大连市2013年高三双基测试卷数学理
大连市2012年高三双基测试卷 数学(理)
6
B．
3
2
D．
2 3
ˆ 80 x 50 ，则下列判断 6．工人月工资 y（元）与劳动生产率 x（千元）变化的回归直线方程为 y
正确的是 ①劳动生产率为 1 千元时，工资约为 130 元； ②劳动生产率每提高 1 千元时，工资平均提高 80 元； ③劳动生产率每提高 1 千元时，工资平均提高 130 元； ④当月工资为 210 元时，劳动生产率约为 2 千元． A．①③ B．②④ C．①②④ （ ）
4
时，求直线 BD 的参数方程。
24． （本小题满分 10 分）选修 4-5:不等式选讲 已知对于任意非零实数 m，不等式 | 4m 1 | | 1 m || m | (| 2 x 3 | | x 1 |) 恒成立，求 实数 x 的取值范围．
x x2 2
( x1 x2 ) x1 x2 .
请考生在 22，23，24 三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22． （本小题满分 10 分）选修 4-1:几何证明选讲 如图所示，已知⊙O1 和⊙O2 相交于 A、B 两点，过 A 点作⊙O1 的切线交⊙O2 于点 C，过点 B 作两圆的割线，分别交⊙O1、⊙O2 于点 D、E，DE 与 AC 相交于点 P． （I）求证：AD∥EC; （Ⅱ）若 AD 是⊙O2 的切线，且 PA=6，PC=2，BD=9，求 AD 的长．
x
D． y x x
3
4．已知 cos A．
5 , 为第二象限角，则 tan( ) = 4 5
B．
（
）
1 3
1 3
辽宁省大连市2012届高三下学期双基测试 数学(理).pdf
大连市 2012年高三双基测试卷 数学试题（理科） 说明： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题． 2．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知等于（ ） A．B． C．D． 2．设复数等于（ ） A．B．C．D． 3．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是（ ） A．B．C．D． 4．已知为第二象限角，则=（ ） A．B．C．3D．—3 5．在△ABC中，a、b、c分别为三个内角A、B、C所对的边，设向量，若，则角A的大小为（ ） A．B．C．D． 6．工人月工资y（元）与劳动生产率x（千元）变化的回归直线方程为，则下列判断正确的是（ ） ①劳动生产率为1千元时，工资约为130元； ②劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高80元； ③劳动生产率每提高1千元时，工资平均提高130元； ④当月工资为210元时，劳动生产率约为2千元． A．①③ B．②④ C．①②④ D．①②③④ 7．定义在R上的函数上单调递减，且是偶函数，则下列不等式中正确的是 （ ） A．B． C．D． 8．已知函数，则函数有两个相异零点的充要条件是（ ） A．B． C．D． 9．设的值（ ） A．B． C．D．— 10．程序框图如图所示，其输出结果是（ ） A．B．—C．0D． 11．双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为e，过F2的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e2的值是（ ） A．B．C．D． 12．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这些球的最大半径为（ ） A．B．C．D． 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分，第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答， 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．） 13．如图所示是一个几何体的三视图(单位：cm)，则这个几何体的表面积 cm2. 14．设坐标原点为O，抛物线上两点A、B在该抛物线的准线上的射影分别是A′、B′，已知|AB|=|AA′|+|BB′|，则=。
2013年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={x|x2﹣2x＞0}，B={x |﹣＜x ＜}，则（）A．A∩B=∅B．A∪B=R C．B⊆A D．A⊆B2．（5分）若复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，则z的虚部为（）A．﹣4B ．C．4D ．3．（5分）为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（）A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样4．（5分）已知双曲线C ：（a＞0，b＞0）的离心率为，则C的渐近线方程为（）A．y=B．y=C．y=±x D．y=5．（5分）执行程序框图，如果输入的t∈[﹣1，3]，则输出的s属于（）A．[﹣3，4]B．[﹣5，2]C．[﹣4，3]D．[﹣2，5]6．（5分）如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（）A ．B ．C ．D．7．（5分）设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．68．（5分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．16+8πB．8+8πC．16+16πD．8+16π9．（5分）设m为正整数，（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，若13a=7b，则m=（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B 两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B ．C．D．11．（5分）已知函数f（x）=，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]12．（5分）设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n=1，2，3…若b1＞c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n ，，，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．（5分）已知两个单位向量，的夹角为60°，=t+（1﹣t ）．若•=0，则t=．14．（5分）若数列{a n}的前n项和为S n =a n +，则数列{a n}的通项公式是a n=．15．（5分）设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣2cosx取得最大值，则cosθ=．16．（5分）若函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，则f（x）的最大值为．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°．（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．18．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB，AB=AA1，∠BAA1=60°．（Ⅰ）证明AB⊥A1C；（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值．19．（12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n．如果n=3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n=4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．（Ⅰ）求这批产品通过检验的概率；（Ⅱ）已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X（单位：元），求X的分布列及数学期望．20．（12分）已知圆M：（x+1）2+y2=1，圆N：（x﹣1）2+y2=9，动圆P与圆M外切并与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求C的方程；（Ⅱ）l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|．21．（12分）已知函数f（x）=x2+ax+b，g（x）=e x（cx+d），若曲线y=f（x）和曲线y=g（x）都过点P （0，2），且在点P处有相同的切线y=4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值；（Ⅱ）若x≥﹣2时，f（x）≤kg（x），求k的取值范围．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．（10分）（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE 交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．23．已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（1）把C1的参数方程化为极坐标方程；（2）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．24．已知函数f（x）=|2x﹣1|+|2x+a|，g（x）=x+3．（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）的解集；（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）≤g（x），求a的取值范围．2013年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1．【考点】并集及其运算；73：一元二次不等式及其应用．【分析】根据一元二次不等式的解法，求出集合A，再根据的定义求出A∩B和A∪B．【解答】解：∵集合A={x|x2﹣2x＞0}={x|x＞2或x＜0}，∴A∩B={x|2＜x ＜或﹣＜x＜0}，A∪B=R，故选：B．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，以及并集的定义，属于基础题．2．【考点】复数的运算．【分析】由题意可得z==，再利用两个复数代数形式的乘除法法则化简为+i，由此可得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足（3﹣4i）z=|4+3i|，∴z====+i，故z 的虚部等于，故选：D．【点评】本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘除法法则的应用，属于基础题．3．【考点】分层抽样方法．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．4．【考点】双曲线的性质．【分析】由离心率和abc的关系可得b2=4a2，而渐近线方程为y=±x，代入可得答案．【解答】解：由双曲线C ：（a＞0，b＞0），则离心率e===，即4b2=a2，故渐近线方程为y=±x=x，故选：D．【点评】本题考查双曲线的简单性质，涉及的渐近线方程，属基础题．5．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；EF：程序框图．【分析】本题考查的知识点是程序框图，分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算一个分段函数的函数值，由条件为t＜1我们可得，分段函数的分类标准，由分支结构中是否两条分支上对应的语句行，我们易得函数的解析式．【解答】解：由判断框中的条件为t＜1，可得：函数分为两段，即t＜1与t≥1，又由满足条件时函数的解析式为：s=3t；不满足条件时，即t≥1时，函数的解析式为：s=4t﹣t2故分段函数的解析式为：s=，如果输入的t∈[﹣1，3]，画出此分段函数在t∈[﹣1，3]时的图象，则输出的s属于[﹣3，4]．故选：A．【点评】要求条件结构对应的函数解析式，要分如下几个步骤：①分析流程图的结构，分析条件结构是如何嵌套的，以确定函数所分的段数；②根据判断框中的条件，设置分类标准；③根据判断框的“是”与“否”分支对应的操作，分析函数各段的解析式；④对前面的分类进行总结，写出分段函数的解析式．6．【考点】球的体积和表面积．【分析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M，可得圆心M为正方体上底面正方形的中心．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质建立关于R的方程并解出R=5，用球的体积公式即可算出该球的体积．【解答】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R﹣2）cm，而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2=（R﹣2）2+42，解出R=5，∴根据球的体积公式，该球的体积V===．故选：A．【点评】本题给出球与正方体相切的问题，求球的体积，着重考查了正方体的性质、球的截面圆性质和球的体积公式等知识，属于中档题．7．【考点】等差数列的性质；85：等差数列的前n项和．【分析】由a n与S n的关系可求得a m+1与a m，进而得到公差d，由前n项和公式及S m=0可求得a1，再由通项公式及a m=2可得m值．【解答】解：a m=S m﹣S m﹣1=2，a m+1=S m+1﹣S m=3，所以公差d=a m+1﹣a m=1，S m ==0，m﹣1＞0，m＞1，因此m不能为0，得a1=﹣2，所以a m=﹣2+（m﹣1）•1=2，解得m=5，另解：等差数列{a n}的前n项和为S n ，即有数列{}成等差数列，则，，成等差数列，可得2•=+，即有0=+，解得m=5．又一解：由等差数列的求和公式可得（m﹣1）（a1+a m﹣1）=﹣2，m（a1+a m）=0，（m+1）（a1+a m+1）=3，可得a1=﹣a m，﹣2a m+a m+1+a m+1=+=0，解得m=5．故选：C．【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a n与S n的关系，考查学生的计算能力．8．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，依据三视图的数据，得出组合体长、宽、高，即可求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体，如图，其中长方体长、宽、高分别是：4，2，2，半个圆柱的底面半径为2，母线长为4．∴长方体的体积=4×2×2=16，半个圆柱的体积=×22×π×4=8π所以这个几何体的体积是16+8π；故选：A．【点评】本题考查了几何体的三视图及直观图的画法，三视图与直观图的关系，柱体体积计算公式，空间想象能力9．【考点】二项式定理．【分析】根据二项式系数的性质求得a和b，再利用组合数的计算公式，解方程13a=7b求得m的值．【解答】解：∵m为正整数，由（x+y）2m展开式的二项式系数的最大值为a，以及二项式系数的性质可得a=，同理，由（x+y）2m+1展开式的二项式系数的最大值为b，可得b==．再由13a=7b，可得13=7，即13×=7×，即13=7×，即13（m+1）=7（2m+1），解得m=6，故选：B．【点评】本题主要考查二项式系数的性质的应用，组合数的计算公式，属于中档题．10．【考点】椭圆的标准方程．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率计算公式可得==．于是得到，化为a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化为a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴椭圆E 的方程为．故选：D．【点评】熟练掌握“点差法”和中点坐标公式、斜率的计算公式是解题的关键．11．【考点】其他不等式的解法．【分析】由函数图象的变换，结合基本初等函数的图象可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax 的图象，由导数求切线斜率可得l的斜率，进而数形结合可得a的范围．【解答】解：由题意可作出函数y=|f（x）|的图象，和函数y=ax的图象，由图象可知：函数y=ax的图象为过原点的直线，当直线介于l和x轴之间符合题意，直线l为曲线的切线，且此时函数y=|f（x）|在第二象限的部分解析式为y=x2﹣2x，求其导数可得y′=2x﹣2，因为x≤0，故y′≤﹣2，故直线l的斜率为﹣2，故只需直线y=ax的斜率a介于﹣2与0之间即可，即a∈[﹣2，0]故选：D．【点评】本题考查其它不等式的解法，数形结合是解决问题的关键，属中档题．12．【考点】数列的函数特性；8H：数列递推式．【分析】由a n+1=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=及b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n+1﹣c n+1=，得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴，由题意，+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n =（b n+c n﹣2a n），∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，又由题意，b n+1﹣c n+1=，∴=a1﹣b n，∴b n+1﹣a1=，∴b n﹣a1=，∴，c n=2a1﹣b n =，∴[][]=[﹣]单调递增（可证当n=1时＞0）故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，是本年度全国高考试题中的“亮点”之一．二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2．【考点】平面向量的基本定理；9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】由于•=0，对式子=t+（1﹣t ）两边与作数量积可得=0，经过化简即可得出．【解答】解：∵，，∴=0，∴tcos60°+1﹣t=0，∴1=0，解得t=2．故答案为2．【点评】熟练掌握向量的数量积运算是解题的关键．14．（﹣2）n﹣1．【考点】等比数列的通项公式．【分析】把n=1代入已知式子可得数列的首项，由n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1，可得数列为等比数列，且公比为﹣2，代入等比数列的通项公式分段可得答案．【解答】解：当n=1时，a1=S1=，解得a1=1当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（）﹣（）=，整理可得，即=﹣2，故数列{a n}从第二项开始是以﹣2为首项，﹣2为公比的等比数列，故当n≥2时，a n=（﹣2）n﹣1，经验证当n=1时，上式也适合，故答案为：（﹣2）n﹣1【点评】本题考查等比数列的通项公式，涉及等比数列的判定，属基础题．15．﹣．【考点】两角和与差的三角函数；H4：正弦函数的定义域和值域．【分析】f（x）解析式提取，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由x=θ时，函数f（x）取得最大值，得到sinθ﹣2cosθ=，与sin2θ+cos2θ=1联立即可求出cosθ的值．【解答】解：f（x）=sinx﹣2cosx=（sinx ﹣cosx）=sin（x﹣α）（其中cosα=，sinα=），∵x=θ时，函数f（x）取得最大值，∴sin（θ﹣α）=1，即sinθ﹣2cosθ=，又sin2θ+cos2θ=1，联立得（2cosθ+）2+cos2θ=1，解得cosθ=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握公式是解本题的关键．