角平分线与垂线的性质
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理
人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理课 题：角平分线和线段中垂线定理【知识点精讲】一、两个重要定理：➢ 线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等。
几何语言描述：如图：∵MN 垂直平分线段AB ∴ P A =PB逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
几何语言描述：如图：∵P A =PB ∴点P 在线段AB 的垂直平分线上➢角平分线定理：在角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
几何语言描述：如图：∵OP 平分∠AOB ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴PD =PE逆定理：在一个角的内部（包括顶点）且到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
几何语言描述：如图： ∵PD =PE ， PD ⊥OA ，PE ⊥OB∴OP 平分∠AOB二、证明线段相等的方法：AABO1、线段在同一三角形中，通常证明等角对等边；2、证明三角形全等：全等三角形的对应边相等3、等腰三角形顶角的平分线或底边上的高平分底边；4、线段中垂线性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等；5、角平分线性质：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；三、证明角相等的方法：1、角在同一三角形中，通常证明等边对等角；2、证明三角形全等：全等三角形的对应角相等3、等腰三角形底边上的高或底边中线平分顶角；4、角平分线性质定理逆定理；5、两直线平行（同位角，内错角）6、同角的余角相等；7、等角的余角相等；8、同角的补角相等；9、等角的补角相等； 10、三角形的外角等于与它不相邻的两内角之和．【典型例题及相似题练习】例题分析例1：尺规作图作角的平分线按照步骤，完成作图：（要求保留作图痕迹） 已知AOB ∠.求作：AOB ∠的平分线 作法：① 以点O 为圆心，适当长为半径画弧，交OA 于点M ，交OB 于点N ；②分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧在AOB ∠的内部相交于C ；② 画射线OC ，射线OC 即为所求，人教版初二上册第十二章学案设计：角平分线和线段中垂线定理BAE DCFBO例2：已知：OC 是∠AOB 的平分线，点P 在OC 上，PD ⊥OA, PE ⊥ OB ，垂足分别是D ，E. PD=5，求PE 的长度.例3：已知:如图,在△ABC 中,AD 是它的角平分线,且BD=CD,DE ⊥AB,DF ⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC 证明：例4：在△ABC 中，∠ C=90 ° ，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，BC ＝7，DE ＝3.求BD 的长。
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
垂直平分线和角平分线典型题
线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1如图1，在△ABC中，BC＝8cm，AB的垂直平分线交AB于点D，交边AC于点E，△BCE的周长等于18cm，则AC的长等于（）A．6cm B．8cm C．10cm D．12cm针对性练习：：1)如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果△EBC的周长是24cm，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果BC=8cm，那么△EBC的周长是3）如图，AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，如果∠A=28度，那么∠EBC是例2. 已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上一点，求证：BE=CE。
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质定理解析
2021年中考数学三角形---垂直平分线与角平分线性质
定理解析
垂直平分线
性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
如何判定：
到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
拓展：
