高考数学开放性问题
数学开放性问题
解
由 于 Ａ 口ｃＤ 是 矩 形 ， ｃＤ ｊ 则 －ＡＤ ． ，Ｄ Ａ．
又 因 为 ，Ａ 上 平 面 ＡＢｃＤ ， ｃＤ 上 ， Ｄ ， 二 则 则 面 角 ， 一 ｃＤ — Ｂ 的 平 面 角 一 取 ＰＤ 的 中 点 Ｑ ， 连 ＡＱ 、 ＱⅣ ， Ⅳ Ｑ 剐
三 个 条 件 ， 由 条 件 （ ）知 ， （ ） 一 ０， 则 １ ， ０ 得
解 由
＋ｆ 一半
＋半
及记
ｌ 一 ０． ｏｇ 即
号 “＊ ” 的 意 义 ， 填 ０ ＊ ｂ 可 ）＋ ｆ 一 （ ＊ｃ ＋ ｄ ）
（ ６＊ｃ ．同 理 还 可 填 ） （ Ⅱ＋ Ｃ 或 ） ｄ＋ （ ＊ｃ 一 （ 占 ） ｄ＋ ６ ）＊ ｄ ＊ （ － Ｃ 一 （ － ）＊ｃ 等 ． ６ｑ ） Ⅱ ．６ Ｌ
数 学 开 放 性 问 题 的 一个 明 显 特 征 是 探 索 性 ， 解 答 开 放 性 问 题 对 干 培 养 学 生 的 创 新 精 神 和 探 索 能 力 有 十 分 重 要 的 作 用 ．因 而 开 放 性 问 题 倍 受 高 考 命 题 者 的 青 昧 ， 为 高 考 创 新 试 成 题 的 主 要 题 材 ．丰 专 题 复 习 的 重 点 是 掌 握 解
，ｃ， 异 证 ＡＱ 上 ｃＤ ， 只 要 Ｑ 上 ，Ｄ 即 可 又 则
推 出 Ａ Ｑ 上 平 面 ，ｃＤ ｔ 因 为 Ｑ 是 ， Ｄ 的 中 点 又
且 ，Ａ 上 ＡＤ ， 只 要 一 即 ＡＢ 的 公 垂 线 ． ，Ｄ Ａ 一 ４ 。 ５．
般 ， 低 维 到 高 维探 隶 结 论 ； 由 ３ ．假 设 存 在 ， 证 肯 定 或 反 证 否 定 策 略 ： 验
如何提高高中数学开放性试题有效性
如何提高高中数学开放性试题的有效性摘要：反观当下高考题的题型，大多是以开放性试题为主。
因此，在高中数学教学过程中，教师必须渗透开放性试题的解题技巧，有效培养高中生的创新思维和独立思维能力。
本文从增强高中数学开放性试题有效性的必要性出发，探讨如何使高中数学开放性试题更加有效。
关键词：高中数学；开放性试题；有效性随着社会的进步和时代的发展，教育水平也在发生着日新月异的改变。
目前，我国中学的教学目标已经从盲目追求高分的应试教育转变为以素质教育为基础、以培养学生能力为主导的新型教育模式。
数学作为高中阶段的一门基础性课程，能够为其他理科知识的学习打下坚实的基础，因此学好高中数学对于高中生而言是至关重要的。
为了给学生创造良好的学习环境，学校应当采取开放的考核方法对学生进行必要的考核，教师也应当努力思考和研究高中数学开放性试题的应用，开拓教育方式和教学方法，培养学生的创新能力和实践能力。
1增强高中数学开放性试题有效性的必要性1.1高中数学开放性试题贯彻了新课改素质教育的理念俗话说：“数学的魅力来源于生活的艺术。
”数学的产生来源于生活中的实际问题，学好数学也是为了解决生产、生活中的实际问题。
传统的数学学习方法主要是记忆公式定理，通过大量练习掌握计算方法，这样的学习方法限制了学生的创新思维和独立思维的发展。
因此，高中数学不断渗透开放性习题技巧，严格贯彻了素质教育理念，既是对传统教学模式的挑战，又是对新课改的教学实验。
1.2高中数学开放性试题能促进高中生思维水平的发展随着高考试题愈来愈多地出现开放性试题，很多家长质疑高考对于学生知识学习的难度要求是不是降低了。
其实不然，开放性试题的引入和重点讲解，对于提高学生知识熟悉程度是非常有帮助的，也能够促进学生在基础知识上的创新和拓展，挖掘出高中生的潜力。
开放性试题的有效性教学，能培养和提高高中生的数学思维，包括逻辑思维、开放思维、数形结合思维、抽象思维等，促进学生学习积极性和学习质量的提高。
用开放的方法解数学“开放型问题”
