圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学设计
8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积allala
r'
O’
S
r’＝0
r’＝r
l
上底缩小
上底扩大
O
O
S柱 2r (r l )
r
A
r O.
B
S台 (r r r l rl )
2
2
S 锥 r ( r l )
（4）根据圆台的特征，如何求圆台的体积？
由于圆台是由圆
锥截成的，因此可
以利用两个锥体的
体积差．得到圆台
的体积公式．
Vi
例题讲解
例1.如图，某种浮标由两个半球和一个圆柱黏合而成，半球的直径是0.3m，
圆柱高0.6m，如果在浮标表面涂一层防水漆，每平方米需要0.5kg涂料，那么
给1000个这样的浮标涂防水漆需要多少涂料？
解：一个浮标的表面积为
2 0.15 0.6 4 0.15 0.8478 (m )
圆柱、圆锥、圆台表面积
r r
圆柱
S 2r (r l )
r 0
圆台
S (r 2 r 2 r l rl )
圆锥
S r (r l )
小结
柱体、锥体、台体、球的体积
S S'
S ' 0
柱体
台体
锥体
V Sh
1
V ( S S S S )h
第二步：求近似和,取极限
S i
V V1 V2 V3 ... Vn
1
1
1
1
V S1h1 S 2 h2 S3h3 ... S n hn
3
3
3
3
hi
O
Vi
1
空间几何体的表面积和体积》教学设计
空间几何体的表面积和体积》教学设计下底半径为R，母线长为l，则圆台的底面积为_______，侧面积为_________，全面积为______。
三、重点讲解1、柱体的表面积和体积公式推导及应用柱体是由两个底面相等的平行圆面和连接它们的矩形侧面组成的几何体。
柱体的表面积公式为S=2πr²+2πrh，其中r为底面半径，h为柱体高；柱体的体积公式为V=πr²h。
柱体常见的有圆柱、正方柱和长方柱等。
2、锥体的表面积和体积公式推导及应用锥体是由一个底面和连接底面各点到一点的直线段组成的几何体。
锥体的表面积公式为S=πr²+πrl，其中r为底面半径，l为母线长；锥体的体积公式为V=1/3πr²h，其中h为锥体高。
锥体常见的有圆锥、正方锥和棱锥等。
3、台体的表面积和体积公式推导及应用台体是由两个平行的底面和连接它们的侧面组成的几何体。
台体的表面积公式为S=2π(R+r)l+2πR²-2πr²，其中R为上底半径，r为下底半径，l为台体斜高；台体的体积公式为V=1/3π(R²+Rr+r²)h，其中h为台体高。
台体常见的有圆台、正方台和长方台等。
4、球的表面积和体积公式推导及应用球是由所有到球心距离相等的点组成的几何体。
球的表面积公式为S=4πr²，其中r为球半径；球的体积公式为V=4/3πr³。
球体常见的有实心球和空心球等。
四、练巩固1、已知正方体的体积为8，求它的表面积。
2、已知正八面体的棱长为6，求它的表面积和体积。
3、已知一个底面半径为4，高为5的圆锥，求它的侧面积和全面积。
4、已知一个上底半径为3，下底半径为6，高为4的圆台，求它的体积。
5、已知一个球的表面积为100π，求它的体积。
五、课堂小结通过本节课的研究，我们了解了柱体、锥体、台体和球的表面积和体积公式，学会了如何利用这些公式解决实际问题。
同时也体验了数学发现和创造的过程。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 说课稿 教案 教学设计 学案
教学目标1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．2．会求组合体的表面积与体积．教学重点柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．教学难点台体的表面积和体积公式的推导．教学方法采用问题引导教学法，借助多媒体和实物展示教学过程：步骤、内容、教学活动二次备课【问题探究】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．（1）上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？（2）如何计算上述几何体的表面积？3. 正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？上述体积公式对所有柱体都适用吗？【知识讲解】1．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．2．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线长为l)圆锥(底面半径为r，母线长为l)圆台(上、下底面半径为r′，r，母线长为l)底面积S底＝πr2S底＝πr2S底＝π(r′2＋r2)侧面积S侧＝2πrl S侧＝πrl S侧＝π(r′l＋rl)表面积S表＝2πr(r＋l)S表＝πr(r＋l)S表＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)3.柱体、椎体、台体的体积（1）柱体：柱体的底面面积为S，高为h，则V＝Sh.