2020-2021高一数学上期中试卷含答案

2020-2021高一数学上期中试卷含答案

一、选择题

1．函数()2

312x f x x -??=- ???

的零点所在的区间为（ ）

A ．()0,1

B ．()1,2

C ．()2,3

D ．()3,4

2．函数()ln f x x x =的图像大致是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

3．函数tan sin tan sin y x x x x =+--在区间（

2

π，32π）内的图象是( ) A ． B ．

C ．

D ．

4．不等式(

)

2

log 231a x x -+≤-在x ∈R 上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[)2,+∞

B ．(]1,2

C ．1,12??

????

D ．10,2?? ???

5．已知函数()25,1,,1,x ax x f x a x x

?---≤?

=?>??是R 上的增函数，则a 的取值范围是（ ）

A ．30a -≤<

B ．0a <

C ．2a ≤-

D ．32a --≤≤

6．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －6≤0}，B ＝{x |1

4

x x +-＞0}，那么集合A ∩(?U B )＝( )

A ．{x |－2≤x ＜4}

B ．{x |x ≤3或x ≥4}

C ．{x |－2≤x ＜－1}

D ．{x |－1≤x ≤3}

7．已知函数2

()2f x ax bx a b =++-是定义在[3,2]a a -的偶函数,则()()f a f b +=

（ ） A ．5

B ．5-

C ．0

D ．2019

8．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）

A ．233231log 224f f f --?????

?>> ? ? ???????

B ．23

3231log 224f f f --?????

?>> ? ? ???????

C ．2

3332122log 4f f f --?????

?>> ? ? ???????

D ．23

323122log 4f f f --?????

?>> ? ? ???????

9．已知0.80.8

20.7,log 0.8, 1.1a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ）

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．a c b <<

D ．b c a <<

10．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ?

?=- ??

?，()2log 4.1b f =，

()

0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )

A ．a b c <<

B ．b a c <<

C ．c b a <<

D ．c a b <<

11．已知()()2,1

1,1

x

x f x f x x ?

A ．7

B ．

72

C ．

74

D ．7

8

12．函数()(1)f x x x =-在[,]m n 上的最小值为1

4

-，最大值为2，则n m -的最大值为

（ ） A

．

52

B ．

52

22

+

C ．

32

D ．2

二、填空题

13．给出下列四个命题：

（1）函数()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件是0c =； （2）函数()2

0x

y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<；

（3）若函数()()

2

lg f x x ax a =+-的值域是R ，则4a ≤-或0a ≥；

（4）若函数()1y f x =-是偶函数，则函数()y f x =的图像关于直线0x =对称. 其中所有正确命题的序号是______.

14．幂函数y=x α,当α取不同的正数时,在区间[0,1]上它们的图像是一族美丽的曲线(如图).设点A (1,0),B (0,1),连接AB ,线段AB 恰好被其中的两个幂函数y=x α,y=x β的图像三等分,即有BM=MN=NA ,那么,αβ等于_____.

15．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数0.5()log (43)

g x x =-的定义域是

__________． 16．若1∈{

}2

,a a

, 则a 的值是__________

17．函数f(x)为奇函数，且x>0时，f(x)＝x ＋1，则当x<0时，f(x)＝________.

18．计算：

__________．

19．已知312a

b += 3

a b a

=__________. 20．若函数()22x

f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是_____.

三、解答题

21．设函数()(0.a

f x x x x

=+

≠且x ，)a R ∈． （1）判断()f x 的奇偶性，并用定义证明； （2）若不等式()

1

2

262

x

x x f <-+

+在[]0,2上恒成立，试求实数a 的取值范围；

（3）()11,0,12x g x x x -??

=

∈??+??