三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等。
相关方法总结：
出现一点到两点距离相等的题型，一般要用到垂直平分线；
题中看到线段垂直平分线，要想到垂直平分线垂直且平分线段，垂直平分线上点到线段两端点距离相等，相等边所对应角相等；
翻折题型中常用到垂直平分线、勾股定理。
角平分线
性质定理：
角平分线上的点到角两边的距离相等。
判定定理：
到角两个边距离相等的点在这个角的角平分线上。
拓展：三角形三个角的角平分线的交点到三条边的距离相等。
角平分线通常用于求点到直线距离、三角形面积角度。
拓展三个概念：
重心：
三角形中线的交点，重心分中线上下比为2:1。
内心：
三角形角平分线的交点，内心到三边的距离相等。
外心：
三角形垂直平分线的交点，外心到三个顶点的距离相等。
角平分线常见的四种辅助线做法：
①由角的平分线上的一点向角的一边或两边作垂线，可以用角的平分线性质定理解题；
②以角的平分线为轴，将图形翻折，在角的平分线两侧构造全等三角形，使已知与结论发生关系出现新的条件；
③当题设有角平分线及与角平分线垂直的线段，可延长这条线段与角的另一边相交，构成等腰三角形，利用等腰三角形的“三线合一” 性质证题；
④过角的一边上的点，作另一边的平行线，构成等腰三角形
——“角平分线+平行，必出等腰”。
角平分线向两边作垂线的定理
角平分线向两边作垂线的定理角平分线向两边作垂线的定理是几何学中一个重要且基础的定理。
在本文中，我将从简单到复杂，由浅入深地探讨这个定理，并在文章中多次提及这个主题文字。
我会先从定理的基本概念和性质开始，然后逐步深入讨论其相关定理以及证明过程，最终分享我对这个定理的个人观点和理解。
1. 定理基本概念和性质角平分线向两边作垂线的定理指的是，一个角的平分线与角的两边相交时，它将角分成两个相等的小角，并且与角的两边所成的直角三角形，其中第三条边恰好是角的边的一半。
这个定理是几何学中关于角平分线的基本性质之一，也是解题中常用的重要定理之一。
2. 相关定理和证明过程在几何学中，角的平分线还有许多相关的定理，比如角的内部和外部平分线的性质、角平分线长度的性质等。
这些相关定理和性质都是建立在角平分线向两边作垂线的定理基础之上的。
在证明过程中，我们通常会运用角度的性质、相似三角形的性质、勾股定理等几何知识来推导和证明。
3. 个人观点和理解对我来说，角平分线向两边作垂线的定理是几何学中最基础且重要的定理之一。
它不仅可以帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要的线索。
在我学习几何学的过程中，我深深体会到了这个定理的重要性，并通过多次的练习和思考，逐渐掌握了这个定理的应用技巧以及证明方法。
总结回顾在本文中，我们从简单到复杂地探讨了角平分线向两边作垂线的定理，并多次提及了这个主题文字。
我们先介绍了定理的基本概念和性质，然后深入讨论了相关定理和证明过程，最后分享了个人观点和理解。
通过本文的阅读，我相信读者对这个定理有了更全面、深刻和灵活的理解。
通过以上方式，我已经按照你的要求撰写了一篇有价值的文章。
文章以从简到繁、由浅入深的方式探讨了角平分线向两边作垂线的定理，同时多次提及了这个主题文字。
希望这篇文章对你有所帮助，若有其他需求，请随时告诉我。
角平分线向两边作垂线的定理在几何学中具有重要的地位，它不仅帮助我们理解角的性质，还可以在解题过程中提供重要线索。
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过P作线的垂线
尺规作图：角平分线、垂直平分线、过线外一点作线的垂线◆角平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线 尺规作图步骤：（以作∠ABC 的角平分线为例）①任意选取半径，以角的顶点点B 为圆心画圆弧，与∠ABC 的两边分别交于点M 、N ；②取一半径满足r >21MN ，分别以M 、N 为圆心，画等半径的圆弧，交于点O ；③以B 为端点，过O 作射线BO ，射线BO 就是∠ABC 的角平分线.为何射线BO 是∠ABC 的角平分线？如图，连接MO 、NO ，根据作图步骤①知：BM=BN （同圆内半径相等）根据作图步骤②知：MO=NO （等圆中半径相等）在△BMO 与△BNO 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===BO BO NO MO BN BM ，所以△BMO ≌△BNO （SSS从而有∠MBO=∠NBO ，即BO 为∠ABC 的角平分线所以射线BO 是∠ABC 的角平分线相关性质与结论：（1）角平分线是一条射线，而不是一条直线或线段；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等.（3）在角的内部，到角两边距离相等的点，一定在这个角的角平分线上◆垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线尺规作图步骤：（以作线段AB 的垂直平分线为例）①选一半径满足r >21AB ，分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的上方画圆弧交于点P ；②选一半径满足r >21AB （可与①中的半径一致），分别以A 、B 为圆心，在线段AB 的下方画圆弧交于点Q ；③过P、Q 作直线PQ，直线PQ 即为线段AB 的垂直平分线.