1.1正弦定理和余弦定理第一课时精品教案
正弦定理与余弦定理 教案
正弦定理与余弦定理 教案教学目标 正弦定理与余弦定理重点难点理解定理证明过程，能够灵活运用【命题规律】1.考查本节内容时多数与其他三角函数知识相结合，题目多为容易题，主要考查正余弦定理、三角形面积公式及利用三角公式进行恒等变形的技能、运算，以化简、求值或判断三角形的形状为主；2.从能力要求上看，主要考查有关定理的应用、三角恒等变换的能力、运算能力及转化思想的应用能力；3. 在未来的高考中会以正弦定理、余弦定理为框架，以三角形为主要依据，来综合考查三角知识，同时我们也要关注应用两定理解决实际问题.【要点回顾】1、内角和定理：在ABC ∆中，A B C ++= ；sin()A B += ；cos()A B += cos2A B +=2．正弦定理：形式一： (解三角形的重要工具)形式二：(边角转化的重要工具)4.余弦定理：形式一： ； ； (解三角形的重要工具)形式二：cos A = ； cos B = ； cos C = 注：①C B A c b a sin :sin :sin ::=；②CB A c b a Cc Bb Aa sin sin sin sin sin sin ++++===。
Ⅱ。
几个公式:⑴三角形面积公式：))(21(,))()((sin 2121c b a p c p b p a p p C ab ah S ABC ++=---===∆；⑵内切圆半径r=cb a S ABC ++∆2；外接圆直径2R=;sin sin sin Cc Bb Aa ==⑶在使用正弦定理时判断一解或二解的方法：⊿ABC 中，sin sin A B A B >⇔> Ⅲ．已知A b a ,,时三角形解的个数的判定： 其中h=bsinA, ⑴A 为锐角时：①a<h 时，无解；②a=h 时，一解（直角）；③h<a<b 时，两解（一锐角，一钝角）；④a ≥ b 时，一解（一锐角）。
⑵A 为直角或钝角时：①a ≤ b 时，无解；②a>b 时，一解（锐角）。
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版
高中数学§1正弦定理余弦定理教案北师大版教案主题：高中数学§1正弦定理、余弦定理教案教学目标：1.理解正弦定理和余弦定理的定义和原理；2.掌握正弦定理和余弦定理的计算方法，并能够应用于相关题目。
教学重点：1.正弦定理的推导和应用；2.余弦定理的推导和应用。
教学难点：1.正弦定理和余弦定理的灵活应用。
教学准备：1.教材：北师大版高中数学教材；2.教具：教学投影仪、复印件。
教学过程：一、导入（10分钟）1.教师通过提问或展示一些实际问题引起学生对三角形定理的兴趣，如“当我们观测星星时，我们如何测量两个不可达的距离？”2.学生提出的问题或思考可以引导教师进一步引入正弦定理和余弦定理。
二、正弦定理（30分钟）1.教师先介绍正弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示正弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
三、余弦定理（30分钟）1.教师先介绍余弦定理的定义和原理，并通过示意图进行解释。
2.教师通过具体例题演示余弦定理的应用，引导学生掌握计算步骤。
3.学生进行小组讨论，解决一些相关的练习题，教师逐一点评。
四、综合应用（30分钟）1.教师设计一些综合性的问题，引导学生运用所学的正弦定理和余弦定理进行综合应用。
2.学生进行小组讨论，解决一些相关的综合应用题，教师逐一点评。
五、归纳总结（10分钟）1.教师引导学生总结正弦定理和余弦定理的计算方法和应用场景。
2.学生进行笔记整理，进行知识点的归纳总结。
六、作业布置（5分钟）1.教师布置相关的练习题，巩固所学的知识点。
2.学生预习下一节内容，做好相关的准备。
教学反思：通过本节课的教学，学生对正弦定理和余弦定理的定义和原理都有了基本的了解。
教师通过具体例题和综合应用题的演示，使学生掌握了计算方法和灵活应用的技巧。
在今后的教学中，需要加强学生的实际应用能力，让学生能够将所学的理论知识应用于实际问题的解决中。
高中数学 1.1.1 正弦定理 教案
高中数学 1.1.1 正弦定理教案教学分析本节内容是正弦定理教学的第一节课，其主要任务是引入并证明正弦定理．做好正弦定理的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力，以及提出问题、解决问题等研究性学习的能力．在初中学习过关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，本节内容是处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系有着密切的联系；这里的一个重要问题是：是否能得到这个边、角关系准确量化的表示．也就是如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题．这样，用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．在学法上主要指导学生掌握“观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力．本节课以及后面的解三角形中涉及到计算器的使用与近似计算，这是一种基本运算能力，学生基本上已经掌握了．若在解题中出现了错误，则应及时纠正，若没出现问题就顺其自然，不必花费过多的时间．本节可结合课件“正弦定理猜想与验证”学习正弦定理．三维目标1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法，会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题．2．通过正弦定理的探究学习，培养学生探索数学规律的思维能力，培养学生用数学的方法去解决实际问题的能力．