高考文科数学真题答案全国卷

2014年高考文科数学真题及答案全国卷 1
一、选择题（题型注释）
1．已知集合{}{}|13,|21M x x N x x =-<<=-<<，则M N =I （）
)1,2(-)1,1(-)3,1()3,2(-【答案】B
【解析】
试题分析：根据集合的运算法则可得：{}|11M N x x =-<<I ，即选B ．
考点：集合的运算 2．若0tan >α，则
0sin >α0cos >α02sin >α02cos >α【答案】C 【解析】
试题分析：由sin tan 0cos α
αα
=>，可得：sin ,cos αα同正或同负，即可排除A 和B ，又
由sin 22sin cos ααα=⋅，故sin 20α>. 考点：同角三角函数的关系
3．设i i
z ++=11
，则=||z
21222
3
【答案】B
【解析】
试题分析：根据复数运算法则可得：111111(1)(1)222
i i z i i i i i i i --=
+=+=+=-++-，由
模的运算可得：||2
z ==.
考点：复数的运算
4．已知双曲线)0(132
22>=-
a y a x 的离心率为2，则=a 262
5
【答案】D 【解析】
试题分析：由离心率c e a
=可得:22
22
32a e a +==，解得：1a =． 考点：复数的运算
5．设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A.)()(x g x f 是偶函数
B.)(|)(|x g x f 是奇函数
C.|)(|)(x g x f 是奇函数
D.|)()(|x g x f 是奇函数 【答案】C 【解析】
试题分析：由函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，可得：
|()|f x 和|()|g x 均为偶函数，根据一奇一偶函数相乘为奇函数和两偶函数相乘为偶函
数的规律可知选C ． 考点：函数的奇偶性
6．设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+
AD 21BC 21
【答案】A 【解析】
试题分析：根据平面向量基本定理和向量的加减运算可得：在BEF ∆中，12EB EF FB EF AB =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，同理12
FC FE EC FE AC =+=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
，则
11111()()()()22222
EB FC EF AB FE AC AB AC AB AC AD
+=+++=+=+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u
r u u u r u u u r ． 考点：向量的运算
7．在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y =，③)62cos(π+=x y ,④)4
2tan(π
-=x y 中，最
小正周期为π的所有函数为
A.①②③
B.①③④
C.②④
D.①③ 【答案】A 【解析】
试题分析：①中函数是一个偶函数，其周期与cos 2y x =相同，22T π
π==;②中函数
|cos |x y =的周期是函数cos y x =周期的一半，即T π=;③22T ππ==;④2
T π
=，则
选A ．
考点：三角函数的图象和性质
8．如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（）
A.三棱锥
B.三棱柱
C.四棱锥
D.四棱柱 【答案】B
【解析】
试题分析：根据三视图的法则：长对正，高平齐，宽相等．可得几何体如下图所示． 考点：三视图的考查
9．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =()
2037216515
8【答案】D
【解析】
试题分析：根据题意由13≤成立，则循环，即133
1,2,,2222
M a b n =+
====;又由23≤成立，则循环，即2838
2,,,33323
M a b n =+
====;又由33≤成立，则循环，即3315815,,,428838M a b n =+====;又由43≤不成立，则出循环，输出158M =．
考点：算法的循环结构
10．已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,(
)
y x A 00,是C 上一点，x F A 04
5
=，则=x 0（）
.2 C. 【答案】A 【解析】
试题分析：根据抛物线的定义：到焦点的距离等于到准线的距离，又抛物线的准线方
程为：14x =-，则有：01||4AF x =+，即有0015
44
x x +=，可解得01x =．
考点：抛物线的方程和定义
11．已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是
（A ）()2,+∞（B ）()1,+∞（C ）(),2-∞-（D ）(),1-∞- 【答案】C 【解析】
试题分析：根据题中函数特征，当0a =时，函数2()31f x x =-+显然有两个零点且一正一负;当0a >时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导数的正负与函
数单调性的关系可得：(,0)x ∈-∞和2(,)x a ∈+∞时函数单调递增;2
(0)x a
∈，时函数单调
递减，显然存在负零点;当0a <时，求导可得：2'()363(2)f x ax x x ax =-=-，利用导
数的正负与函数单调性的关系可得：2
(,)x a
∈-∞和(0,)x ∈+∞时函数单调递减;
2(0)x a ∈，时函数单调递增，
欲要使得函数有唯一的零点且为正，则满足：2
()0
(0)0
f a f ⎧>⎪⎨⎪>⎩，即得：3222
()3()10
a a a
⨯-+>，可解得：24a >，则2(,2a a ><-舍去）． 考点：1.函数的零点;2.导数在函数性质中的运用;3.分类讨论的运用
12．设x ，y 满足约束条件,
1,x y a x y +≥⎧⎨-≤-⎩且z x ay =+的最小值为7，则a =
（A ）-5（B ）3（C ）-5或3（D ）5或-3
【答案】B 【解析】
试题分析：根据题中约束条件可画出可行域如下图所示，两直线交点坐标为：11(,)22
a a A -+，又由题中z x ay =+可知，当0a >时，z 有最小值：
21121222a a a a z a -++-=+⨯=，则
22172
a a +-=，解得：3a =;当0a <时，z 无最小值．故选B
考点：线性规划的应用
13．将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
【答案】2
3
【解析】
试题分析：根据题意显然这是一个古典概型，其基本事件有：数1，数2，语;数1，语，数2;数2，数1，语;数2，语，数1;语，数2，数1;语，数1，数2共有6种，
其中2本数学书相邻的有4种，则其概率为：42
P 63
==．
考点：古典概率的计算
14．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市；
丙说：我们三人去过同一城市；
由此可判断乙去过的城市为________. 【答案】A 【解析】
考点：命题的逻辑分析
15．设函数()113,1,,1,
x e x f x x x -⎧<⎪
=⎨⎪≥⎩则使得()2f x ≤成立的x 的取值范围是________.