用开放的方法解数学“开放型问题”摘要：本文结合具体的例题阐述了如何利用开放的方法解决高中数学“开放型问题”。
关键词：开放；数学；开放型问题作者简介：黄文毓，任职于广东省茂名市教育局教研室。
为了顺应素质教育和高考改革的需要，近十年来高考数学命题通过对知识、思维、应用、人文价值及创新等几方面的综合考查设计试题，创造性地融数学教育的新思想、新观点、新理念于数学命题中，开放型问题就是其中的一种。
关于开放题的概念，现在国内仍没有统一的认识，主要有下列几种描述：1.凡是具有完备的条件和固定答案的习题称为封闭题，而答案不固定或者条件不完备的习题则为开放题。
2.具有多种不同或可能的解答方法的问题称为开放题。
3.数学习题一般由条件y、结论z、解法p及解题依据o四个元素组成，即R={y，o，p，z}，四个元素齐备的题，为“封闭题”；缺少o或p的题为“小封闭题”，有三个元素是未知的题称为问题性题，有二个是未知的习题称为探索性题，问题性题或探索性题统称为开放性题。
4.开放题的问题不必有解，答案不必唯一，条件可以多余。
考察以上论述，关于开放题的条件的描述有：不完备；可以多余；多余需选择，不足需补充等等。
关于开放题的答案(结论、解法)的描述有：不固定；有多种：不必唯一；不确定；不必有解等等。
但基于当前我国数学教育的实际情况，数学高考试题中出现的开放题多是“开放度”比较弱的探索性问题，试题考查的侧重点也比较集中，题型比较固定。
如何灵活解答高中数学“开放型问题”？其常用的思维方法及解题方法又是怎样？下面仅举几例给予说明，以求师生们在此基础上进一步研究，真正做到见题知路。
根据问题的本质特征，笔者将高中数学开放题常见的题型分成判断型、思维发散型、归纳猜想型等。
一、判断型判断型是指题目中虽没有给出明确的结论，但已给出了结论的可能范围。
如“是否存在……”，就是“存在、不存在”二者之中选择结论，要求我们从已知条件出发，向着所给结论的方向去思考或用排除推测等方法，先猜想结论，再用分析法及综合法去论证。
开放题在高中数学教学中教育意义论文
开放题在高中数学教学中的教育意义【摘要】开放题是最富有教育意义的一种数学问题的题型，好的数学开放性试题，能够充分体现出新的教育教学理念，加大教改力度，对教学的目标和学生的学习发展方向是具有指导意义的。
【关键词】数学；开放题；教学设计；教育意义数学开放性试题是相对于条件和结论明确的封闭题而言的，是指能引起学生发散性思维的一种数学试题，它的条件、问题变化不定型，有的条件隐蔽，有的条件多余，有的结论不一，有的解法多种等。
开放题的核心是考查学生运用数学知识解决问题的能力，激发学生独立思考和创新的意识，这是一种新的教育理念的具体体现。
开放题是最富有教育意义的一种数学问题的题型，其类型包括条件开放型、结论开放型、策略开放型、综合开放型、实践开放型、设计开放型、信息开放型、解法开放型、情景开放型等。
1. 数学开放性试题的设计原则1.1 思维性原则；开放性试题的设计应对教材进一步去补充和拓宽，挖掘教材内容的思维因素，从而构建基础性的训练与探索性、思维性训练相结合的习题体系，培养学生思维的深刻性、发散性和创造性。
1.2 开放性原则；开放性试题的设计要有利于开放学生的思维，让学生认识到数学不仅仅是狭隘的数学知识本身，它是我们广泛联系、认识世界、改造世界的有力工具。
1.3 层次性原则；根据学生的个性发展及差异性，设计开放性试题应讲究梯度，由浅入深，拾级而上，螺旋上升，层层开放，在评分标准上要体现这一原则。
1.4 合理性原则；开放性试题的设计应立足于教材内容与学生的基础知识，符合学生的认知规律，注意避免不从客观实际出发的主观主义和追求形式的做法。
1.5 实用性原则；设计开放性试题要紧密联系生活实际，多设计一些面向生活的开放题。
