必修五简单线性规划典型例题

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【培优练习】《简单线性规划的应用》(数学北师大版必修5)

《简单线性规划的应用》培优练习1但国家每天分配给该厂的煤、电有限，每天供煤至多56吨，供电至多450千瓦，则该厂最大日产值为（）A. 120万元B • 124万元C • 130万元D • 135万元2. 某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过9万元，甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟，假定甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元.则该公司可获得的最大收益是（）万元.A. 80万元B . 90万元C . 60万元D . 70万元3. 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3t , B原料2t ;生产每吨乙产品要用A原料1t , B原料3t，销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13t , B原料不超过18t.那么该企业可获得最大利润是（）A. 12万元B . 20万元C . 25万元D . 27万元4. 某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，某天需送往A地至少72t的货物，派用的每辆车需载满且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人；运送一次可得利润350元，该公司合理计划当天派用甲乙卡车的车辆数，可得最大利润z=（）A. 4650 元B . 4700 元C . 4900 元D . 5000 元5. 某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5 min,生产一个骑兵需7 min,生产一个伞兵需4 min ,已知总生产时间不超过10 h.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.（1）用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W（元）;（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？答案和解析1.【答案】：B解析：设该厂每天安排生产甲产品x 吨，乙产品y 吨，则日产值z = 8x + 12y ，线性约7x + 3y < 56,束条件为S20x + 50y <450,作出可行域如图所示,]x 》0, y > 0,把z = 8x + 12y 变形为一簇平行直线系I : y = —$,由图可知，当直线I 经过可zmax = 8X 5+ 12X 7= 124,所以，该厂每天安排生产甲产品 5吨，乙产品7吨时该厂日产值最大，最大日产值为 124万元.2.答案：D.解析：设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为「X + y w 300,500x + 200y W 90 000 ,元，由题意得|X ‘ 0，y > 0.目标函数为 z = 3 000x + 2 000y.j-x + y w 300, 5x + 2y w 900, 元一次不等式组等价于「‘ 0, y > 0.作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示.作直线 I : 3 000x + 2 000y = 0, 即 3x + 2y = 0.平移直线I ，从图中可知，当直线I 过M 点时，目标函数取得最大值.行域上的点M 时，截距$最大，即z 取最大值，解方程组7x + 3y = 56, 20x + 50y = 450,得 M(5, 7),x 分钟和y 分钟，总收益为z当直线350y + 450x = z 过A （7,5）时z 取最大值， • z max = 450 X 7+ 350X 5= 4900（元）.故选 C.5.解：（1）依题意每天生产的伞兵个数为 100— x — y ,所以利润 W = 5x + 6y + 3（100 — x—y) = 2x + 3y + 300.联立x + y = 300,5x + 2y = 900, 解得 x = 100, y = 200. 所以点M 的坐标为(100 , 200).所以 z 最大值=3 000x + 2 000y = 700 000(元).因此，该公司在甲电视台做 100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告，公司的收益最大，最大收益是70万元.3.【答案】D［解析］设生产甲、乙两种产品分别为xt , yt ,3x + y < 13,I 2x + 3y w 18,由题意得c |X ； 0， y > 0,获利润3= 5x + 3y ，画出可行域如图,3x + y = 13, 由 2x + 3y = 18,解得A(3,4)3<— 一 <__,当直线5x + 3y = 3经过A 点时，3 max = 27. 4.【答案】C10x + 6y > 72, 2x+ y w 19,［解析］设该公司派甲型卡车 x 辆，乙型卡车y 辆，由题意得x + y w 12,0w x w 8, x € N 0w y w 7, y € N利润z = 450x + 350y ，可行域如图所示.j 2x + y = 19, 解 x + y = 12,得 A (7,5)(2)约束条件为：5x + 7y + 4 (100 —x—y) < 600,100 —x —y > 0,x€ N,y€ N,x + 3y w 200,x + y< 100,整理得1x € N,十N.目标函数为W= 2x + 3y + 300,如图所示，作出可行域，初始直线10 : 2x + 3y= 0，平移初始直线经过点A时，W有最大值,最优解为A(50, 50)，所以Wmax= 550(元).故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，为550元.。

北师大版高中数学必修五练习简单线性规划

第1课时求线性目标函数的最值课时过关·能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z =5y −x 的最大值为a,最小值为b,则a −b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图所示.联立{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即点A 坐标为(4,4).故z max =5×4-4=16,z min =0-8=-8,即a=16,b=-8,因此a-b=24.故选C . 2.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,2x -y ≥0,x ≤4,则z =2x +y 取最大值时的最优解为( )A.(4,8)B.(4,-4)C.16D.4,如图中阴影部分所示,当直线y=-2x+z 经过点A (4,8)时,纵截距z 取得最大值16,因此z=2x+y 取最大值时的最优解为(4,8).答案:A3.若变量x ,y 满足{x +y -1≥0,x +3y -6≤0,x -y -2≥0,则z =x −2y 的最小值为( )A.1B .52 C.3 D.32,如图中阴影部分所示.当直线y =12x −12z 经过点A (3,1)时,在y 轴上的截距−12z 达到最大值,此时z 取得最小值1.4.设实数x ,y 满足不等式组{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0,若x,y 为整数,则z =3x +4y 的最小值是( )A.14B.16C.17D.19{x +2y -5>0,2x +y -7>0,x ≥0,y ≥0表示的平面区域,如图中阴影部分所示.因为x ,y 为整数,所以z=3x+4y 在点A (4,1)处取到最小值16.5.设变量x ,y 满足|x|+|y|≤1,z=2x+y ,则z 的最大值和最小值分别为( ) A.1,-1 B.2,-2 C.1,-2D.2,-1≤1表示的平面区域如图阴影部分所示.当直线y=-2x+z 过点(1,0)时,z 最大;当直线y=-2x+z 过点(-1,0)时,z 最小,则z 的最大值为2,最小值为-2.6.设变量x ,y 满足约束条件{x -2≤0,x -2y ≤0,x +2y -8≤0,则目标函数z =3x +y 的最大值为( )A.7B.8C.9D.14,如图阴影所示.目标函数z=3x+y 可化为y=-3x+z ,平移目标函数线,当其过点A 时,z 取最大值.由{x =2,x +2y -8=0得{x =2,y =3.所以点A 的坐标为(2,3),z max =3×2+3=9.7.若实数x ,y 满足不等式组{x +y ≥2,2x -y ≤4,x -y ≥0,则z =2x +3y 的最小值是______________..当直线y=−23x +z 过点A (2,0)时,z=2x+3y 有最小值4.8.若实数x ,y 满足{y ≤2x ,y ≥-2x ,x ≤3,则目标函数z =x −2y 的最小值是______________.画出满足不等式组的可行域如图阴影部分所示,目标函数化为y =12x −z,当直线经过点A 时,-z 的值最大,z 的值最小,点A 坐标为(3,6),所以z 的最小值为3-2×6=-9.答案:-99.若x ,y 满足不等式组{x -y +1≥0,x +y +1≥0,x +2y -2≤0,x -2y -2≤0,则z =3x +y −7的最大值为______________..当直线y=-3x+z 0经过点A (2,0)时,直线在y 轴上的截距z 0最大,所以z 0=3x+y 有最大值6,故z=3x+y-7有最大值-1. 110.设z=2y-2x+4,式中x ,y 满足{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1的可行域,如图阴影部分所示,作直线l :2y-2x=z-4,当直线l 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线l 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4.★11.求z=5x-8y 的最大值,式中的x ,y 满足约束条件{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0.{x +y ≤6,5x +9y ≤45,x ≥0,y ≥0的可行域,如图阴影部分所示.作直线l 0:5x-8y=0,平移直线l 0,由图可知,当直线平移到经过点A 时,z 取最大值.解方程组{x +y =6,y =0,得A (6,0),所以z max =5×6-8×0=30.★12.若实数x ,y 满足不等式组{2≤2x -y ≤4,x ≤3,y ≥-3,求下列目标函数的最大值,以及此时x,y 的值.(1)z=x-y ; (2)z=x+3y+1.,如图阴影部分所示.(1)当直线y=x-z 移动到经过点A (12,-3)时,直线在y 轴上的截距-z 最小,为−72,所以当x =12,y =−3时,z 取得最大值72. (2)当直线y=−13x +z -13移动到经过点B (3,4)时,直线在y 轴上的截距z -13最大,为5,所以当x=3,y=4时,z 取得最大值16.。

