(完整)基本不等式及其应用知识梳理及典型练习题(含答案),推荐文档

基本不等式及其应用

1．基本不等式

若a>0,，b>0，则≥，当且仅当

时取“＝”．

a ＋b

2ab 这一定理叙述为：两个正数的算术平均数 它们的几何平均数．

注：运用均值不等式求最值时，必须注意以下三点：(1)各项或各因式均正；（一正）(2)和或积为定值；（二定）

(3)等号成立的条件存在：含变数的各项均相等，取得最值．（三相等）2．常用不等式

(1)a 2＋b 2

≥(a ，b ∈R )．ab 22

a b

+≤

()0,>b a 注：不等式a 2＋b 2≥2ab 和

≥它们成立的条件不同，前者只要求2

b

a +a

b a 、b 都是实数，而后者要求a 、b 都是正数.其等价变形：ab≤（）2

.

2

b a +(3)ab ≤ (a ，b ∈R )．

2

2⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a (4)＋≥2(a ，b 同号且不为0)．

b

a a

b (5)(a ，b ∈R ).

2

2⎪⎭

⎫ ⎝⎛+b a ≤

a 2＋

b 22

（6）b

a a

b b a b a 112

2222+≥

≥+≥+()0,>b a

(7)abc ≤;a 3＋b 3＋c 3

3

()

,,0a b c >(8)

≥；a ＋b ＋c 3

3

abc ()

,,0a b c >3．利用基本不等式求最大、最小值问题

(1)求最小值：a >0，b >0，当ab 为定值时，a ＋b ，a 2＋b 2有 ，即

a ＋

b ≥

，a 2＋b 2≥

.

(2)求最大值：a ＞0，b ＞0，当a ＋b 为定值时，ab 有最大值，即 ；或a 2＋b 2为定值时，ab 有最大值

(

a ＞0，

b ＞0)，即

.

设a ，b ∈R ，且a ＋b ＝3，则2a ＋2b 的最小值是( )A.6

B.4

C.2

D.22

26

解：因为2a ＞0，2b ＞0，由基本不等式得

2a ＋2b ≥＝2＝4，当且仅当a ＝

b ＝时取等号，故选B.

2a ·2b 2a ＋b 23

2 若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )A.

B.1

C.2

D.4

12解：∵a ＞0，b ＞0，a ＋2b ＝2，∴a ＋2b ＝2≥，即ab ≤

.当且仅当

2ab 1

2a ＝1，b ＝时等号成立.故选A.

12 小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a ＜b )，其全程的平均时速为v ，则( )

A.a ＜v ＜

B.v ＝ab ab

C.＜v ＜

D.v ＝ab a ＋b

2a ＋b

2

解：设甲、乙两地之间的距离为s.

∵a ＜b ，∴v ＝＝＜＝.2s

s

a

＋s

b 2ab

a ＋

b 2ab

2ab ab 又v －a ＝－a ＝＞＝0，∴v ＞

a.故选A.

2ab

a ＋

b ab －a 2

a ＋

b a 2－a 2

a ＋

b ()若实数x ，y 满足xy ＝1，则x 2＋2y 2的最小值为________.

2014·上海解：由xy ＝1得x 2＋2y 2＝x

2＋≥2，当且仅当x ＝±时等号成立.故填

2

x 224

2.

2

点(m ，n )在直线x ＋y ＝1位于第一象限内的图象上运动，则

log 2m ＋log 2n 的最大值是________.

解：由条件知，m ＞0，n ＞0，m ＋n ＝1，所以mn ≤＝，

(m ＋n 2)

2 1

4当且仅当m ＝n ＝时取等号，

1

2∴log 2m ＋log 2n ＝log 2mn ≤log 2＝－2，故填－2.

1

4类型一　利用基本不等式求最值　(1)求函数y ＝

(x ＞－1)的值域.

（x ＋5）（x ＋2）

x ＋1

解：∵x ＞－1，∴x ＋1＞0，令m ＝x ＋1，则m ＞0，且

y ＝＝m ＋＋5≥2

＋5＝9，当且仅当m ＝2时取等号，故

（m ＋4）（m ＋1）m

4

m m ·

4

m y min ＝9.

又当m →＋∞或m →0时，y →＋∞，故原函数的值域是[9，＋∞).(2)下列不等式一定成立的是( )

A.lg

>lg x (x >0)

B.sin x ＋≥2(x ≠k π，k ∈Z )

(

x 2＋

1

4)

1

sin x C.x 2＋1≥2(x ∈R )

D.>1(x ∈R )|x |1

x 2＋1解：A 中，x 2＋≥x (x ＞0)，当x ＝时，x 2＋＝x.

1

41

21

4B 中，sin x ＋≥2(sin x ∈(0，1])；

1

sin x sin x ＋≤－2(sin x ∈[－1，0)).1

sin x C 中，x 2－2|x |＋1＝(|x |－1)2≥0(x ∈R ).

D 中，∈(0，1](x ∈R ).故C 一定成立，故选C.

1

x 2＋1点拨：

这里(1)是形如f (x )＝

的最值问题，只要分母x ＋d ＞0，都可以将

ax 2＋bx ＋c

x ＋d

f (x )转化为f (x )＝a (x ＋d )＋＋h (这里ae ＞0；若ae ＜0，可以直接利用单调性e

x ＋d 等方法求最值)，再利用基本不等式求其最值.

(2)牢记基本不等式使用条件——一正、二定、三相等，特别注意等号成立