把生活问题提炼为数学问题，调动生活经验用于数学问题的创造性活动积极性，以利于学生运用所学知识解决实际问题，体会数学的实用价值，体验数学知识来源于生活，又服务于生活的真谛。
1.6 趣味性与新颖性原则；开放性试题的设计要具有吸引力，出题的形式与角度有新意。
探索开放性问题题型与高考走势
蕊
分析 本题 情境新颖 、 意鲜 明 、 立 富有立 体感． 由以前 的平 面式递增演化到立体式 递增 ， 属于 “ 结论 归纳 型” 探索
面展开， 对探 索开放性问题 有加 大考查力度的趋 势．
维普资讯
２０ ０ ８年第 ３期
中学教研 （ 学） 数
—
； （， — — （ ＿／ 厂７ ）＝ 答案用 ／表示 ） ７ ， ． （０ ６年广 东省数 学高考试题 ） ２０
考查 探索 开放性 试题 有利 于培养创 新意识 和创 造精 神， 可以设想在今后的高考 数学命题 中探索 开放性题 型仍
将走 俏 ， 继续 成 为 高考 的热 点 和重 点 之 一． 着 新 课 程 的 全 随
生探索能力的开放性问题还 会有 以下几 种变化趋 势 ： 条 ① 件与结论均需探索的开放 问题 ； ②方法探 索型开放 问题 ； ③
类 比引 申型开放问题． 它们 都将有 可能 成为探 索开放性命 题的新选择和新趋 向， 对此 ， 我们 必须引起 高度 的警觉 ， 并
积极采取相应 的对策．
即“ 观察分析 、 纳猜想 、 归 推理证 明” 的能力． 中分析是基 其 础， 猜想是关键 ， 这就 是探索 开放性试 题的特点． 试题 中有
意隐含问题的条件或结论 ， 让考生 自己去研究 、 去探索 、 去
个乒乓球 ， （，表示 第 ／堆的乒 乓球 总数 ， 以， ／ ７ ） ７ ， 则 ３ ）＝
・ｌ ９・
开放题． 解决这类 问题 的关键 在于 如何 寻找到 相邻堆 乒乓
●高
１ 高考展望
１１ 考 点 回顾 ．
歌
（ 浙江青田中学 ３３０） ２９０
（） １ 注重探究性将成 为高考试题 的基本特征 ， 也是高考 试题的发展方 向． 近几年高考数学考试设 置 了探索性 、 开放 性问题 ， 以考查学 生 的数学探 究 能力 、 新意 识 和综 合 素 创 质， 发挥了积极的检测功能． （） ２ 今后高考还将会对开放性 问题更新命题形式 ， 丰富 题型结构 ， 拓宽考查 内涵 ， 强检 测功能． 以预测考查学 增 可
浅议高中数学开放题
学生 了解和 牢记数 学结论 而设计 的， 学生在 学 习 中缺乏 主动 参与 的过程 。那 么在教 材还 没有提供 足 够的 开放 题之
前 ， 的 开放 题 从 那 里 来 ？我 认 为 最现 实 的 办 法是 让 “ 闭” “ 放 ” 好 封 题 开 。
【 关键词 】 高中数 学 开放题 ：
秒钟后质点以 ２／ ０ ｓ的速度 作匀速运动 ，０秒钟后质点 以 一 ｍ ｌ ２／ ｓ ２的加速度作匀减速运动 ， 到质点运 动到 ２ 直 ０秒末停下 。 （ ） 二 季节性服 饰在 当季 即将到来 之 时 ， 价格呈 上 升趋 势 ，
设某服饰开始时定价为 １ ０元 ， 且 每 周 （ 并 ７天 ） 价 ２元 ， 后 涨 ５周
一
、
开放 意识 的形成
计 时 后 质 点 以 １／ ０ ｓ的初 速 度 作 匀 加 速 运 动 ， 速 度 为 ２ ／２ ５ 加 ｍ ｓ ，
关 于开放题 目前 尚无 确切的定 论 ， 常是改变命题结构 ， 通 改
变 设 问 方式 ， 强 问 题 的探 索 性 以及 解 决 问 题 过 程 中 的 多 角 度 增
圜 础 研究 教育
浅 议 高 中数 学 开 放 题
江西省 南昌市莲塘 一 中 曹 晶 ３０ ０ ３２ ０
【 摘
