九年级上册数学讲义
人教数学九年级上册-中心对称知识讲解人教版
专题23.4 中心对称（知识讲解）【学习目标】1、理解中心对称和中心对称图形的定义和性质，掌握他们之间的区别和联系；2、掌握关于原点对称的点的坐标特征，以及如何求对称点的坐标；3、探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计．【要点梳理】要点一、中心对称和中心对称图形1.中心对称： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心． 这两个图形中的对应点叫做关于中心的对称点．特别说明：（1）有两个图形，能够完全重合，即形状大小都相同；（2）位置必须满足一个条件：将其中一个图形绕着某一个点旋转180°能够与另一个图形重合(全等图形不一定是中心对称的，而中心对称的两个图形一定是全等的) .2.中心对称图形： 把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．特别说明：(1)中心对称图形指的是一个图形；（2）线段，平行四边形，圆等等都是中心对称图形.3.中心对称与中心对称图形的区别与联系：中心对称中心对称图形区别①指两个全等图形之间的相互位置关系．②对称中心不定．①指一个图形本身成中心对称．②对称中心是图形自身或内部的点．联系如果将中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形．如果把中心对称图形对称的部分看成是两个图形，那么它们又关于中心对称．要点二、关于原点对称的点的坐标特征关于原点对称的两个点的横、纵坐标均互为相反数.即点关于原点的对称点坐标为，反之也成立.要点三、中心对称、轴对称、旋转对称1.中心对称图形与旋转对称图形的比较：2.中心对称图形与轴对称图形比较：特别说明：中心对称图形是特殊的旋转对称图形；掌握三种图形的不同点和共同点是灵活运用的前提.【典型例题】类型一、中心对称图形与轴对称图形的识别1．1．下列四个银行标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与原图形重合，那么就说这个图形是中心对称图形．根据轴对称图形和中心对称图形的概念分析判断即可．解：A. 既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；B.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；C.既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意；D. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意．故选：A．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的知识，理解轴对称图形和中心对称图形的概念是解题关键．举一反三：【变式1】习近平主席在2022年新年贺词中提到“人不负青山，青山定不负人”，一语道出“人与自然和谐共生”的至简大道．下列有关环保的四个图形中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根据中心对称图形的概念进行判断即可；解：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；故符合题意的是选项B；故选：B．【点拨】本题主要考查中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解题的关键．【变式2】下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．解：A 、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 选项错误；B 、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，故B 选项正确；C 、该图形不是轴对称图形，是中心对称图形，故C 选项错误；D 、该图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D 选项错误．故答案为B ．【点拨】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，中心对称图形是要寻找对称中心旋转180度后与原图重合．类型二、利用中心对称图形作图2．如图，在正方形网格中，的顶点在格点上，请仅用无刻度直尺完成以ABC A 下作图（保留作图痕迹）．（1）在图1中，作关于点对称的；ABC A O A B C '''V （2）在图2中，作绕点顺时针旋转一定角度后，顶点仍在格点上ABC A A 的．A B C '''V【分析】（1）分别作出A ，B ，C 三点关于O 点对称的点，，，然后顺次连接即可得A 'B 'C '；A B C '''V（2）计算得出AB=AC=5，再根据旋转作图即可．解：（1）如图1所示；（2）根据勾股定理可计算出AB=AC=5，再作图，如图2所示．【点拨】本题考查复杂-应用与设计，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题．举一反三：【变式1】如图所示的两个图形成中心对称，请找出它的对称中点．【分析】根据关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心作图.解：连接CC′，BB′，两条线段相交于当O，则点O即为对称中点．【点拨】本题考查的是中心对称的性质，掌握关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分是解题的关键.【变式2】在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立如图所示的平面直角坐标系△ABC是格点三角形（顶点在网格线的交点上）（1）先作△ABC关于原点O成中心对称的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4个单位长度得到△A 2B 2C 2；（2）△A 2B 2C 2与△ABC 是否关于某点成中心对称？若是，直接写出对称中心的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（1）画图见分析；（2）（0，2）.解：分析：（1）根据中心对称和平移性质分别作出变换后三顶点的对应点，再顺次连接可得；（2）根据中心对称的概念即可判断．详解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2即为所求；（2）由图可知，△A 2B 2C 2与△ABC 关于点（0，2）成中心对称．【点拨】本题考查了中心对称作图和平移作图，熟练掌握中心对称的性质和平移的性质是解答本题的关键. 中心对称的性质：①关于中心对称的两个图形能够完全重合；②关于中心对称的两个图形，对应点的连线都经过对称中心，并且被对称中心平分.类型三、利用中心对称图形性质求值3.如图，与关于O 点中心对称，点E 、F 在线段AC 上，且ABO A CDO △AF =CE ．求证：FD =BE．【分析】根据中心对称得出OB =OD ，OA =OC ，求出OF =OE ，根据SAS 推出△DOF ≌△BOE 即可．证明：∵△ABO 与△CDO 关于O 点中心对称，∴OB =OD ，OA =OC ．∵AF =CE ，∴OF =OE ．∵在△DOF 和△BOE 中，，BOE OB OD DOF OF OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DOF ≌△BOE （SAS ）．∴FD =BE ．举一反三：【变式1】如图，在中，D 为BC 上任一点，交AB 于点ABC A //DE AC 交AC 于点F ，求证：点关于AD 的中点对称．//E DF AB ，E F，试题分析：根据题意推知四边形AEDF 是平行四边形，则该四边形关于点O 对称．证明：如图，连接EF 交于点O ．交AB 与交AC 于F ，//DE AC //E DF AB ，四边形AEDF 是平行四边形，∴点关于AD 的中点对称．∴E F ，【变式2】如图,D是△ABC边BC的中点,连接AD并延长到点E,使DE=AD，连接BE．(1)图中哪两个图形成中心对称；(2)若△ADC的面积为4，求△ABE的面积．【答案】（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）8．【分析】（1）直接利用中心对称的定义写出答案即可；（2）根据成中心对称的图形的两个图形全等确定三角形BDE的面积，根据等底同高确定ABD的面积，从而确定ABE的面积．解：（1）图中△ADC和三角形EDB成中心对称；（2）∵△ADC和三角形EDB成中心对称，△ADC的面积为4，∴△EDB的面积也为4，∵D为BC的中点，∴△ABD的面积也为4，所以△ABE的面积为8．【点拨】本题考查了中心对称的定义，解题的关键是了解中心对称的定义，难度较小．类型四、坐标系中的中心对称图形4、在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示（每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形）．（1）若△ABC和△A1B1C1关于原点O成中心对称图形，画出△A1B1C1；（2）将△ABC绕着点A顺时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB2C2；（3）在x轴上存在一点P，满足点P到点B1与点C1距离之和最小，请直接写出PB1+P C1的最小值为 ．【答案】（1）画图见分析；（2）画图见分析；（3【分析】（1）根据关于原点中心对称的点的坐标特征，分别描出点A、B、C的对应点A1、B1、C1，即可得到△A1B1C1；（2）利用网格特点，根据旋转的性质画出点A、B旋转后的对应点A2、B2，即可得到△A2B2C；（3）作C1（或B1）点关于x轴的对称点，根据勾股定理即可求解．解：（1）（2）如图所示（3）如图，作C 1点关于x 轴的对称点C 4在Rt ΔC 4DB 1中，C 4B 1=举一反三：【变式1】已知点P （x ，y ）的坐标满足方程（x+3），求点P 分别关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标．【答案】点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【分析】先根据非负数的性质通过方程式求得、的值，即得到点的坐标，然后x y P 求点分别关于轴，轴以及原点的对称点坐标.P x y解：由题意，得x+3=0，y+4=0，解得x=﹣3，y=﹣4，P 点的坐标为（﹣3，﹣4），点P 关于x 轴，y 轴以及原点的对称点坐标分别为（﹣3，4），（3，﹣4），（3，4）．【点拨】本题是一道小综合题，涉及了非负数性质、点的坐标及点关于轴、轴以x y 及原点的对称的性质，是考查学生综合知识运用能力的好题.【变式2】在平面直角坐标系中，点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O 的对称点为点C ．（1）若A 点的坐标为（1，2），请你在给出的坐标系中画出△ABC ．设AB 与y 轴的交点为D ，则= ；ADOABC S S D D （2）若点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则△ABC的形状为．【答案】（1）；（2）直角三角形．14【分析】（1）由A 点的坐标为（1，2），根据关于原点、坐标轴对称的点的坐标特征，求出B 、C 的坐标，继而得到点D 的坐标，在坐标轴上描出A 、B 、C ，顺次连接A 、B 、C 三点可得到△ABC ；根据各点的坐标可得到AD 、OD 、AB 、BC 的长度，然后利用三角形面积公式即可得到答案；（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（−a ，b ），C 点坐标为（−a ，−b ），则AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，至此结合x 轴与y 轴的位置关系就不难判断出△A BC 的形状.解：（1）∵A 点的坐标为（1，2），点A 关于y 轴的对称点为点B ，点A 关于原点O的对称点为点C ，∴B 点坐标为（-1，2），C 点坐标为（-1，-2），连AB ，BC ，AC ，AB 交y 轴于D 点，如图，D 点坐标为（0，2），∴S △ADO =OD •AD =×2×1=1，S △ABC =BC •AB =×4×2=4，12121212∴=；ADO ABC S S A A 14（2）点A 的坐标为（a ，b ）（ab ≠0），则B 点坐标为（-a ，b ），C 点坐标为（-a ，-b ），AB ∥x 轴，BC ∥y 轴，AB =2|a |，BC =2|b|，∴△ABC 的形状为直角三角形．【点拨】本题考查了关于原点对称的坐标特点：点P (a ，b)关于原点的对称点P′的坐标为(–a ，–b )．也考查了关于x 轴、y 轴对称的坐标特点以及三角形的面积公式．类型三、中心对称图形的综合运用5、已知：如图，三角形ABM 与三角形ACM 关于直线AF 成轴对称，三角形ABE 与三角形DCE 关于点E 成中心对称，点E 、D 、M 都在线段AF 上，BM 的延长线交CF 于点P ．（1）求证：AC=CD ；（2）若∠BAC=2∠MPC ，请你判断∠F 与∠MCD 的数量关系，并说明理由．【分析】（1）利用中心对称图形的性质以及轴对称图形的性质得出全等三角形进而得出对应线段相等；（2）利用（1）中所求，进而得出对应角相等，进而得出答案．(1)证明：∵△ABM与△ACM关于直线AF成轴对称，∴△ABM≌△ACM，∴AB=AC，又∵△ABE与△DCE关于点E成中心对称，∴△ABE≌△DCE，∴AB=CD，∴AC=CD；(2)∠F=∠MCD.