数学必修五线性规划

线性规划【例1】若变量,x y满足约束条件211y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2z x y=+的最大值是（）A．52-B．0 C．53D．52练习1-1 设实数,x y满足约束条件324040640x yx yx y-+≥⎧⎪+-≤⎨⎪--≤⎩，则2z x y=+的最小值为（）A．-5 B．-8 C．5 D．8练习1-2 若整数x，y满足不等式组2502700,0x yx yx y+->⎧⎪+->⎨⎪≥≥⎩，则34x y+的最小值为（）A．13 B．16 C．17 D．18练习1-3 设变量x y ，满足1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（）A.1，-1B.2，-2C.1，-2D.2，-1练习1-4 设实数,x y 满足约束条件021x x y x y ≥⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩，则322x y +的最大值是（）A ．64B ．32C ．22D ．1练习1-5 如果实数,,x y 满足条件10,220,10,x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2123z x y =-+的最大值为（） A ．1 B ．34 C ．0 D ．47练习1-6 已知实数,x y 满足不等式组204803260x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩,则56z x y =+-的最大值为．【例2】已知实数,x y 满足不等式组032363412x x y x y ≤≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩,则21x y z x +-=+的取值范围是（） A ．74,16⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[]4,1- C ．17,416⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦练习2-1 若实数,x y 满足约束条件1358x y x x y ≥-⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则2y z x =-的取值范围为 .练习2-2 设,x y满足约束条件2560,4970,32100,x yx yx y-+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩则目标函数32yzx+=+的取值范围是______.练习2-3 已知实数,x y满足条件5030x yx yy-≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，若不等式()()222m x y x y+≤+恒成立，则实数m的最大值是____________．【例3】若实数,x y满足不等式组224x yx yx y+≥⎧⎪-≤⎨⎪-≥⎩，则22(1)x y++的取值范围是.练习3-1 已知,x y 满足约束条件1020x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，求()22(1)1z x y =++-的最小值是练习3-2 对满足不等式组10400x x y x y +≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩的任意实数,x y ，224z x y x =+-的最小值是（）A ．2-B ．0C ．1D ．6练习3-3 若点()1,1在不等式组024033m nx y mx ny nx y m -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域内，则22m n +的取值范围是_________练习3-4 不等式组230330210x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩的解集记为D ，有下面四个命题：1:(,),231p x y D x y ∀∈+≥-；2:(,),253p x y D x y ∃∈-≥-；311:(,),23y p x y D x -∀∈≤-；224:(,),21p x y D x y y ∃∈++≤. 其中的真命题是（）A ．12,p pB ．23,p pC ．24,p pD ．34,p p【例4】设实数,x y 满足约束条件10330390x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪+-≤⎩，已知z ax y =+的最大值是23a +，则实数a 的取值范围是（）A ．[3,1]-B ．[1,3]-C ．(,1]-∞-D ．(3,)+∞练习4-1 若实数,x y 满足不等式组22000x y x y m y ++≥⎧⎪++≤⎨⎪≥⎩,且2z y x =-的最小值等于2-,则实数m 的值等于（）A ．1-B ．1C ．2-D ．2练习4-2 已知实数,x y 满足约束条件2000x y x y y x k -≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，若3z x y =+的最小值为4，则实数k =（） A ．2 B ．1 C ．125 D ．45练习4-3 设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥-≤--0,00023y x y x y x ，若目标函数)0(2>+=m y m x z 的最大值为2，则)3sin(π+=mx y 的图象向右平移6π后的表达式为___________.练习4-4 设x ，y 满足不等式组60210320x y x y x y +-≤⎧⎪--≤⎨⎪--≥⎩，若z ax y =+的最大值为24a +，最小值为1a +，则实数a 的取值范围为（）A ．[]1,2-B ．[]2,1-C ．[]3,2--D ．[]3,1-练习4-5 不等式组2,6,20x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为Ω，若直线10ax y a -++=与Ω有公共点则实数a 的取值范围是 .【例5】设实数,x y 满足2102146x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则xy 的最大值为（）A ．252 B ． 492C ． 12D ．14练习5-1 已知实数y x ，满足条件⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥200y x y x ，则不等式22≥+y x 成立的概率为（） A ．21 B ．41 C ． 43 D ．81练习5-2已知实数,x y 满足1354y x x x y ≤-⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩，则2x y 的最小值是_________练习5-3已知实数,x y 满足20501144x y x y y x ⎧⎪-≥⎪+-≤⎨⎪⎪≥+⎩，则()22222x y y x y +++的取值范围是________。