的值域为.A 函数()f x 在x A ∈上的最大值为M ，最小值为m ，若2m M >成立，求正数a 的取值范围．

22．近年来，“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便，某共享单车公司“Mobike ”计划在甲、乙两座城市共投资160万元，根据行业规定，每个城市至少要投资30万元，由前期市场调研可知：甲城市收益P 与投入(a 单位：万元)满足426P a =-，乙城市收益Q 与投入(b 单位：万元)满足1

24

Q b =

+，设甲城市的投入为(x 单位：万元)，两个城市的总收益为()(f x 单位：万元)．

（1）写出两个城市的总收益()(f x 万元)关于甲城市的投入(x 万元)的函数解析式，并求出当甲城市投资72万元时公司的总收益；

（2）试问如何安排甲、乙两个城市的投资，才能使总收益最大？

23．学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其在40分钟的一节课中，注意力指数y 与听课时间x （单位：分钟）之间的关系满足如图所示的图象，当(]0,12x ∈时，图象是二次函数图象的一部分，其中顶点()10,80A ，过点

()12,78B ；当[]12,40x ∈时，图象是线段BC ，其中()40,50C ．根据专家研究，当注

意力指数大于62时，学习效果最佳．

（Ⅰ）试求()y f x =的函数关系式；

（Ⅱ）教师在什么时段内安排内核心内容，能使得学生学习效果最佳？请说明理由． 24．已知3a ≥，函数F （x ）=min{2|x?1|，x 2?2ax+4a?2}，

其中min{p ，q}={,.

p p q q p q ，，≤> （Ⅰ）求使得等式F （x ）=x 2?2ax+4a?2成立的x 的取值范围； （Ⅱ）（ⅰ）求F （x ）的最小值m （a ）； （ⅱ）求F （x ）在区间[0,6]上的最大值M （a ）.

25．已知函数()x

f x b a =?，（其中,a b 为常数且0,1a a >≠）的图象经过点

(1,6),(3,24)A B

（1）求()

f x的解析式

（2）若不等式

11

120

x x

m

a b

????

++-≥

? ?

????

在(],1

x∈-∞上恒成立，求实数m的取值范围.

26．近年来,“共享单车”的出现为市民“绿色出行”提供了极大的方便,某共享单车公司“Mobike”计划在甲、乙两座城市共投资120万元,根据行业规定,每个城市至少要投资40万

元,由前期市场调研可知:甲城市收益P与投入a(单位:万元)满足6

P=,乙城市收益

Q与投入b(单位:万元)满足

1

2

4

Q b

=+,设甲城市的投入为x(单位:万元),两个城市的总收

益为()

f x(单位:万元).

(1)当甲城市投资50万元时,求此时公司总收益;

(2)试问如何安排甲、乙两个城市的投资,才能使总收益最大?【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．B

解析：B

【解析】

【分析】

判断函数()

2 3

1

2

x

f x x

-??

=- ?

??

单调递增，求出f（0）=-4，f（1）=-1，f（2）=3＞0，即可判断．

【详解】

∵函数()

2 3

1

2

x

f x x

-??

=- ?

??

单调递增，

∴f（0）=-4，f（1）=-1，

f（2）=7＞0，

根据零点的存在性定理可得出零点所在的区间是()

1,2，

故选B．

【点睛】

本题考查了函数的单调性，零点的存在性定理的运用，属于容易题．2．A

解析：A

【解析】

【分析】

从图象来看图象关于原点对称或y 轴对称，所以分析奇偶性，然后再用特殊值确定. 【详解】

因为函数()ln f x x x =是奇函数，排除C ，D 又因为2x = 时()0f x >，排除B 故选：A 【点睛】

本题主要考查了函数的图象的判断，还考查了数形结合的思想，属于基础题.

