2013四川高考数学理科试题及答案

2013年普通高等学校招生全国统一考试（四川卷）

数 学（理科）

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一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．

1．设集合{|20}A x x =+=，集合2

{|40}B x x =-=，则A B = （ ） （A ）{2}- （B ）{2} （C ）{2,2}- （D ）?

2．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是（ ）

（A ）A （B ）B （C ）C （D ）D 3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是（ ）

4．设x Z ∈，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题:,2p x A x B ?∈∈，则（ ） （A ）:,2p x A x B ???∈? （B ）:,2p x A x B ???? （C ）:,2p x A x B ???∈ （D ）:,2p x A x B ??∈∈

5．函数()2sin(),(0,)2

2

f x x π

π

ω?ω?=+>-<<

的部分图象如图所示，

则,ω?的值分别是（ ）

（A ）2,3

π

-

（B ）2,6

π

-

（C ）4,6

π

-

（D ）4,

3

π

6．抛物线2

4y x =的焦点到双曲线2

2

13

y

x -=的渐近线的距离是（ ）

（A ）

1

2

（B （C ）1 （D 7．函数3

31

x x y =-的图象大致是（ ）

8．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为,a b ，共可得到lg lg a b -的不同值的个数是（ ）

（A ）9 （B ）10 （C ）18 （D ）20 9．节日里某家前的树上挂了两串彩灯，这两串彩灯的第一次闪亮相互独立，若接通电后的4秒内任一时刻等可能发生，然后每串彩灯在内4秒为间隔闪亮，那么这两串彩灯同时通电后，它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是（ ）

（A ）

14 （B ）12 （C ）34 （D ）78

10．设函数()f x =

a R ∈，e 为自然对数的底数）．若曲线sin y x =上存在

00(,)x y 使得00(())f f y y =，则a 的取值范围是（ ）

（A ）[1,]e （B ）1

[,-11]e -， （C ）[1,1]e + （D ）1

[-1,1]e e -+ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．

11．二项式5

()x y +的展开式中，含2

3

x y 的项的系数是_________．（用数字作答）

12．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB AD AO λ+=

，则λ=_________．

13．设sin 2sin αα=-，(

,)2

π

απ∈，则tan 2α的值是_________．

14．已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当x ≥0时，2

()4f x x x =-，那么，不等式

(2)5f x +<的解集是________ ．

15．设12,,,n P P P 为平面α内的n 个点，在平面α内的所有点中，若点P 到12,,,n P P P 点的距离之和最小，则称点P 为12,,,n P P P 点的一个“中位点”．例如，线段AB 上的任意点都是端点,A B 的中位点．则有下列命题：

①若,,A B C 三个点共线，C 在线AB 上，则C 是,,A B C 的中位点； ②直角三角形斜边的点是该直角三角形三个顶点的中位点； ③若四个点,,,A B C D 共线，则它们的中位点存在且唯一； ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．

其中的真命题是____________．（写出所有真命题的序号数学社区）

三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分12分) 在等差数列{}n a 中，218a a -=，且4a 为2a 和3a 的等比中项，求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和．

17．(本小题满分12分) 在ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且

2

3

2cos cos sin()sin cos()25

A B B A B B A C ---++=-． （Ⅰ）求cos A 的值；

（Ⅱ）若a =5b =，求向量BA 在BC

方向上的投影．

18．(本小题满分12分)某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x 在1,2,3,,24???这24个整数中等可能随机产生．

（Ⅰ）分别求出按程序框图正确编程运行时输出y 的值为i 的概率(1,2,3)i P i =； （Ⅱ）甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解，各自编写程序重复运行n 次后，统计记录了输出y 的值为(1,2,3)i i =的频数．以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据．

