北师大版数学高一必修1学案第四章4.1函数与方程

[核心必知]1．利用函数性质判定方程解的存在(1)函数零点：函数y＝f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点，其就是方程f(x)＝0的解．(2)函数零点的判定定理：若函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)·f(b)＜0，则在区间(a，b)内，函数y＝f(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)＝0在区间(a，b)内至少有一个实数解．2．利用二分法求方程的近似解(1)二分法：在区间[a，b]上f(x)的图像是一条连续的曲线，且f(a)·f(b)＜0，通过不断地把方程的解所在区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近方程的解，进而得到一个近似解．像这样每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法．(2)用二分法求方程近似解的过程(如图)：其中“初始区间”是一个两端函数值异号的区间；“M”的含义：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端点是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义：方程解满足要求的精确度．[问题思考]1．函数的零点是一个点吗？提示：不是，是一个使f(x)＝0的x的取值．2．函数的零点、相应方程的根、相应函数图像与x轴交点的横坐标三者之间有何关系？提示：等价关系，函数有几个零点⇔相应方程有几个根⇔相应函数的图像与x轴有几个交点．3．如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是一条连续的曲线，并且有f(a)f(b)＜0，那么在(a，b)上零点的个数是多少？什么情况下在(a，b)上有且只有一个零点？若f(a)f(b)＞0，在区间(a，b)上就没有零点吗？提示：若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，当f(a)·f(b)＜0时在(a，b)上一定有零点，但是零点的个数不能确定；当(a，b)是f(x)的单调区间时只有一个零点；当f(a)·f(b)＞0时也不一定没有零点．讲一讲1．(1)函数f (x )＝4x －16的零点为________． (2)函数f (x )＝x －4x 的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3(3)函数f (x )＝e x ＋x －2的零点所在的一个区间是( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)(4)已知函数f (x )＝2x －3x 2.问方程f (x )＝0在区间[－1,0]内有没有实数解？为什么？ [尝试解答] (1)令4x －16＝0，则4x ＝42，解得x ＝2，所以函数的零点为x ＝2. 答案：2(2)选C 令f (x )＝0，而x －4x ＝0，∴x ＝±2，故有两个．(3)选C 由f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，知函数f (x )的零点在区间(0,1)内． (4)∵f (－1)＝12－3＜0，f (0)＝1＞0，又∵函数f (x )＝2x －3x 2的图像是连续曲线， ∴f (x )在区间[－1,0]内有零点， 即f (x )＝0在区间[－1,0]内有实数解．(1)求函数f (x )的零点的方法：令f (x )＝0，解方程f (x )＝0即可． (2)判断函数零点的个数，常用的方法有：①解方程法：当能直接求解零点时，就直接求出进行判断． ②用定理法：用零点存在性定理并结合函数的单调性．③利用图像的交点法：有些题目可先画出某两个函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图像，其交点的横坐标是函数y ＝f (x )－g (x )的零点．(3)判断方程的解所在的区间常转化为函数的零点问题，当方程f (x )＝0无法解出时，常用函数零点的判定定理：①函数图像的连续性；②区间端点函数值的符号相反．练一练1．函数f (x )＝πx ＋log 2x 的零点所在区间为( ) A.⎣⎡⎦⎤0，18 B.⎣⎡⎦⎤18，14 C.⎣⎡⎦⎤14，12 D.⎣⎡⎦⎤12，1 解析：选C f ⎝⎛⎭⎫14·f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫π4＋log 214π2＋log 212＝⎝⎛⎭⎫π4－2⎝⎛⎭⎫π2－1＜0. 2．试判断方程x 3＝2x 在区间[1,2]内是否有实数解． 解：设函数f (x )＝x 3－2x ，则f (1)＝1－2＝－1＜0，f (2)＝8－4＝4＞0， ∴f (1)·f (2)＜0.又函数f (x )＝x 3－2x 的图像是连续曲线，∴函数f (x )＝x 3－2x 在区间[1,2]内至少有一个零点，即方程x 3＝2x 在区间[1,2]内至少有一个实数解．讲一讲2．当a 取何值时，方程ax 2－2x ＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上？ [尝试解答] (1)当a ＝0时，方程即为－2x ＋1＝0，只有一根，不符合题意． (2)当a ＞0时， 设f (x )＝ax 2－2x ＋1，因为方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＞0，f (1)＜0，f (2)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＞0，a－2＋1＜0，4a－4＋1＞0，解得34＜a＜1.(3)当a＜0时，设方程的两根为x1，x2，则x1·x2＝1a＜0，x1，x2一正一负，不符合题意．综上，当34＜a＜1时，方程ax2－2x＋1＝0的一个根在(0,1)上，另一个根在(1,2)上．若将本例中根的存在情况变为一根小于1，另一根大于1，则a的取值如何？解：设f(x)＝ax2－2x＋1，由已知得：⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，f(1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，f(1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧a＞0，a－2＋1＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a＜0，a－2＋1＞0.解得0＜a＜1.解决该类问题，有两种常用途径：(1)利用零点的判定定理构建不等式求解．(2)画出符合题意的草图，转化为函数问题．数形结合构建关于参数的方程或不等式，从而求解．练一练3．已知函数f(x)＝x2－x－m在区间(－1,1)上有零点，求实数m的取值范围．解：法一：①当函数f(x)＝x2－x－m＝⎝⎛⎭⎫x －122－m －14， 其对称轴x ＝12∈(－1,1)，故函数在区间(－1,1)上只有1个零点时，Δ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＞0，f (－1)·f (1)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (1)＝0.即1＋4m ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，m (m －2)＜0或⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，－m ＝0. 解得m ＝－14或0＜m ＜2或m ＝0.②当函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有2个零点时，⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，f (－1)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧1＋4m ＞0，2－m ＞0，－m ＞0.解得－14＜m ＜0.综上所述，实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2. 法二：函数f (x )＝x 2－x －m 在区间(－1,1)上有零点 ⇔方程x 2－x －m ＝0在区间(－1,1)上有解 ⇔方程x 2－x ＝m 在区间(－1,1)上有解 ⇔函数y ＝x 2－x 与函数y ＝m 在区间 (－1,1)上有交点，∵函数y ＝x 2－x 在区间(－1,1)上的值域为⎣⎡⎭⎫－14，2，∴－14≤m ＜2，∴实数m 的取值范围为⎣⎡⎭⎫－14，2.讲一讲3．求方程lg x ＝3－x 的近似解(精确到0.1)． [尝试解答]令f (x )＝lg x ＋x －3，在同一坐标系中，作出y ＝lg x 和y ＝3－x 的图像如图所示，观察图像可以发现lg x ＝3－x 有唯一解x 0，x 0∈[2,3]，且f (2)＜0，f (3)＞0， 利用二分法可列下表：计算次数左端点 右端点 1 2 3 2 2.5 3 3 2.5 2.75 4 2.5 2.625 52.562 52.625由于区间(2.562 5,2.625)内的所有值若精确到0.1都为2.6，所以原方程的近似零点为2.6.求方程近似解的步骤：①构造函数，利用图像或单调性确定方程解所在的大致区间，通常限制在区间(n ，n ＋1)，n ∈Z ；②利用二分法求出满足精确度的方程解所在的区间M ；③写出方程的近似解．练一练4．求函数f (x )＝x 3＋2x 2－3x －6的一个正数零点(精确到0.1)．解：由于f(1)＝－6<0，f(2)＝4>0，可取区间[1,2]作为计算的初始区间．用二分法逐次计算，列表如下：计算次数左端点右端点11 22 1.5 23 1.5 1.754 1.625 1.755 1.687 5 1.756 1.718 75 1.757 1.718 75 1.734 375由上表可知，区间[1.718 75,1.734 375]中的每一个数精确到0.1都等于1.7，所以1.7就是函数的一个误差不超过0.1的正数零点．求函数f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2的零点个数．[解]法一：∵f(0)＝1＋0－2＝－1＜0，f(2)＝4＋lg 3－2＝2＋lg 3＞0，∴f(x)在(0,2)上必定存在零点．