罗素悖论
罗素的震撼了数学界悖论是怎么解决的
罗素的震撼了数学界悖论是怎么解决的现代数学基础的一场大论战在1902年拉开了序幕，这在自然科学史上是一件举世瞩目的大事。
自从科学巨匠牛顿和莱布尼兹创立微积分把无限带进了数学，数学家柯西接着建立了严格的极限理论，戴德金等又将实数理论严密化以来，数学便有了可靠的基础，成为完整得几乎无懈可击的体系。
因此，数学家庞加莱在1900年宣布：现在我们可以说，完全的严格性已经达到了!但是事隔三年，正当康托创立的集合论开始为大家所接受的时刻，英国的罗素于1902年提出了一个集合论上的悖论。
这一悖论非常清晰，数学家几乎没有辩驳的余地，一盆冷水浇下来，使数学家们目瞪口呆。
数理逻辑学的前驱弗雷格在他的《论数学基础》卷二的书后写道：“对一个科学家来说，没有一件事比下列事实更令人扫兴：当他工作刚刚完成的时候，突然它的一块奠基石崩塌下来了。
当本书的印刷快要完成时，罗素先生给我的一封信就使我陷于这样的境地。
”罗素悖论震撼了数学界。
号称天衣无缝、绝对正确的数学，居然会出现自相矛盾，正如晴朗的天空上出现一片乌云，并且眼看着倾盆大雨就要来临!这样，从1902年开始，一场数学界关于现代数学基础的论争开始了。
罗素悖论使数学家感到“不安全”，众人欲努力设法消除这个怪物。
于是逻辑主义、直觉主义、形式主义相继出现，一场大论战终于把数学推向一个新阶段。
逻辑主义学派的代表人物是罗素和怀特海(英国数学家和哲学家)。
他们合作写了著名的《数学原理》，基本观点是“数学即逻辑”。
罗素说：“逻辑是数学的青年时代，数学即逻辑的壮年时代。
”逻辑主义学派把数学全部归结为逻辑的企图没有也不可能实现。
直觉主义学派认为数学理论的真伪，只能用人的直觉去判断。
这一派最早的代表人物是克罗内克，他有一句名言：“上帝创造自然数，别的都是人造的”。
意思就是说，只有自然数是人们可以感觉的真实存在，其余都是人为造出来的一些文字符号而已。
近代直觉主义者的系统创立人是荷兰数学家布劳威尔，他把数学思维理解为一种创造性程序，认为数学必须受到基本的数学直觉的限制。
罗素悖论
第三次数学危机
16级水保一班林南屏
Katalogue
什么是罗素悖论 罗素悖论的例子
罗素悖论的影响
悖论的解决
什么是罗素悖论
发现背景：
20世纪之初，数学界甚至整个科学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中， 科学家们普遍认为，数学的系统性和严密性已经达到，科学大厦已经基 本建成。 例如，德国物理学家基尔霍夫(G．R．Kirchhoff)就曾经说过：“物理 学将无所作为了，至多也只能在已知规律的公式的小数点后面加上几个 数字罢了。” 英国物理学家开尔文(L．Kelvin)在1900年回顾物理学的发展时也说： “在已经基本建成的科学大厦中，后辈物理学家只能做一些零碎的修补 工作了。” 法国大数学家亨利•彭迦莱(Jules Henri Poincaré)在1900年的国际数学 家大会上也公开宣称，数学的严格性，现在看来可以说是实现了。 然而好景不长，时隔不到两年，科学界就发生了一件大事，这件大 事就是罗素(Russell)悖论的发现。
NBG公理系统
冯· 诺伊曼（von Neumann）等人提出的NBG系统等。在该公理系统 中，所有包含集合的"collection"都能被称为类(class)，凡是集合也能被称 为类，但是某些 collection太大了（比如一个collection包含所有集合）以 至于不能是一个集合，因此只能是个类。这同样也避免了罗素悖论。
悖论的解决
• ZF公理系统：
1908年，策梅罗（Ernst Zermelo）在自己这一原则基础上提出第一 个公理化集合论体系。这一公理系统在通过弗兰克尔（Abraham Fraenkel） 的改进后被称为ZF公理系统。在该公理系统中，由于分类公理（Axiom schema of specification）：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在 一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集 合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集； 并且通过该公理，存在集合A={x∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛 盾的，因此罗素悖论在该系统中被避免了。