甲的频数统计表（部分） 乙的频数统计表（部分）

当2100n =时，根据表中的数据，分别写出甲、乙所编程序各自输出y 的值为(1,2,3)i i =的频率（用分数表示），并判断两位同学中哪一位所编写程序符合算法要求的可能性较大； （Ⅲ）按程序框图正确编写的程序运行3次，求输出y 的值为2的次数ξ的分布列及数学期望．

19．(本小题满分12分) 如图，在三棱柱11ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥底面ABC ，

12AB AC AA ==，120BAC ∠= ，1,D D 分别是线段11,BC B C 的中点，P 是线段AD 的

中点．

（Ⅰ）在平面ABC 内，试作出过点P 与平面1A BC 平行的直线l ，说明理由，并证明直线l ⊥平面11ADD A ；

（Ⅱ）设（Ⅰ）中的直线l 交AB 于点M ，交AC 于点N ，求二面角1A A M N --的余弦值．

1

C

20．(本小题满分13分) 已知椭圆C ：22

221,(0)x y a b a b +=>>的两个焦点分别为

12(1,0),(1,0)F F -，且椭圆C 经过点41

(,)33

P ．

（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；

（Ⅱ）设过点(0,2)A 的直线l 与椭圆C 交于M 、N 两点，点Q 是线段MN 上的点，且222

211

||||||AQ AM AN =+

，求点Q 的轨迹方程．

21．(本小题满分14分)已知函数22,0

()ln ,0x x a x f x x x ?++<=?>?，其中a 是实数．设11(,())A x f x ，

22(,())B x f x 为该函数图象上的两点，且12x x <．

（Ⅰ）指出函数()f x 的单调区间；

（Ⅱ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直，且20x <，求21x x -的最小值； （Ⅲ）若函数()f x 的图象在点,A B 处的切线重合，求a 的取值范围．

参考答案

一、 选择题：本题考查基本概念和基本运算.每小题5分，满分50分. 1.答案 A

解析 A ＝{x |x ＋2＝0}＝{－2}，B ＝{x |x 2－4＝0}＝{－2，2}，∴A ∩B ＝{－2}∩{－2,2}＝{－2}，选A.

2.答案 B

解析 表示复数z 的点A 与表示z 的共轭复数的点关于x 轴对称，∴B 点表示z .选B. 3、答案 D

解析 由三视图可知上部是一个圆台，下部是一个圆柱，选D. 4.答案 D

解析 命题p ：?x ∈A,2x ∈B 是一个全称命题，其命题的否定綈p 应为?x ∈A,2x ?B ，选D.

5、答案 A

解析 34T ＝5π

12－????－π3，T ＝π，∴ω＝2， ∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π

3，

又φ∈????－π2，π2，∴φ＝－π

3，选A. 6、答案 B

解析 抛物线y 2

＝4x 的焦点F (1,0)，双曲线x 2

－y 2

3

＝1的渐近线是y ＝±3x ，即3x ±y ＝0，

∴所求距离为|3±0|

(3)2＋(±1)

2＝32.选B. 7.答案 C

解析 对于函数y ＝x 3

3x －1定义域为{x ∈R ，且x ≠0}去掉A ，当x <0时，3x －1>0，x 2>0，∴y >0，

去掉B ，x=3时,y=1,x=4时，y<1,去掉D ，选C. 8.答案 C

解析 由于lg a －lg b ＝lg a b (a >0，b >0)，从1,3,5,7,9中任取两个作为a b 有A 25种，又13与3

9相同，31与9

3相同，∴lg a －lg b 的不同值的个数有A 25－2＝20－2＝18，选C. 9.答案 C

解析 设在通电后的4秒钟内，甲串彩灯、乙串彩灯第一次亮的时刻为X 、Y ，X 、Y 相互独立，由题意可知????

?

0≤X ≤40≤Y ≤4

|X －Y |≤2

，如图所示．∴两串彩灯第一次亮的时间相差不超过2秒的概

率为P (|X －Y |≤2)＝S 正方形－2S △ABC S 正方形＝4×4－2×1

2×2×2

4×4＝1216＝3

4.

