【5年级奥数课本(上)】第10讲_约数与倍数
小学奥数创新体系5年级
（上册授课课本） 最
新
讲
义
小学奥数
第十讲约数与倍数
在前面的章节，我们学习了数论中的整除和质数合数等知识．今天，我们来学习数论中
有关约数与倍数的知识．
约数和倍数的定义是这样的：对整数a和b，如果|a b，我们就称a是b的约数（因数），b是a的倍数．
=?=?=?，根据定义，我们很容易找到一个数的所有约数，例如对12：因为121122634
可知12可以被1、2、3、4、6、12整除，那么它的约数有1、2、3、4、6、12，共6个．
从上面12的分拆可以看出，约数具有“成对出现
．．．．”的特征，也就是：最大约数对应最小约数、第二大约数对应第二小约数等．所以在写一个数的所有约数时，可以逐对写出．另外如果计算较大约数不太方便，可以转而计算与其成对的较小约数．
例题1．12345654321的第三大约数是多少？
「分析」第三大约数有点大，那我们可以先求出第三小的约数，再根据它计算第三大的约数．练习 1
12345678987654321的第二大约数是多少？
从上面的分析知，可以通过枚举的方法逐对写出一个数的所有约数，从而可就算出它的约数个数．但是对很大的数，例如20120000，用枚举来计算个数便很麻烦，所以我们要采用新的方法计算．
以72为例，首先采用枚举可知72共12个约数，分别为1、72；2、36；3、24；4、18；
6、12；8、9．因为72的约数能整除72，而72的所有质因数也都能整除72，所以对72进行质因数分解，有：32
7223
=?，那么72的所有约数应当由若干个2与若干个3构成．显然，2有0个到3个共4种选择；3有0个到2个共3种选择，根据乘法原理，72的约数共4312
?=个，见下表（注意021
=、031
=）：
从72的这个例子，我们可以总结出计算约数个数的一个简单做法：
约数个数等于指数加1再相乘
例题2．下列各数分别有多少个约数？
23， 64， 75， 225， 720．
「分析」熟练掌握约数个数的计算公式即可．
下列各数分别有多少个约数？
18， 47， 243， 196， 450．
例题3．3600有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？
「分析」约数既然能整除3600，那说明约数一定包含在3600的因数中．我们知道
4223600235=??，
那么3600的所有约数一定是由若干个2、若干个3和若干个5组成的．如果约数是3的倍数，那么它至少要含有多少个3？
3456共有多少个约数？其中有多少个是3的倍数？有多少个是4的倍数？有多少个不是6的倍数？
前面介绍过，一个数的约数具有“可配对”的特点，在练习时大家可以发现，平方数在进行配对时会出现两个重复的数，所以平方数有奇数个约数，根据上面关于约数个数的知识我们可以知道，有奇数个约数的数一定是平方数．．．．．．．．．．．．．．，有偶数个约数的数一定不是平方数．．．．．．．．．．．．．．．．
练 习 3
练 习 2 72
20 21 22 23 30
00231?= 10232?= 20234?= 30238?= 31
01233?= 11236?= 212312?= 312324?= 32 02239?= 122318?= 222336?=
322372?=
例题4．在小于1000的正整数中，有多少个数有奇数个约数？
「分析」有奇数个约数的数一定是平方数，所以只要找出有多少个平方数小于1000即可．
在2000到3000中，有多少个数有奇数个约数？
把一个数分解质因数后，可以知道它的约数个数，反过来，如果知道一个数的约数个数，虽然并不能知道这个数是多少（例如6和10都有4个约数），但可以知道这个数的质因数分解式的形式，例如有2个约数的数一定是质数，有4个约数的数是3a 或b c ?（a 、b 、c 都是质数）．下面以16个约数为例，来看一下如何反求质因数分解式：
先对16进行分解：1628442242222=?=?=??=???．
所以质因数分解式为：15、7?、33?、3??、???．
例题5．有12个约数的数最小是多少？有多少个两位数的约数个数是12个？
「分析」有12个约数的数有什么样的特点呢？2310823=?，根据约数个数的计算方法可知108有12个约数．除此之外，3223?，3225?，甚至形如32a b ?（a 、b 为不同的质数）均有12个约数．想一想还有没有其他的可能？
关于约数的另一类问题是计算约数和，下以72为例，先利用上面的表格列出72的所有约数，并计算出行和：
现在把3个行和相加，得到72的约数和是()()012301222223331513195+++?++=?=． 根据这个例子，我们可以总结出计算约数和的一般方法：
32a b c ??的约数和为()()
()232111a a a b b c +++?++?+． 练 习 4 72
20 21 22 23 行和 30
0023? 1023? 2023? 3023? 01230(2222)3+++? 31
0123? 1123? 2123? 3123? 01231(2222)3+++? 32 0223? 1223? 2223? 3223?
01232(2222)3+++?