高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论
2019高考数学：一个故事让你彻底了解罗素悖论在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺非常超群，誉满全城。
我将为本城全部不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人川流不息，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里望见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？假如他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而假如他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论是等价的：假如把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里全部不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
所以罗素悖论用数学式表达是这样子的：设性质P(x)表示“x不属于A”，现假设由性质P确定了一个类A也就是说
“A={x|x?A}”。
那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A
属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由全部具有性质P的类组成的，所以A属于A。
朴素集合论和罗素悖论
朴素集合论和罗素悖论在数学发展的历程中，朴素集合论曾经是一个重要的数学分支，它为数学提供了基础的集合理论。
然而，这个看似简单的理论却引发了一个著名的悖论，即罗素悖论。
本文将探讨朴素集合论与罗素悖论之间的关系，分析其产生的原因，并探讨这个悖论对数学发展的影响。
朴素集合论的初衷是为数学提供一个统一的集合理论，以便更好地理解和处理集合的概念。
然而，在深入研究过程中，数学家们发现了一些无法解释的矛盾和问题。
其中最著名的就是罗素悖论。
罗素悖论是由英国数学家伯特兰·罗素提出的，它揭示了朴素集合论的一个重要问题。
罗素悖论描述了一个看似简单的场景：一个集合是否包含它自己的所有元素？如果包含，那么它就不是一个集合，因为它包含了它自己；如果不包含，那么它也不是一个集合，因为它不包含它的所有元素。
这个悖论在当时引起了极大的震撼，因为它挑战了人们对集合的基本理解。
为了解决罗素悖论，数学家们开始重新审视朴素集合论。
他们发现，朴素集合论中的一些基本假设存在问题，导致了悖论的产生。
例如，朴素集合论认为集合是直观上合理的，但实际上这并不总是成立。
在罗素悖论中，问题就出现在对“集合”的定义上。
为了解决罗素悖论，数学家们开始探索新的集合理论。
其中最著名的就是ZF（Zermelo-Fraenkel）集合论。
ZF集合论对集合的定义更加严格和精确，避免了罗素悖论的产生。
同时，它也提供了一种更加严谨的数学基础，使得数学的发展得以继续前进。
罗素悖论的解决对于数学的发展具有重要的意义。
它不仅推动了集合论的发展，也提醒人们对于数学基础的理解需要更加严谨和精确。
此外，罗素悖论也对其他学科产生了影响，例如哲学和逻辑学。
它让人们意识到简单的问题背后可能隐藏着深奥的哲学思考，同时也促使逻辑学更加严谨和精确。
总之，朴素集合论和罗素悖论展示了数学发展中简单与矛盾的交织。
通过对这个悖论的研究和解决，人们不仅深入理解了集合的本质，也推动了数学基础的发展。
罗素悖论与第三次数学危机
罗素悖论与第三次数学危机自相矛盾的悖论，是数学史上一直困扰着数学家的难题之一。
20世纪英国著名哲学家、数学家罗素曾经提出过一个著名的悖论——“理发师难题”，其内容如下：西班牙的塞维利亚有一个理发师，这位理发师有一条极为特殊的规定：他只给那些“不给自己刮胡子”的人刮胡子。
理发师这个拗口的规定，对于除他自己以外的别人，并没有什么难理解的地方。
但是回到他自己这里，问题就麻烦了。
如果这个理发师不给自己刮胡子，那么按照规定，他就应该给自己刮胡子；可是他给自己刮胡子的话，按照规定他又不应该给自己刮胡子。
因此，这位理发师无论是否给自己刮脸，都不符合自己的那条规定。
这真是令人哭笑不得的结果。