10．答案 A

解析 由于f (x )＝e x ＋x －a (a ∈R )在其定义域上为单调递增函数，所以其反函数f －

1(x )存在，

由于y 0∈[－1,1]，且f (f (y 0))＝y 0，∴f －

1(f (f (y 0)))＝f －

1(y 0)，即f (y 0)＝f －

1(y 0)，∴y ＝f (x )与y ＝f

－

1

(x )的交点在y ＝x 上．即e x ＋x －a ＝x 在x ∈[－1,1]上有解，即e x ＋x －a ＝x 在[0,1]上有

解．∴a ＝e x ＋x －x 2，x ∈[0,1]，a ′＝e x －2x ＋1，当0e 0－2×1＋1＝0，∴a ＝e x ＋x －x 2在[0,1]上递增，当x ＝0时，a 最小＝1；当x ＝1时，a 最大＝e ，故a 的取值范围是[1，e]，选A.

二、填空题：本题考查基础知识和基本运算.每小题5分,满分25分. 11. 答案 10 解析T r ＋1＝C r 5

x 5－r y r

(r ＝0,1,2,3,4,5)，由题意知?????

5－r ＝2r ＝3

，∴含x 2y 3的系数为C 35

＝5×4×3

3×2×1

＝10.

12. 答案 2

解析 由于ABCD 为平行四边形，对角线AC 与BD 交于点O ，∴AB →＋AD →＝AC →＝2AO →

，∴λ＝2. 13、答案

3

解析 ∵sin 2α＝－sin α，∴sin α(2cos α＋1)＝0，又α∈????

π2，π，∴sin α≠0,2cos α＋1＝0即cos α＝－12，sin α＝32，tan α＝－3，∴tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－231－(－3)2＝ 3.

14. 答案 {x |－7

解析 令x <0，则－x >0，∵x ≥0时，f (x )＝x 2－4x ，∴f (－x )＝(－x )2－4(－x )＝x 2＋4x ，又f (x )

为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，∴x <0时，f (x )＝x 2＋4x ，故有f (x )＝????

?

x 2－4x ，x ≥0，x 2＋4x ，x ＜0.

再求f (x )<5

的解，由????? x ≥0，x 2－4x <5，得0≤x ＜5；由?

????

x <0，x 2＋4x <5，得－5

解析 ①正确，因为C 点到A 、B 的距离之和小于AB 上其它点到A 、B 的距离之和；②不正确，因为直角三角形斜边上的点到三个顶点的距离是可变的；③不正确，不妨认为B 、C 在线段AD 上，则线段BC 上的任一点到A 、B 、C 、D 距离之和均最小；④正确，每条对角线上的点到其两端点的距离之和最小，所以交点到梯形四个顶点的距离之和最小．

三、解答题:共6小题,共75分.

16.解：设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得

()()()2

1111228,38a d a d a d a d +=+=++.

所以()114,30a d d d a +=-=,

解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.

所以数列的前n 项和4n s n =或232

n n n

s -=. ………….12分

17.解：()I 由()()232cos cos sin sin cos 25

A B B A B B A C ---++=-,得

()()3cos 1cos sin sin cos 5

A B B A B B B -+---=-????, 即()()3

cos cos sin sin 5

A B B A B B ---=-,

则()3cos 5A B B -+=-,即3

cos 5A =-. ………….. 5分

()II 由3cos ,05A A π=-<<,得4

sin 5

A =,

由正弦定理,有sin sin a b

A B

=

,所以,sin sin b A B a ==由题知a b >,则A B >,故4

B π

=.

根据余弦定理,有(2

2235255c c ??

=+-??- ???

,

解得1c =或7c =-(舍去).

故向量BA 在BC 方向上的投影为cos 2

BA B = . ………….12分

18. 解：()I .变量x 是在1,2,3，……24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能.

