人教版八年级上《15.2分式的运算》例题与讲解
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算教学课件(新版)新人教版
练习 1、计算：
①
3a 4b
16 b 9a 2
② 12xy 8x2y 5a
③ 3xy 2 y2 x
解：①原式
3a16b 4b9a2
4 3a
②原式 1x2y 1 1x2y 3 5a 8x2y 5a8x2y 1a 0x
③原式 3xy 2xy232 xyy 2x32xy2
2、下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
例 5(教材例 7) 计算(2ba)2·a－1 b－ba÷b4. 解：(2ba)2·a－1 b－ba÷b4 ＝4ba22·a－1 b－ba·4b ＝b2（4aa－2 b）－4ba2＝b2（4aa－2 b）－4ba2（（aa－－bb））
＝4ab22－（4aa－2＋b）4ab＝b2（4aa－b b）
＝ab4－a b2.
(a)n b
ba•ba••baab••ab•• ••baabnn
n个
即：( a )n b
an bn
n个
这就是说，分式乘方要把分子、分母
分别乘方.
例题 计算：
(1)( 2a2b)2 3c
(2)ac2bd3
3
ห้องสมุดไป่ตู้
d2a3 •2ca2
解: (1)( 2a2b)2 3c
(2a 2b)2 (3c)2
4a 4b2 9c2
(5)2－3＝________， (6)(－2)－3＝________．
3.例 1 (教材例 9) 计算： (1)a－2÷a5；(2)(ba23)－2； (3)(a－1b2)3；(4)a－2b2·(a2b－2)－3.
解：(1)a－2÷a5＝a－2－5＝a－7＝a17； (2)(ba23)－2＝ba－－46＝a4b－6＝ba46； (3)(a－1b2)3＝a－3b6＝ba36； (4)a－2b2·(a2b－2)－3＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝ba88. [分析] 本例题是应用推广后的整数指数幂的运算性 质进行计算，与用正整数指数幂的运算性质进行计算一
15.2分式的运算(第4课时)课件ppt2013年新人教版八年级上
运用分式的加减法法则
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要 比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天 完成这项工程的几分之几？
1 1 n+ 3 n + = + 解： n n+3 （n+3） （n+3） n n 2 n+ 3 = ． （n+3） n
问题1 甲工程队完成一项工程需n 天，乙工程队要 比甲队多用3天才能完成这项工程，两队共同工作一天 完成这项工程的几分之几？ （1）甲工程队一天完成这项工程的几分之几？ （2）乙工程队一天完成这项工程的几分之几？ （3）甲乙两队共同工作一天完成这项工程的几分之几？
感受学习分式加减法的必要性
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 （单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相 比，森林面积增长率提高了多少？ （1）什么是增长率？ （2）2010年、2011年的森林面积增长率分别是多少？ （3）2011年与2010年相比，森林面积增长率提高了多 少？
2 2
运用分式的加减法法则
问题2 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 （单位：km2）分别是S1，S2，S3，2011年与2010年相 比，森林面积增长率提高了多少？
解： 即2011年与2010年相比，森林面积增长率提
S1S3 -S 2 2 ． 高了 S1S 2
课堂小结
（1）本节课学习了哪些主要内容？ （2）我们是怎么引出分式加减法法则的？ （3）在进行分式的加减运算时要注意哪些问题？
布置作业
教科书习题15.2第4、5题．
例 计算： 5 x+ 3 y 2x （） 2 2 - 2 2 ； 1 x -y x -y
八年级数学人教版上册第15章分式15.2.2分式的加减(图文详解)第1课时
= 5a2b 3 3a2b 5 8 a2b ab2
= a2b ab2
=
a b
把分子看作一 个整体，先用 括号括起来！
注意：结果要化 为最简分式！
八年级上册第15章分式
1.直接说出运算结果
(1) m x
y x
c x
m y x
c
(2)
m 2abc
n 2bca
d 2cab
八年级上册第15章分式
3.猜一猜, 同分母的分式应该如何加减? 【同分母的分数加减法的法则】 同分母的分数相加减，
分母不变,把分子相加 减. 【同分母的分式加减法的法则】 同分母的分式相加减， 分母不变,把分子相加减. 即： a b a b cc c
八年级上册第15章分式
例1 计算：
xy
八年级上册第15章分式
（ 2）
1 2 a 1 1 a2
解：原式
1 2 a 1 a2 1
1
2
a 1 (a 1)(a 1)
a 1
2
(a 1)(a 1) (a 1)(a 1)
a 1 (a 1)(a 1)
1 a1
八年级上册第15章分式
例2 计算 （1） 解：原式
八年级上册第15章分式
（2）a22a
4
a
1
2
a2 -4 能分解 :
解：原式
(a
2a 2)(a
2)
(a
a2 2)(a
2)
2a (a 2) (a 2)(a 2)
2a a 2 (a 2)(a 2)
人教版八年级数学上册15.2分式的运算课件
森林面积增长率是 S 2 S1
森林面积增长率提高了
S1 S3
S2 ，2011年与2010年相比，
S2 － S2 S1 .
S2
S1
从上面的问题可知，为讨论数量关系，有时需要 进行分式的加减运算．
思考
分式的加减法与分数的加减法类似，它们的实质相同.
观察下列分数加减运算的式子：
1 5
2 5
3， 5
作效率是 hm /天，大拖拉机的工作效率是小拖拉机 （1）
；
n ∵ a＞1，
a b 1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体．
工作效率的 倍． 一般地，当 n 是正整数时
. （5）
m （n是正整数）．
n
（3） （1）
(a－1b2)从3＝a－上3b6面； 的问题可知，为讨论数量关系有时需要进
(3m )3 (m ) 2(2m )
•
2m 3m
2(m3)；
（2） (xx 2 2 2xx2 x4 x 14)x x4
x(xx22)(xx21)2•
x x4
(x2)xx (( x 2)2 )2(x1)x•x x4
x2 (x
4x2 x 2)2 (x 4)
(x
1 2)2
.
