第一章拓扑空间与连续映射 ppt课件
集合的拓扑与连续性
集合的拓扑与连续性在数学中，拓扑学是研究集合的性质和关系的学科。
它关注集合中元素之间的连续性和相互接近的性质。
在本文中，我们将探讨拓扑学中集合的拓扑性质以及连续性的概念。
1. 拓扑空间的定义拓扑学中最基本的概念就是拓扑空间。
一个拓扑空间由一个集合和集合上定义的拓扑结构组成。
拓扑结构是由集合中的开集构成的，它满足以下三个条件：1) 空集和整个集合为开集；2) 有限个开集的交集仍为开集；3) 任意个开集的并集仍为开集。
2. 拓扑基与拓扑生成给定一个拓扑空间，我们可以通过拓扑基或生成元素来描述这个空间中的开集。
拓扑基是指一组开集，它们的任意非空交集都可以表示成其他开集的并集。
而拓扑生成则是通过集合中的元素生成出所有可能的开集。
拓扑生成是通过开集运算得到一组拓扑基。
3. 连续映射在拓扑学中，映射的连续性是一个重要的概念。
给定两个拓扑空间A和B，一个从A到B的映射f被称为连续的，如果对于B中的任意开集V，f的原像f^(-1)(V)在A中也是开集。
换句话说，连续映射保持了集合中元素的连续性。
4. 连通性连通性是拓扑学中研究的一个重要性质。
一个拓扑空间被称为连通的，如果它不能表示成两个非空的、不相交的开集的并集。
换句话说，连通空间中的任意两点都可以通过连续映射相互连接。
当一个拓扑空间被表示为连通空间时，它被称为连通的。
5. 紧致性在拓扑学中，紧致性是另一个重要的概念。
一个拓扑空间被称为紧致的，如果它的每一个开覆盖都有有限的子覆盖。
也就是说，从一个空间中选择任意多个开集作为覆盖，总能从这个集合中选取有限个开集来覆盖整个空间。
结语通过以上对集合的拓扑与连续性的讨论，我们可以看到拓扑学在数学中扮演着重要的角色。
它不仅仅是一门学科，更是用来描述现实世界中各种现象和关系的有力工具。
无论是在纯数学领域还是应用数学领域，拓扑学的概念和方法都发挥着重要的作用。
通过深入研究和应用拓扑学的相关理论，我们能够更好地理解和描述集合之间的连接性与连续性。
点集拓扑学第二章拓扑空间与连续映射234
➢ 回答: 不是
定理2.14. 设X是一个拓扑空间．记F为所有闭集 构成的族．则：
➢ (1)
➢ (2) 若A, B∈ . 则A∪B∈
➢ (3) 若
.则 ∈
➢ 有限个开集的交是开集，任意个开集的并是开 ➢集．其余情形不一定． ➢ 有限个闭集的并闭集，任意个闭集的交是闭 ➢集．其余情形不一定．
➢ 3. 闭 包
定义2.13. 设X是一个拓扑空间，
,集合A
与A的导集d(A)的并A∪d(A)称为集合A的闭包,记
作:
定理2.15 拓扑空间X的子集A是闭集的充要 条件是 证明: 集合A为闭集当且仅当d(A)
而这又当且仅当A=A∪d(A)
定理2.16 设X是一个拓扑空间,则对于任意 A,B∈X,有：
包含于A的象的闭包，即 (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭
包含于B的闭包的原象，即
证明 (1)蕴涵(2)．设
是闭集
则 是一个开集，因此根据 (1)
是X中的一个开集，因此 是X中的一个闭集．
(2)蕴涵(3). 设
,
由于f(A)
根据(2)，
成立．
(3)蕴涵(4)设 应用(3)即得:
集合
定理2.13 设X是一个拓扑空间，
则A是一个闭集，当且仅当A的补集 是开集.
