高一数学必修1(人教版)同步练习第三章第二节函数模型及其应用

2011-2012学年高一数学必修1（人教版）同步练习第三章

第二节函数模型及其应用

一. 教学内容：

函数模型及其应用

二. 重点、难点：

利用函数解决实际问题

1. 将实际问题抽象为具体函数

（1）确定x ，通常为自由变化的量 （2）确定y ，通常为所求的值

（3）建立函数关系)(x f y =，通常利用一些实际定义 例如：利润=销售额－成本 销售额=单价×数量 面积公式：距离=速度×时间等 （4）确定函数的定义域

2. 利用函数相关内容，解决数学问题

【典型例题】

[例1] 某产品进货单价40元，按50元一个出售可卖出500个，若每涨价1元，其销售量就减少10个。

（1）定价 元时，日销售额最大为 。

（2）定价 元时，日利润最大为 。 解：设定价x 元，日销售为y 元

∴ ]10)50(500[⋅--⋅=x x y x x 1000102

+-=

∴ 50=x 时，25000max =y 元 （2）设定价x 元，日利润y 元

]10)50(500)[40(⋅---=x x y 400001400102-+-=x x ∴ 70=x 时，9000max =y 元

[例2] A 地产汽油，B 地需汽油，只能用汽车运输。汽车满载的油量等于汽车往返A 、B 两地所需油耗，故无法直接由A 运到B ，在A 、B 之间建立一个中转汽油库P ，从A 将油运至P ，再由P 运至B ，为使运油率最大。（运油率地运出的油

地收到的油A B =

）P 的位置应满足AP=

AB 。

解：设AB=1，)1,0(∈=x AP ，设A 地有油M 吨

由A →P ，P 地为)1(x -M 由P →B ，B 地为M x x )1(-⋅ ∴ 运油率

41)2

1()1(2

2

+

-

-=+-=-=

x x x M

M

x x y

∴

21=

x 时，

41max =

y

[例3] 某厂今年1、2、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件。为了估计以后每个月的产量，以这三个月的产品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系，模拟函数可以选用二次函数或函数c b a y x

+⋅=。已知4月份该产品的产量为1.37 万件，请问用以上哪个函数作为模拟函数较好。

解：（1）设r qx px x f y ++==2

)()0(≠p

由⎪⎩⎪⎨⎧===3.1)3(2.1)2(1)1(f f f ⎪⎩⎪

⎨⎧==-=⇒7.035

.005.0r q p 7.035.005.0)(2++-=x x x f

设c b a x g y x

+⋅==)(

⎪⎩⎪⎨⎧===3.1)3(2.1)2(1)1(g g g ⎪⎩⎪

⎨⎧==-=⇒4

.15.08

.0c b a 4.1)21(8.0)(+⋅-=x

x g 3.1)4(=f 万，35.1)4(=g 万

∵ |30.137.1||35.137.1|-<- ∴ )(x g y =作为模拟函数误差较小

[例4] 某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知从二月一日起的300天内，西红柿的市场售价与上市时间的关系用图I 所示的一条折线表示，西红柿的种值成本与上市时间用II 所示抛物线表示。

（1）写出图I 、图II 的函数关系式。)(t f P =，)(t g Q =

（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的收益最大。

解：

⎩⎨

⎧≤<+≤≤+=)300200()

2000()(2211t b t a t b t a t f ∵ 300)0(=f ，100)200(=f ，300)300(=f

∴ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=3003001002001002003002222111b a b a b a b ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧-===-=⇒300

2

300

12211b a b a ∴

⎩⎨

⎧≤<-≤≤-=)300200(3002)2000(300)(t t t t t f 100)150()(2

+-=t a t g 150

)50(=g 2001=

⇒a

∴ 100

)150(2001)(2

+-=t t g

设纯收益)()()(t g t f t h -=

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤<-+-≤≤++-=)300200(21025272001)2000(2

175212001)(22t t t t t t t h ⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧≤<+--≤≤+--=)300200(100)350(2001)2000(100)50(200122t t t t

∴ ]200,0[∈t 时50=t ，100)(max =t h

]300,200(∈t 时300=t ，5.87)(max =t h

∴ 50=t 时，)(t h 最大

∴ 从二月一日起的第50天时上市的西红柿收益最大

[例5] 某报刊摊点从报社批发进某种晚报的价格是每份0.12元，卖出价格为每份0.2元，卖不完的报纸可以每份0.04元的价格退回报社，在每月中（30天计）有20天每天可以卖出400份，有10天只能卖出250份。设每天从报社买进相同数额的报纸问应每天买进多少份，才能使每月获利润最大。

解：设每天买进x 份，400250≤≤x ，N x ∈，利润为y

10250)12.02.0(20)12.02.0(⋅⋅-+⋅-=x y 10)04.012.0)(250(⋅---x 4008.0+=x

∴ 400=x 时720max =y 元

[例6] 若关于x 的方程，0)368lg()20lg(2

=---+a x x x 有唯一实数解，求实数a 取值范围。

解：由题意⎪⎩⎪⎨⎧--=+>+3682002022a x x x x x 即⎩⎨⎧=++++∞⋃--∞∈)2(0)36(12)1)(,0()20,(2a x x x

① 0=∆时

211

=

a （2）的解为6-=x 不合题意