2018年春沪科版数学九年级下册24.5 三角形的内切圆
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(沪科版)九年级数学下册课件：24.5三角形的内切圆
内切圆的性质
01
02
03
内心性质
三角形的内心是三角形内 切圆的圆心，内心到三角 形三边的距离相等。
切线性质
内切圆的半径垂直于三角 形的三边，即内切圆的半 径是三角形的角的平分线。
面积性质
三角形的面积等于其内切 圆半径与三角形周长的乘 积的一半。
与三角形的关系
内切圆与三角形的边长关系
内切圆的半径与三角形的边长之间存在一定的关系，可以通 过公式计算。
05
练习与巩固
基础练习
基础概念理解
通过简单的题目，让学生理解三角形 的内切圆的基本概念和性质，如半径、 圆心等。
简单计算
让学生掌握如何计算三角形的内切圆 半径，以及如何利用内切圆半径解决 简单的几何问题。
提高练习
复杂计算
在基础练习的基础上，增加一些需要复 杂计算的题目，如求多个三角形的内切 圆半径等。
已知三角形一边和这边上的高作内切圆
总结词
利用三角形面积公式求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角形面积公式计算出已知边上的高所对应的三角形的面积。然后，根据公式 $r=sqrt{frac{2S}{l}}$，其中S为三角形面积，l为已知边上的高，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在 高的延长线上且与相对的顶点距离等于半径，确定圆心和圆的位置。
已知三角形一边和这边所对的角作内切圆
总结词
利用三角函数求出内切圆的半径，然后确定圆心和圆的位置。
详细描述
首先，根据三角函数计算出已知边所对的角的正弦值。然后，根据公式$r=frac{2Rsinfrac{A}{2}}{2}$，其中R为 三角形的外接圆半径，A为已知边所对的角，计算内切圆的半径r。最后，根据圆心在角的平分线上且与相对的边 距离等于半径，确定圆心和圆的位置。
【最新】沪科版九年级数学下册第二十四章《三角形的内切圆》精品课件.ppt
解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则 A AE=AF=Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
xx
x+y=13
F y By
E
Oz
C
Dz
依题意得方程组 y+z=14
X+y+z=18
x+z=9
x+y=13
解得: Z=5
A、 F B、 D C的 E 长4c 分 、 m 9c别 、 m 5c。 m 是
A
A
b
c
O
C
B
C
a
B
1.直角三角形外接圆的圆心(外心)在__斜__边__中__点__， 半径为_斜__边__的__一__半__.
知识拓展
2.直角三角形内切圆的圆心(内心)在_三__角__形__内__部_，
a+b-c 半径r=______2_____. 3.Rt△ABC中,∠C=90°,a=3,b=4,则内切圆的半 径是____1___.
4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_2_2_cm____.
回顾反思
1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
E
O
B
F
C
课堂练习：
F
r 2
CE
2
B
P43习题25、6 第 2题
证明：等边三角形的内心 与外心重合，并且外接圆
半径是内切圆半径的2倍
如图：等边△ABC中，I为圆心， 内切圆半径为r，外接圆半径为R 求证：①I为外心 ②R=2r 证明①：连接AI、BI、CI，并延长；分别交对边于D、E、F ∵I是内心 ∴AD、CF、BF分别是△ABC的角平分线， 又△ABC是等边三角形，由等边三角形“三线合一”知 AD、BE、CF是△ABC的三条高，也是三角形的中线， ∴I是外心 ②：由①知，BI=R，ID=r。在Rt△BID中∠IBD=1/2∠ABC=30° ∴ID=1/2IB，即R=2r
【数学课件】九年级数学下24.5三角形的内切圆(沪科版共2份)(2)
上培养出好的品质。可是只有在集体和教师首先看到儿童优点的那些地方，儿童才会产生上进心。——苏霍姆林斯基 17、教育能开拓人的智力。——贺拉斯 18、作为一个父亲，最大的乐趣就在于：在其有生之年，能够根据自己走过的路来启发教育子女。——蒙田 19、教育上的水是什么就是情，就是爱。教育没有了情爱，就成了无水的池，任你四方形也罢、圆形也罢，总逃不出一个空虚。班主任广博的爱
A
O•
B
C
2.设△ABC是直角三角形,∠C=90°,它的内切圆的半
径为r,△ABC 的各边长分别a、b、c，试探讨r与a、
b、c的关系.