北师大版高中数学必修五练习简单线性规划的应用

4.3 简单线性规划的应用课时过关·能力提升1.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A 原料3 t 、B 原料2 t;生产每吨乙产品要用A 原料1 t 、B 原料3 t .销售每吨甲产品可获得利润5万元,每吨乙产品可获得利润3万元.该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13 t,B 原料不超过18 t,那么该企业可获得的最大利润是( ) A.12万元 B.20万元 C.25万元D.27万元x t,y t,获得利润为z 万元,由题意知{3x +y ≤13,2x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0,目标函数z=5x+3y.不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示.作直线l 0:5x+3y=0,当平移l 0至点M 时,z 取得最大值.由{3x +y =13,2x +3y =18,得M (3,4),故z max =5×3+3×4=27.故选D .答案:D2.某研究所计划利用“神舟”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭载新产品A,B,该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表:若合理安排这两种产品的件数进行搭载,使总预计收益达到最大,则最大收益是( ) A.480万元 B.960万元 C.570万元D.1 080万元A 产品x 件,B 产品y 件,预计收益z=80x+60y. 则{20x +30y ≤300,10x +5y ≤110,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域,如图阴影部分中的整数点.作出直线l 0:4x+3y=0并平移,由图像得,当直线经过点M 时,z 取最大值, 由{2x +3y =30,2x +y =22,得{x =9,y =4,即M (9,4).所以z max =80×9+60×4=960(万元).故搭载A 产品9件,B 产品4件,可使得总预计收益最大,为960万元.3.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过50公顷,投入资金不超过54万元,假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表:为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:公顷)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30D.0,50x 公顷,y 公顷,则总利润z=4×0.55x+6×0.3y-1.2x-0.9y=x+0.9y.此时x ,y 满足条件{x +y ≤50,1.2x +0.9y≤54,x ∈N +,y ∈N +,作出可行域如图阴影部分所示,得最优解为A (30,20).故选B .4.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对项目甲的投资不小于对项目乙投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元,对项目甲每投资1万元可获得0.4万元的利润,对项目乙每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在两个项目上共可获得的最大利润为( ) A.36万元 B.31.2万元 C.30.4万元D.24万元x 万元、y 万元,利润为z ,则{x +y =60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,z =0.4x +0.6y.当x=24,y=36时,z max =31.2万元. 5.某加工厂用某原料由甲车间加工出A 产品,由乙车间加工出B 产品.甲车间加工一箱原料需耗费工时10 h,可加工出7 kg A 产品,每千克A 产品获利40元;乙车间加工一箱原料需耗费工时6 h,可加工出4 kg B 产品,每千克B 产品获利50元.甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工,每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480 h,甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为( ) A.甲车间加工原料10箱,乙车间加工原料60箱 B.甲车间加工原料15箱,乙车间加工原料55箱C.甲车间加工原料18箱,乙车间加工原料50箱D.甲车间加工原料40箱,乙车间加工原料30箱x 箱,乙车间加工原料y 箱,由题意可知{x +y ≤70,10x +6y ≤480,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .甲、乙两车间每天总获利为z=280x+200y. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.点M (15,55)为直线x+y=70和直线10x+6y=480的交点,由图像知,在点M (15,55)处z 取得最大值. 6.某企业生产甲、乙两种产品均需用A,B 两种原料,已知生产1 t 每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示.如果生产1 t 甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元,则该企业每天可获得最大利润为( )A.12万元B.16万元C.17万元D.18万元xt,y t,由题意知,x ,y 需满足约束条件{2y ≤12,x +2y ≤8,x ≥0,y ≥0,每天可获得利润z=3x+4y. 由约束条件画出可行域,如图所示,l 0:y=−34x,平移l 0过点C ,使z 取得最大值.由{3x +2y =12,x +2y =8,得C (2,3),故z max =6+12=18(万元).7.某工厂有甲、乙两种产品,按计划每天各生产不少于15 t .已知生产甲产品1 t 需煤9 t,电力4 kW·h,劳动力3个(按工作日计算);生产乙产品1 t 需煤4 t,电力5 kW·h,劳动力10个.甲产品每吨价格是7万元,乙产品每吨价格是12万元.但每天用煤量不得超过300 t,电力不得超过200 kW·h,劳动力只有300个,当每天生产甲产品 t,乙产品 t 时,既能保证完成生产任务,又能使工厂每天的利润最大.x t,乙产品y t,总利润为S 万元,依题意约束条件为{4y ≤300,4x +5y ≤200,3x +10y ≤300,x ≥15,y ≥15.目标函数为S=7x+12y ,作出可行域如图阴影部分所示,当直线S=7x+12y 经过点A 时,直线的纵截距最大,所以S 也取最大值.解方程组{4x +5y -200=0,3x +10y -300=0,得A (20,24),故当x=20,y=24时,S max =7×20+12×24=428(万元).24★8.某厂准备生产甲、乙两种适销产品,每件销售收入分别为3千元、2千元.甲、乙产品都需要在A,B 两种设备上加工,在每台A,B 设备上加工一件甲产品所需工时分别为1h,2 h,加工一件乙产品所需工时分别为2 h,1 h,A,B 两种设备每月有效使用时数分别为400和500.如何安排生产可使月收入最大?x 件,y 件,约束条件是{x +2y ≤400,2x +y ≤500,x ≥0,x ∈N ,y ≥0,y ∈N .目标函数是z=3x+2y ,要求出适当的x ,y ,使z=3x+2y 取得最大值. 作出可行域如图阴影部分中的整数点.将z=3x+2y 变形为y=−32x +z2, 由图可知,当直线过点A 时, 目标函数z 取得最大值, 由{x +2y =400,2x +y =500,得{x =200,y =100.所以z max =3x+2y=3×200+2×100=800(千元), 800千元=80万元.故甲、乙两种产品每月分别生产200件、100件时,可得最大收入80万元.★9.某厂用甲、乙两种原料生产A,B 两种产品,已知生产1 t A 产品、1 t B 产品分别需要的甲、乙原料数,可获得的利润数及该厂现有原料数如下表所示:在现有原料下,A,B 产品应各生产多少才能使利润总额最大?A,B 两种产品分别为x t,y t,其利润总额为z 万元. 根据题意,得约束条件为{2x +5y ≤10,6x +3y ≤18,x ≥0,y ≥0.目标函数z=4x+3y.作出可行域如图阴影部分所示.作直线l 0:4x+3y=0,平移直线l 0经过点P 时,z=4x+3y 取得最大值. 由{2x +5y =10,6x +3y =18,得P (52,1).所以z max =4×52+3×1=13(万元).故生产A 产品2.5 t,B 产品1 t 时,总利润最大为13万元.。

人教B版人教B版高中数学必修五3.5第4课时简单的线性规划习题课

4a－c＝－ 1，
由
得 A(0,1) ．
a－c＝－ 1，
a－ c＝－ 4，
由
得 B(3,7) ．
4a－c＝ 5，
将两组解分别代入 z＝9a－c 中得 z 的两个最值分别为－ 1 和 20. ∴－ 1≤ z≤20，
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(1) 易知可行域内各点均在直线 x＋ 2y－ 4＝0 的上方，故 x＋2y－4>0，将 C(7,9) 代入 z 得最大值为 21. (2) z＝x2＋( y－5) 2 表示可行域内任一点 ( x，y) 到定点 M(0,5) 的
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
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当直线 l 0 平移到过 A(2,0) 点时， 2x＋ 3y 取最小值． (2 x＋3y) min＝2× 2＋ 0＝4. 8．由直线 x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0 和 2x＋y＋1＝0 围成的三角形区域 ( 包括边界 ) 用不等式可表示为 ______．
y≤－ 3| x| ＋1
信达
------------------------------------------------------------------- 奋斗没有终点任何时候都是一个起点
-----------------------------------------------------
3k
3