通过学生的积极参与和亲身实践，并成功解决实际问题，激发学生对数学学习的热情，培养学生独立思考和勇于探索的创新精神．重点难点教学重点：正弦定理的证明及其基本运用．教学难点：正弦定理的探索和证明；已知两边和其中一边的对角解三角形时，判断解的个数．课时安排1课时教学过程导入新课思路 1.(特例引入)教师可先通过直角三角形的特殊性质引导学生推出正弦定理形式，如Rt△ABC中的边角关系，若∠C为直角，则有a＝csinA，b＝csinB，这两个等式间存在关系吗？学生可以得到asinA＝bsinB，进一步提问，等式能否与边c和∠C建立联系？从而展开正弦定理的探究．思路 2.(情境导入)如图，某农场为了及时发现火情，在林场中设立了两个观测点A和B，某日两个观测点的林场人员分别测到C处有火情发生．在A处测到火情在北偏西40°方向，而在B处测到火情在北偏西60°方向，已知B在A 的正东方向10千米处．现在要确定火场C距A、B多远？将此问题转化为数学问题，即“在△ABC中，已知∠CAB＝130°，∠CBA＝30°，AB＝10千米，求AC 与BC的长．”这就是一个解三角形的问题．为此我们需要学习一些解三角形的必要知识，今天要探究的是解三角形的第一个重要定理——正弦定理，由此展开新课的探究学习．推进新课新知探究提出问题1阅读本章引言，明确本章将学习哪些内容及本章将要解决哪些问题？2联想学习过的三角函数中的边角关系，能否得到直角三角形中角与它所对的边之间在数量上有什么关系？3由2得到的数量关系式，对一般三角形是否仍然成立？4正弦定理的内容是什么，你能用文字语言叙述它吗？你能用哪些方法证明它？5什么叫做解三角形？6利用正弦定理可以解决一些怎样的三角形问题呢？活动：教师引导学生阅读本章引言，点出本章数学知识的某些重要的实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性．如教师可提出以下问题：怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？怎样测出海上航行的轮船的航速和航向？怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？这些实际问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边与角关系的有关知识．让学生明确本章将要学习正弦定理和余弦定理，并学习应用这两个定理解三角形及解决测量中的一些问题．关于任意三角形中大边对大角、小边对小角的边角关系，教师引导学生探究其数量关系．先观察特殊的直角三角形．如下图，在Rt△ABC中，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有ac＝sinA，bc＝sinB，又sinC＝1＝cc，则asinA＝bsinB＝csinC＝c.从而在Rt△ABC中，asinA＝bsinB＝csinC.那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立呢？教师引导学生画图讨论分析．如下图，当△ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角的三角函数的定义，有CD＝asinB＝bsinA，则asinA＝bsinB.同理，可得csinC＝bsinB.从而asinA ＝bsinB＝csinC.(当△ABC 是钝角三角形时，解法类似锐角三角形的情况，由学生自己完成) 通过上面的讨论和探究，我们知道在任意三角形中，上述等式都成立．教师点出这就是今天要学习的三角形中的重要定理——正弦定理．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 a sinA ＝b sinB ＝c sinC上述的探究过程就是正弦定理的证明方法，即分直角三角形、锐角三角形、钝角三角形三种情况进行证明．教师提醒学生要掌握这种由特殊到一般的分类证明思想，同时点拨学生观察正弦定理的特征．它指出了任意三角形中，各边与其对应角的正弦之间的一个关系式．正弦定理的重要性在于它非常好地描述了任意三角形中边与角的一种数量关系；描述了任意三角形中大边对大角的一种准确的数量关系．因为如果∠A＜∠B，由三角形性质，得a ＜b.当∠A、∠B 都是锐角，由正弦函数在区间(0，π2)上的单调性，可知sinA ＜sinB.当∠A 是锐角，∠B 是钝角时，由于∠A＋∠B＜π，因此∠B＜π－∠A，由正弦函数在区间(π2，π)上的单调性，可知sinB ＞sin(π－A)＝sinA ，所以仍有sinA ＜sinB.正弦定理的证明方法很多，除了上述的证明方法以外，教师鼓励学生课下进一步探究正弦定理的其他证明方法．讨论结果：(1)～(4)略．(5)已知三角形的几个元素(把三角形的三个角A 、B 、C 和它们的对边a 、b 、c 叫做三角形的元素)求其他元素的过程叫做解三角形．(6)应用正弦定理可解决两类解三角形问题：①已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边，即“两角一边问题”．这类问题的解是唯一的．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角，即“两边一对角问题”．这类问题的答案有时不是唯一的，需根据实际情况分类讨论．应用示例例1在△ABC中，已知∠A＝32.0°，∠B＝81.8°，a＝42.9 cm，解此三角形．活动：解三角形就是已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程，在本例中就是求解∠C，b，c.此题属于已知两角和其中一角所对边的问题，直接应用正弦定理可求出边b，若求边c，则先求∠C，再利用正弦定理即可．