罗素还提出过与“理发师难题”相似的几个悖论，数学上将这些悖论统称为“罗素悖论”或者“集合论悖论”。
为什么又叫“集合论悖论”呢？因为“罗素悖论”都可以用集合论中的数学语言来描述，归结成一种说法就是：在某一非空全集中，有这样一个确定的集合，这个集合中“只有不属于这个集合的元素”。
那么，全集中的某一个指定元素，和这个确定集合之间是什么关系呢？不难分析，如果这个元素包含于这个集合的话，那么根据这个集合的定义，这个元素就应该是“不属于这个集合”的元素；可如果这个元素“不属于这个集合”，那么根据这个集合的定义，这个元素就应该在这个集合中，即包含于这个集合。
这就是说，全集中的每一个元素，与这个确定集合之间都不存在确定的包含关系，这无疑是讲不通的。
自从康托尔创立了数学领域中的“集合论”，用集合论中的观点来诠释各个数学概念之间的逻辑关系，真可谓是“天衣无缝”。
因此集合论被誉为“数学大厦的基石”。
然而“罗素悖论”的发现，证明了集合论中竟然存在自相矛盾的悖论，这足以暴露集合论本身的缺陷。
“罗素悖论”在20世纪数学理论中引起了轩然大波。
“数学大厦的基石”竟然出现了明显的“裂缝”，那么人类耗费数千年心血建立起来的“数学殿堂”，会不会倒塌呢？一时间，数学界众说纷纭，悲观者甚至因此把当代数学比作“建立在沙滩上的庞然大物”。
罗素悖论与罗素定理
罗素悖论与罗素定理王海东(天津市北方调查策划事务所㊀３０００５０)摘㊀要:不能从集合论中排除罗素悖论ꎬ说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理ꎬ说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善ꎬ说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立ꎬ说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题ꎬ才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统ꎬ才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统ꎬ才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理ꎬ才能从集合论中排除罗素悖论.关键词:罗素悖论ꎻ罗素定理ꎻ集合论公理系统ꎻ集合论定义系统中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)１２－００２８－０２收稿日期:２０２１－０１－２５作者简介:王海东(１９８５.３－)ꎬ男ꎬ河北省南皮人ꎬ硕士ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一个幽灵在集合论中徘徊ꎬ这个幽灵就是罗素悖论.罗素悖论可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()从这个公式来看ꎬ罗素悖论来自于集合论的一个常用语句.这个常用语句就是用属于符号ɪ构成的语句.由于集合论的所有表达式都离不开这个常用语句ꎬ所以集合论的所有表达式都会无一例外地受到罗素悖论的困扰.有人认为ꎬ子集公理能够从集合论中排除罗素悖论.子集公理可以用以下公式表示:∀ｘ∃ｙ∀ｚｘɪｙ↔ｘɪｚɡｐｘ()()但是ꎬ即使有了子集公理ꎬ罗素悖论仍然无处不在.因为ꎬ我们可以从子集公理中推出:∀ｘ∃ｙ∀ｚ(ｘɪｙ↔ｘɪｚɡｐ(ｘ)↔ｚɪｐ(ｘ)↔ｘɪｐ(ｘ)↔ｘ∉ｘ)由此可见ꎬ子集公理只是把罗素悖论从某个集合推给了另一个集合.如果可以这样推下去ꎬ罗素悖论将会出现在所有集合之中.那么ꎬ怎样才能从集合论中排除罗素悖论呢?显然ꎬ要想从集合论中排除罗素悖论ꎬ就必须找到罗素悖论在集合论中的形成条件.那么ꎬ罗素悖论在集合论中的形成条件是什么呢?显然ꎬ罗素悖论在集合论中的形成条件ꎬ就是集合论一直没有解决集合定义问题.有人认为ꎬ集合论不需要给出明确的集合定义.把集合视为一种可以任意定义的数学对象ꎬ就可以对号入座地解决各种各样的集合论问题了.这种看法是一种不符合数学要求的错误看法.从数学发展史来看ꎬ任何一种数学理论都是以数学定义作为理论起点的.不能给出明确的数学定义ꎬ就不能建立起严密的数学理论.只有给出了明确的数学定义ꎬ才能建立起严密的数学理论.几何学就是一个最好的先例.在几何学中ꎬ几何定义的理论地位高于几何公理ꎬ几何公理的理论地位又高于几何定理.