2019年高考数学复习(文科)训练题：天天练 18 含解析
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 8 含解析
天天练8 函数与方程、函数的实际应用题一、选择题1．(2018·山东枣庄期末)函数f (x )＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0 B ．1C ．2D ．3答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B.2．(2018·河北邯郸磁县一中月考)函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,3)D ．(3,4)答案：B解析：∵f (x )的定义域为[0，＋∞)，∴f (x )＝－|x |－x ＋3＝－x －x ＋3，则函数f (x )在[0，＋∞)上单调递减．∵f (1)＝1>0，f (2)＝1－2<0，∴函数f (x )＝－|x |－x ＋3的零点所在区间为(1,2)．故选B.3．(2018·山西三区八校二模)如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若P 处有一棵树与两墙的距离分别是4 m 和a m(0<a <12)，不考虑树的粗细．现用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃ABCD ，设此矩形花圃的最大面积为u (单位：m 2)．若将这棵树围在矩形花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( )答案：B解析：设AD 的长为x m ，则CD 的长为(16－x ) m ．∵要将点P 围在矩形ABCD 内，∴a ≤x ≤12，则矩形ABCD 的面积为x (16－x ) m 2.当0<a ≤8时，当且仅当x ＝8时，u ＝64；当8<a <12时，u ＝a (16－a )，u ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 64，0<a ≤8，a (16－a )，8<a <12.分段画出函数图象可得其形状与B 接近．故选B.4．(2018·重庆第一中学月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x <2，2x －2，x ≥2，且存在不同的实数x 1，x 2，x 3，使得f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)，则x 1·x 2·x 3的取值范围是( )A ．(0,3)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．(1,3)答案：A解析：画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ＋1，x <2，2x －2，x ≥2，的图象，如图所示．作出直线y ＝t ，当1<t <2时，直线y ＝t 与f (x )的图象有三个交点，横坐标由小到大，设为x 1，x 2，x 3.令－x 2＋2x ＋1＝t ，即x 2－2x －1＋t ＝0，则有x 1·x 2＝t －1.令2x －2＝t ，得到x 3＝2＋log 2t .即有x 1·x 2·x 3＝(t －1)·(2＋log 2t )．令f (t )＝(t －1)(2＋log 2t )，t ∈(1,2)，t －1>0，t 越大，f (x )越大，则有0<x 1·x 2·x 3<3.故选A.5．若函数y ＝f (x )的图象上存在不同的两点M 、N 关于原点对称，则称点对(M ，N )是函数y ＝f (x )的一对“和谐点对”(点对(M ，N )与(N ，M )看作同一对“和谐点对”)．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e x ，x <0，x 2－4x ，x >0，则此函数的“和谐点对”有( )A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对答案：B解析：作出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x ，x <0，x 2－4x ，x >0的图象如图表所示，f (x )的“和谐点对”数可转化为y ＝e x (x <0)和y ＝－x 2－4x (x <0)的图象的交点个数．由图象知，函数f (x )有2对“和谐点对”．6．(2018·湖北八校联考(一))有一组试验数据如图所示：x 2.01 3 4.01 5.1 6.12y 3 8.01 15 23.8 36.04则最能体现这组数据关系的函数模型是( )A ．y ＝2x ＋1－1B ．y ＝x 2－1C ．y ＝2log 2xD ．y ＝x 3答案：B解析：由表格数据可知，函数的解析式应该是指数函数类型、二次函数类型、幂函数类型，选项C 不正确．取x ＝2.01，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1>4，代入B 选项，得y ＝x 2－1≈3，代入D 选项，得y ＝x 3>8；取x ＝3，代入A 选项，得y ＝2x ＋1－1＝15，代入B 选项，得y ＝x 2－1＝8，代入D 选项，得y ＝x 3＝27，故选B.7．(2017·新课标全国卷Ⅲ，11)已知函数f (x )＝x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)有唯一零点，则a ＝( )A ．－12 B.13C.12 D ．1答案：C解析：由函数f (x )有零点得x 2－2x ＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，即(x －1)2－1＋a (e x －1＋e －x ＋1)＝0有解，令t ＝x －1，则上式可化为t 2－1＋a (e t ＋e －t )＝0，即a ＝1－t 2e t ＋e－t . 令h (t )＝1－t 2e t ＋e－t ，易得h (t )为偶函数， 又由f (x )有唯一零点得函数h (t )的图象与直线y ＝a 有唯一交点，则此交点的横坐标为0，所以a ＝1－02＝12，故选C.8．(2018·西安一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≤1，1＋log 2x ，x >1，则函数f (x )的零点为( )A.12，0 B ．－2,0C.12 D ．0答案：D解析：当x ≤1时，令f (x )＝2x －1＝0，得x ＝0；当x >1时，令f (x )＝1＋log 2x ＝0，得x ＝12，又x >1，所以此时方程无解．综上，函数f (x )的零点为0，故选D.二、填空题9．(2018·银川一模)已知f (x )＝x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)的一个零点比1大，一个零点比1小，则实数a 的取值范围是________．答案：(－2,1)解析：通解 设方程x 2＋(a 2－1)x ＋(a －2)＝0的两根分别为x 1，x 2(x 1<x 2)，则(x 1－1)(x 2－1)<0，∴x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1<0，由根与系数的关系，得(a －2)＋(a 2－1)＋1<0，即a 2＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围为(－2,1)．优解 函数f (x )的大致图象如图所示，则f (1)<0，即1＋(a 2－1)＋a －2<0，∴－2<a <1.故实数a 的取值范围是(－2,1)．10．某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图1)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)(注：利润与投资额的单位均为万元)．若该团队已经筹到10万元资金，并打算全部投入到A ，B 两种产品的生产中，则生产A ，B 两种产品可获得的最大利润为________万元．答案：6516解析：由题意可得，生产A 产品的利润f (x )＝k 1x ，生产B 产品的利润g (x )＝k 2x .又f (1)＝0.25＝k 1，g (4)＝2k 2＝2.5，k 2＝54，所以f (x )＝14x (x ≥0)，g (x )＝5x 4(x ≥0)．设生产A ，B 两种产品可获得的利润为y ，B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元，则y ＝f (10－x )＋g (x )＝14(10－x )＋5x 4(0≤x ≤10)，令t ＝x (0≤t ≤10)，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)，所以当t ＝52，即x ＝254时，生产A ，B 两种产品可获得最大利润，且最大利润y ＝6516万元．11．函数f (x )＝2x ＋x －7的零点所在的区间是(n ，n ＋1)，则整数n 的值为________．答案：2解析：因为函数f (x )的图象是连续不断的一条曲线，又f (0)＝20＋0－7＝－6<0，f (1)＝21＋1－7＝－4<0，f (2)＝22＋2－7＝－1<0，f (3)＝23＋3－7＝4>0所以f (2)·f (3)<0，故函数f (x )的零点所在的一个区间是(2,3)，所以整数n 的值为2.三、解答题12．(2018·山西孝义二轮模考，18,12分)为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租，该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x (元)只取整数，并且要求租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后得到的部分)．(1)求函数y ＝f (x )的解析式及其定义域；(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？解题导引解析：(1)当x ≤6时，y ＝50x －115，令50x －115>0，解得x ≥2.3，∵x 为整数，∴3≤x ≤6.。
