上海兰生复旦数学九年级上册期末试卷(带解析)
2021-2022年上海市九年级数学上期末试题附答案(1)
一、选择题1．若点()12,y -，()21,y -，()33,y 在双曲线6y x=-上，则1y ，2y ，3y 的大小关系是（ ） A ．123y y y << B ．321y y y <<C ．213y y y <<D ．312y y y <<【答案】D 【分析】先分清各点所在的象限，再利用各自的象限内利用反比例函数的增减性解决问题． 【详解】解：∵点（-2，y 1），（-1，y 2），（3，y 3）6y x=-上， ∴（-2，y 1），（-1，y 2）分布在第二象限，每个象限内，y 随x 的增大而增大， 则0＜y 1＜y 2，（3，y 3）在第四象限，对应y 值为负数， ∴y 3＜y 1＜y 2． 故选：D ． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的性质，正确掌握反比例函数增减性是解题关键，注意：反比例函数的增减性要在各自的象限内．2．下列命题中，错误的是（ ）A ．顺次连接矩形四边的中点所得到的四边形是菱形B ．反比例函数的图象是轴对称图形C ．线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC <，则1AC =D ．对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案． 【详解】A.顺次连接矩形四边中点得到的四边形是菱形，故此命题是真命题，故此选项正确；B.反比例函数的图象是轴对称图形，故此命题正确；C. 线段AB 的长度是2，点C 是线段AB 的黄金分割点且AC BC <，则21BC ==，则 D.对于任意的实数b ，方程230x bx --=有两个不相等的实数根,因为△=b²-4ac=b²+12＞0，故此命题正确． 故选C ．【点睛】本题考查了命题和定理以及命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉掌握性质定理．3．已知点()()121,,2,A y B y -在双曲线ay x=-上，则12,y y 的大小关系是（ ） A ．12y y > B ．12y y <C ．12y y =D ．无法判断【答案】D 【分析】根据反比例函数的性质和图像上点的坐标特征即可判断． 【详解】∵当-a ＜0时，双曲线在二，四象限，则点A 在第二象限，y 1＞0，点B 在第四象限，y 2＜0， ∴y 1＞y 2，∵∵当-a ＞0时，双曲线在一，三象限，则点A 在第三象限，y 1＜0，点B 在第一象限，y 2＞0， ∴y 1＜y 2，综上所述，无法判断12,y y 的大小关系． 故选D ． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图像和性质，熟练掌握反比例函数的比例系数的意义，是解题的关键．4．如图是棱长为6的正方体截去棱长为3的正方体得到的几何体，这个几何体的左视图是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如图所示几何体的俯视图是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图是一个由多个相同的小正方体堆成的几何体从上面看得到的平面图形，小正方形中的数字表示在该位置的小正方体的个数，那么从正面看该几何体得到的平面图形是（ ）A ．B ．C ．D ．7．如图，在ABC 中，D ，E 分别是AB,AC 上的点，且DE// BC ，若AE ： EC=1： 4，那么:ADE BEC S S △△的值为（ ）A ．1∶16B ．1∶18C ．1∶20D ．1∶248．已知小亮的身高为1.8米，同一时刻，小亮在阳光下的影长为2米，与他邻近的旗杆的影长为6米，则旗杆的高为（ ）． A ．3.8米B ．5.4米C ．5.6米D ．6米9．若点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC BC >，则下列各式中不正确的是（ ） A ．512AC AB =B ．352BC AB -=C ．512AB AC +=D ．::AB AC AC BC =10．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（ ）A ．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上B ．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3C ．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜D ．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同11．