证明必要性：设A是一个闭集 充分性：设：
即A是一个闭集．
例2.6 实数空间R中作为闭集的区间． 设a,b∈R，a＜b．闭区间[a,b]是实数空间R 中的一个闭集. (-∞,a]，[b,∞)都是闭集，(-∞,∞)＝R显然更 是一个闭集．
§2.4 拓扑基与邻域基
定义2.16. 设 为拓扑空间, B
《点集拓扑学》课件
映射度定理
要点一
总结词
该定理给出了一个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质 的条件。
要点二
详细描述
映射度定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它提供了一 个映射在两个拓扑空间之间保持某些性质的条件。具体来 说，如果一个映射在两个拓扑空间之间是同胚的，那么这 个映射将一个空间的开集映射到另一个空间的开集，或者 将一个空间的闭集映射到另一个空间的闭集。这个定理在 研究拓扑空间的性质和映射的性质时非常有用。
02
紧致性
如果一个拓扑空间中的任意开覆 盖都有有限子覆盖，则称该空间 是紧致的分离公理可以推导出紧致性，反 之则不成立。
REPORT
CATALOG
DATE
ANALYSIS
SUMMAR Y
03
重要的拓扑结构
欧几里得空间
欧几里得空间是点集拓扑学中最 基础的空间，它由满足距离公理
在物理学中的应用
量子力学
在量子力学中，波函数是一种定义在 点集上的复值函数。点集拓扑学为理 解波函数的性质和行为提供了重要的 理论支持。
流体动力学
流体动力学中的某些问题，如涡旋的 形成和演化，需要用到点集拓扑的知 识来描述和解释。
在计算机科学中的应用
计算几何
计算几何是计算机科学中一门研究几何对象离散表示和计算的学科。点集拓扑学为计算几何提供了基础理论和方 法。
莫尔斯-斯梅尔定理
总结词
该定理表明，对于一个可微分的闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同 胚的映射。
详细描述
莫尔斯-斯梅尔定理是点集拓扑学中的一个重要定理，它指出对于一个可微分的 闭曲面，其上的任何连续映射都可以被提升为同胚的映射。这个定理在研究连续 映射和同胚映射的性质时非常有用，特别是在处理一些复杂的几何问题时。
拓扑学课件
拓扑学之旅
Topology
小教4班 郑梦珂 朱桃
简介概要
应用实例
拓扑学
有趣游戏
图片欣赏
拓扑简介
拓扑学（topology）是近代发展起来的一个数 学分支，用来研究各种“空间”在连续性的变 化下不变的性质。在20世纪，拓扑学发展成为 数学中一个非常重要的领域。 有关拓扑学的一些内容早在十八世纪就出现了 。那时候发现一些孤立的问题。后来在拓扑学 的形成中占着重要的地位。譬如哥尼斯堡七桥 问题、多面体的欧拉定理、四色问题等都是拓 扑学发展史的重要问题。除去七桥问题，四色 问题，欧拉定理等，拓扑学中还有很多有趣并 且很基本的问题。例如还有纽结问题，维数概 念，向量场问题，不动点问题。
解答与分析
妮薇先抓住绕在自己手上的绳子的中间部分，然后将绳子穿过诺曼右手 腕A的绳圈，穿越的方向是从手腕的内部顺着手肘的方向到手掌端，随 后将绳子回绕过手掌而伸出到手的外侧。此时妮薇就可和诺曼分开了， 在场的人也会惊讶不已。
他们的手腕仍然绑着，可是两人已经没有被绑在一起了。要注意的是，
如果没有完全依照文中的指示，将会使两条绳子纠缠得更严重。
纽结问题
