中考数学专题一最值问题

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2015 年中考数学专题训练（最值问题）

尖刀班专用资料

【几何基本模型】

B

条件：如下左图， A 、 B 是直线 l 同旁的两个定点． A

问题：在直线 l 上确定一点 P ，使 P A + PB 的值最小． 方法：作点 A 关于直线 l 的对称点 A ' ，连结 A 'B 交 l 于 点 P ，则 P A + PB = A 'B 的值最小

P

l

一、填空

A '

′

1、如图，正方形 ABCD 的边长为 8， 在 DC 上，且 DM ＝2， 是 AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为_________。

△2、如图，在锐角 ABC 中，AB ＝4 2，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交 BC 于点 D ，M 、N 分别是 AD 和 AB

上的动点，则 BM+MN 的最小值是____．

3、 如图，∠AOB = 45°， P 是 ∠AOB 内一点，PO = 10 ，Q 、R 分别是 OA 、OB 上的动点，则 △PQR

周长的最小值为_________．

︵

4、已知⊙O 的直径 CD 为 4，∠AOD 的度数为 60°，点 B 是AD 的中点，在直径 CD 上找一点 P ，使 BP+AP 的

值最小，并求 BP+AP 的最小值．

B

R

P O

Q A

5、如图，点 P 关于 OA 、OB 的对称点分别为 C 、D ，连接 CD ，交 OA 于 M ，交 OB 于 N ，若 CD ＝18cm ，则△PMN 的周长为________。

6 有一底面半径为 3，高为 4 的圆锥如下图，A 、B 在同一母线上，B 为 AO 的中点，试求以 A 为起点，以 B

为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线长为________．

7 已知抛物线 y=x 2-2x-3,与 x 轴相交于点 A 、B 两点（点 A 在点 B 的左边），与 y 轴相较于点 C ，P 为抛物线 对称轴上的一点，则△OPC 的周长的最小值是。

△8、如图， ABC 中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2 2 ，D 是线段 BC 上的一个动点，以 AD 为直径画⊙O

分别交 AB ，AC 于 E ，F ，连接 EF ，则线段 EF 长度的最小值为．

y

P

A

O

C

B x

9、如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为_______

10、如图，线段AB的长为2，C为AB上一个动点，分别以AC、BC为斜边在AB的同侧作两个等腰直角三角形△ACD和△BCE，那么DE长的最小值是．

11．如图，已知；边长为4的正方形截去一角成为五边形ABCDE，其中AF=2，BF=l，在AB上的一点P，使矩形PNDM有最大面积，则矩形PNDM的面积最大值是________

12．如图，AB是半圆的直径，线段CA上AB于点A，线段DB上AB于点B，AB=2；AC=1，BD=3，P是半圆上的一个动点，则封闭图形ACPDB的最大面积是___________

13.已知关于x的方程x2+（1﹣m）x+=0有两个不相等的实数根，则m的最大整数值是．

14.已知0≤x≤1.若x-2y=6，则y的最小值是;

二、解答题

1、如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC．CD 上滑动，且E、F不与B．C．D重合．

（1）证明不论E、F在BC．CD上如何滑动，总有BE=CF；

（2）当点E、F在BC．CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和△CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值．

B

△2、如图，在 ABC 中，已知 AB=AC=5，BC=6，且△ABC≌△DEF ，将△DEF 与△ABC 重合在一起，△ABC 不动，

△ABC 不动，△DEF 运动，并满足：点 E 在边 BC 上沿 B 到 C 的方向运动，且 DE 、始终经过点 A ，EF 与 AC

交于 M 点．

△1）求证： ABE∽△ECM ；

△2）探究：在 DEF 运动过程中，重叠部分能否构成等腰三角形？若能，求出 BE 的长；若不能请说明理由；

3）当线段 AM 最短时，求重叠部分的面积．

3、阅读材料：

例：说明代数式

x 2 + 1 + (x - 3)2＋4 的几何意义，并求它的最小值．

解：

x 2 + 1 + (x - 3)2 + 4 = (x - 0)2 + 12 + (x - 3)2 + 22 ，如图，建立平面直角坐标系，点 P （x ，0）

是 x 轴上一点，则 (x - 0)2 + 12 可以看成点 P 与点 A （0，1）的距离， (x - 3)2 + 22 可以看成点 P 与点 B

（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和，它的最小值就是 PA ＋PB 的最小值．

设点 A 关于 x 轴的对称点为 A′，则 PA=PA′，因此，求 PA ＋PB 的最小值，只需求 PA′＋PB 的最小值，而

点 A′、 间的直线段距离最短，所以 PA′＋PB 的最小值为线段 A′B 的长度．为此，构

造直角三角形 A′CB ，

因为 A′C=3，CB=3，所以 A′B=3 2 ，即原式的最小值为 3 2 。

根据以上阅读材料，解答下列问题：

（1）代数式 (x - 1)2 + 1 + (x - 2)2 + 9 的值可以看成平面直角坐标系中点 P （x ，0）与点 A （1，1）、点 B

的距离之和．（填写点 B 的坐标）

（2）代数式

x 2 + 49 + x 2 - 12x + 37 的最小值为