关于x 的一元二次方程（a ﹣5）x 2﹣4x ﹣1＝0有实数根，则a 满足（ ） A ．a ≥1B ．a ＞1且a ≠5C ．a ≥1且a ≠5D ．a ≠512．如图，正方形纸片ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，折叠正方形纸片ABCD ，使AD 落在BD 上，点A 恰好与BD 上的点F 重合，展开后折痕DE 分别交AB 、AC 于点E 、G ，连结GF ，给出下列结论：①∠ADG=22.5°；②AD=2AE ；③ACD OGD S S ∆∆=；④四边形AEFG 是菱形；⑤BE=2OG ：⑥若1OGF S ∆=，则正方形ABCD 的面积是642+，其中正确的结论个数为（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个二、填空题13．如图，点M 是反比例函数4(0)y x x=>图象上任意一点，过点M 向y 轴作垂线，垂足为点N ，若点P 是x 轴上的动点，则MNP △的面积为________．14．如图，双曲线(0)ky x x=>经过A ，B 两点，过点A 作AC y ⊥轴于点C ，过点B 作BD y ⊥轴于点D ，作BE x ⊥于点E ，连接AD ，如果2AC BE ==，16BEOD S =四边形，那么ACD ∆的面积：ACD S ∆=__．15．一个长方体从正面和左面看到的图形如图所示（单位cm ），则从其上面看到的图形的面积是_____．16．在常见的几何体圆锥、圆柱、球、长方体中，主视图与它的左视图一定完全相同的几何体有__________（填编号）17．如图，EB 为驾驶员的盲区，驾驶员的眼睛点P 处与地面BE 的距离为1.6米，车头FACD 近似看成一个矩形，且满足32FD FA =，若盲区EB 的长度是6米，则车宽FA 的长度为________米．18．在一个不透明的口袋中装有5个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在0.25附近，则估计口袋中大约共有___个球．19．如果一个直角三角形的两边长是一元二次方程27120x x -+=的两个根，那么这个直角三角形的斜边长为_______________．20．如图，把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处，68DFG ∠=︒，则BEF ∠的度数为_________．三、解答题21．如图，14y x =-+与双曲线()20ky x x=>交于点()1,A m ，与x 轴交于点B ． （1）求双曲线的函数表达式；（2）直接写出当0x >时，不等式12y y >的解集．22．如图所示，有4张除了正面图案不同，其余都相同的卡片，将这4张卡片背面朝上混匀．（1）若淇淇从中抽一张卡片，求抽到的卡片上所示的立体图形的主视图为矩形的概率； （2）若嘉嘉先从中随机抽出一张后放回并混匀，淇淇再随机抽出一张，请用列表法或画树状图求两人抽到的卡片上所示的立体图形的主视图都是矩形的概率．【答案】（1）12；（2）14【分析】（1）分别写出每个几何体的主视图，然后即可确定答案； （2）列表后将所有等可能的结果列举出来，利用概率公式求解即可. 【详解】（1）∵球的主视图为圆，长方体的主视图是矩形，圆锥的主视图为等腰三角形，圆柱的主视图为矩形．∴从4张卡片中抽一张卡片，抽到的卡片上所示的立体图形的主视图为矩形的概率为2142=； （2）列表如下：由表可知，共有16种等可能的情况，其中两人抽出的卡片所示的立体图形的主视图都是矩形的有4种，分别是(,)B B ，(,)B D ，(,)D B ，(,)D D ，所以两次抽出的卡片上所示的立体图形的主视图都是矩形的概率为41164=． 【点睛】本题考查了判断几何体的三视图、概率的计算公式等知识，解题的关键是能够写出每个几何体的主视图及利用列表法将等可能的所有结果列举出来，难度不大．23．如图，在等腰直角ABC 中，AC BC =，D 为平面上一动点，在运动过程上保持AD BD ⊥于点D ，将BCD △沿BD 翻折得到BED ，在直线AD 上取点F ，作//CF DE ．（1）如图1，若AD 与BC 相交于点G ，求证： DG BGCG AG； （2）猜想CDF 的形状，并说明理由．24．小明和小亮用如图所示的甲、乙两个转盘（甲转盘被分成五个面积相等的扇形，乙转盘被分成三个面积相等的扇形）做游戏，转动两个转盘各一次（如果指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止）． （1）请求出甲转盘指针指向偶数区域的概率；（2）若两次数字之和为3，4或5时，则小明胜，否则小亮胜．这个游戏对双方公平吗？请用树状图或列表法说说你的理由．25．