理由：由(1)可得∠BAE=∠CAE=∠CDE，∠CMA=∠BMA，∵∠BAC=2∠MPC，∠BMA=∠PMF，∴设∠MPC=α，则∠BAE=∠CAE=∠CDE=α，设∠BMA=β，则∠PMF=∠CMA=β，∴∠F=∠CPM−∠PMF=α−β，∠MCD=∠CDE−∠DMC=α−β，∴∠F=∠MCD.【点拨】本题主要考查轴对称、中心对称性质和全等三角形的判定及性质.通过轴对称与中心对称的性质得出全等三角形的判定条件是解题的关键.举一反三：【变式1】如图，已知点A（2，3）和直线y=x，（1）点A关于直线y=x的对称点为点B，点A关于原点（0，0）的对称点为点C；写出点B 、C 的坐标；（2）若点D 是点B 关于原点（0，0）的对称点，判断四形ABCD 的形状，并说明理由．【答案】（1）B （3，2），点C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由见分析.【分析】（1）依据关于直线y =x 的对称点的坐标特征以及关于原点的对称点的坐标特征，即可得到B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）先依据轴对称和中心对称的性质，得到四边形ABCD 是平行四边形，再依据AC =BD ，即可得出四边形ABCD 是矩形．解：（1）∵A （2，3），∴点A 关于直线y =x 的对称点B 和关于原点的对称点C 的坐标分别为：B （3，2），C （﹣2，﹣3）；（2）四边形ABCD 是矩形．理由如下：∵B （3，2）关于原点的对称点为D （﹣3，﹣2）．又∵点B 点D 关于原点对称，∴BO =DO ．同理AO =DO ，∴四边形ABCD 是平行四边形．∵A 关于直线y =x 的对称点为B ，点A 关于原点的对称点C ，∴AC =BD ，∴四边形ABCD 是矩形．【点拨】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及矩形的判定，解题时注意：对角线相等的平行四边形是矩形．【变式2】（1）画图：图①为正方形网格，画出绕点顺时针旋转后的图ABC A O 90 形．（2）尺规作图：在图②中作出四边形关于点对称的图形（不写作法，保留ABCD O 作图痕迹，用黑色笔将作图痕迹涂黑）．【分析】（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连接即可；（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连接即可．解：（1）连结OA 、OB 、OC ，将OA 、OB 、OC 绕着点O 顺时针旋转90°得OD ，OE ，OF ，顺次连结DE ，EF ，FD ，如图①，则为所求；DEF A（2）连结AO 、BO 、CO 、DO 并延长，在延长线上截取A′O=AO ，B′O=BO ，C′O=CO ，D′O=DO ，顺次连结A′B′、B′C′、C′D′、D′A ，'如图②，四边形为所求．A B C D ''''【点拨】本题考查旋转作图，中心对称作图问题，掌握旋转作图与中心对称作图的方法与步骤是解题关键．。
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九年级上册数学讲义姓名：电话：第二十一章 一元二次方程1、 一元二次方程 方程中只含有一个未知数，而且未知数的最高次数是2的方程，一般地，这样的方程都整理成为形如ax bx c a 200++=≠（）的一般形式，我们把这样的方程叫一元二次方程。
其中ax bx c 2，，分别叫做一元二次方程的二次项、一次项和常数项，a 、b 分别是二次项和一次项的系数。
如：24102x x -+=满足一般形式ax bx c a 200++=≠（），2412x x ，，-分别是二次项、一次项和常数项，2，－4分别是二次项和一次项系数。
注：如果方程中含有字母系数在讨论是否是一元二次方程时，则需要讨论字母的取值范围。
●夯实基础例1 把下列方程先化成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数，一次项系数和常数项。
（1）272y y =-（2）()()512152y y y +-=-（3）()m x n mx x 2210++-=（是未知数）例2 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．例3 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________．●能力提升例4若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数●培优训练例5 m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．第一讲 一元二次方程的定义例6关于x 的方程（m+3）x m2-7+（m-3）x+2=0是一元二次方程，则m 的值为例7（2000•兰州）关于x 的方程（m 2-m-2）x 2+mx+1=0是一元二次方程的条件是（ ）A ．m≠-1B ．m≠2C ．m≠-1或m≠2D ．m≠-1且m≠2●课后练习1、m 为何值时，关于x 的方程2((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程．2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围．3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围．4、若2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值．5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________（1）直接开平方法形如x m m 20=≥（）的方程都可以用开平方的方法写成x m =±，求出它的解，这种解法称为直接开平方法。
第23章旋转第1课时 旋转的概念及性质-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册讲义第二十三章旋转第1课时旋转的概念及性质知识要点旋转1、定义把一个图形绕某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转，其中O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
2、性质（1）对应点到旋转中心的距离相等。
（2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角。
旋转特殊角度旋转60°得等边三角形。
旋转90°得等腰直角三角形。
旋转任意角度得等腰三角形。
对应练习1.如图，ΔABC 是等腰三角形，∠BAC = 36°，D 是BC 上一点，ΔABD 经过旋转后到达ΔACE 的位置，(1) 旋转中心是哪一点？(2)旋转了多少度？(3) 如果M 是AB 的中点，那么经过上述旋转后，点M 转到了什么位置？2.如图，是ΔAOB 绕点O 按逆时针方向旋转45°所得的．点B 的对应点是点_____ 线段OB 的对应线段是线段______ 线段AB 的对应线段是线段______∠A 的对应角是______ ∠B 的对应角是______ 旋转中心是点______ 旋转的角度是______3.如图是由正方形ABCD 旋转而成．（1）旋转中心是__________（2）旋转的角度是_________ （3）若正方形的边长是1，则C ’D =_________4.ΔA'OB '是ΔAOB 绕点O按逆时针方向旋转得到的. 已知∠AOB =20°，∠A'OB =24°，AB =3，OA =5则A'B '=____，OA' =____，旋转角=______.5.如图，ΔABC绕A 逆时针旋转使得C 点落在BC 边上的F 处，则对于结论：①AC =AF；②∠FAB =∠EAB；③EF =BC；④∠EAB =∠FAC，其中正确的结论是______________6.如图E 是正方形ABCD 内一点，将ΔABE 绕点B 顺时针方向旋转到ΔCBF，其中EB =3cm，则BF =_____cm ，∠EBF =______．7.如图将RtΔABC 绕C 点逆时针旋转30°后，点B 落在B ′，点A落在A’点位置，若A’C ⊥ AB，求∠B ’A’C 的度数．8．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，若线段AB＝5，则BE的长度为．9．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A'B'C'，连接AA′，若∠1＝25°，则∠BAA'的度数是．课后作业1．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，此时点C恰好在线段DE上，若∠B=40°，∠CAE=60°，则∠DAC的度数为()• A.15° B.20° C.25° D.30°2．如图，在△ABD中，AD＝BD，将△ABD绕点A逆时针旋转得到△ACE，使点C落在直线BD上．（1）求证：AE∥BC；（2）连接DE，判断四边形ABDE的形状，并说明理由．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时B、C、E在同一直线上.（1）旋转角的大小；（2）若AB＝10，AC＝8，求BE的长.4．如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠AEB= 度．5．如图，P是等边三角形ABC内一点将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，连接BP，若PA=2，PB=4，PC=2√3，则四边形APBQ的面积为．6．如图所示，点D是等边△ABC内一点，DA＝15，DB＝19，DC＝21，将△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，当点E 在BD的延长线上时.求（1）∠BDA的度数；（2）△DEC的周长.7．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A′B′C，M、M′分别是AB、A′B′的中点，若AC＝8，BC＝6，则线段MM′的长为 .8．如图，在等边△ABC中，点D为△ABC内的一点，∠ADB=120°，∠ADC=90°，将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE，连接DE．(1)求证：AD=DE；(2)求∠DCE的度数；(3)若BD=1，求AD、CD的长．9．正方形ABCD与正方形DEFG按如图1放置，点A、D、G在同一条直线上，点E在CD边上，AD=3，DE= √2，连接AE、CG．(1)线段AE与CG的关系为；(2)将正方形DEFG绕点D顺时针旋转一个锐角后，如图2，请问(1)中的结论是否仍然成立？请说明理由．长．对应练习答案1.答案：（1）A；（2）36°；（3）AC 的中点．2.B’，OB’，A'B '，∠A’，∠B '，O，45°3.A，45°，4.3,5，44°5.①③④6.答案：3，90°．7.答案：60°．8.解答：解：∵△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED，∴AB＝AE，∠BAE＝60°，∴△AEB是等边三角形，∴BE＝AB，课后作业答案1.解答：解：由旋转的性质得：△ADE≌△ABC，∴∠D=∠B=40°，AE=AC，∵∠CAE=60°，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=∠E=60°，∴∠DAE=180°-∠E-∠D=80DU=(180°-∠CAE)=(180°-60°)=80°，∴∠DAC=∠DAE-∠CAE=80°-60°=20°；故选：B．2.解答：证明：（1）由旋转性质得∠BAD＝∠CAE，AB＝AC，∵AD＝BD，∴∠B＝∠BAD，∵AB＝AC，∴∠B＝∠DCA；∴∠CAE＝∠DCA，∴AE∥BC.（2）四边形ABDE是平行四边形，理由如下：由旋转性质得AD＝AE，∵AD＝BD，∴AE＝BD，又∵AE∥BC，∴四边形ABDE是平行四边形．3.解答：解：（1）∵△DCE是△ABC绕着点C顺时针方向旋转得到的，此时点B、C、E在同一直线上，∴∠ACE＝90°，即旋转角为90°，（2）在Rt△ABC中，∵AB＝10，AC＝8，∴BC＝＝6，∵△ABC绕着点C旋转得到△DCE，∴CE＝CA＝8，∴BE＝BC+CE＝6+8＝144.解答：解：连接EE′∵△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′∴∠EBE′是直角，∴△EBE′是直角三角形，∵△ABE与△CE′B全等∴BE=BE′=2，∠AEB=BE′C∴∠BEE′=∠BE′E=45°，∵EE′2=22+22=8，AE=CE′=1，EC=3，∴EC2=E′C2+EE′2，∴△EE′C是直角三角形，∴∠EE′C=90°，∴∠AEB=135°．故答案为：135．5.解答：解：如图，连接PQ．∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，∴AP=AQ=2，PC=BQ=2√3，∠PAQ=60°，∴△PAQ是等边三角形，∴PQ=PA=2，∵PB=4，∴PB2=BQ2+PQ2，∴∠PQB=90°，∴S四边形APBQ=S△PBQ+S△APQ=•PQ•QB+•PA2=×2×2√3+×4=3√3，故答案为3√3．6.解答：解：（1）∵△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，AB＝AC，∵△ABD绕点A逆时针旋转到△ACE的位置，点E在BD的延长线上，∴AD＝AE，CE＝DB＝19，∠DAE＝∠BAC＝60°，∴△ADE为等边三角形，∴∠ADE＝60°，DE＝AD＝15，∴∠BDA＝120°；（2）△DEC的周长＝DE+DC+CE＝15+21+19＝55.7.