人教A版高中数学必修五暑期同步练习简单的线性规划问题新

§3.3.2 简单的线性规划问题(1)
1. 目标函数32z x y =-，将其看成直线方程时，z 的意义是（）.
A ．该直线的横截距
B ．该直线的纵截距
C ．该直线的纵截距的一半的相反数
D ．该直线的纵截距的两倍的相反数
2. 已知x 、y 满足约束条件5003x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩
，则
24z x y =+的最小值为（）.
A ． 6
B ．-6
C ．10
D ．-10
3. 在如图所示的可行域内，目标函数z x ay =+取得最小值的最优解有无数个，则a 的一个可能值是（）.
A. -3
B.3
C. -1
D.1
4. 有5辆6吨汽车和4辆5吨汽车，要运送最多的货物，完成这项运输任务的线性目标函数为 .
5. 已知点（3，1）和（-4，6）在直线320x y a -+=的两侧，则a 的取值范围是 .
6. 在ABC ∆中，A （3，-1），B （-1，1），C （1，3），写出ABC ∆区域所表示的二元一次不等式组.
1）
7. 求35
z x y
=+的最大值和最小值，其中x、y满足约束条件
5315
1
53
x y
y x
x y
+≤
⎧
⎪
≤+
⎨
⎪-≤
⎩
.。

人教A版高中数学必修五练习简单的线性规划问题

3.3.2 简单的线性规划问题课后篇巩固提升基础巩固1.已知某线性规划问题中的目标函数为z=3x-y ,若将其看成直线方程,则z 的几何意义是( ) A .该直线的截距 B .该直线的纵截距 C .该直线的纵截距的相反数 D .该直线的横截距z=3x-y ,得y=3x-z ,在该方程中-z 表示直线的纵截距,因此z 表示该直线的纵截距的相反数.2. 目标函数z=x-y 在{2x -y +1≥0,x -2y -1≤0,x +y ≤1的线性约束条件下,取得最大值的可行解为( )A .(0,1)B .(-1,-1)C .(1,0)D .(12,12),当x=0,y=1时,z=-1;当x=-1,y=-1时,z=0;当x=1,y=0时,z=1;当x=12,y=12时,z=0.排除选项A,B,D,故选C .3.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤3,x -y ≥-1,y ≥1,目标函数为z=4x+2y ,则有( )A.z 有最大值无最小值B.z 有最小值无最大值C.z 的最小值是8D.z 的最大值是10z=4x+2y ,得y=-2x+z.作出不等式组对应的平面区域,如图阴影部分所示. 平移直线y=-2x ,当直线y=-2x+z经过点B (0,1)时,直线y=-2x+z在y 轴上的截距最小,此时z 最小,且z min =2.当直线y=-2x+z2经过点C (2,1)时,直线y=-2x+z 2在y 轴上的截距最大,此时z 最大,且z max =4×2+2×1=10.故选D .4.若直线y=2x 上存在点(x ,y )满足约束条件{x +y -3≤0,x -2y -3≤0,x ≥m ,则实数m 的最大值为( )A.-1B.1C.32D.2,由{y =2x ,x +y -3=0得交点P (1,2).当直线x=m 经过点P 时,m 取到最大值1.5.已知实数x ,y 满足约束条件{x -y +4≥0,x +y ≥0,x ≤3,则z=2x+y 的最小值为 .z=2x+y ,所以y=-2x+z.不等式组满足的平面区域如图阴影部分所示.平移直线2x+y=0,由图形可求得z=2x+y 的最小值是-2.26.已知变量x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=x+y-2的最大值为 .作出可行域,如图阴影部分所示.由图知,目标函数z=x+y-2在点A 处取得最大值. 易知A (1,2),故z max =1+2-2=1.7.铁矿石A 和B 的含铁率a 、冶炼每万吨铁矿石的CO 2的排放量b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表:某冶炼厂至少要生产1.9万吨的铁,若要求CO 2的排放量不超过2万吨,则购买铁矿石的最少费用为百万元.A x 万吨,铁矿石B y 万吨,购买费用为z ,则根据题意得到的约束条件为{x ≥0,y ≥0,0.5x +0.7y ≥1.9,x +0.5y ≤2,目标函数为z=3x+6y.画出约束条件表示的可行域,如图阴影部分所示.当直线3x+6y=z 经过点(1,2)时,z 取最小值,且z 最小值=3×1+6×2=15.8. 已知S 为平面上以A (3,-1),B (-1,1),C (1,3)为顶点的三角形区域(含三角形内部及边界).若点(x ,y )在区域S 上移动. (1)求z=3x-2y 的最值;(2)求z=y-x 的最大值,并指出其最优解.z=3x-2y 可化为y=32x-z 2=32x+b ,故求z 的最大值、最小值,相当于求直线y=32x+b 在y 轴上的截距b 的最小值、最大值,即b 取最大值,z 取最小值;反之亦然.①如图①,平移直线y=32x ,当y=32x+b 经过点B 时,b max =52,此时z min =-2b=-5;当y=32x+b 经过点A 时,b min =-112,此时z max =-2b=11.故z=3x-2y 的最大值为11,最小值为-5.(2)z=y-x 可化为y=x+z ,故求z 的最大值,相当于求直线y=x+z 在y 轴上的截距z 的最大值.如图②,平行移动直线y=x ,当直线y=x+z 与直线BC 重合时,z max =2,此时线段BC 上任一点的坐标都是最优解.②9.甜柚和脐橙是赣州地区的两大水果特产,一农民有山地20亩,根据往年经验,若种脐橙,则每年每亩平均产量为1 000千克;若种甜柚,则每年每亩平均产量为1 500千克.已知脐橙成本每年每亩4 000元,甜柚成本较高,每年每亩12 000元,且脐橙每千克卖6元,甜柚每千克卖10元.现该农民有120 000元,那么两种水果的种植面积分别为多少,才能获得最大收益?x 亩脐橙,y 亩甜柚时,能获得利润z 元.则z=(1 000×6-4 000)x+(1 500×10-12 000)y=2 000x+3 000y ,其中x ,y 满足条件{x +y ≤20,4 000x +12 000y ≤120 000,x ≥0,y ≥0,即{x +y ≤20,x +3y ≤30,x ≥0,y ≥0,作出可行域,如图中阴影部分所示.当直线y=-23x+z3 000经过点A (15,5),即种15亩脐橙,5亩甜柚时,每年收益最大,为45 000元. 能力提升1.若变量x ,y 满足约束条件{x +y ≤8,2y -x ≤4,x ≥0,y ≥0,且z=5y-x 的最大值为a ,最小值为b ,则a-b 的值是( )A.48B.30C.24D.16,如图阴影部分所示.由图可知,当直线y=x 5+z5经过点A 时,z 有最大值;经过点B 时,z 有最小值.联立方程组{x +y =8,2y -x =4,解得{x =4,y =4,即A (4,4).对x+y=8,令y=0,则x=8,即B (8,0), 所以a=5×4-4=16,b=5×0-8=-8, 则a-b=16-(-8)=24,故选C .2.已知正数x ,y 满足{2x -y ≤0,x -3y +5≥0,则z=22x+y 的最大值为( )A .8B .16C .32D .64t=2x+y ,可求得当直线t=2x+y 经过2x-y=0与x-3y+5=0的交点(1,2)时,t 取最大值4,故z=22x+y的最大值为16.3.已知x ,y 满足约束条件{x +y ≥0,x -y +1≤0,x +2y -2≤0,若z=x-3y+m 的最小值为4,则m=( )A .6B .8C .10D .12,如图中的阴影部分所示.由z=x-3y+m ,得y=13x-z 3+m 3,则由图可知z=x-3y+m 在点A (-2,2)处取得最小值,则有z=-2-3×2+m=4,所以m=12,故选D .4.已知变量x ,y 满足约束条件{y ≤2,x +y ≥1,x -y ≤1,则z=3|x|+y 的取值范围为( )A.[-1,5]B.[1,11]C.[5,11]D.[-7,11],由可行域可知,当x≥0时,z=3x+y的取值范围是[1,11];当x<0时,z=-3x+y的取值范围是(1,5].综上,z=3|x|+y的取值范围为[1,11].5.若变量x,y满足约束条件{2x-y≥0, x+2y≥0, 3x+y-5≤0,则z=x+y2的取值范围为.(△OAB及其内部),其中O(0,0),A(1,2),B(2,-1),因此当直线z=x+y2经过点A时,z取得最大值,即z max=1+22=2;当直线z=x+y2经过点O时,z取得最小值,即z min=0.所以z=x+y2的取值范围为[0,2].6.某公司生产甲、乙两种桶装产品,已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、B原料2千克;生产乙产品1桶需耗A原料2千克、B原料1千克.每桶甲产品的利润是300元,每桶乙产品的利润是400元.公司在生产这两种产品的计划中,要求每天消耗A,B原料都不超过12千克.通过合理安排生产计划,从每天生产的甲、乙两种产品中,公司共可获得的最大利润是元.x桶,乙产品y桶,每天利润为z元,则{x+2y≤12,2x+y≤12,x≥0,y≥0,z=300x+400y.作出可行域,如图中的阴影部分所示.作直线300x+400y=0,向右上平移,当直线经过点A时,z=300x+400y取最大值.由{x+2y=12,2x+y=12得{x=4,y=4,所以A(4,4),故z max=300×4+400×4=2 800.7.已知z=2y-2x+4,其中x ,y 满足条件{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1,求z 的最大值和最小值.{0≤x ≤1,0≤y ≤2,2y -x ≥1表示的平面区域,如图中的阴影部分所示.令2y-2x=t ,则当直线2y-2x=t 经过点A (0,2)时,z max =2×2-2×0+4=8;当直线2y-2x=t 经过点B (1,1)时,z min =2×1-2×1+4=4. 故z 的最大值为8,最小值为4.8.某公司有60万元资金,计划投资甲、乙两个项目,按要求对甲项目的投资不小于对乙项目投资的23,且对每个项目的投资不能低于5万元.对甲项目每投资1万元可获得0.4万元的利润,对乙项目每投资1万元可获得0.6万元的利润,该公司正确规划投资后,在这两个项目上一共可获得的最大利润是多少?x 万元,投资乙项目y 万元,可获得利润为z 万元,则{x +y ≤60,x ≥23y ,x ≥5,y ≥5,目标函数为z=0.4x+0.6y. 作出满足题意的可行域如图阴影部分所示. 由z=0.4x+0.6y ,得y=-23x+53z.由{3x -2y =0,x +y =60,得A (24,36).由图知,当直线y=-23x+53z 经过点A 时,53z 取得最大值,即z 取得最大值. 故z max =0.4×24+0.6×36=31.2(万元), 即一共可获得的最大利润为31.2万元.。

