苏科版九年级上2.2圆的对称性(3)垂径定理课件
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2019年秋苏科初中数学九年级上册《2.2 圆的对称性》PPT课件 (9).ppt
C
A M└
B
●O
D
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦 所对的两条弧.
辨别：下列图形中，哪些能使用垂径定理，为 什么？
EE E
E EE E
EE E E
例1 如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大 圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD相等吗？
为什么？
Ｅ
例2 如图，已知在⊙Ｏ中，弦AB的长为8厘米， ⊙Ｏ的半径为５厘米，求圆心Ｏ到AB的距离．
变式题：
如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于点E， CE＝2，AB＝8，求直径CD的长。
拓展延伸：
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， A⌒Ｃ与Ｂ⌒D 相等吗？为什么？
课堂小结：
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
2. 垂径定理： 垂直于弦的直径平分弦, 并且平分弦所对的两条弧.
作业： 《全品》27—28页 1—12题
在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦有什么关系？ 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角，两条弧，两条弦中有一组量相等， 那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。 如果沿过圆心的一条直线把圆对折， 可以发现什么？
●O
圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对称轴．
如图，AB是⊙O的弦， CD是直径，且CD⊥AB
九年级数学上册第2章对称图形_圆2.2圆的对称性(2)课件(新版)苏科版
圆有无数条对称轴.
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直
于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧:
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
·O
个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，
设AB所在圆的圆心为O，半径
为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
A 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
出反例.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
【例题讲解】
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
O
∵ OA2 AD2 OD2
R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径
为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
做一做： 剪一个圆形纸片，在圆形纸片上任意画一条垂直
于直径CD的弦AB,垂足为P，再将纸片沿着直径CD对着，
比较AP与PB，A⌒C与C⌒B，你能发现什么结论？
·O
AP
B
D
线段: AP=BP
弧:
⌒⌒
AC=BC,
⌒⌒
AD=BD
C
理由如下：
把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两
·O
个半圆重合，点A与点B重合，AP与BP
试一试
你能利用垂径定理解决求赵州桥主桥拱半径的问题吗?
解：如图，用AB表示主桥拱，
设AB所在圆的圆心为O，半径
为R.
经过圆心O作弦AB的垂线OC垂
足为D，与弧AB交于点C，则D
A 是AB的中点，C是弧AB的中点， CD就是拱高.
C
D
B
∴ AB=37m，CD=7.23m.
∴ AD= AB=18.5m，OD=OC-CD=R-7.23.
出反例.
C
特别说明：
A
圆的两条直径是互相平分的.
·O B
D
【例题讲解】
例1 如图，OE⊥AB于E，若☉O的半径为10cm,OE=6cm, 则AB= 16 cm.
解析：连接OA，∵ OE⊥AB，
∴ AE OA2 OE2 102 62 8 cm.
∴ AB=2AE=16cm.
AEB O·
O
∵ OA2 AD2 OD2
R2=18.52+(R-7.23)2 解得R≈27.3（m）. 即主桥拱半径约为27.3m.
练一练
如图a、b,一弓形弦长为 4 6 cm，弓形所在的圆的半径
为7cm，则弓形的高为＿2c＿m＿或_1_2_c_m＿.
苏科版九年级数学上册课件：2.2 圆的对称性 (2)
初中数学 九年级(上册)
2.2 圆的对称性（2）
2.2 圆的对称性（2）
想一想
1．圆是什么对称图形？你是如何验证的？
●O
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心； （2）圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对 称轴．
2.2 圆的对称性（2）
想一想
2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
2． 已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且 AB＝40 cm，CD＝48 cm，求AB、CD之间的距离．
2.2 圆的对称性（2）
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， 弧 AB与弧CD相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
课堂总结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘 米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD 相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
1． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著 作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋 在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的 问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于 点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意 可得CD的长为________．
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
2.2 圆的对称性（2）
2.2 圆的对称性（2）
想一想
1．圆是什么对称图形？你是如何验证的？
●O
（1）圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心； （2）圆是轴对称图形，经过圆心的直线是它的对 称轴．
2.2 圆的对称性（2）
想一想
2．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是 什么？你能找到多少条对称轴？你是如何验证的？
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
2． 已知⊙O的直径是50cm，弦AB∥CD，且 AB＝40 cm，CD＝48 cm，求AB、CD之间的距离．
2.2 圆的对称性（2）
拓展延伸
如图，AB、CD是⊙O的两条弦，AB∥CD， 弧 AB与弧CD相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
课堂总结
通过本节课的学习,你对圆的对称性有哪些认识？
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例1 如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘 米，圆心O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径．
2.2 圆的对称性（2）
典型例题
例2 如图，以点O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB交小圆于点C、D．AC与BD 相等吗？为什么？
2.2 圆的对称性（2）
知识应用
1． “圆材埋壁”是我国古代著名数学家著 作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋 在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长 一尺，问径几何？”此问题的实质是解决下面的 问题：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD于 点E，CE＝1，AB＝10，求CD的长．”根据题意 可得CD的长为________．
• 1、“手和脑在一块干是创造教育的开始，手脑双全是创造教育的目的。” • 2、一切真理要由学生自己获得，或由他们重新发现，至少由他们重建。 • 3、反思自我时展示了勇气，自我反思是一切思想的源泉。 • 4、好的教师是让学生发现真理，而不只是传授知识。 • 5、数学教学要“淡化形式，注重实质.