解答：连接CM，CM′，∵AC=8，BC=6，∴AB= =10，∵M是AB的中点，∴CM= AB=5，∵Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到Rt△A′B′C，∴∠A′CM′=∠ACM∵∠ACM+∠MCB=90°，∴∠MCB+∠BCM′=90°，又∵CM=C′M′，∴△CMM′是等腰直角三角形，∴MM′=CM=5 ，故答案为：5 ．8.解答：(1)证明：∵将△ABD绕点A逆时针旋转60°得△ACE∴△ABD≌△ACE，∠BAC＝∠DAE，∴AD＝AE，BD＝CE，∠AEC＝∠ADB＝120°，∵△ABC为等边三角形∴∠BAC＝60°∴∠DAE＝60°∴△ADE为等边三角形，∴AD＝DE，(2)∠ADC＝90°，∠AEC＝120°，∠DAE＝60°∴∠DCE＝360°﹣∠ADC﹣∠AEC﹣∠DAE＝90°，(3)∵△ADE为等边三角形∴∠ADE＝60°∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝30°又∵∠DCE＝90°∴DE＝2CE＝2BD＝2，∴AD＝DE＝2在Rt△DCE中，．9.解答：解：(1)线段AE与CG的关系为：AE＝CG，AE⊥CG，理由如下：如图1，延长AE交CG于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADE＝∠CDG＝90°，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠AED＝90°，∠AED＝∠CEH，∴∠GCD+∠CEH＝90°，∴∠CHE＝90°，即AE⊥CG，故答案为：AE＝CG，AE⊥CG；(2)结论仍然成立，理由如下：如图2，设AE与CG交于点H，∵四边形ABCD和四边形DGFE是正方形，∴AD＝CD，ED＝GD，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠EDG+∠CDE，即∠ADE＝∠CDG，∴△ADE≌△CDG(SAS)，∴AE＝CG，∠EAD＝∠GCD，∵∠EAD+∠APD＝90°，∠APD＝∠CPH，∴∠GCD+∠CPH＝90°，∴∠CHP＝90°，即AE⊥CG，∴AE＝CG，AE⊥CG，∴①中的结论仍然成立；。
初中数学切线长定理(教师版)九年级数学上册同步精品讲义(人教版)
第26课切线长定理目标导航课程标准1.了解切线长定义；理解切线的判定和性质；理解三角形的内切圆及内心的定义；2.掌握切线长定理；利用切线长定理解决相关的计算和证明.知识精讲知识点01 切线的判定定理和性质定理1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.要点诠释：切线的判定方法：（1）定义：直线和圆有唯一公共点时，这条直线就是圆的切线；（2）定理：和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；（3）判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.（切线的判定定理中强调两点：一是直线与圆有一个交点，二是直线与过交点的半径垂直，缺一不可）.2．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.要点诠释：切线的性质：（1）切线和圆只有一个公共点；（2）切线和圆心的距离等于圆的半径；（3）切线垂直于过切点的半径；（4）经过圆心垂直于切线的直线必过切点；（5）经过切点垂直于切线的直线必过圆心.知识点02 切线长定理1．切线长：经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.要点诠释：切线长是指圆外一点和切点之间的线段的长，不是“切线的长”的简称.切线是直线，而非线段. 2．切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点诠释：切线长定理包含两个结论：线段相等和角相等.3．圆外切四边形的性质：圆外切四边形的两组对边之和相等.知识点02 三角形的内切圆1．三角形的内切圆：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.2．三角形的内心：三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.要点诠释：(1) 任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形；(2) 解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即1Pr2S (S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径).考法01 切线长定理【典例1】如图，等腰三角形中，，．以为直径作⊙O 交于点，交于点，，垂足为，交的延长线于点．求证：直线是⊙O 的切线.【答案与解析】如图，连结OD 、，则．∴． ∵ ，∴． ∴是的中点． ∵是的中点， ∴． ∵于F ． ∴．∴是⊙O 的切线． 【总结升华】连半径，证垂直.【即学即练1】已知：如图，在梯形 ABCD 中，AB ∥DC ，∠B=90°，AD=AB+DC ，AD 是⊙O 的直径．求证：BC 和⊙O 相切．ABC 6AC BC ==8AB =BC AB D AC G DF AC ⊥F CB E EFDFGCO B E ACD 90BDC ∠=︒CD AB ⊥AC BC =AD BD =D AB O BC DO AC ∥EF AC ⊥EF DO ⊥EF 能力拓展【答案】作OE⊥BC，垂足为E，∵ AB∥DC，∠B=90°，∴ OE∥AB∥DC，∵ OA=OD，∴ EB=EC，∴ BC是⊙O的切线．【典例2】已知：如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD，求证：DC是⊙O的切线．【答案与解析】连接OD．∵ OA=OD ，∴∠1=∠2．∵ AD ∥OC ， ∴∠1=∠3，∠2=∠4． 因此 ∠3=∠4．又∵ OB=OD ，OC=OC ，∴ △OBC ≌△ODC ． ∴∠OBC=∠ODC ．∵BC 是⊙O 的切线，∴∠OBC=90°，∴∠ODC=90°， ∴ DC 是⊙O 的切线．【总结升华】因为AB 是直径，BC 切⊙O 于B ，所以BC ⊥AB ．要证明DC 是⊙O 的切线，而DC 和⊙O 有公共点D ，所以可连接OD ，只要证明DC ⊥OD ．也就是只要证明∠ODC=∠OBC.而这两个角分别是△ODC 和△OBC 的内角，所以只要证△ODC ≌△OBC ．这是不难证明的．【即学即练2】已知：∠MAN=30°，O 为边AN 上一点，以O 为圆心、2为半径作⊙O ，交AN 于D 、E 两点，设AD=，⑴如图⑴当取何值时，⊙O 与AM 相切；⑵如图⑵当为何值时，⊙O 与AM 相交于B 、C 两点，且∠BOC=90°．【答案】（1）设AM 与⊙O 相切于点B ，并连接OB ，则OB ⊥AB ；在△AOB 中，∠A=30°， 则AO=2OB=4， 所以AD=AO-OD ， 即AD=2．x=AD=2.x xx（2）过O 点作OG⊥AM 于G∵OB=OC=2，∠BOC=90°，∴BC=，∵∠A=30°∴OA=∴x=AD=2考法02 三角形的内切圆【典例3】已知四边形ABCD 中，AB∥CD，⊙O 为内切圆，E 为切点． （Ⅰ）如图1，求∠AOD 的度数；（Ⅱ）如图1，若AO=8cm ，DO=6cm ，求AD 、OE 的长；（Ⅲ）如图2，若F 是AD 的中点，在（Ⅱ）中条件下，求FO 的长．【答案与解析】解：（Ⅰ）∵⊙O 为四边形ABCD 的内切圆， ∴AD、AB 、CD 为⊙O 的切线， ∴OD 平分∠ADC，OA 平分∠BAD， 即∠ODA=∠ADC，∠OAD=∠BAC， ∵AB∥CD，∴∠ADC+∠BAC=180°，∴∠ODA+∠OAD=90°，∴∠AOD=90°；（Ⅱ）在Rt△AOD中，∵AO=8cm，DO=6cm，∴AD==10（cm），∵AD切⊙O于E，∴OE⊥AD，∴OE•AD=OD•OA，∴OE==（cm）；（Ⅲ）∵F是AD的中点，∴FO=AD=×10=5（cm）．【总结升华】本题考查了三角形的内切圆与内心，也考查了切线长定理．考法03 与相切有关的计算与证明【典例4】已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC=60°，求AD的长．【答案与解析】证明：（1）如图1，连接FO，∵F为BC的中点，AO=CO，∴OF∥AB，∵AC是⊙O的直径，∴CE⊥AE，∵OF∥AB，∴OF⊥CE，∴OF所在直线垂直平分CE，∴FC=FE，OE=OC，∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，∵∠ACB=90°，即：∠0CE+∠FCE=90°，∴∠0EC+∠FEC=90°，即：∠FEO=90°，∴FE为⊙O的切线；（2）如图2，∵⊙O的半径为3，∴AO=CO=EO=3，∵∠EAC=60°，OA=OE，∴∠EOA=60°，∴∠COD=∠EOA=60°，∵在Rt△OCD中，∠COD=60°，OC=3，∴CD=，∵在Rt△ACD中，∠ACD=90°，CD=，AC=6，∴AD=．【总结升华】本题是一道综合性很强的习题，考查了切线的判定和性质，三角形的中位线的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质等，熟练掌握定理是解题的关键．分层提分题组A 基础过关练1．下列说法中，不正确的是( )A．三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点B．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部C．垂直于半径的直线是圆的切线D．三角形的内心到三角形的三边的距离相等【答案】C【分析】根据三角形的内心的性质得出A、B、D正确；根据切线的判定定理得出C不正确；即可得出结果．【详解】由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，故可知A正确；由三角形内心的概念，可知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的内心都在三角形内部，故可知B正确；经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线，故可知C不正确；由三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点，可知三角形的内心到三角形的三边的距离相等，故可知D 正确．故选C．【点睛】本题考查了三角形的内心与性质、切线的判定定理；熟练掌握三角形的内心性质与切线的判定定理是解决问题的关键．2．△ABC的三边长分别为a、b、c，它的内切圆的半径为r，则△ABC的面积为（）A．12（a＋b＋c）r B．2（a＋b＋c）C．13（a＋b＋c）r D．（a＋b＋c）r【答案】A【分析】首先根据题意画出图，观察发现三角形ABC的内切圆半径，恰好是三角形ABC内三个三角形的高，因而可以通过面积S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC来计算．【详解】如图，可得S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=12ABr+12BCr+12ACr=12（AB+BC+AC）r =12（a+b+c）r ，故选A.【点睛】本题考查三角形的内切圆与内心．解决本题的关键是将求△ABC转化为求S△AOB、S△BOC、S△AOC．3．如图，点P在△O外，PA、PB分别与△O相切于A、B两点，△P=50°，则△AOB等于（）A ．150°B ．130°C ．155°D ．135°【答案】B 【详解】试题分析：根据切线的性质可得：△OAP=△OBP=90°，根据四边形的内角和定理可得：△AOB+△P+△OAP+△OBP=360°，则△AOB=360°－90°－90°－50°=130°． 考点：切线的性质、四边形的内角和4．如图所示，△O 的外切梯形ABCD 中，如果AD△BC ，那么△DOC 的度数为( )A ．70°B ．90°C ．60°D ．45°【答案】B 【分析】由于AD 、DC 、CB 都是△O 的切线，根据切线长定理知：△ADO=△CDO ，△DCO=△BCO ；而AD△BC ，则2△ODC 和2△OCD 互补，由此可求得△DOC 的度数． 【详解】△DA 、CD 、CB 都与△O 相切， △△ADO=△ODC ，△OCD=△OCB ； △AD△BC ，△△ADC+△BCD=180°；△△ODC+△OCD=90°，即△DOC=90°； 故选B ． 【点睛】此题主要考查的是切线长定理及平行线的性质，准确的确定角的关系是解题关键．5．如图，PA 是O ⊙的切线，切点为A ，，则O ⊙的半径为A ．1B.3C.2D.4 【答案】C【解析】解：连接AO ，则△OAP=90°，又因为△APO=30°，所以AO=1/2PO ，设AO=x ，则PO=2X ，根据勾股定理，(2X)² -X² =(23）² 解得x=2，即半径为2，故选C 。
第22课 圆的基本概念和性质(学生版 九年级数学上册精品讲义(人教)
A.2.5cm
B.6.5cm C. 2.5cm 或 6.5cm D. 5cm 或 13cm
【即学即练 4】（1）过____________________上的三个点确定一个圆． （2）交通工具上的轮子都是做圆的，这是运用了圆的性质中的_________．
【典例 5】如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB=8，P 是弦 AB 上的一个动点，那么 OP 的长的取值范围是
的图形叫做圆，固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做
. 以点 O 为圆心的圆，记作“ ”，读
作“圆 O”．
要点诠释：
①圆心确定圆的
，半径确定圆的
；确定一个圆应先确定圆心，再确定半径，二者缺一不
可；
②圆是一条封闭曲线.
