2017-2018学年高中数学人教B版选修4-1：第一章 1.3 1.3.1 圆 幂 定 理

1．3.1圆幂定理[对应学生用书P25][读教材·填要点]1．相交弦定理圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．2．切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．3．圆幂定理已知⊙(O，r)，通过一定点P，作⊙O的任一条割线交圆于A，B两点，则P A·PB为定值，设定值为k，则：(1)当点P在圆外时，k＝PO2－r2，(2)当点P在圆内时，k＝r2－OP2，(3)当点P在⊙O上时，k＝0.[小问题·大思维]1．从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积有什么关系？提示：相等．2．从圆外一点引圆的切线，则这一点、两个切点及圆心四点是否共圆？若共圆，圆的直径是什么？提示：四点共圆．且圆心为圆外一点与原圆心连线的中点，直径为圆外一点到原圆心的距离．[对应学生用书P26][例1] 如图，AB 、CD 是半径为a 的圆O 的两条弦，它们相交于AB 的中点P ，PD ＝23a ，∠OAP ＝30°，求CP 的长．[思路点拨] 本题考查相交弦定理及垂径定理、勾股定理的综合应用．解决本题需要先在Rt △OAP 中，求得AP 的长，然后利用相交弦定理求解．[精解详析] ∵P 为AB 的中点， ∴由垂径定理得OP ⊥AB .在Rt △OAP 中，BP ＝AP ＝a cos30°＝32a . 由相交弦定理，得BP ·AP ＝CP ·DP ， 即⎝⎛⎭⎫32a 2＝CP ·23a ，解之得CP ＝98a .在实际应用中，若圆中有两条相交弦，要想到利用相交弦定理．特别地，如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．1．如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于点D .过点C 作BD 的平行线与圆相交于点E ，与AB 相交于点F ，AF ＝3，FB ＝1，EF ＝32，则线段CD 的长为________．解析：因为AF ＝3，EF ＝32，FB ＝1，所以CF ＝AF ·FB EF ＝3×132＝2，因为EC ∥BD ，所以△ACF ∽△ADB ， 所以AF AB ＝CF BD ＝AC AD ＝AD －CD AD ＝34，所以BD ＝CF ·AB AF ＝2×43＝83，且AD ＝4CD ，又因为BD 是圆的切线，所以BD 2＝CD ·AD ＝4CD 2， 所以CD ＝43.答案：43[例2] 自圆O 外一点P 引圆的一条切线P A ，切点为A ，M 为P A 的中点，过点M 引圆的割线交圆于B ，C 两点，且∠BMP ＝100°，∠BPC ＝40°.求∠MPB 的大小．[思路点拨] 本题考查切割线定理，由定理得出△BMP ∽△PMC 而后转化角相等进行求解．[精解详析] 因为MA 为圆O 的切线， 所以MA 2＝MB ·MC . 又M 为P A 的中点， 所以MP 2＝MB ·MC . 因为∠BMP ＝∠PMC ， 所以△BMP ∽△PMC ， 于是∠MPB ＝∠MCP .在△MCP 中，由∠MPB ＋∠MCP ＋∠BPC ＋∠BMP ＝180°，得∠MPB ＝20°.相交弦定理、切割线定理涉及与圆有关的比例线段问题，利用相交弦定理能做到知三求一，利用切割线定理能做到知二求一．2.(北京高考)如图，AB 为圆O 的直径，P A 为圆O 的切线，PB 与圆O相交于D .若P A ＝3，PD ∶DB ＝9∶16，则PD ＝________；AB ＝________.解析：设PD ＝9t ，DB ＝16t ，则PB ＝25t ，根据切割线定理得32＝9t ×25t ，解得t ＝15，所以PD ＝95，PB ＝5.在直角三角形APB 中，根据勾股定理得AB ＝4.答案：95 4[例3] 如图所示，已知P A 与⊙O 相切，A 为切点，PBC 为割线，弦CD ∥AP ，AD 、BC 相交于E 点，F 为CE 上一点，且DE 2＝EF ·EC .(1)求证：∠P ＝∠EDF ； (2)求证：CE ·EB ＝EF ·EP ；(3)若CE ∶BE ＝3∶2，DE ＝6，EF ＝4，求P A 的长．[思路点拨] 本题考查切割线定理、相交弦定理．以及相似三角形的判定与性质的综合应用．