例题6．计算下列数的约数和：108、144．「分析」熟练掌握约数和的计算公式即可．
完全数（perfect number）
如果一个自然数的真因子（除了自己以外的约数）之和恰好等于这个数本身，这个数就被叫做完全数．
完全数又称完美数或完备数，是一类特殊的自然数．利用本讲学过的知识不难知道6和28是最小的两个完全数．
公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究完全数的人，他已经知道6和28是完全数．毕达哥拉斯曾说：“6象征着完满的婚姻以及健康和美丽，因为它的部分是完整的，并且其和等于自身．”不过，或许印度人和希伯来人早就知道它们的存在了．有些《圣经》注释家认为6和28是上帝创造世界时所用的基本数字，他们指出，创造世界花了六天，二十八天则是月亮绕地球一周的日数．圣·奥古斯丁说：“6这个数本身就是完全的，并不因为上帝造物用了六天；事实恰恰相反，因为这个数是一个完数，所以上帝在六天之内把一切事物都造好了．”
完全数诞生后，吸引着众多数学家与业余爱好者像淘金一样去寻找．它很久以来就一直对数学家和业余爱好者有着一种特别的吸引力，他们没完没了地找寻这一类数字．接下去的两个完全数是公元1世纪，毕达哥拉斯学派成员尼克马修斯发现的，他在其《数论》一书中有一段话如下：“也许是这样：正如美的、卓绝的东西是罕有的，是容易计数的，而丑的、坏的东西却滋蔓不已；是以盈数（真因子之和大于自身的数）和亏数（真因子之和小于自身的数）非常之多，杂乱无章，它们的发现也毫无系统．但是完全数则易于计数，而且又顺理成章：因为在个位数里只有一个6；十位数里也只有一个28；第三个在百位数的深处，是496；第四个却在千位数的尾巴上，接近一万，是8128．它们具有一致的特性：尾数都是6或8，而且永远是偶数．”
第五个完全数要大得多，是33550336，它的寻求之路也艰难得多，直到十五世纪才由一位无名氏给出．这一寻找完全数的努力从来没有停止．电子计算机问世后，人们借助这一有力的工具继续探索．笛卡尔曾公开预言：“能找出完全数是不会多的，好比人类一样，要找一个完美人亦非易事．”时至今日，人们一直没有发现有奇完全数的存在．于是是否存在奇完全数成为数论中的一大难题．目前，只知道即便有，这个数也是非常之大，并且需要满足一系列苛刻的条件．
作业1.111111111的第二大的约数是多少？
作业2.79、128、180分别有多少个约数？
作业3.在小于200的正整数中，有多少个数有偶数个约数？
作业4.36的所有约数的和是多少？90的所有约数的和是多少？
作业5.240有多少个约数？其中有多少个奇约数？有多少个约数是3的倍数？
五年级奥数数阵问题
学生课程讲义 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 例1： 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。 练习： 1、把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
例2： 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。 分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。 当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。 练习： 1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 例3： 将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最大。
小学五年级奥数题及答案
小学五年级经典奥数题 题1、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为1元和1角的人民币，求换来的这两种人民币各多少张？ 题2、有一元，二元，五元的人民币共50张，总面值为116元，已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各多少张？ 题3、有3元，5元和7元的电影票400张，一共价值1920元，其中7元和5元的张数相等，三种价格的电影票各多少张？ 题4、用大、小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱，现在有18车货，价值3024元，若每箱便宜2元，则这批货价值2520元，问：大、小汽车各有多少辆？ 题5、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次，平均每天运14次，这几天中有几天是雨天？ 题6、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元，如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问：有多少千克大西瓜？ 题7、甲、乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶每次倒扣6分，两人各投10次，共得152分，其中甲比乙多得16分，问：两人各中多少次？ 题8、某次数学竞赛共有20条题目，每答对一题得5分，错了一题不仅不得分，而且还要倒扣2分，这次竞赛小明得了86分，问：他答对了几道题？ 答案： 1.解：设有1元的x张，1角的(28-x)张
x+0.1(28-x)=5.5 0.9x=2.7 x=3 28-x=25 答：有一元的3张，一角的25张。 2.解：设1元的有x张，2元的（x-2)张，5元的(52-2x) x+2(x-2)+5(52-2x)=116 x+2x-4+260-10x=116 7x=140 x=20 x-2=18 52-2x=12 答：1元的有20张，2元18张，5元12张。 3.解：设有7元和5元各x张，3元的(400-2x)张 7x+5x+3(400-2x)=1920 12x+1200-6x=1920 6x=720
小学五年级奥数 因数与倍数(一)
因数与倍数（一） 【课前小练习】(★) 1. 学习短除法和因数式 . 3. 公因数、公倍数的实际应用1. 2. 写出12的所有因数，并列举几个12的倍数. 写出18的所有因数，并列举几个18的倍数. 1. 公因数：就是几个数公共的约数，其中最大的一个称为最大公因数. 2. 公倍数：就是几个数公共的倍数，其中最小的一个称为最小公倍数. 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 方法：枚举法、短除法、分解质因数 板块一:短除法和分解质因数法 【例1】(★★☆) 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. 板块二:借助最大公因数未知数 ⑴28, 35 ⑵108, 360 ⑶66, 165 ⑷588, 924 3. 记法：两个数A、B的最大公因数记做(A、 B) 两个数A、B的最小公倍数记做[A、B] 4. 结论： A×B＝最大公因数×最小公倍数
