上海市16区2018届九年级上学期期末(一模)数学试卷分类汇编;二次函数专题-名校版

上海市16区2018届九年级上学期期末（一模）数学试卷分类汇编二次函数专题宝山区24．（本题共12分，每小题各4分）设a ，b 是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式a ≤x ≤b 的实数x 的所有取值的全体叫做闭区间，表示为[a ，b ]．对于一个函数，如果它的自变量x 与函数值y 满足：当m ≤x ≤n 时，有m ≤y ≤n ，我们就称此函数是闭区间[m ，n ]上的“闭函数”．如函数y ＝－x ＋4，当x ＝1时，y ＝3；当x ＝3时，y ＝1，即当1≤x ≤3时，恒有1≤y ≤3，所以说函数y ＝－x ＋4是闭区间[1，3]上的“闭函数”，同理函数y ＝x 也是闭区间[1，3]上的“闭函数”．（1）反比例函数2018y x=是闭区间[1，2018]上的“闭函数”吗？请判断并说明理由； （2）如果已知二次函数y ＝x 2－4x ＋k 是闭区间[2，t ]上的“闭函数”，求k 和t 的值；（3）如果（2）所述的二次函数的图像交y 轴于C 点，A 为此二次函数图像的顶点，B 为直线x ＝1上的一点，当△ABC 为直角三角形时，写出点B 的坐标．长宁区24．（本题满分12分，每小题4分） 在直角坐标平面内，直线221+=x y 分别与x 轴、y 轴交于点A 、C . 抛物线c bx x y ++-=221经过点A 与点C ，且与x 轴的另一个交点为点B . 点D 在该抛物线上，且位于直线AC 的上方．（1）求上述抛物线的表达式；（2）联结BC 、BD ，且BD 交AC 于点E ，如果∆ABE 的面积与∆ABC 的面积之比为4:5，求∠DBA 的余切值；（3）过点D 作DF ⊥AC ，垂足为点F ，联结CD . 若∆CFD 与∆AOC 相似，求点D 的坐标．崇明区24．（本题满分12分，每小题各4分）24(0,2)B ．(,0)M m 为线段OA 上一个动点（点M 与点A 不重合），过点M （1（2（3y B ，与y 轴交于点C 13AE EF =. （1）求这条抛物线的表达式，并写出它的对称轴； （2）求∠FAB 的余切值；（3）点D 是点C 关于抛物线对称轴的对称点，点P 是y 轴上一点，且∠AFP =∠DAB ，求点P 的坐标.虹口区20、小明按照列表、描点、连线的过程画二次函数的图像，下表与下图是他所完成的部分表格与图像，求该二次函数的解析式，并补全表格与图像．备用图 24（第24题图） （备用图）24．（本题满分12分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分4分） 如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线与x 轴相交于点A （-2,0）、B （4,0），与y 轴交于点C （0，-4），BC 与抛物线的对称轴相交于点D ．（1）求该抛物线的表达式，并直接写出点D 的坐标； （2）过点A 作AE ⊥AC 交抛物线于点E ，求点E 的坐标；（3）在（2）的条件下，点F 在射线AE 上，若△ADF ∽△ABC ，求点F 的坐标．黄浦区20．（本题满分10分）用配方法把二次函数2264y x x =-++化为()k m x a y ++=2的形式，再指出该函数图像的开口方向、对称轴和顶点坐标. 24．（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，对称轴为直线x =1的抛物线28y ax bx =++过点（﹣2，0）. （1）求抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；（2）现将此抛物线沿y 轴方向平移若干个单位，所得抛物线的顶点为D ，与y 轴的交点为B ，与x 轴负半轴交于点A ，过B 作x 轴的平行线交所得抛物线于点C ，若AC ∥BD ，试求平移后所得抛物线的表达式.嘉定区Oxy20.（本题满分10分，每小题5分）已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标（x ,y ）满足下表：（1）求这个二次函数的解析式；（2）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴. 24.已知在平面直角坐标系xOy (如图7)中,已知抛物线c bx ++=2x 32y 经过点A (1,0）、B (0,2).(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C , 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上,如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似, 求点D 的坐标；(3)设点E 在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1, 联结AE 、BE ,求sin ∠ABE .