纽结理论是数学学科代数 拓扑的一个分支，按照数 学上的术语来说，是研究 如何把若干个圆环嵌入到 三维实欧氏空间中去的数 学分支。纽结理论的特别 之处是它研究的对象必须 是三维空间中的曲线。在 两维空间中，由于没有足 够的维数，我们不可能把 让一根曲线自己和自己缠 绕在一起打成结；而在四 维或以上的空间中，由于 维数太多，无论怎么样的 纽结都能够很方便地被解 开成没有结的曲线。
网络应用
图片欣赏
克莱因瓶
趣味游戏
• 在一次聚会中，诺曼和妮薇如图中所示被两条
点集拓扑学-拓扑空间和连续映射2
（3）f(x)有一个邻域子基Wf ( x ) ,使得对于任何
V∈ Wf ( x ) ,原象 f 1 (V )是x的一个邻域；
定理2.25 设X是一个拓扑空间，x∈X．则 （1）如果B是X的一个拓扑基，则 Bx={B∈B |x∈B} 是点x的一个邻域基； （2）如果 是X的一个子基，则
x {S x S}
使得当i＞M 时,有 xi U 则称点x是序列 { xi }iZ 的一个极限点 ,也称序
x
AB1 AB1
A
A
所以,存在某个 A B1 ,使得 x A
充分性: 对于 U x ,和每一个 x U ,
} V Vx B s.t x Vx U 于是: U { xU Vx x U
xU xU xU
定理2.22 设X是一个集合，B是集合X的一个子 集族,如果B满足条件： (1)
个子集A，有
A
BF . A B
B
定理2.19
设X和Y是两个拓扑空间，f :X→Y．
则以下条件等价：
(l) f 是一个连续映射
f 1 ( B) 是闭集 (2) Y中的任何一个闭集B的原象
(3) 对于X中的任何一个子集A，A的闭包的象 包含于A的象的闭包，即 f ( A ) f ( A) (4) 对于Y中的任何一个子集B， B的原象的闭 包含于B的闭包的原象，即 f 1 ( B) f 1 ( B )
f 1 ( B) 是X中的一个开集； B∈B，
S , f 1 ( S ) 是X中的一个开集；
定义2.18
设X是一个拓扑空间，x∈X．记 Ux 为x
的邻域系． x的子族 V 如果满足条件：对于每一个 U x
U Ux , V V ,使得 x V U ,则称 V 是点 x 的 x x 一个邻域基. Ux 的子族 Wx 如果满足条件： x 每一个有限 W
拓扑学第2章拓扑空间连续映射
第二章 拓扑空间与连续映射本章是点集拓扑学基础中之基础, 从度量空间及其连续映射导入一般拓扑学中最基本的两个概念: 拓扑空间、连续映射, 分析了拓扑空间中的开集、邻域、聚点、闭集、闭包、内部、边界、基与子基的性质，各几种不同的角度生成拓扑空间，及刻画拓扑空间上的连续性.教材中先介绍度量空间概念，由于刚刚结束泛函分析课程，所以此节不讲，而补充如下内容。
§ 2-1 数学分析中对连续性的刻画由于映射的连续性是刻画拓扑变换的重要概念，所以，我们先回顾一下数学分析中函数的连续性是如何刻画的。
设11:f E E →是一个函数，10x E ∈，则f 在0x 处连续的定义有如下几种描述方法：（1）序列语言若序列1,2,{}n n x = 收敛于0x ，则序列1,2,{()}n n f x = 收敛于0()f x ；（2）εδ-语言对于0ε∀>，总可以找到0δ>，使当0x x δ-<时，有0()()f x f x ε-<（3）邻域语言若V 是包含0()f x 的邻域（开集），则存在包含0x 的邻域U ，使得()f U V ⊂。