（2）锥体：锥体的底面面积为S，高为h，则V＝13Sh.（3）台体：台体的上、下底面面积分别为S′、S，高为h，则V＝13(S′＋S′S＋S)h.【知识运用】▶例1如图所示，已知直角梯形ABCD，BC∥AD，∠ABC＝90°，AB＝5 cm，BC＝16 cm，AD＝4 cm.求以AB所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．▶课堂练习在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．▶例2 三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．▶课堂练习如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为线段AA1，B1C上的点，则三棱锥D1－EDF的体积为________．▶例3某几何体的三视图如图1－3－4所示，则该几何体的体积等于________．▶课堂练习已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 8π3B．3π C.10π3D．6π【课堂小结】1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 教学设计
教学目标
知识与技能目标：通过对柱、锥、台、球体的研究，掌握柱、锥、台、球的表面积和体积的求法；能运用公式求解，柱体、锥体和台体的全面积，并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系；培养学生空间想象能力和思维能力；
过程与方法目标：让学生经历几何全的侧面展一过程，感知几何体的形状；让学生通对照比较，理顺柱体、锥体、台体三间的面积和体积的关系；
活动10【活动】四、思考探究——提升认识
设计意图：提出问题，思考探究，让学生在思考，讨论中去探究发现柱体、椎体、台体之间的联系，让学生体验知识间的统一性。
问题（1）：圆台的表面积公式与圆柱及圆锥表面积公式之间的变化关系
问题（2）：圆台的表面积公式与圆柱及圆锥体积公式之间的变化关系
活动11【讲授】五、课堂小结
（1）祖暅ห้องสมุดไป่ตู้理
“幂势既同，则积不容异。”
设计意图：动态举例展示祖暅原理，即高度相等时，面积相等，故而他们的体积相等，为下面利用初中所学的正方体、长方体体积公式推导柱体体积公式做铺垫。
(2)柱体体积公式推导
动态展示：
分析：上图为底面积都等于S，高都等于h的任意一个棱柱、一个圆柱、一个长方体，由祖暅原理易知，它们的体积相同，且都等于Sh.
练习1：【教材P27 1、2；教材P28 1、2、3】
练习2：
已知圆锥的表面积为a㎡，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为；
2、棱台的两个底面面积分别是245c㎡和80ｃ㎡，截得这个棱台的棱锥的高为35cm，求这个棱台的体积；
3.正方形的内切球和外接球的体积的比为，表面积比为；
4.在球心同侧有相距9cm的两个平行截面，它们的面积分别为49πcm2和400πcm2，求球的表面积.
柱体、锥体、台体的表面积与体积说课稿 教案 教学设计
课题柱体、锥体、台体的表面积与体积教学目标1.了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式（不要求记忆），提高学生的空间想象能力和几何直观能力，培养学生的应用意识，增加学生学习数学的兴趣.2.掌握简单几何体的体积与表面积的求法，提高学生的运算能力，培养学生转化、化归以及类比的能力.教学重、难点教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点：表面积和体积计算公式的应用.教学准备多媒体课件教学过程一、导入新课：被誉为世界七大奇迹之首的胡夫大金字塔，在1889年巴黎埃菲尔铁塔落成前的四千多年的漫长岁月中，胡夫大金字塔一直是世界上最高的建筑物.在四千多年前生产工具很落后的中古时代，埃及人是怎样采集、搬运数量如此之多，每块又如此之重的巨石垒成如此宏伟的大金字塔，真是一个十分难解的谜.胡夫大金字塔是一个正四棱锥外形的建筑，塔底边长230米，塔高146.5米，你能计算建此金字塔用了多少石块吗？二、讲授新课：提出问题①在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？正方体及其展开图(1) 长方体及其展开图(2)图1②棱柱、棱锥、棱台也是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？③如何根据圆柱、圆锥的几何结构特征，求它们的表面积？④联系圆柱、圆锥的侧面展开图，你能想象圆台侧面展开图的形状，并且画出它吗？如果圆台的上、下底面半径分别是r′,r，母线长为l，你能计算出它的表面积吗？⑤圆柱、圆锥和圆台的表面积之间有什么关系？活动：①学生讨论和回顾长方体和正方体的表面积公式.②学生思考几何体的表面积的含义，教师提示就是求各个面的面积的和.③让学生思考圆柱和圆锥的侧面展开图的形状.