人教版高中数学必修五课后提升作业二十二3321简单的线性规划问题含解析.doc

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课后提升作业二十二简单的线性规划问题(45分钟70分)一、选择题(每小题5分，共40分)(2》:—y + 1 色 0,1. z=x-y 在X - J - 1 < E 的线性约束条件下,取得最大值的可行解+ y < 1为()A. (0, 1)B. (-1,-1)C.(l,o)D. Q, i)【解析】选C.可以验证这四个点均是可行解，当 x 二0, y=1 时，z 二T ; 当 x=-1, y=-1 时，z 二0; 当 xh, y 二0 时，z=1;1 1 当 x 电,y 二?时，z 二0.(x + 2y 玉乙2. (2015 •广东高考)若变量x,y 满足约束条件｛x + y > 0,贝0 z=2x+3y(x 0 4,的最大值为()【解题指南】先根据不等式组画出可行域，再作直线/°:2x+3y 二0,平移直线/o,找到z取最大值时与可行域的交点，进而求出Z的最大值.【解析】选C•作出可行域如图所示：作直线/o：2x+3y二0,再作一族平行于/o的直线/:2x+3y二Z,当直线/经过点A时，z二2x+3y取得最大值，由卜+乡=2’解得$=蔦U = 4, (y = 7所以点A的坐标为(4,-1),所以Zmax二2 X 4+3 X (-1)二5・(X + 2y > 63.(2015 •福建高考)若变量x,y满足约束条件U-y < 03则U 一2y + 2 > 0,z=2x-y的最小值等于()A. B. -2 C. —- D. 22 2【解题指南】画出可行域，根据目标函数确定出在y轴上截距最大时，z取最小值.【解析】选A.画出可行域如图所示，当目标函数对应直线平移至B点时截距最大，所以fl 严(-功把点B坐标代入目标函数可得z mi=2X (-1)-1=-2.(x + y < 乙4.若变量x, y满足2〉：一3y <虬则x2+y2的最大值是()(x 仝0,A. 4B. 9C. 10D. 12［解题指南】利用线性规划知识，画出可行域，找出关键点，数形结合, 求出到原点的距离的最大值，便可求解.【解析】选C.根据限制条件，可画出其可行域，数形结合，通过观察发现直线x+y二2与2x-3y=9的交点(3, -1)到原点的距离最大，所以x2+y2 的最大值为32+(-1)2=10,(2x — y 十4 3 0>5.(2016 •银川高二检测)已知不等式组x + y -3 < 0,构成平面区“ > 0域Q (其中x,y是变量)•若目标函数z=ax4-6y (a>0)的最小值为-6,则实数a 的值为()A.-B. 6C. 3D.-2 22x— y + 4 > 0 ,【解析】选C.不等式组jx + y-3 < 0?表示的平面区域如图阴影部M A °分所示,因为a>0,故-沃0•可知z 二ax+6y 在C 点处取得最小值，联立6阳厂4"解得即 C (-2, 0),故-6二-2a+6 X 0,解得 a 二3.示,去表示可行域内的点(“)与点P(-3,-4)连线的斜率，结合图形可知点P(-3,-4)与可行域内的点A(0, 1)连线的斜率最大，故1+4 57 — ------- 二—7. (2016 •潍坊高二检测)已知正数x,y 满足£二/：?,0则x= 一2 y = o.6.设变量x, y 满足fy 已一x+ 1,则 Z 二器的最大值为()A.-3【解析】选A.画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所 B.-C. 2D. 1z=r • (I)-的最小值为()A. 1B.-^T4则（2x+y ） max —2 X 1 +2—4.从而•（》匚2如=（扌广灯有最小值（扌丫二吕.x + 3y - 3 > 0,8. （ 2016 •长沙高二检测）若实数x, y 满足不等式组2x -y-3 < 0, nX — my+ 1 > Q #且x+y 的最大值为9,则实数m 二（）A. -2B.-1C. 1D. 2【解析】选C ・如图，作出可行域,(2x_y_3=6 田&一 my + 1 = 0,平移y 二-x,当其经过点A 时，x+y 取得最大值, 即±^+_^_二9.解得 m =i.-n-2m二、填空题（每小题5分，共10分）(y <1,9. (2016 •广州高二检测)若变量x,y 满足约束条件jx + y > 0, 则(x - y - 2 < Q,所表示的平面区域:z二x-2y的最大值为________ ・［解析】作出可行域(如图)，由z二x-2y得y4x-|,2则当目标函数过C⑴T)时Z取得最大值，所以Z4-2 X (-1)二3.答案：3(2x ■ y + 1 > Oj10.设x, y满足约束条件农-2y - 1 < 0」则Z二2x+3y-5的最小值为(X < 1,【解析】不等式组所表示的可行域如图，z=2x+3y-5可转化为y二-?x+手当该直线的截距兰最小时z最小.y二-?x+兰的截距在直线3 3. 3 3 32x-y+l=0和直线x-2y-l=0的交点处取到最小值，联立£二；1；二聘可得交点坐标为(-1,-1),所以z的最小值为z二2X(-D+3X (―1)—5二T0.答案:TO【误区警示】画出正确的可行域及确定什么时候取到最小值是关键, 同时注意目标函数的转化.三、解答题(每小题10分，共20分)(X ■ y + 5 3 Q11.(2016 •长春高二检测)已知x,y满足约束条件jx + y - 5 > U,求: \X S 3 (l)zj=2x+4y的最大值和最小值.⑵z尸丄的最大值和最小值.x+1(X — y + 5 3 0【解析】(1)约束条件jx + y - 5 > U,表示的平面区域为AABC及内部(X S3如图，可得A(0, 5),B(3,8),C(3,2), 因为Zi二2x+4y,所以y-~x+^z b则乙表示直线y二-；x+：Zi在y轴上的截距的4倍，显然2 4 A 4当直线过点C时最小，过点B时最大，所以z1ma=38, z1mi=14.⑵Z2二丄厂上产则Z2表示点(x, y)与点(-1,0)连线的斜率，显然点x+1 x-(-l)(X, y)在点C时取得最小值，在点A时取得最大值且Z2max二5, Z2min二1y > -X,表示的平面区域的面积是4,点P(x, y)在所 X< £ 给平而区域内，求Z 二2x+y 的最大值.【解析】画出不等式组表示的平面区域，如图所示，易知dA (a, a), B(a, -a) (a>0),因为 S A()AB =7 |Za| • |a|=a 2=4,所以 a=2,由线性规划的知识可得，当直线经过点A ⑵2)时，z 有最大值，且z max =2 X2+2=6.【能力挑战题】pc + y — 7 玉 a*已知圆C: (x-a)?+ (y-b) ~1,设平面区域Q Ux - y + 3 > *若圆心CG \y 壬 o, Q ,且圆C 与x 轴相切，求a 2+b 2的最大值.【解题指南】画出可行域，发现最优解. 【解析】由圆C 与x 轴相切可知，bh. 又圆心C (a, b)在平面区域Q (如图)内，rx-y+3 = a -2,由—,解陀=1・12.已知不等式组x+ y- 7 = Q,故a W [-2, 6]・所以当a二6,bh时,a2+b2取最大值为37.关闭Word文档返回原板块。

高中数学人教B版必修5 3.5 素材《3.5.2简单线性规划》跟踪练习及解析(人教B)

【跟踪训练】：1、某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有( A.5种 B.6种 C.7种 D.8种解析设购买软件x片，磁盘y盒. 60x＋70y≤500 则x≥3，x∈N＋，画出线性约束条件表示的平面区域， y≥2，y∈N＋ )
则 z＝10x＋10y 的最大值是(
)
A.80
B.85
C.90
D.95
解析答案
1 2 3
解析
该不等式组表示的平面区域为如图所示的阴影部分.由于 x， y∈N*， x＝5，y＝4 时，z 取得最大值
11 9 计算区域内与 2 ，2 最近的点为(5,4)，故当
为 90.
答案
C
3、
如图所示.
落在阴影部分 (含边界)区域的整点有 (3,2)，(3,3)，(3,4)，
(4,2)，(4,3)，(5,2)，(6,2)名，女职员 y 名， x 和 y 需满足约束条件
5x－11y≥－22， 2x＋3y≥9， 2x≤11， * * x∈N ，y∈N ，

