高考数学 10.6 几 何 概 型

【小题快练】 1.思考辨析 静心思考 判一判 (1)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率.( ) (2)相同环境下两次随机模拟得到的概率的估计值是相等的.( ) (3)几何概型中,每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地 取一点,该区域中的每一点被取到的机会相等.( ) (4)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图 形.( )
5
则直线4x+3y=15把圆所截得的劣弧的长度和整个圆的周长的比值即是
所求的概率,由于圆半径是2 ,3 则可得直线4x+3y=15截得的圆弧所 对的圆心角为60°,故所求的概率是 1 .
6
答案: 1
6
(2)如图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中△ABO和
2
△ACO为等边三角形,可知∠BOC=2 ,故所求事件的概率P= 3 ＝ 1 .
A .1 B .1 C .3
42
4
D .7 8
【解析】选C.由于两串彩灯第一次闪亮相互独立 且在通电后4秒内任一时刻等可能发生,所以总的 基本事件为如图所示的正方形的面积,而要求的 是第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的基本事件为如图所示的阴影部 分的面积,根据几何概型的计算公式可知它们第一次闪亮的时刻相差 不超过2秒的概率是 1 2 故3 ，选C.
A ． 1 － B . － 1 C . 2 － D .
4
2
2
4
【解析】选A.由题设可知,矩形ABCD的面积为2,曲边形DEBF的面积为
2- ,故所求概率为
2－ 2
1－ .
2
2
4
(2)(2013·四川高考)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯, 这两串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等 可能发生,然后每串彩灯在4秒内为间隔闪亮,那么这两串彩灯同时通 电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是( )
(3)几何概型的概率公式:
构 成 事 件 A 的 区 域 长 度 (面 积 或 体 积 )
P(A)=__试 __验 __的 _全 __部 __结 __果 __所 _构 __成 __的 __区 __域 _长 __度 __( _面 _积 __或 __体 __积 __)_.
2.必用技法 核心总结 看一看 (1)常用方法:随机模拟法. (2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想.
A .1 B . C . 1
84
4
D . 8
【解析】选A.集合A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2}表示的区域是一正
方形,其面积为4,集合B={(x,y)| 1 ≤xy2}表示的区域为图中阴影
部分,其面积为4- 1×12×π.
2
所以向区域A内随机地扔一粒豆子,则豆子落在区域B内的概率为
【解析】如图,在图上过圆心O作OM⊥直径CD.则|MD|=|MC|6=2 .当
N点不在半圆弧CMD上时,|MN|>6 2
.所以P(|MN|>62
)1= .
2
【规律方法】 1.与长度有关的几何概型 如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则其概率的计 算公式为
16 4
(3)(2013·福建高考)利用计算机产生0～1之间的均匀随机数a,则事
件“3a-1>0”的概率为
.
【解析】设事件A:“3a-1>0”,则a∈( 1 , 1 ] ，
3
1－
所以P(A)=
1 3
2
.
13
答案: 2
3
考点1 与长度、角度有关的几何概型
【典例1】(1)已知圆C:x2+y2=12,直线l:4x+3y=25.圆C上任意一点A到
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【解析】(1)正确.由随机模拟方法及几何概型可知,该说法正确. (2)错误.虽然环境相同,但是因为随机模拟得到的是某一次的频率, 所以结果不一定相等.(3)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. (4)正确.由几何概型的定义知,该说法正确. 答案:(1)√ (2)× (3)√ (4)√
2.教材改编 链接教材 练一练 (1)(必修3P140练习T1改编)有四个游戏盘,将它们水平放稳后,在上面 扔一颗玻璃小球,若小球落在阴影部分,则可中奖,小明要想增加中奖 机会,应选择的游戏盘是( )
【解析】选A.如题干选项中图,各种情况的概率都是其面积比,中奖的
概率依次为 P A ＝ 3 ， P B ＝ 2 ， P C ＝ 2 ， P D ＝ 1 .
8
8
6
3
(2)(必修3P140例4改编)已知A={(x,y)|-1≤x≤1,0≤y≤2},B= {(x,y)| 1 x 2 ≤y}.若在区域A中随机地扔一粒豆子,则该豆子落在 区域B中的概率为( )
4
1 2
1
.
4
8
3.真题小试 感悟考题 试一试 (1)(2013·陕西高考)如图,在矩形区域ABCD的A,C两点处各有一个通 信基站,假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩 形区域内无其他信号来源,基站工作正常).若在该矩形区域内随机地 选一地点,则该地点无信号的概率是( )
3
2 3
答案: 1
3
【一题多解】解答本题还可以用如下方法:
如例题解析中图,满足AA′的长度小于半径的点A′位于劣弧上,其中
2
△ABO和△ACO为等边三角形,所以其概率PB=AC的长
3 2
2r
1.
2 r
2 r 3
答案: 1
3
【互动探究】本例(1)条件变为:“已知圆O:x2+y2=12,设M为此圆周上 一定点,在圆周上等可能地任取一点N,连接MN”,求弦MN的长超过2 6 的概率.
第六节 几何概型
【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填 (1)几何概型的定义: 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的_长__度__(_面__积__或__体__积__)_ 成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称几何概型. (2)几何概型的特点: ①无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有_无__限__多__个; ②等可能性:试验结果在每一个区域内_均__匀__分布.
直线l的距离小于2的概率为
.
(2)已知A是圆上固定的一点,在圆上其他位置上任取一点A′,则AA′
的长度小于半径的概率为
.
【解题提示】(1)可转化为两平行线间的距离求解. (2)可将AA′的长度小于半径转化为与A,A′两点有关的角度问题.
【规范解答】(1)设直线4x+3y=c到圆心的距离为3,则c =3,取c=15,