圆锥曲线几何性质精华

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完美版圆锥曲线知识点总结

完美版圆锥曲线知识点总结圆锥曲线的方程与性质1．椭圆（1）椭圆概念平面内与两个定点、的距离的和等于常数2（大于）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。

若为椭圆上任意一点，则有。

椭圆的标准方程为：（）（焦点在x轴上）或（）（焦点在y轴上）。

注：①以上方程中的大小，其中；②在和两个方程中都有的条件，要分清焦点的位置，只要看和的分母的大小。

例如椭圆（，）当时表示焦点在轴上的椭圆；当时表示焦点在轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质①范围：由标准方程知，说明椭圆位于直线，所围成的矩形里；②对称性：在曲线方程里，若以代替方程不变，所以若点在曲线上时，点也在曲线上，所以曲线关于轴对称，同理，以代替方程不变，则曲线关于轴对称。

若同时以代替，代替方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于轴、轴和原点对称。

这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心叫椭圆的中心；③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与轴、轴的交点坐标。

在椭圆的标准方程中，令，得，则，是椭圆与轴的两个交点。

同理令得，即，是椭圆与轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段、分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为和，和分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为；在中，，且，即；④离心率：椭圆的焦距与长轴的比叫椭圆的离心率。

∵，∴，且越接近，就越接近，从而就越小，对应的椭圆越扁；反之，越接近于，就越接近于，从而越接近于，这时椭圆越接近于圆。

当且仅当时，两焦点重合，图形变为圆，方程为。

2．双曲线（1）双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（）。

注意：①式中是差的绝对值，在条件下；时为双曲线的一支；时为双曲线的另一支（含的一支）；②当时，表示两条射线；③当时，不表示任何图形；④两定点叫做双曲线的焦点，叫做焦距。

高考数学圆锥曲线的经典性质50条(20200618183942)

4. 以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切 .
5.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1上，
则过 P0 的椭圆的切线方程是
x0x a2
y0 y b2
1.
6.
x2 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1外，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为
PF1F2
, PF2 F1
ac
，则
tan
co t
.
ac
22
x2 y2
4. 设椭圆 2
2 1 （ a＞ b＞ 0 ）的两个焦点为
ab
F1 、 F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，
在△ PF1F2 中，记 F1PF2
,
PF1F2
, F1F2 P
sin
，则有
sin sin
c e. a
x2 y2 5. 若椭圆 a 2 b 2 1（a＞ b＞0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0＜ e≤ 2 1 时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1 是 P
x2 y2
11. AB 是双曲线 2
2 1（a＞ 0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦，
ab
M ( x0 , y0 ) 为 AB 的中点，则 K OM K AB
b 2x0 a2 y0
，
即 K AB
x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方程是
1 a2
1 b2
（;
2）|OP|2+|OQ| 2

