对数函数及其性质 课件

例如：(1)函数y＝log2(1＋0.5x)是R上的________，而函 数y＝log0.5(1＋0.5x)是R上的________．
(2)函数y＝log2(1＋2x)是R上的________，而函数y＝ log0.5(1＋2x)是R上的________．
(2)减函数 增函数 增函数 减函数
思考应用
1．什么是对数函数？如何判断？对数函数的定义域 是什么？
解析：形如y＝logax(a＞0且a≠1)的函数叫对数函数， 它是一种形式定义．根据指数式与对数式的互化，ay＝x⇔y ＝logax，x为指数幂，恒大于零，所以定义域为(0，＋∞)．
2．对数函数中，规定底数a大于零且不等于1的理由？
解析：由于在指数式与对数式的互化中，底数a没有 发生变化，因此底数a的取值与前面指数函数中底数a的取值 相同，具体请参考2.1.2(一)节(思考应用)2.
3．对数函数的图象变化与底数大小的关系是什么？
解析：底数a＞1时，a越大，函数增长越慢，图象越 靠近x轴(x＞1时)，底数0＜a＜1时，图象在x轴下方越靠近x 轴．此性质可通过y＝1时函数的自变量取值大小去理解．
自测自评
1．
，则a的取值范围是( B )
A.0，23∪(1，＋∞)
B.23，＋∞
C.23，1
跟踪训练 分析：画出草图，结合图象解决．
对数函数图象相关问题 作出下列函数ax(a为常数，a＞1)的大致图象是 (D )
D.0，23∪23，＋∞
2．下列函数中，在(0,2)上为增函数的是( D )
A．y＝log12x
B．y＝log2(x－1)
C．y＝log21x
D．y＝log2|x|
3．函数 y＝－log2(3－x)的定义域是_(_－__∞_,_3_)_．
对数函数定义相关问题
求函数 y＝log3(1＋x)＋ 3－4x的定义域．
3.y＝logax与y＝ax互为________图象关于________对称．
4．两函数y＝logax与y＝ 有什么关系？
(a＞0，且a≠1)图象之间
两函数的图象关于x轴对称．
例如：y＝log2x与y＝
的图象关于x轴对称．
5．由y＝2x解出x＝log2y，再把x与y对调，即为y＝log2x， 那么我们就说指数函数y＝2x与对数函数y＝log2x互为 ________．函数y＝ax与y＝logax(a＞0，且a≠1)互为______．
对数函数及其性质(一)
基础梳理 1．一般地，把________叫做对数函数，其中 x是________，
函数的定义域是________，值域是________． 1．函数y＝logax(a＞0且a≠1) 自变量 (0，＋∞) (－∞，＋∞) 2．对数函数y＝logax(a＞0，a≠1)．
图 象
性质
解析：要使函数有意义，必须x＋1＞0 ， 3－4x≥0
x＞－1
解得：x≤34
，
故函数的定义域为x－1＜x≤34.
点评：常见的考虑因素有对数的底数大于0且不等于1， 对数真数大于0，偶次根号下大于等于零，分母不为零等， 注意考虑问题要全面，不能漏解．
跟踪训练
分析：一般情况下，函数的定义域就是使函数的解析式 有意义．例如分母不等于0，被开方数大于等于0，对数的真 数大于0，底数大于0且不等于1，有实际含义的自变量，取 实际有意义的部分．
解析：(1)由题知，应有1x>－0l，og3x≥0， 即log3x≤1＝log33， 故 0<x≤3.
x>0. 所以函数 y＝ 1－log3x的定义域是{x|0<x≤3}．
(2)由题知，应有x2＋3x－4>0得x>1或x<－4.
故函数y＝ log1 x2 3x 4 的定义域是
2
{x|x>1或x<－4}．
3．反函数 直线y＝x对称 5．反函数 反函数
6．互为反函数的两个函数的图象关于直线 __________对称．
例如：y＝2x与y＝log2x的图象关于直线________对
称．在同一直角坐标系中，函数y＝2x与y＝log2x以及函数y
＝( 1 )x与y＝
2
的图象如下．
6．y＝x y＝x
7．在闭区间[m，n](m＞0)上，讨论函数f(x)＝logax (a＞0且a≠1)值域． ①若a＞1，则f(x)＝logax的值域是：____________； ②若0＜a＜1，则f(x)＝logax的值域是：____________. 8．函数y＝logaf(x)在定义域上的单调性由y＝logat与t＝ f(x)的单调性确定，规律是：“____________”． (1)当0＜a＜1时，y＝logat在定义域上是减函数． ①若t＝f(x)是定义域上的减函数，则y＝logaf(x)是定义域 上的增函数；
(1)定义域：________ (2)值域：________. (3)过点________
(4)①在____上是____函数 ②在____上是____函数
函数值 (5)①x＞1，________； 分布 0＜x＜1，________
②x＞1，________； 0＜x＜1，________
2．(1)(0，＋∞) (2)R (3)(1,0) (4)①(0，＋∞) 增 ② (0，＋∞) 减 (5)①y＞0 y＜0 ②y＜0 y＞0
利用对数函数的单调性比较大小
比较下列各组数的大小：
(1)loga2.7，loga2.8； (2)log34，log65； (3)log0.37，log97. 解析：(1)当a＞1时，由函数y＝logax的单调性可知 loga2.7＜loga2.8， 当0＜a＜1时，可得loga2.7＞loga2.8. (2)log34＞log33＝1，log65＜log66＝1， ∴log34＞log65. (3)log0.37＜log0.31＝0，log97＞log91＝0， ∴log0.37＜log97.
②若t＝f(x)是定义域上的增函数，则y＝logaf(x)是定义域 上的减函数．
7．[logam，logan] [logan，logam]
8．同增异减
(2)当a＞1时，y＝logat在定义域上是增函数．
①若t＝f(x)是定义域上的减函数，则y＝logaf(x)是定义 域上的减函数；
②若t＝f(x)是定义域上的增函数，则y＝logaf(x)是定义 域上的增函数．