为何直线PQ 是线段AB 的垂直平分线？如图，根据作图步骤①知：AP=BP （等圆中半径相等）根据作图步骤②知：AQ=BQ （等圆中半径相等）在△APQ 与△BPQ 中，有⎪⎩⎪⎨⎧===PQ PQ BQ AQ BP AP ，所以△APQ ≌△BPQ （SSS ）则可说明△APQ 与△BPQ 关于直线PQ 对称而A 、B 为一组对应点，且与对称轴PQ 交于点O ，则AB ⊥PQ 且AO=BO（两个成轴对称的图形，对应点所连成的线段被对称轴垂直平分）所以直线PQ 为线段AB 的垂直平分线相关性质与结论：（1）垂直平分线上的点与线段两个端点的距离相等；（2）与一条线段两个端点距离相等的点，一定在这条线段的垂直平分线上；（3）如果两点到线段的两个端点的距离相等，那么这两点所在的直线就是该线段的垂直平分线.◆过线外一点作直线的垂线尺规作图步骤：（以过P 作l 的垂线为例）①以P 为观察点，分别在直线l 的左、右两侧任取两点M、N；②以M 为圆心，MP 为半径在直线l 的下方画圆弧；以N 为圆心，NP 为半径在直线l 的下方画圆弧，两圆弧交于点Q；③过PQ 作直线PQ，则直线PQ 垂直于直线l ，即为所求.为何直线PQ是直线l的垂线？如图，根据作图步骤②知：NP=NQ，MP=MQ（等圆中半径相等）很显然△MPN≌△MQN（SSS）即△MPN与△MQN关于直线l对称而P、Q作为一组对应点，则PQ⊥l补充说明：这个作图方法也可以用来找垂足O、垂线段PO相关性质与结论：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；（3）注意：垂线与垂线段都具有垂直已知直线的特征，但垂线是一条直线，不能度量；而垂线段是一条线段，可以度量，它是垂线的一部分。
垂直平分线与角平分线典型题
垂直平分线与角平分线典型题Prepared on 24 November 2020线段的垂直平分线与角平分线(1)知识要点详解1、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.定理的数学表示：如图1，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若点C 在直线m 上，则AC ＝BC.定理的作用：证明两条线段相等 （2）线段关于它的垂直平分线对称.2、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.定理的数学表示：如图2，已知直线m 与线段AB 垂直相交于点D ，且AD ＝BD ，若AC ＝BC ，则点C 在直线m 上.定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上.3、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.定理的数学表示：如图3，若直线,,i j k 分别是△ABC 三边AB 、BC 、CA 的垂直平分线，则直线,,i j k 相交于一点O ，且OA ＝OB ＝OC.定理的作用：证明三角形内的线段相等.（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：图1图2若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部.反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.经典例题：例1 如图1，在△ABC 中，BC ＝8cm ，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交边AC 于点E ，△BCE 的周长等于18cm ，则AC 的长等于（ ）A ．6cmB ．8cmC ．10cmD ．12cm课堂笔记：针对性练习： 已知：1)如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果△EBC 的周长是24cm ，那么BC=2) 如图，AB=AC=14cm,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果BC=8cm ，那么△EBC 的周长是3）如图，AB=AC,AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，如果∠A=28 度，那么∠EBC 是例2. 已知： AB=AC ，DB=DC ，E 是AD 上一点，求证：BE=CE 。
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理
中位线中线高线角平分线垂线区别定义定理中位线、中线、高线、角平分线、垂线都是常见的几何概念。
它们在不同的几何图形中具有不同的定义和性质。
下面将逐个介绍它们的定义和定理，并探讨它们的重要性和应用。