(2)静态：圆心为 O，半径为 r 的圆是平面内 的集合.
要点诠释：
①定点为圆心，定长为半径；
【即学即练 2】 点 A、O、D 与点 B、O、C 分别在同一直线上，图中弦的条数为（ ）
A．2
B．3
C．4
D．5
考法 03 圆的对称性
【典例 4】圆 O 所在平面上的一点 P 到圆 O 上的点的最大距离是 10，最小距离是 2，求此圆的半径是多少？
【即学即练 3】平面上的一个点到圆的最小距离是 4cm,最大距离是 9cm，则圆的半径是（ ）.
弧：
叫做圆弧，简称弧.以 A、B 为端点的弧记作 »AB ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，
优弧：
的弧叫做优弧；
劣弧：
的弧叫做劣弧.
半圆是弧，而弧不一定是半圆； ②无特殊说明时，弧指的是劣弧. 3.同心圆与等圆 圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆. 圆心不同，半径相等的两个圆叫做等圆.同圆或等圆的半径相等.
人教版九年级上册数学 第24章《圆》讲义 第讲 正多边形和圆弧长和扇形面积(有答案)
第17讲 正多边形和圆、弧长和扇形面积 第一部分 知识梳理 知识点一：圆与内正多边形的计算1、正三角形 在⊙O 中△ABC 是正三角形，有关计算在Rt BOD ∆中进行：::1:3:2OD BD OB =；2、正四边形 同理，四边形的有关计算在Rt OAE ∆中进行，::1:1:2OE AE OA =3、正六边形 同理，六边形的有关计算在Rt OAB ∆中进行，::1:3:2AB OB OA = 知识点二、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：（1）弧长公式：180n R l π=； （2）扇形面积公式： 213602n R S lR π== n ：圆心角 R ：扇形多对应的圆的半径 l ：扇形弧长 S ：扇形面积2、圆柱侧面展开图：3、圆锥侧面展开图第二部分 考点精讲精练考点1、正多边形和圆的求解例1、六边形的边长为10cm ，那么它的边心距等于（ ）A ．10cmB ．5cmC ．cm D ．cm 例2、已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为（ ） A ．正三角形 B ．正方形 C ．正六边形 D ．正十二边形例3、如图，在⊙O 内，AB 是内接正六边形的一边，AC 是内接正十边形的一边，BC 是内接正n 边形的一边，那么n= ．例4、圆的内接正六边形边长为a，这个圆的周长为．例5、如图，已知边长为2cm的正六边形ABCDEF，点A1，B1，C1，D1，E1，F1分别为所在各边的中点，求图中阴影部分的总面积S．举一反三：1、下列命题中的真命题是（）A．三角形的内切圆半径和外接圆半径之比为2：1B．正六边形的边长等于其外接圆的半径C．圆外切正方形的边长等于其边A心距的倍D．各边相等的圆外切多边形是正方形2、已知正方形的边长为a，其内切圆的半径为r，外接圆的半径为R，则r：R：a=（）A．1：1：B．1：：2 C．1：：1 D．：2：43、某工人师傅需要把一个半径为6cm的圆形铁片加工截出边长最大的正六边形的铁片，则此正六边形的边长为 cm．4、如图，正六边形与正十二边形内接于同一圆⊙O中，已知外接圆的半径为2，则阴影部分面积为．5、如图，⊙O半径为4cm，其内接正六边形ABCDEF，点P，Q同时分别从A，D两点出发，以1cm/s速度沿AF，DC向终点F，C运动，连接PB，QE，PE，BQ．设运动时间为t（s）．（1）求证：四边形PEQB为平行四边形；（2）填空：①当t= s时，四边形PBQE为菱形；②当t= s时，四边形PBQE为矩形．考点2、弧长的计算例1、一条弧所对的圆心角是90°，半径是R，则这条弧长是（）A．B．C．D．例2、一个滑轮起重装置如图所示，滑轮半径是10cm，当重物上升10cm时，滑轮的一条半径OA绕轴心O，绕逆时针方向旋转的角度约为（假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14，结果精确到1°）（）A．115°B．160°C．57°D．29°例3、已知：如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠BOD=120°，OB=1，则∠BAD= 度，∠BCD= 度，弧BCD的长= ．例4、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=cm，将△ABC绕点B旋转至△A′BC′的位置，且使点A、B、C′三点在一条直线上，则点A经过的最短路线的长度是．例5、如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60°，AC为对角线．将△ACD绕点A逆时针旋转60°得到△AC′D′，连接DC′．（1）求证：△ADC≌△ADC′；（2）求在旋转过程中点C扫过路径的长．（结果保留π）举一反三：1、弧长为6π的弧所对的圆心角为60°，则弧所在的圆的半径为（）A．6 B．6C．12D．182、如图，一块边长为10cm的正方形木板ABCD，在水平桌面上绕点D按顺时针方向旋转到A′B′C′D′的位置时，顶点B从开始到结束所经过的路径长为（）A．20cm B．20cm C．10πcm D．5πcm3、一段铁路弯道成圆弧形，圆弧的半径是2km．一列火车以每小时28km的速度经过10秒通过弯道．那么弯道所对的圆心角的度数为度．（π取3.14，结果精确到0.1度）．4、已知矩形ABCD的长AB=4，宽AD=3，按如图放置在直线AP上，然后不滑动地转动，当它转动一周时（A→A′），顶点A所经过的路线长等于．5、如图，在一个横截面为Rt△ABC的物体中，∠CAB=30°，BC=1米．工人师傅把此物体搬到墙边，先将AB边放在地面（直线l）上，再按顺时针方向绕点B翻转到△A1B1C1的位置（BC1在l上），最后沿BC1的方向平移到△A2B2C2的位置，其平移的距离为线段AC的长度（此时A2C2恰好靠在墙边）．（1）请直接写出AB、AC的长；（2）画出在搬动此物的整个过程A点所经过的路径，并求出该路径的长度（精确到0.1米）．考点3、扇形面积的计算例1、已知五个半径为1的圆的位置如图所示，各圆心的连线构成一个五边形，那么阴影部分的面积是（）A．B．2π C．D．3π例2、一个商标图案如图中阴影部分，在长方形ABCD中，AB=8cm，BC=4cm，以点A 为圆心，AD为半径作圆与BA的延长线相交于点F，则商标图案的面积是（）A．（4π+8）cm2 B．（4π+16）cm2C．（3π+8）cm2 D．（3π+16）cm2例3、如图，E是正方形ABCD内一点，连接EA、EB并将△BAE以B为中心顺时针旋转90°得到△BFC，若BA=4，BE=3，在△BAE旋转到△BCF的过程中AE扫过区域面积．例4、如图，有一直径为1米的圆形铁皮，要从中剪出一个最大的圆心角为90°的扇形，则剩下部分的（阴影部分）的面积是．例5、如图，已知P为正方形ABCD内一点，△ABP经过旋转后到达△CBQ的位置．（1）请说出旋转中心及旋转角度；（2）若连接PQ，试判断△PBQ的形状；（3）若∠BPA=135°，试说明点A，P，Q三点在同一直线上；（4）若∠BPA=135°，AP=3，PB=，求正方形的对角线长；（5）在（4）的条件下，求线段AP在旋转过程中所扫过的面积．举一反三：1、若一个扇形的面积是相应圆的41，则它的圆心角为（ ） A ．150° B ．120° C ．90° D ．60°2、如图所示的4个的半径均为1，那么图中的阴影部分的面积为（ ）A ．π+1B ．2πC ．4D ．63、如图，O 为圆心，半径OA=OB=r ，∠AOB=90°，点M 在OB 上，OM=2MB ，用r 的式子表示阴影部分的面积是 ．4、如图，直角△ABC 的直角顶点为C ，且AC=5，BC=12，AB=13，将此三角形绕点A 顺时针旋转90°到直角△AB′C′的位置，在旋转过程中，直角△ABC 扫过的面积是 ．（结果中可保留π）5、如图，四边形ABCD 是长方形，AB=a ，BC=b （a ＞b ），以A 为圆心AD 长为半径的圆与CD 交于D ，与AB 交于E ，若∠CAB=30°，请你用a 、b 表示图中阴影部分的面积．考点4、圆锥侧面积计算例1、如果圆锥的高为3cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ）A ．16πcm 2B ．20πcm 2C ．28πcm 2D ．36πcm 2例2、新疆哈萨克族是一个游牧民族，喜爱居住毡房，毡房的顶部是圆锥形，如图所示，为防雨需要在毡房顶部铺上防雨布．已知圆锥的底面直径是5.7m ，母线长是3.2m ，铺满毡房顶部至少需要防雨布（精确到1m 2）（ ）A ．58 m 2B ．29 m 2C ．26 m 2D ．28 m 2例3、扇形的圆心角为150°，半径为4cm ，用它做一个圆锥，那么这个圆锥的表面积为 cm 2．例4、在十年文革期间的“高帽子”．这种“高帽子”是用如图①所示的扇形硬纸板，做成如图②所示的无底圆锥体．已知接缝的重叠部分的圆心角为30°．（1）求重叠部分的面积．（结果保留π）（2）计算这顶“高帽子”有多高？（结果保留根号）例5、已知：一个圆锥的侧面展开图是半径为20cm，圆心角为120°的扇形，求这圆锥的底面圆的半径和高．举一反三：1、若圆锥的侧面积为12πcm2，它的底面半径为3cm，则此圆锥的母线长为（）A．4πcm B．4 cm C．2πcm D．2 cm2、圆锥的轴截面是一个等腰三角形，它的面积是10cm2，底边上的高线是5cm，则圆锥的侧面展开图的弧长等于（）A．87πcm B．47πcm C．8 cm D．4 cm3、如图，扇形的半径为6，圆心角θ为120°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面，所得圆锥的高为。
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0002页 0036页 0081页 0107页 0173页 0225页 0252页 0274页 0307页 0336页 0393页 0437页 0492页 0494页 0518页 0537页 0567页
第二十一章 一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.3 实际问题与一元二次方程 小结 第二十二章 二次函数 22.2 二次函数与一元二次方程 22.3 实际问题与二次函数 数学活动 复习题22 23.1 图形的旋转 信息技术应用 探索旋转的性质 阅读与思考 旋转对称 小结 第二十四章 圆 24.2 点和圆、直线和圆的位置关系 24.3 正多边形和圆 24.4 弧长和扇形面积
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第二十二章 二次函数
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22.1 二次函数的图象和性质
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22.2 二次函数与一元二次方程
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21.3 实际问题与一元二次方程
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数学活动
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小结
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复习题21
第二十一章 一元二次方程
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21.1 一二次方程
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21.2 解一元二次方程
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阅读与思考 黄金分割数
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信息技术应用 探索干净函数的 性质