【例】★★★ 求下列每组的最大公因数和最小公倍数. ⑴, , ⑵, , ⑶, , 【例3】(★★) 一个数和16的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多 少？ 1
【例4】(★★★☆) 【例5】(★★★☆) 两个自然数的差为21，它们的最大公因数有几种可能？最大可能是多少？三个不同的自然数的和是3030，它们的最大公因数最大可能是多少？ 【拓展】(★★★★) 由1、3、5这三个数码可以组成6个不同的三位数，求这6个数的最 大 公因数. 美国的17年蝉是目前已知的生命期最长的昆虫，它的生活习性很特别，在它 生命的前十七年，都是埋在地底的幼虫型态，十七年一到，就钻出土壤，羽化成成虫然后交配、产卵，接下来就死亡了。你知道为什么是17年吗？ 板块三:公因数、公倍数的应用 【例6】(★★★) 1 1 1 学校组织一次数学考试，其中三班的学生有得优，得良，得中， 2 3 7 其余的得差，已知三班的学生不满50人，那么得差的学生有_____人. 知识大总结. 、 . 2. 枚举法，短除法，分解质因数法 A＝ax、B＝bx，其中a、b互质 4. 应用：
五年级奥数数阵图与幻方
数阵图与幻方 知识集锦 数阵图是将一些数字按照一定要求排列而成的某些图形，数阵图可分为辐射型数阵图、封闭型数阵图和复合型数阵图三种形式。 幻方又叫魔方、九宫算或纵横图，它起源于我国上古时代，是一种具有奇妙性质的数字表格，在古代就有“河图”、“洛书”的传说。 在3×3的方格里，填上9个连续的自然数，使每行、每列、每条对角线上的3个自然数的和相等，这样的数字表格叫三阶幻方，相等的和叫做幻和。类似的还有四阶幻方、五阶幻方…… 例题集合 例1 把3、4、5、6、7这五个数字分别填入下图的五个方格中，使横 行、竖列三个数的和都是14。 练习1 将5、6、7、8、9这五个数分别填入下图中，使横行、竖列三个数的和都是21。 例2 将11～173个圆圈中的数之和都是40。
练习2 将1～13这十三个数分别填入下图的圆圈内，使每条线段上四个圆圈内的数字之和都是 47。 例3 把1、2、3、4、5、6填入下图的圆圈中，使每条边上三个数字的和都等于9。 练习3 如下图，在五个小圆圈内分别填上1、2、3、4、5这五个数，使每条直线上的三个数字 之和都相等。 例4 将1～8填入下图的圆圈内，使每个大圆周上的五个数之和是21。 练习4 将1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字分别填入下图（每个数字只用一次），如果两个大圆圈上五个小圆圈内的数字之和都是22，那么A、B两个圆圈内不可能填（）。 ①1和7 ②4和8 ③3和5 ④2和6
例5 如下图，将1～9这九个数字填在方格里，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等。 练习5 将4～12这九个数字填在下图所示的3×3的方格中，使每行、每列及两条对角线上的三个数的和都相等。 例6 下图的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等。 求x的值。 练习 6 如下图，九个小正方形内各有一个两位数，而且每行、每列及两条对角线上三个整数之和都相等。求x的值。 例7 将1、3、5、7、9、11、13、15、17这九个数字在下图中填写一个幻方（其中已填好一个数），求幻方和。 练习7 下图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21。
五年级上册数学试题-奥数因数与倍数练习题 北师大版
因数与倍数： 两数的最大公因数乘最小公倍数等于这两数的乘积。 1、请写出72的所有因数，其中有多少个因数是3的倍数？ 2、（1）请写出60的所有因数；（2）请写出105的所有因数。 3、请写出108所有的因数；其中有多少个是4的倍数？ 4、（1）180的因数有多少个？（2）200的因数有多少个？ 5、（1）144的因数有多少个？（2）500的因数有多少个？ 6、490的因数有多少个？ 7、10000的因数有多少个？ 8、28、72的最大公因数是多少？最小公倍数是多少？ 9、求36与56的最大公因数和最小公倍数。 10、计算（28，44，260），[28，44，260] 11、计算：（60，75）；[60，75]
12、求1547与507的最大公因数和最小公倍数。 13、求1085与93的最大公因数与最小公倍数。 14、计算（1064，952），[1064，952]（用辗转相除法解答） 15、用辗转相除法求4811和1981的最大公因数。16、求3553，3910，1411的最大公因数。 17、儿童节到了，老师买了320个苹果，240个梨，200个香蕉，用来分给全班同学，请问这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？ 18、有三根铁丝，一根长54米，另一根长72米，最后一根长36米，要把它们截成同样长的小段，不许剩余，每段最长是多少米？ 19、现在有香蕉42千克，苹果112千克，桔子70千克，平均分给幼儿园的几个班，每班分到的这三中水果中每种水果的数量相等，那么最多分了多少个班？
20、兄弟三人在外工作，大哥6天回家一次，儿哥8天回家一次，小弟12天回家一次，兄弟三人同时在5月1日回家，下次再见面是哪一天？ 21、一个数与40的最大公因数是8，最小公倍数是80，这个数是多少？ 22、一个数与20的最大公因数是6，最小公倍数是60，那么这个数是多少？ 23、甲数和乙数的最大公因数是6，最小公倍数是90，如果甲数是18，那么乙数是多少？ 24、一个数与36的最大公因数是4，最小公倍数是288，求这个数。 25、两个数的最大公因数是6，最小公倍数是420，如果这两个数的和是102，那么这两个数是多少？26、小悦和东东在黑板上各写了一个自然数，这两个自然数的最大公因数是18，最小公倍数是180，两个数的和是126，那么这两个数是多少？ 27、两个数的最大公因数是16，最小公倍数是160，这两个数相差48，这两个数是多少？ 28、已知两数的最大公因数是21，最小公倍数是126，求这两个数的和是多少？ 29、两个自然数不成倍数关系，它们的最大公因数是18，最小公倍数是216，这两个数分别是多少？ 30、两个数不成倍数关系，它们的最大公因数是15，最小公倍数是90，请问这两个数分别是多少？