整数指数幂
我们知道，当n 是正整数时，
甲工程队一天完成这项工程的 1 ，乙工程队一天 n
完成这项工程的 1 ，两队共同工作一天完成这项工 n3
程的( 1 ＋ 1 )． n n3
问题4 2009年、2010年、2011年某地的森林面积 （单位：km2）分别是 S1，S2，S3，2011年与2010年相 比，森林面积增长率提高了多少？
2011年的森林面积增长率是 S 3 S 2 ，2010 年的
八年级数学上册15.2分式的运算教案新人教版(new)
15．2分式的运算分式的乘除教学目标:理解分式乘除法的法则，会进行分式乘除运算。
重点难点1．重点：会用分式乘除的法则进行运算.2．难点：灵活运用分式乘除的法则进行运算教学过程一、例、习题的意图分析1．P135本节的引入还是用问题1求容积的高，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍，这两个引例所得到的容积的高是n m ab v ⋅，大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫ ⎝⎛÷n b m a 倍。
引出了分式的乘除法的实际存在的意义，进一步引出P14［观察］从分数的乘除法引导学生类比出分式的乘除法的法则。
但分析题意、列式子时,不易耽误太多时间.2．P135例1应用分式的乘除法法则进行计算，注意计算的结果如能约分,应化简到最简。
3．P135例2是较复杂的分式乘除，分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式,再进行约分.4．P135例3是应用题,题意也比较容易理解，式子也比较容易列出来，但要注意根据问题的实际意义可知a 〉1,因此（a-1)2=a 2-2a+1〈a 2-2+1，即(a-1)2〈a 2-1。
这一点要给学生讲清楚，才能分析清楚“丰收2号”单位面积产量高.(或用求差法比较两代数式的大小）二、课堂引入1。
出示本节的引入的问题1求容积的高nm ab v ⋅，问题2求大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的⎪⎭⎫ ⎝⎛÷n b m a 倍. [引入］从上面的问题可知,有时需要分式运算的乘除。
本节我们就讨论数量关系需要进行分式的乘除运算。
我们先从分数的乘除入手,类比出分式的乘除法法则.2、P135［思考] 从上面的算式可以看到分式的乘除法法则。
3．［提问］ P135［思考]类比分数的乘除法法则，你能说出分式的乘除法法则？ 类似分数的乘除法法则得到分式的乘除法法则的结论.三、例题讲解例1。
［分析］这道例题就是直接应用分式的乘除法法则进行运算。
应该注意的是运算结果应约分到最简，还应注意在计算时跟整式运算一样，先判断运算符号，在计算结果.例2.［分析] 这道例题的分式的分子、分母是多项式，应先把多项式分解因式，再进行约分.结果的分母如果不是单一的多项式，而是多个多项式相乘是不必把它们展开。
八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂说课稿 (新版)新人教版
八年级数学上册 15.2 分式的运算 15.2.3 整数指数幂说课稿（新版）新人教版一. 教材分析新人教版八年级数学上册第15章“分式的运算”中的第15.2.3节“整数指数幂”是本节课的主要内容。
这部分内容是在学习了分式的概念、分式的乘除法、分式的加减法等基础知识后进行的，是分式运算的一个重要组成部分。
本节课主要让学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，以及能够运用整数指数幂解决实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对分式的概念和运算规则有一定的了解。
但是，学生在学习过程中，可能会对整数指数幂的运算规则理解不深，难以将整数指数幂与分数指数幂之间的关系运用到实际问题中。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解整数指数幂的运算规则，并通过实际例子让学生体会整数指数幂的应用价值。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：使学生掌握整数指数幂的运算方法，理解整数指数幂与分数指数幂之间的关系，能够运用整数指数幂解决实际问题。
2.过程与方法目标：通过自主学习、合作交流等方法，培养学生的数学思维能力和问题解决能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心和克服困难的意志。
四. 说教学重难点1.教学重点：整数指数幂的运算方法，整数指数幂与分数指数幂之间的关系。
2.教学难点：如何引导学生理解整数指数幂的运算规则，并将整数指数幂应用于实际问题中。
五. 说教学方法与手段本节课采用自主学习、合作交流、讲解演示等教学方法。
利用多媒体课件辅助教学，通过生动的动画和实例，帮助学生理解整数指数幂的运算规则，提高学生的学习兴趣和参与度。
六. 说教学过程1.导入新课：通过一个实际问题，引导学生思考如何运用整数指数幂解决问题，激发学生的学习兴趣。
2.自主学习：让学生自主探究整数指数幂的运算方法，总结运算规则。
3.合作交流：学生分组讨论，分享各自的学习心得，互相解答疑惑。
2024年人教版八年级上册第十五章 分式分式的运算
15.2.1 分式的乘除 第1课时 分式的乘除课时目标1.通过类比分数的乘除法法则得出分式的乘除法法则,从中体会“数式通性”和类比转化的思想方法,发展学生的抽象能力.2.使学生经历分式的乘除运算规律的发现过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,进一步提高学生的运算能力.3.通过运用分式的乘除法法则进行运算,解决一些与分式乘除法有关的实际问题,使学生养成理论联系实际的习惯,发展实践能力,培养应用意识. 学习重点运用分式的乘除法法则进行运算. 学习难点分子、分母为多项式的分式的乘除运算. 课时活动设计回顾引入大家之前学习过分数的乘除法法则,现在是否还有印象?师生活动:教师在黑板列出2道分数乘除法的题目,并请两位学生上台板书. 计算:(1)23×56; (2)23÷56.解:(1)23×56 = 2×53×6 = 59. (2)23÷56 = 23×65= 2×63×5 = 45.设计意图:通过回顾分数的乘除法法则引入新课,为学习分式的乘除法法则作铺垫.探究新知问题1:一个长方体容器的容积为V ,底面的长为a ,宽为b ,高为h ,当容器内的水占容积的mn 时,水高多少?解:水高=h ×mn =Vab ×m n =Vmabn.问题2:大拖拉机m 天耕地a 公顷,小拖拉机n 天耕地b 公顷,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍?解:倍数=大拖拉机的工作效率小拖拉机的工作效率=a m ÷b n =a m ×n b =an bm.问题3:观察下列运算.23×45=2×43×5;57×29=5×27×9;23÷45=23×54=2×53×4;57÷92=5×27×9.猜一猜:a b ×dc =?b a ÷dc =? 解:a b ×d c =a×db×c , b a ÷d c =b a ·c d =b×ca×d.类比分数的乘除法法则,你能说出分式的乘除法法则吗?师生活动:通过教学活动1中的具体例子,引导学生回忆前面学过的分数的乘除法法则,利用类比的方法得出分式的乘除法法则.乘法法则:分式乘分式,用分子的积作为积的分子,分母的积作为积的分母. 除法法则:分式除以分式,把除式的分子、分母颠倒位置后,与被除式相乘. 用式子表示为:a b ·c d =a·c b·d ,a b ÷c d =a b ·d c =a·db·c.