高中数学总复习历年考点知识专题训练(理科)3

第 1 页 共 8 页 高中数学总复习历年考点知识专题训练(理科)3 17．在ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知πb2acosC3． 1求A；

2若b23c，且ABCV面积23，求a的值．

18．在ABC中，CACBCACBuuuruuuruuuruuur. (1) 求角C的大小； (2)若CDAB，垂足为D，且4CD，求ABC面积的最小值.

19．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，030B，三边,,abc成等比数列，

且ABC面积为1，在等差数列{}na中，11a，公差为b.

（1）求数列{}na的通项公式；

（2）数列{}nb满足11nnnbaa，设nT为数列{}nb的前n项和，求nT的取值范围. 第 2 页 共 8 页

20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为1km的

扇形EAF，中心角42EAF．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元．

（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值； （2）试问：当为多少时，年总收入最大？

21．已知函数4()fxxmmx. (1)当0m时求函数()fx的最小值； (2)若函数()5fx在[1,4]x上恒成立求实数m的取值范围.

22．已知函数32111323afxxaxxaR. （1）若1a，求函数fx的极值； （2）当01a 时，判断函数fx在区间0,2上零点的个数. 第 3 页 共 8 页

2020届高三数学（理）“大题精练”3（答案解析） 17．在ABCV中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知πb2acosC3． 1求A；

2若b23c，且ABCV面积23，求a的值．

解：（1）∵23bcosCa， ∴b=2a（cosCcosπ3+sinCsinπ3），可得：b=acosC+3asinC， 由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+3sinAsinC， 可得：sin（A+C）=sinAcosC+cosAsinC=sinAcosC+3sinAsinC，

可得：cosA=3sinA，可得：tanA=33， ∵A∈（0，π），∴A=π6 （2）∵b23c，且△ABC面积23=12bcsinA=1223c×c×12， ∴解得：c=2，b=43，

∴由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA=48+4-2×43×2×32=28，解得：a=27

18．在ABC中，CACBCACBuuuruuuruuuruuur. (1) 求角C的大小； (2)若CDAB，垂足为D，且4CD，求ABC面积的最小值.

解：（1）由CACBCACBuuuvuuuvuuuvuuuv，两边平方22CACBCACBuuuvuuuvuuuvuuuv， 即22CACBCACBuuuvuuuvuuuvuuuv，得到20CACBuuuvuuuv，即CACBuuuvuuuv。 所以2C . 第 4 页 共 8 页

（2）在直角ADC中， 4sinsinCDACAA ， 在直角BDC中， 4sinsinCDBCBB ，

又0,2A，所以sinsincos2BAA， 所以114481622sinsinsincossin2ABCSCACBABAAA ， 由+2AB得，20,A，故sin20,1A， 当且仅当4A时，maxsin21A，从而min16ABCS .

19．在ABC中，内角,,ABC的对边分别为,,abc，030B，三边,,abc成等比数列，

且ABC面积为1，在等差数列{}na中，11a，公差为b.

（1）求数列{}na的通项公式；

（2）数列{}nb满足11nnnbaa，设nT为数列{}nb的前n项和，求nT的取值范围.

解：（1）∵2bac，21111224Sacb，2b， ∴21nan，*nN.

（2）∵11122121nbnn， ∴111111111123352121221nTnnnL ∵nT是关于n的增函数*nN，， ∴1132nT.

20．某地拟规划种植一批芍药，为了美观，将种植区域（区域Ⅰ）设计成半径为1km的

扇形EAF，中心角42EAF．为方便观赏，增加收入，在种植区域外围规划观赏区（区域Ⅱ）和休闲区（区域Ⅲ），并将外围区域按如图所示的方案扩建成正方形ABCD，其中点E，F分别在边BC和CD上．已知种植区、观赏区和休闲区每平方千米的年收入分别是10万元、20万元、20万元． 第 5 页 共 8 页

（1）要使观赏区的年收入不低于5万元，求的最大值； （2）试问：当为多少时，年总收入最大？

解： （1）∵1AFAE，ADAB，π2DB，所以ADF与ABE全等.

所以1π22DAFBAE，观赏区的面积为 111π12?sin?cossin2sincos22222SDFADDAFDAFDAF

Ⅱ

，要使得观赏区的年收入不低于5万元，则要求51204SⅡ，即1cos2，结合ππ42可知ππ43，则的最大值为π3.

（2）种植区的面积为11··22SAFAEⅠ， 正方形面积为221cos21sincos22DAFSADDAF， 设年总收入为()W万元，则 1sin1()1020201020()5201010sin522WSSSSSS



ⅠⅡⅢⅠⅠ

， 其中ππ42，求导可得()10cos5W.

当ππ43时，()0W，()W递增；当ππ32时，()0W，()W递增. 所以当π3时，()W取得最大值，此时年总收入最大.

21．已知函数4()fxxmmx. (1)当0m时求函数()fx的最小值； (2)若函数()5fx在[1,4]x上恒成立求实数m的取值范围. 第 6 页 共 8 页

解： （Ⅰ）当0m时，

44424fxxxxxxx，当且仅当4xx，即2x时等号成立，

所以4minfx． （Ⅱ）由题意得45xmmx在1,4x上恒成立， 即45xmmx在1,4x上恒成立， 所以455mxmmx在1,4x上恒成立， 即4255mxx在1,4x上恒成立， 设4,1,4gxxxx，则gx在1,2上单调递减，在2,4上单调递增， ∴min24gxg， 又15,45gg， 254m，

解得92m，

所以实数m的取值范围是9,2． 22．已知函数32111323afxxaxxaR. （1）若1a，求函数fx的极值； （2）当01a 时，判断函数fx在区间0,2上零点的个数. 解： （1）∵32111323afxxaxx， ∴21111fxaxaxaxxa，

因为1a，所以101a， 当x变化时，,fxfx的变化情况如下表： 第 7 页 共 8 页

x 1,a



1

a 1

,1

a



 1

1,

fx  0 - 0 

fx 递增 极大值 递减 极小值 递增

由表可得当1xa时，fx有极大值，且极大值为2212316aafaa， 当1x时，fx有极小值，且极小值为1116fa.

（2）由（1）得11fxaxxa。 ∵ 01a，∴11a. ① 当11202aa，即时，fx在0,1上单调递增，在1,2上递减 又因为11100,110,2210363ffafa

所以fx在（0,1）和（1,2）上各有一个零点， 所以0,2fx在上有两个零点。

② 当112a，即112a时，fx在0,1上单调递增，在11,a上递减，在

1,2

a



上递增，

又因为221111100,110,0366aaffafaa





所以fx在0,1上有且只有一个零点，在1,2上没有零点， 所以在0,2上有且只有只有一个零点. 综上： 当102a时，fx在0,2上有两个零点； 当112a时，fx在0,2上有且只有一个零点。