小学五年级下册奥数知识点：数阵图练习题
小学五年级奥数 练习1、将1、2、3、4、5这5个自然数分别填入右图中的5 个方格中，使图中横行3个数的和与竖行3个数的和都是10。 2、把1～10这10个自然数填入下图“六一”的10个空格里，使在同一条直线上的各数和都是12。 练习1、将1、2、3、4、5、6这6个自然数分别 填入右图的○内，使三角形每边上的3数之 和为11。 2、把1～920. 练习1、将1～6这6个自然数分别填入下图中两圆的 ○内，使每个圆上4个数的和相等，两圆交点上的 两个○内的数有几种填法？
例4、将1～10这10个自然数填入右图中的○内，使图中 每条线段上的数之和都相等。请写出各种填法。 3、下面一列数是按一定规律排列的，那么括号中的数是（）。 1，4，7，28，5，20，（），12… 4、王明参加一次数学竞赛，全卷共20道竞赛题，做对一道得5分，做错一道倒扣3分，王明20道题都做了，共得76分，他做对了（）题。 5、同学们站成3层空心方阵，最外层每边站20人，一共有学生（）人。 6、小明的邮票比小红多15张，小明的邮票张数是小红的4倍，小红有（）张邮票 7、一条小青虫，它的身长每天延长1倍，长到第10天的时候身长是20厘米，请问，在身长是10厘米的时候，它已经生长了（）天。 8、士兵排成一个实心方阵，最外一层一周的人数为80人，问方阵外层每边有（）人。这个方阵共有（）个士兵。 9、长方形的长是20厘米，截去一个最大的正方形后，余下一个长方形，这个长方形的周长是（）厘米。 10、植树节到了，同学们在一条90米长的小路的一旁植树，每隔3米种一棵。（1）如果两端都各栽一棵，需要（）棵树。（2）如果只有一端栽树，需要（）棵树。（3）如果两端都不栽树，需要（）棵树。 11、甲班和乙班共有图书480本，甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班有图书（）本，乙班有图书（）本。 13、小明买科技书和文艺书共34本，科技书比文艺书多6本。小明买科技书（）本，文艺书（）本。 14、在一次活动中，老师把学生组成一个正方形方队，其中有两行、两列都是男
五年级奥数第09讲-数阵(教)
学科教师辅导讲义 知识梳理 一、数阵图 把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图。数阵是一种由幻方演变而来的数字图。 二、数阵图的分类 封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图。 三、数阵图的解法 （1）辐射型数阵图 方法一：尝试法，即去掉中间数时剩下的数应该两两一对，每队和相等，因此最中间数只能填最大数、最小数或中间数； 方法二：公式法，线和×线数=数字和+重叠数×重叠次数；重叠次数=线数-1 （2）封闭型数阵图 公式：线和×线数=数字和+重叠数之和 （3）复合型数阵图 综合了辐射型和封闭型数阵图的特点，要具体情况具体分析。 典例分析
考点一：辐射型数阵图 例1、把1～5这五个数分别填在下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。 【解析】中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9，所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9，重叠数 =(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。重叠数求出来了，其余各数就好填了(见右上图)。 例2、将1～7这七个自然数填入左下图的七个○内，使得每条边上的三个数之和都等于10。 【解析】与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的重叠数重叠了两次。于是得到(1+2+…+7)+重叠数×2=10×3。由此得出重叠数为[10×3-(1+2+…+7)]÷2=1。剩下的六个数中，两两之和等于9的有2，7；3，6；4，5。可得右上图的填法。 如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3，重叠数可能等于几？怎样填？ 考点二：封闭型数阵图 例1、将1~6六个自然数分别填入下图的○内，使三角形每边上的三数之和都等于11. ?=，而【解析】此图是封闭3—3图，因为每条边上的和都为11，那么三条边上的数字之和为11 333 1+2+…+5+6=21.所以三角形的三个数之和等于33-21=12，在1~6中选3个和为12的数，且其中任意两个的和不等于11，这样的组合有：12=2+4+6=3+4+5,经试验，填法如图。
五年级奥数数阵第1讲
後果完全相反，你选择哪个？ 第1讲 数阵 一、考点热点回顾 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，和同学们讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 二、典型例题 【例题1】把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 【例题2】将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
【例题3】将1——6这六个数分别填入下图的圆中，使每条直线上三个圆内数的和相等、且最 大。 【例题4】将1——7分别填入下图的7个○内，使每条线段上三个○内数的和相等。 【例题5】如下图(a)四个小三角形的顶点处有六个圆圈。如果在这些圆圈中分别填上六个质数，它们的和是20，而且每个小三角形三个顶点上的数的和相等。问这六个质数的积是多少？ 三、课堂巩固 1.把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。 2.把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3.将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。