设计意图:以此活动激活学生原有的知识体系,充分体现学生的学习是在原有知识的基础上自我生成的一个过程,有利于让学生更好地掌握类比的学习方法.典例精讲 例1 计算:(1)4x3y ·y2x 3; (2)ab 32c 2÷-5a 2b 24cd .解:(1)原式= 4xy6x 3y = 23x 2.(2)原式=ab 32c 2·4cd-5a 2b 2=-4ab 3cd10a 2b 2c 2=-2bd5ac .例2 计算:(1)a 2-4a+4a 2-2a+1·a -1a 2-4; (2)149−m 2÷1m 2-7m .解:(1)原式=(a -2)2(a -1)2·a -1(a -2)(a+2)=(a -2)2(a -1)(a -1)2(a -2)(a+2) =a -2(a -1)(a+2). (2)原式=1(7+m)(7-m)×m(m -7)1=-m7+m .例3 如图,“丰收1号”小麦的试验田是边长为a m 的正方形去掉一个边长为1 m 的正方形蓄水池后余下的部分,“丰收2号”小麦的试验田是边长为(a -1)m 的正方形,两块试验田的小麦都收获了500 kg .(1)哪种小麦的单位面积产量高?(2)高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍?解:(1)“丰收1号”小麦的试验田面积是(a 2-1)m 2,单位面积产量是500a 2-1 kg/m 2; “丰收2号”小麦的试验田面积是(a -1)2 m 2,单位面积产量是500(a -1)2 kg/m 2. ∵a >1,∴(a -1)2>0,a 2-1>0.∵(a -1)2-(a 2-1)=2-2a <0,∴(a -1)2<a 2-1. ∴500a 2-1<500(a -1)2.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量高. (2)500(a -1)2÷500a 2-1=500(a -1)2·a 2-1500=(a+1)(a -1)(a -1)2=a+1a -1.所以“丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的a+1a -1倍.设计意图:通过例题,使学生掌握分式的乘除法法则,引导学生用分式的乘除法解决生活中的实际问题,提高“用数学”的意识,让学生感受到学以致用,体会到能够完整解决问题的喜悦,同时训练学生的书面表达能力,培养学生解决问题的能力.巩固训练 1.计算:(1)3a 5b ·2b6a 2; (2)2x5mn ÷y4x .解:(1)原式=3a·2b5b·6a 2=15a .(2)原式= 2x5mn ×4xy = 2x·4x5mn·y = 8x 25mny . 2.计算:(1)a -b2ab ·3a 2b3a 2-3b 2; (2)9y 2-x 2x 2+2x+1÷2x -6yx+1. 解:(1)原式= (a -b)·3a 2b2ab·3(a+b)(a -b) = a2a+2b . (2)原式= 9y 2-x 2x 2+2x+1·x+12x -6y=(3y -x)(3y+x)·(x+1)(x+1)2·2(x -3y)=-3y+x2x+2.设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生熟练掌握分式的乘除法法则.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的乘法法则:a b ·c d =a·cb·d .3.分式的除法法则:a b ÷c d =a b ·d c =a·d b·c.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第138页练习第2,3题,第146页习题15.2第1,2题.2.七彩作业.第1课时 分式的乘除一、分式的乘除法法则:分式的乘除{乘法法则:a b ·cd =a·cb·d ;除法法则:a b ÷c d =a b ·d c =a·d b·c .二、例题讲解.注意:1.运用法则时注意符号的变化; 2.因式分解在分式乘除法中的应用; 3.结果要化成最简分式或整式. 三、课堂评价.教学反思第2课时 分式的乘方及乘除混合运算课时目标1.让学生经历分式的乘方法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、交流合作的意识,提高学生的总结归纳能力.2.运用分式的乘除法法则、分式的乘方法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的乘除法、乘方混合运算,进行分式的乘除法、乘方混合运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力. 学习重点会进行分式的乘方运算,分式的乘除法、乘方混合运算. 学习难点分式的乘除法、乘方混合运算以及运算中符号的确定. 课时活动设计回顾引入引导学生用自己的语言描述分式的乘除法法则. 教师在黑板上列出分式的乘除法法则: 分式的乘法法则:a b ·cd = a·cb·d ;分式的除法法则:a b ÷cd=a·d b·c.设计意图:通过回顾分式的乘除法法则,来确认学生是否掌握了分式的乘法、除法运算,为本节课的学习打好基础.探究新知问题1:计算:2x5x -3÷325x 2-9·x5x+3.解:原式=2x 5x -3·25x 2-93·x5x+3=2x 23.问题2:计算下列各题:(1)(a b )2; (2)(a b )3; (3)(a b )4; (4)(a b )n.(n 为正整数) 解:(1)原式=a b ·a b =a·a b·b =a 2b 2.(2)原式=a b ·a b ·a b =a·a·a b·b·b =a 3b 3.(3)原式=a b ·a b ·a b ·a b =a·a·a·a b·b·b·b =a 4b 4.师生活动:教师引导学生观察前三个小问中等式两边有怎样的联系,再根据乘方的意义和分式乘法的法则推导出分式乘方的运算法则:(a b )n =ab ×ab ×…×a b ⏟ n 个=a×a×…×a⏞ n 个b×b×…×b ⏟ n 个=a n b n,即(a b )n =a nb n .(n 为正整数) 教师引导学生用文字描述分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.设计意图:先引导学生观察若干特例,再归纳出分式乘方的运算法则.在这个过程中学生可以通过比较、联想、探索,从直观中归纳出理性的规律,促使学生学习从特殊到一般的认识事物的思维方法.典例精讲 例 计算: (1)(-2a 2b 3c)2; (2)(a 2b-cd 3)3÷2a d 3·(c2a)2.解:(1)原式=(-2a 2b)2(3c)2=4a 4b 29c 2.(2)原式= a 6b 3-c 3d 9 ÷2a d 3·c 24a 2 = a 6b 3-c 3d 9·d 32a ·c 24a 2= -a 3b 38cd 6.设计意图:引导学生回忆前面学过的分数的乘除法、乘方混合运算,利用类比的方法进行分式的乘除法、乘方混合运算,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,提高学生的运算能力.巩固训练 1.计算:(1)2x 2-3y 2·-5y6x ÷10y-21x 2; (2)a 2-1a 2-4a+4÷a+12−a ·2+a1−a ;(3)(-x 2y )2·(-y 2x)3÷(-y x )4.解:(1)原式=2x 2-3y 2·-5y 6x ·-21x 210y =-7x 36y 2.(2)原式=(a+1)(a -1)(a -2)2·-(a -2)a+1·a+2-(a -1)=a+2a -2.(3)原式=x 4y 2·(-y 6x 3)·x 4y4=-x 5. 2.先化简,再求值:a -1a+2·a 2-4a 2-2a+1÷1a 2-1,其中a 满足a 2-a =0. 