配套K122018-2019学年数学高考一轮复习(文科)训练题：天天练 25 Word版含解析
天天练25 基本不等式及简单的线性规划一、选择题 1．(2018·山东临汾一中月考)不等式y (x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域(用阴影部分表示)是( )答案：C解析：由y ·(x ＋y －2)≥0，得⎩⎨⎧y ≥0，x ＋y －2≥0或⎩⎨⎧y ≤0，x ＋y －2≤0，所以不等式y ·(x ＋y －2)≥0在平面直角坐标系中表示的区域是C 项，故选C.2．(2018·河北卓越联盟联考)已知点(－3，－1)和(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则实数a 的取值范围为( )A ．(－7,24)B ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)C ．(－24,7)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 答案：A解析：由题意可知(－9＋2－a )(12＋12－a )<0，所以(a ＋7)(a －24)<0，所以－7<a <24.故选A.3．(2018·阜阳一模)下列正确的是( )A ．若a ，b ∈R ，则b a ＋ab ≥2B ．若x <0，则x ＋4x ≥－2x ×4x ＝－4C ．若ab ≠0，则b 2a ＋a 2b ≥a ＋b D ．若x <0，则2x ＋2－x >2 答案：D解析：对于A ，当ab <0时不成立；对于B ，若x <0，则x ＋4x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－x ＋4－x ≤－2(－x )·4－x ＝－4，当且仅当x ＝－2时，等号成立，因此B 选项不成立；对于C ，取a ＝－1，b ＝－2，b 2a ＋a 2b ＝－92<a ＋b ＝－3，所以C 选项不成立；对于D ，若x <0，则2x ＋2－x >2成立．故选D.4．(2018·河北张家口上学期模拟)已知向量a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，其中x >0，y >0.若a ⊥b ，则xy 的最大值为( )A.14B.12 C ．1 D ．2 答案：B解析：因为a ＝(1，x －1)，b ＝(y,2)，a ⊥b ，所以a ·b ＝y ＋2(x －1)＝0，即2x ＋y ＝2.又因为x >0，y >0，所以2x ＋y ≥22xy ，当且仅当x ＝12，y ＝1时等号成立，即22xy ≤2，所以xy ≤12，所以当且仅当x ＝12，y ＝1时，xy 取到最大值，最大值为12.故选B.5．(2018·河南八市重点高中联考)函数y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1(x >－1)的最小值为( )A ．2B ．7C ．9D ．10 答案：C解析：因为x >－1，所以x ＋1>0，所以y ＝x 2＋7x ＋10x ＋1＝(x ＋1)2＋5(x ＋1)＋4x ＋1＝(x ＋1)＋4x ＋1＋5≥2(x ＋1)·4x ＋1＋5＝9，当且仅当(x ＋1)2＝4，即x ＝1时等号成立，所以要求函数的最小值在x＝1处取到，最小值为9.故选C.6．(2018·河南郑州一中模拟)已知正数a ，b 满足4a ＋b ＝3，则e 1a ·e 1b的最小值为( )A ．3B ．e 3C ．4D ．e 4 答案：B解析：因为正数a ，b 满足4a ＋b ＝3，所以1a ＋1b ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b (4a ＋b )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫4＋1＋b a ＋4a b ≥13⎝⎛⎭⎪⎫5＋2b a ·4a b ＝3(当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝4a b ，4a ＋b ＝3，即2a ＝b ＝1时取等号)，所以e 1a ·e 1b ＝e 11a b+≥e 3，即当2a ＝b ＝1时，e 1a·e1b的最小值为e 3.故选B.7．已知x ，y 满足⎩⎨⎧y ≥12x ，x ＋y ≤3，x ≥a ，z ＝3x ＋y 的最大值比最小值大14，则a 的值是( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2 答案：A解析：如图，不等式组所表示的可行域为△ABC 及其内部，作出目标函数z ＝3x ＋y 对应的直线l .因为z 的几何意义为直线l 在y 轴上的截距．显然，当直线l 过点B 时，z 取得最大值；当直线l 过点A 时，z 取得最小值．由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＋y ＝3，解得B (2,1)；由⎩⎨⎧x －2y ＝0，x ＝a ，解得A ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，a 2.所以目标函数的最大值为z max ＝3×2＋1＝7，最小值为z min ＝3×a＋a 2＝72a .由题意可得7－72a ＝14，解得a ＝－2.故选A.8．(2018·山西运城上学期期中)某工厂生产甲、乙两种产品，生产甲产品1件需消耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1件需消耗A 原料2千克，B 原料1千克；每件甲产品的利润是300元，每件乙产品的利润是400元，公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克，通过合理安排计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元 答案：C解析：设生产甲产品x 件，乙产品y 件，依题意有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12，x ，y ∈N ，目标函数z ＝300x ＋400y ，作出⎩⎨⎧x ＋2y ≤12，2x ＋y ≤12的可行域，其中A (0,6)，B (4,4)，C (6,0)，如图所示．由图可知，目标函数在点B (4,4)取得最大值，最大值为2 800.所以公司共可获得的最大利润是2 800元．故选C.二、填空题9．设a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是________． 答案：[－25，25]解析：∵a 2＋b 2＝10，a 2＋b 2≥2ab ，∴2(a 2＋b 2)≥2ab ＋a 2＋b 2＝(a ＋b )2，当且仅当a ＝b 时取等号，即(a ＋b )2≤2(a 2＋b 2)＝20，∴－25≤a ＋b ≤25，所以a ＋b 的取值范围是[－25，25]．10．(2018·广东清远模拟)若x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值是________．答案：16解析：因为x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，所以x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y ＝10＋9x y ＋y x ≥10＋29x y ·y x ＝16，当且仅当9x 2＝y 2，即y ＝3x ＝12时等号成立．故x ＋y 的最小值是16.11．(2018·河北保定联考)若点(x ，y )所在的平面区域满足不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4y －8≤0，x ≥0，y >0，在区域内任取一点P ，则点P 落在圆x 2＋y 2＝2内的概率为________________________________________________________________________．答案：π16解析：不等式组对应的平面区域为△OAB (不包括线段OA )，其中A (8,0)，B (0,2)，如图所示，对应的面积为S ＝12×2×8＝8.x 2＋y 2＝2表示的区域为半径为2的圆O .圆O 在△OAB 内的部分对应的面积为14×π×(2)2＝π2，所以根据几何概型的概率公式，得到所求概率P ＝π28＝π16.三、解答题 12．(2018·河北唐山一模)已知x ，y ∈(0，＋∞)，x 2＋y 2＝x ＋y .(1)求1x ＋1y 的最小值．(2)是否存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5？并说明理由．解析：(1)因为1x ＋1y ＝x ＋y xy ＝x 2＋y 2xy ≥2xyxy ＝2，当且仅当x ＝y ＝1时，等号成立，所以1x ＋1y 的最小值为2.(2)不存在．理由如下：因为x 2＋y 2≥2xy ，所以(x ＋y )2≤2(x 2＋y 2)＝2(x ＋y )．又x ，y ∈(0，＋∞)，所以x ＋y ≤2.从而有(x ＋1)(y ＋1)≤⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(x ＋1)＋(y ＋1)22≤4，因此不存在x ，y 满足(x ＋1)(y ＋1)＝5.。