解：根据三角形内角和定理，得∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－(32.0°＋81.8°)＝66.2°.根据正弦定理，得b＝asinBsinA＝42.9sin81.8°sin32.0°≈80.1(cm)；c＝asinCsinA＝42.9sin66.2°sin32.0°≈74.1(cm)．点评：(1)此类问题结果为唯一解，学生较易掌握，如果已知两角及两角所夹的边，也是先利用三角形内角和定理180°求出第三个角，再利用正弦定理．(2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器．变式训练在△ABC中(结果保留两个有效数字)，(1)已知c＝3，A＝45°，B＝60°，求b；(2)已知b＝12，A＝30°，B＝120°，求a.解：(1)∵C＝180°－(A＋B)＝180°－(45°＋60°)＝75°，b sinB ＝c sinC，∴b＝csinB sinC ＝3sin60°sin75°≈1.6. (2)∵a sinA ＝b sinB， ∴a＝bsinA sinB ＝12sin30°sin120°≈6.9. 例2已知△ABC，根据下列条件，求相应的三角形中其他边和角的大小(保留根号或精确到0.1)：(1)∠A＝60°，∠B＝45°，a ＝10；(2)a ＝3，b ＝4，∠A＝30°； (3)b ＝36，c ＝6，∠B＝120°.活动：教师可引导学生先画图，加强直观感知，明确解的实际情况，这样在求解之后，无需作进一步的检验，使学生在运用正弦定理求边、角时，感到目的明确，思路清晰流畅，同时体会分析问题的重要性，养成解题前自觉判定解题策略的良好习惯，而不是盲目乱试，靠运气解题．解：(1)因为∠C＝180°－60°－45°＝75°，所以由正弦定理，得 b ＝asinB sinA ＝10sin45°sin60°＝1063≈8.2，c ＝asinC sinA ＝10sin75°sin60°≈11.2(如图1所示)．图1(2)由正弦定理，得sinB ＝bsinA a ＝4sin30°3＝23， 因此∠B≈41.8°或∠B≈138.2°(如图2所示)．图2 当∠B≈41.8°时，∠C≈180°－30°－41.8°＝108.2°，c＝asinCsinA＝3sin108.2°sin30°≈5.7；当∠B≈138.2°时，∠C≈180°－30°－138.2°＝11.8°，c＝asinCsinA＝3sin11.8°sin30°≈1.2(如图2所示)．(3)由正弦定理，得sinC＝csinBb＝6sin120°36＝6×3236＝22，因此∠C＝45°或∠C＝135°.因为∠B＝120°，所以∠C＜60°.因此∠C＝45°，∠A＝180°－∠B－∠C＝15°.再由正弦定理，得a＝bsinAsinB＝36sin15°32≈2.2(如图3所示)．图3点评：通过此例题可使学生明确，利用正弦定理求角有两种可能，可以通过分析获得，这就要求学生熟悉已知两边和其中一边的对角时解三角形的各种情形．当然对于不符合题意的解的取舍，也可通过三角形的有关性质来判断，对于这一点，我们通过下面的变式训练来体会． 变式训练 在△ABC 中，已知a ＝60，b ＝50，A ＝38°，求B(精确到1°)和c.(保留两个有效数字)解：∵b＜a ，∴B＜A ，因此B 也是锐角．∵sinB＝bsinA a ＝50sin38°60≈0.513 1， ∴B≈31°.∴C＝180°－(A ＋B)＝180°－(38°＋31°)＝111°.∴c＝asinC sinA ＝60sin111°sin38°≈91. 例3如图，在△ABC 中，∠A 的角平分线AD 与边BC 相交于点D ，求证：BD DC＝AB AC. 活动：这是初中平面几何中角平分线的性质定理，用平面几何的方法很容易证得．教材安排本例的目的是让学生熟悉正弦定理的应用，教师可引导学生分析相关的三角形的边角关系，让学生自己证明．证明：如图，在△ABD 和△CAD 中，由正弦定理，得BD sinβ＝AB sinα，① DC sinβ＝AC sin180°－α＝AC sinα，② ①÷②，得BD DC ＝AB AC .点评：解完此题后让学生体会是如何通过正弦定理把所要证的线段连在一起的．本例可以启发学生利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，并且注意互补角的正弦值相等这一特殊关系式的应用．例4在△ABC中，A＝45°，B∶C＝4∶5，最大边长为10，求角B、C，外接圆半径R及面积S.活动：教师引导学生分析条件B∶C＝4∶5，由于A＋B＋C＝180°，由此可求解出B、C，这样就转化为已知三个角及最大角所对的边解三角形，显然其解唯一，结合正弦定理的平面几何证法，由此可解三角形，教师让学生自己探究此题，对于思路有阻的学生可给予适当点拨．解：由A＋B＋C＝180°及B∶C＝4∶5，可设B＝4k，C＝5k，则9k＝135°，故k＝15°，那么B＝60°，C＝75°.由正弦定理，得R＝102sin75°＝5(6－2)，由面积公式S＝12bc·sinA＝12c·2RsinB·sinA＝75－25 3.点评：求面积时，b未知但可转化为b＝2RsinB，从而解决问题．1.在△ABC中，(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，则△ABC是( )A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形答案：D解析：运用正弦定理a＝2RsinA，b＝2RsinB以及结论sin2A－sin2B＝sin(A ＋B)·sin(A－B)，由(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)sinC，∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝(sin2A－sin2B)sinC.