3．D

解析：D 【解析】

解：函数y=tanx+sinx-|tanx-sinx|=2tan ,tan sin {

2sin ,tan sin x x x x x x

<≥

分段画出函数图象如D 图示， 故选D ．

4．C

解析：C 【解析】 【分析】

由()2

223122-+=-+≥x x x 以及题中的条件，根据对数函数的单调性性，对a 讨论求解即可. 【详解】

由(

)

2

log 231a x x -+≤-可得()

2

1log 23log -+≤a a

x x a

， 当1a >时，由()2

223122-+=-+≥x x x 可知2

1

23-+≤

x x a

无实数解，故舍去； 当01a <<时，()2

2

12312-+=-+≥

x x x a

在x ∈R 上恒成立，所以1

2a ≤，解得

1

12

a ≤<. 故选：C 【点睛】

本题主要考查对数函数的单调性，涉及到复合函数问题，属于中档题.

5．D

解析：D 【解析】 【分析】

根据分段函数的单调性特点，两段函数在各自的定义域内均单调递增，同时要考虑端点处

的函数值. 【详解】

要使函数在R 上为增函数，须有()f x 在(,1]-∞上递增，在(1,)+∞上递增，

所以21,20,115,

1a a a a ?-≥??

，解得32a --≤≤.

故选D. 【点睛】

本题考查利用分段函数的单调性求参数的取值范围，考查数形结合思想、函数与方程思想的灵活运用，求解时不漏掉端点处函数值的考虑.

6．D

解析：D 【解析】

依题意A ＝{x |－2≤x ≤3}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞4}，故?U B ＝{x |－1≤x ≤4}，故A ∩(?U B )＝{x |－1≤x ≤3}，故选D.

7．A

解析：A 【解析】 【分析】

根据函数f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数，即可求出a ，b ，从而得出f （x ）的解析式，进而求出f （a ）+f （b ）的值． 【详解】

∵f （x ）＝ax 2+bx +a ﹣2b 是定义在[a ﹣3，2a ]上的偶函数；

∴0

320b a a =??-+=?

；

∴a ＝1，b ＝0； ∴f （x ）＝x 2+2；

∴f （a ）+f （b ）＝f （1）+f （0）＝3+2＝5． 故选：A ． 【点睛】

本题考查偶函数的定义，偶函数定义域的对称性，已知函数求值的方法．

8．C

解析：C 【解析】 【分析】

由已知函数为偶函数，把2332

31log ,2,24f f f --?????? ? ? ???????

，转化为同一个单调区间上，再

比较大小． 【详解】

()f x Q 是R 的偶函数，()331log log 44f f ?

?∴= ???．

22330

3

3

2

2

333log 4log 31,122

2,log 42

2--

-

-

>==>>∴>>Q ，

又()f x 在(0，+∞)单调递减，

∴()23323log 422f f f --???

?<< ? ?????

，

2332

3122log 4f f f --??????∴>> ? ? ???????

，故选C ．

【点睛】

本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值．

9．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出a b c 、、的取值范围，从而可得结果. 【详解】

0.8000.70.71a <=<=Q ，

22log 0.8log 10b =<=， 0.801.1 1.11c =>=，

b a

c ∴<<，故选B. 【点睛】

本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.

10．C

解析：C 【解析】

由题意：()2

21log log 55a f f ??

=-= ???

，

且：0.8

22log 5log 4.12,122>><<，

据此：0.8

22log 5log 4.12

>>，

结合函数的单调性有：()()()0.8

22log 5log 4.12f f f >>，

即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.

【考点】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.