圆的对称性-垂径定理
D
C
A
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ AC和 ⌒ BC重合, 重合, ⌒ AD和 ⌒ BD重合.
∴
⌒ AC = ⌒ BC, ⌒ AD = ⌒ BD.
C
结论
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
题设
（1）直径 （2）垂直于弦
A
.
D
O E
B
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
如图∵ CD是直径, ∴AM=BM,
C
A
CD⊥AB,
M└
●
B O
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B E A
O
O
CEOຫໍສະໝຸດ AAE C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
练习
如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm，求出AB、与CD间的距离。
A
E 3 5 4 5 4 3 F
（1）
O
B
A
B
C O D
D
C
（2）
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些
油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O A
O
└
D
B
C
C
A
M└
●
B O
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B ⌒ AC和 ⌒ BC重合, 重合, ⌒ AD和 ⌒ BD重合.
∴
⌒ AC = ⌒ BC, ⌒ AD = ⌒ BD.
C
结论
垂径定理
垂直于弦的直径平分 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧.
题设
（1）直径 （2）垂直于弦
A
.
D
O E
B
结论
平分弦 平分弦所对的优弧 平分弦所对的劣弧
如图∵ CD是直径, ∴AM=BM,
C
A
CD⊥AB,
M└
●
B O
⌒ =BC, ⌒ AC
⌒ ⌒ AD=BD.
D
在下列图形中，你能否利用垂径定理 找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B E A
O
O
CEOຫໍສະໝຸດ AAE C
B
C
B
D
O E C B
O
D
A
E D
B
A
E C
B
练习
如图，已知在⊙O中， A 弦AB的长为8厘米，圆心 O到AB的距离为3厘米， 求⊙O的半径。
已知：AB和CD是⊙O内的两条平行弦，AB=6cm， CD=8cm，⊙O的半径为5cm，求出AB、与CD间的距离。
A
E 3 5 4 5 4 3 F
（1）
O
B
A
B
C O D
D
C
（2）
在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些
油后，油面宽AB = 600mm，求油的最大深度.
D
O A
O
└
D
B
C
苏科版九年级上册数学课件：2.2 圆的轴对称性(二)
通过本课的学习，你又有 什么收获？
E
1 、如图，
圆O的弦AB＝8 ㎝ ，
O
DC＝2㎝，直径CE⊥AB于D，
求半径OC的长。
D
A
B
EC
2、在圆O中，直径CE⊥AB于 D，OD=4 ㎝，弦AC= 10㎝ ， 求圆O的半径。
O
D
A
B
C
思考题
如图，CD为圆O的直径，弦 AB交CD于E， ∠ CEB=30°， DE=9㎝，CE=3㎝，求弦AB的长。
初中数学九年级上册 （苏科版）
圆的对称性（二）
复习回
如顾 图，如AB=CD则（
若
⌒⌒
AB=CD
则（
若∠AOB= ∠COD则（
D
O
C
A B
）
） ）
• 圆是轴对称图形吗？
它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？
圆的对称轴是任意 一条经过圆心的直线, 它有无数条对称轴.
●O
• AB是⊙O的一条弦.
作直径CD,使CD⊥AB,垂足为M. 下图是轴对称图形吗?如果是,其对称轴是什么? • 你能发现图中有哪些等量关
O
B
说你的想法和理由.
C
A M└
B
●O
D
• 定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对
•
的两 条弧.
C
A M└
B
●O
D
垂径定理
例1. 已知：如图，在 以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB 交小圆于C，D两点， AC与BD相等吗？为 什么？
OP称为弦心距
O.
A C PD B
例2：如图，已知在圆O中，弦AB的长为8㎝， 圆心O到AB的距离为3 ㎝，求圆O的半径。
九年级中考数学复习 垂径定理的复习 课件
∴PO 平分∠BPD.
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．
变：求证PB=PD
【用】
考点三：垂径定理在生活中的应用
例3：一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的半径
AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
（2）此时排水管中水的最大深度是多少？
（3）若水量增大，请问排水管中水上涨多少米后，
O
水面宽会变为16?
A
C
B
一根排水管的横截面如图所示（排水管的厚度忽略不计），已知排水管的
半径AO=10，排水管中水面宽AB=12.
（1）求圆心O到水面的距离OC.
解 由题意得，OC⊥AB，
1
1
∴AC=BC= AB= ×12=6.
2
2
由勾股定理，得
OC= 2 − 2 =8 .
