高考数学总复习 专题02 第14节 导数的应用(2)课件 文

1 3
当x∈
1 0, 3
时，S′(x)＜0，
当x∈ 1 时，S′(x)＞0， 32 3 故当x= 3 时，S取得最小值是 3 .
1 ,1 3
高考体验
【2012 高考陕西文 9】设函数 f（x）= 2 +lnx 则
x
（
2
）
A．x= 1 为 f(x)的极大值点
2
题型三 利用导数求最值解决实际问题 【例3】(2010江苏)将边长为1 m的正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形， 记S=
梯形的周长2 ，则S的最小值是________． 梯形的面积
分析： 表示出关于S的解析式，利用求导方法来求最小值．
解： 设剪成的小正三角形的边长为x，则
2.利用导数研究实际问题的最值,其一般步骤为:①分析实际问题中 各量之间的关系,找出对应的数学模型,写出实际问题中变量之间的 函数关系y=f(x)(注意函数的实际需要的限制);②求函数的导数f'(x),
解方程f'(x)=0;③比较函数在定义域的区间端点和使f'(x)=0的点的函
数值的大小,其中最大的为最大值,最小的为最小值.
f ' ( x) 0 ，当 x 2 时 f ' ( x) 0 ，所以 x 2 为 f ( x) 极小值点，故选
D.
练习巩固
1. 函数y=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最大值是( A A. 5 B. 4 C. -4 D. -5 解析： f′(x)=6x2-6x-12，令f′(x)=0，得x=-1或x=2， ∵x∈[0,3]，∴易知x=2为极值点． 又f(0)=5，f(3)=-4，f(2)=-15， ∴f(x)max=5. )
3. 值是( B ) A. 0 B. 6
函数f(x)=x+2cos x在 0, 2
上取得最大值时，x的
C.
3
D.
2
解析： f′(x)=1-2sin x，令f′(x)=0，得x= 又f(0)=2，
f , 2 2 f ， 3 6 6
得x1=－1，x2=
3 2
则x，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x f′(x) f ( x)
(-∞，-1)
+ 单调递 增
-1 0 极大值 16
3 1, 2
3 2
3 , 2
单调递 减
0 极小值
61 4
+ 单调递 增
∵x=－1∈[－3,1]，且f(－1)=16，f(－3)=－76， f(1)=－12，∴f(x). 用一长为16 m的篱笆，围成一个矩形养鸡 场，则此养鸡场的最大面积是( ) C A. 32 m2 B. 14 m2 C. 16 m2 D. 18 m2
解析： 设长为x m，则宽为(16-2x)¸ 2=(8-x) m，面积 S(x)=x(8-x)=-x2+8x，其中0＜x＜8，令 S′(x)=-2x+8=0，得x=4为极值点，且在 (0,8)上是唯一的极值点，故x=4时，S(x) 有最大值S(4)=-42+8´4=16(m2)
第二单元
函数、导数及其应用
第十四节 导数的应用(2)
知识汇合
1.利用导数求函数的最值
一般地,在区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值, 求最值的步骤如下:
①求函数f(x)在[a,b]内的极值; ②求函数f(x)在区间端点的值f(a)、f(b);
③将函数f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大的是最大值,最小的 是最小值.
-
题型二 利用导数证明不等式问题 【例2】(2010全国)设函数f(x)=1－e-x， 求证：x＞－1时，f(x)≥
x x 1
分析： 根据要证明问题的特征，进行必要的化归转化，然 后通过构造函数，利用函数的单调性来解决这类问 题．
证明： x x＞－1时，f(x)≥ x 1当且仅当ex≥1+x， 令g(x)=ex－x－1，则g′(x)=ex－1. 当x≥0时，g′(x)≥0，g(x)在[0，+∞)上是增函数； 当x≤0时，g′(x)≤0，g(x)在(－∞，0]上是减函数． 于是g(x)在x=0处取最小值，因而当x∈R时， g(x)≥g(0)，即ex≥1+x， x 所以当x＞－1时，f(x)≥ x 1
解： (1)∵f′(x)=12x2+2ax+b，且曲线y=f(x)在x=1处切线 斜率为-12.
f ' 1 12 2a b 12 f 1 4 a b 5 12
解得
a 3 b 18.
∴f(x)=4x3-3x2-18x+5. (2)f′(x)=12x2-6x-18=6(x+1)(2x-3)，令f′(x)=0
典例分析
题型一 利用导数求函数的最值 【例1】已知函数f(x)=4x3+ax2+bx+5的图象在 x=1处的切线方程为y=－12x，且f(1)=－12. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求f(x)在[－3,1]上的最值． 分析： 先根据条件求出函数f(x)的解析式，然后求出 f(x)的极值点，计算出极值后，把极值与f(-3)， f(1)比较大小．
x
6
比较这三个数知
f 6
最大，∴

6
4. 已知f(x)=2x3-6x2+m在[-2,2]上有最大值3，此函 数在[-2,2]上的最小值为( A ) A. -37 B. -29 C. -5 D. 以上都不对
3 x 2 4 3 x 2 S (0<x<1) 2 1 3 3 1 x x 1 1 x 2 2 4 2 x 61 x2 3 x2 2 x ' S ( x) 1 x22 3
令S′(x)=0，∵0＜x＜1，∴x= .
B．x= 1 为 f(x)
的极小值点 C．x=2 为 f(x)的极大值点 的极小值点 【答案】D.
2 2 f ( x) ln x, f ' ( x) 【解析】 x x
2
D．x=2 为 f(x)

1 ， 令 f ' ( x) 0 ， 则x 2， 当0 x 2 时 x