金山区24．（本题满分12分，每小题4分）平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线y =ax 2+bx +3与y 轴相交于点C ，与x 轴正半轴相交于点A ，OA=OC ，与x 轴的另一个交点为B ，对称轴是直线x=1，顶点为P ． （1）求这条抛物线的表达式和顶点P 的坐标； （2）抛物线的对称轴与x 轴相交于点M ，求∠PMC 的正切值；（3）点Q 在y 轴上，且△BCQ 与△CMP 相似，求点Q 的坐标．静安区24．（本题满分12分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分） 在平面直角坐标系xOy 中（如图），已知抛物线352-+=bx ax y经过点A （－1，0）、B （5，0）． （1）求此抛物线顶点C 的坐标；（2）联结AC 交y 轴于点D ，联结BD 、BC ，过点C 作CH ⊥BD ，垂足为点H ，抛物线对称轴交x 轴于点G ，联结HG ， 求HG 的长．闵行区19．（本题满分10分）如图在平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（－1，2），点B 在第一象限，且OB ⊥OA ， OB =2OA ，求经过A 、B 、O 三点的二次函数解析式．24．（本题共3题，每小题4分，满分12分）抛物线23(0)y ax bx a =++≠经过点A （1-，0），B且与y 轴相交于点C ．（1）求这条抛物线的表达式； （2）求∠ACB 的度数；（3）设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E 在线段AC 上，且DE ⊥AC ， 当△DCE 与△AOC 相似时，求点D 的坐标．浦东新区19．（本题满分10分）将抛物线542+-=xx y 向左平移4个单位，求平移后抛物线的表达式、顶点坐标 和对称轴． 24．（本题满分12分，每小题4分）已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋5与x 轴交于点A (1，0)和点B (5，0)，顶点为M ．点C 在x 轴的负半轴上，且AC ＝AB ，点D 的坐标为(0，3)，直线l 经过点C 、D ． （1）求抛物线的表达式；（2）点P 是直线l 在第三象限上的点，联结AP ，且线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，求tan ∠CPA 的值；（3）在（2）的条件下，联结AM 、BM ，在直线PM 上是否存在点E ，使得∠AEM =∠AMB .若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．第24题图（第24题图）普陀区20.（本题满分10分）已知一个二次函数的图像经过()0,3A -、()10B ，、(),23C m m +、()1,2D --四点，求这个函数的解析式及点C 的坐标．24．（本题满分12分）如图10，已知在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22y ax ax c =++（其中a 、c 为常数，且a ＜0）与x 轴交于点A ，它的坐标是()3,0-，与y 轴交于点B ，此抛物线顶点C 到x 轴的距离为4． （1）求抛物线的表达式； （2）求CAB ∠的正切值；（3）如果点P 是抛物线上的一点，且ABP CAO ∠=∠，试直接写出点P 的坐标．青浦区24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题4分，第（3）小题5分）如图9，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()20y axbx c a =++>与x 轴相交于点A （-1，0）和点B ，与y 轴交于点C ，对称轴为直线1x =．（1）求点C 的坐标（用含a 的代数式表示）；（2）联结AC 、BC ，若△ABC 的面积为6，求此抛物线的表达式；（3）在第（2）小题的条件下，点Q 为x 轴正半轴上一点，点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称，当△CGF 为直角三角形时，求点Q 的坐标．松江区图10图919. （本题满分10分，每小题各5分）如图，已知平面直角坐标系xOy 中，O 为坐标原点.二次函数 2y x bx c =++的图像经过点A （3，0）、点B （0,3）,顶点为M ． （1）求该二次函数的解析式；（2）求∠OBM 的正切值.24.