人教版高中数学必修五优化练习：第三章3.3.2简单的线性规划问题

[ 课时作业 ][A组基础稳固 ]1．在△ ABC 中，三极点分别为A(2,4)， B(－ 1,2)， C(1,0)，点 P(x， y)在△ABC 内部及其边界上运动，则 m＝y－ x 的取值范围为 ()A ． [1,3]B ． [－3,1]C． [－ 1,3] D ．[－3，－ 1]分析：直线 m＝ y－ x 的斜率 k ＝ 1≥k ＝2，且 k ＝ 1＜kAC＝ 4，∴直线经过点C(1,0)时 m 最1AB31小，为－ 1，经过点 B(－1,2)时 m 最大，为 3.答案：Cx＋ y≥12．若变量 x、 y 知足拘束条件y－ x≤1，则 z＝ 2x－ y 的最小值为 ()x≤1A．－ 1 B ． 0C． 1 D ．2分析：由拘束条件作出可行域如下图，由图可知，目标函数在点 A 处获得最小值．联立x＋ y＝ 1 y－ x＝ 1，解得x＝ 0y＝ 1，∴ A(0,1)，因此z＝ 2x－ y 在点 A 处获得最小值为2×0－ 1＝－ 1.答案： Ax－y＋ 5≥0，3．已知 x，y 知足 x≤3，且 z＝ 2x＋ 4y 的最小值为－ 6，则常数 k＝ ()x＋y＋ k≥ 0.A ． 2B ． 9C．3 10 D ．0分析：由题意知，当直线z＝ 2x＋ 4y 经过直线 x＝ 3 与 x＋ y＋ k＝0 的交点 (3，－ 3－ k)时， z 最小，因此－ 6＝ 2×3＋ 4×(－ 3－ k)，解得 k＝ 0.答案： Dx－ 2y＋ 4≤0，4．已知变量 x， y 知足 x≥2，则 x2＋ y2的取值范围是 ()x＋ y－ 8≤0，A ． [13,40]B ． [13,40)C． (13,40) D ．(13,40]分析：作出可行域如图暗影部分所示．x2＋ y2能够当作点 (0,0)与点 (x，y)距离的平方，联合图形可知，点 (0,0)与可行域内的点 A(2,3) 连线的距离最小，即 x2＋y2最小，最小值为 13；点 (0,0) 与可行域内的点 B(2,6)连线的距离最大，即 x2＋ y2最大，最大值为40.因此 x2＋ y2的取值范围为[13,40] ．答案：A5．已知 ?ABCD 的三个极点为A(－ 1,2)， B(3,4) ，C(4，－ 2)，点 (x， y)在 ?ABCD 的内部，则z＝2x－ 5y 的取值范围是()A ． (－ 14,16)B ． (－14,20)C． (－ 12,18) D ．(－12,20)分析：如图，由 ?ABCD 的三个极点A(－ 1,2)， B(3,4)，C(4，－ 2)可知 D 点坐标为 (0，－ 4)，由 z＝ 2x－ 5y 知2z，y＝5x－52z∴当直线y＝5x－5过点 B(3,4)时，z min＝－ 14.2z当直线 y＝5x－5过点 D (0，－ 4)时， z max＝ 20.∵点 (x， y)在 ?ABCD 的内部不包含界限，∴z的取值范围为 (－ 14,20)．答案：B6．某公司生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用 A 原料 3 吨、 B 原料 2 吨；生产每吨乙产品要用 A 原料 1 吨、B 原料 3 吨．销售每吨甲产品可获取收益 5 万元、每吨乙产品可获取收益 3 万元，该公司在一个生产周期内耗费 A 原料不超出13 吨、 B 原料不超出18吨，那么该公司可获取的最大收益是________万元．分析：设生产甲产品x 吨、乙产品y 吨，则获取的收益为z＝ 5x＋3y.由题意得x≥0，y≥0，3x＋ y≤13，2x＋ 3y≤18，可行域如图暗影所示．由图可知当x、 y 在 A 点取值时， z 获得最大值，此时 x＝ 3，y＝ 4， z＝ 5×3＋ 3×4＝ 27(万元 )．答案：27x＋ y－2≤07．若 x， y 知足拘束条件x－ 2y＋1≤0，则 z＝ 3x＋ y 的最大值为 ________．2x－ y＋2≥0分析：作出可行域如图中暗影部分所示，作出直线l 0： 3x＋y＝ 0，平移直线l0，当直线l ： z＝ 3x＋ y 过点A 时， z 取最大值，由x＋ y－ 2＝0解得 A(1,1)，∴ z＝3x＋ y 的最大值为 4.x－ 2y＋1＝ 0答案： 4x≥1，8．已知 x，y 知足拘束条件x－ y＋1≤0，则 x2＋y2的最小值是 ________．2x－ y－ 2≤0，分析：画出知足条件的可行域如图中暗影部分所示，依据x2＋ y2表示可行域内一点到原点的距离，可知x2＋ y2的最小值是 |AO|2. 由x＝ 1，得 A(1,2)，因此 |AO |2＝ 5.x－ y＋ 1＝ 0，答案：5y≤2x9．已知实数x， y 知足y≥－ 2x.x≤3(1)求不等式组表示的平面地区的面积；(2)若目标函数为 z＝x－ 2y，求 z 的最小值．分析：画出知足不等式组的可行域如下图：(1)易求点 A、 B 的坐标为：A(3,6)， B(3，－ 6)，因此三角形OAB 的面积为：1S△OAB＝2×12×3＝ 18.1 1(2)目标函数化为： y＝2x－2z，作图知直线过 A 时 z 最小，可得 A(3,6)，∴z min＝－ 9.10．