要 】开放题是数 学教 学中的一种新题 型， ： 它是相对 于传统的封 闭题 而言 的。开放题 的核心是培 养学生 的创 造意识和创 造
能 力 ， 发 学 生独 立 思 考和 创 新 的 意 识 ， 是 一种 新 的教 育理 念 的具 体 体 现 。现 行 数 学 教 材 中 ， 激 这 习题 基 本 上 是 为 了使
（ ） 尽 可 能地 找 出 ： １试
高中数学开放题之探究
开放 题 作 为一 种具 有特 殊 形 式 的数 学 问题 ， 一 般 与 的数 学 问 题 一 样 ， 具 有 知 识 教 育 价 值 。 放 题 最 突 出 也 开 的也 是人 们 谈论 最 多 的 是 ： 有 利 于 培养 学 生 发 散 思 维 它 和 创 造 能 力 。 发 学 生 独 立 思 考 和 创 新 的 意 识 ， 是 一 激 这 种新 的教 育 理念 的具 体 体 现 。 目前人 们 普 遍 认 为 素 质教 育 的核 心 是 培养 创 新 精 神 和创 造 能 力 。 开 放 题 教 学是 而 推 进数 学 素 质教 育 的一 个切 入 点 和 突破 口 。 从 一 个侧 这 面 反 映 了开 放 题 在 培养 创 造 能力 方 面 所 具 有 的 巨 大教 育 价值 。 学 教师 需 要 主动 接 受 建构 主义 教 学 理 论 的 指 数 导 ， 究 数 学 开 放 题 ， 建 数 学 开 放 题 及 其 教 学 模 式 并 研 构 用 之 于 数 学 教 学是 对 学 生进 行 素 质 教 育 的一 种 有 效 途 径。 开 放题 的特点 数 学 开 放 题 是 最 富有 教 育 价 值 的 一 种 数 学 问题 的 题型。 它具 有 以 下几 种最 突 出 的特 征 ： １ 内容 的 丰 富性 。 放题 题 材 广 泛 ， 及 面 广 ， 近 ． 开 涉 贴 学 生 生 活 实 际 ， 景新 颖 ， 背 内容 深 刻 ， 法 灵 活 ， 像 封 解 不 闭性 题 目那 样 简单 、 味 。 靠纯 记 忆 、 模式 来 解题 。 乏 单 套 ２ 形 式 的 多样 性 。 放 题呈 现 的形 式 多 样 化 ， 文 ． 开 除 字 叙 述 外 ． 可 以 用 表 格 、 画 、 话 等 形 式 来 安 排 设 还 图 对 计． 综合 性 强 ， 像 封 闭性 习题 形 式 那 样 单 一 地 呈 现 和 不 呆板 地叙 述 。 ３ 思路 的 发散 性 。 于 开放 题 的答 案 不 唯 一 ， 题 ． 由 解 时需 要 运 用 多种 思 维 方 法 。 通 过 多 角 度 、 方 位 的分 并 全 析探 索 ， 而 获得 多 种结 论 。 从 ４ 教 育 的 创新 性 。 解题 思 路具 有 发 散 性 ， 学 生 ． 其 为 提供 了充分 发挥 创 新 意识 和 创新 精 神 的 时空途 径 。 数学 开放 性 题是 近 年 高 考命 题 的一 个 新亮 点 ， 解 其 法灵 活 且 具有 一 定 探索 性 。 类题 型 按 解 题 目标 的操 作 这 模式分 为 ： 规律 探 索 型 、 问题 探 究 型 、 学 建模 型 、 作 数 操 设 计 型 、 景研 究 型 。 果 “ 知 的 ” 解题 假设 ， 么 就 情 如 未 是 那 称 为条 件 开 放 型 ： 如果 “ 知 的 ” 解 题 目标 ， 么 就 称 未 是 那 为结 论 开放 型 ； 果 “ 知 的 ” 解 题 推 理 ， 么 就 称 为 如 未 是 那
继承与创新同在,传统与开放并存——2012年浙江省数学高考理科第17题赏析
令ｘ ＝ ２ ， ￣ １ １ （ ２ ａ － ３ ） （ ３ — ２ ａ ） ＞ Ｉ ０ ， 即 ÷．