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练 38 Word版含解析
天天练推理与证明一、选择题．要证明＋<可选择的方法有以下几种，其中最合理的是( ) ．综合法．分析法．反证法．归纳法答案：解析：综合法由已知条件入手开始证明，分析法从所求的结论入手寻找使其成立的条件，反证法适合证明含有“存在”“唯一”等字眼的题目，归纳法适合证明与正整数有关的题目．结合以上特点，本题的证明适合采用分析法．．(·洛阳一模)下列四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是( )．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无理数，结论——π是无限不循环小数．大前提——无限不循环小数是无理数，小前提——π是无限不循环小数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——无限不循环小数是无理数，结论——π是无理数．大前提——π是无限不循环小数，小前提——π是无理数，结论——无限不循环小数是无理数答案：解析：中小前提不是大前提的特殊情况，不符合三段论的推理形式，故错误；、都不是由一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，所以、都不正确，只有正确，故选.．用数学归纳法证明＋＋＋…＋<(∈*，>)时，第一步应验证不等式( )．＋<．＋＋<．＋＋<．＋＋＋<答案：解析：本题考查数学归纳法．依题意得，当＝时，不等式为＋＋<，故选.．(·新课标全国卷Ⅱ，)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩．老师说：你们四人中有位优秀，位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩．看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩．根据以上信息，则( )．乙可以知道四人的成绩．丁可以知道四人的成绩．乙、丁可以知道对方的成绩．乙、丁可以知道自己的成绩答案：解析：由甲说：“我还是不知道我的成绩”可推知甲看到乙、丙的成绩为“个优秀，个良好”．乙看丙的成绩，结合甲的说法，丙为“优秀”时，乙为“良好”；丙为“良好”时，乙为“优秀”，可得乙可以知道自己的成绩．丁看甲的成绩，结合甲的说法，甲为“优秀”时，丁为“良好”；甲为“良好”时，丁为“优秀”，可得丁可以知道自己的成绩．故选.．(·山东菏泽模拟)设，，都是正数，则＋，＋，＋三个数( )．都大于．都小于．至少有一个大于．至少有一个不小于答案：解析：依题意，令＝＝＝，则三个数为，排除，，选项，故选.．用三段论推理：“任何实数的绝对值大于，因为是实数，所以的绝对值大于”，你认为这个推理( )．大前提错误．小前提错误．推理形式错误．是正确的答案：解析：大前提是任何实数的绝对值大于，显然是不正确的．故选.．(·合肥一模)用反证法证明某命题时，对结论：“自然数，，中恰有一个是偶数”的正确假设为( )．自然数，，中至少有两个偶数．自然数，，中至少有两个偶数或都是奇数．自然数，，都是奇数．自然数，，都是偶数答案：解析：“自然数，，中恰有一个是偶数”说明有且只有一个是偶数，其否定是“自然数，，均为奇数或自然数，，中至少有两个偶数”．．(·大同质检)分析法又称执果索因法，若用分析法证明“设>>，且＋＋＝，求证：<”，则索的因应是( )．－> ．－>．(－)(－)> ．(－)(－)<答案：解析：要证<，需证－<，因为＋＋＝，所以即证(＋)－<，即证＋＋－－<，即证－＋＋<，即证－－>，即证(＋)(－)>，即证(－)(－)>.故选.二、填空题．(·河北唐山一中调研)用数学归纳法证明：(＋)(＋)…(＋)＝×××…×(－)(∈*)时，从“＝到＝＋”时，左边应增加的代数式为．答案：(＋)解析：首先写出当＝时和＝＋时等式左边的式子．当＝时，左边等于(＋)(＋)…(＋)＝(＋)(＋)…()，①当＝＋时，左边等于(＋)(＋)…(＋)(＋)(＋)，②∴从＝到＝＋的证明，左边需增加的代数式是由得到＝(＋)．．(·山东日照一模)有下列各式：＋＋>＋＋…＋>，＋＋＋…＋>，…，则按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：.答案：＋＋＋…＋>(∈*)解析：观察各式左边为的和的形式，项数分别为，…，∴可猜想第个式子中左边应有＋－项，不等式右边分别写成，，，…，∴猜想第个式子中右边应为，按此规律可猜想此类不等式的一般形式为：＋＋＋…＋>(∈*)．．(·长沙二模)在平面几何中有如下结论：正三角形的内切圆面积为，外接圆面积为，则＝.推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体－的内切球体积为，外接球体积为，则＝.答案：解析：由平面图形类比空间图形，由二维类比三维，如图，设正四面体－的棱长为，为等边三角形的中心，为内切球与外接球的球心，则＝，＝.设＝，＝，则＝－，又在△中，＝＋，即＝＋，∴＝，＝，∴正四面体的外接球和内切球的半径之比是，故正四面体－的内切球体积与外接球体积之比等于，即＝.三、解答题．(·安徽合肥测试)给出四个等式：＝；－＝－(＋)；－＋＝＋＋；－＋－＝－(＋＋＋)；……()写出第个等式，并猜测第(∈*)个等式；()用数学归纳法证明你猜测的等式．解析：()第个等式：－＋－＋＝＋＋＋＋；第个等式：－＋－＋－＝－(＋＋＋＋＋)；猜测第(∈*)个等式为－＋－＋…＋(－)－＝(－)－(＋＋＋…＋)．()证明：①当＝时，左边＝＝，右边＝(－)×＝，左边＝右边，等式成立；②假设当＝(∈*)时，等式成立，即－＋－＋…＋(－)－＝(－)－，则当＝＋时，－＋－＋…＋(－)－＋(－)(＋)＝(－)－·＋(－)(＋)＝(－)(＋)＝(－)，∴当＝＋时，等式也成立．根据①②可知，对于任何∈*等式均成立．。
2019高考数学一轮复习(文科)训练题：天天练1Word版含解析
我们由于拥有青春而幸福快乐，不要给自己留下太多的遗憾，不要等到失掉的时候才懂得珍惜。
每日练 1会合的观点与运算一、选择题1．(2017 ·新课标全国卷Ⅱ)设会合 A＝{1,2,3} ，B＝{2,3,4} ，则 A∪B ＝()A ．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}答案： A分析：已知会合A＝{1,2,3} ，B＝{2,3,4} ，则由会合的并集运算得 A∪B＝{1,2,3,4} ．应选 A.2．(2018 ·重庆第八中学二调 )设会合 A＝{ x|x2≤7} ，Z为整数集，则会合 A∩Z中元素的个数是 ()A ．3 B．4C．5 D．6答案： C分析：由题意得 A＝ { x|－ 7≤ x≤ 7} ，则 A∩Z＝{ － 2，－1,0,1,2}，故 A∩Z中元素的个数是 5.应选 C.3．(2018 ·北石家庄第二中学等校联考河)已知会合 A＝{1 ，－1} ，B＝{1,0 ，－1} ，则会合 C＝{ a＋b|a∈A，b∈B} 中元素的个数为 ()A ．2 B．3C．4 D．5答案： D分析：由题意，当 a＝1，b＝1 时，a＋b＝2；当 a＝ 1，b＝0 时，a ＋b＝ 1；当 a＝1，b＝－ 1 时，a＋b＝0；当 a＝－ 1，b＝1 时，a＋b＝0；当 a＝－ 1，b＝0 时，a＋b＝－ 1；当 a＝－ 1，b＝－ 1 时，a＋b ＝－ 2.所以会合 C＝{2,1,0，－ 1，－ 2} ，共有 5 个元素．应选 D.4．已知会合 A＝{ x|1<x<k} ，会合 B＝{ y|y＝2x－5，x∈A} ，若 A∩B ＝{ x|1<x<2} ，则实数 k 的值为 ()A ．5 B．C．2 D．答案： D分析： B＝(－3,2k－5)，由 A∩B＝{ x|1<x<2} ，知 k＝2 或 2k－5 ＝2，由于 k＝2 时，2k－5＝－ 1，A∩B＝?，不合题意，所以 k＝，应选 D.5 ．(2018 ·长沙一模已知全集U ＝R ，会合＝{ x|x 2－ 3x≥0} ，B) A＝{ x|1＜x≤3} ，则如下图的暗影部分表示的会合为()知识给人重量，成就给人光彩，大部分人不过看到了光彩，而不去称量重量。
2018-2019学年数学[高考总复习资料]一轮复习(文科)训练题：天天练 30 Word版含解析