3.设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC的各边长之和
为L，△ABC的面积S,我们会有如图,O是△ABC的内 外心, ∠BAC与∠BOC有 何数量关系? A
.M F
CE
B
10
镇工业区
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
A 镇 商 业 区D
.M F
∴点M是△ABC的内心， 连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米， ⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F， 则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，
CE
B
镇工业区
则 MD= ME= MF=r， ∵在Rt △ABC 中，AC=40m，BC=30m， ∴AB=50m
理由： ∵答点：O是∠△BOACBC=9的0内°心+，2 ∠A
A
∴ ∠1= 1∠ABC， ∠2= 1 ∠ACB
2
∴ ∠1＋ ∠2 =
1（∠ABC2+ ∠ACB）
2
)1
= 1（180 ° － ∠A ） B
=
2
90
°
－
1
∠A
A
O•
B
C
2.设△ABC是直角三角形,∠C=90°,它的内切圆的半
径为r,△ABC 的各边长分别a、b、c，试探讨r与a、
b、c的关系.
3.设△ABC 的内切圆的半径为r，△ABC的各边长之和
为L，△ABC的面积S,我们会有如图,O是△ABC的内 外心, ∠BAC与∠BOC有 何数量关系? A
.M F
CE
B
10
镇工业区
解： ∵雕塑中心M到道路三边的距离相等
A 镇 商 业 区D
.M F
∴点M是△ABC的内心， 连结AM、BM、CM，设⊙M的半径为r米， ⊙M分别切AC、BC、AB于点D、E、F， 则MD⊥AC， ME ⊥BC， MF ⊥AB，
CE
B
镇工业区
则 MD= ME= MF=r， ∵在Rt △ABC 中，AC=40m，BC=30m， ∴AB=50m
理由： ∵答点：O是∠△BOACBC=9的0内°心+，2 ∠A
A
∴ ∠1= 1∠ABC， ∠2= 1 ∠ACB
2
∴ ∠1＋ ∠2 =
1（∠ABC2+ ∠ACB）
2
)1
= 1（180 ° － ∠A ） B
=
2
90
°
－
1
∠A
沪科版九年级数学下册24.5 三角形的内切圆课件
在Rt△ABC中，AC=4，BC=3 由勾股定理得，AB=5.
B D
∴AB=AD+BD =AF+BE =4-CF+3-CE
Eo
CF
A
∴7-2CF=5
解得CF=1
即三角形的内切圆6cm2的三角形材料
中作一个内切圆，问这个圆的半径是多少厘米？
解：设△ABC的内切圆半径为r.
1.在△ABC中，AB=AC=4cm，以点A为圆心、2cm为半 径的圆与BC相切，求∠BAC的度数.
解：过点A作AD⊥BC交BC与点D ∴AD=2cm，∵AB=4cm ∴sin∠ABD= AD = 2 = 1 ∴∠ABD=30° AB 4 2 ∵AB=AC，∴∠ACD=∠ABD=30° ∴∠BAC=180°-（∠ABD+∠ACD） =180°-（30°+30°）=120°
►在有欢声笑语的校园里，满地都是雪，像一块大地毯。房檐上挂满了冰 凌，一根儿一根儿像水晶一样，真美啊！我们一个一个小脚印踩在大地毯 上，像画上了美丽的图画，踩一步，吱吱声就出来了，原来是雪在告我们 ：和你们一起玩儿我感到真开心，是你们把我们这一片寂静变得热闹起来 。对了，还有树。树上挂满了树挂，有的树枝被压弯了腰，真是忽如一夜 春风来，千树万树梨花开。真好看呀！ ►冬天，一层薄薄的白雪，像巨大的轻软的羊毛毯子，覆盖摘在这广漠的 荒原上，闪着寒冷的银光。
∴AB+BC+AC=12cm
∵S△ABC=S△BOC+S△AOC+S△AOB
=
1r·BC+
2
r12·AC+
r·A12 B
= 12r（BC+AC+AB）=6
∴ 1r×12=6 ，∴r=1cm
沪科版九年级下24.5三角形的内切圆课件(共31张PPT)
解：（1）OA⊥PA，
A
OB⊥PB，PE⊥AB
（2）设半径为r,则
PA2=PDXPE =PD（PD+2r)
E O CD
P
解得，OA=r=3 B
课堂练习
3、试一试：如图△ABC中，∠C＝90，AC＝
6，BC＝8，三角形三边与⊙O均相切，切点分
别是D、E、F，求⊙O的半径。
A
AB2=AC2+BC2=62+82=100，AB=10
4.直角三角形的外接圆半径为5cm,内切圆半径为 1cm,则此三角形的周长是_2_2_cm____.