某工厂制造 A 种仪器 45 台， B 种仪器 55 台，现需用薄钢板给每台仪器配一个外壳．已知钢板有甲、乙两种规格：甲种钢板每张面积 2 m2，每张可作 A 种仪器外壳 3 个和 B 种仪器外壳 5 个，乙种钢板每张面积 3 m2，每张可作 A 种仪器外壳 6 个和B 种仪器外壳 6 个，问甲、乙两种钢板各用多少张才能用料最省？( “用料最省”是指所用钢板的总面积最小)分析：设用甲种钢板x 张，乙种钢板y 张，x， y∈N *依题意3x＋ 6y≥45，5x＋ 6y≥55钢板总面积z＝ 2x＋ 3y.作出可行域如下图．由图可知当直线z＝ 2x＋3y 过点 P 时，最小．3x＋ 6y＝ 45，x＝ 5由方程组得.5x＋ 6y＝ 55，y＝ 5因此，甲、乙两种钢板各用 5 张．[B 组能力提高]x2＋ y2－ 2x－ 2y＋ 1≥0，→→1．设 O 为坐标原点，A(1,1)，若点B(x， y)知足1≤x≤2，则OA·OB获得最1≤y≤2，小值时，点 B 的个数是 ()A ． 1B ． 2C． 3 D ．无数个分析：如图，暗影部分为点B(x， y)所在的地区．→ →∵OA·OB＝ x＋y，令 z＝ x＋ y，则 y＝－ x＋ z.由图可知，当点 B 在 C 点或 D 点时， z 取最小值，故点 B 的个数为 2.答案： B2．已知 a， b 是正数，且知足2<a＋ 2b<4.那么 a2＋ b2的取值范围是 ()416B ． (4，16)A．( ，5)55 C． (1,16)16， 4) D．( 52<a＋ 2b分析：原不等式组等价为，做出不等式组对应的平面地区如图暗影部分，a＋ 2b<4a2＋ b2表示地区内的动点P(a， b)到原点距离的平方，由图象可知当P 在 D 点时， a2＋ b2最大，此时 a2＋b2＝ 42＝ 16，原点到直线 a＋ 2b－ 2＝ 0 的距离最小，即d＝ |－ 2|2＝2，因此1＋25 222422422a＋ b＝d ＝，即 a＋ b的取值范围是 <a ＋ b <16，选 B.55答案： B3．已知实数x， y 知足不等式组x－ y＋ 2≥0，x＋ y－ 4≥0，目标函数z＝ y－ ax(a∈ R)．若取最大值时的独一最优解是(1,3)，则实数a 2x－ y－ 5≤0，的取值范围是 ________．分析：如下图，依题意直线x＋ y－ 4＝0 与x－ y＋2＝ 0 交于A(1,3)，此时取最大值，故a＞1.答案： (1，＋∞)x＋ 4y≥4，4．给定地区 D ： x＋ y≤4，令点集 T＝ {( x0， y0 )∈D |x0， y0∈ Z ，(x0， y0)是 z＝ x＋ y 在 D x≥0，上获得最大值或最小值的点} ，则 T 中的点共确立 ________条不一样的直线．分析：画出平面地区 D ，如图中暗影部分所示．作出 z ＝ x ＋ y 的基本直线l 0： x ＋ y ＝ 0.经平移可知目标函数z ＝ x ＋ y 在点A(0,1) 处获得最小值，在线段BC处获得最大值．而会合T 表示z ＝ x ＋y 获得最大值或最小值时的整点坐标，在取最大值时线段 BC 上共有5 个整点，分别为 (0,4)， (1,3)， (2,2) ， (3,1)， (4,0)，故 T 中的点共确立 6 条不一样的直线．答案：6x － y ＋ 2≥0，5．已知 x ＋ y － 4≥0，求：2x － y － 5≤0，(1) z ＝ x 2＋ y 2－ 10y ＋25 的最小值；y ＋ 1(2) z ＝的范围．分析：作出可行域如图，并求出极点的坐标 A(1,3)、 B(3,1)、 C(7,9)．(1) z ＝ x 2＋ (y － 5)2 表示可行域内任一点 (x ， y)到定点 M(0,5)的距离的平方，过 M 作直线 AC的垂线，易知垂足N 在线段 AC 上，故 z 的最小值是 |MN|2＝ 9.2(2) z ＝y －－表示可行域内任一点 ( x ， y)与定点 Q(－1，－ 1)连线的斜率，由于k QA ＝ 2，x －－1k QB ＝，故 z 的范围为 12， 2 .6．已知－ 1＜ x ＋ y ＜ 3，且 2＜ x －y ＜ 4，求 2x ＋ 3y 的范围．分析：在直角坐标系中作出直线x＋ y＝ 3， x＋ y＝－ 1， x－ y＝ 4，x－ y＝ 2，则不等式组－1＜ x＋y＜ 3表示的平面地区是矩形ABCD 地区内的部分．2＜ x－ y＜4设 2x＋ 3y＝ z，变形为平行直线系l ：2zy＝－3x＋3.由图可知，当 l 趋近于 A、C 两点时，截距z趋近于最大值与最小值，即z 趋近于最大值与最3小值．x－ y＝ 2，51由求得点 A( ， )．x＋ y＝ 3，22因此 z＜5113 2×＋3×＝2.22x－ y＝ 4，35由求得点 C(，－)．x＋ y＝－ 1，22因此 z＞35)＝－9. 2×＋3×(－2 22因此－9＜ 2x＋ 3y＜13 2 2.。