解:原式=a -1a+2·(a+2)(a -2)(a -1)2·(a +1)(a -1)=(a -2)(a +1)=a 2-a -2=-2.设计意图:通过巩固训练,让学生自主探索、充分交流,在运算的过程中使学生掌握基础知识、基本的运算方法,体会运算法则和运算顺序,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力,同时通过具体的解题步骤,让学生感受到数学的严谨性,规范解题步骤和书写格式.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式乘方的运算法则:分式乘方要把分子、分母分别乘方.3.分式的乘除混合运算.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第139页练习第1,2题,第146页习题15.2第3题.2.七彩作业.第2课时 分式的乘方及乘除混合运算一、分式的乘除法运算.分式的乘除法运算归根结底是乘法运算. 二、分式的乘方:(a b )n =a nb n ,即分式乘方要把分子、分母分别乘方. 三、例题讲解. 四、课堂评价.教学反思15.2.2分式的加减第1课时分式的加减课时目标1.让学生经历分式的加减法法则的生成过程,培养学生自主探索、自主学习、自主归纳知识的意识,提高学生知识的类比迁移能力.2.运用分式的加减法法则解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的运算能力.3.类比分数的加减法运算,进行分式的加减法运算,让学生体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则及运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.学习重点运用分式的加减运算法则进行运算.学习难点异分母分式的加减运算.课时活动设计情境引入甲工程队完成一项工程需n天,乙工程队要比甲队多用3天才能完成这项工程,两队共同工作一天完成这项工程的几分之几?教师引导分析,学生思考、交流.解:甲工程队一天完成这项工程的1n ,乙工程队一天完成这项工程的1n+3,两队共同工作一天完成这项工程的(1n +1n+3).设计意图:通过具体问题情境导入新课,让学生感受到分式的加减运算是由实际需要产生的,激发学生的学习兴趣,提高学生的学习效率.探究新知问题1:2009年、2010年、2011年某地的森林面积(单位:km 2)分别是S 1,S 2,S 3,2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了多少?学生小组讨论,选取两名学生分别列出2010年、2011年的森林面积增长率: 解:2010年的森林面积增长率是S 2-S 1S 1,2011年的森林面积增长率是S 3-S 2S 2.根据2010年、2011年的森林面积增长率,得出结论: 解:2011年与2010年相比,森林面积增长率提高了S 3-S 2S 2-S 2-S 1S 1.教学中讨论这两个问题时,重点放在列出算式,为引出分式的加减法法则做准备.问题2:请同学们先填空,再观察下列分数加减运算的过程:15+25= (35),15-25 = (-15); 12+13=(36)+(26)=(56),12-13=(36)-(26)=(16). 追问:你能根据上面的式子,类比分数加减法法则,得出分式的加减法法则吗? 师生活动:学生先观察分数加减运算的过程,然后选一名学生用符号总结前两个分数加减运算的规律:a c ±bc = a±b c;再选一名学生用符号总结后两个分数加减运算的规律:a b ±cd = ad bd ±bcbd=ad±bc bd .教师引导学生用文字表述分式的加减法法则: 同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.类比同分母与异分母分数的加减,学生很容易归纳出同分母分式与异分母分式加减的方法,培养学生交流合作能力和创新实践能力.典例精讲 例 计算: (1)m+n n+m -n n; (2)a 2a -b -b 2a -b ; (3)5x+3y x 2-y 2-2xx 2-y 2.解:(1)原式=(m+n)+(m -n)n=2mn . (2)原式=a 2-b 2a -b =(a+b)(a -b)a -b =a +b. (3)原式=3x+3yx 2-y2=3(x+y)(x+y)(x -y)=3x -y.设计意图:设置一组同分母分式的加减法运算,目的是让学生掌握同分母分式加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,同时内化运算法则,提升运算能力.巩固训练 1.计算: (1)a 2b 2ab-ab -b 2ab -a2; (2)a 2+b 2a -b-a -b ; (3)12p+3q +12p -3q.解:(1)原式=ab -b(a -b)a(b -a)=ab +b a =a 2b+ba.(2)原式=a 2+b 2-(a -b)(a+b)a -b=2b 2a -b .(3)原式=2p -3q+2p+3q(2p+3q)(2p -3q)=4p4p 2-9q 2.2.观察下列分式的加减的运算过程是否正确,如果不正确,请把正确的运算过程写下来.(1)a 2+b 2ab -a 2-b 2ab =a 2+b -a 2-b2ab =0;(2)x 2x -1-x -1=x 2x -1-x -11=x 2-(x -1)2x -1=2x -1x -1.解:(1)不正确,a 2+b 2ab -a 2-b 2ab =a 2+b -a 2+b2ab=2b 2ab =1a .(2)不正确,x 2x -1-x -1=x 2x -1-x+11=x 2-(x -1)(x+1)x -1=x 2-x 2+1x -1==1x -1.设计意图:通过设置巩固训练,巩固本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,为接下来的学习打好基础.课堂8分钟.1.教材第141页练习第1,2题,第146页习题15.2第4,5题.2.七彩作业.第1课时分式的加减一、分式的加减法法则:同分母分式相加减,分母不变,把分子相加减,用式子表示为ac ±bc=a±bc;异分母分式相加减,先通分,变为同分母的分式,再加减,用式子表示为ab ±cd=adbd±bcbd=ad±bcbd.二、例题讲解:(1)分式加减运算的结果要化成最简分式或整式;(2)同分母分式相加减时要注意:“把分子相加减”就是把各个分式的分子“整体”相加减,在这里要注意分数线的括号作用;(3)异分母分式加减法的一般步骤:①通分;②加减;③合并;④约分;(4)整式可以看成是分母为1的分式.三、课堂评价.教学反思第2课时分式的混合运算课时目标1.通过类比分数的混合运算顺序,归纳得出分式的混合运算顺序,体会数与式的发展过程,感悟数与式在运算法则和运算顺序上的高度统一,培养学生的类比意识,发展学生的抽象能力.2.通过运用分式的混合运算解决数学问题,让学生感受到数学知识的应用过程,培养学生的应用意识,提高学生的实践能力.3.通过使学生经历分式混合运算的过程,培养学生积极思考、自主探索、合作交流和辨析提高的学习意识,提高学生的运算能力.学习重点熟练地进行分式的混合运算.学习难点熟练地进行分式的混合运算及化简求值问题.课时活动设计情境引入有一财主死后,他的两个儿子高兴地打开父亲留下的藏宝地图,看到上面有一段文字记录:计算x 2-2x+1x2-1÷x-1x2+x-x的值,就是我留给你们的全部宝物.老大拿出纸笔一算,一气之下将藏宝图一把扔了,老二连忙捡起,经过仔细思考算出后,生气地一把火烧掉了它.财主忘记了写x的值,两个儿子是怎么计算出宝物的情况的呢?财主到底留下了多少宝物呢?通过本节课的学习,你就会明白其中的道理了.设计意图:设置故事情境引入新课,让枯燥的计算问题变得更具吸引力,调动起学生学习的积极性,激发他们的求知欲.