有理数
有理数的用法
有理数是一种数学术语，它包括整数和分数，都可以表示为两个整数的比值。
有理数在数学中有着广泛的应用，例如在代数、几何、三角学、微积分等学科中都会用到有理数。
具体来说，有理数在数学中的应用包括：
1. 在代数中，有理数可以用来进行加减乘除等运算，还可以用来解方程式。
2. 在几何中，有理数可以用来描述长度、面积、体积等度量，还可以用来确定点的位置。
3. 在三角学中，有理数可以用来描述角度、长度等的关系，还可以用来计算三角函数的值。
4. 在微积分中，有理数可以用来描述函数的极限、导数、积分等概念，还可以用来计算这些量的大小。
此外，有理数在物理、工程、计算机科学等领域也有广泛的应用。
例如，在物理中，有理数可以用来描述时间、速度、加速度等物理量之间的关系；在工程中，有理数可以用来描述尺寸、角度等参数之间的关系；在计算机科学中，有理数可以用来表示浮点数（实数），还可以用来进行数值计算等。
有理数的四则运算法则
有理数的四则运算法则
有理数是指可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负
整数、零和分数。
有理数的四则运算包括加法、减法、乘法和除法，下面将详细介绍有理数的四则运算法则。
一、有理数的加法
1. 同号相加：两个正数相加，结果为正数；两个负数相加，结
果为负数。
例如：3 + 5 = 8，(-3) + (-5) = -8。
2. 异号相加：一个正数和一个负数相加，结果的绝对值等于两
个数的绝对值之差，符号取绝对值大的数的符号。
例如：3 + (-5) = -2，(-3) + 5 = 2。
二、有理数的减法
有理数的减法可以转化为加法，即a - b = a + (-b)。
例如：
3 - 5 = 3 + (-5) = -2。
三、有理数的乘法
1. 同号相乘：两个正数或两个负数相乘，结果为正数。
例如：3 * 5 = 15，(-3) * (-5) = 15。
2. 异号相乘：一个正数和一个负数相乘，结果为负数。
例如：3 * (-5) = -15，(-3) * 5 = -15。
四、有理数的除法
有理数的除法可以转化为乘法，即 a ÷ b = a * (1/b)。
例如：3 ÷ 5 = 3 * (1/5)。
需要注意的是，在有理数的除法中，除数不能为0，即 b ≠ 0。
以上就是有理数的四则运算法则，通过以上规则，我们可以轻
松地进行有理数的加减乘除运算。
希望以上内容能够帮助大家更好
地理解有理数的四则运算法则，提高数学运算能力。
有理数概念
第一讲 有理数的概念知识点一、有理数的概念及分类1、正数与负数：正数：像1， 1.1，517，2009等大于0的数，叫做正数； 负数：像-1， -1.1，517-，-2009等在正数前面加上“-”负号的数，叫做负数。
正数都大于零，负数都小于零，即正数>0>负数。
“0”既不是正数，也不是负数。
在实际生活中，用正数、负数表示相反意义的量：向东走100米记作－100米，则向西走五十米记作+50米。
盈利100元记作+100元，则亏损100元记作什么？水位升高1.2米，下降0.7米，如何用有理数表示？2、有理数：整数与分数统称为有理数⎧⎧⎫⎪⎬⎪⎨⎭⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数自然数整数零按定义分类： 有理数负整数正分数分数负分数 ⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正整数按符号分类： 有理数零负分数注：（1）任意有限小数和无限循环小数都是分数；（2）无限不循环小数不是有理数，如π；（3）正数和零统称为非负数；（4）0是正数和负数的分界点，但不是最小的有理数。
3、数集：把一些具备同一特征的数放在一起，就组成数的集合，简称数集。
例如：所有的有理数组成的数集叫有理数集；所有的整数组成的数集叫整数集。
4、有理数“0”的作用：随堂练习1、气温下降2度记2C-︒，那么上升3度表示为C︒.2、用20+米表示前进20米，那么15-米表示.3、如果向北走10m记作10m+，那么6m-表示（）.A、向东走6mB、向西走6mC、向南走6mD、向北走6m4、有理数包括（）.A、整数、分数和零B、正有理数、负有理数和零C、正数和负数D、正数和分数5、下列说法中，正确的是（）.A、在有理数中，零的意义表示没有B、一个数不是正数就是负数C、正有理数和负有理数组成全体有理数D、零是整数6、0属于（）.A、负数集合B、整数集合C、正数集合D、什么也不是7、既是分数，又是正数的是（）.A、3+B、153-C、0D、2.28、下列说法中错误的是（）.A、2-是负有理数B、零不是整数C、34是正分数D、0.26-是负分数9、已知下列各数：8-，2.1，19，3，0， 2.5-，10，1-，其中非负数的个数有（）.A、2个B、3个C、4个D、5个10、把下列各数填入相应的括号里.1715,,0.62,4,0,1,1,, 6.4,7.-+---363正整数集合{}分数集合{}整数集合{}负数集合{}数轴1、概念：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
有理数的概念和定义
有理数的概念和定义
1、概念：有理数指整数可以看作分母为1的分数。