推导过程解析几何中的圆锥曲线性质

推导过程解析几何中的圆锥曲线性质几何学中的圆锥曲线是指在平面上由固定点（焦点）和到该点的距离（离心率）的比例为定值的点构成的曲线。

圆锥曲线包括椭圆、双曲线和抛物线，它们具有各自独特的性质和特点。

本文将对圆锥曲线的推导过程进行解析，深入探讨其性质。

1. 椭圆的推导过程椭圆是圆锥曲线中的一种，定义为平面上到两个焦点的距离之和等于定值（2a）的点的轨迹。

其推导过程如下：设圆锥的两个焦点分别为F1和F2，假设在平面上任意一点P的坐标为(x, y)。

根据定义，PF1 + PF2 = 2a（其中a为椭圆的半长轴）。

根据坐标表示，PF1的距离为√((x - c)^2 + y^2)，PF2的距离为√((x + c)^2 + y^2)（其中c为椭圆的焦点距离）。

将PF1和PF2代入方程，得到√((x - c)^2 + y^2) + √((x + c)^2 + y^2) = 2a。

整理方程，可得(x - c)^2 + y^2 = (a - c)^2 - a^2和(x + c)^2 + y^2 =a^2 - (a - c)^2。

二者相加，得到2x^2 + 2y^2 = 2a^2，即x^2 / a^2 + y^2 / b^2 = 1（其中b为椭圆的半短轴）。

从而推导出椭圆的标准方程。

2. 双曲线的推导过程双曲线是圆锥曲线中的另一种，定义为平面上到两个焦点的距离之差等于定值（2a）的点的轨迹。

其推导过程如下：设圆锥的两个焦点分别为F1和F2，假设在平面上任意一点P的坐标为(x, y)。

根据定义，|PF1 - PF2| = 2a（其中a为双曲线的半轴长）。

根据坐标表示，PF1的距离为√((x - c)^2 + y^2)，PF2的距离为√((x + c)^2 + y^2)。

将PF1和PF2代入方程，得到|√((x - c)^2 + y^2) - √((x + c)^2 + y^2)| = 2a。

将左侧的绝对值展开并移项，然后平方处理，可得(x - c)^2 / a^2 - (y^2 / b^2) = 1（其中b为双曲线的半轴短）。

常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质

椭圆的参数方程可以表示为$x = a cos theta, y = b sin theta$，其中 $theta$是参数。
椭圆的面积是$pi ab$，周长是$4a$。
02 抛物线
定义与方程
定义
抛物线是一种二次曲线，它是由一个定点和一条定直线所决定的平面曲线。这个定点称为抛物线的焦点，定直线称为抛物线的准线。
常见的三种圆锥曲线的图像及几何性质
目录
• 椭圆 • 抛物线 • 双曲线 • 三种圆锥曲线的对比与联系
01 椭圆
定义与方程
定义
椭圆是平面内与两个定点$F_1$和 $F_2$的距离之和等于常数（大于 $F_1$和$F_2$之间的距离）的点的轨迹。
方程
对于中心在原点、焦点在x轴上的椭圆，其标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中$a$和$b$ 分别是椭圆的长半轴和短半轴。
方程
对于开口向右的抛物线，其标准方程为 $y^2 = 2px$（$p > 0$）；对于开口向左的抛物线，其标准方程为 $y^2 = -2px$ （$p > 0$）。
性质与特征
性质
抛物线具有对称性，其对称轴为直线 $x = -frac{p}{2}$。
特征
抛物线在焦点处的曲率最大，而在准线处的曲率最小。抛物线的离心率等于1。
04 三种圆锥曲线的对比与联系
定义与方程的对比
椭圆
抛物线
双曲线
定义为平面内与两定点F1、F2 的距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹。标准方程为$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a$和$b$是椭圆的半轴长，$c = sqrt{a^2 - b^2}$是焦距。

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椭圆与双曲线的对偶性质-- （必背的经典结论）椭圆1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的外角 .2. PT 平分△ PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离 .4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5. 若 P0 ( x0 , y0 )x2 y2 x0 x y0 y 1. 在椭圆b21上，则过 P0的椭圆的切线方程是b2 a2 a26. 若 P0 ( x0 , y0 )x2 y21外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦在椭圆b2a27.x2 y2 1(a＞b＞ 0)的左右焦点分别为F1， F 2，点 P 为椭圆上任意一点F1 PF2 椭圆8.x2 y21 （a＞b＞0）的焦半径公式：椭圆2b2a|MF1| a ex0, | MF 2 | a ex0( F1 ( c,0) , F2(c,0) M ( x0, y0) ).x0 x y0 y 1.P1P2的直线方程是b2a2，则椭圆的焦点角形的面积为 S F1PF2 b2 tan .29. 设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交P、Q 两点， A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10. 过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点P、Q, A 1、 A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M ，A2P 和 A 1Q 交于点 N，则 MF⊥ NF.11. AB 是椭圆x2 y2 b2，a2 b21的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为AB的中点，则 k OM k AB2a即K ABb 2 x0a 2 。