④学生思考圆台的侧面展开图的形状.⑤提示学生用动态的观点看待这个问题.讨论结果：①正方体、长方体是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和.因此，我们可以把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积.②棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和.③它们的表面积等于侧面积与底面积的和，利用它们的侧面展开图来求得它们的侧面积，由于底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.其中，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形.我们知道，圆柱的侧面展开图是一个矩形（图2）.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l).图2 图3圆锥的侧面展开图是一个扇形（图3）.如果圆锥的底面半径为r,母线长为l ，那么它的表面积S=πr 2+πrl=πr(r+l).点评：将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题基本的、常用的方法.④圆台的侧面展开图是一个扇环（图4），它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r 2+r′2+rl+r′l).图4⑤圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：S 圆柱表=2πr(r+l)−−−←==r r r 21S 圆台表=π(r 1l+r 2l+r 12+r 22)−−−→−==r r r 21,0S 圆锥表=πr(r+l).从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来.提出问题①回顾长方体、正方体和圆柱的体积公式，你能将它们统一成一种形式吗？并依次类比出柱体的体积公式？②比较柱体、锥体、台体的体积公式：V 柱体=Sh(S 为底面积，h 为柱体的高)；V 锥体=Sh 31(S 为底面积，h 为锥体的高)； V 台体=)''(31S SS S ++h(S′,S 分别为上、下底面积，h 为台体的高). 你能发现三者之间的关系吗？柱体、锥体是否可以看作“特殊”的台体？其体积公式是否可以看作台体体积公式的“特殊”形式？图5应用示例例1 已知棱长为a ，各面均为等边三角形的四面体S —ABC （图6），求它的表面积.图6活动：回顾几何体的表面积含义和求法.分析：由于四面体S —ABC 的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.解：先求△SBC 的面积，过点S 作SD⊥BC，交BC 于点D.因为BC=a,SD=a a a BD SB 23)2(2222=-=-, 所以S △SBC =21BC·SD=2432321a a a =⨯. 因此，四面体S —ABC 的表面积S=4×22343a a =. 点评：本题主要考查多面体的表面积的求法.例2 如图7，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm ，盆底直径为15 cm ，底部渗水圆孔直径为1.5 cm ，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）图7活动：学生思考和讨论如何转化为数学问题.只要求出每个花盆外壁的表面积，就可以求出油漆的用量.而花盆外壁的表面积等于花盆的侧面积加上底面积，再减去底面圆孔的面积.解：如图7，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积S=π［1522015215)215(2⨯+⨯+］-π(25.1)2≈1 000(cm 2)=0.1(m 2). 涂100个这样的花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.答：涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.点评：本题主要考查几何体的表面积公式及其应用.例3 有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm 3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm ，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）图8活动：让学生讨论和交流如何转化为数学问题.六角帽表示的几何体是一个组合体，在一个六棱柱中间挖去一个圆柱，因此它的体积等于六棱柱的体积减去圆柱的体积.解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，即V=43×122×6×10-3.14×(210)2×10≈2 956(mm 3)=2.956(cm 3). 所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个).答：这堆螺帽大约有252个.点评：本题主要考查几何体的体积公式及其应用.。