正整数、0、负整数、正分数、负分数都可
以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
有理数的小数部分是有限或循环小数。
不是有理数的实数遂称为无理数。
2、定义：有理数是整数(正整数、0、负整数和
分数的统称，是整数和分数的集合，即有理数的小数部分为有限或无限循环小数。
有理数与之对应的是无理数(不是有理数的实数
遂称为无理数)，其小数部分是无限不循环的数。
有理数是"数与代数”领域中的重要内容之一，
在现实生活中也有广泛的应用，是继续学习实数、代数式、方程、不等式、直角坐标系、函数、统计等数学内容以及相关学科知识的基础。
有理数的定义和性质
有理数的定义和性质在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。
有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系具有重要意义。
在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。
那么究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。
有理数的定义有理数是由整数组成的分数，分母不为0。
可以表示为p/q的形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。
举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。
若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为其他形式的分数。
即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母q的正负与数本身的符号一致。
例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质1. 唯一分解定理唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。
同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其指数是唯一的。
唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正负如何以及它们是不是整数。
2. 加减法性质对于任意的有理数a、b和c，都有：a+b=b+a （加法交换律）a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）a+0=0+a=a （零元素）a+(-a)=0 （负元素）a-b=a+(-b) （减法变成加法）3. 乘除法性质对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律）a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律）a×1=1×a=a （乘法单位元）a×0=0×a=0 （零元素）a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）若a≠0，则a/a=1，1/a是a的倒数，即1/a×a=14. 分数的加减乘除法有理数的加减乘除法可以归结为有理数加减乘除分数的运算。
有理数的概念与定义
有理数的概念与定义
嘿，朋友！咱今天来聊聊有理数这个有点神秘但其实也不难懂的家伙。
啥是有理数？你想想啊，就像咱生活中的各种物品都有分类一样，
数字也有分类。
有理数呢，就是数字世界里的一个大类别。
比如说整数，像 -3、0、5 这些，它们肯定是有理数啦。
那分数呢？像 1/2 、 -3/4 ，也是有理数哟！这就好像一个大家庭，整数和分数都
是这个家里的成员。
那有理数为啥叫有理数呢？难道还有不讲理的数？哈哈，其实不是
这样啦！有理数这个名字，可不是说它们多讲道理，而是因为它们可
以写成两个整数的比值。
你看啊，咱平时买东西算账，算出来的价格，很多不就是有理数嘛。
比如一斤苹果 5 块钱，你买了 2 斤，一共 10 块钱。
这 5、2、10 不都
是有理数嘛。
再想想温度计上的刻度，零下 5 度，零上 10 度，这些表示温度的
数字，也大都是有理数呀。
有理数在数学里可重要啦，就像盖房子的砖头，没有它们，好多数
学大厦可就建不起来喽。
比如说做算术题，加减乘除，到处都有有理数的身影。
算来算去，
不就是在和有理数打交道嘛。
而且有理数还能帮我们理解很多生活中的现象呢。
比如股票的涨跌，价格的波动，不都可以用有理数来表示和计算嘛。
那有人可能要问啦，难道就没有不是有理数的数？还真有！像圆周
率π，还有根号 2 ，这些就不是有理数，它们叫无理数。
总之啊，有理数就像我们身边的好朋友，熟悉了它们，数学的世界
就能玩得更转啦！有理数就是这么简单又重要，你说是不是？。
有理数的运算法则
有理数的运算法则
一、有理数的加减法法则：
1. 两个有理数同号，相加后仍为同号，即正加正得正，负加负
得负；
2. 两个有理数异号，相加后正数的绝对值大于负数的绝对值，