y012. 若P0 ( x0x2 y2 1内，则被Po所平分的中点弦的方程是x0 x y0 y x02 y0 2., y0 ) 在椭圆b2 a2 b2 a2 b2 a213. 若 P0 ( x0 x2 y21内，则过Po的弦中点的轨迹方程是x2 y2 x0 x y0 y, y0 ) 在椭圆 2b 2a2 2a2b2.a b双曲线1.点 P 处的切线 PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角 .2. PT 平分△ PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交 .4.以焦点半径PF 1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P 在左支）5.x2 y2 1（a＞0,b＞0）上，则过 P0x0 x y0 y 1. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2 的双曲线的切线方程是b2a2 a26.x2 y21（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线b2a27. 双曲线x2 y21 （a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1， F2 ，点P为双曲线上任意一点F1 PF2 a2 b2SFPF b2co t .1 2 28. 双曲线x2 y21（a＞0,b＞o）的焦半径公式：( F1 ( c,0) , F2(c,0) a2 b2当M ( x0 , y0 ) 在右支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 a .当M ( x0 , y0 ) 在左支上时， | MF1 | ex0 a , | MF2 | ex0 ax0 x y0 y1. P1P2的直线方程是2b2a，则双曲线的焦点角形的面积为9.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于M 、N 两点，则 MF ⊥NF.10. 过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点P、 Q, A1、A 2为双曲线实轴上的顶点， A 1P 和 A 2Q 交于点 M ，A 2P 和 A 1Q 交于点 N，则 MF ⊥ NF.11. AB 是双曲线x2 y2 1（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M (x0 , y0 ) 为AB的中点，则K OM K ABb2x0 ，即K AB b 2 x0。

圆锥曲线知识点总结

圆锥曲线知识点总结圆锥曲线是高中数学中的重要内容，包括椭圆、双曲线和抛物线。

掌握圆锥曲线的相关知识对于解决数学问题和理解数学的应用具有重要意义。

一、椭圆1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。

这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＋＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\）），其中\（a\）为长半轴长，＼（b\）为短半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＋＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1\）（＼（a ＞ b ＞ 0\））。

3、椭圆的性质（1）对称性：椭圆关于 x 轴、y 轴和原点对称。

（2）范围：＼（a ＼leq x ＼leq a\），＼（b ＼leq y ＼leq b\）。

点为\（（＼pm a, 0)＼），＼（（0, ＼pm b)＼）；焦点在 y 轴上时，顶点为\（（0, ＼pm a)＼），＼（（＼pm b, 0)＼）。

（4）离心率：椭圆的离心率\（e ＝＼frac{c}｛a}＼）（＼（0 ＜ e ＜ 1\）），它反映了椭圆的扁平程度，＼（e\）越接近 0，椭圆越接近于圆；＼（e\）越接近 1，椭圆越扁。

二、双曲线1、定义平面内与两个定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线。

这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做焦距。

2、标准方程（1）焦点在 x 轴上：＼（＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1\），其中\（a\）为实半轴长，＼（b\）为虚半轴长，＼（c\）为半焦距，满足\（c^2 ＝ a^2 ＋ b^2\）。