（本题满分12分，每小题各4分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），且AB =4．又P 是抛物线上位于第一象限的点，直线AP 与y 轴交于点D ，与对称轴交于点E . 设点P 的横坐标为t .（1）求点A 的坐标和抛物线的表达式； （2）当AE :EP =1:2时，求点E 的坐标； （3）记抛物线的顶点为M ，与y 轴的交点为C ，当四边形CDEM 是等腰梯形时，求t 的值.徐汇区20．（本题满分10分，第（1）小题满分5分，第（2已知一个二次函数的图像经过(0,6)A -、(4,6)B -（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC 、BC ，求tan ACB ∠.24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（1如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y kx =（k x轴交于点B (3，0)，与y 轴交于点C ．抛物线2y x bx c =++（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求DBC ∆的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F杨浦区21．（本题满分10分）甲、乙两人分别站在相距6米的A 、B 两点练习打羽毛球，已知羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，甲在离地面1米的C 处发出一球，乙在离地面1.5米的D 处成功击球，球飞行过程中的最高点H 与甲的水平距离AE 为4米，现以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立平面直角坐标系（如图所示）.求羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式及飞行的最高高度.24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2221y x mx m m =-+--+交 y 轴于点为A ，顶点为D ，对称轴与x 轴交于点H .（1）求顶点D 的坐标（用含m 的代数式表示）；（2）当抛物线过点（1，-2），且不经过第一象限时，平移此抛物线到抛物线22y x x =-+的位置，求平移的方向和距离；（3）当抛物线顶点D 在第二象限时，如果∠ADH =∠AHO ，求m 的值.（第24题图）（第21题图）x参考答案宝山区长宁区24．（本题满分12分，每小题4分）解：（1）由已知得A (-4,0),C (0,2) （1分） 把A 、C 两点的坐标代入c bx x y ++-=221得 ⎩⎨⎧=-=0482b C （1分）∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=223c b （1分） ∴223212+--=x x y （1分） （2）过点E 作EH ⊥AB 于点H 由上可知B （1,0） ∵ABC ABE S S ∆∆=54∴OC AB EH AB ∙⨯=∙215421 ∴5854==OC EH （2分） ∴)58,54(-E ∴59154=+=HB （1分） ∵︒=∠90EHB ∴895859cot ===∠EH HB DBA （1分）（3）∵DF ⊥AC ∴︒=∠=∠90AOC DFC①若CAO DCF ∠=∠，则CD//AO ∴点D 的纵坐标为2把y=2代入223212+--=x x y 得x=-3或x=0（舍去） ∴D (-3,2) （2分）②若ACO DCF ∠=∠时，过点D 作DG ⊥y 轴于点G ，过点C 作CQ ⊥DC 交x 轴于点Q∵︒=∠=∠90AOC DCQ ∴︒=∠+∠=∠+∠90CAO ACO ACQ DCF ∴CAO ACQ ∠=∠∴CQ AQ = 设Q (m ,0),则442+=+m m ∴23-=m ∴)0,23(-Q易证：COQ ∆∽DCG∆∴34232===QO CO GC DG 设D(-4t,3t+2)代入223212+--=x x y 得t=0(舍去)或者83=t ∴)825,23(-D （2分） 崇明区24、（1）解：设直线AB 的解析式为y kx b =+（0k ≠） ∵(3,0)A ，(0,2)B∴302k b b +=⎧⎨=⎩ 解得232k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ……………………………………1分∴直线AB 的解析式为223y x =-+ ………………………………1分 ∵抛物线243y x bx c =-++经过点(3,0)A ，(0,2)B ∴493032b c c ⎧-⨯++=⎪⎨⎪=⎩ 解得1032b c ⎧=⎪⎨⎪=⎩ …………………………1分∴2410233y x x =-++ ……………………………………………1分 （2）∵MN x ⊥轴， (,0)M m ∴设2410(,2)33N m m m -++，2(,2)3P m m -+ ∴2443NP m m =-+， 223PM m =-+ ……………………1分 ∵P 点是MN 的中点 ∴NP PM = ∴2424233m m m -+=-+ ………………………………………1分 解得112m =，23m =（不合题意，舍去） ………………………1分 ∴110(,)23N ……………………………………………………1分 （3）∵(3,0)A ，(0,2)B ， 2(,2)3P m m -+∴AB =3BP m =∴AP = ∵BPN APM =∠∠∴当BPN △与APM △相似时，存在以下两种情况： 1°BP PMPN PA =∴2223443m m m -+=-+解得118m = ……………………1分∴11(,0)8M …………………………………………………………1分 2°BP PAPN PM =∴233424233m m m =-+-+ 解得52m = ……………………1分∴5(,0)2M ……………………………………………………………1分奉贤区虹口区黄浦区20. 解：2264y x x =-++=29923442x x ⎛⎫--+++ ⎪⎝⎭————————————————————（3分） =22317317222222x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫--+=-+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦—————————————（2分） 开口向下，对称轴为直线32x =，顶点317,22⎛⎫⎪⎝⎭————————————（5分）24. 解：（1）由题意得：428012a b b a-+=⎧⎪⎨-=⎪⎩，—————————————————（2分）解得：12a b =-⎧⎨=⎩，—————————————————————————（1分）所以抛物线的表达式为228y x x =-++，其顶点为（1,9）. —————（2分） （2）令平移后抛物线为()21y x k =--+，——————————————（1分） 易得D （1，k ），B （0，k -1），且10k ->，由BC 平行于x 轴，知点C 与点B 关于对称轴x =1对称，得C （2，k -1）. （1分） 由()201x k =--+，解得1x =，即()1A -.————（2分） 作DH ⊥BC 于H ，CT ⊥x 轴于T ， 则在△DBH 中，HB =HD =1，∠DHB =90°， 又AC ∥BD ，得△CTA ∽△DHB ，所以CT =AT，即(121k -=-，————————————————（2分） 解得k =4,所以平移后抛物线表达式为()221423y x x x =--+=-++. —————（1分）嘉定区已知二次函数c bx ax y ++=2的图像上部分点的坐标（x ,y ）满足下表：（3）求这个二次函数的解析式；（4）用配方法求出这个二次函数图像的顶点坐标和对称轴. 【解答】（1）将（-1，-4），（0,-2）,(1,2)三个点代入⎪⎩⎪⎨⎧-===⇒⎪⎩⎪⎨⎧++==-+-=-231224c b a c b a c c b a 所以232-+=x x y（2）417232322-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=x x x y 所以函数顶点坐标为⎪⎭⎫ ⎝⎛--417,23 ，对称轴为23-=x24.已知在平面直角坐标系xOy (如图7)中,已知抛物线c bx ++=2x 32y 经过点A (1,0）、B (0,2).(1)求该抛物线的表达式；(2)设该抛物线的对称轴与x 轴的交点为C , 第四象限内的点D 在该抛物线的对称轴上,如果 以点A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似, 求点D 的坐标；(3)设点E 在该抛物线的对称轴上,它的纵坐标是1, 联结AE 、BE ,求sin ∠ABE .【解答】（1）将点A (1，0),B (0，2)代入得：⎪⎩⎪⎨⎧==++2032c c b解得b =38-c =2 ∴抛物线表达式23832y 2+-=x x（2）易得对称轴x =2，点c (2,0)点D 在抛物线对称轴上，设点D （2，a ） ∵A 、C 、D 所组成的三角形与△AOB 相似 ∠BOA =∠ACD =90°12=AO BO ∴12=CD AC 或21=CD AC ∵AC =1 所以CD =21或CD =2 所以点D 的坐标为：D (2,21-),D (2,-2) (3) ∵E 在抛物线的对称轴上，纵坐标是1 ∴E （2,1）根据两点坐标公式得AB =5,BE =5,AE =2 过点A 作AF ⊥BE 与点F ,设EF =x ，则有:()2222-5-5-2x x =解得x =55∴AF =553 ∴sin ∠ABE =53金山区静安区24．