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天天练30 圆的方程及直线与圆、圆与圆的位置关系一、选择题1．(2018·河南天一大联考段考)以(a,1)为圆心，且与两条直线2x －y ＋4＝0与2x －y －6＝0同时相切的圆的标准方程为( )A ．(x －1)2＋(y －1)2＝5B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝5C ．(x －1)2＋y 2＝5D ．x 2＋(y －1)2＝5答案：A解析：由题意，圆心在直线2x －y －1＝0上，将点(a,1)代入可得a ＝1，即圆心为(1,1)，半径为r ＝|2－1＋4|5＝5，∴圆的标准方程为(x －1)2＋(y －1)2＝5，故选A.2．(2018·长春二模)圆(x －2)2＋y 2＝4关于直线y ＝33x 对称的圆的方程是( )A ．(x －3)2＋(y －1)2＝4B ．(x －2)2＋(y －2)2＝4C ．x 2＋(y －2)2＝4D ．(x －1)2＋(y －3)2＝4答案：D解析：设圆(x －2)2＋y 2＝4的圆心关于直线y ＝33x 对称的点的坐标为A (a ，b )，则⎩⎪⎨⎪⎧ b a －2·33＝－1，b 2＝33·a ＋22，∴a ＝1，b ＝3，∴A (1，3)，从而所求圆的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝4.故选D.3．已知直线y ＝kx ＋3与圆x 2＋y 2－6x －4y ＋5＝0相交于M ，N 两点，若|MN |＝23，则k 的值是( )A ．1或 2B ．1或－1C ．－2或12 D.2或12答案：C解析：由已知得圆的标准方程为(x －3)2＋(y －2)2＝8，则该圆的圆心为(3,2)，半径为2 2.设圆心到直线y ＝kx ＋3的距离为d ，则23＝28－d 2，解得d ＝5，即|3k －2＋3|1＋k 2＝5，解得k ＝－2或12.故选C.4．(2018·大连一模)直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦长为( )A ．6B ．3C ．6 2D ．3 2答案：A解析：假设直线4x －3y ＝0与圆(x －1)2＋(y －3)2＝10相交所得的弦为AB .∵圆的半径r ＝10，圆心到直线的距离d ＝5(－3)2＋42＝1，∴弦长|AB |＝2×r 2－d 2＝210－1＝2×3＝6.故选A.5．(2018·安徽黄山屯溪一中第二次月考)若曲线x 2＋y 2－6x ＝0(y >0)与直线y ＝k (x ＋2)有公共点，则k 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－34，0B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－34，34 答案：C解析：∵x 2＋y 2－6x ＝0(y >0)可化为(x －3)2＋y 2＝9(y >0)，∴曲线表示圆心为(3,0)，半径为3的上半圆，它与直线y ＝k (x ＋2)有公共点的充要条件是：圆心(3,0)到直线y ＝k (x ＋2)的距离d ≤3，且k >0，∴|3k －0＋2k |k 2＋1≤3，且k >0，解得0<k ≤34.故选C. 6．已知M (m ，n )为圆C ：x 2＋y 2－4x －14y ＋45＝0上任意一点，且点Q (－2,3)，则n －3m ＋2的最大值为( ) A ．3＋ 2 B ．1＋ 2C ．1＋ 3D ．2＋ 3解析：由题意可知n －3m ＋2表示直线MQ 的斜率，设直线MQ 的方程为y －3＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＋3＝0，则n －3m ＋2＝k ，将圆C 化为标准方程得(x －2)2＋(y －7)2＝8，C (2,7)，r ＝22，由直线MQ 与圆C有交点，得|2k －7＋2k ＋3|1＋k2≤22，得2－3≤k ≤2＋3，所以n －3m ＋2的最大值为2＋3，选D.7．设P ，Q 分别为圆O 1：x 2＋(y －6)2＝2和圆O 2：x 2＋y 2－4x ＝0上的动点，则P ，Q 两点间的距离的最大值是( )A ．210＋2＋ 2 B.10＋2＋ 2C ．210＋1＋ 2 D.10＋1＋ 2答案：A解析：圆O 1的圆心O 1(0,6)，半径r 1＝2，圆O 2化为标准方程为(x －2)2＋y 2＝4，圆心O 2(2,0)，半径r 2＝2.则|O 1O 2|＝22＋62＝4＋36＝210>r 1＋r 2＝2＋2，所以两圆相离，则|PQ |max ＝210＋2＋ 2.选A.8．(2018·福建福州外国语学校适应性考试)已知点A (－2,0)，B (2,0)，若圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r >0)上存在点P (不同于点A ，B )使得P A ⊥PB ，则实数r 的取值范围是( )A ．(1,5)B ．[1,5]C ．(1,3]D ．[3,5]答案：A解析：根据直径所对的圆周角为90°，结合题意可得以AB 为直径的圆和圆(x －3)2＋y 2＝r 2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2＝4，两个圆的圆心距为3，故|r －2|<3<r ＋2，求得1<r <5，故选A.二、填空题9．已知直线l ：y ＝x ，圆C 1：(x －3)2＋y 2＝2.若圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，点A ，B 分别为圆C 1，C 2上任意一点，则|AB |的最小值为________．解析：因为圆C 1的圆心坐标为(3,0)，半径为2，所以C 1到直线l 的距离d ＝|3－0|2＝322，所以圆C 1上的点到直线l 的最短距离为322－2＝22.因为圆C 2与圆C 1关于直线l 对称，所以|AB |min ＝2×22＝ 2.10．(2018·河南豫东、豫北名校段考)已知圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋22相内切，且和x 轴的正半轴，y 轴的正半轴都相切，则圆M 的标准方程是________．答案：(x －1)2＋(y －1)2＝1解析：圆O ：x 2＋y 2＝3＋22的圆心坐标为(0,0)，半径为2＋1，设圆M 的圆心坐标为(a ，a )，半径为a (a >0)，因为圆M 与圆O ：x 2＋y 2＝3＋22相内切，所以2a ＝2＋1－a ，所以a ＝1，所以所求圆M 的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝1.11．(2018·湖南师大附中摸底)已知直线l 经过点P (－4，－3)，且被圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝25截得的弦长为8，则直线l 的方程是________．答案：x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0解析：由已知条件知圆心(－1，－2)，半径r ＝5，弦长m ＝8.设弦心距是d ，则由勾股定理得r 2＝d 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 22，解得d ＝3.若l 的斜率不存在，则直线l 的方程为x ＝－4，圆心到直线的距离是3，符合题意．若l 的斜率存在，设为k ，则直线l 的方程为y ＋3＝k (x ＋4)，即kx －y ＋4k －3＝0，则d ＝|－k ＋2＋4k －3|k 2＋1＝3，即9k 2－6k ＋1＝9k 2＋9，解得k ＝－43，则直线l 的方程为4x ＋3y ＋25＝0.所以直线l 的方程是x ＋4＝0和4x ＋3y ＋25＝0.三、解答题12．(2017·新课标全国卷Ⅲ，20)已知抛物线C ：y 2＝2x ，过点(2,0)的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．(1)证明：坐标原点O 在圆M 上；(2)设圆M 过点P (4，－2)，求直线l 与圆M 的方程．解析：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，l ：x ＝my ＋2.由⎩⎨⎧ x ＝my ＋2，y 2＝2x可得y 2－2my －4＝0，则y 1y 2＝－4.又x 1＝y 212，x 2＝y 222，故x 1x 2＝(y 1y 2)24＝4. 因此OA 的斜率与OB 的斜率之积为y 1x 1·y 2x 2＝－44＝－1， 所以OA ⊥OB .故坐标原点O 在圆M 上．(2)由(1)可得y 1＋y 2＝2m ，x 1＋x 2＝m (y 1＋y 2)＋4＝2m 2＋4，故圆心M 的坐标为(m 2＋2，m )，圆M 的半径r ＝(m 2＋2)2＋m 2.由于圆M 过点P (4，－2)，因此AP →·BP→＝0， 故(x 1－4)(x 2－4)＋(y 1＋2)(y 2＋2)＝0，即x 1x 2－4(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋2(y 1＋y 2)＋20＝0.由(1)可得y 1y 2＝－4，x 1x 2＝4，所以2m 2－m －1＝0，解得m ＝1或m ＝－12. 当m ＝1时，直线l 的方程为x －y －2＝0，圆心M 的坐标为(3,1)，圆M 的半径为10，圆M 的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝10.当m ＝－12时，直线l 的方程为2x ＋y －4＝0，圆心M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫94，－12，圆M 的半径为854， 圆M 的方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －942＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝8516.。
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(2)sin2α＋sin2α.