11．C

解析：C 【解析】 【分析】

根据函数的周期性以及分段函数的表达式，结合对数的运算法则，代入即可得到结论． 【详解】

2222log 4log 7log 83=<<=Q ，20log 721∴<-<，

()()2log 72227log 7log 7224

f f -∴=-==

. 故选：C . 【点睛】

本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式以及函数的周期性进行转化是解决本题的关键．

12．B

解析：B 【解析】 【分析】

根据二次函数的图象和性质，求出最大值和最小值对应的x 的取值，然后利用数形结合即可得到结论． 【详解】

当x≥0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=x 2﹣x=（x ﹣

12）2﹣1144≥-， 当x ＜0时，f （x ）=x （|x|﹣1）=﹣x 2﹣x=﹣（x+12）2+1

4

， 作出函数f （x ）的图象如图：

当x≥0时，由f （x ）=x 2﹣x=2，解得x=2． 当x=

12时，f （12）=1

4

-．

当x ＜0时，由f （x ）=）=﹣x 2﹣x=14

-

． 即4x 2

+4x ﹣1=0，解得x=24444432248

-±+?-±=

?=44212

82-±-±=， ∴此时x=

12

2

--， ∵[m，n]上的最小值为1

4

-，最大值为2， ∴n=2，

121

22

m --≤≤， ∴n﹣m 的最大值为2﹣122

--=5

222+， 故选：B ．

【点睛】

本题主要考查函数最值的应用，利用二次函数的图象和性质是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本数学思想．

二、填空题

13．（1）（2）（3）【解析】【分析】根据奇函数的定义得到（1）正确根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确由函数的值域是得出其真数可以取到所有的正数由二次函数判别式大于等于0求解可判断出（3）正确

解析：（1）（2）（3） 【解析】 【分析】

根据奇函数的定义得到（1）正确，根据反函数的求法以及定义域值域得到（2）正确， 由函数()()

2

lg f x x ax a =+-的值域是R ，得出其真数可以取到所有的正数，由二次函

数判别式大于等于0求解，可判断出（3）正确，根据函数图像平移可判断（4）不正确. 【详解】

解：（1）当0c =时，()=+f x x x bx ，

()()()-=---=-+=-f x x x bx x x bx f x ，

当函数为奇函数时()()f x f x -=-，即

()++=----+=+-x x bx c x x bx c x x bx c ，解得0c =，所以0c =是函数

()f x x x bx c =++为奇函数的充要条件，所以（1）正确；

（2）由反函数的定义可知函数()20x

y x -=>的反函数是()2log 01y x x =-<<，所以

（2）正确；

（3）因为函数()()

2

lg f x x ax a =+-的值域是R ，所以2

y x ax a =+-能取遍(0,)

+∞的所有实数，所以240a a =+≥△，解得0a ≥或4a ≤-，所以（3）正确； （4）函数()1y f x =-是偶函数，所以()1y f x =-图像关于y 轴对称，函数()y f x =的图像是由()1y f x =-向左平移一个单位得到的，所以函数()y f x =的图像关于直线

1x =-对称，故（4）不正确. 故答案为：（1）（2）（3） 【点睛】

本题主要考查对函数的理解，涉及到函数的奇偶性、值域、反函数等问题.

14．【解析】【分析】由条件得MN 则结合对数的运算法则可得αβ=1【详解】由条件得MN 可得即α=loβ=lo 所以αβ=lo·lo=1【点睛】本题主要考查幂函数的性质对数的运算法则及其应用等知识意在考查学生

解析：【解析】 【分析】

由条件,得M 12,33?? ???,N 21,33?? ???,则1221,3333αβ

????

== ? ?????

,结合对数的运算法则可得αβ=1.

【详解】 由条件,得M 12,

33?? ???,N 21,33??

???

, 可得1221,3333α

β

????

== ? ?????

,

即α=lo 2

3

13g ,β=lo 13

23g . 所以αβ=lo 2313g ·

lo 13

12

233·21333

lg

lg g lg lg ==1. 【点睛】

本题主要考查幂函数的性质，对数的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

15．【解析】首先要使有意义则其次∴解得综上点睛：对于抽象函数定义域的求解(1)若已知函数f(x)的定义域为ab 则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；(2)若已知函数f(g(x))

解析：3,14??

???

【解析】

首先要使(2)f x 有意义，则2[0,2]x ∈， 其次0.5log 430x ->， ∴022

0431

x x ≤≤??

<-

解得01314

x x ≤≤???<

综上3,14x ??∈

???