16．16．【考点】函数与方程的综合运用；6E：利用导数研究函数的最值．【分析】由题意得f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，由此求出a=8且b=15，由此可得f（x）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15．利用导数研究f（x）的单调性，可得f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数，结合f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，即可得到f（x）的最大值．【解答】解：∵函数f（x）=（1﹣x2）（x2+ax+b）的图象关于直线x=﹣2对称，∴f（﹣1）=f（﹣3）=0且f（1）=f（﹣5）=0，即[1﹣（﹣3）2][（﹣3）2+a•（﹣3）+b]=0且[1﹣（﹣5）2][（﹣5）2+a•（﹣5）+b]=0，解之得，因此，f（x）=（1﹣x2）（x2+8x+15）=﹣x4﹣8x3﹣14x2+8x+15，求导数，得f′（x）=﹣4x3﹣24x2﹣28x+8，令f′（x）=0，得x1=﹣2﹣，x2=﹣2，x3=﹣2+，当x∈（﹣∞，﹣2﹣）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2﹣，﹣2）时，f′（x）＜0；当x∈（﹣2，﹣2+）时，f′（x）＞0；当x∈（﹣2+，+∞）时，f′（x）＜0∴f（x）在区间（﹣∞，﹣2﹣）、（﹣2，﹣2+）上是增函数，在区间（﹣2﹣，﹣2）、（﹣2+，+∞）上是减函数．又∵f（﹣2﹣）=f（﹣2+）=16，∴f（x）的最大值为16．故答案为：16．【点评】本题给出多项式函数的图象关于x=﹣2对称，求函数的最大值．着重考查了函数的奇偶性、利用导数研究函数的单调性和函数的最值求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．【解答】解：（I）在Rt△PBC 中，=，∴∠PBC=60°，∴∠PBA=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2=PB2+AB2﹣2PB•ABcos30°==．∴PA=．（II）设∠PBA=α，在Rt△PBC中，PB=BCcos（90°﹣α）=sinα．在△PBA 中，由正弦定理得，即，化为．∴．【点评】熟练掌握直角三角形的边角关系、正弦定理和余弦定理是解题的关键．18．【解答】解：（Ⅰ）取AB的中点O，连接OC，OA1，A1B，因为CA=CB，所以OC⊥AB，由于AB=AA1，∠BAA1=60°，所以△AA1B为等边三角形，所以OA1⊥AB，又因为OC∩OA1=O，所以AB⊥平面OA1C，又A1C⊂平面OA1C，故AB⊥A1C；（Ⅱ）由（Ⅰ）知OC⊥AB，OA1⊥AB，又平面ABC⊥平面AA1B1B，交线为AB，所以OC⊥平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两垂直．以O 为坐标原点，的方向为x 轴的正向，||为单位长，建立如图所示的坐标系，可得A（1，0，0），A1（0，，0），C（0，0，），B（﹣1，0，0），则=（1，0，），=（﹣1，，0），=（0，﹣，），设=（x，y，z）为平面BB1C1C 的法向量，则，即，可取y=1，可得=（，1，﹣1），故cos ＜，＞==，又因为直线与法向量的余弦值的绝对值等于直线与平面的正弦值，故直线A1C与平面BB1C1C 所成角的正弦值为：．【点评】本题考查直线与平面所成的角，涉及直线与平面垂直的性质和平面与平面垂直的判定，属难题．19．【解答】解：（Ⅰ）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1，第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2，第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1，第二次取出的1件产品是优质品为事件B2，这批产品通过检验为事件A，依题意有A=（A1B1）∪（A2B2），且A1B1与A2B2互斥，所以P（A）=P（A1B1）+P（A2B2）=P（A1）P（B1|A1）+P（A2）P（B2|A2）==（Ⅱ）X可能的取值为400，500，800，并且P（X=800）=，P（X=500）=，P（X=400）=1﹣﹣=，故X的分布列如下：X400500800P故EX=400×+500×+800×=506.25【点评】本题考查离散型随机变量及其分布列涉及数学期望的求解，属中档题．20．【解答】解：（I）由圆M：（x+1）2+y2=1，可知圆心M（﹣1，0）；圆N：（x﹣1）2+y2=9，圆心N （1，0），半径3．设动圆的半径为R，∵动圆P与圆M外切并与圆N内切，∴|PM|+|PN|=R+1+（3﹣R）=4，而|NM|=2，由椭圆的定义可知：动点P的轨迹是以M，N为焦点，4为长轴长的椭圆，∴a=2，c=1，b2=a2﹣c2=3．∴曲线C的方程为（x≠﹣2）．（II）设曲线C上任意一点P（x，y），由于|PM|﹣|PN|=2R﹣2≤3﹣1=2，所以R≤2，当且仅当⊙P的圆心为（2，0）R=2时，其半径最大，其方程为（x﹣2）2+y2=4．①l的倾斜角为90°，则l与y轴重合，可得|AB|=．②若l的倾斜角不为90°，由于⊙M 的半径1≠R，可知l与x轴不平行，设l与x轴的交点为Q，则，可得Q（﹣4，0），所以可设l：y=k（x+4），由l于M 相切可得：，解得．当时，联立，得到7x2+8x﹣8=0．∴，．∴|AB|===由于对称性可知：当时，也有|AB|=．综上可知：|AB|=或．【点评】本题综合考查了两圆的相切关系、直线与圆相切问题、椭圆的定义及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、弦长公式等基础知识，需要较强的推理能力和计算能力及其分类讨论的思想方法．21．【解答】解：（Ⅰ）由题意知f（0）=2，g（0）=2，f′（0）=4，g′（0）=4，而f′（x）=2x+a，g′（x）=e x（cx+d+c），故b=2，d=2，a=4，d+c=4，从而a=4，b=2，c=2，d=2；（Ⅱ）由（I）知，f（x）=x2+4x+2，g（x）=2e x（x+1）设F（x）=kg（x）﹣f（x）=2ke x（x+1）﹣x2﹣4x﹣2，则F′（x）=2ke x（x+2）﹣2x﹣4=2（x+2）（ke x﹣1），由题设得F（0）≥0，即k≥1，令F′（x）=0，得x1=﹣lnk，x2=﹣2，①若1≤k＜e2，则﹣2＜x1≤0，从而当x∈（﹣2，x1）时，F′（x）＜0，当x∈（x1，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，x1）上减，在（x1，+∞）上是增，故F（x）在[﹣2，+∞）上的最小值为F（x1），而F（x1）=﹣x1（x1+2）≥0，x≥﹣2时F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．②若k=e2，则F′（x）=2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），从而当x∈（﹣2，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（﹣2，+∞）上是增，而F（﹣2）=0，故当x≥﹣2时，F（x）≥0，即f（x）≤kg（x）恒成立．③若k＞e2时，F′（x）＞2e2（x+2）（e x﹣e﹣2），而F（﹣2）=﹣2ke﹣2+2＜0，所以当x＞﹣2时，f（x）≤kg（x）不恒成立，综上，k的取值范围是[1，e2]．【点评】此题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程，函数恒成立问题，考查分类讨论思想，解题的关键是能够利用导数工具研究函数的性质，此题是一道中档题．四、请考生在第22、23、24题中任选一道作答，并用2B铅笔将答题卡上所选的题目对应的题号右侧方框涂黑，按所涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分，不涂，按本选考题的首题进行评分.22．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．23．【解答】解：（1）将，消去参数t，化为普通方程（x﹣4）2+（y﹣5）2=25，即C1：x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0，得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0．（2）∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ．∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0，联立，解得或，∴C1与C2交点的极坐标为（）和（2，）．【点评】本题考查曲线极坐标方程的求法，考查两曲线交点的极坐标的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．24．【解答】解：（Ⅰ）当a=﹣2时，求不等式f（x）＜g（x）化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3＜0．设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3，则y=，它的图象如图所示：结合图象可得，y＜0的解集为（0，2），故原不等式的解集为（0，2）．（Ⅱ）设a＞﹣1，且当x∈[﹣，]时，f（x）=1+a，不等式化为1+a≤x+3，故x≥a﹣2对x∈[﹣，]都成立．故﹣≥a﹣2，解得a ≤，故a的取值范围为（﹣1，]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法与绝对值不等式的性质，关键是利用零点分段讨论法分析函数的解析式．。
辽宁省大连市2024届高三上学期期末双基测试数学检测卷(有答案)
辽宁省大连市2024届高三上学期期末双基测试数学检测卷注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效2.本试卷分和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第I 卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求1.已知集合，则（ ）{}*11,2,3,4,5,2x A B x ⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭N A B ⋂=A.B.C.D.{}5{}2,4{}3,5{}1,3,52.设复数，则（ ）1i4i 1i z -=++z =A.0B.1C.2D.33.在中，若，则（ ）ABC 1,3AD mDB CD CA CBλ==+ λ=A. B. C. D.231313-23-4.在财务审计中，我们可以用“本•福特定律”来检验数据是否造假.本福特定律指出，在一组没有人为编造的自然生成的数据（均为正实数）中，首位非零的数字是这九个事件不是等19~可能的.具体来说，随机变量是一组没有人为编造的首位非零数字，则χ.则根据本•福特定律，首位非零数字是1与首位非零数字()1lg,1,2,,9k P k k k χ+=== 是8的概率之比约为（ ）（保留至整数，参考数据：）.lg20.301,lg30.477==A.4B.6C.7D.85.已知曲线“表示焦点在轴上的椭圆”的一个充分非()()22:log 2024log 20241a b C x y +=y必要条件是（ ）A.B.0a b <<1a b<<C. D.32a b <<1b a<<6.已知函数，若存在实数满足()()[]2log ,0,2πsin ,2,104x x f x x x ⎧∈⎪=⎨⎛⎫∈ ⎪⎪⎝⎭⎩1234,,,x x x x ，且，则的值是（ ）()()()()1234f x f x f x f x ===1234x x x x <<<34124x x x x +⋅A.3B.6C.8D.127.设，则（ ）11155,2ln sin cos ,ln48844a b c ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭A.B.a b c <<b a c<<C. D.c b a <<a c b <<8.已知函数满足下列条件：①对任意()sin πcos π(1,1,0)f x a x b x a b ωωω=+>>>恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点()1,4xf x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R ()f x 34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（）()b ()y f x =ωA.B.(]280,13,9⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦()280,13,9⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦C.D.][(0,13,5⎤⋃⎦()30,1,52⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦二､多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.在中，角的对边分别是，若，ABC ,,A B C ,,a b c cos sin a B b A c +=，则（）222sin a ab c ab C =+-=A. B.tan 2C =π3A =C.D.的面积为b =ABC10.如图，在棱长为1的正方体中，分别是的中点，1111ABCD A B C D -M N P ､､1111C D C C A A ､､则（）A.平面截正方体所得截面为等腰梯形1A MN B.三棱锥的体积为1D MNB -112C.异面直线与MN 1D P D.1A D BM⊥11.已知三个盒子，其中盒子内装有2个红球，1个黄球和1个白球；盒子内装,,A B C A B 有2个红球，1个白球；盒子内装有3个红球，2个黄球.若第一次先从盒子内随机抽取C A 1个球，若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是A B 白球放入盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，则下列说法正确的是（）C A.在第一次抽到黄球的条件下，第二次抽到红球的概率为12B.第二次抽到红球球的概率为13C.如果第二次抽到的是红球，则它来自号盒子的概率最大B D.如果将5个不同的小球放入这三个盒子内，每个盒子至少放1个，则不同的放法有150种12.已知椭圆左焦点，左顶点，经过的直线交椭圆于两点（点22:143x y E +=F C F l ,A B 在第一象限），则下列说法正确的是（ ）A A.若，则的斜率2AF FB=l k =B.的最小值为4AF BF +274C.以为直径的圆与圆相切AF 224x y +=D.若直线的斜率为，则,AC BC 12,k k 1294k k ⋅=-第II 卷三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.如图所示是一个样本容量为100的频率分布直方图，则由图形中的数据，可知其分60%位数为__________.14.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间均分为三段，去掉中[]0,1间的区间段，记为第一次操作：再将剩下的两个区间...分为三段，并各12,33⎛⎫ ⎪⎝⎭120,,,133⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦自去掉中间的区间段，记为第二次操作...，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和小于，则操作的次18212024数的最大值为__________.n （参考数据：）456722220.1975,0.1317,0.0878,0.05853333⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≈≈≈≈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭15.已知，若点是抛物线上的任意一点，点是圆上任意()3,0A P 28y x =Q 22(2)1x y -+=一点，则最小值是__________.2||PA PQ16.如图所示，在圆锥内放入两个球，它们都与圆锥相切（即与圆锥的每条母线相切，12,O O 切点圆分别为.这两个球都与平切，切点分别为，丹德林（G.Dandelin ）12,C C α12,F F 利用这个模型证明了平面与圆锥侧面的交线为椭圆，为此椭圆的两个焦点，这两个α12,F F 球也称为G.Dandelin 双球.若圆锥的母线与它的轴的夹角为，的半径分别为3012,C C 2，5，点为上的一个定点，点为椭圆上的一个动点，则从点沿圆锥表面到达M 2C P P 的路线长与线段的长之和的最小值是__________.M 1PF 四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数，其中，__________.()()sin 2cos2f x x xϕ=++π2ϕ<请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①是的一个零点；②.π12-()f x ()π03f f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求的值；ϕ（2）当时，若曲线与直线恰有一个公共点，求的取值范围.ππ,63x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦()y f x =y m =m 注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.18.（本小题满分12分）如图，多面体，四边形是矩形，梯形平面ABCDNM DBMN ,ABCD AD ∥,BC DN ⊥，为中点，.π,2ABCD CBD ∠=E AB 2,1AD BD DN BC ====（1）证明：平面；AN ∥MDE （2）求平面和平面所成角余弦值.MNC MNA 19.（本小题满分12分）已知数列满足.设.{}n a ()*111,1,N 2,n n n a n a a n a n +-⎧==∈⎨⎩为奇数为偶数21nn b a -=（1）证明：数列为等比数列，并求出的通项公式；{}2n b -{}n b （2）求数列的前项和.{}n a 2n 20.（本小题满分12分）某农场2021年在3000亩大山里投放一大批鸡苗，鸡苗成年后又自行繁育，今年为了估计山里成年鸡的数量，从山里随机捕获400只成年鸡，并给这些鸡做上标识，然后再放养到大N 山里，过一段时间后，从大山里捕获1000只成年鸡，表示捕获的有标识的成年鸡的数目.X （1）若，求的数学期望；10000N =X （2）已知捕获的1000只成年鸡中有20只有标识，试求的估计值（以使得最N ()20P X =大的的值作为的估计值）.N N 21.（本小题满分12分）已知抛物线经过点，经过点的直线与抛物线交两2:2(0)G x py p =>()2,1()0,2l G ,A B 点，过两点作抛物线的切线相交于点为线段（两点除外）上一动点，,A B G ,P Q AB ,A B 直线与抛物线交两点.PQ G ,C D （1）若的的面积为，求直线方程；PABl （2）求证.PCPD CQDQ=22.（本小题满分12分）已知函数（为自然对数的底数）.()ln 1x a x f x e a x +=--e （1）若，求实数的值；()0f x ≥a （2）证明：；()21sin 2ln x x xe x x->+-（3）对恒成立，求取值范围.2π,,2cos 2x x xe ax x x x ∞⎛⎫∈-+≥+- ⎪⎝⎭a 答案与评分标准数学说明：一､本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则.二､对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半：如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.