∴(sin2A＋sin2B)sin(A－B)＝sin(A＋B)·sin(A－B)·sinC.若sin(A－B)＝0，则A＝B.若sin(A－B)≠0，则sin2A＋sin2B＝sin2C a2＋b2＝c2.∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D.2．已知△ABC中，A∶B∶C＝1∶2∶3，那么a∶b∶c等于( )A．1∶2∶3 B．3∶2∶1C．1∶3∶2 D．2∶3∶1答案：C知能训练1．在△ABC中，a＝2，A＝30°，C＝45°，则△ABC的面积S的值是( )A. 2B.3＋1C.12(3＋1) D．2 22．在△ABC中，已知a＝5，B＝105°，C＝15°，则此三角形的最大边长为__________．3．在△ABC中，若(3b－c)cosA＝acosC，则cosA＝__________.答案：1．B 解析：由正弦定理asinA＝csinC，得c＝asinCsinA＝22，B＝180°－A－C＝105°，∴△ABC的面积S＝12acsinB＝12×2×22sin105°＝3＋1.2.532＋66解析：∵B＝105°，C＝15°，∴A＝60°.∴b为△ABC的最长边．由正弦定理，得b＝asinBsinA＝5sin105°sin60°＝532＋66.3.33解析：由正弦定理，知a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC(R为△ABC的外接圆半径)．∴(3sinB－sinC)cosA＝sinA·cosC，化简，得3sinB·cosA＝sin(A＋C)＝sinB.∵0＜sinB≤1，∴cosA＝3 3.课堂小结1．先由学生回顾本节课正弦定理的证明方法、正弦定理可以解决的两类问题及解三角形需要注意的问题，特别是两解的情况应怎样理解．2．我们在推证正弦定理时采用了从特殊到一般的分类讨论思想，以“直角三角形”作问题情境，由此展开问题的全面探究，正弦定理的证明方法很多，如平面几何法、向量法、三角形面积法等．让学生课后进一步探究这些证明方法，领悟这些方法的思想内涵．3．通过例3引入了三角形外接圆半径R与正弦定理的关系．但应引起学生注意，R的引入能给我们解题带来极大的方便．作业习题1—1A组1、2、3.设计感想本教案设计思路是：立足于所创设的情境，通过学生自主探索、合作交流，让学生亲身经历提出问题、解决问题、应用反思的过程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受创造的快乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到较好的落实．本教案的设计时刻注意引导并鼓励学生提出问题．一方面鼓励学生大胆地提出问题；另一方面注意妥善处理学生提出的问题，启发学生抓住问题的数学实质，将问题逐步引向深入．根据上述设想，引导学生从感兴趣的实际问题到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问题在直角三角形中的情况，从而形成猜想，激起进一步探究的欲望，然后引导学生对猜想进行严格的逻辑证明，并让学生通过自己的努力发现多种证法，开阔学生视野．备课资料一、知识扩展1．判断三角形解的方法“已知两边和其中一边的对角”解三角形，这类问题分为一解、两解和无解三种情况．一方面，我们可以利用课本上的几何图形加以理解，另一方面，也可以利用正弦函数的有界性进行分析．设已知a、b、A，则利用正弦定理sinB＝bsinA a，如果sinB＞1，则问题无解；如果sinB＝1，则问题有一解；如果求出的sinB＜1，则可得B的两个值，但要通过“三角形内角和定理”或“大边对大角”等三角形有关性质进行判断．2．利用正弦定理进行边角互换对于三角形中的三角函数，在进行恒等变形时，常常将正弦定理写成a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC或sinA＝a2R，sinB＝b2R，sinC＝c2R(R为△ABC的外接圆半径)．这样可以很方便地把边和角的正弦进行转换，我们将在以后具体应用．3．正弦定理的其他几种证明方法(1)三角形面积法如图，已知△ABC，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，作AD⊥BC，垂足为D.则Rt△ADB 中，sinB ＝AD AB， ∴AD＝AB·sinB＝csinB. ∴S △ABC ＝12a·AD＝12acsinB.同理，可得S △ABC ＝12absinC ＝12bcsinA.∴acsinB＝absinC ＝bcsinA. ∴sinB b ＝sinC c ＝sinA a ，即a sinA ＝b sinB ＝csinC. (2)平面几何法如图，在△ABC 中，已知BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ，作△ABC 的外接圆，O 为圆心，连结BO 并延长交圆于C′点，设BC′＝2R ，则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到∠BAC′＝90°，∠C＝∠C′，∴sinC＝sinC′＝c 2R .∴csinC＝2R. 同理，可得a sinA ＝2R ，bsinB ＝2R.∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC＝2R. 这就是说，对于任意的三角形，上述关系式均成立，因此，我们得到等式a sinA＝b sinB ＝c sinC. 这种证明方法简洁明快．在巩固平面几何知识的同时，将任意三角形与其外接圆联系在一起，并且引入了外接圆半径R ，得到a sinA ＝b sinB ＝csinC＝2R 这一等式，其变式为a ＝2RsinA ，b ＝2RsinB ，c ＝2RsinC ，可以更快捷地实现边角互化．