解：∵sin(3π＋α)＝2sin ，
∴－sinα＝－2cosα，即sinα＝2cosα.
(1)原式＝ ＝ ＝－ .
(2)∵sinα＝2cosα，∴tanα＝2，
∴原式＝ ＝ ＝ ＝ .
2．(2018·泉州质检)若sinθtanθ<0，且sinθ＋cosθ∈(0,1)，那么角θ的终边落在()
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
答案：B
解析：∵sinθtanθ<0，∴角θ的终边落在第二或第三象限，又sinθ＋cosθ∈(0,1)，因而角θ的终边落在第二象限，故选B.
3．若sinθ＋cosθ＝ ，则tanθ＋ ＝()
三角函数的诱导公式可简记为：“奇变偶不变，符号看象限”．这里的“奇、偶”指的是 的倍数的奇偶；“变与不变”指的是三角函数的名称变化；“符号看象限”的含义是：在该题中把整个角 看作锐角时，π－ 所在象限的相应余弦函数值的符号．
二、填空题
9．(2018·长沙一模)化简： ＝________.
答案：cosα
答案：252
解析：根据题意知l＋2r＝20，即l＝20－2r.
∵S＝ lr，∴S＝ ×(20－2r)r＝－(r－5)2＋25.
∴当r＝5时，Smax＝25.又∵l＝20－2r＝αr，
∴10＝α×5，即α＝2.
∴扇形面积的最大值为25，此时扇形圆心角的弧度数为2.
三、解答题
12．(2018·山西孝义二模)已知sin(3π＋α)＝2sin ，求下列各式的值．
解析： ＝ ＝cosα.
10．(2018·江西鹰潭期中)将表的分针拨慢10分钟，则分针转过的角的弧度数是________．
2019年高考数学一轮复习(文科)训练题天天练 33 Word版含解析
天天练抛物线的定义、方程及性质一、选择题．抛物线＝的准线方程为( )．＝．＝－．＝－．＝答案：解析：将＝化为标准形式为＝，所以＝，＝，开口向右，所以抛物线的准线方程为＝－.．若抛物线＝(>)上一点到焦点和到抛物线对称轴的距离分别为和，则抛物线的方程为( )．＝．＝．＝或＝．＝或＝答案：解析：因为抛物线＝(>)上一点到抛物线的对称轴的距离为，所以若设该点为，则(，±)．因为到抛物线的焦点的距离为，所以由抛物线的定义得＋＝①.因为在抛物线上，所以＝②.由①②解得＝，＝或＝，＝，则抛物线的方程为＝或＝.．(·广东广州天河区实验中学月考)抛物线＝上一点到焦点的距离为，则点到轴的距离为( ) ．．．．答案：解析：根据抛物线方程可求得焦点坐标为()，准线方程为＝－.根据抛物线定义，得＋＝，解得＝，代入抛物线方程求得＝±，∴点到轴的距离为.故选.．(·天水一模)过抛物线＝的焦点的直线交抛物线于，两点，点是坐标原点，若＝，则△的面积为( )．答案：解析：由题意得>>.设∠＝θ(<θ<π)，＝，则由点到准线：＝－的距离为，得＝＋θ⇔θ＝.又＝＋(π－θ)，得＝＝，所以△的面积＝×××θ＝×××＝.．直线－＋＝与抛物线＝的对称轴及准线相交于同一点，则该直线与抛物线的交点的横坐标为( )．－．．．答案：解析：由题意可得，直线－＋＝与抛物线＝的对称轴及准线交点的坐标为，代入－＋＝，得－＋＝，即＝，故抛物线的方程为＝.将＝与直线方程－＋＝联立可得交点的坐标为()．故选.．(·广东中山一中第一次统测)过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点．如果＋＝, 那么＝( )．．．．答案：解析：由题意知，抛物线＝的准线方程是＝－.∵过抛物线＝的焦点作直线交抛物线于(，)，(，)两点，∴＝＋＋.又∵＋＝，∴＝＋＋＝.故选.．(·湖南长沙模拟)是抛物线＝(>)上的一点，为抛物线的焦点，为坐标原点．当＝时，∠＝°，则抛物线的准线方程是( )．＝－．＝－．＝－．＝－答案：解析：过点作准线的垂线，过点作的垂线，垂足分别为，，如图．由题意知∠＝∠－°＝°，又因为＝，所以＝.点到准线的距离＝＋＝＋＝，解得＝，则抛物线＝的准线方程是＝－.故选.．(·福建厦门杏南中学期中)已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点(，)．若点到该抛物线焦点的距离为，则＝( )．．．．答案：解析：由题意，抛物线关于轴对称，开口向右，设其方程为＝(>)．∵点(，)到该抛物线焦点的距离为，∴＋＝，∴＝.。
2019届高考文科数学一轮复习专题演练：双曲线(含解析)
【三年咼考】2 21.【2019高考北京文数】已知双曲线笃_爲=1 ( a 0 , b 0 )的一条渐近线为a b2x + y =0，—个焦点为(J5,0)，贝U a = ________ ； b= ___________ .【答案】a =1,b =2.【解析】依题意有\b_ 結合八八沪解得—2 +2 22.【2019高考天津文数】 已知双曲线 笃一爲=1(a . 0,b 0)的焦距为2 5 ,且双曲线的一a b条渐近线与直线2x • y = 0垂直，则双曲线的方程为(2 2 3x 3y (C)/2 23x 3y =15 20 一【答案】A【答案】22c = 4,c=2;2a= DF 2 — DR =5—3 =2,a =1,故离心率-=-=2a 1双曲线【解析】依题意，不妨设 AB =6,AD =4，作出图象如下图所示：则(D )=1【解析】由题意得c 「5,— aa 2 2—x =2,b =1 =A.3.【2019高考山东文数】 已知双曲线2x ~2a2占=1 (a >0, b >0).b 2矩形ABC 啲四个顶点在E 上，AB CD 的中点为 E 的两个焦2|AB =3| BQ ，则E 的离心率是24.【2019高考浙江文数】设双曲线X2- £=1的左、右焦点分别为F,冃•若点P在双曲线3上，且△ F1PE为锐角三角形，则| PF|+| PF|的取值范围是 __________ .【答案】（2、、7,8）.【解析】由已知口 = 1』=曲上则0=- = 2,设TV/）眾双曲纟址任一点，由对称性不妨诗戸在右a 支上』则1<%<2, |^| = 2.^+1, |PF;|=2x-hr 、 r 斤F/片卩£为锐角，则『巧f+|刃叮>1片，即（2工+1）：+（2工-1）： X：』解得工>巻，所以斗昭|十二牡丘（2祈⑻.25.【2019高考上海文科】双曲线x2-占=1（b 0）的左、右焦点分别为F1、F2,直线l过F2 b且与双曲线交于A B两点•（1）若I的倾斜角为匸,△ FAB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；2（2）设b =£3，若I的斜率存在，且I AB=4，求I的斜率•【解析】⑴设A(X A ； v A ).由题意，坯(匚0),沪，垃"讥：一1匸几因为AF^B 是等边三角形，所以比=的吐|,即4{^b z] = 3b\解得b z= 2.故双脱的渐近线方程为1 = ±^2x ・r ^2_=i(2)由已如，F ;(2.0).设A (.勺戸)，直线门)二利尤一2)・由f 3 ，得 y=k(x-2} I- k F(^-3)^-4^+4^;+3 = 0.因为/与双曲I 姣于两気 所以P —3丸，且A = 36(l+^)>0.由 _ g 4F +3 /曰•” p 36|+1) 血+总二〒 ~,两花—~~—，得I 可—兀」=j r~ >竹耙 7 k -3 \ir _3j. | r -；~~; ------- ~r } --------- , , 6|Ar _+l| _ , 3 丄」..,|AB |二{何一对+山-圮)二忖一芒卜 二」",解得k^-}故r 的斜率为土宁.F^a.J、—*2. 22 2丄2bx y a + c 行，其方程为y (x-c)，代入一22-1求得点P 的横坐标为x，由aa a2ca 2 c 2c 2 ccc2a ，得(一)-41= 0，解之得2• ■■、3，2-£3 (舍去，因为离心率2ca aa ac>1)，故双曲线的离心率为 2+J 3. a27.【2019高考新课标1,文16】已知F 是双曲线C : X 2 -上 1的右焦点，P 是C 左支上一8点，A 0,6、、6 ，当 APF 周长最小时，该三角形的面积为 ________________ . 【答案】12^6【解析】设双曲线的左焦点为 F 1，由双曲线定义知，|PF |=2a | PF 11 ,•••△ APF 的周长为近线平行的直线，交 C 于点P .若点P 的横坐标为2a ,则C 的离心率为 •6. 【2019高考山东，文 15】过双曲线y ~~2 a【答案】2 •、、3=1( a0,b【解析】双曲线2x~~2a2y ~2 a=1的右焦点为(c,0).