南昌大学概率论期末试卷

10 分
四、1、设 A 表示事件“任选的一名射手能通过选拔进入比赛”， Bi 表示事件“任选的一名射 手是 i 级射手”， i 1, 2,3, 4 .显然 B1 , B2 , B3 , B4 是样本空间的一个划分.由题设条件知，
P B1
4 7 1 , P B2 , P B3 , P B4 , 20 20 20
当 z 0 时，显然 FZ z 0 . 当 z 0 时， Fz z =
2
3分

4
x x >0, y >0
x z
2
e
- x2 + y 2
dxdy = 4 2 d z e- d = 1 - e z . 0 0
2 2
8分
故所求 Z 的概率密度为
y)
5分

y
y
1 x2 . e dx 2
2
容易看出 FY ( y) 在（-∞，+∞）上连续，且当 y＜0 时 FY ( y ) 0 ；
当 y＞0 时， FY ( y )
1 2 y
y e 2 .于是得到 Y X 2 的概率密度为
y 1 2 e ， y 0， fY ( y ) 2 y 0， y 0. 2、因 X 和 Y 相互独立，得
e x , x 0 5、设随机变量 X 的概率密度为 f X x ， 则随机变量 Y e X 的概率密度 0, x 0
fY y 为（ A ）.
1 , y 1 (A) y 2 0, y 1
1 , y0 (B) y 2 0, y 0
一人能将此密码译出的概率为 0.6 .
3、一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一个，抽后不放回，则第
1 二次抽取的是次品的概率为 . 6
4、设随机变量 X 服从泊松分布，且 P X 1 P X 2 , 则 X 的数学期望为 2.
5、设随机变量 Y 在 1, 6 上服从均匀分布，则方程 x 2 Yx 1 0 有实根的概率为 0.8.
10 分
e y ,0 x 1, y f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 其它. Z = X+ Y 的分布函数为
FZ ( z )
x y z

f ( x, y )dxdy.
以下就 Z 的取值分三种情况讨论： （1）当 Z＜0 时， FZ z 0. （2）当 0 z 1时
得 分
评阅人
(B) P AB P A P B (D) P A B 1 ， b 0 ，则 ( C ). (D)
1 b 1
2、 设离散型随机变量 X 的分布律为： P X k b k ， k 1, 2, (A) 1 b (B) b 1 (C)
P X Y 1 ( A ).
(A)
1 4
(B)
1 2
(C)
1 3
(D)
1 6
得 分 三、求下列概率密度（每题 10 分，共 20 分）
评阅人
2x , 0 x 1、设随机变量 X 的概率密度为 f x 2 ，试求 Y sin X 的概率密度. 0, 其它
1 2
(B) 1 2
4、设随机变量 X 的分布函数为 F x ，则随机变量 Y 2 X 1 的分布函数 G y 为（ D ）.
1 (A) F y 1 2
(B)
2F y 1
(C)
1 1 F y 2 2
1 1 (D) F y 2 2
考 生 填 写 栏
所属学院： 所属专业： 考 生 须 知 考 生 承 诺
得 分 一、填空题：（每空 4 分，共 24 分）
评阅人
1、一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为
80 ，则该射手的命中 81
2 率为 . 3
1 1 1 2、三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为 ， ， ，则三人中至少有 5 3 4
e y , y 0 (C) 0, y 0
1 , y 1 (D) y 0, y 1
6 x, 0 x y 1 ，则 0, 其它
6 、 设 二 维 随 机 变 量 X , Y 的 联 合 概 率 密 度 为 f x, y
1 A = x, y : x y 2
1 的概率. 2
2分
P ( A)
( A) 区域A的面积 3 = () 区域的面积 4
8分
得 分 五、综合题（共 16 分）
评阅人
1、单项选择题（每题 4 分）（1）D (2) C 2、设总体 X 的概率密度为
P A B 0.5,
P A B1 0.9,
3
P A B2 0.7,
4
P A B 0.2 .
所求概率为 P B1 A , 由贝叶斯公式
P B1 A P B1 P A B1
x 1 e , x 0, f x, 0, 其它.
其中参数 0 未知， X 1 , X 2 , 估计量.（8 分）
, X n 是来自总体 X 的简单随机样本，求参数 的极大似然
n
xi xi / 1 1 i 1 解：极大似然函数为 L L x1 , x2 ,…,xn ; e n e ， i 1 n
2分
则
ln L n ln xi / ，令
i 1
n
xi d ln L n i 1 2 0， d
解之得
n