探究新知 问题1:计算:(x 2-4x+4x 2-4-x x+2)÷x -1x+2.解:原式=[(x -2)2(x -2)(x+2)-xx+2]·x+2x -1=(-2x+2)·x+2x -1=-2x -1.教师引导学生类比分数的混合运算顺序,总结分式的混合运算顺序: 先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的. 教师针对这类题目给学生提供以下建议:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便; (2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解; (3)注意括号的“添”或“去”; (4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:从学生已有的数学经验出发,建立新旧知识之间的联系.学生通过类比、思考,激活原有知识,让学生感悟自己的学习是在原有知识的基础上自我生成的过程.典例精讲 例 计算:(1)(2a b )2·1a -b -a b ÷b4; (2)(m +2+52−m )·2m -43−m ;(3)(x+2x 2-2x -x -1x 2-4x+4)÷x -4x .解:(1)原式=4a 2b 2·1a -b -a b ·4b =4a 2b 2(a -b)-4ab 2=4a 2b 2(a -b)-4a(a -b)b 2(a -b)=4a 2-4a 2+4ab b 2(a -b)=4ab b 2(a -b)=4aab -b 2.(2)原式=(m +2+52−m )·2m -43−m =9−m 22−m ·2(m -2)3−m=(3-m)(3+m)2−m·-2(2-m)3−m=-2(m +3)=-2m -6.(3)原式=[x+2x(x -2)-x -1(x -2)2]·xx -4=(x+2)(x -2)-(x -1)x x(x -2)2·xx -4 =x 2-4-x 2+x(x -2)2(x -4)=1(x -2)2.设计意图:设置这一组分式的混合运算的例题,目的是让学生进一步掌握分式混合运算时的运算顺序,培养学生良好的运算习惯,让学生在运算的过程中体会运算顺序和各项法则,内化自身的运算认知,在循序渐进的运算中,提高自己的运算能力.巩固训练 1.计算:(1)x 2x -1-x -1; (2)(1−2x+1)2÷x -1x+1;(3)2ab(a -b)(a -c)+2bc(a -b)(c -a); (4)(1x -y +1x+y )÷xyx 2-y 2.解:(1)原式=x 2x -1-(x+1)(x -1)x -1=x 2-x 2+1x -1=1x -1.(2)原式=(x+1x+1-2x+1)·x+1x -1=x -1x+1·x+1x -1=1.(3)原式=2ab -2bc(a -b)(a -c)=2b(a -c)(a -b)(a -c)=2ba -b . (4)原式=[x+y(x -y)(x+y)+x -y(x+y)(x -y)]·(x+y)(x -y)xy=2x(x+y)(x -y)]·(x+y)(x -y)xy=2y .2.先化简再求值:1x+1-1x 2-1·x 2-2x+1x+1,其中x =√2-1. 解:原式=1x+1-1(x+1)(x -1)·(x -1)2x+1 =1x+1-x -1(x+1)2=x+1−(x -1)(x+1)2=2(x+1)2.当x =√2-1时,原式=(√2-1+1)2=(√2)2=22=1. 设计意图:通过巩固训练,及时巩固本节课所学知识,帮助学生更好地掌握分式的乘除法法则,熟练地进行分式的混合运算.课堂小结1.本节课探究了分式的哪些问题?2.分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.3.进行分式的混合运算时注意的问题:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算更简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.设计意图:通过课堂小结,回顾本节课所学知识,及时查漏补缺.课堂8分钟.1.教材第142页练习第2题,第146页习题15.2第6题.2.七彩作业.第2课时分式的混合运算一、分式的混合运算顺序:先乘方,再乘除,最后算加减,有括号的先算括号里面的.二、例题讲解:(1)一般按分式的运算顺序进行计算,但恰当地使用运算律会使运算简便;(2)计算乘除时,要随时对分子、分母进行因式分解;(3)注意括号的“添”或“去”;(4)结果要化为最简分式或整式.三、课堂评价.教学反思15.2.3整数指数幂第1课时整数指数幂的运算性质课时目标1.让学生经历负整数指数幂运算性质的得出过程,提高学生归纳、类比和抽象的能力,培养学生的创新意识.2.通过经历整数指数幂的获得过程,让学生感受到数学知识间合理的内在逻辑,培养学生的合情推理,提高学生的推理能力.3.让学生在运用整数指数幂的运算性质进行计算的过程中逐步内化自身的认知,提高学生的运算能力.学习重点掌握整数指数幂的运算性质.学习难点负整数指数的性质的理解和应用.课时活动设计复习回顾我们知道,当n是正整数时,a n=a·a·a·…·a⏟n个.回忆正整数指数幂的运算性质:(1)a m·a n=a m+n(m,n是正整数);(2)a m÷a n=a m-n(a≠0,m,n是正整数,并且m>n);(3)(a m)n=a mn(m,n是正整数);(4)(ab)n=a n b n(n是正整数);(5)(ab )n=anb n(n是正整数);(6)a 0= 1 (a ≠0).a m 中的指数m 可以是负整数吗?如果可以,那么负整数指数幂a m 表示什么? 设计意图:引导学生回忆正整数指数幂的运算性质,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,通过复习正整数指数幂和0指数幂的性质,引入负整数指数幂,为新知识的合理介入指明了方向,有利于学生知识的完整构建,为本节课的学习作铺垫.探究新知用正整数指数幂的运算性质(2)(将m >n 这一条件去掉)和分式的约分两种方式计算52÷55,并观察两种方式的计算结果,你能有什么发现?学生自己独立完成计算,分小组交流讨论,教师给出完整的计算过程并总结. 52÷55=52-5=5-3,52÷55=5255=153.观察这两个式子可以发现5-3=153.学生通过上面的内容可以得到a m ÷a n =a m -n 这条性质也适用于像52÷55这样的情形.一般地,当n 是正整数时,a -n =1a n (a ≠0).这就是说,a -n (a ≠0)是a n 的倒数. 引入负整数指数和0指数后,a m ·a n =a m +n (m ,n 是正整数)这条性质能否推广到m ,n 是任意整数的情形?教师通过以下计算过程引导学生发现规律,并进行总结. a 3·a -5=a3a 5=1a 2=a -2=a 3+(-5),即a 3·a -5=a 3+(-5);a -3·a -5=1a 3·1a 5=1a 8=a -8=a (-3)+(-5),即a -3·a -5=a (-3)+(-5); a 0·a -5=1·1a 5=1a 5=a -5=a 0+(-5),即a 0·a -5=a (0)+(-5). 归纳:1.a m ·a n =a m +n 这条性质对于m ,n 是任意整数的情形仍然适用; 2.随着指数的取值范围由正整数推广到全体整数,前面提到的运算性质也推广到整数指数幂.设计意图:按照从特殊到一般、从具体到抽象的认识过程,让学生类比发现,自己总结结论,实现学生主动参与、探究新知识的目的,从而培养学生归纳、类比和抽象的能力.典例精讲例计算:(1)a-2÷a5;(2)(b 3a2)-2;(3)(a-1b2)3;(4)a-2b2·(a2b-2)-3.解:(1)a-2÷a5=a-2-5=a-7=1a7.(2)(b 3a2)-2=b-6a-4=a4b-6=a4b6.