已知一元二次方程（a ﹣3）x 2﹣4x+3＝0． （1）若方程的一个根为x ＝﹣1，求a 的值； （2）若方程有实数根，求满足条件的正整数a 的值．26．如图，四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB ∥CD ，AB=CD ，且OA=OD ．（1）求证：四边形ABCD 是矩形；（2）DF ⊥AC 于点F ，若∠ADF ：∠FDC=3：2，则∠BDF 的度数是多少？【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．无2．无3．无4．A解析：A【分析】根据几何体三视图解答．【详解】该几何体的三视图如下：主视图：左视图：俯视图：故选：A．【点睛】此题考查几何体的三视图，正确掌握几何体三视图的画法是解题的关键．5．D解析：D【分析】直接找出从上面看到的图形即可．【详解】解：该几何体的俯视图为，故选：D．【点睛】本题考查几何体的三视图，注意看不到的边要用虚线表示出来．6．C解析：C【解析】 【分析】找到从正面看所得到的图形即可． 【详解】解：俯视图中的每个数字是该位置小立方体的个数，分析其中的数字，得主视图有3列，从左到右的列数分别是1，2，2． 故选：C ． 【点睛】本题灵活考查了三种视图之间的关系以及视图和实物之间的关系，同时还考查了对图形的想象力.7．C解析：C 【分析】由已知条件可求得ABE EBC S S ∆∆，又由平行线分线段成比例可求得ADEBDES S ∆∆，结合S △BDE =S △ABE -S △ADE 可求得答案． 【详解】 解：∵AE 1EC 4=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∴14ABE EBC S S ∆∆=， ∵DE ∥BC ，∴14AD AE DB EC ==， ∴14ADE BDE S S ∆∆=， ∴S △BDE =4S △ADE ， 又∵S △BDE =S △ABE -S △ADE ， ∴4S △ADE =14S △EBC -S △ADE ， ∴120ADE EBC S S ∆∆=， 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例的性质及三角形的面积，掌握同高三角形的面积比即为底的比是解题的关键．8．B解析：B【分析】设旗杆的高度约为hm ，再根据同一时刻物高与影长成正比求出h 的值即可．【详解】解：设旗杆的高度约为hm ，∵同一时刻物高与影长成正比， ∴1.826h =， 解得：h ＝5.4（米）．故选：B ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，熟知同一时刻物高与影长成正比是解答此题的关键． 9．A解析：A【分析】由黄金分割点的定义得AB ，AB ：AC=AC ：BC ，则AB=12AC ，BC=AB-AC=352AB ，即可得出结论．【详解】解：∵点C 为线段AB 的黄金分割点，且AC ＞BC ，∴AC=12AB ，AB ：AC=AC ：BC ，∴AC ，35AB ， 故选项A 符合题意，选项B 、C 、D 不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．10．C解析：C【分析】根据统计图可知，试验结果在0.33附近波动，即其概率P≈0.33，计算四个选项的概率，约为0.33者即为正确答案．【详解】解：A 、先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上的概率为14，不符合题意；B 、先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3的概率为112，不符合题意； C 、小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜的概率为13，符合题意； D 、一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同的概率为1925，不符合题意； 故选：C ．【点睛】 此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．11．C解析：C【分析】由方程有实数根可知根的判别式b 2﹣4ac ≥0，结合二次项的系数非零，可得出关于a 的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．【详解】解：由已知得：()()()25044510a a -≠⎧⎪⎨--⨯-⨯-≥⎪⎩， 解得：a ≥1且a ≠5，故选：C ．【点睛】本题考查了根的判别式，解题的关键是得出关于a 的一元一次不等式组，由根的判别式结合二次项系数非零得出不等式组是关键．12．