4.把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 5.把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 6.将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。 四、课后巩固 1.将九个不同的自然数填入下面方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的积都相等。 2.将1——9九个自然数分别填入下图的九个小三角形中，使靠近大三角形每条边上五个数的和相等，并且尽可能大。这五个数之和最大是多少？ 3.将1——9九个数分别填入下图○内，使外三角形边上○内数之和等于里面三角形边上○内数之和。 4.将1——6六个数分别填入下图的○内，使每边上的三个○内数的和相等。 5.将1——9九个数分别填入下图○内，使每边上四个○内数的和都是17。 6.将1——8八个数分别填入下图的○内，使每条安上三个数的和相等。
五年级奥数题及答案-(1)
第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛 一、填空题（每小题5分，共60分） 1、（1 +2 +8 ）÷（1 +2 +8 ）＝ 2、奥运吉祥物中的5个“福娃”取“北京欢迎您”的谐音：贝贝、京京、欢欢、迎迎、妮妮。如果在盒子中从左向右放5个不同的“福娃”，那么，有种不同的放法。 3、有一列数：1，1，3，8，22，60，164，448……其中的前三个数是1，1，3，从第四个数起，每个
数都是这个数前面两个数之和的2倍。那么，这列数中的第10个数是4、有一排椅子有27个座位，为了使后去的人随意坐在哪个位置都有人与他相邻，则至少要先坐人。 5、一个拧紧瓶盖的瓶子里装着一些水（如图1），由图中的数据可推知瓶子的容积 是立方厘米；（取3.14）
6、某小区有一块如图2所示的梯形空地，根据图中的数据计算，空地的面积 是平方米。 7、如图3，棱长分别为1厘米，2厘米，3厘米，5厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是平方厘米。 8、五年级一班共有36人，每人参加一个兴趣小组，共有A,B,C,D,E 五个小组，若参加A组的有15人，
参加B组的仅次于A组，参加C组、D组的人数相同。参加E组的人数最少，只有4人，那么，参加B组的有人。 9、菜地里的西红柿获得丰收，摘了全部的时，装满了3筐还多16千克。摘完其余部分后，又装满6筐，则共收得西红柿千克。 10、工程队修一条公路，原计划每天修720米，实际每天比原计划多修
80米。因而提前3天完成任务。这条路全长千米。 11、王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶280千米后，将车速提高，于是提前1小时40分到达北京。北京、上海两市间的路程是千米。 12、两个完全相同长方体的长、宽、高分别是5厘米、4厘米、3厘米，
五年级奥数题：约数与倍数(A)
四约数与倍数（A） _____ 年级______ 班姓名___________ 得分______ 一、填空题 1 . 28的所有约数之和是 ______ . 2. 用105个大小相同的正方形拼成一个长方形,有________ 中不同的拼法? 3. 一个两位数，十位数字减个位数字的差是28的约数,十位数字与个位数 字的积是24.这个两位数是______ . 4. 李老师带领一班学生去种树,学生恰好被平均分成四个小组，总共种树 667棵，如果师生每人种的棵数一样多,那么这个班共有学生_____ 人. 5. 两个自然数的和是50,它们的最大公约数是5,则这两个数的差是________ . 6. 现有梨36个,桔108个,分给若干个小朋友，要求每人所得的梨数，桔数相等,最多可分给 _____ 小朋友,每个小朋友得梨_______ 个,桔 _____ 个. 7. 一块长48厘米、宽42厘米的布，不浪费边角料，能剪出最大的正方形 布片_____ 块. 8. 长180厘米,宽45厘米,高18厘米的木料，能锯成尽可能大的正方体木块（不余料）__ 块. 9. 张师傅以1元钱3个苹果的价格买苹果若干个，又以2元钱5个苹果的价格将这些苹果卖出，如果他要赚得10元钱利润，那么他必须卖出苹果_____ 个. 10. 含有6个约数的两位数有______ 个. 11. 写出小于20的三个自然数，使它们的最大公约数是1,但两两均不互质，请问有多少组这种解？ 12. 和为1111的四个自然数，它们的最大公约数最大能够是多少？ 13. 狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛，狐狸每次跳4丄米，黄鼠狼每次跳2-米, 2 4 它们每秒钟都只跳一次.比赛途中，从起点开始每隔12-米设有一个陷井，当它们 8 之中有一个掉进陷井时，另一个跳了多少米？ 14. 已知a与b的最大公约数是12, a与c的最小公倍数是300,b与c的最小公倍数也是300,那么满足上述条件的自然数a, b, c共有多少组？ （例如：a=12、b=300、c=300,与a=300、b=12、c=300是不同的两个自然数组） --------------------------- 答案 -------------------------------------------- 答案： 1. 56 28的约数有1,2,4,7,14,28,它们的和为
五年级上奥数试题——第8讲 数阵图与数字谜(含解析)人教版
第八讲 数阵图与数字谜 教学目标 1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点； 2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。 精讲讲练 数阵图 数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。 【例1】 （2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的 数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的 和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。 【分析】 由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的 三个数的和都加起来，总和应为12336? =，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。 【例2】 （2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112 :这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。 【分析】 由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ， 把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。所以，6(12312)2S =++++?L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。 【例3】 （2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ， H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。请将表中其它的数全部填好。 C B A