解：（1）∵抛物线抛物线352-+=bx ax y 经过点A （－1，0）、B （5，0）． ∴⎪⎩⎪⎨⎧-+=--=,355250,350b a b a ，解得⎪⎩⎪⎨⎧-==,34,31b a ……………………………………………（2分）∴此二次函数的解析式为3534312--=x x y∴3)2(3135343122--=--=x x x y ，∴C （2，-3）…………………………………（2分）（2）由题意可知：抛物线对称轴交x 轴于点G , ∴CG ⊥AB , AB=5－（－1）=6，AG =BG =3,∴G （2，0）,CG= AG =BG =3, AC =BC =23…（1分）222AB BC AC =+, ∴△ACB 是等腰直角三角形∵OD ⊥x 轴，∴∠AOD =∠AGC=90°，∴OD ∥CG ， ∴31==AG AO CG OD ，∴OD=1，∴D （0，﹣1）…（1分）∴DA=2，DB=26在Rt △DCB 中，CH ⊥BD , ∴∠BHC =∠BCD=90°，又∵∠HBC =∠CBD ，∴△B C H ∽△BDC ，……………………………………………（1分）∴BC BD BH BC =，∴BD BH BC ⋅=2，26)23(2⋅=BH ，∴26139=BH …（1分）∵263626139=，∴BD BG AB BH =………………………………………………（1分）又∵∠HBG =∠ABD ，∴△HBG ∽△ABD ………………………………………………（1分） ∴BD BGAD HG =，∴2632=HG ，∴13133=HG ………………………………………（2分） 答：HG 的长为13133． 闵行区19．解：作AC ⊥x 轴于点C ，作BD ⊥x 轴于点D ．……………………………………（1分）∵AO ⊥OB 得∠AOB=90︒，∴∠AOC+∠DOB=90︒．∵BD ⊥x 轴得：∠BDO=90︒，∴∠BOD+∠B=90︒．∴∠AOC=∠B ，∠ACO=∠BDO=90︒．………………………………………（1分） ∴△ AOC ∽△ OBD ．……………………………………………………………（1分） ∴AO AC OCOB OD BD==．………………………………………………………………（1分） ∵OB =2AO ，点A 的坐标为（－1，2）．………………………………………（1分） ∴OD=4，DB=2，点B 的坐标为（4，2）．……………………………………（1分） 设所求的二次函数解析式为2(0)y ax bx a =+≠，由题意，得22164a b a b =-⎧⎨=+⎩…………………………………………………………（1分）解得1232a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩………………………………………………………………………（2分）∴所求的二次函数解析式为21322y x x =-．……………………………………（1分） 24．解：（1）由题意，得30933042a b a b -+=⎧⎪⎨++=⎪⎩………………………………………………（1分） 解得21a b =-⎧⎨=⎩．………………………………………………………………（2分）∴这条抛物线的表达式为223y x x =-++．………………………………（1分） （2）作BH ⊥AC 于点H ，∵A 点坐标是（－4，0），C 点坐标是（0，3），B 点坐标是（32，0）， ∴AB=52，OC=3，．………………………………（1分）∵BH AC OC AB ⋅=⋅，即∠BAD=532BH =⨯，∴BH =．………………………………………………………………（1分） Rt △ BCH中，BH =，，∠BHC =90º，∴sin ACB ∠=．…………………………………………………………（1分）又∵∠ACB 是锐角，∴45ACB ∠=︒．………………………………………（1分）（3）延长CD 交x 轴于点G ，∵Rt △ AOC 中，AO=1，cos AO CAO AC ∠==∵△DCE ∽△AOC ，∴只可能∠CAO =∠DCE ．∴AG = CG ．……………（1分）∴122cos AC GAC AG AG ∠===．∴AG=5．∴G 点坐标是（4，0）．…………………………………………（1分）∵点C 坐标是（0，3），∴3:34CD l y x =-+．……………………………（1分）∴233423y x y x x ⎧=-+⎪⎨⎪=-++⎩ 解得787532x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，03x y =⎧⎨=⎩（舍） ∴点D 坐标是（78，7535）．