． 点睛：对于抽象函数定义域的求解

(1)若已知函数f(x)的定义域为[a ，b]，则复合函数f(g(x))的定义域由不等式a≤g(x)≤b 求出；

(2)若已知函数f(g(x))的定义域为[a ，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]上的值域．

16．-1【解析】因为所以或当时不符合集合中元素的互异性当时解得或时符合题意所以填

解析：-1 【解析】 因为{

}2

1,a a

∈，所以1a =或2

1a

=，当1a =时，2a a =，不符合集合中元素的互异性，

当21a =时，解得1a =或1a =-，1a =-时2a a ≠，符合题意．所以填1a =-．

17．【解析】当x<0时－x>0∴f(－x)＝＋1又f(－x)＝－f(x)∴f(x)＝故填 解析：1x ---

【解析】

当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝ x -＋1，又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝1x ---,故填

1x ---.

18．4【解析】原式=log3332+lg(25×4)+2-(23)3-13=32+2+2-32=4故填4 解析：

【解析】

原式=,故填.

19．3【解析】【分析】首先化简所给的指数式然后结合题意求解其值即可【详解】由题意可得：【点睛】本题主要考查指数幂的运算法则整体数学思想等知识意在考查学生的转化能力和计算求解能力

解析：3

【解析】

【分析】

首先化简所给的指数式，然后结合题意求解其值即可.

【详解】

由题意可得：

13

21

22

3333 3

a b

a

b a a b

a

+-+

====.

【点睛】

本题主要考查指数幂的运算法则，整体数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

20．【解析】【分析】【详解】函数有两个零点和的图象有两个交点画出和的图象如图要有两个交点那么

解析：02

b

<<

【解析】

【分析】

【详解】

函数()22

x

f x b

=--有两个零点，

和的图象有两个交点，

画出和的图象，如图，要有两个交点，那么

三、解答题

21．（1）奇函数；见解析（2）7a <-；（3）15,153??

??

? 【解析】 【分析】

（1）可看出()f x 是奇函数，根据奇函数的定义证明即可；

（2）由题意可得出22(2)162x x

a <-++?在[]0,2上恒成立，然后令2x t =，[]1,4t ∈，

从而得出2261y t t =-++，只需min a y <，配方求出y 的最小值，即可求解； （3）容易求出1,13A ??=????，从而得出1,13x ??

∈????时，2()()min max f x f x >，可讨论a ：容

易得出0a ≤时，不符合题意；0a >时，可知()f x 在(上是减函数，在)

+∞上是增函数，从而可讨论109a <≤

，1a ≥和119a <<，然后分别求出()f x 在1,13??????

上的最小值和最大值，根据2m M >求出a 的范围即可． 【详解】

()()1f x Q 的定义域为()(),00,-∞?+∞，

且()()a

f x x f x x

-=-+

=--， ()f x ∴为奇函数；

()2若不等式()1

2262

x x x f <-+

+在[]0,2上恒成立， 即122622

x

x

x x a +

<-++在[]0,2上恒成立， 即2

2(2)162x x

a <-++?在[]0,2上恒成立， 令2x t =，则[]1,4t ∈，2

2

3

112612()22

y t t t =-++=--+

， ∴当4t =，即2x =时，函数取最小值7-，故7a <-；

()()123111x g x x x -=

=-+++是10,2??

????

上的减函数， ()g x ∴在10,2x ??

∈????上的值域为()][11,0,123A g g ????== ?????

??，

()f x ∴在区间1,13??

????

上，恒有2()()min max f x f x >，

0a <①时，()f x 在1,13??

????

上单调递增，

()()11max f x f a ∴==+，11

()333min f x f a ??==+ ???

，

12313a a ?

?∴+>+ ??

?，解得115a >，不满足0a <；

0a =②时，()

f x x =在1,13??????

上是增函数， 1()1,()3max min f x f x ∴==，1

213

?<，不满足题意；

0a >③时，()f x 在(上单调递减，在)

+∞上单调递增，

1

3≤，即109a <≤时，()f x 在1,13??

????上是增函数，

11()333min f x f a ??