不妨设所作直线与双曲线的渐近线|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+ 2a - |PF i |+|AF|=|PA|+ | PR |+|AF|+ 2a ，由于 2a | AF | 是定值，要 使A APF 的周长最小，贝V |PA|+ | PF i |最小，即 P 、A F i 共线，T A 0,6-、6 , F i (- 3,0 ),2二直线AF 1的方程为 — y =1,即x =—y -3代入x 2-》1整理得 -3 6^6 2弟8y 2 • 6、., 6y - 96 = 0 ,解得y = 2・、.6或y - -8. 6 (舍)，所以P 点的纵坐标为2,6，二 11 —S.APF =S A FF ^S P FF I = 2 6 6、6一2 6 2j6 = 12、、6.2 29】设双曲线 务-占= 1(a>0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分a b别是A 1,A 2,过F 做A 1A 2的垂线与双曲线交于 B, C 两点，若A j B — A z C ,则双曲线的渐近 线的斜率为()(A) ±-(B) ±- - (C)±1(D)士、22 2【答案】CL2T 2【解析】由已知得右焦点(其中二/ +石9 > 0) J 热(一足0)43=0「)?aa■h * ■ h * , * ■从而為占=(c +—・L/rC = (c ~ cr.—)，又因为A[B Ai C j 所臥為占•= 0 即(C -^) (c+fl)+(-—)-(—) = 0,化简得到二= ln? = ±l,即机曲线的渐近线的耕率为±1,故选U a a a" a8.9.【2019高考湖北，文9】将离心率为e 的双曲线G 的实半轴长 a 和虚半轴长b (a = b)同时【2019高考重庆，文增加m(m・0)个单位长度，得到离心率为e,的双曲线C2，则( )A.对任意的a, b,B.当 a b 时，e V ;当 a ：：：b 时，e：：： e?b m b (b m)a -b(a m) (a -b)m 0，所以 a 亠m a(a 亠m)a(a 亠m)a& 知当 a ；：：b 时，S-b =(b m )a b(a m) =(a-b)m ，所以丄』丄，所以 a+m a (a+m)a (a+m)a a+m afb+m 予 ,z b : 比⑴ 丄…、丄 ------ c 一 ，所以◎ ce ；故应选D . 乜+m 丿 <a 丿2 2 2 210. [2019广东，文8】若实数k 满足0：：：k ：：：5，则曲线- y 1与曲线」 匕=116 5 —k16 —k 5的( )A.焦距相等 B .离心率相等 C •虚半轴长相等 D .实半轴长相等 【答案】A.【解析】本题可儿采用一般法和特殊法，一般法在这里不藝述亠令^ = 4,则这两个曲线方程分别为 裁rIF二上"和二-匚"，它们井别对应的< =16+1=1\^：=12 + 5 = 17,故臼二6 一所以它们的 16 112 5焦距相等，故答案为A.距离为 3，则C 的焦距等于()【答案】D .【解析】不妨设双曲线G 的焦点在X 轴上，即其方程为:2 2笃一占=1，则双曲线C 2的方程为:a bx 2 乏—一2 =1，所以e =也+b =(a m) (b m)a (a m)2 (b m)2缶，当a>b 时b m b---- >- a m a11.【2019大纲，文11】双曲线C :X 2 2y 一2=1(a2,焦点到渐近线的A. 2B.2 2C.4D.【答案】C【解析】易知双曲线 2 2务討1的渐近线方程是y =± b x，不妨设焦点(c，°)到其中一条渐近，所以暑22 2 2e = a + b ,所以e = 2,即卩2e = 4,即双曲线 C 的焦距等于4.2 212. [2019重庆，文8】设R, F 2分别为双曲线 牛-爲=1（a ■ 0,b ■ 0）的左、右焦点，双a b2 2曲线上存在点P 使得（I PF ! |-| PF ? |） b -3ab,则该双曲线的离心率为（）A.2B. 、.. 15C.4D.【答案】D.【解析】由双曲线定义知||眄|一|丹7」| =加，故^ = lr-3ab r 即4/+3込沪"分解因式得:（4a —占）（住 +方）=0 ,故方=4^,从而 £ = + 号亠=Jif +16 jf故"亠悶#选择D□【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题，对双曲线的考查以选择、填空为主，主要侧重以下几点： （1）双曲线定义的应用；（2）求双曲线的标准方程.（3）以双曲线的方程为载体，研究与参数a,b,c,e 及渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是考查的重点和热点，高考题中以选择、填空题为 主，分值为5分，难度为容易题和中档题. 【2019年咼考复习建议与咼考命题预测】 由前三年的高考命题形式可以看出，双曲线的定义、标准方程、几何性质性质问题是高考考试的重点，每年必考，一般是小题形式出现，解答题很少考查，主要以利用性质求双曲线方程，求焦点三角形的周长与面积，求弦长，求双曲线的离心率 ，最值或范围问题，过定点问题，定 值问题等，直线与双曲线的位置关系，难度一般不是太大，故预测2019年高考仍会延续这种情形，以双曲线的方程与性质为主•备考时应熟练掌握双曲线的定义、求双曲线标准方程的 方法，能灵活运用双曲线定义及几何性质确定基本元素a,b,c .另外，要深入理解参数a,b,c 的be线bx - 3，整理得b =3.又双曲线C 的离心率e =a = 2,..17y = 0的距离为-J 3 ,则关系、渐近线及其几何意义，应注意与向量、直线、圆等知识的综合.【2019年高考考点定位】高考对双曲线的考查有两种主要形式：一是考双曲线的定义与标准方程；二是考查双曲线的几何性质；三是考查直线与双曲线的简单位置关系，从涉及的知识上讲，常平面几何、平面向量、方程数学、不等式等知识相联系，字母运算能力和逻辑推理能力是考查是的重点•【考点1】双曲线的定义与标准方程【备考知识梳理】1. 双曲线的定义：把平面内与两定点F i, F2的距离之差的绝对值等于常数（小于| F I F2 |）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点之间的距离叫焦距，符号表述为：|PF!H|PF2^-2a（2a 卄丘|）.注意：（1）当2a =|F,F2 |时，轨迹是直线£F2去掉线段F i F2 .（2）当2a」F,F2|时，轨迹不存在•2 22. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为冷一每=1（a . 0,b 0）；a b2 2焦点在y轴上的双曲线的标准方程为与一笃刊心0,b 0）.给定椭圆a bx2y1（m与n异号），要根据m, n的正负判定焦点在哪个坐标轴上，焦点在分母为正的m n那个坐标轴上.⑵双曲线中a,b,c关系为：a2 =c2-b2.【规律方法技巧】1. 利用双曲线的定义可以将双曲线上一点到两焦点的距离进行转化，对双曲线上一点与其两焦点构成的三角形问题，常用双曲线的定义与正余弦定理去处理2. 求双曲线的标准方程方法（1）定义法：若某曲线（或轨迹）上任意一点到两定点的距离之差（或距离之差的绝对值）为常数（常数小于两点之间的距离），符合双曲线的定义，该曲线是以这两定点为焦点，定值为实轴长的双曲线，从而求出双曲线方程中的参数，写出双曲线的标准方程，注意是距离之差的绝对值是双曲线的两只，是距离之差是双曲线的一只，要注意是哪一只（2）待定系数法，用待定系数法求双线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量a,b,c,e的关系曲线标准方程，一般分三步完成，①定性-确定它是双曲式，解出参数即可求出双曲线的标准方程 3.若双曲线的焦点位置不定，应分焦点在 x 轴上和焦点在y 轴上，也可设双曲线的方程为Ax 2 By 2 =1，其中 代B 异号且都不为0，可避免分类讨论和繁琐的计算4.若已知双曲线的渐近线方程为 ax _bx = 0，则可设双曲线的标准方程为(■ - 0 )可避免分类讨论. 【考点针对训练】1.【2019年江西师大附中模考】已知中心在原点的双曲方程X =-4，则双曲线C 的方程是(33,其中一条准【答案】B2—一1 5【解析】依題竜可得*二］解得心心从而八屯—所以所求双曲线方程为+_斗=1 •故3正确2.【2019届宁夏石嘴山三中高三下三模】X 2过双曲线4二1的左焦点2 2F 1,作圆 x y= 4的切线交双曲线右支于点 P,切点为T , PF 1的中点为M 则|MO | —|MT F ___________________ 【答案】,5 -21 1【解析】由已知， MT = PT - PM 二 PR -TRPF 1 PF^TF 1，则 |MO|-|MTF 2 2AAA* --------------------------------_PF 2 _(—PF r _TFJ = —(PF 2 _PFJ 寸片 _a = . OF 』_4 _ 2 f ；5 - 2 .2 2 2【考点2】双曲线的几何性质 【备考知识梳理】 1.