柱体、锥体、台体的表面积与体积 说课稿 教案 教学设计
柱体、锥体、台体的表面积与体积●三维目标1．知识与技能(1)通过对柱、锥、台体的研究，了解柱、锥、台的表面积和体积的求法．(2)能运用公式求解柱体、锥体和台体的表面积和体积，熟悉台体与柱体和锥体之间的转换关系．(3)培养学生空间想象能力和思维能力．2．过程与方法(1)让学生经历几何体的侧面展开过程，感知几何体的形状．(2)让学生通过对照比较，发现柱体、锥体、台体三者间体积的关系．3．情感、态度与价值观使学生通过表面积和体积公式的探究过程，体会数学的转化和类比的思想，从而增强学习的积极性．●重点难点重点：柱体、锥体、台体的表面积和体积计算．难点：台体的表面积和体积公式的推导．重难点突破：先从学生熟悉的正方体和长方体的展开图为切入点，分析几何体的展开图与其表面积的关系，然后通过“探究”和“思考”引导学生归纳圆柱、圆锥和圆台的表面积公式；紧接着类比初中学过的正方体、长方体及圆柱的体积公式，得出一般柱体的体积公式；对于三棱柱和三棱锥的关系，教师可展示一些由一个棱柱切开成3个棱锥的模具，让学生通过观察，感知柱、锥体间的关系，进而得到一般锥体的体积公式，难点得以化解；最后由台体的概念得出台体的体积公式，为更好的突出教学的重点，可通过典例训练提高学生的应用能力．●教学建议本节内容是在学生已从结构特征和视图两个方面感性认识空间几何体的基础上，进一步从度量的角度来认识空间几何体，目的在于使学生了解空间几何体的表面积和体积的计算方法．教学时，教师可采用问题引导教学法，借助多媒体和实物展示，一步步地引导学生认识几何体的结构特征和展开图，让学生在探究知识的形成过程中，体会空间问题平面化的思想；关于体积的教学，可引导学生通过类比的方法给予突破，不必在公式推导过程上花费太多的时间．●教学流程课标解读1.通过对柱体、锥体、台体的研究，掌握柱体、锥体、台体的表面积与体积的求法．(重点)2．会求组合体的表面积与体积．(难点、易错点)棱柱、棱锥、棱台的表面积【问题导思】1．正方体与长方体的展开图如下图(1)(2)所示，则相应几何体的表面积与其展开图的面积有何关系？【提示】相等．2．棱柱、棱锥、棱台的表面积与其展开图的面积是否也都相等？【提示】是．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别如图中(1)、(2)、(3)所示．1．上述几何体侧面展开图的面积与该几何体的表面积相等吗？【提示】不相等．2．如何计算上述几何体的表面积？【提示】几何体的表面积等于侧面积与底面积之和．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱(底面半径为r，母线圆锥(底面半径为r，母线圆台(上、下底面半径为长为l )长为l ) r ′，r ，母线长为l ) 底面积 S 底＝πr 2 S 底＝πr 2 S 底＝π(r ′2＋r 2) 侧面积 S 侧＝2πrl S 侧＝πrl S 侧＝π(r ′l ＋rl )表面积S 表＝2πr (r ＋l )S 表＝πr (r ＋l )S 表＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )柱体、锥体与台体的体积【问题导思】1．正方体、长方体、圆柱的体积公式如何表示？ 【提示】 V ＝Sh ，其中S 为底面面积，h 为高． 2．上述体积公式对所有柱体都适用吗？ 【提示】 都适用．1．柱体：柱体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝Sh . 2．锥体：锥体的底面面积为S ，高为h ，则V ＝13Sh .3．台体：台体的上、下底面面积分别为S ′、S ，高为h ，则V ＝13(S ′＋S ′S ＋S )h .空间几何体的表面积如图1－3－1所示，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB＝5 cm ，BC ＝16 cm ，AD ＝4 cm.求以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．图1－3－1【思路探究】 分析几何体的形状――――――→选择表面积公式求表面积【自主解答】 以AB 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆台，其上底半径是4 cm ，下底半径是16 cm ，母线DC ＝52＋(16－4)2＝13 (cm)．∴该几何体的表面积为π(4＋16)×13＋π×42＋π×162＝532π(cm2)．1．圆柱、圆锥、圆台的相关几何量都集中体现在轴截面上，因此准确把握轴截面中的相关量是求解旋转体表面积的关键．2．棱锥及棱台的表面积计算常借助斜高、侧棱及其在底面的射影与高、底面边长等构成的直角三角形(或梯形)求解．在题设条件不变的情况下，求以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．