解释：（1）和（2）中用到距离的概念，可用于度量空间映射连续性的描述； 对于没有度量的场合，可以用（3）来描述；所谓拓扑空间就是具有邻域（开集）结构的空间。
§ 2-2 拓扑空间的定义一、 拓扑的定义注：这是关于拓扑结构性的定义定义1 设X 是一非空集，X 的一个子集族2Xτ⊆称为X 的一个拓扑，若它满足（1）,X τ∅∈；（2）τ中任意多个元素（即X 的子集）的并仍属于τ；(3) τ中有限多个元素的交仍属于τ。
集合X 和它的一个拓扑τ一起称为一个拓扑空间，记(,)X τ。
τ中的元素称为这个拓扑空间的一个开集。
下面我们解释三个问题：(1)拓扑公理定义的理由； (2) 为什么τ中的元素称为开集；(3) 开集定义的完备性。
● 先解释拓扑定义的理由:① 从εδ-语言看：0x x δ-<和0()()f x f x ε-<分别为1E 上的开区间；② 从邻域语言看：,U V 是邻域，而()f U 是0()f x 的邻域，连续的条件是()f U V ⊂，即一个邻域包含了另一个邻域，也就是说，0()f x 是V 的内点，有内点构成的集合为开集。
2.1拓扑空间
2014-10-18
韩山师范学院数信系
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给定一个子集, 拓扑空间中的每一个点相对于这个 子集而言“处境”各自不同, 可以对它们进行分类处理. 定义2.4.1 设 X 是一个拓扑空间, A X 如果点 x∈X 的每一个邻域 U 中都有 A 中异于x 的点, 即 U∩(A-{x})≠ , 则称点 x 是集合 A 的一个凝聚点或极限点.集合 A 的所有凝聚点构成
说明 拓扑空间的开集和度量空间的开集有区别 设 ( X , ) 是一个度量空间, {V X V是( X , )} 则称 为由度量 诱导的拓扑,( X , )是由度量
空间 ( X , ) 诱导的拓扑空间.
常见的拓扑 例2.1 平庸空间．
设X是一个集合．令 ( X , ) ,则 ( X , ) 是拓扑 空间,称为平庸拓扑空间.
2014-10-18 韩山师范学院数信系 19
U U A A and and U U A A
定义 定义2.5.2 2.5.2 设 设 X X 是一个拓扑空 是一个拓扑空
x X X A X X. 间， . 间，A .点 点 x .如果满足条件： 如果满足条件：
A E
A E
1
Ao Ext ( A)
1
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韩山师范学院数信系
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定义2.12 设X是一个拓扑空间， A X 称A在X中稠密（A 是X中的稠密集），如果 A X .
例8 Q在 E1中稠密。 例9 在R中赋予余有限拓扑，设A是R的任意无 限子集，则A在R中稠密。
例2.3 余有限拓扑，可数拓扑，（设X是无限 集）． C {U X U 是X的一个有限子集 } { }
Vague拓扑空间和Vague连续映射
Ｖａ ｕ ｏ ｏｏ ｉａ ｐ ｃ ｎ ｇ ｅ ｃ ｎ ｉｕ ｕ ｐ ｉｇ ｇ ｅｔｐ ｌｇｃ ｌｓ ａ ｅ ａ ｄ Ｖａ ｕ ｏ ｔ ｏ ｓ ｍａ ｐｎ ｎ
Ｗ ＡＮＧ ａ Ｃｈ ｎｇ，ＹＵＡＮ ｉ Ｍ ｎ
（ ｅｔ ｆｒ ｓ ｒ ｏ Ｃ ｎｅ ｏ Ｈｉｏｙ ｆＭａｈｍ ｔｓ Ｓｉ ｃ， ｅｔ ｆＭａｈｍ ｔｓ ｏｔｗｓ Ｕ ｉｒｔ， ｉａ １１７， ｈｎ ） ｒ ｔ ｔｅ ａｉ ＆ ｃ ｎｅ Ｄ ｐ．ｏ ｃ ｅ ｔｅ ｉ ，Ｎ ｒ ｅｔ ｎ ｅ ｉ Ｘ ’ｎ７ ０ ２ Ｃ ｉ ａ ｃ ｈ ｖ ｓｙ ａ