双曲线的几何性质线；②定位-判定中心在原点，焦点在哪条坐标轴上；③定量-建立关于基本量a,b,c,e的关系线C的离心率等于2.等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线叫等轴双曲线，，其标准方程为x2 - y2二•（■ = 0）,离心率为2，渐近线为y = x.【规律方法技巧】1. 求解与双曲线性质有关的问题时要结合图像进行分析，围绕双曲线中的“六点”（两个顶点、两个焦点、虚轴的两个端点），“四线”（两条对称轴，两条渐近线），“两形”（中心、焦点、虚轴端点构成的特征三角形，双曲线上一点与两个交点构成的三角形），研究它们之间的关系，挖掘出它们之间的内在联系•2. 双曲线取值范围实质实质是双曲线上点的横坐标、纵坐标的取值范围，在求解一些最值、取值范围以及存在性、判断性问题中有着重要的应用3. 求离心率问题，关键是先根据题中的已知条件构造出a, b, c的等式或不等式，结合2 2 2 Cc =b a化出关于a,c的式子，再利用e ，化成关于e的等式或不等式，从而解出e的a4 522b4.双曲线 冷一爲 “(a .0,b .0)的渐近线方程为y 二-x ，可变形为- y ，即 a b aa b2 2务-0，所以双曲线的渐近线方程可以看作把其标准方程中的1换为0得来的•a b4. 椭圆的通径(过焦点垂直于焦点所在对称轴的直线被椭圆截得的弦叫通径)长度为是过椭圆焦点的直线被椭圆所截得弦长的最小值 .5.双曲线上一点到双曲线一个焦点的距离的取值范围为【考点针对训练】2 21.【2019年湖北安庆一中高三一模测试】设点 A 、F C,0分别是双曲线 仔-每=1a b2a(a 0, b 0)的右顶点和右焦点，直线x交双曲线的一条渐近线于点 P .若 PAF 是c等腰三角形，则此双曲线的离心率为( )A.3 B . 3 C .、、2D . 2【答案】D【解析】显然\PF\> \PA\ \PF\>所以由*匹是等腰三甬形得|耳l| = |廿|易知話@, 0)：P(—-a)3+(—)2 =<c-a/tc c c c=>+(—)2(c' - a 2) = (c -a)1 => (-):=1cc c c c —a耳丄+ 2■三也■二1.解得e-1 .选二一君" 总亠€-12 22.【2019年河北石家庄高三二模】已知双曲线 二一」1的一条渐近线方程为2m m +4y = J3x ，则实数m 的值为 _______ .值或范围•离心率e 与a,b 的关系为:2b 2 a[c_ a,：：).2 2.2 .2c a b , b - =i — 2 2 2 — a aa【答案】【考点3】直线与双曲线的位置关系 【备考知识梳理】2 2X y设双曲线的方程为 —2 =1(a ■ 0,b .0)，直线Ax By ^0，将直线方程与双曲线方a b程联立，消去y 得到关于x 的方程mx 2 • nx • p = 0.(1)若m 工0,当厶> 0时，直线与双曲线有两个交点.当厶=0时，直线与双曲线有且只有一个 公共点，此时直线与双曲线相切.当△<0时，直线与双曲线无公共点.(2)当m =0时，直线与双曲线只有一个交点，此时直线与双曲线的渐近线平行【规律方法技巧】1.直线方程与椭圆方程联立，消元后得到一元二次方程，则一元二次方程的根是直线和椭圆 交点的横坐标或纵坐标，常设出交点坐标，用根与系数关系将横坐标之和与之积表示出来， 这是进一步解题的基础.2.直线y = kx + b (k 丰0)与椭圆相交于 A (X 1, y" , B (X 2, y 2)两点，则弦长|AE | =1 + k 2|刘—X 2| =1 + k2 • x 1 + X 22— 4x 1x 2 =1 + ：2.星 y 1 + y 22— 4y 1y 2.3•对中点弦问题常用点差法和参数法 【考点针对训练】2 21.【2019年江西师大附中鹰潭一中联考】过双曲线令-占=1(a 0,b 0)的右焦点F 作a b一条直线，当直线斜率为 1时，直线与双曲线左、右两支各有一个交点；当直线斜率为 3时,直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线离心【解析】因为双曲线 2 2笃一爲=1的两条渐近线为a bx所以-2m—y1m 4 11 + k2 •l 屮一y 2| =率的取值范围为( )A. (1^2) B . (1,710) C .(屁師D .(賦局【答案】C【解析】戏曲线右焦点为(J/+X*),过右焦点的直线为y = ,与双曲线方程联立消去y 可得到-a :k 2)x :-2a :k : yja z +b-x-a :(ti V - b :k~ +i :) = 0,由题意可知，当上=1时，此万程有两个不相等的异号实根“所臥芈尹 ＞。
点点练 18新高考数学天天练系列高考数学
点点练18 平面向量的数量积及应用1．已知向量AB →＝(1,2)，AC →＝(－3,1)，则AB →·BC→＝( ) A ．6 B ．－6C ．－1D ．12．已知平面向量a ＝(2,1)，b ＝(m ，－2)，且a ⊥b ，则|a －b |＝( )A. 5 B ．5C.10 D ．103．已知向量a ＝(1,3)，b ＝(2，－5)．若向量c 满足c ⊥(a ＋b )，且b ∥(a －c )，则c ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，3316B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，3316 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫118，－3316 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－118，－3316 4．在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝2，∠BAC ＝120°，点D 为BC 边上一点，且BD →＝2DC →，则AB →·AD→＝( ) A.13 B.23C ．1D ．25．在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝4，AD ＝3，CP →＝3PD →，AP →·BP→＝2，则AB →·AD→的值是( ) A ．4 B ．6C ．8D ．106．已知非零向量a ，b 满足|a |＝|b |＝|a ＋b |，则a 与2a －b 夹角的余弦值为( )A.77B.78C.714D.57147．已知向量a ，b 的夹角为120°，且|a |＝1，|2a ＋b |＝23，则|b |＝________.8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ＋b ＝(1，3)，记向量a ，b 的夹角为θ，则tan θ＝________.1．[2019·全国卷Ⅱ]已知AB →＝(2,3)，AC →＝(3，t )，|BC →|＝1，则AB →·BC→＝( )A ．－3B ．－2C ．2D ．32．[2019·全国卷Ⅰ]已知非零向量a ，b 满足|a |＝2|b |，且(a －b )⊥b ，则a 与b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π63．[2017·全国卷Ⅱ]已知△ABC 是边长为2的等边三角形，P 为平面ABC 内一点，则P A →·(PB→＋PC →)的最小值是( ) A ．－2 B ．－32C ．－43D ．－14．[2018·天津卷]如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.若点E 为边CD 上的动点，则AE →·BE→的最小值为( ) A.2116 B.32C.2516 D ．35．[2019·全国卷Ⅲ]已知a ，b 为单位向量，且a·b ＝0，若c ＝2a －5b ，则cos 〈a ，c 〉＝________.6．[2019·天津卷]在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ＝23，AD＝5，∠A ＝30°，点E 在线段CB 的延长线上，且AE ＝BE ，则BD →·AE→＝________.1．[2020·福建龙岩检测]已知平面向量m ，n 均为单位向量，若向量m ，n 的夹角为2π3，则|2m ＋3n |＝( )A ．25B ．7C ．5 D.72．[2020·贵州部分重点高中联考]在平行四边形ABCD 中，∠DAB＝120°，|AB |＝2，|AD |＝1，若E 为线段AB 中点，则DE →·AC→＝( ) A.12 B ．1C.32 D ．23．