在给出了各种几何定义之后ꎬ几何学才会进一步给出各种几何公理.在给出了各种几何公理之后ꎬ几何学才会进一步给出各种几何定理.如果我们将集合论视为一种数学理论ꎬ我们就必须让集合论遵循数学理论的发展规律.更重要的是ꎬ如果我们所说的集合不是集合论所说的集合ꎬ而是人们在日常生活中所说的集合ꎬ那么这种集合也许不需要给出明确的定义.因为ꎬ人们在日常生活中所说的集合与人们的生活环境密切相关.人们可以通过各种不同的生活环境找到集合的明确定义.例如ꎬ一个学校的集合就是全校师生的集合ꎬ一支军队的集合就是全军官兵的集合ꎬ以此类推.但是ꎬ如果我们所说的集合是集合论所说的集合ꎬ而不是人们在日常生活中所说的集合ꎬ那么这种集合就必须给出明确的定义了.因为ꎬ集合论所说的集合是一种具有数学抽象性的集合.这种具有数学抽象性的集合与人们的生活环境毫无关系.如果不把这种具有数学抽象性的集合用数学语言明确地表述出来ꎬ人们就可以随心所欲地解释这种具有数学抽象性的集合了.这样一来ꎬ罗素悖论就会从集合论所说的集合中产生出来ꎬ集合论所说的集合就为罗素悖论提供了形成条件.不过ꎬ我们也应该看到ꎬ虽然集合论一直没有解决集合定义问题ꎬ但是集合论已经为解决这一问题奠定了良好的理论基础.这个理论基础就是代表任意集合的集合公式:∃Ａ∀ａａɪＡ｜ａ＝ａｎꎬ０ɤｎɤ¥()根据集合公式ꎬ我们可以把集合定义为一组具有相８２Copyright©博看网 . All Rights Reserved.同数学性质的数学对象.根据集合定义ꎬ我们可以将元素定义为包含在某个集合之中的最小数学对象.根据元素定义ꎬ我们可以将子集定义为包含在某个集合之中并包含其若干元素的数学对象.根据子集定义ꎬ我们可以将空集定义为包含在某个集合之中但不包含其任何元素的数学对象.根据空集定义ꎬ我们可以将非空集合定义为包含某个集合的所有元素但不包含其空集的子集.由此可见ꎬ只要给出了集合定义ꎬ我们就可以给出元素定义.只要给出了元素定义ꎬ我们就可以给出子集定义.只要给出了子集定义ꎬ我们就可以给出空集定义.只要给出了空集定义ꎬ我们就可以给出非空集合定义.由于这五个集合论定义具有极其密切的理论联系ꎬ所以我们可以把这五个集合论定义称为集合论定义系统.令Ｄ代表集合论定义系统ꎬｄ１代表集合定义ꎬｄ２代表元素定义ꎬｄ３代表子集定义ꎬｄ４代表空集定义ꎬｄ５代表非空集合定义ꎬ我们可以用以下公式来证明集合论定义系统:已知ｄ１ңｄ２ңｄ３ңｄ４ңｄ５又知ｄ１ɪＤｄ２ɪＤｄ３ɪＤｄ４ɪＤｄ５ɪＤ因此∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()证毕.我们不难发现:集合论定义系统为集合论公理系统提供了理论依据.只要给出了集合论定义系统ꎬ我们就可以从中推出集合论公理系统.令Ｇ代表集合论公理系统ꎬｇ１代表外延公理ꎬｇ２代表空集公理ꎬｇ３代表子集公理ꎬｇ４代表偶集公理ꎬｇ５代表并集公理ꎬｇ６代表幂集公理ꎬｇ７代表正则公理ꎬｇ８代表无穷公理ꎬｇ９代表替换公理ꎬｇ１０代表选择公理ꎬ我们可以用以下公式来证明这一发现:已知∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()∃Ｇ∀ｇｇɪＧ｜ｇ＝ｇｊꎬ０<ｊɤ１０()又知ｄ１ɪＤңｇ４ɡｇ５ɡｇ８ɪＧｄ２ɪＤңｇ１ɡｇ９ɪＧｄ３ɪＤңｇ３ɡｇ６ɪＧｄ４ɪＤңｇ２ɪＧｄ５ɪＤңｇ７ɡｇ１０ɪＧ因此∃Ｄ∀ｄｄɪＤ｜ｄ＝ｄｉꎬ０<ｉɤ５()ң∃Ｇ∀ｇｇɪＧ｜ｇ＝ｇｊꎬ０<ｊɤ１０()证毕.我们还会发现ꎬ集合论定义系统不仅为集合论公理系统提供了理论依据ꎬ而且为集合论公理系统提供了四个十分重要的集合论公理.这四个集合论公理就是包含公理㊁等于公理㊁包含等于公理和不属于公理.包含公理是指:包含在某个集合之中的任何一种数学对象都属于某个集合而不属于自己.等于公理是指:任何一种等于某个集合的数学对象都属于自己而不属于某个集合.包含等于公理是指:除了两个元素相同的集合ꎬ其他任何一种数学对象都不可能既包含在某个集合之中又等于某个集合.不属于公理是指:与某个集合的元素有关却又不属于某个集合的数学对象属于某个集合的空集.包含公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ⊂ｙ↔ｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()等于公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ＝ｙ↔ｘɪｘ↔ｘ∉ｙ()包含等于公理可以用以下公式表示:∃ｙ∀ｘｘ⊆ｙ↔ｘ⊂ｙᶱｘ＝ｙ↔ｘɪｙᶱｘ∉ｙ()不属于公理可以用以下公式表示:∀ｘ∃ｙ∀ｚｘɪｙꎬｘɪｚ｜ｚ∉ｙꎬｚɪ?