B解析：B【分析】由题意易得AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，△ADE ≌△FDE，则有BE =，进而可得四边形AEFG 是平行四边形，然后根据等腰直角三角形的性质及线段的等量关系可求解．【详解】解：∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD ，OA=OC=OB=OD ，∠ADO=∠ABD=45°，AD=AB ，∵折叠正方形ABCD ，∴△ADE ≌△FDE ，∴∠ADE=∠FDE=22.5°，AD=DF ，AE=FE ，∠EFD=∠DAE=90°，故①正确；∴△EFB 是等腰直角三角形，∴BE =，∴AD AB AE ==+，故②错误；由图可直接判定③错误；∵∠EFB=∠AOB=90°，∴OA ∥EF ，由折叠的性质可得：∠GFO=∠DAO=45°，∴∠GFO=∠ABO=45°，∴GF ∥AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∵AE=AF ，∴四边形AEFG 是菱形，故④正确；∵∠GFO=45°，∠AOB=90°，∴△GOF 是等腰直角三角形， ∴EF GF ==，∴2BE OG =，故⑤正确； ∵2112OGF S OG ∆==， ∴OG =∴2BE EF AE ===， ∴2AB =， ∴()22212ABCD S AB ===+正方形⑥错误；∴正确的有三个；故选B ．【点睛】本题主要考查正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质、菱形的判定及等腰直角三角形的性质与判定是解题的关键． 二、填空题13．2【分析】可以设出M 的坐标是（mn ）△MNP 的面积即可利用A 的坐标表示据此即可求解【详解】解：设M 的坐标是（mn ）则mn=4∵MN=m △MNP 的MN 边上的高等于n ∴△MNP 的面积=mn=2故答案为2解析：2【分析】可以设出M 的坐标是（m ，n ），△MNP 的面积即可利用A 的坐标表示，据此即可求解．【详解】解：设M 的坐标是（m ，n ），则mn =4．∵MN =m ，△MNP 的MN 边上的高等于n ．∴△MNP 的面积=12mn =2． 故答案为2．【点睛】 本题主要考查了反比例函数的系数k 的几何意义，在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x 轴和y 轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k |．14．6【分析】利用反比例函数比例系数k 的几何意义得到S 矩形BEOD=|k|=16则求出k 得到反比例函数的解析式为再利用A 点的横坐标为2可计算出A 点的纵坐标为8从而得到CD=6然后根据三角形面积公式计算S解析：6【分析】利用反比例函数比例系数k 的几何意义得到S 矩形BEOD =|k|=16，则求出k 得到反比例函数的解析式为16y x=，再利用A 点的横坐标为2可计算出A 点的纵坐标为8，从而得到CD=6，然后根据三角形面积公式计算S △ACD ．【详解】解：BE x ⊥轴于E ，BD y ⊥轴于D ， 16BEOD S k ∴==矩形，由反比例函数图象在第一象限可知，0k <，16k ∴=，∴反比例函数的解析式为16y x=， AC y ⊥轴，2AC =，A ∴点的横坐标为2，当2x =时，1682y ==， 826CD OC OD ∴=-=-=，12662ACD S ∆∴=⨯⨯=． 故答案为6.【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k 的几何意义，解题的关键是根据题目信息求得k 的具体值.15．6cm2【分析】先根据从左面从正面看到的形状图的相关数据可得从上面看到的形状图是长为3宽为2的长方形再根据长方形的面积公式计算即可【详解】根据从左面从正面看到的形状图的相关数据可得：从上面看到的形状 解析：6cm 2【分析】先根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得，从上面看到的形状图是长为3宽为2的长方形，再根据长方形的面积公式计算即可．【详解】根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据可得：从上面看到的形状图是长为3宽为2的长方形，则从上面看到的形状图的面积是2×3=6cm2；故答案为6cm2．【点睛】此题考查了由三视图判断几何体，关键是根据从左面、从正面看到的形状图的相关数据得出从上面看到的形状图是长为3宽为2的长方形．16．①②③【解析】解：①圆锥主视图是三角形左视图也是三角形②圆柱的主视图和左视图都是矩形；③球的主视图和左视图都是圆形；④长方体的主视图是矩形左视图也是矩形但是长和宽不一定相同故选①②③解析：①②③【解析】解：①圆锥主视图是三角形，左视图也是三角形，②圆柱的主视图和左视图都是矩形；③球的主视图和左视图都是圆形；④长方体的主视图是矩形，左视图也是矩形，但是长和宽不一定相同，故选①②③．