[2020·黑龙江哈尔滨六中月考]在△ABC 中，BC ＝6，BC 边上的高AD ＝2，点D 在线段BC 上，则AB →·AC→的取值范围是( ) A ．[－5,4) B ．[－5,4]C ．[－4,5]D ．[－4,5)4．[2020·重庆西南大学附属中学月考]若两个单位向量a ，b 的夹角为120°，k ∈R ，则|a －k b |的最小值为( )A.34B.32C ．1 D.325．[2020·武汉调研]已知|a |＝2，|b |＝1，a 与b 的夹角为45°，若t b －a 与a 垂直，则实数t ＝________.6．[2020·长春质量监测]已知平面内三个不共线向量a ，b ，c 两两夹角相等，且|a |＝|b |＝1，|c |＝3，则|a ＋b ＋c |＝________.1．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(－2x ＋3，－x )(x ∈R )．(1)若a ⊥b ，求x 的值；(2)若a ∥b ，求|a －b |.2．已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C .(1)求角C 的大小；(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB→－AC →)＝18，求边c的长．。
[推荐学习]2018-2019学年数学高考一轮复习(文科)训练题：天天练 17 Word版含解析
天天练17 平面向量的概念及其线性运算一、选择题1．给出下列命题：①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③若λa ＝0 (λ为实数)，则λ必为零；④已知λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误命题的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案：C解析：①错误. 两向量共线要看其方向而不是起点与终点．②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小．③错误．当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0；④错误．当λ＝μ＝0时，λa ＝μb ，此时，a 与b 可以是任意向量．2．(2018·海淀模拟)下列说法正确的是( ) A ．长度相等的向量叫做相等向量 B ．共线向量是在同一条直线上的向量 C ．零向量的长度等于0 D.AB→∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线 答案：C解析：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故A 不正确；方向相同或相反的非零向量叫做共线向量，但共线向量不一定在同一条直线上，故B 不正确；显然C 正确；当AB →∥CD →时，AB →所在的直线与CD→所在的直线可能重合，故D 不正确． 3．(2018·四川成都七中一诊)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且2OP→＝2OA →＋BA →，则( ) A ．点P 在线段AB 上B ．点P 在线段AB 的反向延长线上C ．点P 在线段AB 的延长线上D ．点P 不在直线AB 上河南中原名校质检三)如图，已知在△连接AD，E为线段→＝的重心，∴2EO，∴点P在AB三点共线，所以14＋则OM→＝mOA →，ON →＝nOB →， 由正弦定理得 |OM →|sin45°＝|OC →|sin (135°－α)＝|ON→|sin α， ∵|OC→|＝2， 由解法一知，sin α＝7210，cos α＝210，∴|OM →|＝2sin45°sin (135°－α)＝1sin (45°＋α)＝54， |ON→|＝2sin αsin (135°－α)＝2×7210sin (45°＋α)＝74，又OC→＝mOA →＋nOB →＝OM →＋ON →，|OA →|＝|OB →|＝1， ∴m ＝54，n ＝74，∴m ＋n ＝3. 三、解答题12．如图所示，在△ABO 中，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC相交于点M ，设OA→＝a ，OB →＝b .试用a 和b 表示向量OM →.解：设OM→＝m a ＋n b ， 则AM→＝OM →－OA →＝m a ＋n b －a ＝(m －1)a ＋n b ， AD →＝OD →－OA →＝12OB →－OA →＝－a ＋12b . 又∵A ，M ，D 三点共线，∴AM→与AD →共线． ∴存在实数t ，使得AM →＝tAD →，即(m －1)a ＋n b ＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12b .∴(m －1)a ＋n b ＝－t a ＋12t b .。
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天天练18 平面向量的基本定理及坐标表示
一、选择题
1．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是
( )
①a＝λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个；
③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则λ1λ2＝μ1μ2.
④若实数λ、μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.
A．①② B．②③
C．③④ D．②
答案：B
解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本
定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是
唯一的．对于③，当λ1λ2＝0或μ1μ2＝0时不一定成立，应为λ1μ2－λ2μ1＝0.故
选B.
2．(2018·咸阳一模)下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)
B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝12，－34
答案：B
解析：两个不共线的非零向量构成一组基底，A中向量e1为零向量，C，D
中两向量共线，B中e1≠0，e2≠0，且e1与e2不共线，故选B.
3．(2018·河南六市联考(一))已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与AB→同方向的
单位向量是( )
A.35，－45 B.45，－35
C.－35，45 D.－45，35
答案：A
解析：因为AB→＝(3，－4)，所以与AB→同方向的单位向量为AB→|AB→|＝35，－45.
4．(2018·天津红桥区模拟)若向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，则a＋b的坐标为
( )
A．(1,5) B．(1,1)
C．(3,1) D．(3,5)
答案：A
解析：∵向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，∴a＋b＝(1,5)．故选A.
5．(2018·重庆第八中学适应性考试(一))已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，
且(a＋b)∥b，则m＝( )
A．－23 B.23
C．－8 D．8
答案：A
解析：由题意得a＋b＝(4，m－2)．因为(a＋b)∥b，所以43＝m－2－2，解得
m＝－23.故选A.
6．(2018·岳阳质检)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N
分别为CD，BC的中点．若AB→＝λAM→＋μAN→，则λ＋μ的值为( )
A.14 B.15
C.45 D.54
答案：C
解析：解法一 连接AC，由AB→＝λAM→＋μAN→，得AB→＝λ·12(AD→＋AC→)＋μ·12(AC
→
＋AB→)，则u2－1AB→＋λ2AD→＋λ2＋u2AC→＝0，得u2－1AB→＋λ2AD→＋
λ
2＋u2
AD→＋12AB→＝0，得14λ＋34μ－1AB→＋
λ＋
u
2
AD＝0.又AB→，AD→不共线，所以由
平面向量基本定理得 14λ＋34u－1＝0，λ＋u2＝0，解得 λ＝－45，u＝85.所以λ＋μ＝45.