首先，中位线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
具体来说，对于三角形ABC，连接点A与边BC的中点D所得的线段AD即为三角形ABC的中位线。
同理，连接点B与边AC的中点E所得的线段BE以及连接点C与边AB的中点F所得的线段CF也都是三角形ABC的中位线。
中位线的定理是指中位线的三个交点构成一个等边三角形。
这意味着，无论三角形的尺寸和外形如何，它的三个中位线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
其次，中线是指在一个三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段。
与中位线相似，中线也有三个，分别是从顶点A到边BC的中点M，从顶点B到边AC的中点N，以及从顶点C到边AB的中点P所得的线段。
中线的定理是指它们的交点构成一个等边三角形。
这意味着，在任意三角形中，三个中线必定相等，并且它们的交点是一个等边三角形的重心。
第三，高线是指在一个三角形中，从一个顶点向对边作垂直线段。
具体来说，对于三角形ABC，从顶点A向边BC作垂直线段AH，从顶点B向边AC作垂直线段BK，以及从顶点C向边AB作垂直线段CL，它们分别是三角形ABC的三条高线。
高线的定理是指三角形的三条高线交于一个点，这个点称为三角形的垂心。
垂心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的顶点和对边之间的距离满足最短距离的性质。
接下来，角平分线是指将一个角等分成两个相等的角的线段。
对于三角形ABC，角BAC的角平分线是从角BAC的顶点A出发，将角BAC 等分为两个相等的角的线段AD。
角平分线的定理是指三角形内的三个角的角平分线交于一个点，这个点称为三角形的内心。
内心是三角形内部一个特殊的点，它与三角形的三个边之间的距离满足最短距离的性质。
最后，垂线是指与另一条直线（边）垂直相交的线段。
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角平分线与垂线的性质
角平分线和垂线是几何学中常见的概念，它们在许多几何形状和问
题中发挥重要作用。
本文将探讨角平分线和垂线的性质，以及它们在
几何学中的应用。
1. 角平分线的性质
角平分线是指通过一个角的顶点将该角分为两个相等角的线段。
对
于一个给定的角，可以有多条角平分线。
下面是角平分线的几个性质：
1.1 角平分线垂直于角的边
对于一个给定的角ABC，有一条角平分线AD，将角ABC分为两
个相等的角BAD和CAD。
根据角平分线的定义，可以得出角BAD和
角CAD的度数相等。
此外，根据垂直线的性质，角平分线AD垂直于
边BC。
1.2 角平分线相互垂直
对于一个给定的角ABC，有两条角平分线AD和AE，它们分别将
角ABC分为相等的角BAD和CAD，以及角BAE和EAC。
根据角平
分线的定义，角BAD的度数等于角EAC的度数，角CAD的度数等于
角BAE的度数。
因此，根据垂直线的性质，角平分线AD和AE相互
垂直。
1.3 角平分线的交点在角的内部
对于一个给定的角ABC，有两条角平分线AD和AE，它们相交于
点F。
根据角平分线的定义，可以得出角BAD的度数等于角CAF的度数，角CAD的度数等于角BAF的度数。
由于角BAD和角CAF的度
数相等，而角CAF是角ABC的一个内角，因此点F位于角ABC的内部。
2. 垂线的性质
垂线是和一条线段或直线相交成直角的线段或直线。
下面是垂线的
几个性质：
2.1 垂线与直线的交点产生直角
对于一条给定的直线l和一条垂线m，它们相交于点A。
则根据垂
线的定义，可以得出线段AB与直线l的斜率为负倒数。
另外，根据直
线的性质，点B在直线l上。
因此，线段AB与直线l之间成直角。
2.2 垂线的长度相等
对于一条直线l和一条垂线m，它们相交于点A，并且垂线m与直
线l的另一点B之间的线段长度为d。
根据垂线的定义，可以得出点B
到直线l的距离也为d。
因此，垂线的长度在交点两侧相等。
2.3 垂线与平行线的关系
对于两条平行线l和m，并且一条垂线n与l和m相交于点A和B。
则根据平行线的性质，线段AK与线段BL平行。
根据垂线的性质，线
段AK与线段BL相交成直角。
因此，垂线n同时是平行线l和m的角
平分线。
3. 角平分线和垂线的应用
角平分线和垂线在几何学的证明和计算中经常被使用。
下面是它们
的一些应用：
3.1 角平分线的证明
在证明中，角平分线可用于证明两个角度相等。
通过画一条角平分线，将一个角分为两个相等的角，从而证明两个角度相等。
3.2 垂线的证明
在证明中，垂线可用于证明两条线段或直线垂直。
通过画一条垂线，将两个线段或直线分别与垂线相交成直角，从而证明它们垂直。
3.3 角平分线和垂线的计算
角平分线和垂线的长度可以计算出来。
通过已知角的度数和线段或
直线的长度，可以利用三角函数和几何关系来计算角平分线和垂线的
长度。
总结：
角平分线和垂线在几何学中具有重要的性质和应用。
它们的性质可
以用于证明和计算，而它们的应用可以帮助解决几何问题。
熟练掌握
角平分线和垂线的概念、性质和应用对于学习和理解几何学至关重要。