(3)(a-1b2)3=a-3b6=b 6a3 .(4)a-2b2·(a2b-2)-3=a-2b2·a-6b6=a-8b8=b 8a8.提醒:(1)解题时应直接运用这些性质,而不要急于转化为分式形式;(2)整数指数幂的运算性质也可以逆向进行;(3)通常计算的最后结果要写成分式的形式.设计意图:这是一组直接运用整数指数幂的运算性质进行计算的题目,通过例题使学生掌握指数由正整数拓展到整数后的新情形,熟练使用运算方法,掌握运算技能,提高运算能力.归纳总结根据整数指数幂的运算性质,当m,n为整数时,a m÷a n=a m-n,a m·a-n=a m+(-n)=a m-n,因此a m÷a n=a m·a-n,即同底数幂的除法a m÷a n可以转化为同底数幂的乘法a m·a-n,特别地,ab =a÷b=a·b-1,所以(ab)n=(a·b-1)n,即商的乘方(ab)n可以转化为积的乘方(a·b-1)n,这样,整数指数幂的运算性质可以归纳为:(1)a m÷a n=a m+n(m,n是整数);(2)(a m)n=a mn(m,n是整数);(3)(ab)n=a n b n(n是整数).设计意图:类比负数的引入可以使减法转化为加法,得到负指数幂的引入可以使幂的除法转化为幂的乘法、商可以转化为积这个结论,从而使分式的运算与整式的运算统一起来,将整数指数幂的运算性质进行总结.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第7题.2.七彩作业.第1课时整数指数幂的运算性质一、正整数指数幂的运算性质.二、负整数指数幂的运算性质.三、例题讲解.四、整数指数幂的运算性质.教学反思第2课时科学记数法课时目标1.让学生经历小于1的正数的科学记数的获得过程,感受数学知识之间的内在联系,提高学生的归纳、类比和抽象能力.2.通过对小于1的正数的科学记数的过程,让学生感受到数学知识的本质所在,培养学生观察、分析和总结的能力.学习重点会用科学记数法表示小于1的正数.学习难点知道用科学记数法表示小于1的正数时,a×10-n形式中n的取值与小数中左起第一个非0数字前0的个数的关系.课时活动设计回顾引入1.用科学记数法表示745 000,2 930 000.2.大于10的数用a ×10n 表示时,a ,n 应满足什么条件?3.负整数指数幂的公式是什么?学生自主交流,讨论.思考:我们已经学会了用科学记数法表示一些较大的数,你能用科学记数法表示较小的数吗?设计意图:引导学生完成上述问题,温故而知新,唤醒学生已有的知识体系,为本节课的学习作铺垫.同时,提出新的问题,为新知识的学习明确了方向.探究新知1.填空:10-1=110= 0.1 ;10-2=1102= 0.01 ;10-3=1103= 0.001 ;…;10-n = 110n = .反过来:0.1=110=1×10-1;0.01=1102= 1×10-2 ;0.001=1103= 1×10-3 ;…;=110n = 1×10-n .2.解决问题:(1)0.000 025=2.5× 1105 = 2.5×10-5 ;(2)0.000 000 025 7=2.57× 1108 = 2.57×10-8 .运用由特殊到一般和类比的数学思想归纳出=10-n ,让学生看到可以利用10的负整数次幂,用科学记数法表示一些小于1的正数,即将它们表示成a ×10-n 的形式,其中n 是正整数,1≤a <10.设计意图:让学生通过这种亲自参与、探索研究数学知识获得的过程,感受数学知识之间的密切联系,深化自己的认知,从而构建科学记数法的完整知识体系.典例精讲例纳米(nm)是非常小的长度单位,1 nm=10-9 m.把1 nm3的物体放到乒乓球上,就如同把乒乓球放到地球上.1 mm3的空间可以放多少个1 nm3的物体(物体之间的间隙忽略不计)?解:1 mm=10-3 m,1 nm=10-9 m.(10-3)3÷(10-9)3=10-9÷10-27=10-9-(-27)=1018.所以1 mm3的空间可以放1018个1 nm3的物体.1018是一个非常大的数,它是1亿(即108)的100亿(即1010)倍.设计意图:运用数学知识解决实际问题是学习数学的重要目标,让学生在学习知识的过程中解决实际问题,体会数学的“学以致用”.巩固训练计算(结果用科学记数法表示):(1)(3×10-5)×(5×10-3);(2)(3×10-15)÷(5×10-4);(3)(1.5×10-16)×(-1.2×10-3); (4)(-1.8×10-10)÷(9×108).解:(1)1.5×10-7;(2)6×10-12;(3)-1.8×10-19;(4)-2×10-19.设计意图:设置这类计算题,不仅是为了巩固本节课的所学知识,还为了通过做题让学生意识到用科学记数法表示数能使运算更简便.课堂小结1.如何用科学记数法表示大于10的数?2.如何用科学记数法表示小于1的正数?设计意图:让学生自己总结本节课的内容,帮助学生巩固新的知识,培养学生的总结概括能力.课堂8分钟.1.教材第145页练习第1,2题,第147页习题15.2第8,9题.2.七彩作业.第2课时科学记数法一、大于10的数的科学记数:N=a×10n(其中n是正整数,1≤a<10).二、小于1的正数的科学记数:N=a×10-n(其中n是正整数,1≤a<10).三、例题讲解.教学反思。
人教版数学八年级上册15.2.2 分式的加减(2)-课件
12 a 4a 2
a 4a 2
13 a 4a 2
13 4a
先找出最简公分母，
例 2 计算：
6a52b3a2b2 4a3bc
再正确通分，转化 为同分母的分式相
加减。
解：原式= 11a 22 b 0 b2c c18 a 2 a 2b2c c19 a 2 a 2b2b c
10b1c2a8a2b2cc9ab
.
练 3 ：阅读下面题目的计算过程。
x 3 2
x 3
2 x 1 ①
x 2 11 x x 1 x 1 x 1 x 1
= x32x1
②
=
③
x32x2
=
④
（1）上x 述计1算过程，从哪一步开始错误，请写上该步的代号
（2）错误原因
（3）本题的正确结论为
• 在图的电路中,已测定CAD支路的电阻是R1欧姆,又知CBD支
；；
You made my day!
伦 理 使 人 庄 重 ； 逻 辑 与 修 辞 使 人 善 辩 。
写 作 与 笔 记 使 人 精 确 ； 史 鉴 使 人 明 智 ； 诗
歌
使
人
巧
慧
；
我们，还在路上……
路的电阻R2比R1大50欧姆,根据电学的有关定律可知总电阻R
与R1R2满足关系式 表示总电阻R
1 R
1 1
R1
R2
,试用含有R1的式子
A
C
D
B
再来试试
•
计算:
2ba2
•1 ab
a b
b 4
解：原式
4ba22
• 1 a4 ab b b
4a2 4a 4a2 4a(ab) b2(ab)b2b2(ab)b2(ab)
最新人教版初中八年级上册数学【第十五章 15.2分式的运算(1)分式的乘除1】教学课件
“一提二套”
（提取公因式、套平方差或完全平方公式）
（1）
（2）
请同学们暂停3~5分钟
课堂小结：
法则 分式的乘除（1）
见“除” 改“乘”
(1) 分子分母均是单项式的，套用法则， 再约分化为最简分式或整式.
注 意 (2) 分子或分母含有多项式的，
见“多项式”，先“分解因式” .
（活动2）请类比分数，猜想以下分式应如何运算：
乘法 法则：
除法 法则：
【分式的乘除法法则 】
分式乘分式， 用分子的积作为积的分子， 用分母的积作为积的分母.
见“除” 改“乘”
分式除以分式， 把除式的分子、分母颠倒位置后， 与被除式相乘.
三.学以致用
四.两类经典题型
类型1——分子分母均为单项式
（1）
【整体平方的结果不应该出现负号】
如，练习1（4） （错）解：原式 （正）解：原式
【约分太快，结果漏负号】
非0的相反数相除，结果为－1.
易错情形2：
什么时候需要用到因式分解？
策略：1.当分子或分母含有多项式时，必须对多项式先进行因式分解；
2.因式分解后，需要整体约分，并注意符号的变化.