ꎬ?ɪｙ()这样一来ꎬ我们就找到了从集合论中排除罗素悖论的方法.这个方法就是:将包含公理㊁等于公理㊁包含等于公理和不属于公理引进集合论公理系统.因为ꎬ在引进了这四个集合论公理之后ꎬ我们不仅可以将罗素悖论视为罗素定理ꎬ而且可以用以下方法来证明罗素定理:已知∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ⊂ｙ()又知∃ｙ∀ｘｘ⊂ｙ↔ｘ∉ｘ()因此∃ｙ∀ｘｘɪｙ↔ｘ∉ｘ()证毕.综上所述ꎬ不能从集合论中排除罗素悖论ꎬ说明不能用集合论证明罗素定理.不能用集合论证明罗素定理ꎬ说明集合论公理系统不完善.集合论公理系统不完善ꎬ说明集合论定义系统未建立.集合论定义系统未建立ꎬ说明集合定义问题没解决.只有解决了集合定义问题ꎬ才能建立集合论定义系统.只有建立了集合论定义系统ꎬ才能完善集合论公理系统.只有完善了集合论公理系统ꎬ才能用集合论证明罗素定理.只有用集合论证明了罗素定理ꎬ才能从集合论中排除罗素悖论.㊀㊀参考文献:[１]王元ꎬ文兰ꎬ陈木法.数学大辞典[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１７(９).[２]冯琦.集合论导引[Ｍ].北京:科学出版社ꎬ２０１９(１２).[３]石纯一.数理逻辑与集合论[Ｍ].北京:清华大学出版社ꎬ２０００(１２).[责任编辑:李㊀璟]９２Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
数学史上的经典悖论节选
悖论影响：罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及 的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学 界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿 付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列 结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰 到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃 了。”罗素悖论的提出导致了数学的第三次危机。 悖论解决：罗素悖论提出后，数学家们纷纷提出自己的解决方案。人们希望能 够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需 要建立新的原则。“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必 须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。”解决这一悖论 主要有两种选择，ZF公理系统和 NBG公理系统。
②一个人从A点走到B点，要先走完路程 的1/2，再走完剩下总路程的1/2，再走完剩下的 1/2……”如此循环下去，永远不能到终点。 另附：《庄子·天下篇》中也提到：“一尺之棰， 日取其半，万世不竭。”
三：希尔伯特悖论
• 人物生平：戴维·希尔伯特，又译大卫·希尔伯特，D.（David Hilbert，1862～1943），德国著名数学家。他于1900年8月8 日在巴黎第二届国际数学家大会上，提出了新世纪数学家应当努 力解决的23个数学问题，被认为是20世纪数学的至高点，对这些 问题的研究有力推动了20世纪数学的发展，在世界上产生了深远 的影响。希尔伯特领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的 一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”，他是天才中 的天才。
罗素悖论
论罗素悖论在数学中，通过对命题函项的分层以及对类型的限制，许多悖论就都可以避免，因为类型论的限制很强，罗素又引入还原公理使数学成为可能。
在现实中，类型论可以解决日常语言与传统哲学中的许多问题，一个重要例子就是对“说谎者悖论”的解决，还原公理则使日常语言成为可能。