三､解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.四､只给整数分数，选择题和填空题不给中间分第I 卷一､单项选择题1.C2.D3.A2.D3.A4.B5.C6.A7.B8.A.7.解：，构造函数由211111ln sin cos ln 1sin ,1ln 188444b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭得，构造函数()sin ,ln 1x x x x <+<11111sin ,ln 1sin sin ,;44444a b ⎛⎫>+<<> ⎪⎝⎭()()()2211ln 1,11(1)(1)x xf x x f x x x x x =+-='-=++++在上单调递增，即，故()f x []0,1c a >c a b>>另法：1111ln ,1ln 1444x x x c ⎛⎫⎛⎫-<=++>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8.方法一：由函数可知函数周期是，()sin πcos π(0)f x a x b x ωωω=+>2π2πωω=因为①对任意恒成，所以函数的一条对称轴是，()1,4x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R 14x =又因为在区间是单调函数，所以，()f x 34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦()11347114147m m ωω⎧+⨯≤⎪⎪⎨⎪++⨯≥⎪⎩所以，所以为0或1.12,m m -<≤∈Z m 当时，；当时，0m =2809ω<≤1m =285659ω≤≤由已知得，因为经过点的任意一条直线与函数图像max ()f x =()b ()y f x =，所以.b a≥因为①对任意恒成，所以.()1,4x f x f ⎛⎫∀∈≤ ⎪⎝⎭R 1πππcos sin 0444f a b ωωω'⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以，ππtan,1tan 144a b ωω=-≤≤由或，得或，所以或2809ω<≤285659ω≤≤ππ044ω<≤3ππ7π449ω≤≤01ω<≤2839ω≤≤方法二：()()ππ,tan ,0,,2b f x x a ωϕϕϕ⎛⎫⎛⎫=+=∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由①可知：，即（*）1πππ42m ωϕ⨯+=+()πππ,42m m Z ωϕ=-++∈由②可知：，()34ππ,π77x ωϕωϕωϕ⎡⎤+∈++⎢⎥⎣⎦因为函数在上是单调函数，所以34,77⎡⎤⎢⎥⎣⎦()34πππ,ππ,π,7722k k k Z ωϕωϕ⎡⎤⎡⎤++⊆-++∈⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦将（*）带入化简可得：3724721127k k T πωπϕππωπϕπ⎧+≥-+⎪⎪⎪+≤+⎨⎪⎪≥⎪⎩2828()5528(),()907k m k m k m Z ωωω⎧≥-+-⎪⎪⎪≤--∈⎨⎪<≤⎪⎪⎩所以，下同方法一.2828560,,959ω⎛⎤⎡⎤∈⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦二､多项选择题9.AC10.ACD11.AD12.BCD10.解：对于，在正方体中，连接，因为分别为中点，所以A 11,CD AB ,M N 111,CD C C ，在正方体中，，所以，又因为MN ∥1D C 1A B ∥1D C MN ∥1A B 1MA NB ==所以平面截正方体所得截面为等腰梯形，A 正确；1A MN 对于B ，错误；1111111111,3322224D MNB B D MN D MN V V BC S B--==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯= 对于C ，因为，所以异面直线与所成角即为直线与所成角，MN∥1D C MN 1DP 1D C 1D P 设所成角为，则，C 正θ222222111132||cos 2D P D C CP D P D C θ⎛⎫+-+-===⋅确；对于，在正方体中易知平面平面，所以正D 1A D ⊥11,ABC D BM ⊂11ABC D 1,D A D BM ⊥确.11.解：记第一次抽到第红､黄､白球的事件分别为，则有123,,A A A ，对于，在第一次抽到黄球的条件下，则黄球放入盒()()()12311,24P A P A P A ===A B 子内，因此第二次抽到红球的概率为正确；21,A42P ==于B ，记第二次在第盒内抽到白球的事件分别为，而两两互,,A B C ()1,2,3i B i =123,,A A A 斥，和为，记第二次在第号盒内抽到红球的事件分别为，而Ω,,A B C ()1,2,3i C i =两两互斥，和为，错；记第123,,A A A Ω()()()112233111,,,222P C A P C A P C A B ===∣∣∣二次抽到红球的事件为，C ()()()33111111111()2242422i i i i i i i P C P AC P A P C A ==⎡⎤==⋅=⨯+⨯+⨯=⎣⎦∑∑∣若取出的球是红球放入盒子中；若取出的球是黄球放入盒子中；若取出的球是白球放入A B 盒子中，第二次从第一次放入盒子中任取一个球，C ()()()()()()()()111222121111112242,112422P A P C A P A P C A P A C P A C P C P C ⨯⨯⋅⋅======∣∣∣∣，，()()()()333311142142P A P C A P A C P C ⨯⋅===∣∣即第二次抽到的是红球，则它来自盒子的概率最大，不正确；A C 把5个不同的小球分成3组的不同分组方法数是种，22353522C C C A ⎛⎫+ ⎪⎝⎭将每一种分组方法分成的小球放在3个盒子中有种不同放法，33A 由分步乘法计数原理得不同的放法种数是种，D 正确.2233535322150C C C A A ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭易知：，对于，若，显然直线的斜率存在且大于0，设()()121,0,1,0F F -A 112AF F B =1l 直线，联立椭圆方程，化简整理得()()()111221(0),,,,l y k x k A x y B x y =+>()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，显然，又()22224384120k x k x k +++-=221212228412Δ0,,4343k k x x x x k k -->+==++，故，整理得，由()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+()12121x x --=+1223x x +=-解得，又，故错误；21221221228432341243k x x k x x k x x k ⎧-+=⎪+⎪⎪+=-⎨⎪-⎪=⎪+⎩254k =0k >k A =对于，易知直线的斜率不为0，设直线，联立椭圆方B 1l()()11122:1,,,,l x my A x y B x y =-程，化简整理得，显然221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩()2234690m y my +--=，由点在轴的上方，显然，又12122269Δ0,,3434m y y y y m m ->+==++A x 120,0y y ><，1112,AF yBF y ====()()2221121211143439134m m AF BF m m +++=====++，故()11111111114311332744554444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎛⎫⎛⎫ +=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当，即时取等，正确；11114BF AF AF BF =112AF BF =B 对于，设的中点为，则，又C ()111,,A x y AF P 111,22x y P -⎛⎫⎪⎝⎭，由椭圆定义知：，即，22AF OP ==21222AF AF +=122AF OP =-又的圆心为，半径为2，故以为直径的圆与圆内切，224x y +=()0,0O 1AF 224x y +=正确；C 方法二：12.解：易知：，对于，若，显然直线的斜率存在且大于()()121,0,1,0F F -A 112AF F B=1l0，设直线，联立椭圆方程，化简整理得()()111221,,,,l x my A x y B x y =-221143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，显然()2234690mx my +--=12122269Δ0,,,3434m y y y y m m ->+==++又，故，()()1111221,,1,AF x y F B x y =---=+122y y =-由，解得，又，故，A 错误；122122126349342m y y m y y m y y ⎧+=⎪+⎪-⎪=⎨+⎪=-⎪⎪⎩245m =0k>k =对于，由点在轴的上方，显然，又B A x 120,0y y ><，1112,AF y BF y ==()()2221121211143439134m m AF BF m m +++=====++，故()11111111114311332744554444BF AF AF BF AF BF AF BF AF BF ⎛⎛⎫⎛⎫ +=++=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝，当且仅当，即时取等，正确；11114BF AF AF BF =112AF BF =B 对于D ，，2121212122222698124,,,34343434m m y y y y x x x x m m m m ---++==+==++++()()()212122*********934,D124822244243434AC BCy y y y m k k m x x x x x x m m -+⋅====--+-++++++⋅+++正确第II 卷三､填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13.1414.5解：记表示第次去掉的长度，，第2次操作，去掉的线段长为，n a n 113a ∴=222,3a =第次操作，去掉的线段长度为，n 123n n na -=，则，12133212313nnn S ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦∴==- ⎪⎝⎭-21821220310.10033202432024n n<>⎛⎫⎛⎫-⇒≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由的最大值为5.56220.1317,0.0878,33n⎛⎫⎛⎫≈≈∴ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15.4-解：由题意得抛物线的焦点为，准线方程为.28y x =()2,0F 2x =-又点是抛物线上一点，点是圆上任意一点，P Q 22(2)1x y -+=max ||1,PQ PF ∴=+∴.令，点的坐标为，则，22||||1PA PA PQ PF ≥+1t PF =+P (),P P x y ()233P X PF t t =-=-≥，()()()222222||338(33)83412P P P P PA x y x x t t t t ∴=-+=-+=--+-=-+，当且仅当，即22||412124441PA t t t PF t t -+∴==+-≥-=+12t t =时t =等号成立.的最小值为.2||PA PQ∴4-16.6解：在椭圆上任取一点，连接交球于点，交球于点，P VP 1O Q 2O R连接，在与中有：111112,,,,O Q O F PO PF O R 11ΔO PF 1ΔO PQ ，（为圆的半径，为圆的半径，），111O Q O F =1r 1C 2r 2C ，11190O QP O F P ∠∠== 为公共边，所以，所以，1O P 111ΔΔO PF O PQ ≅1PF PQ =设点沿圆锥表面到达的路线长为，P M PM d 则，1PM PM PF d PQ d PQ PR QR+=+≥+=当且仅当为直线与椭圆交点时取等号，P VM ，所以最小值为6，125261sin302r r QR --===四､解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）解：选条件①（1）由题设.πππsin cos 01266f ϕ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-++-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以.πsin 6ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭因为，所以.ππ22ϕ-<<2πππ363ϕ-<-<所以.ππ63ϕ-=-所以.π6ϕ=-（2）由（1）()π1sin 2cos2cos262f x x x x x⎛⎫=-+=+ ⎪⎝⎭.πsin 26x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令ππ5π2t 666t x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭……所以在单调递增，在单调递减，y sint =ππ,62⎡⎤-⎢⎥⎣⎦π5π,26⎡⎤⎢⎥⎣⎦于是，当且仅当，即时，取得最大值1；ππ262x +=π6x =()f x 当且仅当，即时，取得最小值.ππ266x +=-π6x =-()f x 12-又，即时，.π5π266x +=π3x =π5π1sin 362f ⎛⎫==⎪⎝⎭所以的取值范围是.m {}11,122⎡⎫-⋃⎪⎢⎣⎭选条件②.（1）由题设.2π2πsin cos0sin cos33ϕϕ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭整理得.πsin 6ϕ⎛⎫-= ⎪⎝⎭以下同选条件（1）.18.（本小题满分12分）证明：（1）连接线段交与于点，连接，BN DM O OE 四边形是矩形，点是线段中点， DBMN ∴O BN 点是中点，， E AB OE ∴∥AN 平面平面，OE ⊂ ,MDE AN ⊄MDE平面.AN ∴∥MDE （2），AD ∥π,,2BC CBD DA DB ∠=∴⊥平面平面，DN ⊥ ,,ABCD DA DB ⊂,,ABCD DN DA DN DB ∴⊥⊥三条直线两两互相垂直，,,DN DA DB ∴以为原点，以为轴正方向建立空间直角坐标系，D ,,DA DB DN,,x y z ()()()()0,2,2,0,0,2,2,0,0,1,2,0M N A C -设平面的法向量为，MNA ()()(),,z ,0,2,0,2,0,2m x y NM NA ===-，令，则0220,200m NA x z y m NM ⎧⋅=-=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 1x =()1,0,1m = 设平面的法向量为，MNC ()()(),,,0,2,0,1,0,2n a b c NM MC ===--，令，则，020,200n MC a c b n NM ⎧⋅=--=⎧⎪∴⎨⎨=⋅=⎩⎪⎩ 2a =()2,0,1n =- 设平面与平面所成角为，则MNC MNA θ||cos |cos ,|||||m n m n m n θ⋅=<>===平面与平面.∴MNC MNA 19.（本小题满分12分）解：（1）由题意可知：，111b a ==，()121221212212222n n n n n n b a a a a b ++--===-=-=-故，()11222,210,20n n n b b b b +-=--=-≠∴-≠ 得，1222n n b b +-=-故是以为首项，以为公比的等比数列，{}2n b -121b -=-2q =且，故1*22,n n b n --=-∈N 1*22,N n nb n -=-+∈（2）由（1）知，，即，1*22,N n n b n -=-+∈1*2122,N n n a n --=-+∈由题意知：，故，()*11,212,2n n n a n k a k N a n k +-=-⎧=∈⎨=⎩*2211,n n a a n N -=-∈故数列的前项和{}n a 2n ()()2135212462n n n S a a a a a a a a -=+++++++++ ()135212n a a a a n-=++++- ()0121222222n n n-⎡⎤=-+++++-⎣⎦ 1122322312n n n n+-=-⨯+=-++-20.（本小题满分12分）解：（1）以服从超几何分布，且，X 10000,400N M ==故.()40010004010000E X =⨯=（2）当时，；1380N <()200P X ==当时，1380N ≥()20980400400100020N NC C P X C -⋅==令，则()2010004004001000N N C C f N C -⋅=()()()()()()20980400140010001209804004001000111000140011400980N N N NC C f N N N C C C f N N N C +-+-⋅++-+-==⋅++--22139899939913781379N N N N -+⨯=--，22139899939913781379,19999N N N N N -+⨯≥--∴≤当时，；当时，138019999N ≤≤()()1f N f N ≤+20000N ≥，()()1f N f N >+所以当或20000时，最大，所以的值为19999或20000.19999N =()f N N 21.（本小题满分12分）解：（1）已知抛物线经过点，所以抛物线2:2(0)G x py p =>()2,12:4G x y =设，由题意可知直线斜率存在，设直线方程为，()()1122,,,A x y B x y AB AB 2y kx =+联立方程组，可得，242x y y kx ⎧=⎨=+⎩2480x kx --=所以，21212Δ16320,4,8k x x k x x =+>+==-所以弦长2AB x =-=，所以切线方程：，即①12y x '=AP ()11112y y x x x -=-2111124y x x x =-同理可得切线方程：②BP 2221124y x x x =-联立①和②方程组21122211241124y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩解得：，所以，122,22x x x k y +===-()2,2P k -又因为点到直线距离P AB d 所以，()3221422ABPS AB d k =⨯=+=ò可得，即，所以直线方程为21k =1k =±AB 2y x =±+（2）方法一：设，设，()()()003344,,,,,Q x y C x y D x y (),,1,1PC CQ PD DQ λμλμ==≠-≠-所以，所以，()()3303032,2,x k y x x y y λ-+=--03032121k x x y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨-+⎪=⎪+⎩代入抛物线方程得：，()()()2002412k x y λλλ+=+-+化简得()()22200004448480,xy kx y k λλ-+-+++=同理，()()22200004448480x y kx y k μμ-+-+++=即是方程的两根，,λμ()()22200004448480xy x kx y x k -+-+++=因为点在直线上，即，()00,Q x y AB 004480kx y -+=所以方程化为，可得，()222004480xy x k -++=0λμ+=即成立.PCPD CQDQ=方法二：设，()()()3344,,,,,Q Q Q x y C x y D x y 由题意知直线的斜率存在，设直线方程为：，PQ PQ ()()22,y m x k m k +=-≠联立方程组，可得，()2422,x y y m x k ⎧=⎪⎨+=-⎪⎩24880x mx km -++=，()23434Δ164880,4,88m km x x m x x km =-+>+==+因为，3,QPC x DQ x =-=-4,,Q PD x CQ x =-=-因为所以()()()()344320,20Q Q k x x x k x xx -->-->||||||||QPC DQ PD CQ x -=----()()()23434341422Q m k x x x k x x x x ⎡⎤=+---++⎣⎦③()()()()221448164124Q Q m k m x km m k m x km ⎡⎤⎡⎤=+-++=+-++⎣⎦⎣⎦由两条直线联立：，可得，()222y m x k y kx ⎧+=-⎨=+⎩24Q km x k m +=-+代入③可知()()22441240km PC DQ PD CQ m k m km k m +⎡⎤-=+-++=⎢⎥-+⎣⎦即成立.PCPD CQDQ=22.