【答案】(,8]-∞ 【解析】
试题分析：由于题中所给是一个分段函数，则当1x <时，由12x e -≤，可解得：1ln 2x ≤+，则此时：1x <;当1x ≥时，由13
2x ≤，可解得：328x ≤=，则此时：18x ≤≤，综合上述两种情况可得：(,8]x ∈-∞
考点：1.分段函数;2.解不等式
16．如图，为测量山高MN ，选择A
和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角60MAN ∠=
︒，C 点的仰角45CAB ∠=︒以及75MAC ∠=︒；从C 点测得60MCA ∠=︒.已知山高100BC m =，则山高MN =________m . 【答案】150 【解析】
试题分析：根据题意，在ABC ∆中，已知0045
,90,100CAB
ABC BC ∠=∠
==，易得：
AC =;在AMC ∆中，已知0
075,60,MAC MCA AC ∠=∠==045AMC ∠=，由正弦定理可解得：
sin sin AC AM
AMC ACM
=
∠∠，即：2
AM =
=在AMN ∆中，已知0060,90,MAN MNA AM ∠=∠==150MN m =.
考点：1.空间几何体;2.仰角的理解;3.解三角形的运用 八、解答题
17．已知{}n a 是递增的等差数列，2a ，4a 是方程2560x x -+=的根。

（I ）求{}n a 的通项公式；
（II ）求数列2n n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前n 项和. 【答案】（1）112n a n =+;（2）1422
n n n S ++=-.
【解析】
试题分析：（1）根据题中所给一元二次方程2560x x -+=，可运用因式分解的方法求出它的两根为2,3，即可得出等差数列中的242,3a a ==，运用等差数列的定义求出
公差为d ，则422a a d -=，故12d =
，从而13
2a =.即可求出通项公式;（2）由第（1）小题中已求出通项，易求出：1
2
22
n n n a n ++=，写出它的前n 项的形式：2313412
2222
n n n n n S +++=++++L ，观察此式特征，发现它是一个差比数列，故可采用错
位相减的方法进行数列求和，即两边同乘12，即：341213412
22222
n n n n n S ++++=++++L ，
将两式相减可得：23412131112()222222n n n n S +++=++++-L 123112
(1)4422
n n n +++=+--，所以
14
22
n n n S ++=-.
试题解析：（1）方程2560x x -+=的两根为2,3，由题意得242,3a a ==. 设数列{}n a 的公差为d ，则422a a d -=，故12d =
，从而13
2
a =. 所以{}n a 的通项公式为1
12
n a n =+.
（2）设{}2n n a 的前n 项和为n S ，由（1）知12
22n n
n a n ++=，则 23134122222n n n n n S +++=++++L ，
34121341222222
n n n n n S ++++=++++L . 两式相减得23412131112
()222222n n n n S +++=++++-L
所以14
22
n n n S ++=-.
考点：1.一元二次方程的解法;2.等差数列的基本量计算;3.数列的求和
18．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测
（II ）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III ）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 【答案】（1）
（2）质量指标值的样本平均数为100，质量指标值的样本方差为104
（3）不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 【解析】 试题分析：（1）根据频率分布表与频率分布直方图的关系，先根据：频率=频数／总数计算出各组的频率，再根据：高度=频率／组距计算出各组的高度，即可以组距为横坐标高度为纵坐标作出频率分布直方图;（2）根据题意欲计算样本方差先要计算出样本平均数，由平均数计算公式可得：质量指标值的样本平均数为
800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，进而由方差公式可得：质量指标值的样本方差为
22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=;（3）根据题意
可知质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 试题解析：（1）
（2）质量指标值的样本平均数为
800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 质量指标值的样本方差为
22222(20)0.06(10)0.2600.38100.22200.08104s =-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯=.