………………………………………………（1分）浦东新区19．解：∵54442+-+-=x x y =1)2(2+-x ．…………………………………（3分）∴平移后的函数解析式是1)2(2++=x y ．………………………………（3分）顶点坐标是（-2，1）．……………………………………………………（2分）对称轴是直线2x =-．………………………………………………… （2分） 24．解：（1）∵ 抛物线52++=bx ax y 与x 轴交于点A （1，0），B （5，0），∴ ⎩⎨⎧=++=++.0552505b a b a ； ……………………… …（1分）解得⎩⎨⎧-==.61b a ；…………………………（2∴ 抛物线的解析式为562+-=x x y .……（1 （2）∵ A （1，0），B （5，0）， ∴ OA=1，AB=4. ∵ AC=AB 且点C 在点A 的左侧，∴ AC=4 .∴ CB=CA+AB=8. ∵ 线段CP 是线段CA 、CB 的比例中项，∴CBCP CA =. ∴ CP=24. ……………………………………………………（1分）又 ∵ ∠PCB 是公共角，∴ △CPA ∽△CBP .∴ ∠CPA= ∠CBP . ………………………………………………（1分）过P 作PH ⊥x 轴于H .∵ OC=OD=3，∠DOC=90°，∴ ∠DCO=45°.∴ ∠PCH=45°∴ PH=CH=CP 45sin =4， ∴ H （-7，0），BH=12. ∴ P （-7，-4）.∴ 31tan ==∠BH PH CBP ，31tan =∠CPA . ………………………（1分） （3） ∵ 抛物线的顶点是M （3，-4），………………………………… （1分） 又 ∵ P （-7，-4），∴ PM ∥x 轴 . 当点E 在M 左侧， 则∠BAM=∠AME . ∵ ∠AEM=∠AMB ，∴ △AEM ∽△BMA .…………………………………………………（1分）∴BA AM AM ME =. ∴45252=ME . ∴ ME=5，∴ E （-2，-4）. …………………………………（1分） 过点A 作AN ⊥PM 于点N ，则N （1，-4）. 当点E 在M 右侧时，记为点E '， ∵ ∠A E 'N=∠AEN ，∴ 点E '与E 关于直线AN 对称，则E '（4，-4）.………………（1分） 综上所述，E 的坐标为（-2，-4）或（4，-4）. 普陀区20．解：设所求二次函数解析式为()20y ax bx c a =++≠． ··········· （1分） 由这个函数的图像过()0,3A -，可知3c =-． ············· （1分）再由这个函数的图像过()10B ，和()1,2D --，得 30,3 2.a b a b +-=⎧⎨--=-⎩·························· （1分） 解这个方程组，得2,1.a b =⎧⎨=⎩······················ （2分）因此，所求二次函数的解析式为223y x x =+-． ············ （1分） 由这个函数的图像过(),23C m m +，得22323m m m +=+-．解得 12m =或232m =-． ······················ （2分）所以点C 的坐标为()2,7或3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭． ················· （2分）24．解：（1）由题意得，抛物线22y ax ax c =++的对称轴是直线1x =-. ······· （1分） ∵a ＜0 ，抛物线开口向下，又与x 轴有交点，∴抛物线的顶点C 在x 轴的上方.由于抛物线顶点C 到x 轴的距离为4，因此顶点C 的坐标是()1,4-. ···· （1分）可设此抛物线的表达式是()214y a x =++，由于此抛物线与x 轴的交点A 的坐标是()3,0-，可得1a =-. ······· （1分）因此，抛物线的表达式是223y x x =--+. ··············· （1分） （2）点B 的坐标是()0,3. ························ （1分）联结BC .∵218AB =，22BC =，220AC =，得222AB BC AC +=. ······· （1分） ∴△ABC 为直角三角形 ，90ABC ∠=. ··············· （1分） 所以1tan 3BC CAB AB ∠==.······················ （1分） 即CAB ∠的正切值等于13.（3）点P 的坐标是()1,0或532,39⎛⎫- ⎪⎝⎭. ················ （2分+2分）青浦区24．