又正面碰 到 ， 许 多学生对此题 有似 曾相识 之感． 由于高考 试题继承 与创 新 同在 ， 从 而学生 的求解 思路并不清 晰． 这 题不能直接 “ 分离参数法 ” ， “ 最值法 ” 也不方便使用 ， 顺利 解答有不小难 度． 本 题击 中了应试 教学 的软肋 ， 显示 了高 考命题者 的智慧． 本 问题 的解题 策略有相 当的开放性 与 发散度 ，可 以很好地考查学 生灵活应用数学知识 与方法 的能力． 让 我们追寻探究 的足迹 ， 感受思想 的风采． ２ ０ １ ２ 年浙 江数学 高考理科第 １ ７ 题： 设ａ∈ Ｒ， 若 ＞ Ｏ 时 均有 ［ （ ０ — １ 一 １ ］ （ ２ ＿ 一 １ ） ≥０ ， 则 — —
１ ） ＞０ ／ 在ｘ ＞ ０ 时不可能恒成立 ；
点评 ： 不能直接 分 离参数 ， 但 能从参数分 离法的思想
中受 到 启发 ． 调整视 角， 变 更主 元． 体 现 了思 维 的 灵 活 性．
综 上 ， 所 求 。 的 取 值 范 围 是 『 ０ ， ÷ ］ ．
解法３ ： 分类讨论 ， 各个击破． 当ａ ＝ ｌ 时， 不等式 ［ （ 口 一 １ 一 １ ］ （ Ｘ ２ － Ｎ一 ａ １ ） ≥０ 即为 叫一
１ ≤Ｏ ， 在 ＞ ０ 时不可能恒成立 ；
（
解得
七ｏ ．
了特殊性存在 于一般 性之 中的哲 学思想．这里有运 气的 成份 ． 也有 解浙江高考题的技巧． ＆ ￣ ， ２ ０ １ ０ 届 高考数 学测试
、
解法探究 。 感 悟 思 想
卷第２ ２ 题： 已知函教厂 （ ） ＝ （ １ － ２ ａ ） ｘ ＋ （ ９ ０ — ４ ） ＋ （ ５ — １ ２ ａ ） ｘ ＋
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高考数学开放性问题
数学开放性问题以其形式新颖、解法别致的特点逐渐成为高考的一类热点问题。
这类题型主要有条件开放、结论开放、条件与结论同时开放，从应用看有规律性探索型和存在性探索型。
对于这类题型，在解答时思维较灵活，有时要从条件探求结论，而且结论又不唯一；有时要从结论出发逆向探求条件，而且条件不唯一；有时要根据题意自己去探求条件和结论，而且两者都不是唯一的情形。
此类问题的知识覆盖面较广，综合性强，需要先通过对问题进行观察、分析、比较、概括后方能得出结论，再对所得出的结论予以证明，难度大，要求高，有利于培养和考查学生的创新思维能力。
一、条件开放，结论确定题型
例1.在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，当底面四边形ABCD满足条件______时，有A1C⊥B1D1。
（注：填上一种你认为正确的条件即可，不必考虑所有可能的情形。
）
分析：这是一道探索条件型且答案不唯一的开放题，需要执果索因，答案较多。
此题主要考查四棱柱的性质、三垂线性质定理等，由于只要求填出使结论成立的充分条件，条件放得宽，难度不大。
根据直四棱柱的性质，A1C⊥B1D1与AC⊥BD互为充要条件，故答案可以是AC⊥BD、底面四边形ABCD为正方形、底面四边形ABCD为菱形等之一即可。
点评：这类题型要求学生变换思维方向，有利于培养学生的逆向思维能力。
二、条件确定，结论开放题型
例2.若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是_____（只需写出一个可能的值）。
分析：这类题我们常以答案的多少去衡量题目开放度的大小。
此题的实质是构造满足条件的四面体，它们的体积分别是或或，则所求结论为三个答案中任一个。
点评：这类题型要求我们根据条件去探索结论然后论证，有利于培养和考查学生的发散思维能力。
三、条件、结论同时开放的题型