（2）焦点在 y 轴上：＼（＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝1\）。

高考数学圆锥曲线的经典性质50条

椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论）之吉白夕凡创作椭圆1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的外角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的外角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离.4. 以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.5.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=上,则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=.6.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=外 ,则过Po 作椭圆的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b+=.7.椭圆22221x y a b+= (a ＞b ＞0)的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为椭圆上任意一点12F PF γ∠=,则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2F PF S b γ∆=.8.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的焦半径公式：10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ).9.设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是椭圆22221x y a b +=的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则22OM ABb k k a⋅=-,即0202y a x b K AB -=.12.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则被Po所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b+=+.13.若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b+=内,则过Po的弦中点的轨迹方程是22002222x x y yx y a b a b+=+.双曲线1. 点P 处的切线PT 平分△PF1F2在点P 处的内角.2.PT 平分△PF1F2在点P 处的内角,则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相交.4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P 在右支；外切：P 在左支）5.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上,则过0P 的双曲线的切线方程是00221x x y ya b-=. 6.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）外 ,则过Po 作双曲线的两条切线切点为P1、P2,则切点弦P1P2的直线方程是00221x x y ya b-=. 7.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的左右焦点辨别为F1,F 2,点P 为双曲线上任意一点12F PF γ∠=,则双曲线的焦点角形的面积为122t 2F PF S b co γ∆=.8.双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）的焦半径公式：(1(,0)F c -,2(,0)F c当00(,)M x y 在右支上时,10||MF ex a =+,20||MF ex a =-.当00(,)M x y 在左支上时,10||MF ex a =-+,20||MF ex a =--9.设过双曲线焦点F 作直线与双曲线相交 P 、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点,连结AP 和AQ 辨别交相应于焦点F 的双曲线准线于M 、N 两点,则MF⊥NF.10.过双曲线一个焦点F 的直线与双曲线交于两点P 、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶点,A1P 和A2Q 交于点M,A2P 和A1Q 交于点N,则MF⊥NF.11.AB 是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的不服行于对称轴的弦,M ),(00y x 为AB 的中点,则0202y a x b K K AB OM =⋅,即0202y a x b K AB =.12.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b-=-. 13.若000(,)P x y 在双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）内,则过Po 的弦中点的轨迹方程是22002222x x y y x y a b a b-=-. 椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组椭圆1.椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞o ）的两个顶点为1(,0)A a -,2(,0)A a ,与y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x y a b-=.2.过椭圆22221x y a b+= (a ＞0, b ＞0)上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =（常数）.3.若P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点,12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22a c co a c αβ-=+. 4.设椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为椭圆上任意一点,在△P F1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin sin sin ce aαβγ==+.5.若椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当0＜1时,可在椭圆上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6.P为椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为椭圆内一定点,则2112||||||2||a AF PA PF a AF -≤+≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线时,等号成立.7.椭圆220022()()1x x y y a b--+=与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是2222200()A a B b Ax By C +≥++.8.已知椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为椭圆上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=+;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22224a b a b +;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b a b +.9.过椭圆22221x y a b+=（a ＞b ＞0）的右焦点F 作直线交该椭圆右支于M,N 两点,弦MN的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF eMN =. 10.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0） ,A 、B 、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则22220a b a b x a a---<<. 11.设P点是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=+.(2)122tan 2PF F S b γ∆=.12.设A 、B 是椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的长轴两端点,P 是椭圆上的一点,PAB α∠=,PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是椭圆的半焦距离心率,则有(1)22222|cos |||s ab PA a c co αγ=-.(2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PABa b S b a γ∆=-.13.已知椭圆22221x y a b+=（ a ＞b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC 经过线段EF 的中点.14.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点.）17.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分红定比e.18.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质--（会推导的经典结论）高三数学备课组双曲线1.双曲线22221x ya b-=（a＞0,b＞0）的两个顶点为1(,0)A a-,2(,0)A a,与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22221x ya b+=.2.过双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞o ）上任一点00(,)A x y 任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C 两点,则直线BC 有定向且2020BC b x k a y =-（常数）.3.若P为双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F2是焦点, 12PF F α∠=, 21PF F β∠=,则tan t 22c a co c a αβ-=+（或tan t 22c a co c a βα-=+）. 4.设双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F1、F2,P （异于长轴端点）为双曲线上任意一点,在△PF1F2中,记12F PF α∠=, 12PF F β∠=,12F F P γ∠=,则有sin (sin sin )ce aαγβ==±-.5.若双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的左、右焦点辨别为F1、F2,左准线为L,则当11时,可在双曲线上求一点P,使得PF1是P 到对应准线距离d 与PF2的比例中项.6. P 为双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上任一点,F1,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,则21||2||||AF a PA PF -≤+,当且仅当2,,A F P 三点共线且P 和2,A F 在y 轴同侧时,等号成立.7. 双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）与直线0Ax By C ++=有公共点的充要条件是22222A a B b C -≤. 8. 已知双曲线22221x y a b-=（b ＞a ＞0）,O 为坐标原点,P 、Q 为双曲线上两动点,且OP OQ ⊥.（1）22221111||||OP OQ a b +=-;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22224a b b a-;（3）OPQ S ∆的最小值是2222a b b a-. 9. 过双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的右焦点F 作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN 的垂直平分线交x 轴于P,则||||2PF e MN =. 10. 已知双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）,A 、B 是双曲线上的两点,线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ,则220a b x a +≥或220a b x a +≤-. 11.设P 点是双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记12F PF θ∠=,则(1)2122||||1cos b PF PF θ=-.(2)122cot 2PF F S b γ∆=. 12. 设A 、B 是双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的长轴两端点,P 是双曲线上的一点,PAB α∠=, PBA β∠=,BPA γ∠=,c 、e 辨别是双曲线的半焦距离心率,则有(1)22222|cos ||||s |ab PA a c co αγ=-. (2)2tan tan 1e αβ=-.(3)22222cot PAB a b S b a γ∆=+.13. 已知双曲线22221x y a b-=（a ＞0,b ＞0）的右准线l 与x 轴相交于点E ,过双曲线右焦点F 的直线与双曲线相交于A 、B 两点,点C 在右准线l 上,且BC x ⊥轴,则直线AC经过线段EF 的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点辨别称为内、外点).17.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分红定比e.18.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.。

