能把其中的0nx ∆→改写为n →∞，因为n →∞时不一定有0nx ∆→。
后来，德国数学家黎曼(Riemann ，1826─1866 )又把柯西关于积分的定义做了修改。
现在，国内多数教科书中都采用黎曼关于积分的下述定义(图4-2)：设函数)(x f 定义在有限(开、闭或半开半闭)区间b a ,上。
第一步，用任意划分方法(记为P )把区间,a b 划分成n 个小区间：图4-11n -1x图4-2n -1i -1i 101211i i n n a x x x x x x x b --=<<<<<<<<=第二步，在每一个小区间上都任意取一点，如在第i 个小区间],[1i i x x -上取的那一点记为i ξ，做出积分和121(P;,,,)()nn n n iii f x σσξξξξ===∆∑ 1()iii x x x-∆=-第三步，让所有小区间都无限变小，即让最大小区间的长度0nx∆→，若有极限1lim()n niix i f x ξσ∆→=∆=∑而且与区间的划分方法P 和每一个小区间上那一点(1)i i n ξ≤≤的选取方法都无关，则称函数()f x 在区间,a b 上可积分(简称可积)，并称极限值01lim()()d nnb iixai f x f x xξσ∆→=∆==∑⎰(4-1)为函数)(x f 在区间b a ,上的积分。
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在有界闭区间上复合函数的黎曼可积性
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是数学中一个重要的概念。
它是指在有界闭区间上存在一个复合函数，该函数具有正确的黎曼可积性。
说得更通俗易懂些，一个复合函数就是由一个函数和另一个函数组成。
在二维空间中，它可以表示为f(x, y) = f1(x) + f2(y)。
这里，f1(x)和f2(y)分别是x和y的函数，而f(x,y)就是两者的和。
黎曼可积性是指这样一种复合函数的连续性和可积性。
当一个函数的偏导数不断变化时，黎曼可积性就会发生变化。
换句话说，当函数的偏导数使f(x,y)连续而不断变化时，复合函数就是黎曼可积的。
这也就是说，只有当复合函数的偏导数恒定，而不会发生变化时，它才是黎曼可积的。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性是指，在有界闭区间上的某一点处，复合函数的变化率是黎曼可积的。
它是端点连续函数的泛化概念，可以用来描述复合函数在有界闭区间上的可积性。
它的特点是可以通过求解连续的偏导数来求解复合函数的变化率。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性在数学中有着重要的作用。
它可以用来解释复合函数在有界闭区间上的变化情况。
此外，它还可以应用到实际问题中，如分析复杂函数的变化率等。
此外，它还可以用来解决无边界问题、分析函数不变型以及建立抽象函数空间等问题。
有界闭区间上复合函数的黎曼可积性有一些重要的结果。
例如，可以利用它来证明势的连续性。
根据它的定义，可以证明复合函数在有界闭区间上的存在性。
此外，它还可以用来证明Riemann积分的性
质，以及定义黎曼积分的基本性质。
总的来说，有界闭区闭上复合函数的黎曼可积性是一个重要的数学概念，可以用来解释复杂函数的变化情况，并可以应用到实际问题中。
它还可以用来证明一些重要的数学定理，可以比较容易地推导出复合函数的变化率。