17．【分析】通过作高利用相似三角形的对应高的比等于相似比列方程求解即可【详解】解：如图过点P作PM⊥BE垂足为M交AF于点N则PM=16设FA=x 米由3FD=2FA得FD=x=MN∵四边形ACDF是矩形解析：12 7【分析】通过作高，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列方程求解即可．【详解】解：如图，过点P作PM⊥BE，垂足为M，交AF于点N，则PM=1.6，设FA=x米，由3FD=2FA得，FD=23x=MN，∵四边形ACDF是矩形，∴AF∥CD，∴△PAF∽△PBE，∴PN FA PM EB =，即1.66PN x =， ∴415PN x =， ∵PN+MN=PM ， ∴42 1.6153x x +=， 解得，x=127， 故答案为：127． 【点睛】本题考查视点、视角、盲区的意义，此类问题可以转化为相似三角形的知识进行解答． 18．【分析】由摸到红球的频率稳定在025附近得出口袋中得到红色球的概率进而求出球个数即可【详解】解：设球个数为x 个∵摸到红色球的频率稳定在025左右∴口袋中得到红色球的概率为025∴解得：经检验x=20解析：【分析】由摸到红球的频率稳定在0.25附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出球个数即可．【详解】解：设球个数为x 个，∵摸到红色球的频率稳定在0.25左右，∴口袋中得到红色球的概率为0.25， ∴514x =， 解得：20x ，经检验，x=20是原方程解，所以，球的个数为20个，故答案为：20．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，根据大量反复试验下频率稳定值即概率得出是解题关键．19．5或4【分析】解方程可得直角三角形的两边是34然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可【详解】解：（x-3）（x-4）=0x-3=0x-4=0∴方程的根为34∴直角三角形的两边为34解析：5或4．【分析】解方程27120x x -+=可得直角三角形的两边是3、4，然后分这两边都是直角边和边长为4为直角边两种情况解答即可．【详解】解：27120x x -+=（x-3）（x-4）=0x-3=0，x-4=0∴方程的根为3、4∴直角三角形的两边为3、4；当两边有一条边是直角边时，斜边长为4．故答案为5或4．【点睛】本题主要考查勾股定理、解一元二次方程等知识点，正确的解一元二次方程和分类讨论成为解答本题的关键．20．56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠使点B 与点D 重合点A 落在点G 处∴∠G=∠A=90°∠GDE=∠B=90°∵∠DFG=6解析：56【分析】根据折叠的性质和长方形的性质以及三角形内角和解答即可．【详解】解：∵把长方形纸片ABCD 沿折痕EF 折叠，使点B 与点D 重合，点A 落在点G 处， ∴∠G=∠A=90°，∠GDE=∠B=90°，∵∠DFG=68°，∴∠GDF=∠G-∠DFG=90°-68°=22°，∴∠ADE=∠GDE-∠GDF=90°-22°=68°，∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-68°=22°，∴∠DEC=90°-∠EDC=90°-22°=68°，由折叠可得：∠FEB=∠FED ， ∴180180685622DEC BEF -∠-=︒︒︒∠==︒， 故答案为：56．【点睛】 此题考查翻折问题，关键是根据折叠前后图形全等和长方形性质解答．三、解答题21．（1）3y x=；（2）13x << 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求得A 的坐标，然后根据待定系数法求得反比例函数的解析式；（2）首先联立方程，求得交点A 和点C 的坐标，然后根据图象即可求得；【详解】解：（1）∵点()1,A m 在1y 上，∴143m =-+=，∴()1,3A ，又：点()1,3A 在双曲线上， ∴31k =， ∴3k =， ∴3y x=； （2）由题意得，如图：∵43y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：13x y =⎧⎨=⎩或31x y =⎧⎨=⎩， ∴A （1，3），C （3，1），当0x >时，不等式12y y >的解集：13x <<；【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质和一次函数的性质进行解题．22．无23．（1）证明见解析；（2）CDF 为等腰直角三角形，理由见解析．