圆锥曲线知识点整理

圆锥曲线知识点整理圆锥曲线是数学中的重要概念之一，是一个由一个动点和一个定点之间的线段所确定的曲线。

它包括椭圆、双曲线和抛物线这三种基本形式。

圆锥曲线在几何学、物理学、工程学等领域均有广泛的应用，掌握圆锥曲线的知识对于深入学习和应用这些领域的知识至关重要。

以下是圆锥曲线的一些常见知识点整理：1. 椭圆：椭圆是一个闭合的曲线，它有两个焦点和一个长轴。

定义椭圆的一个特性是到两个焦点的距离之和等于常数，这个常数被称为椭圆的短轴长度。

椭圆的方程可以表示为(x/a)² + (y/b)² = 1，其中a和b分别代表椭圆的半长轴和半短轴。

2. 双曲线：双曲线是一个开放的曲线，它有两个分离的分支。

双曲线的定义也与焦点有关，但与椭圆的定义不同，双曲线的焦点之间的距离差等于常数。

双曲线的方程可以表示为(x/a)² - (y/b)² = 1，其中a和b分别代表双曲线的半长轴和半短轴。

3. 抛物线：抛物线是一个开放的曲线，它有一个焦点和一个直线称为准线。

抛物线的定义与焦点和准线之间的距离以及焦点到曲线上任意一点的距离有关。

抛物线的方程可以表示为y = ax² + bx + c，其中a、b和c分别代表抛物线的系数。

4. 圆锥曲线的性质：圆锥曲线具有许多有趣的性质和特点。

例如，椭圆的离心率小于1，而双曲线的离心率大于1。

抛物线的离心率等于1，它在焦点上有对称性。

此外，圆锥曲线还具有切线、法线、渐近线等几何性质，这些性质在解题和实际应用中非常重要。

5. 圆锥曲线的应用：圆锥曲线在许多领域都有广泛的应用。

在天文学中，行星的轨道可以用椭圆来描述；在工程学中，双曲线常用于天线的设计和无线通信的信号传播；在物理学中，抛物线可用于描述物体在重力作。

(完整版)圆锥曲线知识点总结

高中数学圆锥曲线选知识点总结一、椭圆1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹称为椭圆．即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。

这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：2222二、双曲线1、定义：平面内与两个定点1F ，2F 的距离之差的绝对值等于常数（小于12F F ）的点的轨迹称为双曲线．即：|)|2(,2||||||2121F F a a MF MF <=-。