（本小题满分12分）解（1）方法一：，()()()ln 0,ln 10,ln 10x x x f x xe a x x e a x x +≥∴-+-≥∴-+-≥ 令，对任意恒成立，令，ln ,.10tt x x t R e at =+∈∴--…t ∈R ()1t h t e at =--当时，，与恒成立矛盾，不合题意；0a <101220a h e e a ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭()0h t …当时，，与恒成立矛盾，不合题意；0a =()()111,1110t h t e h e e -=--=-=-<()0h t …当时，在上递减，在上递增，0a >()(),t h t e a h t =-'(),ln a ∞-()ln ,a ∞+的最小值为.()h t ∴()ln ln 1h a a a a =--令，则，知在上递增，在上递减，()ln 1a a a a ϕ=--()ln a a ϕ'=-()a ϕ()0,1()1,∞+，要使，当且仅当.()max ()10a ϕϕ∴==()ln 10a a a a ϕ=--…1a =综上，实数的值为1.a 方法二：，()()()ln 0,ln 10,ln 10x x x f x xe a x x e a x x +≥∴-+-≥∴-+-≥ 令，对任意恒成立，ln ,.10tt x x t e at =+∈∴--R …t ∈R 当时，，因为，所以；0t >1t e a t -≤1111t e t t t -+->=1a ≤当时，，因为，所以；0t <1t e a t -≥1111t e t t t -+-<=1a ≥当时，不等式恒成立；0t =综上，实数的值为1.a 方法三：将等价为，当时，()0f x ≥()ln 10x g x xe ax a x =---≥0a <，与恒成立矛盾，不合题意，当时，也不合题意101220a h e e a ⎛⎫=-<-< ⎪⎝⎭()0h t …0a =当时0a >，()()()()()()1111x xxx xe a x x e a x a g x x e a x x x '+-+-+=+--==令，所以在单调递增，()()(),10x x h x xe a h x x e ==+'->()h x ()0,∞+因为，()()()00,10a a h a h a ae a a e =-<=-=->所以，使得，即，即，()00,x ∞∃∈+()00h x =00x X e a =00ln ln x x a +=当，即，所以单调递减；()()000,,0x x h x '∈<()0g x '<()g x 当，即，所以单调递增，()()00,,0x x h x ∞'∈+>()0g x '>()g x 所以()()0min 000000()ln 1ln 1ln 1x g x g x x e ax a x a a x x a a a ==---=-+-=--令，()()ln 1,ln a a a a aϕϕ'=--=-当单调递增；当单调递减，()()()0,1,0,a a a ϕϕ>'∈()()()1,,0,a a a ∞ϕϕ∈+<'可知.()()10a ϕϕ≤=所以当且仅当时成立.1a =()ln 10x g x xe ax a x =---≥即时，.()0f x ≥1a =（2）方法一：证明：由（1）知，当时，，即，1a =ln 10x xe x x ---…ln 1xxe x x ++…，22ln x x e x x x x ∴++…证明：等价于证明下面证明()21sin 2ln xx xe x x->+-，()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--即证.222sin 0x x x -+->令.()()222sin ,212cos g x x x x g x x x-+=-'=--当时，显然单调递增，，01x <…()g x '()()π112cos112cos03g x g '=-'<-=…在上单调递减，，()g x ∴(]0,1()()122sin10g x g =->…当时，显然，即.1x >222sin 0x x x -+-…()0g x >故对一切，都有，即.()0,x ∞∈+()0g x >()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--故原不等式成立.()()22ln 21sin x x e x x x >+--方法二：证明：由（1）知，当时，，即，1a =ln 10x xe x x ---…ln 1xxe x x ++…22ln x x e x x x x∴++…证明：等价于证明下面证明()21sin 2ln xx xe x x->+-，()()2ln 2ln 21sin x x x x x x x ++>+--即证.222sin 0x x x -+->因为，所以.2221(1)0x x x x -+--=-≥221x x x -+≥+因为，显然.sin ,1sin x x x >≥222sin 0x x x -+-…故原不等式成立.()()22ln 21sin x x e x x x >+--（3）方法一：令，()()2cos ,sin x x g x e ax x g x e a x=--+=--'①若，当时，，1a >0x ≥()cos x g x e x =-''在单调递增，()()0,g x g x >'∴'' [)0,∞+，()()()100,1sin 1110a g g a e a a a a +=+=--+>+-'-'= 故存在唯一，使得，则当为减函数，()00,x ∞∈+()00g x '=()()00,,x x g x ∈，此时，与题意不符（舍）.()()()00,00g g x g =∴<'= ()0xg x ∴<②若1a ≤（i ）当，则由①可知，在单调递增，0x ≥()()cos 0,x g x e x g x =-≥'''[)0,∞+在单调递增，所以()()()010,g x g a g x ∴-≥'>'>[)0,∞+()()00g x g ≥=所以成立.22cos x xe ax x x x ≥+-（ii ）当在单调递增，()()()π,0,cos ,sin ,2x x x g x e x g x e x g x ⎛⎫∈-=-=+ '⎪⎝⎭'''''''π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，故存在唯一，使得，()π2π01,102g g e -⎭''''⎛⎫=-=-< '⎪'⎝ 0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00g x '''=当时，在上单调递减，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,g x g x <'''''0π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递增，()0,0x x ∈()()"'0,g x g x >''()0,0x ，故存在唯一，使得，()π2π00,02g g e -⎛'⎫=-='''> ⎪⎝⎭10π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()10g x ''=当时，在上单调递增，1π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,g x g x >'''1π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，()1,0x x ∈()()0,g x g x <'''()1,0x 在恒成立，()()π2π010,10,02g a g e a g x -⎛⎫=->-=-+>∴> ⎪⎝⎭''' π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭在单调递增恒成立，()g x ∴π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()()00,0g x g xg x ∴<=∴>时，恒成立，1a ∴≤()0xg x >综上所述，1a ≤方法二：因为，所以.22cos xxe ax x x x ≥+-()2cos 0x x e ax x --+≥当时，恒成立，所以恒成立，0x ≥2cos 0x e ax x --+≥2cos xe x ax -+≥令在上()()()2cos ,sin 11sin 10,x x x e x x x e x x x x ϕϕϕ=-+-=--≥+--≥'[)0,x ∞∈+单调递增，，所以，所以.()()00x ϕϕ≥=2cos xe x x ax -+≥≥1a ≤当时，恒成立，所以恒成立，π02x -<≤2cos 0x e ax x --+≤2cos x e x ax -+≤令，()()2cos ,sin 1x x x e x x x e x ϕϕ=-+-'-=-当时，，令，使得，0x <()cos xx e x ϕ=-''0πcos 0,,02x e x x ⎛⎤-=∃∈- ⎥⎝⎦00cos x e x =当时，在上单调递增，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()0,x x ϕϕ>'∴''π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递减，()0,0x x ∈()()0,x x ϕϕ<'∴''()0,0x ，()ππ22ππ00,sin 1022e e ϕϕ--⎛⎫⎛⎫=-=---=> ⎪ ⎪⎝'⎝⎭'⎭ 恒成立，()π,0,02x x ϕ⎛⎤∴ ''∀∈->⎥⎝⎦在上单调递增减，在上单调递增，()x ϕ'π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦()()()00,x x ϕϕϕ'≥='π,02x ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦所以，所以，所以.综上所述.()()00x ϕϕ≤=2cos xe x x ax -+≤≤1a ≤1a ≤方法三：()2cos 0x x e ax x --+≥①当时，恒成立，即在恒成立，令0x >2cos 0x e ax x --+≥2cos x e xa x -+≤()0,∞+，()()()21sin 2cos 2cos (0),x x x e x x x e xh x x h x x x --+--+=='>令在上单调()()()()()1sin 2cos ,cos 0,x x g x x e x x x g x x e x g x =--+>'-=-∴()0,∞+递增，在上单调递增，()()()()00,0,g x g h x h x ∴>'>=∴∴()0,∞+，由洛必达法则()()0h x h ∴>()01,1h a =∴≤②当时，恒成立，即在恒成立，π02x -<<2cos 0xe ax x --+≤2cos x e x a x -+≤π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭同方法一①，，()()cos 0,cos x x g x x e x e x=-=∴='存在唯一，使得，0π,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()00g x '=当时，在上单调递减，0π,2x x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()()cos 0,x g x x e x g x =-<'0π,2x ⎛⎫- ⎪⎝⎭当时，在上单调递增，()0,0x x ∈()()()cos 0,x g x x e x g x =->'()0,0x ，()π2πππ00,10222g g e -⎛⎫⎛⎫=-=---< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 在恒成立，在单调递减，()0g x ∴<π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭()()0,h x h x <∴'∴π,02⎛⎫- ⎪⎝⎭，()()0h x h ∴>用洛必达法则.()01,1h a =∴≤③当时，恒成立，0x =()2cos 0x x e ax x --+≥综上所述，1a ≤（用洛必达法则扣1分）。
2013年全国高考数学(理科)试题及答案-全国大纲卷(解析版)
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国大纲卷〕数学〔理科〕一、选择题：本大题共12小题，每题5分.在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的.1．设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈那么M 中的元素个数为〔A 〕3 〔B 〕4 〔C 〕5 〔D 〕6 2．()31+3i=〔A 〕8- 〔B 〕8 〔C 〕8i - 〔D 〕8i 3．向量()()1,1,2,2m n λλ=+=+，假设()()m n m n +⊥-，那么=λ〔A 〕4- 〔B 〕3- 〔C 〕2- 〔D 〕-1 4．函数()f x 的定义域为()1,0-，那么函数()21f x -的定义域为〔A 〕()1,1- 〔B 〕11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭ 〔C 〕()-1,0 〔D 〕1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭5．函数()()21=log 10f x x x ⎛⎫+> ⎪⎝⎭的反函数()1=f x - 〔A 〕()1021x x >- 〔B 〕()1021xx ≠- 〔C 〕()21x x R -∈ 〔D 〕()210xx -> 6．数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-，那么{}n a 的前10项和等于 〔A 〕()10613---〔B 〕()101139--〔C 〕()10313-- 〔D 〕()1031+3- 7． ()()8411+x y +的展开式中22x y 的系数是〔A 〕56 〔B 〕84 〔C 〕112 〔D 〕1688．椭圆22:143x y C +=的左、右顶点分别为12,A A ，点P 在C 上且直线2PA 的斜率的取值范围是[]2,1--，那么直线1PA 斜率的取值范围是〔A 〕1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 〔B 〕3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 〔C 〕112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，〔D 〕314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 9．假设函数()21=f x x ax x ++在1,+2⎛⎫∞ ⎪⎝⎭是增函数，那么a 的取值范围是 〔A 〕[-1,0] 〔B 〕[1,)-+∞ 〔C 〕[0,3] 〔D 〕[3,)+∞10．正四棱柱1111ABCD A B C D -中12AA AB =，那么CD 与平面1BDC 所成角的正弦值等于〔A 〕23 〔B 〕33 〔C 〕23 〔D 〕1311．抛物线2:8C y x =与点()2,2M -，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于,A B 两点，假设0MA MB =，那么k =〔A 〕12〔B 〕22 〔C 〕2 〔D 〕212．函数()=cos sin 2f x x x ，以下结论中错误的选项是〔A 〕()y f x =的图像关于(),0π中心对称 〔B 〕()y f x =的图像关于直线2x π=对称〔C 〕()f x 的最大值为32〔D 〕()f x 既奇函数，又是周期函数 二、填空题：本大题共4小题，每题5分.13．α是第三象限角，1sin 3a =-，那么cot a = .14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.〔用数字作答〕15．记不等式组0,34,34,x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域为D ，假设直线()1y a x =+与D 公共点，那么a 的取值范围是 .16．圆O 和圆K 是球O 的大圆和小圆，其公共弦长等于球O 的半径，32OK =，且圆O 与圆K 所在的平面所成的一个二面角为60，那么球O 的外表积等于 .三、解答题：解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．〔本小题总分值10分〕等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，232=S a ，且124,,S S S 成等比数列，求{}n a 的通项式。
2013年全国高考理科数学试题及答案-新课标2
2013年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅱ卷）数 学 （理科)注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答卷前考生将自己的姓名\准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置。
2。
回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号标黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.写在本试卷上无效。
3。
答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
4。
考试结束,将试题卷和答题卡一并交回.第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题。
每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、已知集合{}R x x x M ∈<-=),4)1(|2,{}3,2,1,0,1-=N ,则MN =（ )（A)｛0，1,2｝ (B)｛－1,0，1，2｝（C)｛－1，0，2，3｝ (D ）{0，1，2，3} 【答案】A【解析】因为{}31|<<-=x x M ，{}3,2,1,0,1-=N ，所以M N {}2,1,0=，选A 。
2、设复数z 满足,2)1(i z i =-则z ＝( )（A ）i +-1 （B ）i --1 （C)i +1 （D ）i -1 【答案】A 【解析】i i i i i i i z +-=+-+=-=1)1)(1()1(212，所以选A 。
3、等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知12310a a S +=，95=a ，则1a ＝（ ) (A ）31 （B) 31- (C)91 （D ）91- 【答案】C4、已知m ，n 为异面直线,m ⊥平面α,n ⊥平面β，直线l 满足l ⊥m ，l ⊥n ,l ⊄α,l ⊄β，则（ )（A ） α∥β且l ∥α （B ）α⊥β且l ⊥β (C ）α与β相交，且交线垂直于l （D ）α与β相交，且交线平行于l 【答案】D5、已知5)1)(1(x ax ++的展开式中2x 的系数是5,则a ＝（ )（A ） －4 (B ） －3 （C)－2 (D ）－1 【答案】D6、执行右面的程序框图,如果输入的10=N ，那么输出的S =（ ）【答案】B【解析】第一次循环,1,1,2T S k ===；第二次循环，11,1,322T S k ==+=;第三次循环，111,1,423223T S k ==++=⨯⨯，第四次循环,1111,1,5234223234T S k ==+++=⨯⨯⨯⨯⨯,依此类推，选B 。