【解】以BC所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图所示：其中圆锥的高为16－4＝12(cm)，圆柱的母线长为AD＝4 cm，故该几何体的表面积为：2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π(cm2)．空间几何体的体积三棱台ABC－A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1－ABC，三棱锥B－A1B1C，三棱锥C－A1B1C1的体积之比．图1－3－2【思路探究】AB ∶A 1B 1＝1∶2―→S △ABC ∶S △A 1B 1C 1―→计算VA 1－ABC ―→计算VC －A 1B 1C 1―→计算VB －A 1B 1C【自主解答】 设棱台的高为h ，S △ABC ＝S ，则S △A 1B 1C 1＝4S . ∴VA 1－ABC ＝13S △ABC ·h ＝13Sh ，VC －A 1B 1C 1＝13S △A 1B 1C 1·h ＝43Sh .又V 台＝13h (S ＋4S ＋2S )＝73Sh ，∴VB －A 1B 1C ＝V 台－VA 1－ABC －VC －A 1B 1C 1 ＝73Sh －Sh 3－4Sh 3＝23Sh ， ∴体积比为1∶2∶4.求几何体体积的常用方法(2012·山东高考)如图1－3－3，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F 分别为线段AA 1，B 1C 上的点，则三棱锥D 1－EDF 的体积为________．图1－3－3【解析】 利用三棱锥的体积公式直接求解．·AB ＝13×12×1×1×1＝16.【答案】 16与三视图有关的几何体的表面积、体积问题(2012·安徽高考)某几何体的三视图如图1－3－4所示，则该几何体的体积等于________．图1－3－4【思路探究】 三视图――→还原几何体―――→是否分割计算体积【自主解答】 由几何体的三视图可知，该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱(如图所示)．在四边形ABCD 中，作DE ⊥AB ，垂足为E ，则DE ＝4，AE ＝3. ∴其体积为12×(2＋5)×4×4＝56.【答案】 561．解答此类问题的关键是先由三视图还原作出直观图，然后根据三视图中的数据在直观图中求出计算体积所需要的数据．2．若由三视图还原的几何体的直观图由几部分组成，求几何体的体积时，依据需要先将几何体分割分别求解，最后求和．在题设条件不变的情况下，求该几何体的表面积． 【解】 依题意得，该几何体的表面积S ＝2×12×(2＋5)×4＋2×4＋4×5＋4×5＋4×4＝92.对几何体的表面积理解不全面致误如图1－3－5所示，从底面半径为2a ，高为3a 的圆柱中，挖去一个底面半径为a 且与圆柱等高的圆锥，求圆柱的表面积S 1与挖去圆锥后的几何体的表面积S 2之比．图1－3－5【错解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1－πa2＝(43＋7)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋7)．【错因分析】挖去圆锥的几何体的表面积去掉了一个半径为a的圆的面积，但同时增加了一个圆锥的侧面的面积，而上面的解法未考虑到增加的部分．【防范措施】几何体的表面积是各个面的面积之和，因此求组合体的表面积时切忌直接套用柱、锥、台的表面积公式，而应先分析该几何体由几部分组成，几何体各个面间有无重叠，再结合相应几何体选择公式求解．【正解】由题意，知S1＝2π·2a·3a＋2π·(2a)2＝(43＋8)πa2，S2＝S1＋πa·(2a)－πa2＝(43＋9)πa2.∴S1∶S2＝(43＋8)∶(43＋9)．小结1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积分别是它们侧面展开图的面积，因此弄清侧面展开图的形状及侧面展开图中各线段与原旋转体的关系，是掌握它们的侧面积公式及解有关问题的关键．2．计算柱体、锥体和台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，要充分运用多面体的有关截面及旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题．3．在几何体的体积计算中，注意体会“分割思想”、“补体思想”及“等价转化思想”．。
数学人教版A版(2019)必修第二册8.3.2圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积(共22张ppt)
3. 球的表面积和体积 设球的半径为R，它的表面积只与半径R有关，是以R为自变量的函数. 事实上，如果球的半径为R，那么它的表面积是
S球 =4πr 2
rO
小学,我们学习了圆的面积公式，你还记得是如何求得的吗?类比这种 方法你能由球的表面积公式推导出球的体积公式?
例3.如图，圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积之比.