如，例2 计算：（2） （错1）解：原式= （错2）解：原式=
八年级—人教版—数学—第十五章
分式的乘除（1）
学习目标
1.理解并掌握分式的乘法法则、除法法则，能合理的进行简单的 分式乘除法运算； 2.经历从分数的乘除法运算到分式的乘除法运算的过程，培养观察、 类比、归纳的能力。
一.情景引入
二.类比探究
（活动1）请利用分数的乘除法法则进行计算：
（1）
（2）
八年级数学上册第十五章分式15.2分式的运算15.2.2分式的加减同步练习(含解析)(新版)新人教版
第十五章分式15.2.2 分式的加减基础篇一、 单选题（共 10 小题 )1．（ 2018 故城县期末）已知 ab=1, M= 11 , N= a 1 b ,则M 与 N 的关系为 ( )1 a1 b 1 abA ． M>NB ． M=NC ． M<ND ．不能确定【答案】 B【详解】 M111 b 1 a2 ba，1+a 1 b=a1 b1a 1 b1N = a b a 1 bb 1aa ab b aba b 2ab2 b a =1 a 1 b1 a 1 b，因此可得 M ﹣ N=﹣1 a 1 b1 a 1 b1 a 1 ba b2ab 2 a ba 2ab b2 2ab1 a 1 b=1 a 1 b=1 a 1 b，由 ab=1，可得 2﹣ 2ab=0，即 M ﹣ N=0，即 M=N ． 故选： B ．2．（2018·阳谷县期末）下列算式中，你认为错误的是（ ）A ．a b b aa b a=1 B ． 11ba bC ． x 1 1a 2b 21 1x 1D ．2a bx 1( a b ） a b【答案】 B【解析】根据分式的加减，乘除的法则，进行通分、约分，可得：a ba bA 、=a =1，本选项正确；a ba b bB 、 1C 、 1b a =1× a × a = a 2 ，本选项错误； ab b b b 2x = x 1 x=﹣ 1 ，本选项正确； x 1 x 1 x 11a 2b 21 ( a b)( ab)1，本选项正确．D 、= 2 ?2 (a b) a b=(a b ） a ba b故选： B ．3．（2019·信阳市第九中学初二期末）化简a 21 2aa 1 1 a的结果为（ ）A ．a1 B ． a ﹣1a1【答案】 B【解析】原式 =a 21 2a ，a 1a 1= ( a 1)2 ，a1=a ﹣ 1故选： B ．4．（2018·深圳市期中）已知 x 23x 4A ． 3B ． 2【答案】 DC ． aD ． 1则代数式x的值是（）x2x 40，C ．1D ．132【解析】 x 2－ 3x － 4=0， ( x －4)( x +1)=0 ，解得 x 1=4， x 2=－ 1，∴当 x =4 时，x = 1 ；当 x =－ 1 时， x 2 x= 1. x 2x 4 2 x 4 2故选 D.5．（2019·肃宁县期末） 一件工作 , 甲独做 a 小时完成 , 乙独做 b 小时完成 , 则甲、 乙两人合作完成需要( )小时.A ．11 B ．1C ．1D ．ababababa b【答案】 D【详解】设工作量为1，由甲 1 小时完成1，乙 1 小时完成 1 ，ab因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（11） =ab小时，a ba b故选 D ．6．（ 2018·松桃县期中）已知1 1 1 ，则 ab的值是a b 2 a bA．1B．－1C．2D．－ 2 22【答案】 D【解析】解答：解：∵，∴a-= ，ab∴= ，∴=-2 ．故选 D．7．（2018·山东曹县致远实验学校初二期末）如果a b23 ，那么代数式(a2b2b)a的值为2a a bA．3B．2 3C．3 3D．4 3【答案】 A22a b 2b ，【解析】详解：原式a b 2ab aa a a2a a b2a b2∵ a b 2 3 ，∴原式 3 ．故选 A.8．（2018·沈阳市第七中学初二期末）已知： 1 ﹣1=1，则abA．1B．﹣1a b3 b aC． 333的值是（）D．﹣ 3【答案】 C【详解】∵ 1 ﹣1=1 ，1a b3∴ ba =，ab3则ab=3，b a故选： C．112x 3xy 2 y）9．（2018·河池市期末）已知=3，则代数式的值是（x y x xy yA ． 7B ． 11C ．9D ．32 224【答案】 D【详解】 Q1 1x 3 ，yy x 3 ，xyxy 3xy ，2 x y3xy 6xy 3xy 3xy3则原式x yxy3xy xy4xy.4故选： D .10．（2018·琼山区期末）计算a 112 的结果是（）2 2aaa 11A ．1B ．1C ．1D ．1a 1121a 21aa【答案】 A【解析】试题解析：原式a 1 a 12 a 1 a 1a1 a 11 .a 12a 1 a 1a 12a 1a 1 2 a 1 a 1故选 A.提升篇二、 填空题（共 5 小题 )11．（2018·靖江市期末）若，则。
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1 15.2 分式的运算 1．分式的乘除 (1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：ab·cd＝a·cb·d. (2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 用式子表示为：ab÷cd＝ab·dc＝a·db·c. 分式的除法要转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式． 【例1】 计算：(1)4a4b215x2·9x8a4b；
(2)a2－1a2＋2a＋1÷a2－aa＋1； (3)a2－4a2＋4a＋4·2aa2－4a＋4； (4)4x2＋4xy＋y22x＋y÷(4x2－y2)． 解：(1)4a4b215x2·9x8a4b＝4a4b2·9x15x2·8a4b＝3b10x； (2)a2－1a2＋2a＋1÷a2－aa＋1 ＝（a＋1）（a－1）（a＋1）2·a＋1a（a－1） ＝（a＋1）（a－1）（a＋1）a（a＋1）2（a－1）＝1a； (3)a2－4a2＋4a＋4·2aa2－4a＋4 ＝（a＋2）（a－2）（a＋2）2·2a（a－2）2 ＝2a（a＋2）（a－2）（a＋2）2（a－2）2 ＝2aa2－4； (4)4x2＋4xy＋y22x＋y÷(4x2－y2) ＝（2x＋y）22x＋y·1（2x＋y）（2x－y） ＝12x－y. 2
2．分式的乘方 (1)法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
(2)用式子表示：abn＝anbn. 解技巧 分式的乘方的理解 (1)分式乘方时，分子、分母要乘相同次方；(2)其结果的符号与有理数乘方结果的符号确定方法一样． 【例2】 计算：
(1)a2－b34；(2)x2y－z23.
解：(1)a2－b34＝（a2）4（－b3）4＝a8b12； (2)x2y－z23＝（x2y）3（－z2）3＝x6y3－z6＝－x6y3z6. 3．分式的加减 (1)同分母分式相加减： ①法则：分母不变，把分子相加减；
②用式子表示：ac±bc＝a±bc. (2)异分母分式相加减： ①法则：先通分，变为同分母的分式，再加减；
②用式子表示：ab±cd＝adbd±bcbd＝ad±bcbd. 警误区 分式加减运算的注意点 (1)同分母分式的加减运算的关键是分子的加减运算，分子加减时要将其作为一个整体进行加减，当分子是多项式时，要添加括号； (2)异分母分式加减运算的关键是先通分，转化为同分母的分式相加减，再根据同分母分式加减法进行运算，通分时要注意最简公分母的确定； (3)分式加减运算的结果要化为最简分式或整式． 【例3】 计算：
(1)（a－b）22ab＋（a＋b）22ab；
(2)aa2－1－11－a2； (3)1x＋y－1x－y＋2xx2－y2； (4)12m2－9＋23－m； (5)x－3x2－1－2x＋1； (6)4a＋2－a－2. 解：(1)（a－b）22ab＋（a＋b）22ab ＝（a－b）2＋（a＋b）22ab 3
＝a2－2ab＋b2＋a2＋2ab＋b22ab＝2a2＋2b22ab ＝a2＋b2ab； (2)aa2－1－11－a2＝aa2－1＋1a2－1 ＝a＋1a2－1＝a＋1（a＋1）（a－1）＝1a－1； (3)1x＋y－1x－y＋2xx2－y2 ＝1x＋y－1x－y＋2x（x＋y）（x－y） ＝（x－y）－（x＋y）＋2x（x＋y）（x－y） ＝2x－2y（x＋y）（x－y） ＝2（x－y）（x＋y）（x－y）＝2x＋y； (4)12m2－9＋23－m＝12（m＋3）（m－3）－2m－3 ＝12（m＋3）（m－3）－2（m＋3）（m＋3）（m－3） ＝12－2（m＋3）（m＋3）（m－3） ＝－2（m－3）（m＋3）（m－3） ＝－2m＋3； (5)x－3x2－1－2x＋1 ＝x－3（x＋1）（x－1）－2（x－1）（x＋1）（x－1） ＝x－3－2（x－1）（x＋1）（x－1）＝－（x＋1）（x＋1）（x－1） ＝－1x－1； (6)4a＋2－a－2＝4a＋2－(a＋2) ＝4a＋2－（a＋2）1＝4a＋2－（a＋2）2a＋2 ＝4－（a＋2）2a＋2＝4－a2－4a－4a＋2 ＝－a2＋4aa＋2. 4
4．整数指数幂 一般地，当n是正整数时，a－n＝1an(a≠0)．这就是说，a－n(a≠0)是an的倒数．这样引入负整数指数幂后，指数的取值范围就推广到全体整数． 根据整数指数幂的运算性质，当m，n为整数时，am÷an＝am－n，am·a－n＝am＋(－n)＝am－n，因此am÷an＝am·a－n.