所以这种产品质量指标值
（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为 0.380.220.080.68++=，
由于该估计值小于，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.
考点：1.频率分布表;2.频率分布直方图;3.平均数与方差的计算
19．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B 1的中点为O ，且⊥AO 平面C C BB 11.
（1）证明：;1AB C B ⊥
（2）若1AB AC ⊥,,1,601==∠BC CBB ο求三棱柱111C B A ABC -的高.
【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱111ABC A B C -的高为
7
. 【解析】 试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点，又因为侧面11BB C C 为菱形，对角线相互垂直11B C BC ⊥;又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥，根据线面垂直的判定定理可得：1B C ⊥平面ABO ，结合线面垂直的性质：由于AB ⊂平面ABO ，故
1B C AB ⊥;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点O 到平面ABC
的距离，即：作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H ，则由线面垂直的判定定理可得OH ⊥平面ABC ，再根据三角形面积相等：OH AD OD OA ⋅=⋅，可求出OH 的长度，最后由三棱柱111ABC A B C -的高为此距离的两倍即可确定出高． 试题解析：（1）连结1BC ，则O 为1B C 与1BC 的交点. 因为侧面11BB C C 为菱形，所以11B C BC ⊥. 又AO ⊥平面11BB C C ，所以1B C AO ⊥， 故1B C ⊥平面ABO.
由于AB ⊂平面ABO ，故1B C AB ⊥.
（2）作OD BC ⊥，垂足为D ，连结AD ，作OH AD ⊥，垂足为H. 由于，BC OD ⊥，故BC ⊥平面AOD ，所以OH BC ⊥， 又OH AD ⊥，所以OH ⊥平面ABC.
因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形，又1BC =，可得OD =. 由于1AC AB ⊥，所以11122
OA B C =
=,
由OH AD OD OA ⋅=⋅，且AD ==
14
OH =，
又O 为1B C 的中点，所以点1B 到平面ABC 的距离为
7
.
故三棱柱111ABC A B C -的高为
7
. 考点：1.线线，线面垂直的转化;2.点到面的距离;3.等面积法的应用
20．已知点)2,2(P ，圆C :0822=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. (1)求M 的轨迹方程；
(2)当OM OP =时，求l 的方程及POM ∆的面积
【答案】（1）22(1)(3)2x y -+-=;（2）l 的方程为1833y x =-+;POM ∆的面积为16
5
.
【解析】 试题分析：（1）先由圆的一般方程与标准方程的转化可将圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4，根据求曲线方程的方法可设(,)M x y ，
由向量的知识和几何关系：0CM MP •=u u u u r u u u r
，运用向量数量积运算可得方程：
22(1)(3)2x y -+-=;（2）由第（1）中所求可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为
半径的圆，加之题中条件||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N
上，从而ON PM ⊥，不难得出l 的方程为18
33
y x =-+;结合面积公式可求又POM ∆的
面积为16
5
.
试题解析：（1）圆C 的方程可化为22(4)16x y +-=，所以圆心为(0,4)C ，半径为4，
设(,)M x y ，则(,4)CM x y =-u u u u r ，(2,2)MP x y =--u u u r
，
由题设知0CM MP •=u u u u r u u u r
，故(2)(4)(2)0x x y y -+--=，即22(1)(3)2x y -+-=. 由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是22(1)(3)2x y -+-=.
（2）由（1）可知M 的轨迹是以点(1,3)N 为半径的圆.
由于||||OP OM =，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON PM ⊥.
因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为13-，故l 的方程为18
33
y x =-+.
又||||OP OM ==O 到l 的距离为
5，||5PM =，所以POM ∆的面积为16
5
. 考点：1.曲线方程的求法;2.圆的方程与几何性质;3.直线与圆的位置关系
21．设函数()()2
1ln 12
a f x a x x bx a -=+-≠，曲线()()()11y f x f =在点，处的切线斜
率为0
求b;若存在01,x ≥使得()01a
f x a <-，求a 的取值范围。

【答案】（1）1b =;（2）(1)(1,)+∞U .
【解析】 试题分析：（1）根据曲线在某点处的切线与此点的横坐标的导数的对应关系，可先对
函数进行求导可得：'()(1)a
f x a x b x
=+--，利用上述关系不难求得'(1)0f =，即可得
1b =;（2）由第（1）小题中所求b ，则函数()f x 完全确定下来，则它的导数可求出
并化简得：'1()(1)1()(1)1a a a f x a x x x x x a -=
+--=---根据题意可得要对
1a
a
-与1的大小关系进行分类讨论，则可分以下三类：（ⅰ）若12a ≤，则11a
a
≤-，
故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增，所以，存在01x ≥，使得0()1
a
f x a <-的充要
条件为(1)1a f a <-，即1121a a a --<
-，所以11a <<.（ⅱ）若1
12
a <<，则11a a >-，故当(1,)1a x a ∈-时，'()0f x <；当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a +∞-单调递增.所以，存在01x ≥，使得0()1
a
f x a <
-的充要条件为()11a a
f a a <
--，无解则不合题意.（ⅲ）若1a >，则11
(1)1221
a a a
f a ---=-=<
-.综上，a 的取值范围是(1)(1,)+∞U . 试题解析：（1）'()(1)a
f x a x b x
=+--，
由题设知'(1)0f =，解得1b =.