【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R， 高为2R，则：
V球 V圆柱
=
4 πR3 3 πR2 2R
2 3
．
拓展提升
思考：如图，正方体的棱长为a,它的各个顶点都在球的球面上，求球的表 面积和体积。
归纳总结
圆柱、圆锥、 圆台、球
圆柱S 2r(r l) r r
圆台S (r2 r2 rl rl)
r 0 圆锥 S r(r l)
球 S 4R2
柱体、锥体、台体、球的体积
柱体V Sh
S S'
台体V 1 (S SS S)h
3
S' 0
锥体V 1 Sh
3
球 V 4 R3
3
课后作业
1．已知圆锥的底面半径为 2，高为 5，求这个圆锥的体积．
2．(1)已知球的直径为 2，求它的表面积和体积； (2)已知球的体积为1038π，求它的表面积．
思考：圆锥的展开图是什么？ 怎么求它的表面积？
底面半径r ，母线长l
注：扇形的面积公式
2r
1
S扇形 = 2 lr (r是扇形所在圆半径，l是弧长)
l
S圆锥侧 =πrl S底 =πr 2
rO
圆锥的侧面展开图是扇形
S圆锥表面积 r 2 rl r(r l)
人教版高中数学必修第二册8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
侧面积：S侧＝πrl 表面积：S＝___π_r_(_r＋__l_)_____
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第八章 立体几何初步
4
圆台
上底面面积：S上底＝____π_r′_2___ 下底面面积：S下底＝__π_r_2__
侧面积：S侧＝____π_l(_r_＋__r_′)______ 表面积：
第八章 立体几何初步
8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
数学
第八章 立体几何初步
1
01
预习案 自主学习
02
探究案 讲练互动
03
自测案 当堂达标
04
应用案 巩固提升
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第八章 立体几何初步
2
学习指导
核心素养
1. 知 道 圆 柱 、 圆 锥 、 圆 台 、 球 的 表 直观想象、数学运算：利用公式计
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第八章 立体几何初步
12
(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( )
A．40π C．26π
√B．36π
D．20π
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台 的表面积为( )
A．81π
B．100π
√C．168π
D．169π
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S＝4πR2＝4π.
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第八章 立体几何初步
10
4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体
积为( )
A．2π88 cm3
B．1π92 cm3
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积教学课件
可(r酌是情底增面减文半字径，，以便l是观者母准线确长的 )
想。
圆锥 圆台
S圆锥＝___π_r_(_r＋__l_)__ (r是底面半径，l是母线长)
S 圆台＝__π_(_r_′2_＋__r_2＋__r_′_l＋__r_l)___(r′，r 分别是上、下 底面半径，l 是母线长)
学习新知
知识点二 圆柱、圆锥、圆台的体积
1 3
R
(S1
S2
S3
...
Sn
)
1 3
R①S
球的表面积: S 4r 2 ②
由①② 得: V 4 R3
3
典型例题 课下练习 在上述条件下，求球的表面积与圆柱的侧面积之比.
尝试探究
探究三 与球有关的“切”“接”问题 [例 4] 若棱长为 2 的正方体的各个顶点均在同一球面上，求此球的体积． [解析] 正方体的各个顶点在球面上，过球心作正方体的对角面得截 面，如图，所以正方体的外接球直径等于正方体的体对角线长， 即 2R＝ 22＋2 22，所以 R＝ 3， 所以 V 球＝43·π·( 3)3＝4 3π. 思考： 将条件改为“球与棱长为 2 的正方体的面都相切”，如何求解？
S (r'2 r 2 r'l rl )r和 r 分别是上、下Fra bibliotek面半径，l是母线长
单击此处添加标题 图形
表面积
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的
单击此处添加文本具体内容，简明扼要的阐述您的
观圆点柱。 根
理解您传
据 达
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圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积教学内容
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
教学目标
结合基本立体图形的结构特征了解简单几何体的表面积和体积公式，能够使用公式计算它们及其组合体的表面积和体积.
教学重难点
重点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式.
难点：圆柱、圆锥、圆台、球的表面积公式和体积公式.
教学设计过程
1.复习引入
问题1：知道了多面体的表面积是多面体各个面的平面图形的面积之和，那圆柱、圆锥、圆台的表面积呢.
答：圆柱、圆锥、圆台的表面积也是围成它的各个面的面积之和.
2.新知探究
问题2：圆柱、圆锥、圆台有的面是曲面，需要将其展开，大家可以根据展开图得到它们的表面积公式么？
师生活动：画出这几种几何体的展开图，完成表面积公式的推导.