2023大连市12月高三双基测试-数学答案
1 / 172023年大连市高三双基测试参考答案与评分标准数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．第Ⅰ卷一.单项选择题1.（C ）；2.（A ）；3. （B ）；4. （C ）；5. （B ）；6.（C ）；7．（A ）；8．（D ） 部分试题解答： 5. 答案：A解析：由题意可知当1x =时，6(1)64a +=，解得1a =，二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()66212661C C rr r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭⋅， 令630r -=，解得2r =，所以展开式中的常数项为26315T C ==.故选A.2 / 176. 答案C整理，得2tan 4tan 30αα-+=，解得tan 3α=或tan 1α=．所以tan 3α=.故选C ．7．解：44ln ln ln 4ln 232,,4232eea b c e e=====构造函数2ln 1ln (),'()0,x xf x f x x e x x -====，故()f x 在(0,)e +单调递增，在(,)e +∞单调递减，max1()f f e e ==，而428,232e e <<，故4()(2)32ef f <，故选A.8.解：因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =，因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以3 / 17()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑K K .二.多项选择题9.（A ）（B ）（C ）;10.（A ）（C ）；11.（B ）（C ）（D ）；12.（A ）（C ）（D ） 10．解：对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确； 对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确； 对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b =，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时23137x x+=+，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=11. 答案BCD解：∵CC 1与AF 不垂直，而DD 1∥CC 1，∴AF 与DD 1不垂直，故（A ）错误；取B 1C 1的中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，则直线A 1G ∥平面AEF ，故（B ）正确；把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由四边形AEFD 1为等腰梯形，可得平面AEF 截正方体所得的截面面积S ＝98，故（C ）正确；显然点A 1与点D 到平面AEFD 1的距离相等，故（D ）正确．故选BCD12.【答案】ACD对于A ，由题可知，设直线CD 的方程为：1=+x my ，4 / 17联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设1122(,),(,)C x y D x y ，则124=-y y ，则221212144=⋅=y y x x 所以1212143OC OD x x y y ⋅=+=-=-，故A 正确； 对于B ，又因为2124(1)=-===+CD y y m同理：214(1)=+AB m， 222211114(1)4(1)8(2)32(1)22当且仅当时取等==⋅+⋅+=++≥=ACBD S AB CD m m m m m故B 错误；对于C ，22211114(1)4(1)4+=+=++m AB CD m m ，故C 正确； 对于D ，设直线AB 的方程为：1=+x ky ，联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设3344(,),(,)A x y B x y ，则344=-y y ，又34,,==AF BF5 / 17所以2234(1)4(1)16=+=+=AF BF k y y k，解得：23,==k k所以直线CD的斜率为D 正确. 故选：ACD ．第Ⅱ卷三.填空题13.—1; 14. 2; 15.12；9π 14.解：设切点0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中00x >，()211f x x x '=+，()020011f x x x '=+， 所以过点0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即020001121ln y x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，因为切线为3y ax =-故20011a x x =+， 00231ln x x -=--+，01,2x a ∴== 15. 解：设),,(00y x P 由G 为21PF F ∆的重心得：G 的坐标为),3,3(00y x G 再由且GM ∥12F F ，所以M 点的纵坐标为3y ，在21PF F ∆中，c F F a PF PF 2,22121==+，所以21PF F ∆的面积为02121y F F S =，又因为M 为21PF F ∆的内心，所以M 点的纵坐标即为内切圆的半径，所以6 / 173)(2102211y PF F F PF S ⨯++=，所以021*******321y F F y PF F F PF =⨯++）（，即0022132221y c y c a =⨯+）（，所以c a 2=，所以椭圆C 的离心率21=e . 16.解：因为23ADC π∠=且四边形ABCD 为菱形， 所以CBD △，A BD '△均为等边三角形，取CBD △，A BD '△的重心为,M N ，过,M N作平面CBD 、平面A BD '的垂线，且垂线交于一点O ， 此时O 即为三棱锥A BCD '-的外接球球心，如下图所示：记AC BD O '=，连接,CO OO '，因为二面角A BD C '--的大小为23π， 且A O BD ''⊥，CO BD '⊥，所以二面角A BD C '--的平面角为23A O C π''∠=， 因为O M O N ''=，所以cos cos MO O NO O ''∠=∠，所以3MO O NO O π''∠=∠=，又因为6BC =，所以6sin3CO A O π'''===，所以MO NO ''==所以tan33OM O M π'==，又23CM CO '==，所以OC ==三棱锥A BCD '-．当截面面积取最小值时，此时OE'⊥截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为r，外接球的半径为R，又因为13NE A O'''==3ON OM==，所以OE'==所以3r==，所以此时截面面积为9Sπ=．四.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解：（I）选择①：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由题意可得2428S S S=，即()()()2462828d d d+=++，2d=，因此()1121na a n d n=+-=-.选择②：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由251072a a a-=得2(14)(19)(16)2d d d++-+=，解得2d=，因此()1121na a n d n=+-=-. ………………………………… 5分（II）由（I）可得()()111111212122121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121nnTn n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.…………………… 10分18.(本小题满分12分)解：（I）由()(sin sin)()sinb c B C a c A+-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a+-=-，………………………………………………… 2分即222b ac ac=+-，222ac a c b=+-由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得2221cos22a c bBac+-==，…………………………………………………………………… 4分7 / 178 / 17由于0B π<<，所以3B π=.………………………………………………………………… 6分（II ）因为ABC ∆，所以1sin 2ac B ==，即4ac =，………………………………………………… 8分 因为2224b a c ac =+-=，所以228a c +=，………………………………………………10分所以4a c +==，所以ABC ∆周长为6. ………………………………… 12分 19.（本小题满分12分）解：（I ）因为//DE AF ，又因为DE ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以//DE 平面ABF ． …………………………………………………… 2分因为底面ABCD 是正方形，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以//CD 平面ABF ． ……………………………………………………4分 因为CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，CDDE D =，所以平面CDE ∥平面ABF ．因为CE ⊂平面CDE ，所以CE ∥平面ABF ． …………………………………………………………6分 （II ）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系．由4AB AD AF ===得，(000)A ，，，(400)B ，，，(440)C ，，，(002)F ，，，(040)D ，，，(04)E m ，，．设平面BCF 的法向量为1111()x y z =，，n ，由已知得，(402)FB =-，，，(442)FC =，，-， 由1100.FB FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111114204420.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，不妨取11x =，则1102y z ==，，从而平面BCF 的一个法向量为1(102)=，，n ．………………………………………………… 8分9 / 17设平面ECF 的法向量为2222()x y z =，，n ，又(40)CE m =-，，，由2200CE FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得22222404420.x mz x y z -+=⎧⎨+-=⎩，不妨取24z =，则222x m y m ==-，， 所以平面ECF 的一个法向量为2(24)m m =-，，n ． ………………………………………………… 10分所以12|cos ||cos ,|10α=<>=n n ． 化简得2417130m m -+=，解得1m =或134m =, 因为DE AF <，所以1DE =. ………………………………………………… 12分20.（本小题满分12分）解：（I ）X 的可能值为1和1k +，()1k P X p ==，()11kP X k p =+=-， 所以随机变量X 的分布列为：所以11(1)1EX p k p k kp =⨯++⨯-=+-.……………………………………………3分z yx A BDEF10 / 17（II ）①设方案二总费用的数学期望为E Y （），方案一总费用的数学期望为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()()162016(1)20kE Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以()516(620)5E Y p =-+589116p =-+，又方案一的总费用的数学期望为80Z =，所以()5916(5)4Z E Y p -=-，当p >59120p <<，59110544p <-<， 所以()Z E Y >，所以该单位选择方案二合理. …………………………………………………7分②由①知方案二总费用的数学期望()()162016()120kE Y E X k kp =+=+-+，当p =时，() 16120k E Y k k k =+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦79164k k ke -⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-，又方案一的总费用为16Z k =，令()E Y Z <得：7916164k k ke k -⎛⎫ ⎪⎭<⎝+-，所以794kke->，即79ln ln 4k ke -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，………9分设()[)9ln ln ,2,74x f x x x =--∈+∞，所以()[)117,2,77xf x x x x-'=-=∈+∞， 令()0f x '>得27x ≤<，()0f x '<得7x >，11 / 17所以()f x 在区间[)2,7上单调递增，在区间()7,+∞上单调递减，……………………………10分 ()()()max 7ln 712ln 3ln 20.10f x f ==---=>，()()88883ln 22ln 3ln 25ln 22ln 3 1.30777f =---=--=->， ()()99992ln 32ln 3ln 22ln 2701.477f =---=-=->，()()1010ln102ln 3ln 2 1.507710f =---=->， ()()111111ln112ln 3ln 2 1.6077f =---=->， ()()12121212ln122ln 3ln 24ln 2ln 3 1.70777f =---=--=-<， 所以k 的最大值为11. ………………………………………………………………12分 21.（本小题满分12分）（1）由题可知2=a ，解得2=a 所以双曲线Q 的标准方程为2214-=x y . ………………………………………………………2分 （II ）方法一：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .12 / 17又点,A C 在双曲线Q 右支上221122221414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y x y ，作差得：211221124()-+=-+y y x x x x y y ，则212112121114()4+-===-+-BC y y x x yk x x y y x ， ……………………………………………………4分又1111131224--==--BD y y y k x x 所以=BC BD k k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 方法二：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .① 又因为2221212122212121BC ACy y y y y y k k x x x x x x +--⋅==+--，又因为222212121,1,44x x y y -=-= 所以22212221111444BC ACx x k k x x --+⋅=-.② 由①②得4AB BCk k =-，所以1114BC yk x =-，……………………………………………………4分13 / 171111131224--==--BD y y y k x x ,所以=BC BDk k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 （III ）设直线AC 的方程为1111()-=--y y y x x x ， 联立方程组111122()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y y x x x x y ，化简得22222221111112221114()()(1)8440++-+⋅-⋅-=x x x y x x y x y y y 22111222111112222111218()8()4410⎧+⎪+⎪+=-=⎪-⎨-⎪⎪∆>⎪⎩x x y y x x y x x x x y y ， 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以22111122118(152)24∆+=⋅-⋅ABCS y x x y x y ， 所以221112211110()4∆+=-ABCy x x y x y S ， ………………………………………………………………8分 又221114-=x y ，所以221144-=x y14 / 172222221111111112222222222111111111111111331111422411111111221110()10()440()4(4)(4)(4)(4)40()40()4174))4(4(17∆++⋅+==--⋅--⋅-++ ==-++-=ABCy y y S y y y y y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x x x y x x x x y y x ……………10分令11=y k x ，则22140()48174)4(17∆+==+-ABC k k k S k，令1=+t k k ,整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ， 所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分 方法二：直线l 的方程为=y kx ，则直线AC 的方程为11()-=--y y k x x ，联立11221()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y x x k x y ，化简得221111241(1)8()4()40-+⋅+-⋅+-=x x x y x y k k k k ，15 / 17111228()40+⎧+=-⎪∴-⎨⎪∆>⎩x ky x x k 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以11211528(42)∆=⋅⋅+-ABC S y x ky k， ()()232322111111112221210108()10)1522(4444∆++++===----=⋅⋅ABCkx k x k k x x ky x y ky k k k y k S ……………8分 联立2214=⎧⎪⎨-=⎪⎩y kxx y ，消y 得：22414x k =-， 所以()()332321222422411040()1040()1414441744()17∆++++-====---++-ABC k k k k kxk k k k kkk k k kS ………10分 令1=+t k k ,240484257∆==-ABC t S t ，整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ，所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分16 / 1722.（本小题满分12分）），又k ()∴f x 在(0,)+∞单调递减，又()10=f ，∴函数()f x 的只有一个零点。