但是，类型论面临现实中的复杂情况所带来的困难，还原公理则面临自身存在的合法性的困难，而罗素没有完全解决这些困难。
尽管如此，类型论与还原公理仍是一种重要的超越的方法，虽然这种方法面临只能用信念来保证的困难。
尽管不应该因为数学中的符号和日常语言中的词具有类型的模糊性就抛弃它们，但也不等于说对它们就不假思索地接受，应具备“分析的精神”。
类型论与还原公理正是这种精神的集中体现。
罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。
它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。
所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的《算数的基本法则》完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。
他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。
他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。
”从哲学上看，人们在解决悖论的努力使自己的认识不断深化，从而对相对静止思维形式和结构，以及它们之间错综复杂的层次和关系做了更进一步的剖析。
此外，上述努力对于反对诡辩和相对主义也有一定的意义。
悖论的存在价值自然科学发展中的大量实例充分表明，悖论的出现虽然可以暂时引起人们的思想混乱，对科学研究正常开展形成一定的冲击，但更重要的是，它对于揭露原有理论体系中的逻辑矛盾，对于揭露原有理论与概念的缺陷或局限性，对于进一步深入理解，认识和评价原有科学理论，对于原有科学概念或理论的进一步充实和完善。
对于促进科学理论产生突破性发展都具有重要意义.一个悖论或佯谬的发现，就为有关科学研究提供了重要的研究课题。
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罗素悖论1.【罗素悖论简介】1900年前后,在数学的集合论中出现了三个著名悖论，理发师悖论就是罗素悖论的一种通俗表达方式。
此外还有康托尔悖论、布拉利—福尔蒂悖论。
这些悖论特别是罗素悖论，在当时的数学界与逻辑界内引起了极大震动。
触发了第三次数学危机。
【什么是悖论】解释让我们先了解下什么是悖论。
悖论(paradox)来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。
这个词的意义比较丰富，它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论，那些结论会使我们惊异无比。
悖论是自相矛盾的命题。
即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推出这个命题成立如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。
古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。
解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。
主要形式悖论有三种主要形式：1．一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。
2．一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。
3．一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。
【罗素悖论定义】把所有集合分为2类，第一类中的集合以其自身为元素，第二类中的集合不以自身为元素，假令第一类集合所组成的集合为P，第二类所组成的集合为Q，于是有：P={A∣A∈A}Q={A∣A￠A}（￠：不属于的符号，因为实在找不到）问，Q∈P 还是Q∈Q？若Q∈P，那么根据第一类集合的定义，必有Q∈Q，但是Q中任何集合都有A￠A的性质，因为Q∈Q，所以Q￠Q，引出矛盾。
若Q∈Q，根据第一类集合的定义，必有Q∈P，而显然P∩Q=Φ，所以Q￠Q，还是矛盾。
这就是著名的“罗素悖论”。
罗素悖论还有一些较为通俗的版本，如理发师悖论等。
【罗素悖论例子】《唐·吉诃德》世界文学名著《唐·吉诃德》中有这样一个故事：唐·吉诃德的仆人桑乔·潘萨跑到一个小岛上，成了这个岛的国王。