答：S
圆柱=2S
底
+S
侧
=2πr2+2πrl(r是底面半径，l是母线长)
S
圆锥=S
底
+S
侧
=πr2+πrl(r是底面半径，l是母线长)
S
圆台=S
上底
+S
下底
+S
侧
=πr2+πr′2+π(r+r′)l
(r’、r分别是上、下底面半径，l是母线长)
追问：圆柱、圆锥、圆台的表面积公式之间有什么关系呢？
答：当圆台的上底面缩小成一个点，即r′=0，圆台的表面积公式就转化成圆锥的表面积公式；当圆台的上底面扩大到和下底面全等时，即r′=r，圆台的表面积公式就转化成圆柱的表面积公式.:
设计意图：几何体的表面积就是各个面的面积之和，圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆，直接应用圆的面积公式，但是侧面是曲面，得先展开成平面.用运动变化的观点，从圆柱、圆锥、圆台的结构特征去总结原因，提高学生的抽象概括能力.
问题3：我们以前学习圆柱、圆锥的体积公式.它们分别是什么？
师生活动：回顾旧知识，直观回答柱体的体积公式.
答：V
圆柱
=πr2ℎ(r是底面半径，h是高)
V
圆锥=1
3
πr2ℎ(r是底面半径，h是高)
追问：圆台是由圆锥截成的，可以利用两个圆锥的体积差，得到圆台的体积计算公式.大家能自己推导一下么？
师生活动：画示意图，利用相似，引导学生独立推导.
答：
SO′SO′+ℎ=
r′
r
⇒ SO′=
ℎr′
r−r′
圆锥SO′的高ℎr ′
r−r′
圆锥SO的高ℎr ′
r−r′+ℎ=rℎ
r−r′
V
圆锥SO′
=
1
3
πr′2
ℎr′
r−r′
V
圆锥SO
=
1
3
πr2
rℎ
r−r′
V
圆台OO′=V
圆锥SO
−V
圆锥SO′
=
1
3
πr2
rℎ
r−r′
−
1
3
πr′2
ℎr′
r−r′=
1
3
πℎ(r2+rr′+r′2)
追问：将棱柱、棱锥、棱台与圆柱、圆锥、圆台的体积公式归纳起来思考，有什么收获，能否得到一般化的柱体、锥体、台体的体积计算公式？
答：当台体的上底面扩大到与下底面全等时，即S1=S2=S,1
3
(S1+√S1S2+S2)=S 台体公式转化成了柱体公式. 当台的上底面缩小到一个点时，即S2=0，S1=S，
1 3(S1+√S1S2+S2)=1
3
S，台的体积公式转化为锥的体积公式.
设计意图：棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系以及圆柱、圆锥、圆台的体积公
式之间的关系，保持一致，都由几何体自身结构特征决定，引导学生思考知识间的联系，完善数学认识结构.
问题4：我们还有一种特殊的几何体“球”，圆的周长和面积都与其半径有关，那么球的表面积与体积是不是也与其半径有关呢？
师生活动：学生阅读教材，回答出球的表面积公式和体积公式.
答：设球的半径R，
S 球=4πR2，V
球
=
4
3
πR3
设计意图：类比圆，猜想球，阅读教材，获取信息.
追问：如何在球表面积基础上，推导球的体积公式？
师生活动：小组互动，学生探讨，点名交流.
答：把球O分成n个小网格，连接球心和每个小
网格的顶点，整个球体被分割成n个小锥体.
当n越大，每个小锥体的底面越平，就越近似于
棱锥，其高越近似球的半径R.
V O−ABCD≈1
3
S ABCD R
V 球=nV O−ABCD， S
球
=nS
O−ABCD底面
V 球=
1
3
S
球
R=
1
3
×4πR2⋅R=
4
3
πR3
设计意图：类比圆的面积推导过程，推导球的体积公式，让学生体会极限的思想方法，培养学生的空间想象能力，发展直观想象的学科核心素养.
3.应用举例
例1：圆柱的底面直径和高都等于球的直径，求球与圆柱的体积比？
师生活动：学生独立完成，老师点评.
解：设球的半径R，则圆柱的底面半径R，高2R，
V 球=
4
3
πR3，V
圆柱
=πR2⋅2R=2πR3
V
球
: V
圆柱
=
4
3
πR3: 2πR3=
2
3
设计意图：球的体积与圆柱的体积有内在联系，实际上球的体积可以由圆柱的体积推导得出，而这个题是希望有能力的学生在此有足够的思考.
4.归纳总结
回顾本节课的内容，回答下面问题.
（1）怎么求旋转体的表面积？
（2）常见旋转体的体积公式有哪些？
（3）如何推导圆台的体积公式？
（4）柱、锥、台它们体积公式之间有什么联系？。