辽宁省大连市2023届高三上学期期末双基测试数学试卷含答案
2023年大连市高三双基测试注意事项：1.请在答题纸上作答，在试卷上作答无效.2.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.第Ⅰ卷一.单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1.已知集合{}1,2,3,4,5A =，12x B x Z ⎧⎫-=∈⎨⎬⎩⎭，则=A B（A ）{}5（B ）{}3,5（C ）{}1,3,5（D ）{}2,42.i 是虚数单位，若复数z =543i+，则z 的共轭复数z = （A ）43i 55+ （B ）43i 55- （C ）43i 55-+（D ）43i 55-- 3.已知命题0:p x ∃∈R ，20010x x -+<，则p ⌝是（A ）0x ∃∈R ，20010x x -+≥（B ）x ∀∈R ，210x x -+≥（C ）x ∀∈R ，210x x -+< （D ）x ∀∈R ，210x x -+>4.开普勒（Johannes Kepler ，1571~1630），德国数学家、天文学家，他提出的行星运动三定律之三：如图，所有行星绕太阳 运动的轨道都是椭圆，且所有行星轨道的半长轴的三次方与它 的公转周期的二次方的比都相等.已知金星与地球的公转周期之 比约为2:3，地球运行轨道的半长轴为a ，则金星运行轨道的半长轴约为（参考数据：133 1.442≈ ） （A ）0.66a （B ）0.70a （C ）0.76a （D ）0.96a5.若二项式62(10)x x a a ⎛⎫ ⎪⎭>+⎝的展开式中所有项的系数和为64，则展开式中的常数项为（A ）10 （B ）15 （C ）25 （D ）306.tan α=（A （B ）2 （C ）3 （D7．已知432(4ln 32)1,,a b c e e -===，则 （A ）a c b << （B ）c a b << （C ）a b c << （D ）b a c <<8．已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则221()k f k ==∑（A ）21- （B ）22- （C ）23- （D ）24-二.多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．将函数()cos(2)f x x π=-图像上所有的点向左平移6π个单位长度，得到函数()g x 的图像，则（A ）()g x 的最小正周期为π（B ）()g x 图像的一个对称中心为7,012π⎛⎫⎪⎝⎭（C ）()g x 的单调递减区间为()5,36k k k ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦Z（D ）()g x 的图像与函数sin 26y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭的图像重合10．下列正确的是（ ）（A ）若随机变量()2~1,N ξσ，()40.77P ξ≤=，则()20.23P ξ≤-=（B ）若随机变量1~10,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()3119D X -=（C ）已知回归直线方程为ˆ10.8=+y bx，且4x =，50y =，则ˆ9.8=b （D ）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11.若这组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，则丢失数据的所有可能值的和为2211. 正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E ，F ，G 分别为BC ，CC 1，BB 1的中点，则（A ）直线D 1D 与直线AF 垂直（B ）直线A 1G 与平面AEF 平行（C ）平面AEF 截正方体所得的截面面积为98 （D ）点A 1与点D 到平面AEF 的距离相等12.已知点F 是抛物线24y x =的焦点，,AB CD 是经过点F 的弦且AB CD ⊥，直线AB 的斜率为k ，且0k >，,C A 两点在x 轴上方,则（A ）3OC OD ⋅=- （B ）四边形ABCD 面积最小值为64（C ）111||||4AB CD += （D ）若||||16AF BF ⋅=，则直线CD 的斜率为 第Ⅱ卷三.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）13. 设向量a (,2)m =，b (2,1)=，且222+=+a b a b ，则=m .14.若直线3y ax =-为函数1()ln f x x x =-图像的一条切线，则a 的值是 . 15. 已知12(,0)(,0)F c F c -，为椭圆2222:1x yC a b+=的两个焦点，P 为椭圆C 上一点（P 不在y 轴上），12PF F ∆的重心为G ，内心为M ，且GM ∥12F F ，则椭圆C 的离心率为 .16. 已知菱形ABCD 边长为6，23ADC π∠=，E 为对角线AC 上一点，AE =ABD △沿BD 翻折到A BD '△的位置，E 移动到E '且二面角A BD A '--的大小为3π，则三棱锥A BCD '-的外接 球的半径为______；过E '作平面α与该外接球相交，所得截面面积的最小值为______．四.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分10分)已知公差为正数的等差数列{}n a 的前项和为n S ，11a =，_______.请从以下二个条件中任选一个，补充在题干的横线上，并解答下列问题：①2S 、4S 、8S 成等比数列，②251072a a a -=.(I)求数列{}n a 的通项公式；(II)若11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .18.(本小题满分12分)记ABC ∆内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )(sin sin )b c B C A C a +-=-.(I) 求B的值；（II ）若ABC ∆，2b =，求ABC ∆周长.19.（本小题满分12分） 如图多面体ABCDEF ，正方形ABCD 的边长为4AF ⊥面ABCD ，2AF =，AF ∥DE ，DE <（I ）求证：CE ∥平面ABF ．（II ）若二面角--BCF E 的大小为α，且|cos |α=DE 长.某地区为居民集体筛查新型传染病毒，需要核酸检测，现有*(,2)k k k ∈≥N 份样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k 次；方案二：混合检验，将k 份样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k 份样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k 份样本的阳性样本，则对k 份本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是16元，且k 份样本混合检验一次需要额外收20元的材料费和服务费.假设在接受检验的样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份样本是阴性的概率为()01p p <<.（I ）若()*,2k k k ∈≥N 份样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X ，求X分布列及数学期望；（II ）①若5,k p =>案二的合理性；②若p =，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k 的最大值. 参考数据：ln 20.7=，ln 3 1.1=，ln 7 1.9=，ln10 2.3=，ln11 2.4=已知双曲线Q ：2221-=x y a 的离心率为2，经过坐标原点O 的直线l 与双曲线Q 交于,A B 两点，点()11,A x y 位于第一象限，()22,C x y 是双曲线Q 右支上一点，⊥AB AC ,设113,2⎛⎫- ⎪⎝⎭y D x ．（I ）求双曲线Q 的标准方程； （II ）求证：,,C D B 三点共线； （III ）若∆ABC 面积为487，求直线的l 方程．1 / 172023年大连市高三双基测试参考答案与评分标准数学说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．第Ⅰ卷一.单项选择题1.（C ）；2.（A ）；3. （B ）；4. （C ）；5. （B ）；6.（C ）；7．（A ）；8．（D ） 部分试题解答： 5. 答案：A解析：由题意可知当1x =时，6(1)64a +=，解得1a =，二项式621x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式为()66212661C C rr r rr r r T x x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭⋅， 令630r -=，解得2r =，所以展开式中的常数项为26315T C ==.故选A.2 / 176. 答案C整理，得2tan 4tan 30αα-+=，解得tan 3α=或tan 1α=．所以tan 3α=.故选C ．7．解：44ln ln ln 4ln 232,,4232eea b c e e=====构造函数2ln 1ln (),'()0,x xf x f x x e x x -====，故()f x 在(0,)e +单调递增，在(,)e +∞单调递减，max1()f f e e ==，而428,232e e <<，故4()(2)32ef f <，故选A.8.解：因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=-，()()()()46222510f f f +++=-⨯=-.因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =，因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以3 / 17()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑K K .二.多项选择题9.（A ）（B ）（C ）;10.（A ）（C ）；11.（B ）（C ）（D ）；12.（A ）（C ）（D ） 10．解：对于A ，()()2410.770.23P P ξξ≤-=≥=-=，故A 正确； 对于B ，()122010339D X =⨯⨯=，所以()220313209D X -=⨯=，故B 不正确； 对于C ，回归直线方程经过点(),x y ，将4x =，50y =代入求得9.8b =，故C 正确；对于D ，设丢失的数据为x ，则这组数据的平均数为317x+，众数为3，当3x ≤时，中位数为3，此时36731x ++=，解得10x =-；当35x <<时，中位数为x ，此时23137x x+=+，解得4x =；当5x ≥时，中位数为5，此时113073x+=+，解得18x =.所以所有可能x 的值和为1041812-++=11. 答案BCD解：∵CC 1与AF 不垂直，而DD 1∥CC 1，∴AF 与DD 1不垂直，故（A ）错误；取B 1C 1的中点N ，连接A 1N ，GN ，可得平面A 1GN ∥平面AEF ，则直线A 1G ∥平面AEF ，故（B ）正确；把截面AEF 补形为四边形AEFD 1，由四边形AEFD 1为等腰梯形，可得平面AEF 截正方体所得的截面面积S ＝98，故（C ）正确；显然点A 1与点D 到平面AEFD 1的距离相等，故（D ）正确．故选BCD12.【答案】ACD对于A ，由题可知，设直线CD 的方程为：1=+x my ，4 / 17联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设1122(,),(,)C x y D x y ，则124=-y y ，则221212144=⋅=y y x x 所以1212143OC OD x x y y ⋅=+=-=-，故A 正确； 对于B ，又因为2124(1)=-===+CD y y m同理：214(1)=+AB m， 222211114(1)4(1)8(2)32(1)22当且仅当时取等==⋅+⋅+=++≥=ACBD S AB CD m m m m m故B 错误；对于C ，22211114(1)4(1)4+=+=++m AB CD m m ，故C 正确； 对于D ，设直线AB 的方程为：1=+x ky ，联立241⎧=⎨=+⎩y x x my ，消x 得：2440--=y my ，设3344(,),(,)A x y B x y ，则344=-y y ，又34,,==AF BF5 / 17所以2234(1)4(1)16=+=+=AF BF k y y k，解得：23,==k k所以直线CD的斜率为D 正确. 故选：ACD ．第Ⅱ卷三.填空题13.—1; 14. 2; 15.12；9π 14.解：设切点0001,ln x x x ⎛⎫-⎪⎝⎭，其中00x >，()211f x x x '=+，()020011f x x x '=+， 所以过点0001,ln x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的切线方程为()002000111ln y x x x x x x ⎛⎫⎛⎫--=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即020001121ln y x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭，因为切线为3y ax =-故20011a x x =+， 00231ln x x -=--+，01,2x a ∴== 15. 解：设),,(00y x P 由G 为21PF F ∆的重心得：G 的坐标为),3,3(00y x G 再由且GM ∥12F F ，所以M 点的纵坐标为3y ，在21PF F ∆中，c F F a PF PF 2,22121==+，所以21PF F ∆的面积为02121y F F S =，又因为M 为21PF F ∆的内心，所以M 点的纵坐标即为内切圆的半径，所以6 / 173)(2102211y PF F F PF S ⨯++=，所以021*******321y F F y PF F F PF =⨯++）（，即0022132221y c y c a =⨯+）（，所以c a 2=，所以椭圆C 的离心率21=e . 16.解：因为23ADC π∠=且四边形ABCD 为菱形， 所以CBD △，A BD '△均为等边三角形，取CBD △，A BD '△的重心为,M N ，过,M N作平面CBD 、平面A BD '的垂线，且垂线交于一点O ， 此时O 即为三棱锥A BCD '-的外接球球心，如下图所示：记AC BD O '=，连接,CO OO '，因为二面角A BD C '--的大小为23π， 且A O BD ''⊥，CO BD '⊥，所以二面角A BD C '--的平面角为23A O C π''∠=， 因为O M O N ''=，所以cos cos MO O NO O ''∠=∠，所以3MO O NO O π''∠=∠=，又因为6BC =，所以6sin3CO A O π'''===，所以MO NO ''==所以tan33OM O M π'==，又23CM CO '==，所以OC ==三棱锥A BCD '-．当截面面积取最小值时，此时OE'⊥截面，又因为截面是个圆，设圆的半径为r，外接球的半径为R，又因为13NE A O'''==3ON OM==，所以OE'==所以3r==，所以此时截面面积为9Sπ=．四.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)解：（I）选择①：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由题意可得2428S S S=，即()()()2462828d d d+=++，2d=，因此()1121na a n d n=+-=-.选择②：设等差数列{}n a的公差为d，则0d>，由251072a a a-=得2(14)(19)(16)2d d d++-+=，解得2d=，因此()1121na a n d n=+-=-. ………………………………… 5分（II）由（I）可得()()111111212122121nn nba a n n n n+⎛⎫===-⎪-+-+⎝⎭，所以11111111112335212122121nnTn n n n⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-=⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭.…………………… 10分18.(本小题满分12分)解：（I）由()(sin sin)()sinb c B C a c A+-=-，根据正弦定理可得()()()b c b c a c a+-=-，………………………………………………… 2分即222b ac ac=+-，222ac a c b=+-由余弦定理2222cosb ac ac B=+-，得2221cos22a c bBac+-==，…………………………………………………………………… 4分7 / 178 / 17由于0B π<<，所以3B π=.………………………………………………………………… 6分（II ）因为ABC ∆，所以1sin 2ac B ==，即4ac =，………………………………………………… 8分 因为2224b a c ac =+-=，所以228a c +=，………………………………………………10分所以4a c +==，所以ABC ∆周长为6. ………………………………… 12分 19.（本小题满分12分）解：（I ）因为//DE AF ，又因为DE ⊄平面ABF ，AF ⊂平面ABF ，所以//DE 平面ABF ． …………………………………………………… 2分因为底面ABCD 是正方形，所以//CD AB ， 又因为CD ⊄平面ABF ，AB ⊂平面ABF ，所以//CD 平面ABF ． ……………………………………………………4分 因为CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，CDDE D =，所以平面CDE ∥平面ABF ．因为CE ⊂平面CDE ，所以CE ∥平面ABF ． …………………………………………………………6分 （II ）以A 为坐标原点，分别以AB ，AD ，AF 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标系．由4AB AD AF ===得，(000)A ，，，(400)B ，，，(440)C ，，，(002)F ，，，(040)D ，，，(04)E m ，，．设平面BCF 的法向量为1111()x y z =，，n ，由已知得，(402)FB =-，，，(442)FC =，，-， 由1100.FB FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，n n 得111114204420.x z x y z -=⎧⎨+-=⎩，不妨取11x =，则1102y z ==，，从而平面BCF 的一个法向量为1(102)=，，n ．………………………………………………… 8分9 / 17设平面ECF 的法向量为2222()x y z =，，n ，又(40)CE m =-，，，由2200CE FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，，n n 得22222404420.x mz x y z -+=⎧⎨+-=⎩，不妨取24z =，则222x m y m ==-，， 所以平面ECF 的一个法向量为2(24)m m =-，，n ． ………………………………………………… 10分所以12|cos ||cos ,|10α=<>=n n ． 化简得2417130m m -+=，解得1m =或134m =, 因为DE AF <，所以1DE =. ………………………………………………… 12分20.（本小题满分12分）解：（I ）X 的可能值为1和1k +，()1k P X p ==，()11kP X k p =+=-， 所以随机变量X 的分布列为：所以11(1)1EX p k p k kp =⨯++⨯-=+-.