【分析】 由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。因此 可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。可得右下图。 【例4】 （2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同 的数放入33?的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。这9个数中最多有__________个质数。 【分析】 120:中的质数有2、3、5、7、11、13、17、19，共8个。如果这8个质数都用上，无论另外一个数是奇数还是偶数，根据奇偶性分析，都无法满足题目的要求。所以8个质数不可能都用 上，最多只能用7个。若用7个，只有用3、5、7、11、13、17、 19这7个奇数，再加上两个奇数9和15时，恰好是9个连续奇数，方格表可以填出，如右图。故这9个数中最多有7个质数。 [前铺] 在右图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都等于24。 [分析] 我们知道19:填图的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之和 都等于15，而本题中的幻方每行、每列及每条对角线上的三个数之 和都等于24，比19:填图的幻方大了24159-=，相当于每个数都 大了933÷=，所以只需要把19:填图的幻方中的每个数都加3就可 以了。 [前铺] 将1、3、5、7、9、11、13、15、17填入33?的方格内，使其构成一个幻方。 [分析] （法1）：中心数为9，然后将其余8个数分为4组，每组两个数的 和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可 得结果，如右图。答案不唯一，仅供参考。 （法2）：其实会学习的小朋友知道利用已经学习过的一些典型题 目的结果加以变形得到新题的答案。事实上我们可以把本题中的幻方看作是19:填图的幻方相应位置的数字乘以2再减1得来的。推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式。 19171513 11975 36 912571084119 613 57911131517
小学五年级下因数与倍数奥数辅导讲义汇编
因数和倍数奥数辅导讲义 教学内容 因数和倍数 1．知识回顾 （1）因数和倍数的概念 2x6=12 2和6是12的因数。12是2的倍数，也是6的倍数。 3x4=12 3和4也是12的因数。12是3和4的倍数。 整数A乘以整数B得到整数C，整数A与整数B就称做整数C的因数，反之整数C就为整数A与整数B的倍数。 （2）奇数和偶数 自然数中，是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数），不是2的倍数的数叫做奇数。2．规律、性质。 （1）因数和倍数：列举法；根据问题的要求，寻找因数的个数。 （2）奇数和偶数常用的性质： 1.奇数≠偶数，连续自然数中的奇数和偶数是相间排列的； 2.偶数个奇数相加的和是偶数，奇数个奇数相加的和是奇数，任意个偶数相加的和是偶 数； 3.奇数±奇数=偶数，奇数±偶数=奇数，偶数±偶数=偶数，偶数±奇数=奇数； 4.奇数×偶数=偶数，奇数×奇数=奇数，偶数×偶数=偶数 3. 典型例题 一、因数和倍数 例1.一个数是5个2，,3个3,2个5,1个7的连乘积，这个数当然有许多因数是两位数，这些两位数中，最大的是几？ 拓展一：甲数的2倍等于乙数，乙数的3倍等于丙数，丙数的4倍等于甲数，求甲数。 拓展二：把316表示成两个数的和，使其中一个是13的倍数，另一个是11的倍数，求这两个数。 拓展三：和子去鱼店买了以下几种鱼：青花鱼，每条130日元；竹荚鱼，每条170日元；沙丁鱼，每条78元；秋刀鱼，每条104元。每种鱼都多于1条，正好花了3600日元。请问：和子买了几条竹荚鱼？
例2.一只盒内共有96个棋子，如果不一次拿出，也不一个一个地拿出，但每次拿出的个数要相等，最后一次正好拿完，那么，共有多少种不同拿法？ 拓展一:小明用48元钱按零售价买了若干本练习本，如果按批发价购买,每本便宜2元，恰好多买4本,问:零售价每本多少元? 例3．三个连续奇数的和是15元，它们的积是多少? 拓展一：五个连续奇数的和是35元，这5个奇数中最大的一个是多少? 拓展二：有三个不同自然数组成的一个等式： □+ △+ ○= □×△—○ 这三个数中最多有多少个奇数？ 二、奇数和偶数 例题4：1+2+3+4+……+2011+2012的和是奇数还是偶数？ 拓展一：1+2+3+4+5+……+2000+2001的和是奇数还是偶数？ 拓展二：101+102+103+……+2007+2008的和是奇数还是偶数？ 例5.有12张卡片，其中3张卡片上面写着1,3张卡片上面写着3,3张卡片上写着5,3张卡片上面写着7，
五年级奥数：数列的分组(A)(含答案)
五年级奥数：数列的分组(A)（含答案） 一、填空题 1。 在下面的一列数中,只有一个九位数,它是______。 1234,5678,9101112,13141516,…… 2。 把自然数按下表的规律排列,其中12在8的正下方,在88正下方的数是______。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 × × × × × × × × × × × × 3。 计算:1996+1995-1994-1993+1992+1991-1990-1989+…+4+3-2-1,结果是____。 4。 下面是一列有规律排列的数组:(1, 21,31);(31,41,51),(51,61,7 1);……;第100个数组内三个分数分母的和是______。 5。 把所有的奇数依次一项,二项,三项,四项循环分为:(3),(5,7),(9,11,13), (15,17,19,21),(23),(25,27),(29,31,33),(35,37,39,41),(43),…,则第100个括号内的各数之和为______。 6。 一列数:1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,…,其中自然数n 出现n 次。那么,这列数中的第1999个数除以5的余数是______。 7。 如数表: 第1行 1 2 3 4 5 … … 14 15 第2行 30 29 28 27 26 … … 17 16