【分析】（1）等腰直角三角形的性质可得AC BC =，且90ACB ∠=︒，由AD BD ⊥，可得90ADB ∠=︒再由∠=∠BGD AGC ，可证∽BDG ACG ，根据相似三角形对应边成比例即可得证；（2）由（1）得=DG BG CG AG，又CGD AGB ∠=∠，可证得CDG ABG ∽△△．由相似三角形对应角相等可得45∠=∠=︒ADC ABC ，由此得到135BDC ∠=︒，由翻折的性质得135∠=∠︒=BDE BDC ，可得90CDE ∠=︒．由两直线平行内错角相等可90∠=∠=︒DCF CDE ，由此45CFD ∠=︒，故CDF 为等腰直角三角形．【详解】解：（1）∵ABC 是等腰直角三角形，AC BC =，AD BD ⊥，∴90ADB ACB ∠=∠=︒．又∵∠=∠BGD AGC ， ∴∽BDG ACG ． ∴=DG BG CG AG． （2）CDF 为等腰直角三角形．由（1）得=DG BG CG AG． 又∵CGD AGB ∠=∠，∴CDG ABG ∽△△．∴45∠=∠=︒ADC ABC ，即135BDC ∠=︒．由翻折得135∠=∠︒=BDE BDC ．∴90CDE ∠=︒．∵CF DE ， ∴90∠=∠=︒DCF CDE ，即45CFD ∠=︒． ∴CDF 为等腰直角三角形．【点睛】此题考查等腰直角三角形的判定和性质、翻折的性质以及相似三角形的判定和性质.掌握相应的性质和判定方法是解答此题的关键.24．（1）25 ；（2）不公平，见解析 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）列表得出所有等可能结果，从中找到使小明、小亮获胜的结果数，再利用概率公式计算出两人获胜的概率，从而得出答案．【详解】（1）P （甲指向偶数）=25（2）列表如下3，4或5的有8种结果，两次数字之和不是3，4或5的有7种结果，所以P（小明胜）=815，P（小两胜）=715∴游戏不公平．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．游戏双方获胜的概率相同，游戏就公平，否则游戏不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．25．（1）a=-4．（2）a=1或2或4．【分析】（1）把x=-1代入方程求出a即可．（2）利用判别式根据不等式即可解决问题．【详解】解：（1）∵方程的一个根为x=-1，∴a-3+4+3=0，∴a=-4．（2）∵方程有实数根，∴△≥0且a≠3，∴16-12（a-3）≥0，解得a≤133，a≠3，∵a是正整数，∴a=1或2或4．【点睛】本题属于根的判别式，一元二次方程的解等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．26．（1）详见解析；（2）18°【分析】（1）利用对边平行且相等证明四边形ABCD是平行四边形，再利用对角线相等的平行四边形是矩形，即可证明四边形ABCD是矩形；（2）先求出∠FDC=36°，再求出∠OCD =∠ODC=54°，即可求出∠BDF．【详解】（1）∵AB∥CD，AB=CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD，∵OA=OD，∴AC=BD，∴四边形ABCD是矩形；（2）∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OD，∴∠ODC=∠OCD，∵∠ADF:∠FDC=3:2，∴∠ADF=54°，∠FDC=36°，∵DF⊥AC，∴∠OCD=∠ODC=90°－∠FDC=54°，∴∠BDF=∠ODC-∠FDC=54°－36°=18°．【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的判定与性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．。
2020-2021上海复旦大学第二附属中学九年级数学上期末一模试卷(及答案)
2020-2021上海复旦大学第二附属中学九年级数学上期末一模试卷(及答案)一、选择题1．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有x 名学生，那么所列方程为( )A ．()1119802x x +=B ．()1119802x x -= C ．()11980x x +=D ．()11980x x -= 2．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )A ．正三角形B ．平行四边形C ．正五边形D ．正六边形 3．如图，Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，分别以A 、C 为圆心，以2AC 的长为半径作圆，将Rt △ABC 截去两个扇形，则剩余（阴影）部分面积为（ ）A ．