（2）()f x 的定义域为(0,)+∞，由（1）知，2
1()ln 2
a f x a x x x -=+-， （ⅰ）若12a ≤
，则11a a
≤-，故当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 在(1,)+∞单调递增， 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为(1)1a f a <-，即1121
a a
a --<
-，
所以2121a --<<-. （ⅱ）若112a <<，则11a a >-，故当(1,)1a x a
∈-时，'()0f x <； 当(,)1a x a ∈+∞-时，'()0f x >，()f x 在(1,)1a a -单调递减，在(,)1a a
+∞-单调递增. 所以，存在01x ≥，使得0()1a f x a <-的充要条件为()11a a f a a <--， 而2()ln 112(1)11
a a a a a f a a a a a a =++>-----，所以不合题意. （ⅲ）若1a >，则11(1)1221
a a a f a ---=-=<-. 综上，a 的取值范围是(21,21)(1,)---+∞U .
考点：1.曲线的切线方程;2.导数在研究函数性质中的运用;3.分类讨论的应用
22．如图，四边形ABCD 是
的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.
（I ）证明：D E ∠=∠；
（II ）设AD 不是的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.
【答案】（1）详见解析;（2）详见解析
【解析】
试题分析：（1）根据题意可知A ，B ，C ，D 四点共圆，利用对角互补的四边形有外接圆这个结论可得：D CBE ∠=∠，由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠;（2）不妨设出BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =，由等腰三角形三线合一可得：MN BC ⊥，故O 在直线MN 上，又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，即MN AD ⊥，所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠，由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.
试题解析：（1）由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以D CBE ∠=∠，
由已知得CBE E ∠=∠，故D E ∠=∠.
（2）设BC 的中点为N ，连结MN ，则由MB MC =知MN BC ⊥，
故O 在直线MN 上.
又AD 不是圆O 的直径，M 为AD 的中点，故OM AD ⊥，
即MN AD ⊥.
所以//AD BC ，故A CBE ∠=∠，
又CBE E ∠=∠，故A E ∠=∠.
由（1）知，D E ∠=∠，所以ADE ∆为等边三角形.
考点：1.圆的几何性质;2.等腰三角形的性质
23．已知曲线194:2
2=+y x C ，直线⎩
⎨⎧-=+=t y t x l 222:（t 为参数）
写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；
过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值.
【答案】（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数），直线l 的普通方程为
26y x =-+.
（2. 【解析】 试题分析：（1）根据题意易得：曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩
，（θ为参数），直线l 的普通方程为26y x =-+;（2）由第（1）中设曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ，
利用点到直线的距离公式可求得：距离为|4cos 3sin 6|5
d θθ=+-，则
0|||5sin()6|sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角，且4tan 3
α=，当sin()1θα+=-
时，||PA .当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小
试题解析：（1）曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ
=⎧⎨=⎩，（θ为参数），
直线l 的普通方程为26y x =-+.
（2）曲线C 上任意一点(2cos ,3sin )P θθ到l 的距离为
|4cos 3sin 6|d θθ=+-.
则0|||5sin()6|sin 305d PA θα=
=+-，其中α为锐角，且4tan 3α=，
当sin()1θα+=-时，||PA 取得最大值，最大值为5
.
当sin()1θα+=时，||PA 取得最小值，最小值为5
. 考点：1.椭圆的参数方程;2.直线的参数方程;3.三三角函数的有界性
24．若,0,0>>b a 且ab b
a =+11 （I ）求33
b a +的最小值；
（II ）是否存在b a ,，使得632=+b a ？并说明理由.
【答案】（1）最小值为（2）不存在a ，b ，使得236a b +=.
【解析】
试题分析：（111
a b =+≥，得2ab ≥，且当
a b ==33a b +≥≥a b ==.
所以33a b +的最小值为（2）由（1）知，23a b +≥≥，而事实上6>，
从而不存在a ，b ，使得236a b +=.
试题解析：（111
a b =+≥，得2ab ≥，且当a b ==.
故33a b +≥≥a b ==.
所以33a b +的最小值为
（2）由（1）知，23a b +≥≥
由于6>，从而不存在a ，b ，使得236a b +=.
考点：1.基本不等式的应用;2.代数式的处理。