回顾反思
1.切线长定理
·A
O·
·P
B
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
回顾反思 2.三角形的内切圆、内心、内心的性质
A
D
E
O
B
F
C
课堂练习：
三角形的内心： 三角形的内切圆的圆心叫 做三角形的内心
三角形的内心是三角形三 条角平分线的交点，它到 三角形三边的距离相等。
B
A
D
O
F
E
C
P43习题25、6 第 5题
Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
A
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内
切圆,∠C是直角,三边长分别是
a,b,c.求⊙O的半径r.
B
∠ BIC=1800-（ ∠ IBC-∠ICB）
=1800-（ ∠ ABC+ ∠ACB）/2
I
=1800-（430+610）/2=1280
因而， ∠ BIC为1280
∠ BIC= 90°+ 1∠ A
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计
沪科版数学九年级下册24.5《三角形的内切圆》教学设计一. 教材分析《三角形的内切圆》是沪科版数学九年级下册第24.5节的内容。
本节内容主要介绍三角形的内切圆的概念、性质及其在几何中的应用。
通过本节的学习，学生能够理解三角形的内切圆的定义，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
二. 学情分析九年级的学生已经学习了三角形的相关知识，对三角形的性质有一定的了解。
但是，对于三角形的内切圆这一概念，学生可能比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从已知的三角形性质出发，逐步引入内切圆的概念，并引导学生探索内切圆的性质。
三. 说教学目标1.知识与技能：学生能够理解三角形的内切圆的概念，掌握其基本性质，并能运用内切圆的知识解决一些几何问题。
2.过程与方法：通过观察、操作、猜想、验证等过程，学生能够培养自己的空间想象能力和几何思维能力。
3.情感态度与价值观：学生能够积极参与课堂讨论，培养自己的合作意识和团队精神。
四. 说教学重难点1.教学重点：三角形的内切圆的概念及其性质。
2.教学难点：内切圆的性质的证明和运用。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、合作学习法、探究学习法等教学方法，引导学生主动参与课堂讨论，提高学生的学习兴趣和积极性。
2.教学手段：利用多媒体课件、几何画板等教学手段，直观地展示三角形的内切圆的性质，帮助学生更好地理解和掌握知识。
六. 说教学过程1.导入：通过复习三角形的相关知识，引导学生回顾已学的三角形性质，为新课的学习做好铺垫。
2.探究内切圆的概念：通过展示几何画板上的三角形，引导学生观察和操作，让学生自己发现三角形的内切圆的性质，并引导学生总结出内切圆的定义。
3.证明内切圆的性质：引导学生运用已学的三角形性质，证明内切圆的性质，如切线定理、角平分线定理等。
4.运用内切圆的知识解决几何问题：通过一些具体的例题，引导学生运用内切圆的知识解决一些几何问题，如求三角形的面积、证明几何定理等。
沪科版九年级数学下册 24.5 三角形的内切圆【名校课件】
B
C
2
180 1 (43 61 ) 128 . 2
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等 边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上 底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边 三角形的边长为3cm，求圆柱底面圆的半径.
该木模可以抽象为几何如下几何图形.
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD.
（3）若∠BIC=100 °，则∠A = 20 度. （4）试探索： ∠A与∠BIC之间存在怎样的数量关系？
BIC 90 1 A.
A
2
I
B
C
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载： “今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其 意思为：“今有直角三角形，勾（短直角边）长为8步， 股（长直角边）长为15步，问该直角三角形内切圆的直 径是多少步．”该问题的答案是__6__步．
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD，
∴BD=ID．
拓展提升 直角三角形的两直角边分别是3cm ，4cm，试问： （1）它的外接圆半径是 5 cm；内切圆半径是 1 cm？ （2）若移动点O的位置，使☉O保持与△ABC的边AC、BC都相 切，求☉O的半径r的取值范围.
A
F E
O
(13-x)+(9-x)=14，
C
D
解得 x=4.
∴ AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转 化集中到某条边上，从而建立方程.
沪科版数学九下24.5三角形的内切圆 精品课件
A
圆心 O 在∠ABC 的平分线上. M
O
B
N
C
问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 O 应该在什么位置？
圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处.
AO，BO ，CO 分别是∠BAC，
A
∠ABC，∠ACB 的平分线
D
F
线段 OD，OE，OF 的长度相等，
都是三角形内切圆的半径
和已知求出 DM = KQ = FN，根据
O
勾股定理求出 OM = ON = OQ，即
点 O 是△ABC 的内心.
4. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和 △ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB. 证明：连接 BI. ∵ I 是 △ABC 的内心， ∴∠BAD =∠CAD，∠ABI =∠CBI． ∵∠CBD =∠CAD， ∴∠BAD =∠CBD． ∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBI +∠CBD， ∴∠BID =∠IBD． ∴ BD = ID．
D
B
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段 转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
类比归纳
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
内心： 三角形 内切圆 的圆心
确定方法
三角形三边
垂直平分线 的交点
B
三角形三条
角平分线的
交点
B
图形
性质
沪科版数学九下课件
第24章 圆
24.5 三角形的内切圆
导入新课
情境引入 小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三
24.5 三角形的内切圆(课件)九年级数学下册(沪科版)
在Rt△ABC中，AB＝ AC2 BC2 32 42 5.
∵S△ABC＝S△COB＋S△BOA＋S△AOC，
∴1
AC
BC
1 BC
r
1
AB
r
1
AC
r
2
2
2
2
1 (BC AB AC ) r. 2
∴r＝ AC BC 3 4 1.
BC AB AC 4 5 3
24.5 三角形的内切圆
= 180°－
1 2
(43°+61°)=128°
B
C
若I是△ABC的内心，则有 ∠BIC＝90°＋ 1 ∠A. 2
24.5 三角形的内切圆
例2、 已知：△ABC是⊙O外切三角形，切点为D，E，F。
若BC＝14 cm ，AC＝9cm，AB＝13cm。求AF，BD，CE。
A 解:设AF=Xcm,BD=Ycm,CE=Zcm则
B
24.5 三角形的内切圆
5.如图，△ABC中，I是内心，∠A的平分线和 △ABC的外接圆相交于点D. 求证：DI＝DB.
证明：连接BI. ∵I是△ABC的内心，
∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI， ∵∠CBD=∠CAD， ∴∠BAD=∠CBD， ∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD， ∴∠BID=∠IBD， ∴BD=ID．
24.5 三角形的内切圆
课堂小结
三角 形内 切圆
有关概念 内心概念及性质
应用
运用切线长定理，将相等 线段Xcm,DC=BD=Ycm,AE=EC=Zcm
F y By
E
Oz
C
Dz
依题意得方程组
X+y+z=18 x+y=13
沪科版数学九下24.5三角形内切圆
C
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
（1）到三边 的距离相等；
（2）OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、 ∠ACB； C （3）内心在三
O
角形内部．
例1 如图，在△ABC中，点I是内心， ∠ABC=43°， A ∠ACB=61°，求∠BIC的度数
解:
（1）∵点I是△ABC的内心，
1 ∴ ∠1= ∠2= 2 ∠ABC 1 同理 ∠3= ∠4= 2 ∠ACB
∴外接圆半径R=2.5
由我们推导的三角形的面积公式可知：
r O
S ABC
1 ( AB BC AC )r 2
C
B
1 1 AC BC ( AB AC BC )r 2 2
1 1 3 4 (5 4 3)r 2 2
解得：r=1
三角形的内切圆的有关计算----切线长定理的应用 已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、 BD和CE的长。 A
A
F D C O
·
B
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 ab a ＋ b － c 内切圆的半径 r＝ 或r＝
2
a＋b＋c
在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4. 求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.
解：如图：由勾股定理可得：
A
AB AC2 BC2 32 42 5
已知:如图，等边三角形 ABC的内心为I，外心为O， 则外接圆的半径为OB， 内切圆的半径为ID
求证：（1）I与O重合 （2）OB=2ID
B
A
O（I）
三角形三条 角平分线的 交点
B
A
（1）到三边 的距离相等；
（2）OA、OB、 OC分别平分 ∠BAC、∠ABC、 ∠ACB； C （3）内心在三
O
角形内部．
例1 如图，在△ABC中，点I是内心， ∠ABC=43°， A ∠ACB=61°，求∠BIC的度数
解:
（1）∵点I是△ABC的内心，
1 ∴ ∠1= ∠2= 2 ∠ABC 1 同理 ∠3= ∠4= 2 ∠ACB
∴外接圆半径R=2.5
由我们推导的三角形的面积公式可知：
r O
S ABC
1 ( AB BC AC )r 2
C
B
1 1 AC BC ( AB AC BC )r 2 2
1 1 3 4 (5 4 3)r 2 2
解得：r=1
三角形的内切圆的有关计算----切线长定理的应用 已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的 内切圆分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、 BD和CE的长。 A
A
F D C O
·
B
E
设Rt△ABC的直角边为a、b，斜边为c，则Rt△ABC的 ab a ＋ b － c 内切圆的半径 r＝ 或r＝
2
a＋b＋c
在△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4. 求这个三角形的外接圆半径和内切圆半径.
解：如图：由勾股定理可得：
A
AB AC2 BC2 32 42 5
已知:如图，等边三角形 ABC的内心为I，外心为O， 则外接圆的半径为OB， 内切圆的半径为ID
求证：（1）I与O重合 （2）OB=2ID
B
A
O（I）