（24−254π）cm 2 B ．254πcm 2 C ．（24−54π）cm 2 D ．（24−256π）cm 2 4．等腰三角形一条边的边长为3，它的另两条边的边长是关于x 的一元二次方程x 2﹣12x+k=0的两个根，则k 的值是（ ）A ．27B ．36C ．27或36D ．185．下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ． 6．已知m 、n 是方程2210x x --=的两根，且22(714)(367)8m m a n n -+--=，则a 的值等于A ．5-B ．5C ．9-D ．9 7．某人到瓷砖商店去购买一种多边形形状的瓷砖，用来铺设无缝地板，他购买的瓷砖形状不可以是（ ）A ．正三角形B ．矩形C ．正八边形D ．正六边形8．若⊙O 的半径为5cm ，点A 到圆心O 的距离为4cm ，那么点A 与⊙O 的位置关系是A ．点A 在圆外B ．点A 在圆上C ．点A 在圆内D ．不能确定9．五粮液集团2018年净利润为400亿元，计划2020年净利润为640亿元，设这两年的年净利润平均增长率为x ，则可列方程是（ ）A ．400(1)640x +=B ．2400(1)640x +=C ．2400(1)400(1)640x x +++=D ．2400400(1)400(1)640x x ++++= 10．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图所示，当y ＞0时，x 的取值范围是( )A ．－1＜x ＜2B ．x ＞2C ．x ＜－1D ．x ＜－1或x ＞211．下列对一元二次方程x 2+x ﹣3=0根的情况的判断，正确的是（ ）A ．有两个不相等实数根B ．有两个相等实数根C ．有且只有一个实数根D ．没有实数根12．一只布袋里装有4个只有颜色不同的小球，其中3个红球，1个白球，小敏和小丽依次从中任意摸出1个小球，则两人摸出的小球颜色相同的概率是（ ）A ．14B ．12C ．23D ．34二、填空题 13．一个等腰三角形的两条边长分别是方程x 2﹣7x +10＝0的两根，则该等腰三角形的周长是_____．14．如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m 时，水面宽4m ，水面下降2m ，水面宽度增加______m.15．抛物线y=﹣x 2+bx+c 的部分图象如图所示，若y ＞0，则x 的取值范围是_____．16．半径为2的圆被四等分切割成四条相等的弧，将四个弧首尾顺次相连拼成如图所示的恒星图型，那么这个恒星的面积等于______．17．某地区2017年投入教育经费2 500万元，2019年计划投入教育经费3 025万元，则2017年至2019年，该地区投入教育经费的年平均增长率为_____．18．廊桥是我国古老的文化遗产如图，是某座抛物线型的廊桥示意图，已知抛物线的函数表达式为，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，则这两盏灯的水平距离EF是______米精确到1米19．一个扇形的半径为6，弧长为3π，则此扇形的圆心角为___度．20．已知二次函数y＝kx2﹣6x﹣9的图象与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围_____．三、解答题21．请你依据下面图框中的寻宝游戏规则，探究“寻宝游戏”的奥秘：(1)用树状图（或表格）表示出所有可能的寻宝情况；(2)求在寻宝游戏中胜出的概率．22．用你喜欢的方法解方程（1）x2﹣6x﹣6＝0（2）2x2﹣x﹣15＝023．已知如图，以Rt△ABC的AC边为直径作⊙O交斜边AB于点E，连接EO并延长交BC的延长线于点D，点F为BC的中点，连接EF．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，∠EAC＝60°，求AD的长．24．如图，等腰Rt△ABC中，BA=BC，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后，得到△CBE（1）求∠DCE的度数；（2）若AB=4，CD=3AD，求DE的长．25．解下列方程3（x-2）2=x（x-2）．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1980．【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，∴全班共送：（x-1）x=1980，故选：D．【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．2．