函数对称性与周期性关系

函数

对称性与周期性关系

【知识梳理】

一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身)

1、 周期性：对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有

)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性：

我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =-

奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f

上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的

探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称⇔)()(x a f x a f -=+

)()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=-

简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==，即

点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。

若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2

2)()(b

a x

b x a x +=

-++=

对称 （2）函数)(x f y =关于点),(b a 对称⇔b x a f x a f 2)()(=-++

b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+-

简证：设点),(11y x 在)(x f y =上，即)(11x f y =，通过b x f x a f 2)()2(=+-可知，

b x f x a f 2)()2(11=+-，所以1112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点)2,2(11y b x a --也

在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得证。

若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2

,2(

c

b a + 对称

（3）函数)(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个y 值

与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则有可能会出现关于b y =对称，比如圆04),(2

2

=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。

4、 周期性：

（1）函数)(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为

A 、)()(x f T x f -=+

B 、)

(1

)()(1)(x f T x f x f T x f -

=+=

+或 C 、)(1)(1)2(x f x f T x f -+=+

或)

(1)

(1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） D 、其他情形

（2）函数)(x f y =满足)()(x a f x a f -=+且)()(x b f x b f -=+，则可推出

)](2[)]2([)]2([)2()(a b x f b x a b f b x a b f x a f x f -+=---=--+=-=即可以得到)(x f y =的周期为2(b-a)，即可以得到“如果函数在定义域内关于垂直于x 轴两条直线对称，则

函数一定是周期函数”

（3）如果奇函数满足)()(x f T x f -=+则可以推出其周期是2T ，且可以推出对称轴为

kT T

x 22

+=

)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以找出其对称中心为)0(kT ，)(z k ∈（以上0≠T ）。如果偶函数满足)()(x f T x f -=+则亦可以推出周期是2T ，且可以推出对称中心为

)0,22

(

kT T

+)(z k ∈，根据)2()(T x f x f +=可以推出对称轴为kT T x 2+=)(z k ∈ （以上0≠T ）

（4）如果奇函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以4T 为周期

的周期性函数。如果偶函数)(x f y =满足)()(x T f x T f -=+（0≠T ），则函数)(x f y =是以2T 为周期的周期性函数。

二、 两个函数的图象对称性

1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=y 对称。 2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)()(x g x f -=，即它们关于0=x 对称。 3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足)2()(x a g x f -=，即它们关于a x =对称。 4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足a x g x f 2)()(=+，即它们关于a y =对称。 5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。

换种说法：)(x f y =与)(x g y =若满足b x a g x f 2)2()(=-+，即它们关于点(a,b)对称。

6、 )(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2

b

a x +=

对称。 【典型例题】 1. 定义在R 上的函数，若总有

成立，则函数

的图象是关于直线

成

轴对称图形。反之，若函数

的图象关于直线

成轴对称图形，则必有

推论，对于定义在R 上的函数，若有，则图象关于直线成轴对

称图形，反之亦真。

证明：若对，总有

，设点

，在的图象上，点

关于

的对称点

，由

，则点

在函数的图象上，由的任意性知的

图象关于直线

对称，反之证明略。

推论，由显然