……………………………………………3分z yx A BDEF10 / 17（II ）①设方案二总费用的数学期望为E Y （），方案一总费用的数学期望为Z ，则1620Y X =+，所以方案二总费用的数学期望为：()()162016(1)20kE Y E X k kp =+=+-+，又5k =，所以()516(620)5E Y p =-+589116p =-+，又方案一的总费用的数学期望为80Z =，所以()5916(5)4Z E Y p -=-，当p >59120p <<，59110544p <-<， 所以()Z E Y >，所以该单位选择方案二合理. …………………………………………………7分②由①知方案二总费用的数学期望()()162016()120kE Y E X k kp =+=+-+，当p =时，() 16120k E Y k k k =+-+⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦79164k k ke -⎛⎫ ⎪⎝=+⎭-，又方案一的总费用为16Z k =，令()E Y Z <得：7916164k k ke k -⎛⎫ ⎪⎭<⎝+-，所以794kke->，即79ln ln 4k ke -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以9ln ln 074k k -->，………9分设()[)9ln ln ,2,74x f x x x =--∈+∞，所以()[)117,2,77xf x x x x-'=-=∈+∞， 令()0f x '>得27x ≤<，()0f x '<得7x >，11 / 17所以()f x 在区间[)2,7上单调递增，在区间()7,+∞上单调递减，……………………………10分 ()()()max 7ln 712ln 3ln 20.10f x f ==---=>，()()88883ln 22ln 3ln 25ln 22ln 3 1.30777f =---=--=->， ()()99992ln 32ln 3ln 22ln 2701.477f =---=-=->，()()1010ln102ln 3ln 2 1.507710f =---=->， ()()111111ln112ln 3ln 2 1.6077f =---=->， ()()12121212ln122ln 3ln 24ln 2ln 3 1.70777f =---=--=-<， 所以k 的最大值为11. ………………………………………………………………12分 21.（本小题满分12分）（1）由题可知2=a ，解得2=a 所以双曲线Q 的标准方程为2214-=x y . ………………………………………………………2分 （II ）方法一：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .12 / 17又点,A C 在双曲线Q 右支上221122221414⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩x y x y ，作差得：211221124()-+=-+y y x x x x y y ，则212112121114()4+-===-+-BC y y x x yk x x y y x ， ……………………………………………………4分又1111131224--==--BD y y y k x x 所以=BC BD k k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 方法二：由题可知,直线AB 、AC 斜率存在且不为0. 因为AB AC ⊥ 所以1⋅=-AB AC k k ，即1211211-⋅=--y y y x x x .① 又因为2221212122212121BC ACy y y y y y k k x x x x x x +--⋅==+--，又因为222212121,1,44x x y y -=-= 所以22212221111444BC ACx x k k x x --+⋅=-.② 由①②得4AB BCk k =-，所以1114BC yk x =-，……………………………………………………4分13 / 171111131224--==--BD y y y k x x ,所以=BC BDk k .又BC 、BD 有公共点，所以、、B C D 三点共线. …………………………………………6分 （III ）设直线AC 的方程为1111()-=--y y y x x x ， 联立方程组111122()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y y x x x x y ，化简得22222221111112221114()()(1)8440++-+⋅-⋅-=x x x y x x y x y y y 22111222111112222111218()8()4410⎧+⎪+⎪+=-=⎪-⎨-⎪⎪∆>⎪⎩x x y y x x y x x x x y y ， 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以22111122118(152)24∆+=⋅-⋅ABCS y x x y x y ， 所以221112211110()4∆+=-ABCy x x y x y S ， ………………………………………………………………8分 又221114-=x y ，所以221144-=x y14 / 172222221111111112222222222111111111111111331111422411111111221110()10()440()4(4)(4)(4)(4)40()40()4174))4(4(17∆++⋅+==--⋅--⋅-++ ==-++-=ABCy y y S y y y y y x x y x x y x x y x y x y x y x y x y x x x y x x x x y y x ……………10分令11=y k x ，则22140()48174)4(17∆+==+-ABC k k k S k，令1=+t k k ,整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ， 所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分 方法二：直线l 的方程为=y kx ，则直线AC 的方程为11()-=--y y k x x ，联立11221()14⎧-=--⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩y y x x k x y ，化简得221111241(1)8()4()40-+⋅+-⋅+-=x x x y x y k k k k ，15 / 17111228()40+⎧+=-⎪∴-⎨⎪∆>⎩x ky x x k 因为11215()22∆=⋅⋅+ABC S y x x ， 所以11211528(42)∆=⋅⋅+-ABC S y x ky k， ()()232322111111112221210108()10)1522(4444∆++++===----=⋅⋅ABCkx k x k k x x ky x y ky k k k y k S ……………8分 联立2214=⎧⎪⎨-=⎪⎩y kxx y ，消y 得：22414x k =-， 所以()()332321222422411040()1040()1414441744()17∆++++-====---++-ABC k k k k kxk k k k kkk k k kS ………10分 令1=+t k k ,240484257∆==-ABC t S t ，整理得：224351500--=t t .因为0t >，所以103=t ，所以231030-+=k k ,解得：133或==k k ， 又因为双曲线C 的渐近线为12=±y x ，所以13=k . 所以直线l 的方程为13=y x . ………………………………………………………………12分16 / 1722.（本小题满分12分）），又k ()∴f x 在(0,)+∞单调递减，又()10=f ，∴函数()f x 的只有一个零点。
辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试数学(文)试题(word版,详解)
辽宁省大连市2013届高三第一次模拟考试数 学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，其中第II 卷第22题～第24题为选考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．球的表面积公式：24S R π=，其中S 表示球的表面积，R 表示球的半径．第I 卷一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设集合{}2,ln A x =，{},B x y =，若{}0A B = ，则y 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．e D ．1e2．设复数11iz i-=+，则z 为（ ）A ．1B ．1-C ．iD ．i -3. 计算sin 47cos17cos 47cos73︒︒-︒︒的结果等于（ ）A.21B. 33C.22D.234. 某市有400家超市，其中大型超市有40家，中型超市有120家，小型超市有240家．为了掌握各超市的营业情况，要从中抽取一个容量为20的样本．若采用分层抽样的方法，抽取的中型超市数是（ ）A .4B .6C .7D .12 5. 已知a b 、均为单位向量，且a b +=，则a 与b 的夹角为（ ）A ．6πB ．3πC ．2π D ．23π6. 若曲线22(1)(2)4x y -+-=上相异两点P Q 、关于直线20kx y --=对称，则k 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．如图，网格纸是边长为1的小正方形，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则该多面体的体积为 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 208. 已知函数()sin()(R,0,0,||)2f x A x x A πωϕωϕ=+∈>><的图象（部分）如图所示，则ωϕ，分别为 （ ）A ．2,6πωπϕ==B ．,6πωπϕ==C ．,3πωπϕ==D ．2,3πωπϕ==9．运行如图所示的算法框图，则输出的结果S 为（ ）A ．—1B ．1C ．—2D ．210．下列说法正确的是（ ） A ．(0,)x π∀∈，均有sin cos x x >B ．命题“R x ∃∈使得210x x ++<”的否定是：“R x ∀∈，均有210x x ++<” C ．“0a =”是“函数32()f x x ax x =++为奇函数”的充要条件D ．R x ∃∈，使得5sin cos 3x x +=成立 11．已知,A B 两点均在焦点为F 的抛物线22(0)y px p =>上，若||||4AF BF +=，线段AB 的中点到直线2px =的距离为1，则p 的值为（ ） A ．1 B ．1或3 C ．2 D ．2或612．定义在R 上的函数()f x 满足(3)1f =，(2)3f -=，()f x '为()f x 的导函数，已知()y f x '=的图象如图所示，且()f x '有且只有一个零点，若非负实数,a b 满足(2)1f a b +≤，(2)3f a b --≤，则21b a ++的取值范围是（ ） A ．4[,3]5 B ．4(0,][3,)5+∞ C ．4[,5]5 D ．4(0,][5,)5+∞第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．二.填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷卡的相应位置上）13.已知△ABC 三个内角A 、B 、C ，且sin :sin :sin2:3:4A B C =，则cos C 的值为 ．14. 已知双曲线C ：22221y x a b-=(0,0)a b >>，P 为x 轴上一动点，经过P 的直线2(0)y x m m =+≠与双曲线C 有且只有一个交点，则双曲线C 的离心率为 ．15．在球面上有四个点P 、A 、B 、C ，如果PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且1PA PB PC ===．则这个球的表面积为 ．16．已知函数()y f x =的定义域为R ，且具有以下性质：①()()0f x f x --=；②(2)(2)f x f x +=-；③)(x f y =在区间[0，2]上为增函数，则对于下述命题：（Ⅰ）)(x f y =的图象关于原点对称 ； （Ⅱ）)(x f y =为周期函数，且4是一个周期；（Ⅲ）)(x f y =在区间[2，4]上为减函数．所有正确命题的序号为 ．三.解答题：(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分12分). 已知各项均为正数的数列{}n a 满足11a =,11+0n n n n a a a a ++-= ． （Ⅰ）求证：数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （Ⅱ）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和n S ．18．(本小题满分12分)某工厂用甲、乙两种不同工艺生产一大批同一种零件，零件尺寸均在[]21,7,22.3（单位：cm ）之间的零件，把零件尺寸在)1.22,9.21[的记为一等品，尺寸在)2.22,1.22[)9.21,8.21[ 的记为二等品，尺寸在]3.22,2.22[)8.21,7.21[ 的记为三等品，现从甲、乙工艺生产的零件中各随机抽取100件产品，所得零件尺寸的频率分布直方图如图所示：（Ⅰ）根据上述数据完成下列22⨯列联表，根据此数据你认为选择不同的工艺与生产出一等品是否有关？/cm/cm()21122122121+2++1+2-=n n n n n n n n n χ，（Ⅱ）若一等品、二等品、三等品的单件利润分别为30元、20元、15元，求出上述甲工艺所抽取的100件产品的单件利润的平均数.19．(本小题满分12分)如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，底面边长为2D 为11AC 中点． （Ⅰ）求证；1BC ∥平面1AB D ； （Ⅱ）三棱锥1B AB D -的体积．20. （本小题满分12分）设离心率12e =的椭圆2222:1(0)x y M a b a b+=>>的左、右焦点分别为12F F 、，P 是x轴正半轴上一点，以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点，且该圆和直线30x +=相切，过点P 直线椭圆M 相交于相异两点A 、C ．（Ⅰ）求椭圆M 的方程；（Ⅱ）若相异两点A B 、关于x 轴对称，直线BC 交x 轴与点Q ，求Q 点坐标．D21.（本小题满分12分）已知R m ∈，函数2()2x f x mx e =-．（Ⅰ）当2m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）若()f x 有两个极值点，求m 的取值范围．请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑． 22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲如图，已知圆上的 AC BD =，过C 点的圆的 切线与BA 的延长线交于E 点． （Ⅰ）证明：ACE BCD ∠=∠；（Ⅱ）若9,1BE CD ==，求BC 的长. 23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系x O y 中，曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），曲线2C 的参数方程为22cos 2sin x y ββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），P 是2C 上的点，线段OP 的中点在1C 上．(Ⅰ)求1C 和2C 的公共弦长；(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求点P 的一个极坐标. 24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知512)(-+-=ax x x f (a 是常数，a ∈R)（Ⅰ）当a=1时求不等式0)(≥x f 的解集．（Ⅱ）如果函数)(x f y =恰有两个不同的零点，求a 的取值范围．2013年大连市高三一模测试数学（文科）参考答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一．选择题1．A ；2．D ；3. A ；4. B ；5.B ；6. D ；7．C ；8. C ；9. A ；10．C ；11．B ；12． A ． 二.填空题 13.14-； 14.15．3π；16．（Ⅱ），（Ⅲ）． 三.解答题17．解：（Ⅰ）∵11+0n n n n a a a a ++-= ，∴1110n n n nn n a a a a a a ++++-= ，∴1111n na a +-=，··························· 3分 111a =，∴数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以1为首项，1为公差的等差数列． ········ 4分 11(1)1nn n a =+-⨯=，1n a n =． ··················· 6分（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）知2=2nn nn a ．12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ······································································· ① 23+12=12+22++2n n S n ⨯⨯⨯ ． ·································································· ② ······················································································································· 9分 由①-②得121=2+2++22nn n S n +--⨯ ．∴1=(1)22n n S n +-+． ················································································12分法二：令212n n n b n c c +==- ，令()2n n c An B =+ ， ∴11()2()22n n n n n n b c c An A B An B n ++=-=++-+= ．∴12A B ==-，． ······················································································ 9分 ∴122132111n n n n b b b c c c c c c c c +++++=-+-++-=-1(12)2(12)2=(1)22n n n n +=+----+ ． ············································12分 18······································ 3分841.302.290110100100)50604050(20022<≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=χ， ···················································· 6分所以没有理由认为选择不同的工艺与生产出来一等品有关． ···································· 8分 （Ⅱ）甲工艺抽取的100件产品中，一等品有50件，二等品有30件，三等品有20件， ··································· 10分 所以这100件产品单件利润的平均数为24)152020303050(1001=⨯+⨯+⨯. ················· 12分 19．