Ａｂ ｔａ ｔ Ｂ ｓ ｄ ｏ ｈ ｒ ｓ ｎｅ ｈ ｏｙ ｏ ａ ｕ ｅ ｓａ ｄ ｔ ｅｔ ｐ ｌｇｃ ｌｔ ｅ ｒ ｆｃａ ｓｃ ｌｓ ｔ ａ ｄ Ｆ ｚｙ ｓｔ ， ｉ ｐ ｐ ｒ ｓ ｒ ｃ ： ａ ｅ ｎ ｔ ｅ ｐ ｅ ｅ ｔｄ ｔ ｅ ｒ ｆＶ ｇ ｅ ｓ ｔ ｎ ｈ ｏ ｏｏ ｉａ ｈ ｏ ｙ ｏ ｌ ｓｉａ ｅｓ ｎ ｕ ｚ ｅｓ ｔ ｓ ａ ｅ ｈ ｓ ｒ ａ ｅ ｈ ｅａｉｅ ｔｐ ｌｇｃ ｌ ｈ ｏ ｆ ｌｓ ｉａ ｅｓａ ｄ Ｆ ｚｙ ｓ ｔ ｔ ｒ ｕ ｈ ｔｅ ｍｅｈ ｄ ｏ ｎ ｙ ｉ ，ｐ ｅ ｅ ｔ ｄｔ ｅ ｂ ｓ ｏ — ｐ ｅ ｄ ｄ ｔ ｅ ｒｌ ｔ ｏｏ ｉａ ｅ ｒ ｏ ａ ｓ ｌ ｔ ｎ ｕ ｚ ｅｓ ｈ ｏ ｇ ｔｏ ｆ ａ ｓｓ ｒ ｓ ｎ ｅ ｈ ａ ｉ ｃ ｎ ｖ ｏ ｔ ｙ ｃ ｃ ｓ ｈ ａｌ ｃ
关键 词 ：Ｖ ｇｅ集；Ｖ ｇｅ拓扑 空 间；Ｖ ｇｅ连续 映射 ； ｕｚ ａ ｕ ａ ｕ ａｕ Ｆｚ ｙ集
中图分 类号 ：Ｔ １ Ｐ８
文献标 志码 ：Ａ
文章编 号 ：１０ ． ６ ５ ２ １ ）０ ３４ —２ ０ １３ ９ （ ０ ０ １ ．６ ４ ０
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第二节 连续映射与同胚映射
• 2．1连续映射的定义
• 2．2连续映射的性质 下列映射一定连续：
• 2．3同胚映射
下面求f 的逆映射，为此令
第三节 乘积空间与拓扑基
• 在第一节中，我们曾提出过如下问题： • 问题3 设11(,X τ) 和22(,X τ) 都是拓扑空间，
则如何给出1 XX×2 上的拓扑结构τ？（乘 积拓扑） • 3.1 乘积空间
• 1． 投射：
注：τ是满足这两个投射都连续的最小拓扑。 （思考为什么要这样？）
• 2． 生成的子集族：设Γ是X的一个子集族， 规定新的子集族
类似地，可以给出有限个拓扑空间的 乘积空间。 任意多个集合的笛卡尔积
无限个拓扑空间的乘积空间定义比较麻 烦，一般有两种：
第一章 拓扑空间与连续映射
第一节 拓扑空间
数学分析中连续概念的刻画
1．1 拓扑空间的定义
例子
Ex.5 （欧氏拓扑）设R是全体实数 的集合，
拓扑的比较
• 问题1（如何构造具体的拓扑）
• （1）若X有一个元素，则X上一共有几个拓 扑？（1个）
• （2）若X有两个元素，则X上一共有几个拓 扑？（4个）
• 3.2 乘积空间的性质
• 3．3 拓扑基
想法：度量空间中的开集是若干个互不相交 的球形邻域的并。度量拓扑由球形邻域生成； 乘积拓扑由一个特定的子集族生成。拓扑基 就是从上述方法中抽象出来的。
• Pro1. Γ 是集合X 的拓扑基的充分必要条件 是：
• 补充知识：拓扑空间的子基 （可参考熊金 城《点集拓扑讲义》）
• （3）若X有三个元素，则X上一共有几个拓 扑？（29个）
• （4）若X有n（）个元素，则4n≥X上一共 有几个拓扑？(思考题)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ• 1.2 由度量诱导的拓扑
• 1．3拓扑空间中的几个基本概念 • 闭集 • Def. 1 拓扑空间X的子集A称为闭集，如果
Ac是开集。
•
• 1．4子空间