又显然f(x)＝2x＋lg(x＋1)－2在(－1，＋∞)上为增函数，故f(x)有且只有一个零点．[尝试用另一种方法解题]法二：在同一平面直角坐标系中作出h(x)＝2－2x和g(x)＝lg(x＋1)的图像．由图像，知y＝lg(x＋1)和y＝2－2x有且只有一个交点．1．函数y ＝x 2＋2x －3的零点和顶点的坐标为( ) A ．3,1；(－1，－4) B ．－3，－1；(－1,4) C ．－3,1；(1，－4) D ．－3,1；(－1，－4) 答案：D2．下列图像表示的函数中能用二分法求零点的是( )解析：选C 当且仅当函数f (x )在区间[a ，b ]上连续且f (a )·f (b )＜0时，才能用二分法求其零点，观察函数的图像知：选项A 中函数没有零点；选项B 和D 中函数虽然有零点，但是在零点附近的函数值符号相同，故不能用二分法求零点；选项C 中函数有零点，且符合零点存在定理的条件．3．(北京高考)函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 解析：选B 因为y ＝在x ∈[0，＋∞)上单调递增，y ＝⎝⎛⎭⎫12x在x ∈R 上单调递减，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在x ∈[0，＋∞)上单调递增，又f (0)＝－1<0，f (1)＝12>0，所以f (x )＝－⎝⎛⎭⎫12x 在定义域内有唯一零点．4．已知函数f (x )＝x 3＋x 2－2x －2，f (1)·f (2)＜0，用二分法逐次计算时，若x 0是[1,2]的中点，则f (x 0)＝________.解析：由题意知f (x 0)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22＝f (1.5)，代入解析式易计算得0.625. 答案：0.6255．(湖南高考)若函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点，则实数b 的取值范围是________． 解析：由f (x )＝|2x －2|－b ＝0，得|2x －2|＝b .在同一平面直角坐标系中画出y ＝|2x －2|与y ＝b 的图象，如图所示，则当0＜b ＜2时，两函数图象有两个交点，从而函数f (x )＝|2x －2|－b 有两个零点． 答案：(0,2)6．判断下列函数在给定的区间内是否存在零点． (1)f (x )＝x 2－8x ＋16，x ∈[1,8]； (2)f (x )＝log 2(x ＋2)－x ，x ∈[1,3]； (3)f (x )＝2x －3，x ∈[2,4]．解：(1)f (1)＝9，f (8)＝16，f (1)·f (8)＞0，但是f (4)＝0且4∈[1,8]，所以函数在区间[1,8]内存在零点4.(2)由于f (1)＝log 2(1＋2)－1＝log 232＞0，f (3)＝log 2(3＋2)－3＝log 258＜0，因此f (1)·f (3)＜0，又函数f (x )在区间[1,3]上的图像是连续曲线，所以函数在区间[1,3]内存在零点．(3)因为函数的定义域为(－∞，3)∪(3，＋∞)，所以函数y ＝f (x )的图像在区间[2,4]上不是一条连续曲线，故不能用零点的存在性定理来判断是否存在零点．函数的图像如图所示，观察图像，可得函数在区间[2,4]内不存在零点．一、选择题1．下列函数有两个零点的是( )A ．y ＝x ＋1B ．y ＝x 2＋2x ＋3C ．y ＝2log 2xD ．y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 012，x ＞0，x 3，x ≤0 解析：选D 易知A 只有一个零点；对于B ，方程x 2＋2x ＋3＝0无解；对于C ，令2log 2x ＝0，也无解；对于D ，y ＝0有两解x ＝2 012和x ＝0.2．(重庆高考)若a <b <c ，则函数f (x )＝(x －a )·(x －b )＋(x －b )(x －c )＋(x －c )·(x －a )的两个零点分别位于区间( )A ．(a ，b ) 和(b ，c )内B ．(－∞，a )和(a ，b )内C ．(b ，c )和(c ，＋∞)内D ．(－∞，a ) 和(c ，＋∞)内解析：选A 令y 1＝(x －a )(x －b )＋(x －b )(x －c )＝(x －b )·[2x －(a ＋c )]，y 2＝－(x －c )(x －a )，由a <b <c 作出函数y 1，y 2的图像(图略)，由图可知两函数图像的两个交点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内，即函数f (x )的两个零点分别位于区间(a ，b )和(b ，c )内．3．函数f (x )＝ln(x ＋1)－2x的零点所在的大致区间是 ( ) A ．(0,1) B ．(1,2)C ．(2，e)D ．(3,4)解析：选B ∵f (1)＝ln 2－2＜0，f (2)＝ln 3－1＞0，则函数f (x )的零点所在的大致区间是(1,2)．4．若方程|ax |＝x ＋a (a ＞0)有两个解，则a 的取值范围是 ( )A ．(1，＋∞)B ．(0,1)C ．(0，＋∞)D ．∅解析：选A 分三种情况，在同一坐标系中画出y ＝|ax |和y ＝x ＋a 的图像如图：结合图像可知方程|ax |＝x ＋a 有两个解时，有a ＞1.