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1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 3．要组织一次排球邀请赛，参赛的每两队之间都 要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7 天，每天安排 4 场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参 加比赛？
2．细心观察，归纳定义
思考：观察上述三个方程，它们与一元一次方程有 什么共同点？有什么不同点？ x 2 +2x - 4=0 x 2 - 75x +350=0 x 2 - x - 56=0 等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知 数的最高次数是 2 的方程，叫做一元二次方程．
3．细心观察，概念辨析
辨别下列各式是否为一元二次方程？ 4x 2 = 81
（x 2 - 1）= 3y 2 √ ³ √ ³
3x =5 （ x - 1） （ x +2）
2x 2 + 3 x - 1
关于 x 的方程 mx 2 - 3x + 2 = 0 （m≠0） √
3．细心观察，概念辨析
一般地，任何一个关于 x 的一元二次方程，经过整 理，都能化成如下形式：
B
1．创设情境，导入新知
你会解哪些方程，如何解的？ 二元、三元 一次方程组 消元
一元一次方程 思考：如何解一元二次方程． 一元二次方程
降次
2．推导求根公式
问题2 解方程 x 2 = 25，依据是什么？ 平方根的意义 解得 x 1 = 5，x 2 = - 5． 请解下列方程： x 2 = 3，2x 2 - 8=0，x 2 = 0，x 2 = - 2„ 这些方程有什么共同的特征？ 结构特征：方程可化成 x 2 = p 的形式，
1．创设情境，导入新知
思考以下问题如何解决： 1．要设计一座高 2 m 的人体雕像，使它的上部 （腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全 部（全身）的高度比，求雕像的下部应设计为高多少米？
2022年九年级数学上册《一元二次方程的根与系数的关系》教材预习辅导讲义(附解析)
初中数学《一元二次方程的根与系数的关系》教材讲义及过关练一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根； （2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21教材知识总结也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； ③；④； ⑤；⑥；⑦⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大；222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3B ．-3C ．5D ．-5【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（ ） A ．6B ．3C ．3-D ．7-2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2B ．2-C ．12D ．12-3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1B ．0C ．20223D ．202274．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（ ） A ．x 2+2x ﹣8＝0B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝05．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1B ．2C ．2-D ．36．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（ ） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3二、填空题120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识课后习题巩固一下7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________． 9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______． 三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值．12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=． (1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值．1.3 一元二次方程的根与系数的关系答案解析一元二次方程根的判别式 1.一元二次方程根的判别式一元二次方程中，叫做一元二次方程的根的判别式，通常用“”来表示，即（1）当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根；)0(02≠=++a c bx ax ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax ∆ac b 42-=∆教材知识总结（2）当△=0时，一元二次方程有2个相等的实数根； （3）当△<0时，一元二次方程没有实数根.【点拨】利用根的判别式判定一元二次方程根的情况的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定的值； ③计算的值；④根据的符号判定方程根的情况. 2. 一元二次方程根的判别式的逆用 在方程中，（1）方程有两个不相等的实数根﹥0；（2）方程有两个相等的实数根=0；（3）方程没有实数根﹤0.【点拨】（1）逆用一元二次方程根的判别式求未知数的值或取值范围，但不能忽略二次项系数不为0这一条件；（2）若一元二次方程有两个实数根则 ≥0. 一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系如果一元二次方程的两个实数根是，那么，. 注意它的使用条件为a ≠0， Δ≥0.也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商. 2.一元二次方程的根与系数的关系的应用(1)验根．不解方程，利用根与系数的关系可以检验两个数是不是一元二次方程的两个根； (2)已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数；(3)不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x 1、x 2的对称式的值．此时，常常涉及代数式的一些重要变形；如：①；②； c b a .,ac b 42-ac b 42-()002≠=++a c bx ax ⇒ac b 42-⇒ac b 42-⇒ac b 42-ac b 42-)0(02≠=++a c bx ax 21x x ，a b x x -=+21acx x =21222121212()2x x x x x x +=+-12121211x x x x x x ++=③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧； ⑨； ⑩．(4)已知方程的两根，求作一个一元二次方程； 以两个数为根的一元二次方程是.(5)已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号. 设一元二次方程的两根为、，则 ①当△≥0且时，两根同号．当△≥0且，时，两根同为正数； 当△≥0且，时，两根同为负数． ②当△＞0且时，两根异号．当△＞0且，时，两根异号且正根的绝对值较大； 当△＞0且，时，两根异号且负根的绝对值较大．【点拨】（1）利用根与系数的关系求出一元二次方程中待定系数后，一定要验证方程的．一些考试中，往往利用这一点设置陷阱；（2）若有理系数一元二次方程有一根，则必有一根（，为有理数）．【例题1】设方程2320x x --=两个根为1x 、2x ，则2212x x +=（ ）A ．922+B ．922-C ．92+D ．92-【答案】A2212121212()x x x x x x x x +=+2221121212x x x x x x x x ++=2121212()2x x x x x x +-=22121212()()4x x x x x x -=+-12()()x k x k ++21212()x x k x x k =+++2212121212||()()4x x x x x x x x -=-=+-22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+==2212121212()()4x x x x x x x x -=±-=±+-22212121212||||(||||)+2||x x x x x x x x +=+=+2121212()22||x x x x x x =+-+20(0)ax bx c a ++=≠1x 2x 120x x >120x x >120x x +>120x x >120x x +<120x x <120x x <120x x +>120x x <120x x +<∆a b +a b -a b 看例题，涨知识【分析】()2221212122x x x x x x +=+-，由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-，代入即可求解． 【解析】()2221212122x x x x x x +=+- 由韦达定理可知，123x x +=，122x x =-则2212x x +=(2322922-⨯-=+故选A ．【例题2】若1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根，则12x x ⋅的值是（ ） A ．3 B ．-3 C ．5 D ．-5【答案】D【分析】根据一元二次方程根与系数的关系计算求值即可； 【解析】解：∵1x 、2x 是一元二次方程2350x x +-=的两根， ∴12551x x -==-， 故选：D ．【例题3】已知一元二次方程2202210x x -+=的两个根分别为12,x x ，则21202212x x -+的值为（ ） A ．1- B ．0 C ．2022- D ．2021-【答案】B【分析】根据一元二次方程解的定义及根与系数的关系可得21120221x x =-，121x x ⋅=，再代入通分计算即可求解．【解析】∵方程2202110x x -+=的两根分别为1x 、2x ，∴211202210x x -+=，121x x ⋅=， ∴21120221x x =-，∴21220221x x -+=121220221202x x --+ =12222202212022x x x x x ⋅--+ =222022120221x x ⨯--+=221x x -+ 11=-+0=故选：B ．一、单选题1．若关于x 的方程250x x a -+=有一个根是2，则另一个根是（ ） A ．6 B ．3 C ．3- D ．7-【答案】B【解析】解：设另一个根为m ，由根和系数的关系有：25m += 解得3m = 故选：B ．2．已知1x 、2x 是一元二次方程2630x x -+=的两个实数根，则1211+x x 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．12D ．12-【答案】A【分析】通分：21121212121211x x x x x x x x x x x x ++=+=⋅⋅⋅，根据韦达定理：一元二次方程根与系数的关系：12b x x a+=-，12cx x a⋅=可得出答案． 【解析】解： 由韦达定理：12bx x a +=-，12c x x a⋅=可得211212*********23x x x x x x x x x x x x ++=+===⋅⋅⋅， 故选：A ．3．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ，则代数式(m +n )2022的值为（ ） A ．1 B ．0C ．20223D ．20227【答案】A【分析】直接利用根与系数的关系得出两根之和，进而得出答案．