第3行 31 32 33 34 35 … … 44 45 … … … … … … … … … 第n 行 … … … … … … A … … 第n +1行 … … … … … … B … … 第n 行有一个数A ,它的下一行(第n +1行)有一个数B ,且A 和B 在同一竖列。如果A +B =391,那么n =______。 8。 有一串数,第100行的第四个数是______。 1, 2 3, 4, 5, 6 7, 8, 9,10,11,12 13,14,15,16,17,18,19,20 9。 观察下列“数阵”的规律,判断:992 1出现在第______行,第______列。数阵中有______个数分母和整数部分均不超过它(即整数部分不超过9,分母部分不超过92)。 1 21,131,132,141,143,151,15 4,… 341,343,351,354,361,365,37 1,… 561,565,571,576,581,587,591,… … … … … 10。 有这样一列数:123,654,789,121110,131415,181716,192021,……。还有另一列数:1,2,3,6,5,4,7,8,9,1,2,1,1,1,0,1,3,1,4,1,5,1,8,1,7,1,6,1,9,2, 0,2,1,……,第一列数中出现的第一个九位数是______,第二列数的第1994个数在一列数中的第______个数的______位上。 11。 假设将自然数如下分组:(1),(2,3),(4,5,6),(7,8,9,10),(11,12,13, 14,15),(16,17,18,19,20,21),……再将顺序数为偶数的数组去掉,则剩下的前k 个数组之和恒为k 4,如:(1)+(4+5+6)+(11+12+13+14+15)=34。
小学五年级数学因数与倍数教案
小学五年级数学因数与倍数d 王红英 课题：因数和倍数 教学目标： 1、学生掌握找一个数的因数，倍数的方法； 2、学生能了解一个数的因数是有限的，倍数是无限的: 3、能熟练地找一个数的因数和倍数： 4、培养学生的观察能力。 教学重点：掌握找一个数的因数和倍数的方法。 教学难点：能熟练地找一个数的因数和倍数。 教学过程： 一、引入新课。 1、出示主题图，让学生各列一道乘法算式。 2、师：看你能不能读懂下面的算式 岀示：因为2X6=12 所以2是12的因数，6也是12的因数； 12是2的倍数，12也是6的倍数。 3、师：你能不能用同样的方法说说另一逍算式 （指名生说一说） 师：你有没有明白因数和倍数的关系了 那你还能找岀12的英他【天1数吗 4、你能不能写一个算式来考考同桌学生写算式。
师：谁来岀一个算式考考全班同学 5、师：今天我们就来学习因数和倍数。（出示课题：因数倍数） 齐读P12的注意。 二、新授： （-）找因数： 1、出示例1： 18的因数有哪几个 从12的因数可以看得岀，一个数的因数还不止一个，那我们一起找找看18的因数有哪些学生尝试完成：汇报 （18 的因数有：1, 2, 3, 6, 9, 18） 师：说说看你是怎么找的（生：用整除的方法，18三1 = 18, 18三2=9, 18三3=6, 184-4 =…：用乘法一对一对找，如1 X18=18, 2X9 = 18-） 师：18的因数中，最小的是几最大的是几我们在写的时候一般都是从小到大排列的。 2、用这样的方法，请你再找一找36的因数有那些 汇报36 的因数有：1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36 师：你是怎么找的 举错例（1, 2, 3, 4, 6, 6, 9, 12, 18, 36） 师：这样写可以吗为什么（不可以，因为重复的因数只要写一个就可以了，所以不需要写两个6 ） 仔细看看，36的因数中，最小的是几，最大的是几 看来，任何一个数的因数，最小的一泄是（），而最大的一立是（）。 3、你还想找哪个数的因数（18、5、42……）请你选择英中的一个在自练本上写一写, 然后汇报。 4、苴实写一个数的因数除了这样写以外，还可以用集合表示：如 18的因数
五年级奥数数阵问题
课时3 数阵问题（一） 一．数阵 填“幻方”是同学们比较熟悉的一种数学游戏，由幻方演变出来的数阵问题，也是一类比较常见的填数问题。这里，主要讨论一些数阵的填法。 解答数阵问题通常用两种方法：一是待定数法，二是试验法。 待定数法就是先用字母（或符号）表示满足条件的数，通过分析、计算来确定这些字母（或符号）应具备的条件，为解答数阵问题提供方向。 试验法就是根据题中所给条件选准突破口，确定填数的可能范围。把分析推理和试验法结合起来，再由填数的可能情况，确定应填的数。 二．例题精析 例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图的五个方格里，如图a使横行三个数的和与竖行三个数的和都是21。 先把五格方格中的数用字母A、B、C、D、E来表示，根据题意可知：A＋B＋C＋D＋E=35，A＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知，E=42－35=7，即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格，如图b。 小试牛刀 把1——10各数填入“六一”的10个空格里，使在同一直线上的各数的和都是12。
2、把1——9各数填入“七一”的9个空格里，使在同一直线上的各数的和都是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中的圆圈里，使每条线上三个数的和相等。 例2 将1——10这十个数填入下图小圆中，使每个大圆上六个数的和是30。