当x 从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y 的值为1，故112

p =； 当x 从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y 的值为2，故213

p =

;

当x 从6,12,18,24这4个数中产生时，输出y 的值为3，故31

6

p =

. ……………3分 ()II 当n=2100时，甲、乙所编程序各自输出

y 的值为i(i=1,2,3)的频率如下：

比较频率趋势与概率，可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. ………7分 （3）随机变量ξ可能饿取值为0,1,2,3.

0303128(0)3327p C ξ????==?= ? ????? 12

13124(1)339p C ξ????==?= ? ?

???? 2123122(2)339p C ξ????==?= ? ????? 30

33121(3)3327p C ξ????==?= ? ?????

故ξ的分布列为

所以842101231279927

E ξ=?

+?+?+?= 即ξ的数学期望为1. ………12分

19.解：()I 如图,在平面ABC 内,过点P 做直线l //BC ,因为l 在平面1A BC 外,

BC 在平面1A BC 内,由直线与平面平行的判定定理可知, l //平面1A BC .

由已知,AB AC =,D 是BC 的中点,所以,BC AD ⊥,则直线l AD ⊥. 因为1AA ⊥平面ABC ,所以1AA ⊥直线l .又因为1,AD AA 在平面11ADD A 内,且AD 与1AA 相

交,所以直线平

面

11ADD A . …………………………………………………………………………….6分

()II 解法一:

连接1A P ,过A 作1AE A P ⊥于E ,过E 作1EF A M ⊥于F ,连接AF . 由()I 知,MN ⊥平面1AEA ,所以平面1AEA ⊥平面1A MN . 所以AE ⊥平面1A MN ,则1A M AE ⊥.

输出y 的值 为1的频率

输出y 的值 为2的频率

输出y 的值 为3的频率

甲 1027

2100

376

2100 697

2100 乙

1051

2100

696

2100 353

2100

ξ 0

1 2 3

p 827

49

29

127

所以1A M ⊥平面AEF ,则1A M ⊥AF .

故AFE ∠为二面角1A A M N --的平面角(设为θ).

设11AA =,则由12AB AC AA ==,120BAC ∠= ,有60BAD ∠=

,2,1AB AD ==.

又P 为AD 的中点,所以M 为AB 的中点,且1

,12

AP AM ==, 在1Rt AA P 中

, 1A P =

;在1Rt A AM 中

, 1A M =从而

,11AA AP AE A P ?==

,11AA AM AF A M ?==

,

所以sin AE AF θ=

=.

所以cos θ===. 故二面角1A A M N --

………………12分 解法二:

设11AA =.如图,过1A 作1A E 平行于11B C ,以1A 为坐标原点,分别以111,A E A D ,1AA

的方向为

x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz (点O 与点1A 重合

).

则()10,0,0A ,()0,0,1A .

因为P 为AD 的中点,所以,M N 分别为,AB AC 的中点,

故11,1,,12222M N ????- ? ? ? ?????

,

所以11,122A M ??= ? ???

,()10,0,1A A =

,)

NM = .

设平面1AA M 的一个法向量为()1111,,n x y z =,则

1111,,n A M n A A ?⊥??

⊥?? 即11110,

0,n A M n A A ??=???=?? 故有 (

)()()1111111,,,10,22,,0,0,10,

x y z x y z ????=? ? ?????

?=?

从而11111

0,2

0.y z z ++=?=?

取11x =,

则1y =

所以()

11,n =. 设平面1A MN 的一个法向量为()2222,,n x y z =,则

212,,n A M n NM ?⊥??

⊥?? 即2120,

0,

n A M n NM ??=???=??

故有(

)(

))

222222

1,,,10,2,,0,x y z x y z ???=?????????=??

从而2

2221

0,22

0.x y z ++=???=?