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程x 2+mx +3=0有两个实数根x 1=1，x 2=n ， ∴1+n =-m ， 解得：m +n =-1， 故（m +n ）2022=1． 故选：A ．4．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣4，2，小明看错了一次项系数p ，得到方程两个根是4，﹣3，则原来的方程是（ ） A ．x 2+2x ﹣8＝0 B ．x 2+2x ﹣12＝0C ．x 2﹣2x ﹣12＝0D ．x 2﹣2x ﹣8＝0【答案】B课后习题巩固一下【分析】先设这个方程的两根是α、β，根据一元二次方程根与系数的关系，从而得出符合题意的方程． 【解析】解：设此方程的两个根是α、β，根据题意得：α+β＝﹣p ＝-4+2=﹣2，αβ＝q ＝4×（-3）=﹣12， 原来的一元二次方程是x 2+2x ﹣12＝0． 故选：B5．已知方程220x mx ++=的一个根是1，则它的另一个根是（ ） A ．1 B ．2 C ．2- D ．3【答案】B【分析】设方程的另一个根为x 1，根据两根之积等于ca，即可得出关于x 1的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】解：设方程的另一个根为x 1，根据题意得：11x ⨯ =2，解得 x 1=2． 故选:B ．6．关于方程2320x x -+=的根的说法中，正确的是（ ） A ．没有实数根B ．两实数根的和为2-C ．有两个不相等的实数根D ．两实数根的积为3【答案】C【分析】根据一元二次方程的判别式得到根的情况，根据一元二次方程的根与系数的关系得到两根之和与两根之积，最后对四个选项进行判断即可． 【解析】解：∵2320x x -+=， ∴2(3)41210∆=--⨯⨯=>． ∴该方程有两个不相等的实数根． 故A 选项不符合题意，C 选项符合题意． ∵2320x x -+=有两个不相等的实数根， ∴两实数根之和为331--=，两实数根之积为221=． 故B 选项不符合题意，D 选项不符合题意． 故选：C ． 二、填空题7．已知m ，n 是一元二次方程2320x x --=的两个根，则22m n mn +=_______． 【答案】6-【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可知：m +n =3，mn =-2，由此即可求解． 【解析】解：由题意得，m +n =3，mn =-2，∴()()22326m n mn mn m n +=+=⨯-=-，故答案为：-6．8．写出一个一元二次方程，使它的两根之和是4，并且两根之积是2，这个一元二次方程是________． 【答案】2420x x -+=【分析】设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，根据两根之和是4，两根之积是2，利用a 表示b ，c ，即可得出一元二次方程．【解析】解：设此一元二次方程为()200++=≠ax bx c a ，且1x ，2x 为一元二次方程的两个根，∵它的两根之各是4，两根之积是2 ∴124bx x a +=-=，122c x x a==， ∴4b a =-，2c a =，代入一元二次方程得：()24200ax ax a a -+=≠，即2420x x -+=， 故答案为：2420x x -+=．9．已知方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ，则12x x +的值为_________． 【答案】14【分析】由根与系数的关系122bx x a+=-，即可求出答案． 【解析】解：∵方程2210x x --=的两根分别是1x ，2x ， ∴12112224b x x a -+=-=-=⨯； 故答案为：14． 10．若一元二次方程2320x x --=的两个实数根为a ，b ，则a ab b -+的值为_______． 【答案】5【分析】先根据根与系数的关系得到3,2,a b ab +==-然后利用整体代入的方法计算． 【解析】解：根据题意得3,2,a b ab +==-()32 5.a ab b a b ab -+=+-=--=故答案为：5. 三、解答题11．已知，关于x 的一元二次方程()22210x a x a a --+-=，(1)求证：方程有两个不相等的实数根； (2)若方程两根的绝对值相等，求a 的值． 【答案】(1)证明见解析；(2)12【分析】（1）只需证明0∆>即可；（2）利用根与系数的关系列出两根之和的表达式，因为两根互为相反数，故由两根之和等于0即可求出a 的值．【解析】(1)解：[]22(21)4()10a a a ∆=----=>， ∴该方程有两个不相等的实数根．(2)解：12x x ≠，且12x x =，∴12x x =-，即120x x +=，∴210a -=，解得12a =． 12．已知12,x x 是一元二次方程23260x x +-=的两个根，求1233x x +的值． 【答案】1 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出x 1+x 2=-23，x 1x 2=-2的值，将所求式子变形后，代入即可求出值．【解析】解：∵x 1，x 2是一元二次方程3x 2+2x -6=0的两个根，∴x 1+x 2=-23，x 1x 2=63-=-2， ∴()121212333x x x x x x ++= 23312⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-． 13．已知关于x 的方程22x 2mx m 90-+-=．(1)求证：此方程有两个不相等的实数根；(2)设此方程的两个根分别为1x ，2x ，若126x x +=，求m 的值．【答案】(1)见解析；(2)3【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出Δ＞0，由此可证出此方程有两个不相等的实数根； （2）利用根与系数的关系可得122x x m +=即可找出关于m 的一元一次方程，解之即可得出结论．【解析】(1)根据题意可知：22(2)4(9)360m m ∆=--=>，∴方程有两个不相等的实数根；(2)有题意得：122x x m +=∴1226x x m +==，解得3m =14．已知关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根1x ，2x ．(1)求a 的取值范围；(2)若1x ，2x 满足22121216x x x x +-=，求a 的值． 【答案】(1)3a <；(2)1a =-【分析】（1）由一元二次方程根的情况与判别式的关系得出不等式求解即可；（2）由一元二次方程根与系数关系，结合题中条件得出方程求解即可．【解析】(1)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=有两个不相等的实数根，∴()()2221420a a a ∆=----->⎡⎤⎣⎦，解得：3a <；(2)解：∵关于x 的一元二次方程()222120x a x a a --+--=， ∴()1221x x a +=-，2122x x a a =--，∵22121216x x x x +-=， ∴()21212316x x x x +-=，即()()22213216a a a ----=⎡⎤⎣⎦，十字相乘因式分解得：11a =-，26a =， ∵3a <，∴1a =-．。
第22章二次函数第10课时 建立坐标系解决实际问题-人教版九年级数学上册讲义(机构专用)
人教版九年级数学上册讲义第二十二章二次函数第10课时建立坐标系解决实际问题教学目的1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学重点1．建立坐标系解决球类轨迹等抛物线型问题；2．建立坐标系解决桥拱等抛物线型问题．教学内容知识要点轨迹、拱桥问题的求解步骤①建系：建立合适的直角坐标系②标线转化：把线段条件转化为点坐标③求解析式：把点坐标代入解析式，求出解析式④求点坐标：根据相关点的某个坐标求出另一个坐标⑤标线转化：把点坐标转化为具体线段，作答对应练习1．某游乐园要建一个圆形喷水池，在喷水池的中心安装一个大的喷水头，高度为m，喷出的水柱沿抛物线轨迹运动（如图），在离中心水平距离4m处达到最高，高度为6m，之后落在水池边缘，那么这个喷水池的直径AB为 m.．2．烟花厂为咸宁温泉旅游节特别设计制作一种新型礼炮，这种礼炮的升空高h（m）与飞行时间t（s）的关系式是，若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆，则从点火升空到引爆需要时间为 .3．如图，若被击打的小球飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有的关系为h＝20t﹣5t2，则小球从飞出到落地所用的时间为 s．4．在广安市中考体考前，某初三学生对自己某次实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为y＝﹣x2+x+，由此可知该生此次实心球训练的成绩为米．5．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系式是y＝﹣x2+2x+（x＞0）（1）求水流喷出的最大高度是多少m？此时的水平距离是多少m？（2）若不计其他因素，水池的半径OB至少为多少m，才能使喷出的水流不落在池外？6．一球从地面抛出的运动路线呈抛物线，如图．当球离抛出地的水平距离为30m时，达到最大高度10m．（1）问：球被抛出多远？并求出该抛物线的解析式．（2）当球的高度为m时，球离抛出地的水平距离是多少？7．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m.水面下降2.5m，水面宽度增加 m.8．廊桥是我国古老的文化遗产.如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为y＝﹣x2+10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是米.（精确到1米）课后作业1．一个足球被从地面向上踢出，它距地面的高度h（m）与足球被踢出后经过的时间t（s）之间具有函数关系h＝at2+19.6t，已知足球被踢出后经过4s落地，则足球距地面的最大高度是 m．2．某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线是抛物线y＝﹣x2+4x（单位：米）的一部分．则水喷出的最大高度是米．3．如图，已知女排球场的长度OD为18米，位于球场中线处的球网AB的高度2.24米，一队员站在点O处发球，排球从点O的正上方2米的C点向正前方飞去，排球的飞行路线是抛物线的一部分，当排球运行至离点O的水平距离OE为6米时，到达最高点G，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系．（1）若排球运行的最大高度为2.8米，求排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式（不要求写自变量x的取值范围）；（2）在（1）的条件下，这次所发的球能够过网吗？如果能够过网，是否会出界？请说明理由；4．如图，从某建筑物9米高的窗口A处用水管向外喷水，喷出的水成抛物线状（抛物线所在平面与墙面垂直），如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面12米，建立平面直角坐标系，如图．（1）求抛物线的解析式；（2）求水流落地点B离墙的距离OB.5．如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线.如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2.（1）小球飞行时间是多少时，小球最高？最大高度是多少？（2）小球飞行时间t在什么范围时，飞行高度不低于15m？6．如图①是一座石拱桥，它是一个横断面为抛物线形状的拱桥，若桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，图②为它在坐标系中的示意图，则抛物线的解析式是 (写出顶点式和一般式均可)．图①图②7．如图所示是某斜拉索大桥，主索塔呈抛物线，主索塔底部在水面部分的宽度AB＝50米，主索塔的最高点E距水面的垂直距离为100米，桥面CD距水面的咨度为36米，则桥的宽度CD 米．8．