他颁布了一条奇怪的法律：每一个到达这个岛的人都必须回答一个问题：“你到这里来做什么？”如果回答对了，就允许他在岛上游玩，而如果答错了，就要把他绞死。
对于每一个到岛上来的人，或者是尽兴地玩，或者是被吊上绞架。
有多少人敢冒死到这岛上去玩呢？一天，有一个胆大包天的人来了，他照例被问了这个问题，而这个人的回答是：“我到这里来是要被绞死的。
”请问桑乔·潘萨是让他在岛上玩，还是把他绞死呢？如果应该让他在岛上游玩，那就与他说“要被绞死”的话不相符合，这就是说，他说“要被绞死”是错话。
既然他说错了，就应该被处绞刑。
但如果桑乔·潘萨要把他绞死呢？这时他说的“要被绞死”就与事实相符，从而就是对的，既然他答对了，就不该被绞死，而应该让他在岛上玩。
小岛的国王发现，他的法律无法执行，因为不管怎么执行，都使法律受到破坏。
他思索再三，最后让卫兵把他放了，并且宣布这条法律作废。
这又是一条悖论。
理发师悖论由著名数学家伯特兰·罗素（Bertrand A.W. Russell，1872—1970）提出的悖论与之相似：在某个城市中有一位理发师，他的广告词是这样写的：“本人的理发技艺十分高超，誉满全城。
我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。
我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。
可是，有一天，这位理发师从镜子里看见自己的胡子长了，他本能地抓起了剃刀，你们看他能不能给他自己刮脸呢？如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。
理发师悖论与罗素悖论等价理发师悖论与罗素悖论是等价的：因为，如果把每个人看成一个集合，这个集合的元素被定义成这个人刮脸的对象。
那么，理发师宣称，他的元素，都是城里不属于自身的那些集合，并且城里所有不属于自身的集合都属于他。
那么他是否属于他自己？这样就由理发师悖论得到了罗素悖论。
反过来的变换也是成立的。
【罗素悖论的影响】十九世纪下半叶，康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。
但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。
数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。
因而集合论成为现代数学的基石。
“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
1900年，国际数学家大会上，法国著名数学家庞加莱就曾兴高采烈地宣称：“………借助集合论概念，我们可以建造整个数学大厦……今天，我们可以说绝对的严格性已经达到了……”可是，好景不长。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。
罗素的这条悖论使集合理论产生了危机。
它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。
所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。
德国的著名逻辑学家弗里兹在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。
他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。
他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。
”1874年，德国数学家康托尔创立了集合论，很快渗透到大部分数学分支，成为它们的基础。
到19世纪末，全部数学几乎都建立在集合论的基础之上了。
就在这时，集合论中接连出现了一些自相矛盾的结果，特别是1902年罗素提出的理发师故事反映的悖论，它极为简单、明确、通俗。
于是，数学的基础被动摇了，这就是所谓的第三次“数学危机”。
罗素的悖论发表之后，接着又发现一系列悖论（后来归入所谓语义悖论）：1、理查德悖论2、培里悖论3．格瑞林和纳尔逊悖论。
【问题的解决】第一次数学危机罗素悖论提出，危机产生后，数学家纷纷提出自己的解决方案。
人们希望能够通过对康托尔的集合论进行改造，通过对集合定义加以限制来排除悖论，这就需要建立新的原则。