这两个定点称为双曲线的焦点，两焦点的距离称为双曲线的焦距．2、双曲线的几何性质：22x y 22y x 5、实轴和虚轴等长的双曲线称为等轴双曲线．三、抛物线1、定义：平面内与一个定点F 和一条定直线l 的距离相等的点的轨迹称为抛物线．定点F 称为抛物线的焦点，定直线l 称为抛物线的准线．2、抛物线的几何性质：3、过抛物线的焦点作垂直于对称轴且交抛物线于A 、B 两点的线段AB ，称为抛物线的“通径”，即2p AB =．4、关于抛物线焦点弦的几个结论：设AB 为过抛物线22(0)y px p =>焦点的弦，1122(,)(,)A x y B x y 、，直线AB 的倾斜角为θ，则⑴ 221212,;4p x x y y p ==- ⑵ 22;sin p AB θ= ⑶ 以AB 为直径的圆与准线相切； ⑷ 焦点F 对A B 、在准线上射影的张角为2π；⑸112.||||FA FB P+= 四、直线与圆锥曲线的位置关系⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧繁琐）利用两点间距离公式（易）利用一般弦长公式（容弦长问题直线与圆锥曲线相交的系）直线与圆锥曲线位置关代数角度（适用于所有)位置关系主要适用于直线与圆的(几何角度关系直线与圆锥曲线的位置直线与圆锥曲线.12.直线与圆锥曲线的位置关系：⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。

高考数学圆锥曲线的经典性质50条(20200618133325)

a2 ,
即 K AB
b 2 x0 a2 y0 。
x2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2 b2
1内, 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
x0 x a2
y0y b2
x02 a2
y02 b2
.
x2 13. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 a2
y2
x2 y2
b2 1内, 则过 Po 的弦中点的轨迹方程是 a 2 b 2
2.
x2 过椭圆 a 2
y2 b2ຫໍສະໝຸດ 1 (a＞0, b＞ 0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于
B,C 两点 , 则直线 BC 有定向且 kBC
b2 x0 a2 y0
（常
数） .
2
2
xy
3. 若 P 为椭圆 a2 b 2 1（ a＞b＞ 0）上异于长轴端点的任一点 ,F1, F 2 是焦点 , PF1F2
x2 11. AB 是双曲线 a 2
y2 b2 1 （ a＞0,b＞ 0）的不平行于对称轴的弦 , M ( x 0 , y0 ) 为 AB 的中点 , 则 K OM K AB
b2 x0 a 2 y0
,
即 K AB
x2 y2 12. 若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 a 2 b 2 1 （a＞ 0,b＞ 0）内 , 则被 Po 所平分的中点弦的方程是
1 OQ .（1） | OP |2
1 | OQ |2
1 a2
1 b2
; （2）|OP|2+|OQ| 2
的最大值为
4a 2 b2 a2 b2
; （ 3） S
9. 设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点 , A 为双曲线长轴上一个顶点 , 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M 、N 两点 , 则

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1 圆锥曲线的几何性质四川省仪陇新政校区魏登昆

一、椭圆的几何性质（以22ax+22by=1（a﹥b﹥0）为例）

1、⊿ABF2的周长为4a(定值) 证明：由椭圆的定义

12121212

242AFAFaAFAFBFBFaBFBFa





即24ABFCa 2、焦点⊿PF1F2中：（1）S⊿PF1F2=2tan2•b （2）（S⊿PF1F2）max= bc （3）当P在短轴上时，∠F1PF2最大

证明：（1）在12AFF中

∵ 22212124cos2PFPFcPFPF ∴ 221212122cos24PFPFPFPFPFPFc ∴ 21221cosbPFPF ∴ 1222112sincostan21cos2PFFbSb (2)S⊿PF1F2 max =max

122chbc

(3) 2222222212002222222120004444cos12222PFPFcaexaexcacPFPFaexaex

当0x=0时 cos有最小值2222aca 即∠F1PF2最大 3、过点F1作⊿PF1F2的∠P的外角平分线的垂线，垂足为M ，则M 的轨迹是x2+y2=a2

证明：延长1FM交2FP于F，连接OM

x y o F1 F

x y o FF

P M

x y o FF2

B 2

由已知有 1PFFP M为1FF中点 ∴ 212OMFF=1212PFPF=a 所以M的轨迹方程为 222xya

4、以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切证明：取1PF的中点M，连接OM。令圆M的直径1PF，半径为r