解：（1）∵抛物线()20=++>y ax bx c a 的对称轴为直线1x =， ∴12=-=bx a，得2=-b a ．…………………………………………………………（1分） 把点A （-1，0）代入2=++y ax bx c ，得=0-+a b c ，∴3=-c a ．………………………………………………………………………………（1分） ∴C （0，-3a ）．…………………………………………………………………………（1分） （2）∵点A 、B 关于直线1x =对称，∴点B 的坐标为（3，0）．…………………………（1分） ∴AB =4，OC =3a ．…………………………………………………………………………（1分） ∵12ABCSAB OC =⋅，∴14362⨯⨯=a ， ∴a =1，∴b =-2，c =-3，…………………………………………………………………（1分） ∴223=--y x x ．………………………………………………………………………（1分） （3）设点Q 的坐标为（m ，0）．过点G 作GH ⊥x 轴，垂足为点H ． ∵点G 与点C ，点F 与点A 关于点Q 成中心对称， ∴QC =QG ，QA =QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3，∴QF = m +1，QO =QH = m ，OC =GH =3，∴OF = 2m +1，HF = 1． Ⅰ.当∠CGF ＝90°时，可得∠FGH ＝∠GQH ＝∠OQC ， ∴tan tan FGH OQC ∠=∠，∴HF OCGH OQ =，∴133=m， ∴=9m∴Q 的坐标为（9，0）．……………………………………………………………………（2分） Ⅱ.当∠CFG ＝90°时，可得，tan tan FGH OFC ∠=∠，∴HF OCGH OF =，∴13321=+m ，∴=4m ，Q 的坐标为（4，0）．……………………………………………………………（1分） Ⅲ.当∠GCF ＝90°时，∵∠GCF<∠FCO<90°，∴此种情况不存在．……………………………………………（1分） 综上所述，点Q 的坐标为（4，0）或（9，0）．松江区19.解：（1）∵抛物线c bx x y ++=2经过点A （3,0），B （0,3） ∴3=c ……………………………………………………………（1分）0332=++c b ． ………………………………………………（1分） 解得4-=b …………………………………………………（2分）∴所求抛物线的表达式为342+-=x x y ．…………………（1分）（2）．∵由抛物线342+-=x x y 解析式可得点M 的坐标为（2,-1）， ……………………………………………（2分） 过点M 作MH ⊥y 轴，垂足为H则MH =2,BH =4 ………………………………………………………（2分）∴21tan ==BH MH OBM …………………………………………………（1分）24.解：（1）∵抛物线y =x 2+bx +c 的对称轴为直线x =1，抛物线 与x 轴交于A 、B 两点，且AB =4．∴A 的坐标为(-1,0),B 的坐标为(3,0), ………………1分∴⎪⎩⎪⎨⎧=++=+--0330)1(22c b c b解得：2-=b ，3-=c ……………………………2分所以抛物线的表达式是：322--=x x y ．…………1分（2）令抛物线对称轴交x 轴于点Q 过点P 作PH ⊥x 轴于点H ,∴PH ∥EQ ………………………………………………1分∵点P 的横坐标为t . 由（1）得p (t ,t 2-2t -3) ∴21==QH AQ EP AE(第24题图)∴2112=-t ……………………………………………1分 ∴t =5……………………………………………………1分 ∴p (5,12) 由AHPHAQ EQ = ∴EQ =4∴E 的坐标为(1,4) ………………………………1分 (3) 由（1）得322--=x x y ∴4)1(2--=x y∴M (1,-4) ， C （0，-3）…………………………1分∴∠CME =45°∵四边形CDEM 是等腰梯形 ∴∠AEM =45°∴∠PAB =45°………………………………………1分 ∴AH PH =∴ t 2-2t -3=t +1………………………………………1分 t =4(t =-1舍去)………………………………………1分徐汇区20．