结果的符号与绝对值较大的数相同；
3. 有理数的加法满足交换律，即 a + b = b + a。
二、有理数的乘除法法则：
1. 两个有理数同号，相乘后为正，即正乘正得正，负乘负得正；
2. 两个有理数异号，相乘后为负，即正乘负得负，负乘正得负；
3. 有理数的乘法满足交换律，即 a × b = b × a；
4. 有理数相乘，可以先化简再计算，如分子分母都可以约去公
因数；
5. 有理数相除，可以先取倒数再进行乘法运算。
三、有理数的混合运算法则：
1. 先进行括号内的运算；
2. 依次进行乘除法；
3. 依次进行加减法。
四、有理数的运算与绝对值：
1. 一个有理数的相反数和该有理数的绝对值具有相同的绝对值；
2. 任何与零相等的有理数绝对值为零。
以上是有理数的运算法则，在进行数学运算时，请按照这些规
则进行操作，以确保得到正确的结果。
有理数和无理数的概念
有理数和无理数 1定义：有理数：我们把能够写成分数形式
n
m (m 、n 是整数，n≠0)的数叫做有理数。
无理数：①无限②不循环小数叫做无理数。
如圆周率、√2（根号2）等。
2有理数的分类
整数和分数都可以写成分数的形式，它们统称为有理数。
零既不是正数，也不是负数。
有限小数和无限循环小数都可以看作分数，也是有理数。
3无理数的两个前提条件：（1）无限（2）不循环
4区别：（1）无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数。
（2）任何一个有理数后可以化为分数的形式，而无理数则不能。
实数的分类
实数⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负无理数正无理数无理数负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0
注意： 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。
如果用字母表示数，则a ＞0表明a 是正数；a ＜0表明a 是负数；a 0表明a 是非负数；a 0表明a 是非正数。
几个易混淆概念
⎪⎩⎪⎨⎧正数非负数0 ⎪⎩⎪⎨⎧负数非正数0 ⎪⎩⎪⎨⎧正整数非负整数0 ⎪⎩
⎪⎨⎧负整数非正整数0。
有理数的定义及相关概念
拓展题
0是整数吗?自然数一定是整数吗?0一定是正整数 吗?整数一定是自然数吗?
2、下列说法正确的是（ ） A.正整数和正分数统称为正有理数。 B.正整数和负分数统称为整数。 C.正整数、负整数、正分数、负分数统称为有理数。 D.0不是有理数。
3、既不是正数又不是整数的有理数是（ ）
A.0和正分数
B.只有负分数
C.负整数和负分数
D.正整数和正分数
4、下列不是有理数的有（ ）
1、数集可以用大括号表示，也可以用圆圈表示。
2、一个数集内的数有无限多个时，我们不能全部写 出，要用“…”，如非负整数集{0，1，2，3，4…}。
3、一个数集内不能有两个一样的数。 4、所有的有理数组成的数集叫做有理数集；
那么，什么叫做整数集,正数集, 自然数集，非负 整数集?
知 1、把下列各数填入相应的集合
A.3.1415926 B.0
C.0.666……
D.π
5、下列说法错误的是（ A.自然数一定是有理数 C.自然数一定是非负数
） B.自然数一定是整数 D.整数一定是自然数
6．说出下列生活情景中用到的数所属的集合. ⑴摩托车的里程表上读出的数；
⑵中央电视台播放的天气预报中，播报各地的 气温所用到的数； ⑶老师批改试卷时用到的数； ⑷烤鸭店的柜台上的电子秤上读出的数； ⑸表示某关概念 整数和分数统称为有理数。
正整数、零和负整数统称为整数，正分数和 负分数统称为分数。
非负数：大于等于0的数叫非负数即a≥0 非正数：小于等于0的数叫非正数即a≤0
非正整数： 小于等于0的整数； 非负整数： 大于等于0的整数
2:数的分类
按定义来分
正整数
整数零
…0.…67
有理数定义及两种分类
有理数定义及两种分类有理数是数学中的一种数，它可以表示为两个整数的比值。
有理数包括正整数、负整数、零以及各种分数。
它们可以用分数形式或小数形式表示，小数形式可以是有限小数或无限循环小数。
有理数的分类可以从两个方面进行：一是根据有理数的大小关系进行分类，二是根据有理数的表达形式进行分类。
根据有理数的大小关系，我们可以将有理数分为正数、负数和零。
正数是大于零的有理数，用正号"+"表示；负数是小于零的有理数，用负号"-"表示；零是不大于也不小于零的有理数，用数字"0"表示。
根据有理数的表达形式，我们可以将有理数分为分数和小数。
分数是两个整数的比值，可以表示为两个整数的比例。
分数可以是正分数、负分数和零分数。
正分数的分子和分母都是正整数，分子小于分母；负分数的分子和分母都是正整数，分子大于分母；零分数的分子是0，分母不为0。
小数是分数的一种特殊形式，可以是有限小数或无限循环小数。
有限小数是小数部分有限的小数，例如0.25、-1.5等；无限循环小数是小数部分有无限循环的小数，例如1.3333...、-0.6666...等。
有理数的定义和分类在数学中有着重要的应用。
有理数的定义使得我们能够对一些实际问题进行准确的数值计算和数值比较。
例如，在货币交易中，我们需要精确计算各种货币的兑换比率，这就涉及到有理数的计算。