在如图所示的平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，当水位上涨1m时，水面宽CD为2 m，则桥下的水面宽AB为 m.对应练习答案1.解答：解：∵喷出的水柱中心4m处达到最高，高度为6m，∴抛物线的顶点坐标为（4，6）或（−4，6），设抛物线解析式为或即这个喷水头应设计的高度为m．把代入抛物线解析式，解得：所以，函数解析式为或当时，抛物线与x轴的交点坐标为（10，0）或（−10，0），∴圆形喷水池的直径为20m，故答案为：20．2.解答：解：∵，∴h＝﹣（t﹣4）2+41.∴t＝4时，h最大＝41.故答案为：4s.3.解答：解：依题意，令h＝0得0＝20t﹣5t2得t（20﹣5t）＝0解得t＝0（舍去）或t＝4即小球从飞出到落地所用的时间为4s故答案为4．4.解答：解：当y＝0时，y＝﹣x2+x+＝0，解得，x＝﹣2（舍去），x＝10．故答案为：10．5.解答：解：（1）∵y＝﹣x2+2x+＝﹣（x﹣1）2+，∴该二次函数的顶点坐标为（1，），∴水流喷出的最大高度是米，此时的水平距离为1米；（2）令y＝0，则﹣（x﹣1）2+＝0，解得x＝2.5或x＝﹣0.5（舍去）所以花坛的半径至少为2.5m，才能使喷出的水流不落在池外；6.解答：解：（1）根据题意，得设抛物线的解析式为y＝a（x﹣30）2+10，把（0，0）代入得a＝﹣．所以抛物线解析式为y＝﹣（x﹣30）2+10＝x2+x．当y＝0时，x1＝0，x2＝60．或者：因为抛物线对称轴为x＝30，所以抛物线与x轴的交点为（0，0），（60，0）答：球被抛出60m．该抛物线的解析式为y＝﹣x2+x．（2）当y＝时，＝﹣（x﹣30）2+10，解得x1＝50，x2＝10．答：球离抛出地的水平距离是10m或50m．.7.解答：解：建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣2与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣2代入抛物线解析式得出：﹣2.5＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±3，所以水面宽度增加到6米，比原先的宽度当然是增加了6﹣4＝2米，故答案为：2.8.解答：解：由"在该抛物线上距水面AB高为8米的点"，可知y＝8，把y＝8代入y＝﹣x2+10得：x＝±4，∴由两点间距离公式可求出EF＝8≈18（米）.课后作业答案1.解答：解：由题意得：t＝4时，h＝0，因此0＝16a+19.6×4，解得：a＝﹣4.9，∴函数关系为h＝﹣4.9t2+19.6t，足球距地面的最大高度是：＝19.6（m），2.解答：解：∵水在空中划出的曲线是抛物线y＝﹣x2+4x，∴喷水的最大高度就是水在空中划出的抛物线y＝﹣x2+4x的顶点坐标的纵坐标，∴y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴顶点坐标为：（2，4），∴喷水的最大高度为4米，解：（1）由排球运行的最大高度为28米，则顶点的坐标点G为（6，2.8），则设抛物线的解析式为p＝a（x﹣6）2+2.8 ∵点C坐标为（0，2），点C在抛物线上∴2＝a（0﹣6）2+2.8解得a＝﹣∴p＝（x﹣6）2+2.8则排球飞行的高度p（单位：米）与水平距离x（单位：米）之间的函数关系式：p＝（x﹣6）2+2.8（2）当x＝9时，p＝（9﹣6）2+2.8＝2.6＞2.24当x＝18时，p＝（18﹣6）2+2.8＝﹣0.4＜0故这次发球可以过网且不出边界4.解答：解：（1）根据题意，得A（0，9），顶点M（1，12），设抛物线解析式为y＝a（x﹣1）2+12，把A（0，9）代入，得a＝﹣3，所以抛物线的解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+12＝﹣3x2+6x+9．答：抛物线的解析式为y＝﹣3x2+6x+9．（2）当y＝0时，0＝﹣3x2+6x+9解得x1＝3，x2＝﹣1所以B（3，0）．答：水流落地点B离墙的距离OB为3米．解：（1）∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，∴当t＝2时，h取得最大值20米；答：小球飞行时间是2s时，小球最高为20m；（2）由题意得：15＝20t﹣5t2，解得：t1＝1，t2＝3，由图象得：当1≤t≤3时，h≥15，则小球飞行时间1≤t≤3时，飞行高度不低于15m.6.解答：解：由图象可知抛物线的对称轴为x＝＝20，所以顶点坐标为：(20，16)，可设此抛物线的解析式为：y＝a(x-20)2+16，①又此抛物线过(0，0)点，代入①式得：a(0-20)2+16＝0，解得：a＝-．所以此抛物线的解析式为：y＝-(x-20)2+16．解：如图，以CD所在直线为x轴，过点E的直线为y轴建立平面直角坐标系，根据图象知点顶点E的坐标为（0，64），点B的坐标为B（25，﹣36），设解析式为y＝ax2+64，将点B（25，﹣36）代入得：﹣36＝625a+64，解得：a＝﹣，∴解析式为y＝﹣x2+64，令y＝0，得：y＝﹣x2+64＝0，解得：x＝±20，∴CD＝20﹣（﹣20）＝40，8.解答：解：∵水面宽CD为2m，y轴是对称轴，∴D点的横坐标为，∴D的纵坐标为y＝﹣×（）2＝﹣2，∵水位上涨1m时，水面宽CD为2m，∴B的纵坐标为﹣2﹣1＝﹣3，把x＝﹣3代入解析式y＝﹣x2得：∴B的横坐标为y＝﹣×（﹣3）2＝﹣3，∴桥下的水面宽AB为3×2＝6米，故答案为：6米.。
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第二十一章 一元二次方程21.1 一元二次方程➢教学目标1.理解并掌握一元二次方程的定义。
2.理解并掌握一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别➢知识梳理1．只含有____个未知数，并且未知数的最高次数是____次，这样的整式方程叫做一元二次方程； 2.一元二次方程的一般形式是20 (0)ax bx c a ++=≠，其中，a 称为二次项系数，b 称为一次项系数，c 称为常数项；b 、c 均可为零，而a 一定不能为零；➢要点点拨1.一元二次方程中的“元”和“次”是对整理化简之后而言的，因此一个方程是否为一元二次方程应“形”、“神”兼备。
如：02)12(23=-+--x x x x 是整式方程，化简后为0222=--x x 应是一元二次方程，而不是三次方程；2.“a ≠0”是一般式的重要组成部分，不可遗漏；3.方程的右边必须为0；4.每一项及其系数都包括它本身的符号；➢经典例题1．（2015•浠水县校级模拟3分）下列方程是一元二次方程的是（ ）A．x2+2x﹣y=3 B．C．（3x2﹣1）2﹣3=0 D．x2﹣8=x2.2015•东西湖区校级模拟）已知（m﹣2）x2﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．➢跟踪训练1．（2015•山西模拟3分）下列方程一定是一元二次方程的是（）A．3x2+﹣1=0 B．5x2﹣6y﹣3=0 C．a x2﹣x+2=0 D．3x2﹣2x﹣1=0 2．（2015•科左中旗校级一模3分）下面关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1 ③x2++5=0；④x2﹣2+5x3﹣6=0；⑤3x2=3（x﹣2）2；⑥12x﹣10=0是一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．43.（2015•科左中旗校级一模）关于x的方程：（a﹣1）+x+a2﹣1=0，求当a=时，方程是一元二次方程，当a= 时，方程是一元一次方程．4.．（2011•东台市校级模拟）已知关于x的方程是一元二次方程，则m= ．➢基础训练一．选择题1．（2015•石河子校级模拟3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，则a、b、c的值分别是（）A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，22．（2015•东西湖区校级模拟3分）下列一元二次方程中，常数项为0的是（）A．x2+x=1 B．2x2﹣x﹣12=0 C．2（x2﹣1）=3（x﹣1）D．2（x2+1）=x+23．（2015•东西湖区校级模拟3分）将一元二次方程4x2+5x=81化为一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．4，5，81 B．4，5，﹣81 C．4，5，0 D．4x2，5x，﹣814．（2015春•萧山区期末3分）关于x的方程ax2+bx+c=0，有下列说法：①若a≠0，则方程必是一元二次方程；②若a=0，则方程必是一元一次方程，那么上述说法（）A．①②均正确B．①②均错C．①正确，②错误D．①错误，②正确5．（2015春•香坊区期末3分）下列一元二次方程是一般形式的为（）A．（x﹣1）2=0 B．3x2﹣4x+1=0 C．x（x+5）=0 D．（x+6）2﹣9=06．（2015春•龙口市期中3分）方程（m+2）x|m|+mx﹣8=0是关于x的一元二次方程，则（）A．m=±2B．m=2 C．m=﹣2 D．m≠±27．（2015春•潜江校级期中3分）下列关于x的方程中，一定是一元二次方程的为（）A．a x2+bx+c=0 B．x2﹣2=（x+3）2C．2x+3x﹣5=0 D．x2﹣1=08．（2015春•潍坊期中3分）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+5x+m2﹣3m+2=0，常数项为0，则m值等于（）A．1B．2C．1或2 D．09．（2015春•启东市月考3分）下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2=2（x+1）B．+﹣2=0 C．a x2+bx+c=0 D．x2+2x=x2﹣110．（2015春•启东市校级月考3分）下列关于x的方程中：①ax2+bx+c=0；②3（x﹣9）2﹣（x+1）2=1；③x+3=；④=x﹣1．一元二次方程的个数是（）A．1B．2C．3D．4二．填空题11．（2015•诏安县校级模拟4分）一元二次方程2x2﹣3x+1=0的二次项系数为，一次项系数为，常数项为．12．（2014秋•漳县校级期中4分）当m 时，方程（m2﹣1）x2﹣mx+5=0不是一元二次方程，当m 时，上述方程是一元二次方程。
13．（2014•始兴县校级模拟4分）若方程（m﹣1）+2mx﹣3=0是关于x的一元二次方程，则m= ．14．（2014•大庆校级模拟4分）关于x的方程mx2+3x=x2+4是一元二次方程，则m应满足条件是．15．（2014•滕州市模拟4分）一元二次方程（a﹣1）x2+x+a2﹣1=0一根为0，则a= ．三．解答题16．（2015春•龙口市期末8分）若关于x的二次方程（m+1）x2+5x+m2﹣3m=4的常数项为0，求m的值．17．（2014秋•冠县校级期末12分）已知关于x的方程（m2﹣1）x2﹣（m+1）x+m=0．（1）m为何值时，此方程是一元一次方程？（2）m为何值时，此方程是一元二次方程？并写出一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项．➢提高训练1．（2010•佛山13分）教材或资料会出现这样的题目：把方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项．现在把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答．（1）下列式子中，有哪几个是方程x2﹣x=2所化的一元二次方程的一般形式？（答案只写序号）①x2﹣x﹣2=0；②﹣x2+x+2=0；③x2﹣2x=4；④﹣x2+2x+4=0；⑤x2﹣2x﹣4=0．（2）方程x2﹣x=2化为一元二次方程的一般形式，它的二次项系数，一次项系数，常数项之间具有什么关系？21.1降次一元二次方程的解法➢教学目标1.掌握用直接开平方法、配方法、求根公式法、因式分解法解一元二次方程．2. 准确地求出方程的根,正确地表示方程的两个根.➢知识梳理：1.一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根是指使一元二次方程两边相等的未知数x 的值.也叫一元二次方程的解. 当然一元二次方程只要有解都有两个根.➢经典例题：1．（2014秋•惠州校级期中3分）一元二次方程x 2=1的解是（ ） A ． 1 B ． ﹣1C ． ±1D ． 0➢跟踪训练：1．（2013•安顺3分）已知关于x 的方程x 2﹣kx ﹣6=0的一个根为x=3，则实数k 的值为（ ） A ． 1 B ． ﹣1 C ． 2 D ． ﹣22．（2013•来宾3分）已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+k=0的一个根是2，则k 的值是（ ） A ． ﹣2B ． 2C ． 1D ． ﹣12．直接开平方法：用此法可解形如c x =2、)0()(2≥=+c c b ax 或可化为这种形式的一类方程，这种解法的优点是能迅速准确地求出方程的解，缺点是只适用于一些特殊的方程。
