向量组的线性相关性的判定

向量组的线性相关性的判定

摘 要：向量组的线性相关性是线性代数中的一块基石，在它的基础上我们推导和衍生出其它许多理论.本文利用线性相关性的定义，行列式的值，矩阵的秩，齐次线性方程组的解，弗朗斯基判别法等知识对向量组的线性相关性进行了判定，并比较了几种不同判定方法的适用条件.

关键词：向量组；线性相关；行列式

引言

向量组的线性相关性在线性代数中起到贯穿始终的作用.线性相关性这个概念在许多数学专业课程中都有体现，如微分几何，高等代数和偏微分方程等等.它是线性代数理论的基本概念，它与向量空间(包括基，维数），子空间等概念有密切关系，同时在微分几何以及偏微分方程中都有广泛的应用.因此，掌握线性相关性这个概念有着非常重要的意义，也是解决其它问题的重要理论依据.

向量组的线性相关与线性无关判定方法是非常灵活的.本文参考文献[2]介绍了线性相关的定义及其性质，并给出了证明.文献[1]、[3]、[4]、[5]则是介绍了关于向量组线性相关判定的几种方法，给出了证明并举出了几个例子.

本文从线性相关性的定义出发，分别运用了定义法、线性关系、向量空间的性质、矩阵的秩、行列式的值、反证法、线性变换的性质等几种方法对向量组的线性相关性进行了判定.如果向量组是函数，那么可用弗朗斯基判别法判定.特别是反证法，线性变换的性质，弗朗斯基判别法运用于一些复杂和特殊的题目，是比较方便的.

1.向量组线性相关性的相关定义及性质

定义 1.1]1[ 定义在P 上的线性空间V ，对于给定的一组向量12,,,n x x x ,

如果存在n 个不全为0的数12,,

,n λλλ，使得

11220n n x x x λλλ++

+=.

那么称12,,

,n x x x 是线性相关的.否则称12,,,n x x x 是线性无关的.

性质1.1 若12,,,n x x x 线性相关，则其中至少有一个向量可由其余1n -个

向量线性表示.

证明 )⇒若这n 个向量线性相关，那么

11220n n x x x λλλ+++=，

其中i λ不全为0，不妨设0i λ≠，那么可解得

1

1n

i n i

i

x x x λλλλ=-

--

.

所以该结论是成立的.

)⇐如果其中一个向量可由其余向量线性表示，那么这n 个向量是线性相关

的.这是因为如果设

11221111i i i i i n n x k x k x k x k x k x --++=++++

+，

那么移项得

11221111()0i i i i n n i k x k x k x k x k x x --+++++++

++-=.

显然，i x 的系数为-1，那么由线性相关的定义知，这n 个向量是线性相关的.

性质1.2 含有零向量的向量组必是线性相关的.

性质1.3 单个向量线性相关的充要条件是这个向量是零向量.

性质1.4 若向量组12,,,n ααα线性无关，12,,

,,n αααβ线性相关，那么β

可由12,,

,n ααα线性表示.

性质1.5 如果向量组12,,,m βββ的部分组

1

2,,

,({1,2,

,})m k k k j k n βββ∈

线性相关，那么12,,,n βββ也一定是线性相关的.即部分组线性相关，则整体线

性相关.

向量组的线性相关与线性无关的概念也可应用于线性方程组.当方程组中有某个方程是其余方程的线性组合时，这个方程就是多余的，那么称方程组是线性相关的.反之，它们是线性无关的.

2.向量组线性相关性的判定方法

2.1 定义法

定义法是判定向量组的线性相关性的最基本的方法.对给定的n 个向量

12,,

,n x x x ，只需令

11220n n x x x λλλ++

+=.

根据题中的条件去求12,,

,n λλλ即可.

当12,,

,n λλλ不全为0时，12,,,n x x x 是线性相关的.当12,,

,n λλλ全为0时，

12,,

,n x x x 是线性无关的.

例1 设123,,ααα线性无关，证明122331,,αααααα+++也线性无关.

证明 设对于任意的123,,k k k ，有

112223331()()()0k k k αααααα+++++=.

整理得

131122233()()()0k k k k k k ααα+++++=.

由于123,,ααα线性无关，得

131223

0,

0,0.k k k k k k +=⎧⎪

+=⎨⎪+=⎩ 解得

123

0,0,0.k k k =⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 所以122331,,αααααα+++也线性无关.

例2 设21,1,1[]n x x P x ++∈，判断它们的线性相关性.

解 设123,,k k k P ∈，令

2123(1)(1)0k k x k x ++++=，

整理得

212323()0k k k k x k x ++++=,

所以有

123230,0,0.k k k k k ++=⎧⎪

=⎨⎪=⎩

解得

1230k k k ===.

从而21,1,1x x ++是线性无关的.

2.2 利用向量空间的性质进行判定

利用向量组的线性相关性的性质也可以判定很多题目.

例3 判断1231010,2,1000ααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫

⎪ ⎪ ⎪

=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

的相关性.

证明 由题意可得

3121

2

ααα=+，

那么由性质1.1知，123,,ααα是线性相关的.

这种判定方法适用于具体的题目，一般不用于理论分析.

定理2.2.2 n 维向量空间中任意1n +个向量是线性相关的.

例4 设V 是P 上的线性空间，σ是V 上的线性变换.证明2

2,,

,n σσσ是线

性相关的.

证明 设()L V 是V 上所有的线性变换组成的集合，()L V 关于线性变换的加法和数乘运算构成一个向量空间.而()L V 的维数为2n ，又因为