例3.设α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥β。
以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题______。
分析：这是一道结构新颖的开放型试题，它不仅在条件上开放，结论上开放，连答案也是开放的。
它充分体现了“重基础、考能力”的命题思想，充分体现了知识的内在联系，在知识网络的交汇点设计题目的思想。
根据题意，此题可作四个命题，其中至少有一个是正确的，只须选一个正确命题。
从给出的三个论断中可得这是一道面面、线面、线线垂直的命题，再联想二面角的平面角与两个平面垂直的直线所成角的关系，易证“m⊥n，n⊥β，m⊥βα⊥β”以及“α⊥β，n⊥β，m⊥βm⊥n”等正确，填其中一个结论即可。
点评：此题不仅要求我们有较好的空间想象能力和逻辑思维能力，还要掌握发散思维方法和对陌生情景有较强的适应能力。
解答该题需要考生去思考、分析、尝试、猜想、论证，极具挑战性、探索性。
四、规律性探索型
例4.已知函数f（x）= ，那么f（2）+f（）+f（3）+f（）+f（4）+f（）+…+f（n）+f（）=_____（n∈N+）。
分析：通过观察函数可发现规律f（x）+f（）=1，于是得结论为n-1。
点评：本题要求学生在陌生的问题情境中能自主探索，提取相关信息，获得规律，从而解决问题。
五、存在性探索型
例5.已知函数g（x）=-x2+8x，h（x）=6lnx+m，x>0。
问：是否存在实数m，使得y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。
解析：函数y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点，即函数f（x）=h（x）-g（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。
∵f（x）=x2-8x+6lnx+m
∴f1（x）=2x-8+ = （x>0）。
当x∈（0，1）时，f`（x）>0，f（x）为增函数；
当x∈（0，3）时，f`（x）当x∈（0，+∞）时，f`（x）>0，f（x）为增函数。
∴f（x）极大值=f（1）=m-7，f（x）极小值=f（3）=m+6ln3-15。
∵当x充分接近0时，f（x）0。
∴要使f（x）的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点，必须且只须f（x）极大值=m-7>0，f（x）极小值=m+6ln3-15所以存在实数m，使得y=g（x）的图象与y=h（x）的图象有且只有三个不同的交点，其中m的取值范围为（7，15-6ln3）。
点评：“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。
“不存在”就是没有，找不到。
如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。
这类问题常用“肯定顺推”。
开放探索性问题的解法无固定的模式可循，在解这类问题时，必须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索、猜想验证等多种思维方法去寻求解题的途径。
它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。
因此我们在复习中要从提高创新能力、对命题的推广能力、空间想象能力出发，多做一些开放性题目，在探索完成的过程中培养深思的习惯，给自己一个进一步创新、研究的空间，从而更好地发挥创造意识、联想能力、深思习惯和扎实的基础知识。