有理数的分类使得我们能够对数值进行更加细致的划分和描述，从而更好地理解数值之间的大小关系。
例如，在温度计中，我们需要对不同温度进行分类，如正温度和负温度，以便更好地理解温度变化。
有理数是数学中重要的概念之一，它可以用来表示各种实际问题中的数值，并且可以通过大小关系和表达形式进行分类。
有理数的定义和分类为我们解决实际问题提供了基础，并且在数学的其他领域中也有重要的应用。
通过深入理解有理数的定义和分类，我们可以更好地理解数学的本质和数值之间的关系。
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中学课堂教学导学案 科 目 年 班 级 七 年级 班 编写人 审核人 执教人 课 题 1．有理数 时 间 环节 学 生 自 学 案 教师导案
学习目标 1．在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。 2．经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 3．会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。 一、自学导学
活动内容 观察中国地图，珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米；吐鲁番盆地地狱海平面155米，记作-155米. 教师出示上图，提出问题： （1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？ （2）你对负数有什么样的认识？ （3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解决哪些实际问题？ 教师点拨
二、合作学习导学
看课本23页开头的问题后回答问题，并完成以下问题： 练习：1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌0.6%记为 . 2.零上温度1℃记为+1℃，零下温度5℃记为 . 3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流． 教师点拨
三、提升学习导学 活动内容 例1 （1）某人转动转盘，如果用+5圈表示沿逆时针方向转了5圈，那么沿顺时针方向转了12圈怎样表示？ （2）在某次乒乓球质量检测中，一只乒乓球超出标准质量0.02克记作＋0.02克，那么﹣0.03克表示什么？ （3）某大米包装袋上标注着：“净重量：10kg±150g”，这里的“10kg±150g” 表示什么？
教师点拨
四、课堂检测 我们把正整数、0和负整数统称为整数；正分数和负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 把下列各数填入相应的集合中：
3，-7，32，.6.5，0，418， 15，91 正数集合：｛ … ｝ 负数集合：｛ … ｝ 整数集合：｛ … ｝ 分数集合：｛ … ｝ 五、课堂小结
活动内容 1.用一句话“我知道了……我学会了……我还想知道……”小结本课。（先小组同学互相小结，然后小组汇报）
六、作业布置 七、教后反思 神木县第九中学课堂教学导学案 科 目 数学 年 班 级 七 年级 班 学 生 编写人 薛丽君 审核人 执教人 课 题 2. 数 轴 时 间 环节 学 生 自 学 案 教师导案
学习目标 1、知识与技能:①掌握数轴的三要素，会画数轴； ②会指出数轴上的点表示的有理数；并能把有理数在数轴上用点准确的表示出来； ③数轴上点的大小关系，能利用数轴比较有理数的大小. 2、过程与方法：培养学生的观察、比较、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和动手能力，初步培养学生数形结合的数学思想方法和意识. 3、情感与态度：通过数轴与生活实物对应对比，激发学生兴趣，通过规范画图，培养学生细致准确习惯，扶植勇于探究的精神. 一、自学导学 活动内容： 1、你能说说什么叫正数，什么叫负数吗？
2、看课本27页开头问题并回答后面的问题
教师点拨
二、合作学习导学
活动内容. 师生动手画数轴.(边画边强调数轴画法和要点) 数轴三要素: 原点 正方向 单位长度 师: 好像一个平放着的温度
教师点拨 三、提升学习导学 活动内容： 1.问题1：请你思考： +3，-4，0分别在数轴的什么位置? 41，-1.5呢？ 2.问题2：指出数轴上 A, B, C, D各点分别表示什么数?
3.问题3：画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数： 23， -3.5， 0， 5， -4，23 思考:怎样在数轴上表示一个有理数-4 ? 数轴的作用有哪些？ 教师点拨
四、课堂检测 1.指出数轴上点A、B、C、D分别表示什么数,并说出他们的相反数.
2. 画出数轴，并在数轴上画出表示下列各数的点： -4，3.5， -1.5， 321 ，0 ,2.5. 再按数轴上从左到右的顺序，将这些数重新排成一行. 五、课堂小结
活动内容： 问题:本节课你学到的数学知识和数学思想方法有哪些?让学生畅所欲言谈这节课收获.