解答本题需要分清各个定理的适用条件，并会合理利用．[精解详析] (1)证明：∵DE 2＝EF ·EC ， ∴DE ∶CE ＝EF ∶ED .∵∠DEF 是公共角，∴△DEF ∽△CED . ∴∠EDF ＝∠C .∵CD ∥AP ，∴∠C ＝∠P . ∴∠P ＝∠EDF .(2)证明：∵∠P ＝∠EDF ，∠DEF ＝∠PEA ， ∴△DEF ∽△PEA . ∴DE ∶PE ＝EF ∶EA . 即EF ·EP ＝DE ·EA . ∵弦AD 、BC 相交于点E ，∴DE ·EA ＝CE ·EB . ∴CE ·EB ＝EF ·EP .(3)∵DE 2＝EF ·EC ，DE ＝6，EF ＝4， ∴EC ＝9.∵CE ∶BE ＝3∶2，∴BE ＝6. ∵CE ·EB ＝EF ·EP ， ∴9×6＝4×EP . 解得：EP ＝272.∴PB ＝PE －BE ＝152，PC ＝PE ＋EC ＝452.由切割线定理得：P A 2＝PB ·PC ， ∴P A 2＝152×452.∴P A ＝1523.相交弦定理、切割线定理是最重要的定理，在与圆有关的问题中经常用到，这是因为这三个定理可得到的线段的比例或线段的长，而圆周角定理、弦切角定理得到的是角的关系，这两者的结合，往往能综合讨论与圆有关的相似三角形问题．因此，在实际应用中，见到圆的两条相交弦要想到相交弦定理；见到切线和割线要想到切割线定理．3．如图所示，过点P 的直线与⊙O 相交于A ，B 两点．若P A ＝1，AB ＝2，PO ＝3，则⊙O 的半径等于________．解析：设⊙O 的半径为r (r >0)， ∵P A ＝1，AB ＝2， ∴PB ＝P A ＋AB ＝3.延长PO 交⊙O 于点C ， 则PC ＝PO ＋r ＝3＋r .设PO 交⊙O 于点D ，则PD ＝3－r . 由圆的割线定理知，P A ·PB ＝PD ·PC ， ∴1×3＝(3－r )(3＋r )，∴9－r 2＝3，∴r ＝ 6. 答案：6[对应学生用书P27]一、选择题1.如右图，⊙O 的直径CD 与弦AB 交于P 点，若AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3，则⊙O 半径为( )A ．5.5B ．5C ．6D ．6.5解析：由相交弦定理知AP ·PB ＝CP ·PD ， ∵AP ＝4，BP ＝6，CP ＝3， ∴PD ＝AP ·BP CP ＝4×63＝8.∴CD ＝3＋8＝11，∴⊙O 的半径为5.5. 答案：A2．如图，P 是圆O 外一点，过P 引圆O 的两条割线PB ，PD ，P A ＝AB ＝ 5，CD ＝3，则PC 等于( )A ．2或－5B ．2C ．3D ．10解析：设PC ＝x ，由割线定理知P A ·PB ＝PC ·PD .即5×2 5＝x (x ＋3)，解得x ＝2或x ＝－5(舍去)．故选B.答案：B3.如图，AD 、AE 和BC 分别切⊙O 于D ，E ，F ，如果AD ＝20，则△ABC 的周长为( )A ．20B ．30C ．40D ．35解析：∵AD ，AE ，BC 分别为圆O 的切线．∴AE ＝AD ＝20，BF ＝BD ，CF ＝CE .∴△ABC 的周长为AB ＋AC ＋BC ＝AB ＋AC ＋BF ＋CF ＝(AB ＋BD )＋(AC ＋CE )＝AD ＋AE ＝40.答案：C4．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，⊙O 的直径CE 在BC 上，且与AB 相切于D 点，若CO ∶OB ＝1∶3，AD ＝2，则BE 等于( )A. 3 B ．2 2 C ．2D ．1解析：连接OD ，则OD ⊥BD ， ∴Rt △BOD ∽Rt △BAC .∴OD AC ＝BDBC. 设⊙O 的半径为a ，∵OC ∶OB ＝1∶3，OE ＝OC ， ∴BE ＝EC ＝2a .由题知AD 、AC 均为⊙O 的切线，AD ＝2，∴AC ＝2. ∴a 2＝BD4a，∴BD ＝2a 2. 又BD 2＝BE ·BC ，∴BD 2＝2a ·4a ＝8a 2. ∴4a 4＝8a 2，∴a ＝ 2. ∴BE ＝2a ＝2 2. 答案：B 二、填空题5．(重庆高考)过圆外一点P 作圆的切线P A (A 为切点)，再作割线PBC 分别交圆于B ，C .若P A ＝6，AC ＝8，BC ＝9，则AB ＝________.解析：如图所示，由切割线定理得P A 2＝PB ·PC ＝PB ·(PB ＋BC )，即62＝PB ·(PB ＋9)，解得PB ＝3(负值舍去)．