分析设中间两个圆中的数为a、b，则两个大圆的总和是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60，a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5，2＋3=5。 当a和b是1和4时，每个大圆上另外四个数分别是（2、6，8，9）和（3、5，7，10）；当a和b是2和3时，每个大圆上另外四个数分别为（1、5，9，10）和（4，6，7，8）。 小试牛刀 1、把1——8八个数分别填入下图的○内，使每个大圆上五个○内数的和相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图的○内，使每个四边形顶点的○内四个数的和都相等，且和最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里，使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数的和都是18。
小学奥数 5-1-3-3 数阵图(三).教师版
1. 了解数阵图的种类 2. 学会一些解决数阵图的解题方法 3. 能够解决和数论相关的数阵图问题 . 一、数阵图定义及分类： 1. 定义：把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图. 2. 数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图：即封闭型数阵 图、辐射型数阵图和复合型数阵图. 3. 二、解题方法： 解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手： 第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)； 第二步：在数阵图的少数关键点( 一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围； 第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用． 数阵图与数论 【例 1】 把0—9这十个数字填到右图的圆圈内，使得五条线上的数字和构成一个等差数列，而且这个等差 数列的各项之和为55，那么这个等差数列的公差有 种可能的取值． 【考点】数阵图与数论 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，三年级，初赛，第8题 【解析】 设顶点分别为A 、B 、C 、D 、E ，有45+A +B +C +D +E =55，所以A +B +C +D +E =10，所以A 、B 、C 、 D 、 E 分别只能是0-4中的一个数字.则除之外的另外5个数（即边上的）为45-10=35.设所形成的等差数列的首项为a 1，公差为d .利用求和公式5（a 1＋a 1+4d ）2=55， 得a 1+2d =11，故大于等于0+1+5=6，且为奇数，只能取7、9或11，而对应的公差d 分别为2、1和0.经试验都能填出来所以共有3中情况，公差分别为2、1、0. 【答案】2种可能 例题精讲 知识点拨 教学目标 5-1-3-3.数阵图
五年级奥数训练第11讲约数与倍数
五年级奥数训练 第11讲约数与倍数 内容概述 掌握约数与倍数酌概念．学会约数个数与约数和的计算方法；掌握最大公约数、最小公倍数的常用计算方法；能够利用最大公约数和最小公倍数的性质解决相关的整数问题． 典型问题 兴趣篇 1．(1)请写出105的所有约数；(2)请写出72的所有约数．2．(1) 20000的约数有多少个？(2) 720的约数有多少个？ 3．计算：(1) (28,72), [28,72]; (2) (28,44,260), [28, 44, 260]. 4．两个数的差是6，它们的最大公约数可能是多少？
5．(1)求1085和1178的最大公约数和最小公倍数； (2)求3553，3910和1411的最大公约数． 6．教师节到了，校工会买了320个苹果、240个桔子、200个香蕉来慰问退休老职工．请问：用这些水果最多可以分成多少份同样的礼物？在每份礼物中，苹果、桔子、香蕉各有多少个？ 7．一块长方形草地，长120米，宽90米，现在在它的四周种树，要求四个角和各边中点都要求种树，且相邻两棵树之间的距离都相等，请问：最少要种多少棵树？ 8．甲数和乙数的最大公约数是6，最小公倍数是90.如果甲数是18，那么乙数是多少？
9．有甲、乙两个数，它们的最小公倍数是甲数的27倍．已知甲数是2、4、6、8、10、12、14、16的倍数，但不是18的倍数；乙数是两位数．乙数是多少？ 10．小悦、冬冬、阿奇在黑板上各写了一个自然数，这三个自然数的最大公约数是35，最小公倍数是70.这三个数的和可能是多少？ 拓展篇 1．72共有多少个约数？其中有多少个约数是3的倍数？ 2．5400共有多少个约数？并求出所有约数乘积的质因数分解形式．3．两数乘积为2800，已知其中一个数的约数个数比另一个数的约数
五年级奥数数阵问题
课时3 数阵问题(一) 一.数阵 填“幻方”就是同学们比较熟悉得一种数学游戏,由幻方演变出来得数阵问题,也就是一类比较常见得填数问题。这里,主要讨论一些数阵得填法。 解答数阵问题通常用两种方法:一就是待定数法,二就是试验法。 待定数法就就是先用字母(或符号)表示满足条件得数,通过分析、计算来确定这些字母(或符号)应具备得条件,为解答数阵问题提供方向。 试验法就就是根据题中所给条件选准突破口,确定填数得可能范围。把分析推理与试验法结合起来,再由填数得可能情况,确定应填得数。 二.例题精析 例1 把5、6、7、8、9五个数分别填入下图得五个方格里,如图a使横行三个数得与与竖行三个数得与都就是21。 先把五格方格中得数用字母A、B、C、D、E来表示,根据题意可知:A＋B＋C＋D＋E=35,A ＋E＋B＋C＋E＋D=21×2=42。 把两式相比较可知,E=42－35=7,即中间填7。然后再根据5＋9=6＋8便可把五个数填进方格,如图b。 小试牛刀 把1——10各数填入“六一”得10个空格里,使在同一直线上得各数得与都就是12。 2、把1——9各数填入“七一”得9个空格里,使在同一直线上得各数得与都就是13。 3、将1——7七个自然数分别填入图中得圆圈里,使每条线上三个数得与相等。
例2 将1——10这十个数填入下图小圆中,使每个大圆上六个数得与就是30。 分析设中间两个圆中得数为a、b,则两个大圆得总与就是1＋2＋3＋……＋10＋a＋b=30×2、即55＋a＋b=60,a＋b=5。在1——10这十个数中1＋4=5,2＋3=5。 当a与b就是1与4时,每个大圆上另外四个数分别就是(2、6,8,9)与(3、5,7,10);当a与b就是2与3时,每个大圆上另外四个数分别为(1、5,9,10)与(4,6,7,8)。 小试牛刀 1、把1——8八个数分别填入下图得○内,使每个大圆上五个○内数得与相等。 2、把1——10这十个数分别填入下图得○内,使每个四边形顶点得○内四个数得与都相等,且与最大。 3、将1——8八个数填入下图方格里,使上面四格、下面四格、左四格、右四格、中间四格以及对角线四格内四个数得与都就是18。