取22y =,则21z =-,所以()20,2,1n =-. 设二面角1A A M N --的平面角为θ,又θ为锐角,

则

1212cos n n n n θ?===

?. 故二面角

1A A M N --的余弦值为

5

………………12分

20

．解：122a PF PF =+==

所以，a =又由已知，1

, 所以椭圆C

的离心率2c e a =

==……………4分 ()II 由()I 知椭圆C 的方程为2

212

x y +=.

设点Q 的坐标为(x,y).

(1)当直线l 与x 轴垂直时，直线l 与椭圆C 交于()()0,1

,0,1-两点，此时Q 点坐标为0,25?- ?

? (2) 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线l 的方程为2y kx =+.

因为,M N 在直线l 上，可设点,M N 的坐标分别为1122(,2),(,2)x kx x kx ++，则 2

2

222212(1),(1)AM k x AN k x =+=+. 又()2

2

2222(1).AQ x y k x =+-=+

由

2

2

2

2

1

1

AQ AM AN =

+

，得

()()()222222

12

211

111k x k x k x =++++，即

()2

121222222

12122211x x x x x x x x x +-=+= ① 将2y kx =+代入2212

x y +=中，得

()2221860k x kx +++= ②

由()()

2

2

842160,k k ?=-?+?>得232

k >

. 由②可知121222

86

,,2121

k x x x x k k +=-

=++ 代入①中并化简，得2218

103

x k =- ③

因为点Q 在直线2y kx =+上，所以2y k x -=，代入③中并化简，得()22

102318y x --=.

由③及232k >，可知2

302x <<,

即0,22x ???∈- ? ? ????

.

又0,25??- ? ???

满足()22

102318y x --=

，故22x ?∈- ??. 由题意，(),Q x y 在椭圆C 内部，所以11y -≤≤，

又由()2

2

102183y x -=+有

()2992,54y ??

-∈????且11y -≤≤

，则1,22

5y ?∈- ??. 所以点Q 的轨迹方程是()2

2

102318y x --=，其中

，22x ?

∈-

??

，1,225y ?∈- ?

?………..13分 21．解：()I 函数()f x 的单调递减区间为(),1-∞-，单调递增区间为[)1,0-，()0,+∞

()II 由导数的几何意义可知，点A 处的切线斜率为()1f x '，点B 处的切线斜率为()2f x '，故当点A 处的切线与点B 处的切垂直时，有()()121f x f x ''=-. 当0x <时，对函数()f x 求导，得()22f x x '=+. 因为120x x <<，所以()()1222221x x ++=-， 所以()()12220,220x x +<+>.

因此()()

21121

222212x x x x -=

-+++≥=???

? 当且仅当()122x -+=()222x +=1，即1231

22

x x =-=且时等号成立.

所以函数()f x 的图象在点,A B 处的切线互相垂直时，21x x -的最小值为1…………7分

()III 当120x x <<或210x x >>时，()()12f x f x ''≠，故120x x <<.

当10x <时，函数()f x 的图象在点()()

11,x f x 处的切线方程为

()()()21111222y x x a x x x -++=+-，即()21122y x x x a =+-+

当20x >时，函数()f x 的图象在点()()

22,x f x 处的切线方程为

()2221ln y x x x x -=

-，即22

1

ln 1y x x x =?+-. 两切线重合的充要条件是12221

1

2 2 ln 1 x x x x a ?=+???-=-+?①

②

由①及120x x <<知，110x -<<.

由①②得，()2

211111ln 1ln 22122

a x x x x =+-=-+-+.

设()()2

1111ln 221(10)h x x x x =-+--<<，

则()1111

201

h x x x '=-

<+. 所以()()1110h x x -<<是减函数. 则()()10ln 21h x h >=--， 所以ln 21a >--.

又当1(1,0)x ∈-且趋近于1-时，()1h x 无限增大，所以a 的取值范围是()ln 21,--+∞. 故当函数()f x 的图像在点,A B 处的切线重合时，a 的取值范围是()ln 21,--+∞.14分