∴==+ ???，()()11max f x f a ==+，

12313a a ?

?∴+>+ ??

?，解得11159a <≤；

1≥，即1a ≥时，()f x 在1,13??

????上单调递减，

()()11min f x f a ∴==+，11()333max f x f a ??

==+ ???

，

()12133a a ∴+>+，解得5

13

a ≤<；

1

3)13<<，即119a <<时，()f x 在13???上单调递减，

在??上单调递增，

()min f x f

∴==()113,1133f a f a ??

=+=+ ???

，

当1313a a +≥+，即113

a ≤<时，1

33a >+，

a <<

，113a ∴≤<，

当1313a a +

<+，即11

93

a <<时，1a >+，

解得77a -<<+11

93

a ∴<<， 综上，a 的取值范围是15,153??

??

?．

【点睛】

本题考查了奇函数的定义及证明，指数函数的单调性，配方求二次函数最值的方法，换元法求函数最值的方法，函数()a

f x x x

=+

的单调性，根据函数单调性求函数在闭区间上的最值的方法，考查了计算和推理能力，属于中档题．

22．（1）()1

364

f x x =-

+，30130x ≤≤，66万元（2）甲城市投资128万元，乙城市投资32万元 【解析】 【分析】

() 1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，求出函数的解析式，利用当甲

城市投资72万元时公司的总收益；

()()1

2364

f x x =-

+，30130x ≤≤，令t =，则t ∈，转化为

求函数2

,61

4

3y t t ∈=-++最值，即可得出结论．

【详解】

()1由题知，甲城市投资x 万元，乙城市投资160x -万元，

所以()()11

616023644

f x x x =+

-+=-+， 依题意得30

16030x x ≥??-≥?

，解得30130x ≤≤，

故()1

364

f x x =-

+，30130x ≤≤， 当72x =时，此时甲城市投资72万元，乙城市投资88万元，

所以总收益()1

36664

f x x =-

+=． ()()

1

2364

f x x =-+，30130x ≤≤

令t =

t ∈．

2,61

4

3y t t ∈=-++

当t =，即128x =万元时，y 的最大值为68万元， 故当甲城市投资128万元，乙城市投资32万元时， 总收益最大，且最大收益为68万元． 【点睛】

本题考查实际问题的应用，二次函数的性质以及换元法的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．

23．（Ⅰ）()()(](]21

10800,1229012,40x x f x x x ?--+∈?

=??-+∈?

；（Ⅱ）在()4,28x ∈时段内安排核心

内容，能使得学生学习效果最佳，理由见解析 【解析】 【分析】

（I ）当(]0,12x ∈时，利用二次函数顶点式求得函数解析式，当(]12,40x ∈时，一次函数斜截式求得函数解析式.由此求得()f x 的函数关系式.

（II ）利用分段函数解析式解不等式()62f x >，由此求得学习效果最佳的时间段. 【详解】

（Ⅰ）当(]0,12x ∈时，设()()2

1080f x a x =-+，过点()12,78代入得，则

()()2

110802

f x x =-

-+， 当(]12,40x ∈时，设y kx b =+，过点()12,78、()40,50， 得1278

4050

k b k b +=??

+=?，即90y x =-+，则函数关系式为

()()(](]21

1080,0,12290,12,40x x f x x x ?--+∈?

=??-+∈?

.

（Ⅱ）由题意(]0,12x ∈，()2

11080622

x --+>或(]12,40x ∈，9062x -+>.