特别是可以更直观地看出正弦定理描述的三角形中大边对大角的准确数量关系，为正弦定理的应用带来更多的便利．(3)向量法①如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作单位向量j 垂直于AC →，则j 与AB →的夹角为90°－A ，j 与CB →的夹角为90°－C.由向量的加法原则可得AC →＋CB →＝AB →，为了与图中有关角的三角函数建立联系，我们在上面向量等式的两边同取与向量j 的数量积运算，得到j ·(AC →＋CB →)＝j ·AB →，由分配律可得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →.∴|j ||AC→|cos90°＋|j ||CB →|cos(90°－C)＝|j ||AB →|cos(90°－A)．∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝c sinC. 同理，可得c sinC ＝b sinB. ∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ②如图，△ABC 为钝角三角形，不妨设A ＞90°，过点A 作与AC →垂直的单位向量j ，则j 与AB →的夹角为A －90°，j 与CB →的夹角为90°－C.由AC →＋CB →＝AB →，得j ·AC →＋j ·CB →＝j ·AB →， 即a·cos(90°－C)＝c·cos(A－90°)， ∴asinC＝csinA.∴a sinA ＝csinC .同理，可得b sinB ＝c sinC .∴a sinA ＝b sinB ＝c sinC. ③当△ABC 为直角三角形时，a sinA ＝b sinB ＝csinC显然成立．综上所述，正弦定理对于锐角三角形、钝角三角形、直角三角形均成立． 二、备用习题1．在△ABC 中，A ＝45°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 2 C.1063D ．5 6 2．△ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且sinB ＝12，sinC ＝32，则a∶b∶c 等于 … ( )A ．1∶3∶2 B．1∶1∶ 3C ．1∶2∶ 3D ．2∶1∶3或1∶1∶ 33．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c ＝2，b ＝6，B ＝120°，则a 等于 … ( )A. 6 B ．2 C. 3 D. 24．在锐角△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且B ＝2A ，则ba 的取值范围是 … ( )A ．(－2,2)B ．(0,2)C ．(1，3)D ．(2，3)5．在△ABC 中，若∠A＝120°，AB ＝5，BC ＝7，则△ABC 的面积为________．6．在△ABC中，已知a＝334，b＝4，A＝30°，则sinB＝________.7．在△ABC中，cosA＝－513，cosB＝35，(1)求sinC的值；(2)设BC＝5，求△ABC的面积．参考答案：1．D 解析：由正弦定理，知bsinB＝asinA，即bsin60°＝10sin45°，解得b＝5 6.2．D 解析：由题意，知C＝60°或120°，B＝30°，因此A＝90°或30°.故选D.3．D 解析：由正弦定理得6sin120°＝2sinC，得sinC＝12，于是有C＝30°或C＝150°(不符合题意，舍去)．从而A＝30°.于是△ABC是等腰三角形，a＝c＝ 2.4．D 解析：由正弦定理知ba＝sinBsinA，又∵B＝2A，∴ba＝sin2AsinA＝2cosA.∵△ABC为锐角三角形，∴0°＜B＜90°.∴0°＜2A＜90°.∴0°＜A＜45°.又∵0°＜C＜90°，∴A＋B＞90°.∴3A＞90°.∴A＞30°.∴30°＜A＜45°.∴2＜2cosA＜3，即2＜ba＜ 3.故选D.5.1534 解析：由正弦定理，得AB sinC ＝BC sinA ，即5sinC ＝7sin120°，∴sinC ＝57×32＝5314. 因此sinB ＝3314， 所以S △ABC ＝12×5×7×3314＝1534.6.839 解析：由正弦定理，得4sinB ＝334sin30°，解得sinB ＝839.7．解：(1)由cosA ＝－513，得sinA ＝1213. 由cosB ＝35，得sinB ＝45，∴sinC＝sin(A ＋B)＝sinA·cosB＋cosA·sinB＝1665. (2)由正弦定理，得AC ＝BC×sinB sinA ＝5×451213＝133， ∴△ABC 的面积S ＝12×BC×AC×sinC＝12×5×133×1665＝83.。
正弦定理教案优秀5篇
正弦定理教案优秀5篇《正弦定理、余弦定理》教学设计篇一一、教学内容：本节课主要通过对实际问题的探索，构建数学模型，利用数学实验猜想发现正弦定理，并从理论上加以证实，最后进行简单的应用。
二、教材分析：1、教材地位与作用：本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书。
数学必修5》（A 版）第一章中，是在高二学生学习了三角等知识之后安排的，显然是对三角知识的应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸，而定理本身的应用（定理应用放在下一节专门研究）又十分广泛，因此做好该节内容的教学，使学生通过对任意三角形中正弦定理的探索、发现和证实，感受“类比--猜想--证实”的科学研究问题的思路和方法，体会由“定性研究到定量研究”这种数学地思考问题和研究问题的思想，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。