“这些原则必须足够狭窄，以保证排除一切矛盾；另一方面又必须充分广阔，使康托尔集合论中一切有价值的内容得以保存下来。
”解决这一悖论在本质上存在两种选择，the Zermelo-Fraenkel alternative 和the von Neumann-Bernays al ternative。
第二次数学危机1908年，策梅罗（Ernst Zermelo)在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，后来这一公理化集合系统很大程度上弥补了康托尔朴素集合论的缺陷。
这一公理系统在通过Abraham Fraenkel的改进后被称为Zermelo-Fraenkel(ZF) axio ms。
在该公理系统中，由于限制公理（The Axion Schema of Comprehension或S ubset Axioms)：P(x)是x的一个性质，对任意已知集合A，存在一个集合B使得对所有元素x∈B当且仅当x∈A且P(x)；因此{x∣x是一个集合}并不能在该系统中写成一个集合，由于它并不是任何已知集合的子集；并且通过该公理，存在集合A={x ∣x是一个集合}在ZF系统中能被证明是矛盾的。
因此罗素悖论在该系统中被避免了。
第三次数学危机除ZF系统外，集合论的公理系统还有多种，如诺伊曼（von Neumann)等人提出的NBG系统等。
在the von Neumann-Bernays alternative中，所有包含集合的collection都能被称为类(class)，因此某些集合也能被称为class，但是某些collecti on太大了（比如一个collection包含所有集合）以至于不能是一个集合，因此仅仅是个class。
这同样也避免了罗素悖论。
公理化集合系统的建立，成功排除了集合论中出现的悖论，从而比较圆满地解决了第三次数学危机。
但在另一方面，罗素悖论对数学而言有着更为深刻的影响。
它使得数学基础问题第一次以最迫切的需要的姿态摆到数学家面前，导致了数学家对数学基础的研究。
而这方面的进一步发展又极其深刻地影响了整个数学。
如围绕着数学基础之争，形成了现代数学史上著名的三大数学流派，而各派的工作又都促进了数学的大发展等等。
巨大作用以上简单介绍了数学史上由于悖论而导致的三次数学危机与度过，从中我们不难看到悖论在推动数学发展中的巨大作用。
有人说：“提出问题就是解决问题的一半”，而悖论提出的正是让数学家无法回避的问题。
它对数学家说：“解决我，不然我将吞掉你的体系！”正如希尔伯特在《论无限》一文中所指出的那样：“必须承认，在这些悖论面前，我们目前所处的情况是不能长期忍受下去的。
人们试想：在数学这个号称可靠性和真理性的模范里，每一个人所学的、教的和应用的那些概念结构和推理方法竟会导致不合理的结果。
如果甚至于数学思考也失灵的话，那么应该到哪里去寻找可靠性和真理性呢？”悖论的出现逼迫数学家投入最大的热情去解决它。
而在解决悖论的过程中，各种理论应运而生了：第一次数学危机促成了公理几何与逻辑的诞生；第二次数学危机促成了分析基础理论的完善与集合论的创立；第三次数学危机促成了数理逻辑的发展与一批现代数学的产生。
数学由此获得了蓬勃发展，这或许就是数学悖论重要意义之所在吧，而罗素悖论在其中起到了重要的作用。
逻辑主义理性不能回答关于其自身的问题，这个问题在康德时期就发现了。
逻辑存在无法弥补的漏洞，却是人了解世界的唯一途径。
到头来你会发现，不是否定理性就是否定信仰。
因为所谓唯心唯物之争都是建立在这样不完备的逻辑体系上的纯粹理性科学。
既然理性无法对其自身做出判断，那么选择立场就不能以理性为依据，从而变成一种实质上的迷信。
当然如果你坚持要说自己的立场是合乎所谓的科学或实践的，那么其实你既不属于唯物也不属于唯心，本质上只是一种泛经验主义或者泛逻辑主义罢了。
当然，这里的逻辑主义当然不是罗素的那个，只是一个形象点的称呼而已。
异己词悖论和罗素悖论还有其它的不同吗？思考这个问题的动机原是这样：是否所有能导致两难推理的悖论（包括一些所谓的语义学悖论）都有相同结构？如果不是，能不能把它们按照逻辑结构来分类？从而能够更加清晰地看清每一类悖论产生的根源。
比如罗素悖论，用符号表示出来，就可看出，它用了这样一个定义模式：x是S的，如果x不是x的。
(稍微严格一点写成这样：xRS,如果非xRx.R为一个二元谓词。
)而在定义S时，S本身又可以用它自己的定义来判定，即可以把定义中的x换成S，导致这样一个语句：S是S的，如果S 不是S的。