解：（1）设抛物线的解析式为2(0)y axbx c a =++≠，将点(0,6)A -、(4,6)B -、(6,0)C 代入得：661640366ca b c a b c -=⎧⎪-=++⎨⎪=++⎩； ……………………………………………………（2分） 解得1226a b c ⎧=⎪⎪=-⎨⎪=-⎪⎩； ……………………………………………………（2分）∴抛物线的解析式为21262y x x =--…………………………………（1分） （2）由点(0,6)A -、(4,6)B -、(6,0)C 可知：6,45OA OCAC OAC OCA ===∠=∠=o ,4,45.AB BAC ACO =∠=∠=o………………………………………（2分）过点B 作BD AC ⊥轴,垂足为B ． ………………………………………（1分）∴AD BD DC ===． ……………………………………（1分）在RT △CDB中，1tan .2DB ACB CD ∠=== ……………………（1分） 24．设直线BC 的解析式为3y kx =+，点B(3，0)代入，得3y x =-+．………………（1分） ∴点C(0，3)，点B(3，0)、 点C(0，3)代入2y x bx c =++，得243y x x =-+…………（2分） (1) 2243(2)1y x x x =-+=--，∴点D （2，-1），………………………………（1分） 设抛物线对称轴与x 轴交于点E ， ∵DE =EB =1，且DE ⊥EB ，∴ ∠EBD =45°，OB =OC =3，∴∠CBO =45°，∴∠CBD =90°， ………………………………（2分）∴132DBC S BD BC ∆=⋅==． ……………………………………（1分） (2) 由（1）A(1，0)，1tan 3OCA ∠=,由（2）1tan 3BCD ∠==, ∴OCA BCD ∠=∠，∴FCD BCA ∠=∠．……………………………………（2分）∵ ∠CDF =∠CBA =45°，∴CAB CDF ∆:V ……………………………………（1分）∴CF CA CD CB ==，133CF = ……………………………………（1分） ∴1(0,)3F -．……………………………………………………………………（1分）杨浦区解：由题意得：C （0，1），D （6，1.5），抛物线的对称轴为直线x =4.----（3分）设抛物线的表达式为()210y ax bx a =++≠-------------------------------------（1分）则据题意得：421.53661b a a b ⎧-=⎪⎨⎪=++⎩. ----------------------------------------------（2分） 解得：12413a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. -------------------------------------------------------------------（2分） ∴羽毛球飞行的路线所在的抛物线的表达式为2111243y x x =-++. ------（1分） ∵()2154243y x =--+，∴飞行的最高高度为53米. ------------------------（1分）24．（本题满分12分，第（1）小题3分，第（2）小题5分，第（3）小题4分）解：（1）∵22221()1y x mx m m x m m =-+--+=---+.------------------------（1分） ∴顶点D （m , 1-m ）.------------------------------------------------------------------（2分）（2）∵抛物线2221y x mx m m =-+--+过点（1，-2），∴22121m m m -=-+--+.即220m m --=. ---------------------------（1分） ∴2m =或1m =-（舍去）. ------------------------------------------------------（2分）∴抛物线的顶点是（2，-1）.∵抛物线22y x x =-+的顶点是（1，1），∴向左平移了1个单位，向上平移了2个单位. -------------------------（2分） （3）∵顶点D 在第二象限，∴0m <.情况1，点A 在y 轴的正半轴上，如图（1）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AODG HO=. ∴2211(1)m m m m m m m ---+=----+-.x整理得：20m m +=. ∴1m =-或0m =（舍）. --------------（2分）情况2，点A 在y 轴的负半轴上，如图（2）.作AG ⊥DH 于点G ， ∵A （0,21m m --+），D （m ,-m +1），∴H （,0m ），G （2,1m m m --+）∵∠ADH =∠AHO ，∴tan ∠ADH = tan ∠AHO ，∴AG AO DG HO =. ∴2211(1)m m m m m m m -+-=----+-. 整理得：220m m +-=. ∴2m =-或1m =（舍）. ---------（2分） ∴1m =-或2m =-.x。