∵ OM=2111112222PFaPFaPFar ∴ 圆M与圆O内切 ∴ 以椭圆的任意焦半径为直径的圆，都与圆x2+y2=a2内切

5、任一焦点⊿PF1F2的内切圆圆心为I，连结PI延长交长轴于R，则 ∣IR∣：∣IP∣=e

证明：证明：连接12,FIFI由三角形内角角平分线性质有

∵ 1212121222FRFRFRFRIRcePIPFPFPFPFa ∴ IRPI e 6、以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离。证明：令1122,,,AxyBxy到准线的距离为12,dd 以为直径的圆的圆心为M到准线的距离为d。

∵ 21221222AFedAFBFeddBFed 1212

22ABReddRedd

∵ 1212ddd ∵ 01e ∴ Rd ∴以任一焦点弦为直径的圆与相应准线相离 7、A为椭圆内一定点，P在椭圆上，则：（∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣

证明：连接11,,APAFPF

∵ 21122APPFAPaPFaAPPF

x y o F1 FP IR

x y o FFP

y x o FF

x y o F1 F

P A· 3

∵ 111AFAPPFAF ∴ 12122aAFAPPFaAF ∴ （∣PA∣+∣PF2∣）max =2a+∣AF1∣ （∣PA∣+∣PF2∣）min =2a-∣AF1∣ 8、A 为椭圆内一定点，P是椭圆上的动点，则

（∣PA∣+ePF2）min = A到右准线的距离证明：设到右准线的距离d,由椭圆的第二定义有 PFPFedde

∴（∣PA∣+ePF2）min =minPAd = A到右准线的距离. 9、焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上。证明：令☉I与⊿PF1F2三边所在的直线相切于M、N、

∵ PMPN 22FNFA

∴ 111221

PFPNFMFFFNFA



∵ 11FMFA ∴ 1122PFPNFFFN

∵ 22FNFA

∴ 121222PFPNFNFFFNFA

∵ 22FNFA

∴ 2222acFA

∴ 2acFA 即为椭圆顶点。

∴ 焦点⊿PF1F2的旁心在直线 x=±a 上

10、P是椭圆上任意一点，PF2的延长线交右准线于E，K是准线上另一任意点，连结PK交椭圆于Q，则KF2平分∠EF2Q

x y o F

A·

x y o FFP NA2

I M

x y o F

K Q P 4

证明：令P,Q到准线的距离为12,dd 212221

21222

PFedPFQFPFdQFddQFdPFPKedQFQKdPKdQK















由三角形外角平分线性质定理有KF2平分∠EF2Q

11、)(2112定值baBFAF

证明：令1122,,,AxyBxy 当AB的斜率存在时，设直线AB方程为ykxc

∵222222222222

22(2)0ykxcbxakxkcxckabxyab





22222222222()20bakxakcxakcab

∴ 22122222akcxxbak 2222212222

akcabxxbak



∴1

212

1111AFaexBFaexAFBFaexaex







12221212

2aexxaaexxexx

=2222222222222222222222222222222222222222222222()akccakcaeabakabakakcakcabakccakcabaaeeaaebakbakbakabak 32222422222242222222akabakcakabakcckbc





22222

24222222222222akacabakakbabbckbac







2

222

2121akabbk

当AB的斜率存在时，222112aaaAFBFbbb

∴)(2112定值baBFAF

x y o F B A 5

12、AB是椭圆的任意一弦，P是AB中点，则22abKKOPAB•（定值）证明：令1122,,,AxyBxy ，00,Pxy 则1202xxx 1202yyy

∵ 22112212121212222222221..01xyxxxxyyyyababxyab 2

121221212

yybxxxxayy

∵ 1212AByykxx，00OPykx

∴ 221ABOPbkka ∴ 22ABOPbkka 13、椭圆的短轴端点为B1、B2，P是椭圆上任一点，连结B1P、B2P分别交长轴于N、M两点，则有∣OM∣*∣ON∣ =a2

证明：1210020,,0,,0,,,0BbBbNxPxyMx

∴ 2002210011,,,,,,BPxybBMxbBPxybBNxb ∵ 由于2B、P、M共线 ∴ 000220xybbxxxbyb ∵ 由于100200,,,PFcxyPFcxy、P、N共线 ∴ 000110xybbxxxbyb

x y o F B A P x y o N M