得412x <≤或1228x <<，∴428x <<.则老师就在()4,28x ∈时段内安排核心内容，能使得学生学习效果最佳． 【点睛】

本小题主要考查分段函数解析式的求法，考查待定系数法求一次函数、二次函数的解析式，考查函数在实际生活中的应用，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

24．（Ⅰ）[]2,2a ．（Ⅱ）（ⅰ）(

)2

0,32{42,2a m a a a a ≤≤=-+->．（ⅱ）()348,34

{2,4

a a a a -≤

【解析】

试题分析：（Ⅰ）分别对1x ≤和1x >两种情况讨论()F x ，进而可得使得等式

()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()21f x x =-，()2242g x x ax a =-+-的最小值，再根据()F x 的定义可得()F x 的最小值()m a ；

（Ⅱ）分别对02x ≤≤和26x ≤≤两种情况讨论()F x 的最大值，进而可得()F x 在区间

[]0,6上的最大值()M a ．

试题解析：（Ⅰ）由于3a ≥，故

当1x ≤时，(

)

()()2

2

242212120x ax a x x a x -+---=+-->，

当1x >时，()()()2

2422122x

ax a x x x a -+---=--．

所以，使得等式()2

242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围为[]

2,2a ． （Ⅱ）（ⅰ）设函数()21f x x =-，()2

242g x x ax a =-+-， 则()()min 10f x f ==，()()2

min 42g x g a a a ==-+-，

所以，由()F x 的定义知()()(){}

min 1,m a f g a =，即

(

)2

0,32{42,2a m a a a a ≤≤+=-+-> （ⅱ）当02x ≤≤时，

()()()(){}()max 0,222F x f x f f F ≤≤==，

当26x ≤≤时，

()()()(){}{}()(){}max 2,6max 2,348max 2,6F x g x g g a F F ≤≤=-=． 所以，()348,34

{2,4

a a M a a -≤<=≥．

【考点】函数的单调性与最值，分段函数，不等式．

【思路点睛】（Ⅰ）根据x 的取值范围化简()F x ，即可得使得等式

()2242F x x ax a =-+-成立的x 的取值范围；（Ⅱ）（Ⅰ）先求函数()f x 和()g x 的

最小值，再根据()F x 的定义可得()m a ；（Ⅱ）根据x 的取值范围求出()F x 的最大值，进而可得()M a ．

25．（1）()=32x

f x ?；（2）1112

m ≤. 【解析】

试题分析：（1）由题意得2,3a b ==，即可求解()f x 的解析式；

（2）设11()()()x x

g x a b =+，根据()y g x =在R 上为减函数，得到min 5()(1)6

g x g ==

，再由11()()120x

x

m a b

++-≥在(]

,1x ∈-∞上恒成立，得5

216

m -≤

，即可求解实数m 的取值范围. 试题解析：

（1）由题意得()x

3

6a 2,b 3,f x 32a 24a b b ?=??==∴=???=?

（2）设()x

x

x

x

1111g x a b 23????????=+=+ ? ? ? ?????????，则()y g x =在R 上为减函数 ∴当x 1≤时()()min 5g x g 16

==

x

x

1112m 0

a b ????∴++-≥ ? ?????

在(]x ,1∞∈-上恒成立，即5112m 1m 612-≤?≤ ∴ m 的取值范围为：11

m 12

≤

点睛：本题主要考查了函数解析式的求解和不等式的恒成立问题的应用，解答中涉及到函数满足条件的实数的取值范围的求法，以及函数的单调性的应用，解题时要认真审题，仔细解答，同时注意合理进行等价转化是解答本题的关键，试题有一定的难度，属于中档试题.

26．（1）43.5（2）当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元. 【解析】

(1)当50x =时,此时甲城市投资50万元,乙城市投资70万元,

所以总收益()50f =1

67024

+

?+=43.5(万元). (2)由题知,甲城市投资x 万元,乙城市投资()120x -万元,

所以()f x =()1612024x +

-+=1

26,4

x -+ 依题意得40

12040x x ≥??

-≥?

,解得4080x ≤≤,

故()f x =()1

2640804

x x -+≤≤,

令t =

,则t ?∈?,

所以y =21264t -

++=21

(444

t --+.

当t =,即72x =万元时,y 的最大值为44万元,

所以当甲城市投资72万元,乙城市投资48万元时,总收益最大,且最大收益为44万元.