基于最小材料去除量的比较球面计算与仿真

点距离为 r ,则该法线与 x , y , z 三个坐标轴的夹角
分别为
co sα = co sβ = co s γ =
1
+
-1
f
′2 y
(
x
P
,
y
P
,
z
P)
+
f
′2 z
(
xP
,
yP
,
z
P)
,
1
+
f
′ y
f
′2 y
(
x
P
,
y
P
,
z
P)
+
f
′2 z
(
x
P
,
y
P
,
z
P)
,
1
+
f
′ z
f
′2 y
(
x
P
,
y
P
第 28 卷 第 5 期 2008 年 5 月
北京理工大学学报 Transactions of Beijing Instit ute of Technology
Vol. 28 No . 5 May 2008
基于最小材料去除量的比较球面计算与仿真
程灏波 , 冯云鹏 , 宋阜川 , 卞宇生 , 任力强 , 王涌天
图 4 去除量随 P 点变化示意图 Fi g. 4 M ateri al remov al vs . poi nt P
当比较球面半径为 4 8061 3 m m 时相应的三维 偏离量Δx 分布情况如图 5 所示. 其中Δx 最大值为 161 2μm ,出现在方形孔径同轴抛物镜的 4 个角. 经 计算 ,总的材料去除量约为 586 m m 3 .
第 5期
程灏波等 :基于最小材料去除量的比较球面计算与仿真
419
面 ,即最接近比较球面的半径等于过非球面顶点和 边缘点圆弧的半径. 对于离轴非球面 , 最接近比较 球面经过离轴非球面子午面内的边缘点 , 球心位于 子午面内两边缘点的中垂线与母镜光轴的交点. 针 对大偏离量的非球面元件 , 上述方法求解得到的最 接近比较球面往往不一定是材料去除量最小的球 面. 因此 ,材料去除量最小的比较球面的准确求解 对于提高研磨抛光效率具有实际意义. 11 1 几何关系
,
z
P)
+
f
′2 z
(
x
P
,
y
P
,
z
P)
.
(2) 比较球面可表示为
式中
x = r2 - ( y - yO ) 2 - ( z - zO) 2 ,
(3)
xO = x P - rco s α,
yO = y P - rco- rco s γ.
比较球面与非球面之间横向偏离量为
21 1 圆形孔径同轴抛物镜 以一圆形孔径的同轴抛物镜为例进行分析 , 参
数如下 : r = 4 8001 0 m m , k = - 1 , D = 600 m m . 根 据回转对称性可知 , 该同轴抛物镜的去除量最小的 比较球面的球心一定位于 x 轴上. 图 2 给出的计算 结果表示去除量最小的比较球面存在 3 个位置. 因 为材料去除量最小比较球面和同轴镜在子午面内相 切于两点 (y = ±217 m m) ,故当 P 点位于这两点时 , 求出的最接近球面的材料去除量和 y = 0 时的值相 同. 考虑到操作的简易性 , 故取球心位于对称轴上. 这时得到的比较球面半径 r = 4 8041 7 m m , 所求得 的比较球面半径与最接近球面半径和位置均相同.
λ ΔV = Δxd yd z.
(6)
D ×L
由式 ( 6) 可知 , 体积是比较球面半径的函数 , 同
时又是 P 点坐标 ( xP ,yP ,zP ) 的函数. 为求出比较球
面的位置和半径 , 令 dΔV/ dr = 0 , 可求出针对非球
面上每个 P 点对应的材料去除量最小比较球面. 遍
历整个非球面 ,求解各点最小材料去除量 ,从中找出
图 2 去除量随 P 点变化示意图 Fi g. 2 M ateri al remov al vs . poi nt P
sin φ 0
co s φ 0 01
0× 0
1
0
0 01
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北京理工大学学报
第 28 卷
100 010 001 000
- xP - yp - zp
1
x y
= z 1
xco s φ + ysin φ - x P yco s φ - xsin φ - y P
. z - zP
1 (7)
2 实例分析
1 比较球面的计算
同轴非球 面 元 件 一 般 采 用 二 点 法 求 解 比 较 球
收稿日期 : 2007 - 12 - 06 基金项目 : 国家自然科学基金资助项目 ( 60644003) ;北京市科技新星计划 ( 2006B 24) ;北京理工大学优秀青年基金 ( 2006 Y0101) 作者简介 : 程灏波 ( 1975 —) ,男 ,副教授 , Hao_Cheng 1 @yahoo . co m. cn.
(1)
式中 :r 为顶点处曲率半径 ; k 为二次曲面常数 ; d ,e
为系数.
令 F ( x ,y ,z) = f ( y ,z) - x ,则在点 P 处 ( xP ,yP , zP ) 的法向量为 ( - 1 ,f′y ,f′z ) ,材料去除量最小比较球
面的圆心 O′( xO ,yO ,zO ) 在过 P 点的法线上 ,且与 P
(Depart ment of Optical Engineering , School of Informatio n Science and Technology , Beijing Instit ute of Technology , Beijing 100081 , China)
Abstract : Beginning wit h t he p rincipium of asp heric fabricatio n , t he t ransformatio n mat rix bet ween equip ment coordinate and work2piece coordinate is set up . Based o n t he p rinciple of t he least material removal , t he material removal f ro m t he sp here to t he asp heric shape is calculated and t he mat hematical model is established. The circular and rectangular apert ure , t he o n2axis and off2axis asp heric co mpo nent s are simulated and co mpared , t he result s showed t hat t he numerical solutio n model is effective for off2axis (o n2axis) asp heric co mpo nent , t he material removal is minimum , and is t hus capable to play a guiding role in p rocessing. Key words : asp here ; best2fit ted sp here ; least material removal
图 1 求解模型 Fi g. 1 S ol ution model
11 2 计算过程 非球面方程一般表达式为
x = f ( y , z) =
( y2 + z2 ) / r2
+
1 + 1 - ( k + 1) ( y2 + z2 ) / r2
d ( y2 + z2 ) 4 + e( y2 + z2 ) 6 + ….
径非球面元件的高效率成型制造成为影响整个加工 周期的一个前期因素 ,需要仔细考虑和研究[ 425 ] .
作者基于对非球面最接近球面的理解 , 从成型 加工方法着眼 , 构建成型设备与工件间坐标变换矩 阵. 根据材料去除量最小且为正的原则 , 计算最接 近球面与理论非球面间的偏离量[ 6 ] ,建立数学模型 , 并仿真分析了典型的圆形和矩形口径同轴及离轴非 球面比较球面的求解.
Calculation of the Best2Fit Sphere Aimed at Least Material Removal
C H EN G Hao2bo , F EN G Yun2peng , SON G Fu2chuan , B IAN Yu2sheng , R EN Li2qiang , WAN G Yo ng2tian
(北京理工大学 信息科学技术学院光电工程系 , 北京 100081)
摘 要 : 基于非球面最接近球面的计算方法分析 ,构建成型设备与工件间坐标变换矩阵 ,借鉴并优化材料去除量最 小原则 ,计算最接近球面与理论非球面间的偏离量 ,建立数学模型. 针对典型的圆形口径和矩形口径同轴 、离轴非 球面元件的比较球面求解进行仿真. 结果表明 ,所建立的数值求解模型可有效计算同轴 、离轴非球面元件的比较球 面使材料去除量最小 ,对加工实践起到指导作用. 关键词 : 非球面 ; 比较球面 ; 最小材料去除量 中图分类号 : T N 706 文献标识码 : A 文章编号 : 100120645 ( 2008) 0520418204
Δx = f ( y , z) -
r2 - ( y - yO ) 2 - ( z - zO ) 2 .