解：（Ⅰ）解：（Ⅰ）如图，连结A 1B 与AB 1交于E ，连结DE ，则E 为A 1B 的中点，∴BC 1∥DE ， DE ⊂平面1AB D ，1BC ⊄平面1AB D ,∴1BC ∥平面1AB D ． ···························································································· 6分 （Ⅱ）过点D 作11DH A B ⊥，∵正三棱柱111ABC A B C -，∴1111AA A B C ⊥平面，1AA DH ⊥，1111AA A B A = ，∴DH ⊥平面11ABB A ．DH 为三棱锥1D ABB -的高 ·········································· 8分 1112ABB S AB BB ∆== 1112MH A B ==， ················································ 10分1tan3DH A D π==∵1113B AB D D ABB V V --=== ····························································· 12分 20.解：（Ⅰ）设以1PF 为直径的圆经过椭圆M 短轴端点N ，∴1||NF a =，∵12e =，∴2a c =， ∴13NF P π∠=， 1||2F P a =． ······················································································ 3分 ∴2(,0)F c 是以1PF 为直径的圆的圆心，∵该圆和直线30x +=相切，∴2c =1,2,c a b ===，∴椭圆M 的方程为：22143x y +=．··············································································· 5分 （Ⅱ）法一：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -，设直线PA 的方程为(3)y k x =-，联立方程组22143(3).x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩， 化简整理得2222(43)2436120k x k x k +-+-=， 由2222(24)4(34)(3612)0k k k ∆=-⋅+⋅->得235k <． 则22121222243612,4343k k x x x x k k -+==++．·············································································· 8分 直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则22221221121221212272247223()44343==2463643k k y x y x x x x x k k x k y y x x k --+-+++==++--+∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分法二：设点11(,)A x y ，22(,)C x y ，则点11(,)B x y -， 设直线方程为3x my =+．由2231.43x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)18150m y my +++=， 由22(18)415(34)0m m ∆=-⋅⋅+>得253m >． 12212218,3415.34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩···································································································· 8分直线BC 的方程为：211121()y y y y x x x x ++=--，令0y =，则212211212122152(3)(3)24343=3+=18334m y my y my my y m x m y y y y m ++++==+++-+ ． ∴Q 点坐标为4(,0)3． ··································································································· 12分21. 解：（Ⅰ）2m =时，2()22x f x x e =-，()422(2)x x f x x e x e '=-=-．令()2x g x x e =-，()2x g x e '=-， ·················································································· 2分 当(,ln 2)x ∈-∞时，()0g x '>，(ln 2,)x ∈+∞时，()0g x '< ∴()(ln 2)2ln 220g x g =-<≤．∴()0f x '<．∴()f x 在(,)-∞+∞上是单调递减函数． ············ 4分 （Ⅱ）①若()f x 有两个极值点,()a b a b <，则,a b 是方程()220x f x mx e '=-=的两不等实根．解法一：∵0x =显然不是方程的根，∴xe m x=有两不等实根． ·································· 6分令()x e h x x =，则2(1)()x e x h x x -'=当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单调递减，()(,0)h x ∈-∞(0,1)x ∈时，()0h x '<，()h x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增， 要使xe m x=有两不等实根，应满足(1)m h e >=，∴m 的取值范围是(,)e +∞．（注意：直接得()h x 在(,1)-∞上单调递减，(1,)+∞上单调递增）． ································· 12分解法二：()()22x h x f x mx e '==-，则,a b 是方程()0h x =的两不等实根．∵()2()x h x m e '=-，当0m ≤时，()0h x '<，()h x 在(,)-∞+∞上单调递减，()0h x =不可能有两不等实根 当0m >时，由()0h x '=得ln x m =，当(,ln )x m ∈-∞时，()0h x '>，(ln ,)x m ∈+∞时，()0h x '<∴当max ()(ln )2(ln )0h x h m m m m ==->，即m e >时，()0h x =有两不等实根∴m 的取值范围是(,)e +∞． ························ 8分22．解：（Ⅰ）证明 ,AC BDABC BCD =∴∠=∠ ． ···················································· 2分 又EC 为圆的切线，,ACE ABC ∴∠=∠∴ACE BCD ∠=∠． ····························· 5分 （Ⅱ）EC 为圆的切线，∴CDB BCE ∠=∠， 由（Ⅰ）可得BCD ABC ∠=∠ ····················································································· 7分∴△BEC ∽△CBD ，∴CD BCBC EB=，∴BC =3． ················································ 10分 23．解：(Ⅰ)曲线1C 的一般方程为4)2(22=-+y x ，曲线2C 的一般方程为4)2(22=+-y x ． ································································· 2分 两圆的公共弦所在直线为x y =，)0,2(到该直线距离为2，所以公共弦长为2222222=-． ························ 5分（Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为θρsin 4=，曲线2C 的极坐标方程为θρcos 4=． ······································································· 7分 设),(θρM ，则),2(θρP ，两点分别代入1C 和2C 解得554=ρ， θ不妨取锐角55arcsin， 所以)55arcsin ,558(P ．························································································ 10分 24．解：（Ⅰ）136(),2()14().2x x f x x x ⎧-≥⎪⎪=⎨⎪--<⎪⎩∴0)(≥x f 的解为{}42-≤≥x x x 或 ． ·················· 5分（Ⅱ）由0)(=x f 得,=-12x 5+-ax ． ················· 7分第 11 页 共 11 页 令12-=x y ,5+-=ax y ,作出它们的图象，可以知道，当22<<-a 时， 这两个函数的图象有两个不同的交点，所以，函数)(x f y =有两个不同的零点． ················· 10分。
2013年高考试题分项版解析数学(理)专题13算法(Word精析版)
第十三章算法一．基础题组1【. 2013 年一般高等学校招生全国一致考试（陕西卷）】依据以下算法语句 , 当输入 x 为 60 时 , 输出 y 的值为（）(A) 25输入 x(B) 30If x≤ 50 Theny=0.5 * x(C) 31Elsey=25+0.6*( x-50)(D) 61End If输出 y2. 【 2013年2013 年一般高等学校一致考试天津卷理科】阅读右侧的程序框图, 运转相应的程序, 若输入x 的值为1,则输出S 的值为（）(A) 64(B) 73(C) 512(D) 585【答案】 B4. 【2013 年一般高等学校一致考试江苏数学试题】以下图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是.开始n1， a2n n 1a 20Ya 3a 2N 输出 n结束5. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（湖南卷）】履行如图3 所示的程序框图，假如输入a 1,b2,则输出的 a 的值为.开始a 10, i 1a 4 ?是否是是奇数 ?否aa输出 ia 3a 1a2i i 1结束6. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试湖北卷理科】阅读以下图的程序框图，运转相应的程序，输出的结果 i_________.二．能力题组7. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试福建卷理】阅读以下图的程序框图，若编入的 k 10 ，则该算法的功能是（）A. 计算数列2n 1的前10项和B. 计算数列2n1的前 9项和C. 计算数列2n - 1 的前10项和D. 计算数列2n - 1 的前9项和8. 【 2013 年一般高等学校招生全国一致考试( 江西卷 ) 理】阅读以下程序框图，假如输出i=5 ，那么在空白矩形框中应填入的语句为A.S=2 i-2B.S=2 i-1C.S=2iD.S=2i+49.【2013年一般高等学校招生全国一致考试（辽宁卷）理科】履行以下图的程序框图，若输入 n10,则输出的 SA ．5103672B ．C．D．1111555510.【 2013年一般高等学校招生全国一致考试（广东卷）理】履行以下图的程序框图, 若输入n 的值为4,则输出s 的值为 ______.开始输入 ni1,s1否i n是s输出s s i 1结束i i1【答案】7【分析】第一次循环后: s1,i 2 ；第二次循环后: s2, i 3 ；第三次循环后: s4, i 4 ；第四次循环后: s7, i5，此时i 4.故输出7 .【考点定位】程序框图.11. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试（山东卷）】履行右边的程序框图，若输入的的值为0.25，则输入的 n 的值_____.【考点定位】此题考察程序框图的运转门路，考察读图能力和运算能力, 针对近似问题可依据框图中的重点“部位”进行数据排列 .三．拔高题组12. 【2013 年一般高等学校招生全国一致考试数学浙江理】某程序框图以下图，若该程序运转后输出的值是9，5则（）A. a4B. a5C. a 6D. a713. 【2013 年一般高等学校一考新Ⅱ数学（理）卷】行右边的程序框，假如入的N=10，那么出的 s=（ A）1+！未找到引用源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
- 1 -
大连市2013年高三双基测试卷
数学（理）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，其中第II卷第22题～第24题为选
考题，其它题为必考题．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，
将本试卷和答题卡一并交回．
参考公式：球的体积公式334RV．其中R为球半径．
用最小二乘法求线性回归方程系数公式1221niiiniixynxybxnx，aybx．
第I卷
一．选择题:（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的）
1. 复数iz1的虚部是
A．1 B．1 C．i D．i
2．已知集合0)3lg(|,034|2xxNxxxM，则MN=
A．}31|{xx B．}21|{xx
C． D．}32|{xx
3．函数2)cos(sin)(xxxf 的最小正周期为
A．4 B．2 C． D．2
4．抛物线212xy的焦点F到准线l的距离是
A．2 B．1 C．21 D．41
5．执行如图所示的程序框图，如果6n，则输出的s的值是
A．76 B．87
C．65 D．540,1si
6．nS为等差数列{}na的前n项和，682aa，则9S
A．227 B．27 C．54
D．108
开始
输出s
结束
1ii
是
)1(1ii
ss
?ni
否
第5题图
- 2 -
7．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概
率为
A．1 B．12 C．13 D．14
8．下列函数中，与函数3xy的奇偶性相同且在)0,(上单调性也相同的是
A．1yx B．2logyx C．21yx D．31yx
9．下列说法中，正确的是
A．命题“若22ambm，则ab”的逆命题是真命题
B．命题“p或q”为真命题，则命题“p”和命题“q”均为真命题
C．已知xR，则“1x”是“2x”的充分不必要条件
D．命题“xR，02xx”的否定是：“xR，02xx”
10．设O在ABC的的内部，有230OAOBOC，则0ABC的面积和AOC且的面积之比
为
A．3 B．533 C．2 D．
2
3
11．已知()fx是定义在R上的且以2为周期的偶函数，当01x时，2()fxx，如果函数
)()()(mxxfxg
有两个零点，则实数m的值为
A．k2（kZ） B．k2或412k（kZ）
C．0 D．k2或412k（kZ）
12．SC为球O的直径，BA,是该球球面上的两点，4,2BSCASCAB，若棱锥
SBCA
的体积为433,则球O体积为
A．43 B．323
C．27 D．34
第II卷
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第
22题~第24题为选考题，考生根据要求做答．
二．填空题:（本大题共4小题,每小题5分,共20分,把答案填在答卷纸的相应位置上）
13．一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm）：
- 3 -
则该几何体的表面积为 cm2．
14．已知下列表格所示的数据的回归直线方程为axy8.3ˆ，则a的值为___ ___．
x
2 3 4 5 6
y
251 254 257 262 266
15．数列na满足：33)1()12(531321nnnanaaa，则数列na的通项公式
n
a
= ．
16．已知点A2,0，B（2,0），且动点P满足2PAPB，则动点P
的轨迹与直线)2(xky有两个交点的充要条件为k ．
三．解答题：（本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
已知CBA,,是ABC的三个内角，向量m)sin,sin(sinCBA,
向量n)sinsin,sinsin2(BACA,m//n
（Ⅰ）求角B；
（Ⅱ）若53sinA，求Ccos的值．
4
4
4
4
4
主视图 左视图
俯视图
第13题图
- 4 -
18．（本小题满分12分）
为了解学生身高情况，某校以10%的比例对全校700名学生按性别进行抽样检查，测得身高情
况的频率分布直方图如下：
已知样本中身高在[150,155）cm的女生有1人．
（Ⅰ）求出样本中该校男生的人数和女生的人数；
（Ⅱ）估计该校学生身高在170～190cm之间的概率；
（Ⅲ）从样本中身高在185～190cm之间的男生和样本中身高在170～180cm之间的女生中随机
抽取3人，记被抽取的3人中的女生人数为X．求随机变量X的分布列和数学期望()EX．
19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为梯形，60DAB，AB∥CD，
22ADCDAB，PD底面ABCD，M为PC
的中点．
（Ⅰ）证明：BDPC；
（Ⅱ）若12PDAD，求二面角DBMP的余弦值．
20．（本小题满分12分）
设A,B分别是直线xy22和xy22上的动点，且2AB，
设O为坐标原点，动点P满足OBOAOP．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
A
B
C
D
P
M
第19题图
0.08
150
7
0.04
0.02
150
1
身高/cm 组距频率 0 150 155 160 165 170 175 180 身高/cm
0
组距
频率
160 165 170 175 180 185 190
0.07
0.065
0.025
0.02
0.01
男 生
女 生
第18题图
- 5 -
（Ⅱ）过点)0,3(做两条互相垂直的直线21,ll，直线21,ll与点P的轨迹相交弦分别为CD、EF,
设CD、EF的弦中点分别为M、N，求证：直线MN恒过一个定点．
21．（本小题满分12分）
函数2ln)(axxxf（aR）．
（Ⅰ）求函数)(xf的单调区间；
（Ⅱ）当81a时，证明：存在),2(0x，使)1()(0fxf；
（Ⅲ）当41a时，证明：43142)(4xxf．
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用
2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22．（本小题满分10分）选修4－1：几何证明选讲
如图，直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB，⊙O交直线OB于E、D，
连结EC、CD．
（Ⅰ）求证：直线AB是⊙O的切线；
（Ⅱ）若tan∠CED=21,⊙O的半径为3，求OA的长．
23．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy中，以原点o为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
已知射线:l4与曲线:C,)1(,12tytx（t为参数）,相交于BA,两点．
（Ⅰ）写出射线l的参数方程和曲线C的直角坐标系方程；
（Ⅱ）求线段AB的中点极坐标．
24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲
已知实数t，若存在]3,21[t使得不等式21521xxtt
成立，求实数x的取值范围．
O
A
B
C
D
E
第22题图
- 6 -
- 7 -
- 8 -
- 9 -
- 10 -
- 11 -