六、作业布置 七、教后反思 神木县第九中学课堂教学导学案 科 目 数学 年 班 级 七 年级 班 学 生 编写人 薛丽君 审核人 执教人 课 题 3．绝对值 时 间 环节 学 生 自 学 案 教师导案
学习目标
(1)借助数轴，理解绝对值和相反数的概念 (2)知道｜a｜的含义以及互为相反数的两个数在数轴上的位置关系。 (3)能求一个数的绝对值和相反数，会利用绝对值比较两个负数的大小。 (4)通过应用绝对值解决实际问题，体会绝对值的意义和作用。
一、自学导学
活动内容1： 3和-3有什么相同点与不同点？3/2与-3/2，5和-5呢？ 活动内容2：将上面三组数用数轴上的点表示出来，每组数所对应的点在数轴上的位置有什么关系？
教师点拨
二、合作学习导学 1．引入绝对值概念 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。一个数a的绝对值记作│a│．如│+3│=3，│-3│=3，│0│=0．
2．例1 求下列各数的绝对值：
- 7.8， 7.8， - 21， 21，-94，94， 0
教师点拨 三、提升学习导学 1．议一议：（1）互为相反数的两个数的绝对值有什么关系? （2）一个数的绝对值与这个数有什么关系?
2．通过上面例子，引导学生归纳总结出： 互为相反数的两个数的绝对值相等．正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.) 3．“做一做”： (1)在数轴上表示下列各数，并比较它们的大小： -1.5，-3，-1，-5； (2)求出(1)中各数的绝对值，并比较它们的大小； (3)你发现了什么? 教师点拨 四、课堂检测
1.在数轴上距离原点2个单位长度的点表示的数是 ，也就是说绝对值等于2的数是 . 2. 在数轴上表示下列各数，并求它们的绝对值： ，6 ，-3 ， 3.比较下列各组数的大小： (1) (2) (3) (4) 五、课堂小结
活动内容：总结：1.本节学习的数学知识；2.本节学习的数学方法。
六、作业布置 七、教后反思
2345
;,72101;,5.032;,032.7,7神木县第九中学课堂教学导学案 科 目 数学 年 班 级 七 年级 班 学 生 编写人 薛丽君 审核人 执教人 课 题 4．有理数的加法（一） 时 间 环节 学 生 自 学 案 教师导案
学习目标 1.经历探索有理数加法法则的过程，理解有理数的加法法则； 2.能熟练进行整数加法运算； 3.培养学生的数学交流和归纳猜想的能力； 4.渗透分类、探索、归纳等思想方法，使学生了解研究数学的一些基本方法。 一、自学导学
1.复习提问： （1）下列各组数中，哪一个较大？
（2）一位同学在一条东西方向的跑道上，先向东走了20米，又向西走了30米，能否确定他现在的位置位于出发点的哪个方向，与原来出发的位置相距多少米？若向东记为正，向西记为负，该问题用算式表示为 。
2、看课本34页内容回答后面的问题： 两个有理数相加，还有哪些不同的情形？举例说明。 教师点拨
二、合作学习导学 上面我们列出了两个有理数相加的7种不同情形，并根据它们的具体意义得出了它们相加的和．但是，要计算两个有理数相加所得的和，我们总不能一直用这种方法．现在请同学们仔细观察比较这7个算式，你能从中发现有理数加法的运算法则吗？也就是结果的符号怎么定？绝对值怎么算？
323330143与；与；与；-2与；与教师点拨
三、提升学习导学
例1 计算下列算式的结果，并说明理由： (1) 180 +(-10)； (2) (-10)+(-1)； （3）5+（-5）； （4） 0+（-2）
教师点拨
四、课堂检测 1． 口答下列算式的结果 (1) (+4)+(+3)； (2) (-4)+(-3)； (3) (+4)+(-3) (4) (+3)+(-4)； (5) (+4)+(-4)； (6) (-3)+0； (7) 0+(+2)； (8) 0+0．
2．请同学们完成书上的随堂练习： (1)(-25)+(-7) (2)(-13)+5； (3)(-23)+0； （4）45+（-45） 五、课堂小结 师生共同总结。 1. 两个有理数相加，“一观察，二确定，三求和”，即首先判断加法类型，再确定和的符号，最后确定和的绝对值 2. 有理数加法法则及其应用。 3. 注意异号的情况。
六、作业布置 七、教后反思