1 n xi x ，因此 极大似然估计量为 n i 1
1 n X 源自文库 X （样本均值） n i 1

1 2
X 2 Y 2 的概率
2 y2 2 x2 e ,0 y , e ,0 x , f X x f X x 0, 0, 其它. 其它；
4 x 2 y 2 ， 0 x ,0 y e , f x, y f X x fY y 其它 0,
1 b 1
3 、 设 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N 1 , 12 , Y 服 从 正 态 分 布 N 2 , 2 2 , 且
P X 1 1 P X 2 1 ,则（A
）. (C) 1 2 (D) 1 2
(A)
arcsin y
1分 2分
2x
0

2
dx

2x
arcsin y
2
dx
6分
1 y2
于是
2 , 0 y 1 fY y 1 y 2 0, 其他
10 分
2、设 X 和 Y 是两个相互独立的随机变量，均服从正态分布 N 0, ,求 Z 密度. 解： X 和 Y 的概率密度分别为
—南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案 —
【适用时间：2011～2012 学年第二学期 课程编号： 课程名称： 概率论与数理统计 试卷类型：[A]卷】
试卷编号：
教 师 填 写 栏
试卷说明：
1、本试卷共 6 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院： 适用班级：
理学院 理工类 48 学时
理学院 理工类 48 学时
考试形式： 考试时间：
闭卷 120 分钟
一、填空题（每空 4 分，共 24 分） 1、0.5, 2、0.8， 3、4， 4、 ABC ABC ABC 5、2 6、
7 24
二、单项选择题（每题 4 分，共 24 分） 1、B, 1、解 2、C， 3、A， 4、A, 5、D, 6、A
“球取自第i罐” i 解：设 A 表示事件“取到的是一个白球”， B i 表示事件
P A P Bi P A B3
i 1 3

1,2,3
2分
1 2 1 3 1 1 3 3 3 4 3 2 23 36
7分
8分
2、在区间 0, 1 中随机地取两个数，求两数之差的绝对值小于 解：用 x ， y 分别表示两个数， = x, y / 0 x 1,0 y 1
（1）当 y 0 时， FY y 0 ，于是 fY y 0 （2）当 y 1 时， FY y 1 ，于是 fY y 0 （3）当 0 y 1 时， FY y P sin X y
fY y FY y 2
8分
—南 昌 大 学 考 试 试 卷 答 案—
【适用时间：2012～2013 学年第一学期 课程编号： 课程名称： 概率论与数理统计 试卷类型：[A]卷】 教 50
试卷编号：
教 师 填 写 栏
试卷说明：
1、本试卷共 7 页。 2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。
开课学院： 适用班级：
6、设 X 与 Y 是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为
1,0 x 1, f X ( x) 0, 其它.
则 X Y 的方差为
13 . 12
e y , y 0, fY ( y ) 0, y 0.
二、单项选择题：（每题 4 分，共 24 分） 1、 设事件 A 与事件 B 互不相容，则（ D ）. (A) P AB 0 (C) P A 1 P B
考试形式： 考试时间：
闭卷 120 分钟
题号 题分 得分
一 24
二 24
三 20
四 16
五 16
六
七
八
九
十
总分 累分人 100 签 名
考生姓名：
考生学号： 所属班级： 考试日期：
1、请考生务必查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。 2、严禁代考，违者双方均开除学籍；严禁舞弊，违者取消学位授予资格； 严禁带手机等有储存或传递信息功能的电子设备等入场（包括开卷考试）， 违者按舞弊处理；不得自备草稿纸。 本人知道考试违纪、作弊的严重性，将严格遵守考场纪律，如若违反则愿意 接受学校按有关规定处分！ 考生签名：
三、求下列概率密度（每题 10 分，共 20 分）
X 的概率密度为
1 x2 x . f X ( x) e ， 2
当 y≤0 时，显然
2
FY ( y) P( Y y ) P (2 X
当 y＞0 时有
y )；0
FY ( y ) P(Y y ) P( X 2 y ) P ( y X
FZ z dx
0
x
zx
0
e y dy z 1 e y .
zx
4分
（3）当 z 1 时，由图 3 6 知
FZ z dx
0
1
0
e y dy 1 e z e1 z .
故 Z X Y 的概率密度为
z 0, 0, f Z z FZ z 1 e z , 0 z 1, e 1 e z , z 1.
2 ze- z , z 0 f z z = FZ z ,z 0 0
2
10 分
得 分 四、求下列概率（每题 8 分，共 16 分）
评阅人
1、有三个形状相同的罐，在第一个罐中有 2 个白球和 1 个黑球，在第二个罐中有 3 个白球和 1 个黑球，在第三个罐中有 2 个白球和 2 个黑球. 现任取一罐，从中任取一球，试求取得白 球的概率.