➢经典例题1．（2013秋•开县校级期末6分）用直接开平方法解方程：2（x+5）2=➢跟踪训练1.（2011秋•电白县校级月考6分）4（x+1）2=9（直接开平方法）3．配方法：配方法是一种重要的数学思想方法，它的应用非常广泛，解方程只是它的一个具体应用。
任何一个形如bx x 2的二次式，都可以通过加一次项系数一半的平方的方法配成一个二项式的完全平方，把方程归结为能用直接开平方法来求解的方程。
实际上我们解一元二次方程时，一般是不用此法的，主要是要掌握这种配方的思想方法。
➢经典例题1．（2015•兰州3分）一元二次方程x 2﹣8x ﹣1=0配方后可变形为（ ） A ． （x+4）2=17B ． （x+4）2=15C ． （x ﹣4）2=17D ． （x ﹣4）2=152．（2005•北京6分）用配方法解方程：x 2﹣4x+1=0➢跟踪训练1.（2015•钦州3分）用配方法解方程x 2+10x+9=0，配方后可得（ ） A ． （x+5）2=16 B ． （x+5）2=1C ． （x+10）2=91D ． （x+10）2=1092．（2013秋•普陀区校级期末6分）用配方法解方程：x 2+4x+1=04．公式法：我们可以通过配方法推导出求一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的解的公式)04(2422≥--±-=ac b aac b b x ，称为求根公式。
用公式的一般步骤：（1）把方程化成一般式；（2）求出ac b 42-的值，若ac b 42-≥0，将a 、b 、c 的值代入求根公式，求出方程的根；若ac b 42-＜0，则原方程没有实数根。
➢经典例题1.（2011秋•英山县校级月考6分）3x 2﹣4x ﹣1=0（用公式法）➢跟踪训练1．（2013秋•滕州市校级月考6分）用公式法解方程：x2=5﹣12x5．因式分解法：当把一元二次方程的一边化为0，而另一边可以分解成两个一次因式的积时，就可以用因式分解法来解这个方程。
要清楚使乘积ab=0的条件是a=0或b=0。
如使方程x（x-3）=0的条件是x=0或x-3=0，x的两个值都可以使方程成立，所以方程x（x-3）=0有两个根。
➢经典例题：1.（2012秋•民勤县校级期中6分）（因式分解法）2x2﹣7x+3=0．➢跟踪训练1．（2010秋•铜陵县期中6分）3（x﹣2）2=x（x﹣2）（用因式分解法）➢基础训练一、选择题1．（2012•鄂尔多斯3分）若a是方程2x2﹣x﹣3=0的一个解，则6a2﹣3a的值为（）A．3B．﹣3 C．9D．﹣92．（2015•烟台3分）如果x2﹣x﹣1=（x+1）0，那么x的值为（）A．2或﹣1 B．0或1 C．2D．﹣13．（2015•东西湖区校级模拟3分）一元二次方程x2﹣2x=0的解是（）A．0B．2C．0，﹣2 D．0，24．（2008•湘西州3分）一元二次方程x2﹣4=0的解是（）A．﹣2 B．2C．±D．±25．（2010秋•延庆县期末3分）如果x=2是一元二次方程x2﹣x+m=0的解，那么m的值是（）A．0B．2C．6D．﹣26．（2015•安顺3分）三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x2﹣12x+35=0的根，则该三角形的周长为（）A．14 B．12 C．12或14 D．以上都不对7．（2015•衡阳3分）若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（）A．﹣2 B．2C．4D．﹣38．（2015•诏安县校级模拟3分）方程（x﹣1）2=2的根是（）A．﹣1，3 B．1，﹣3 C．，D．，9．（2015•呼和浩特一模3分）方程x2+6x﹣5=0的左边配成完全平方后所得方程为（）A．（x+3）2=14 B．（x﹣3）2=14 C．D．（x+3）2=410．（2015•安庆二模3分）用配方法把一元二次方程x2+6x+1=0，配成（x+p）2=q的形式，其结果是（）A．（x+3）2=8 B．（x﹣3）2=1 C．（x﹣3）2=10 D．（x+3）2=4 11．（2015•成都校级模拟3分）一元二次方程x（x﹣3）=3﹣x的根是（）A．﹣1 B．3C．﹣1和3 D．1和2二．填空题12．（2015•天水4分）一元二次方程x2+3﹣2x=0的解是．13．（2015•厦门4分）方程x2+x=0的解是．三．解答题（共12小题）14．（2010秋•涪陵区校级月考6分）用直接开平方法解方程：（2y﹣1）2= 15．（2013秋•常熟市校级期末6分）配方法解：x2+3x﹣4=0．16．（2011秋•滕州市校级期末6分）用公式法解方程：5y+2=3y2．17．（2008秋•郓城县期末6分）用因式分解法解方程：3x（2x+1）=4x+2．➢提高训练1．（2015•诏安县校级模拟6分）解方程：（x+1）2﹣9=0．2．（2015•东西湖区校级模拟6分）解方程：（2x+3）2﹣25=0 3．（2015•福州校级质检6分）解方程：x2+2x﹣5=0．4．（2015•枣庄校级三模6分）解方程：x﹣1=（1﹣x）2．21.3一元二次方程的根与系数的关系：➢教学目标1．使学生理解并掌握一元二次方程的根的判别式．2．使学生掌握不解方程，运用判别式判断一元二次方程根的情况．3.通过对含有字母系数方程的根的讨论，培养学生运用一元二次方程根的判别式的论证能力和逻辑思维能力．培养学生思考问题的灵活性和严密性．➢知识梳理1. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根为x=2b a-，所以其实数根的情况由△=b 2-4ac 的值控制；当△>0时⇔方程_________；当△=0时⇔方程__________；当△<0时⇔方程_________；当△≥0时⇔方程__________． 2. 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根分别为：1x 、2x ；则有12b x x a+=-，12c x x a=； ➢要点点拨：对1212b x x a c x x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩来讲，其中5个可变量x 1、x 2、a 、b 、c ，有两个方程，知其中的三个可求另外的两个，但一定要注意使用条件△≥0． 换句话说，在使用△时必须考虑a ≠0，在使用x 1+x 2=-b a ，x 1x 2=ca时，必考虑△≥0条件．➢经典例题1．（2015•毕节市3分）若关于x 的一元二次方程x 2+（2k ﹣1）x+k 2﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是（ ）A．k≥B．k＞C．k＜D．k≤（2015•酒泉4分）关于x的方程kx2﹣4x﹣=0有实数根，则k的取值范围是．2．➢跟踪训练1．（2015•河池3分）下列方程有两个相等的实数根的是（）A．x2+x+1=0 B．4x2+2x+1=0 C．x2+12x+36=0 D．x2+x﹣2=02．（2015•温州3分）若关于x的一元二次方程4x2﹣4x+c=0有两个相等实数根，则c的值是（）A．﹣1 B．1C．﹣4 D．4➢基础训练一选择题1．（2015•贵港3分）若关于x的一元二次方程（a﹣1）x2﹣2x+2=0有实数根，则整数a的最大值为（）A．﹣1 B．0C．1D．22．（2015•云南3分）下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A．4x2﹣5x+2=0 B．x2﹣6x+9=0 C．5x2﹣4x﹣1=0 D．3x2﹣4x+1=0 3．（2015•成都3分）关于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0D．k＜1且k≠04．（2015•重庆3分）已知一元二次方程2x2﹣5x+3=0，则该方程根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．两个根都是自然数D．无实数根5．（2015•连云港3分）已知关于x的方程x2﹣2x+3k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）A．k＜B．k＞C．k＜且k≠0D．k＞且k≠06．（2015•锦州3分）一元二次方程x2﹣2x+1=0的根的情况为（）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．只有一个实数根D．没有实数根7．（2015•张家界3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1B．0，1 C．1，2 D．1，2，38．（2015•烟台3分）等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（）A．9B．10 C．9或10 D．8或109．（2015•黔东南州3分）设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（）A．6B．8C．10 D．1210．（2015•金华）一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（）A．4B．﹣4 C．3D．﹣3二．填空题（共6小题）11．（2015•岳阳4分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0有两个相等的实数根，则m= ．12．（2015•宜宾4分）关于x的一元二次方程x2﹣x+m=O没有实数根，则m的取值范围是．13．（2015•台州4分）关于x的方程mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当m=0时，方程只有一个实数解；②当m≠0时，方程有两个不等的实数解；③无论m取何值，方程都有一个负数解，其中正确的是（填序号）．14．（2015•绥化4分）若关于x的一元二次方程ax2+2x﹣1=0无解，则a的取值范围是．三．解答题15．（2015•梅州）已知关于x的方程x2+2x+a﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a的取值范围；（2）当该方程的一个根为1时，求a的值及方程的另一根．16．（2015•潜江）已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m=0．（1）若方程有实数根，求实数m的取值范围；（2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值➢提高训练1．（2015•枣庄3分）已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．22．（2004•临沂3分）若x1、x2是关于x的方程x2+bx﹣3b=0的两个根，且x12+x22=7．那么b的值是（）A．1B．﹣7 C．1或﹣7 D．7或﹣13．（2000•内江3分）一元二次方程：x2﹣2（a+1）x+a2+4=0的两根是x1，x2，且|x1﹣x2|=2，则a的值是（）A．4 B．3 C．2 D．14．（2013•临沂4分）对于实数a，b，定义运算“﹡”：a﹡b=．例如4﹡2，因为4＞2，所以4﹡2=42﹣4×2=8．若x1，x2是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个根，则x1﹡x2= ．5．（2015•大庆）已知实数a，b是方程x2﹣x﹣1=0的两根，求+的值．6．（2015•河南）已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）=|m|．（1）求证：对于任意实数m，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根．21.4一元二次方程的应用➢教学目标1．会列出一元二次方程解应用题． 2．掌握由应用问题的条件列方程的方法。