由弦切角定理知∠P AB ＝∠PCA ，又∠APB ＝∠CP A ，故△APB ∽△CP A ，则AB CA ＝AP CP ，即AB 8＝63＋9，解得AB ＝4.答案：46．如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为____________．解析：设BE ＝x ，则FB ＝2x ，AF ＝4x ，由相交弦定理得DF ·FC ＝AF ·FB ，即2＝8x 2，解得x ＝12，EA ＝72，再由切割线定理得CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74，所以CE ＝72.答案：727.如图，⊙O 的弦ED 、CB 的延长线交于点A .若BD ⊥AE ，AB＝4，BC ＝2，AD ＝3，则DE ＝________；CE ＝________.解析：由切割线定理知， AB ·AC ＝AD ·AE .即4×6＝3×(3＋DE )，解得DE ＝5.∵BD ⊥AE ，且E 、D 、B 、C 四点共圆，∴∠C ＝90°. 在直角三角形ACE 中，AC ＝6，AE ＝8， ∴CE ＝64－36＝27. 答案：5 278．(重庆高考)如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝60°，AB ＝20，过C 作△ABC 的外接圆的切线CD ，BD ⊥CD ，BD 与外接圆交于点E ，则DE 的长为________．解析：由题意得BC ＝AB ·sin 60°＝10 3. 由弦切角定理知∠BCD ＝∠A ＝60°， 所以CD ＝53，BD ＝15，由切割线定理知，CD 2＝DE ·BD ，则DE ＝5. 答案：5 三、解答题9．如图，PT 切⊙O 于T ，P AB ，PDC 是圆O 的两条割线，P A ＝3，PD ＝4，PT ＝6，AD ＝2，求弦CD 的长和弦BC 的长．解：由已知可得PT 2＝P A ·PB ， 且PT ＝6，P A ＝3，∴PB ＝12. 同理可得PC ＝9，∴CD ＝5. ∵PD ·PC ＝P A ·PB ，∴PD PB ＝P A PC ，∴△PDA ∽△PBC ， ∴AD BC ＝PD PB ⇒412＝2BC，∴BC ＝6. 10．如图，⊙O 的半径OB 垂直于直径AC ，M 为AO 上一点，BM 的延长线交⊙O 于N ，过N 点的切线交CA 的延长线于P .(1)求证：PM 2＝P A ·PC ；(2)若⊙O 的半径为2 3，OA ＝ 3OM ，求MN 的长．解：(1)证明：连接ON ，则ON ⊥PN ，且△OBN 为等腰三角形，则∠OBN ＝∠ONB ，∵∠PMN ＝∠OMB ＝90°－∠OBN ， ∠PNM ＝90°－∠ONB ， ∴∠PMN ＝∠PNM ， ∴PM ＝PN .由条件，根据切割线定理，有PN 2＝P A ·PC ， 所以PM 2＝P A ·PC .(2)依题意得OM ＝2，在Rt △BOM 中， BM ＝OB 2＋OM 2＝4.延长BO 交⊙O 于点D ，连接DN . 由条件易知△BOM ∽△BND ， 于是BO BN ＝BM BD ，即2 3BN ＝44 3，得BN ＝6. 所以MN ＝BN －BM ＝6－4＝2.11．如下图，已知⊙O 1和⊙O 2相交于A 、B 两点，过点A 作⊙O 1的切线，交⊙O 2于点C ，过点B 作两圆的割线分别交⊙O 1，⊙O 2于点D 、E ，DE 与AC 相交于点P .(1)求证：P A ·PE ＝PC ·PD ；(2)当AD 与⊙O 2相切，且P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12时，求AD 的长． 解：(1)证明：连接AB ，CE ， ∵CA 切⊙O 1于点A ， ∴∠1＝∠D .又∵∠1＝∠E ，∴∠D ＝∠E .又∵∠2＝∠3， ∴△APD ∽△CPE . ∴P A PC ＝PDPE. 即P A ·PE ＝PC ·PD .(2)∵P A ＝6，PC ＝2，PD ＝12. ∴6×PE ＝2×12，∴PE ＝4. 由相交弦定理，得PE ·PB ＝P A ·PC . ∴4PB ＝6×2，∴PB ＝3. ∴BD ＝PD －PB ＝12－3＝9， DE ＝PD ＋PE ＝16. ∵DA 切⊙O 2于点A ，∴DA 2＝DB ·DE ，即AD 2＝9×16，∴AD ＝12.。