特别地，ab＝a÷b＝a·b－1，所以abn＝(a·b－1)n，即商的乘方abn可以转化为积的乘方(a·b－1)n. 这样，整数指数幂的运算性质可以归纳为： (1)am·an＝am＋n(m，n是整数)； (2)(am)n＝amn(m，n是整数)； (3)(ab)n＝anbn(m，n是整数)． 【例4】 计算：
(1)－23－2； (2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1. 解：(1)－23－2＝1－232＝149＝94；
(2)a2b－3(a－1b)3÷(ab)－1＝a2b－3·a－3b3·ab＝a0b＝b. 5．科学记数法 (1)用科学记数法表示绝对值大于1的数时，应当表示为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为原数整数部分的位数减1； (2)用科学记数法表示绝对值小于1的数时，可以表示为a×10－n的形式，其中n为原数第1个不为零的数字前面所有零的个数(包括小数点前面的那个零)，1≤|a|＜10. 提示：用科学记数法的形式表示数更方便于比较数的大小． 【例5】 把下列各数用科学记数法表示出来： (1)650 000； (2)－36 900 000； (3)0.000 002 1； (4)－0.000 006 57. 解：(1)650 000＝6.5×105； (2)－36 900 000＝－3.69×107； (3)0.000 002 1＝2.1×10－6； (4)－0.000 006 57＝－6.57×10－6.
6．分式的乘除混合运算 分式的乘除混合运算要统一为乘法运算来计算． 谈重点 分式乘除混合运算的方法 (1)分式的乘除混合运算顺序与分数的乘除混合运算顺序相同，即从左到右的顺序，有括号先算括号里面的；(2)分式的乘除混合运算要注意每个分式中分子、分母括号的处理，以及结果符号的确定；(3)分式的乘除混合运算结果应为最简分式或整式． 7．分式的混合运算 5
分式的四则混合运算与有理数的混合运算相同，必须按照运算顺序，先乘方，再乘除，后加减，有括号时先去小括号再去中括号，最后结果要化为最简分式或整式． 解技巧 分式混合运算的技巧 分式四则混合运算要注意：(1)按照运算顺序进行，确定合理的运算顺序是解题的关键；(2)灵活运用交换律、结合律、分配律，可以使运算简捷，而且还可以提高运算速度和准确率；(3)将结果化为最简分式或整式；(4)运算过程中要注意符号的确定． 8．把分式化简后再求值 分式的化简求值题，关键是要准确地运用分式的运算法则，然后代入求值．化简运算过程中要注意约分、通分时分式的值保持不变，要注意分清运算顺序，先乘除，后加减，如果有括号，先进行括号内的运算．
【例6】 计算：1－x2x2＋4x＋4÷(x－1)2·x2＋3x＋2x－1. 分析：按照从左到右的顺序依次运算，把除法运算转化为乘法，然后根据乘法法则进行运算，结果要化为最简分式或整式．
解：1－x2x2＋4x＋4÷(x－1)2·x2＋3x＋2x－1
＝（1＋x）（1－x）（x＋2）2·1（x－1）2·（x＋1）（x＋2）x－1 ＝－（x＋1）2（x＋2）（x－1）2. 【例7】 计算：a2－b2a2＋2ab＋b2＋2ab÷1a＋1b2·2a2－b2＋2ab. 解：原式＝a2－b2a2＋2ab＋b2＋2ab÷a＋bab2·2a2－b2＋2ab ＝a2－b2a2＋2ab＋b2＋2ab·（ab）2（a＋b）2·2a2－b2＋2ab ＝a2－b2a2＋2ab＋b2＋2ab（a＋b）2·2a2－b2＋2ab ＝a2－b2（a＋b）2＋2ab（a＋b）2·2a2－b2＋2ab ＝a2－b2＋2ab（a＋b）2·2a2－b2＋2ab ＝2（a＋b）2. 【例8】 先化简，再求值：3xx－1－xx＋1·x2－12x，其中x＝－3. 解：原式＝3x（x＋1）－x（x－1）（x＋1）（x－1）·（x＋1）（x－1）2x ＝3x2＋3x－x2＋x2x＝2x2＋4x2x＝2x·（x＋2）2x＝x＋2. 当x＝－3时，原式＝－3＋2＝－1. 9.运用分式运算解决实际问题 运用分式运算解决实际问题，关键是理解题意，找准各种量之间的关系，这也是解决数学应用题的基本方法，作差法等也是解决这类问题的常用方法．在判断两分式的差的正负的时 6
候，可以考虑利用完全平方式的非负性和题中字母的实际意义来解题． 作差法举例：若x≠y且x＞0，y＞0，比较4x＋y与x＋yxy的大小．
解：4x＋y－x＋yxy＝4xy－（x＋y）2xy（x＋y）＝－（x－y）2xy（x＋y）. 因为x≠y，x＞0，y＞0. 所以－（x－y）2xy（x＋y）＜0，即4x＋y＜x＋yxy. 【例9】 甲、乙两工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现要求甲生产出168个零件，乙生产出144个零件，则他们两人谁能先完成任务？ 解：设甲每小时生产这种零件x个，则乙每小时生产这种零件(x－8)个，甲完成任务需要时
间为168x小时，乙完成任务需要时间为144x－8小时． 168x－144x－8＝168（x－8）－144xx（x－8）＝24（x－56）x（x－8）.
∵x＞8，∴x－8＞0，∴x(x－8)＞0. 故当x＞56时，168x－144x－8＞0；
当x＝56时，168x－144x－8＝0； 当x＜56时，168x－144x－8＜0. 所以若甲每小时生产零件多于56个，则乙先完成任务；若甲每小时生产零件等于56个，则两人同时完成任务；若甲每小时生产零件小于56个且多于8个，则甲先完成任务．
10．分式混合运算的开放型题 运用分式的混合运算解决开放型问题，关键还是进行分式的混合运算，只是题目具有一定的开放性，所以在解决此类问题时，首先还是要正确进行分式的化简，然后还要注意问题的多解的情况．
举例：已知P＝a2＋b2a2－b2，Q＝2aba2－b2，用“＋”或“－”连接P，Q共有三种不同的形式：P＋Q，P－Q，Q－P，请选择其中一种进行化简求值，其中a＝3，b＝2. 【例10】 已知A＝1x－2，B＝2x2－4，C＝xx＋2.将它们组合成(A－B)÷C或A－B÷C的形式，请你从中任选一种进行计算．先化简，再求值，其中x＝3. 解：选一：(A－B)÷C＝1x－2－2x2－4÷xx＋2