2、教学重点和难点：重点是正弦定理的发现和证实；难点是三角形外接圆法证实。
三、教学目标：1、知识目标：把握正弦定理，理解证实过程。
2、能力目标：（1）通过对实际问题的探索，培养学生数学地观察问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力。
（2）增强学生的协作能力和数学交流能力。
（3）发展学生的创新意识和创新能力。
3、情感态度与价值观：（1）通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的爱好。
（2）通过实例的社会意义，培养学生的爱国主义情感和为祖国努力学习的责任心。
四、教学设想：本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“正弦定理的发现”为基本探究内容，以四周世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，将自己→←所学知识应用于对任意三角形性质的深入探讨。
让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新。
江苏正弦定理和余弦定理教案
江苏正弦定理和余弦定理教案一、教学目标1. 让学生掌握正弦定理和余弦定理的定义及表达式。
2. 培养学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题的能力。
3. 引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，深入理解正弦定理和余弦定理的内在联系。
二、教学内容1. 正弦定理：在三角形中，各边的长度与其对角的正弦值成比例。
2. 余弦定理：在三角形中，各边的平方和等于其他两边平方和与这两边夹角余弦值的乘积的两倍。
三、教学重点与难点1. 教学重点：正弦定理和余弦定理的定义及应用。
2. 教学难点：正弦定理和余弦定理的推导过程及其在实际问题中的应用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生通过观察、分析、归纳和验证等方法，探索正弦定理和余弦定理。
2. 利用多媒体课件，直观展示正弦定理和余弦定理的推导过程。
3. 设计具有代表性的例题，讲解正弦定理和余弦定理在解决实际问题中的应用。
4. 组织学生进行小组讨论和探究，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过展示三角形模型，引导学生思考三角形中的几何关系。
2. 探究正弦定理：让学生观察三角形模型，引导学生发现各边长度与对角正弦值的关系，进而总结出正弦定理。
3. 验证正弦定理：让学生运用正弦定理解决具体问题，验证其正确性。
4. 探究余弦定理：引导学生观察三角形模型，发现各边平方和与夹角余弦值的关系，总结出余弦定理。
5. 验证余弦定理：让学生运用余弦定理解决具体问题，验证其正确性。
6. 总结正弦定理和余弦定理：引导学生对比总结两个定理的异同点。
7. 巩固练习：设计具有针对性的练习题，让学生巩固正弦定理和余弦定理的应用。
8. 拓展与应用：引导学生运用正弦定理和余弦定理解决实际问题，提高学生的应用能力。
六、教学评价1. 课堂讲解：评价学生对正弦定理和余弦定理的理解程度，以及运用这两个定理解决问题的能力。
2. 练习题：通过布置练习题，检验学生对正弦定理和余弦定理的掌握情况。
(人教新课标)高二数学必修5第一章 解三角形《正、余弦定理》精品课件
正弦定理的应用举例 一、已知两个角和一边
变式训练一
二、已知两个边和其中一边的一个对角
变式训练二
已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断 三角形是否有解？有解的作出解答． (1)a＝7，b＝8，∠A＝105°； (2)a＝10，b＝20，∠A＝80°； (3)b＝10，c＝5，∠C＝60°； (4)a＝2，b＝6，∠A＝30°.
余弦定理的由来 /edu/ppt/ppt_playVideo.action?medi aVo.resId=55c96ff1af508f0099b1c5b6
高铁隧道招标，利用三角形确定隧道长度 /edu/ppt/ppt_playVideo.action? mediaVo.resId=55c97049af508f0099b1c5bc
A 5620
a 2 c 2 b 2 134.6 2 161.7 2 87.82 cosB 0.8398 , 2ac 2 134.6 161.7
B 3253
C 180 A B 180 5620 3253 9047
解三角形:
一般地，把三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形素的过程叫做解三角形. 说明： 根据初中学习的三角形全等，我们知道确定一个三角需要
三个条件，所以在利用正弦定理时要求已知两边和其中一 边的对角或者两角和一边，才可以进一步确定三角形其它 的边和角.
回忆一下直角三角形的边角关系? b a sin B sin A c c
两等式间有联系吗？
B
A c a b
a b c sin A sin B
sin C 1
C
a b c sin A sin B sin C
正弦定理和余弦定理教案
cos A cos B cos C
(三) 理解定理 ①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； ②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
例题： 例 1、△ABC 的三个内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，asin Asin B＋bcos2A＝ 2a. b (1)求 ； a (2)若 c2＝b2＋ 3a2，求 B.