O
A
C
半径
B
思考2：根据题目信息，你能求出圆弧形隧道的半径吗？
C
中点
C为
OD=6-R
OA=R
O
A
D
（圆心O在AB上方）
找圆心，连圆心和弧中点
B
O在CD上
OC⊥AB
1
AD =2 =4
CD⊥AB
Rt△OAD中，R2=(6-R)2+42，
13
解得：R= .
3
车辆只走一侧
变式 如图，有一个双车道隧道，横截面呈圆弧形，隧道内路面宽为
如图，在⊙O中，半径OC⊥AB于点D.且AB＝8cm，OC=5cm,求DC的长
【思想方法】 求圆中的弦长或其他线段长时，通常
连半径，由半径、弦的一半以及圆心到弦的距离构成
直角三角形进行求解．
新苏教版九年级数学上册《圆》优课件
的都在_连__结__着__两_点__的__线__段_ 的垂直平分线 上.
3.过______________可以确定一个圆
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等）
5.锐角三角形的外心在三角形__内__，直角三角
形的外心在三角形__在_斜边的中点上 _，钝角
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
5. 边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆 半径的比为( ) A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
6.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。
则△ABC的外接圆半径为
。
7. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆
的半径分别是____, ____
8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
典型例题
例1.如图，⊙O为△ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则∠A的 度数为（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60° 例2. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°， 则弦AB所对的圆周角为____________.
练习
1.如图,则∠1+∠2=__
.
1
2
2.圆周上A,B,C三点将圆周 分成1:2:3的三段弧AB,BC,CA,则△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C
3.过______________可以确定一个圆
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等）
5.锐角三角形的外心在三角形__内__，直角三角
形的外心在三角形__在_斜边的中点上 _，钝角
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
5. 边长分别为3,4,5的三角形的内切圆半径与外接圆 半径的比为( ) A.1∶5 B.2∶5 C.3∶5 D.4∶5
6.已知△ABC，AC=12，BC=5，AB=13。
则△ABC的外接圆半径为
。
7. 正三角形的边长为a,它的内切圆和外接圆
的半径分别是____, ____
8．如图，直角坐标系中一条圆弧经过网格点
(1)当直线与圆相离时d＞r; (2)当直线与圆相切时d =r; (3)当直线与圆相交时d＜r.
1.与圆有一个公共点的直线。 2.圆心到直线的距离等于圆的半
径的直线是圆的切线。 3.经过半径的外端且垂直于这条
半径的直线是圆的切线。
∟
．
O A
∵OA是半径,OA⊥ l l ∴直线l是⊙O的切线.
典型例题
例1.如图，⊙O为△ABC的外接圆， AB为直径，AC=BC， 则∠A的 度数为（ ）
A.30° B.40° C.45° D.60° 例2. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°， 则弦AB所对的圆周角为____________.
练习
1.如图,则∠1+∠2=__
.
1
2
2.圆周上A,B,C三点将圆周 分成1:2:3的三段弧AB,BC,CA,则△ABC 的三个内角∠A,∠B,∠C
初中数学苏科版九年级上册2.2 圆的对称性
Ｏ
3.如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦 AB于点B，交⊙O于点C，AB=24，则CD 的长为_7_____。
●O
A
D
B
C
4：如图, ⊙O的弦AB＝8 ㎝ ， DC＝2㎝，直
径CE⊥AB于D， 则半径OC=_5_____。
E
O
x D x-2
A
4
B
2
C
如 图 ， ⊙ O 的 半 径 为 5 ， 弦 AB 的 长 为8，M是弦AB上的动点，则线段OM
垂径定理的应用
5．在横截面为圆形的油槽内装入一些油后，若油面宽 AB = 600mm，圆的直径为650mm，求油的最大深 度.
E
A
600
B
O
O ø650
A
C
B
E
D
600
F
D
谈谈你今天的收获是什么？
C
O
A
EB
D
图3
１．圆是轴对称图形.过圆心的任意一条 直线都是它的对称轴.
２．垂径定理：垂直于弦的直径平分 这条弦,并且平分弦所对的弧.
如图圆形纸片， CD是⊙O直 径．
１．在⊙O上任取一点A，过 A 点A作直径CD的垂线，交⊙O 于点Ｂ，点Ｐ为垂足．·
C
●O
P
B
D
２. 将圆沿着直径CD对折，你有什么发现呢？ 发现：CP=DP,弧AD=弧BD，弧AC=弧BC。
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平 分弦所对的弧.
∵在⊙O中 直径CD⊥AB ∴AP=BP，
米，求⊙O的半径。
A 4E
B
.3
5?
O
２．你知道赵州桥吗？它是１３００多年前 我国隋代建造的石拱桥，是我国古代人民勤 劳和智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它 的跨度（弧所对的弦的长）为３７．４米， 拱高（弧的中点到弦的距离）为７．２米， 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到 0.1） Ｃ