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1. “平面区域”型考题
1．不等式组31yyxxy，表示的区域为D，点P1（0，-2），P2（0，0），则（）

A．DPDP21且B．DPDP21且C．DPDP21且D．DPDP21且
2．已知点P（x0，y0）和点A（1，2）在直线0823:yxl的异侧，则（）
A．02300yx B．0023yx0 C．
82300yx
D．82300yx
3．已知点P（1，-2）及其关于原点的对称点均在不等式012byx表示的平面区域内，则b的取值范围是． 2. “平面区域的面积”型考题 1.设平面点集221(,)()()0,(,)(1)(1)1AxyyxyBxyxyx，则AB所表示的平面图形的面积为 A 34 B 35 C 47 D 2 2.在平面直角坐标系xOy，已知平面区域{(,)|1,Axyxy且0,0}xy，则平面区域{(,)|(,)}BxyxyxyA的面积为（）A．2 B．1 C．12 D．14 3、若A为不等式组002xyyx表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动直线xya扫过A中的那部分区域的面积为 . 4、若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是（A）73 （B） 37 （C）43 （D） 34高 5、若0,0ba，且当1,0,0yxyx时，恒有1byax，则以a,b为坐标点(,)Pab所形成的平面区域的面积等于__________. 3. “求约束条件中的参数”型考题 1.在平面直角坐标系中，若不等式组101010xyxaxy（为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为 A. －5 B. 1 C. 2 D. 3 2、若直线xy2上存在点),(yx满足约束条件mxyxyx03203，则实数m的最大值为（）

A．21 B．1 C．23 D．2
3、设二元一次不等式组2190802140xyxyxy，，≥≥≤所表示的平面区域为M，使函数
(01)xyaaa，
的图象过区域M的a的取值范围是（）A．[1，3] B．[2，10] C．[2，9] D．[10，9]
4.设m为实数，若{250(,)300xyxyxmxy}22{(,)|25}xyxy，则m的取值范围是
___________.
4. “截距”型考题

1. ,xy满足约束条件241yxyxy，则3zxy的最大值为( ) ()A12()B11
()C()D


2.设变量,xy满足-100+20015xyxyy，则2+3xy的最大值为A．20 B．35 C．45 D．55
3.若,xy满足约束条件1030330xyxyxy，则3zxy的最小值为。
4.设函数ln,0()21,0xxfxxx，D是由x轴和曲线()yfx及该曲线在点(1,0)处的切线
所围成的封闭区域，则2zxy在D上的最大值为．
5 . “距离”型考题

1. 设不等式组x1x-2y+30yx所表示的平面区域是1,平面区域是2与1关于直线

3490xy
对称,对于1中的任意一点A与2中的任意一点B, ||AB的最小值等于()A.285

C. 125

2.设不等式组20,20yx，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的
距离大于2的概率是A 4 B 22 C 6 D 44
3、如果点P在平面区域01202022yyxyx上,点O在曲线的那么上||,1)2(22PQyx最
小值为
(A)23 (B)154 (C)122 (D)
12
6. “斜率”型考题
1.足10,0xyx则yx的取值范围是（）A.(0,1) B.0,1 C.(1,+) D.1,

2.已知正数abc，，满足：4ln53lnbcaacccacb≤≤≥，，则ba的取值范围是．
7. “求目标函数中的参数”型考题

1.若x，y满足约束条件1122xyxyxy，目标函数2zaxy仅在点（1，0）处取得最小值，则
a
的取值范围是（）A．（1，2） B．（4，2） C．(4,0] D． (2,4)
2.设m>1，在约束条件下，1yxmxyxy目标函数z=x+my的最大值小于2，则m的取值范围为
A．)21,1( B．),21( C．（1，3） D．),3(
6、已知x、y满足以下约束条件5503xyxyx ，使z=x+ay(a>0)取得最小值
的最优解有无数个，则a的值为（） A、－3 B、3 C、－1 D、
1
8. “平面区域内的整点”型问题
1、满足|x|＋|y|≤2的点（x，y）中整点（横纵坐标都是整数）有（）
A、9个 B、10个 C、13个 D、14个

2、某公司招收男职员x名，女职员y名，x和y须满足约束条件.112,932,22115xyxyx则
1010zxy

的最大值是(A)80 (B) 85 (C) 90 (D)95
9、线性规划的综合题

1、设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤≤9，则的最大值是 _________ ．

2、设x，y满足约束条件0,002063yxyxyx ，若目标函数(0,0)zaxbyab 的值是最大值
为12，则23ab的最小值为（） A. 625 B. 38 C. 311 D. 4
3.设,xy满足约束条件2208400 , 0xyxyxy，若目标函数0,0zabxyab 的最大值为

8，则ab的最小值为________.
4、已知O为直角坐标系原点，P，Q的坐标均满足不等式组4325022010xyxyx，则
cosPOQ
的最小值为A．12 B．22 C．32 D．1

5、定义在R上的函数()fx是减函数，且对任
意的aR，都有()()0fafa。若,xy满足不等式22(2)(2)0fxxfyy，则当
14x
时，2xy的最大值为是 _________ ．
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