)
8.△ABC 中，AB＝ 3，AC＝1，∠B＝30° ，则△ABC 的面积等于( A. 3 2 B. 3 4 C. 3 或 3 2 D.
) 3 3 或 2 4
2π 9．在△ABC 中，若 b＝1，c＝ 3，∠C＝ ，则 a＝________. 3
10．在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c.若 a＝ 2，b＝2，sinB＋cosB＝ 2，则角 A 的大小为 ________． 1 11.在△ABC 中，D 为边 BC 上一点，BD＝ DC，∠ADB＝120° ，AD＝2.若△ADC 的面积为 3－ 3，则∠BAC 2 ＝_______.
)
3、已知△ABC 中，a＝c＝2，A＝30° ，则 b＝( A. 3 B. 2 3
4、 △ABC 中，a＝ 5，b＝ 3，sinB＝ A. 1 个 B. 2 个
2 ，则符合条件的三角形有( 2 C. 3 个 D. 0 个
)
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c.若 a2－b2＝ 3bc，sinC＝2 3sinB，则 A＝( A．30° B．60° C．120° D．150°
a
sin A
a
sin A
b
sin B
，
ห้องสมุดไป่ตู้
正弦定理和余弦定理教案
正弦定理和余弦定理教案教案标题：正弦定理和余弦定理教案教案目标：1. 理解正弦定理和余弦定理的概念和应用；2. 掌握正弦定理和余弦定理的公式；3. 能够运用正弦定理和余弦定理解决相关的几何问题；4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
教学准备：1. 教学工具：黑板、白板、投影仪；2. 教学材料：教科书、练习题；3. 教学辅助资源：计算器、尺子、直角三角形模型。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入正弦定理和余弦定理的概念，与学生讨论在几何问题中的应用；2. 回顾与三角函数相关的知识，如角度、三角比例等。
二、正弦定理的介绍与应用（15分钟）1. 解释正弦定理的概念和公式：a/sinA = b/sinB = c/sinC；2. 通过示例演示正弦定理的应用，如计算三角形的边长、角度等；3. 给学生分发练习题，让他们在小组内合作解决问题。
三、余弦定理的介绍与应用（15分钟）1. 解释余弦定理的概念和公式：c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cosC；2. 通过示例演示余弦定理的应用，如计算三角形的边长、角度等；3. 给学生分发练习题，让他们在小组内合作解决问题。
四、综合练习与应用（20分钟）1. 提供一些综合性的练习题，要求学生综合运用正弦定理和余弦定理解决问题；2. 引导学生分析问题、确定解题思路，并在小组内合作解决问题；3. 鼓励学生主动分享解题思路和结果。
五、总结与拓展（5分钟）1. 总结正弦定理和余弦定理的核心概念和公式；2. 强调正弦定理和余弦定理在解决几何问题中的重要性；3. 提醒学生在实际生活中的应用场景，如测量高楼的高度等。
教学延伸：1. 鼓励学生通过实际测量和观察，找到其他应用正弦定理和余弦定理的例子；2. 引导学生思考正弦定理和余弦定理的证明过程，培养他们的逻辑推理能力；3. 提供更多复杂的练习题，挑战学生运用正弦定理和余弦定理解决更复杂的几何问题。
教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的参与度和解题能力；2. 批改学生的练习题，评估他们对正弦定理和余弦定理的理解和应用；3. 针对学生常犯的错误和困惑，进行个别辅导和解答。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
bac
C
BA
bac
A
CB
1.1 正弦定理和余弦定理 【课题】：1.1.1正弦定理 【教学目标】： （1）知识与技能: 掌握正弦定理及其推导过程，并能应用其解决简单的斜三角形问题。 （2）过程与方法: 引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：
sinsinsinabcABC
，接着就一般斜三角形进行探索，发现也有这一关系；分
别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。然后运用所学定理灵活地解决有关测量和几何计算的实际问题。 （3）情态与价值：通过让学生自己去探索和发现，激发学生学习数学的兴趣，培养学生的探索精神；通过知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 【教学重点】：正弦定理的发现和证明过程及其基本应用；
【教学难点】：正弦定理的证明
【教学方法】：合作探究式
【教学过程设计】： 教学环节 教学活动 设计意图
创设情景
问题1：我们知道，在任意三角形中有大边对大角、小边对小角的边角关系。我们是否能得到这个边角关系准确量化的表示呢？ 生：在直角三角，
有sinaAc，sinbBc，sin1cCc, 则sinsinsinabccABC 生：在锐角三角形ABC中，设边AB上的高是CD， 根据任意角三角函数的定义， 有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB， 同理可得sinsincbCB， 从而sinsinabABsincC 同理，在钝角三角形中，上面的结论仍成立。 创设情景、激发兴趣、启发思考、体现新旧知识间的联系。 探究定理 师：上面证明都是把斜三角形转化为两个直角三角形，用化一般为特殊的方法 师：从以上三个问题的证明，我们可以得出什么结论？ 生：在任意三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsinabABsincC 师： 在以上的证明中，我们要分C为锐角，直角，钝角三种情况来证明，我们还有没有其它的证明方法，可以不需要分情况的呢？ 