二、填空题5．用二分法求方程x 3－2x －5＝0在区间[2,3]内的实根，取区间中点为x 0＝2.5，那么下一个有根的区间是________．解析：令f (x )＝x 3－2x －5，可知，f (2)、f (3)分别等于－1、16，又因为f (2.5)＝458＞0，显然下一个有根的区间为[2,2.5)． 答案：[2,2.5)6．方程2－x ＋x 2＝3的实数解的个数为________．解析：分别作出函数f (x )＝3－x 2与函数g (x )＝2－x 的图像，如图所示．∵f (0)＝3，g (0)＝1，∴从图像上可以看出它们有2个交点．答案：27．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ，x ≤1，－x ，x ＞1，则函数y ＝f (x )－2的零点是________． 解析：当x ≤1时，y ＝3x －2，令y ＝0，得x ＝log 32≤1，当x ＞1时，y ＝－x －2，令y ＝0，得x ＝－2不合题意，综上，零点是log 32.答案：log 328．已知y ＝x (x －1)·(x ＋1)的图像如图所示，今考虑f (x )＝x (x －1)·(x ＋1)＋0.01，则方程式f (x )＝0①有三个实根；②当x ＜－1时，恰有一实根(有一实根且仅有一实根)；③当－1＜x＜0时，恰有一实根；④当0＜x＜1时，恰有一实根；⑤当x＞1时，恰有一实根．正确的有________．解析：函数f(x)的图像如图所示，由图像易知，当x＜－1时，方程f(x)＝0恰有一实根；当－1＜x＜0时，方程f(x)＝0没有实根；当0＜x＜1时，恰有两个实根；当x＞1时，没有实根．答案：①②三、解答题9．判断方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有无实数解；如果有，求出一个近似解(精确到0.1)．解：设函数f(x)＝x3－x－1，因为f(1)＝－1＜0，f(1.5)＝0.875＞0，且函数f(x)＝x3－x－1的图像是连续的曲线，所以方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内有实数解．取区间(1,1.5)的中点x1＝1.25，用计算器可算得f(1.25)＜0，因为f(1.25)·f(1.5)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)．再取(1.25,1.5)的中点x2＝1.375，用计算器可算得f(1.375)≈0.22＞0，因为f(1.25)·f(1.375)＜0，所以x0∈(1.25,1.375)．同理，可得x0∈(1.312 5,1.375)，x0∈(1.312 5,1.343 75)．由于区间(1.312 5,1.343 75)内的所有数精确到0.1都是1.3，所以1.3是方程x3－x－1＝0在区间[1,1.5]内的一个近似解．10．已知二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x，且f(0)＝1.(1)求f (x )的解析式；(2)若函数h (x )＝f (x )－ax ，x ∈[2,3]时有唯一零点，且不是重根，求实数a 的取值范围；(3)当x ∈[－1,1]时，不等式f (x )＞2x ＋m 恒成立，求实数m 的取值范围．解：(1)设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，(a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，故f (x )＝ax 2＋bx ＋1.因为f (x ＋1)－f (x )＝2x ，即2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以⎩⎪⎨⎪⎧ 2a ＝2，a ＋b ＝0.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.所以f (x )＝x 2－x ＋1.(2)h (x )＝f (x )－ax ＝x 2－(a ＋1)x ＋1，则h (2)＝3－2a ，h (3)＝7－3a . 所以h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一零点，且不是重根，只需⎩⎨⎧ h (2)≤0，h (3)≥0或 ⎩⎪⎨⎪⎧ h (2)≥0，h (3)≤0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ 3－2a ≤0，7－3a ≥0，或⎩⎪⎨⎪⎧3－2a ≥0，7－3a ≤0，解得32≤a ≤73. 经验证，知当a ＝32时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝2；当a ＝73时，方程h (x )＝0在区间[2,3]上有唯一解x ＝3；故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤32，73.(3)由题意，得f (x )＞2x ＋m ，即x 2－3x ＋1－m ＞0在区间[－1,1]上恒成立．设g (x )＝x 2－3x ＋1－m ，其图像的对称轴为直线x ＝32，所以g(x)在区间[－1,1]上是减少的．所以只需g(1)＞0，即m＋1＜0，解得m＜－1. 即m的取值范围为(－∞，－1)．。