生：可以用向量法 师：过点A作jAC， 由向量的加法可得 ABACCB 则 ()jABjACCB ∴jABjACjCB 00cos900cos90jABAjCBC ∴sinsincAaC，即sinsinacAC 同理，过点C作jBC，可得 sinsinbcBC 从而 sinsinabABsincC 类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （由学生课后自己推导） 师：以上的证明避免了讨论∠C是锐角、钝角或直角，思路简洁明了，过程简单，体现了向量工具的作用。 师：其实这个sinsinabABsincC的比值为2R（R为外接圆的半径），你们知道为什么吗？ 生：如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴RCDDaAa2sinsin 同理 Bbsin=2R，Ccsin＝2R 师：我们把这个规律叫做正弦定理，有以下几点说明， （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明2sinsinsinabcRABC（R为ABC的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一。 分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。
ab
cO
B
C
AD定理应用
例1：在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形. 解：根据三角形内角和定理， 0180()CAB
000180(32.081.8)
066.2
；
根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA； 根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA 说明：如果已知三角形的任意两个角与一边，由三角形内角和定理，可以计算出三角形的另一角，并由正弦定理计算出三角形的另两边。
例2：在ABC中，已知20acm，28bcm，040A，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。
解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa 因为00＜B＜0180，所以064B，或0116.B
⑴ 当064B时，00000180()180(4064)76CAB， 00sin20sin7630().sinsin40aC
ccmA
⑵ 当0116B时，00000180()180(40116)24CAB， 00sin20sin2413().sinsin40aC
ccmA
说明：①如果已知三角形的任意两边与其中一边的对角，应用正弦定理，可以计算出另一边的对角的正弦值，进而确定这个角和三角形其他的边和角；
②应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的
情形
练习：在ABC中，已知60A，45B，20ccm，解三角形（角度精确到01，边长精确到1cm）。
正弦定理的简单应用；其中，例2要注意解的情况 理解定理
正弦定理可以用于两类解三角形的问题： ①已知三角形的任意两个角与一边，求其他两边和另外一角； ②已知三角形的任意两边与其中一边的对角，计算另外一边的对角，进而计算出其他的边和角 ③在解已知三角形的任意两边与其中一边的对角的三角行时，可能出现无解、有一个解、有两个解的情形 例如：已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:
)( ba) ,( babsinA)( bsinA a sin锐角一解一钝一锐二解直角一解无解Aba
babab
ab
a
a
已知边a,b和A
仅有一个解有两个解仅有一个解
无解
abCH=bsinAa=CH=bsinA
a
A
CBACB1ABAC
B2CHHH
⑵若A为直角或钝角时:)( ba 锐角一解无解ba
通过例题的应用，从而理解正弦定理及其运用的基本情况 堂上练习
1、在ABC中， （1） 已知3b，33c，30B，求a； （2） 已知43a，42b，60A，求B； （3） 已知3a，6b，60A，解这个三角形。 2、已知△ABC，BＤ为B的平分线，求证：AB∶BC＝AＤ∶ＤC 分析：前面大家所接触的解三角形问题是在一个三角形内研究问题，而B的平分线BD将△ABC分成了两个三角形：△ABD与△CBD，故要证结论成立，可证明它的等价形式：AB∶AD＝BC∶DC，从而把问题转化到两个三角形内，而在三角形内边的比等于所对角的正弦值的比，故可利用正弦定理将所证继续转化为
DBCDCBDCBCABDADABDABsinsin,sinsin，再根据相等角正弦值相等，互
补角正弦值也相等即可证明结论
通过对解的情况的分析讨论，提高学生思维的严密性
课堂 小结 及作业 采取师生互动的形式完成。 （1）定理的表示形式 sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC； 或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k （2）正弦定理的应用范围： ①已知两角和任一边，求其它两边及一角； ②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角 作业：1、第10页[习题1.1]A组第1（1）、2（1）题 2、阅读课本P9 “解三角形的进一本讨论 通过学生的主体参与，从而实现对正弦定理认识的再次深化.
练习与测试： 1、在 中，已知 ，解这个三角形.（角度精确到1°，边长保留两位有效数字.）
解： ∴ 当 时， ∴ 当 时， ∴ . 2、 在△ABC中，已知3a，2b，B=45 求A、C及c.
证明：解法1：由正弦定理得：23245sin3sinsinbBaA ∵B=45<90 即b
当A=60时C=75 22645sin75sin2sinsinBCbc 当A=120时C=15 22645sin15sin2sinsinBCbc 解法2：设c=x由余弦定理 Baccabcos2222 将已知条件代入，整理：0162xx
解之：226x
当226c时2)13(231226223)226(22cos2222bcacbA 从而A=60 C=75
当226c时同理可求得：A=120 C=15. 3 、 在 中， ，求 的面积S。 解：首先可证明： 。 这组结论可作公式使用。 其次求b边
∴由正弦定理，