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故错误；C. 是轴对称图形，不是中心对称图形，故错误；D. 是轴对称图形，也是中心对称图形，故正确.故答案选：D.【点睛】本题考查的知识点是中心对称图形， 轴对称图形，解题的关键是熟练的掌握中心对称图形， 轴对称图形.3．A解析：A【解析】【分析】利用勾股定理得出AC 的长，再利用图中阴影部分的面积=S △ABC −S 扇形面积求出即可．【详解】解：在Rt △ABC 中，∠ABC =90°，AB =8cm ，BC =6cm ，∴10AC ===cm ， 则2AC =5 cm ， ∴S 阴影部分=S △ABC −S 扇形面积=2190525862423604ππ⨯⨯⨯-=-（cm 2）， 故选：A ．【点睛】本题考查了扇形的面积公式，阴影部分的面积可以看作是Rt △ABC 的面积减去两个扇形的面积．求不规则的图形的面积，可以转化为几个规则图形的面积的和或差来求．4．B解析：B【解析】试题分析：由于等腰三角形的一边长3为底或为腰不能确定，故应分两种情况进行讨论：（1）当3为腰时，其他两条边中必有一个为3，把x=3代入原方程可求出k 的值，进而求出方程的另一个根，再根据三角形的三边关系判断是否符合题意即可；（2）当3为底时，则其他两条边相等，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k 的值，再求出方程的两个根进行判断即可．试题解析：分两种情况：（1）当其他两条边中有一个为3时，将x=3代入原方程，得：32-12×3+k=0解得:k=27将k=27代入原方程，得：x2-12x+27=0解得x=3或93，3，9不能组成三角形，不符合题意舍去；（2）当3为底时，则其他两边相等，即△=0，此时：144-4k=0解得：k=36将k=36代入原方程，得：x2-12x+36=0解得：x=63，6，6能够组成三角形，符合题意．故k的值为36．故选B．考点：1．等腰三角形的性质；2．一元二次方程的解．5．D解析：D【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确．故选D．【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．6．C解析：C【解析】试题解析：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根∴m2﹣2m=1，n2﹣2n=1∴7m2﹣14m=7（m2﹣2m）=7，3n2﹣6n=3（n2﹣2n）=3∵（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8∴（7+a）×（﹣4）=8∴a=﹣9．故选C．7．C解析：C【解析】因为正八边形的每个内角为135︒，不能整除360度，故选C.8．C解析：C【解析】【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．9．B解析：B【解析】【分析】根据平均年增长率即可解题.【详解】解：设这两年的年净利润平均增长率为x，依题意得：()2+=x4001640故选B.【点睛】本题考查了一元二次方程的实际应用,属于简单题,熟悉平均年增长率概念是解题关键. 10．D解析：D【解析】【分析】根据已知图象可以得到图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），又y＞0时，图象在x 轴的上方，由此可以求出x的取值范围．【详解】依题意得图象与x轴的交点是（-1，0），（2，0），当y＞0时，图象在x轴的上方，此时x＜－1或x＞2，∴x的取值范围是x＜－1或x＞2，故选D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，解答此题的关键是求出图象与x轴的交点，然后由图象找出当y＞0时，自变量x的范围，注意数形结合思想的运用.11．A解析：A【解析】【分析】根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△=13＞0，进而即可得出方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根．【详解】∵a=1，b=1，c=﹣3，∴△=b2﹣4ac=12﹣4×（1）×（﹣3）=13＞0，∴方程x2+x﹣3=0有两个不相等的实数根，故选A．【点睛】本题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．12．B解析：B【解析】【分析】画树状图展示所有12种等可能的结果数，再两人摸出的小球颜色相同的结果数然后根据概率公式求解．【详解】解：画树状图如下：，一共12种可能，两人摸出的小球颜色相同的有6种情况，所以两人摸出的小球颜色相同的概率是612=12，故选：B．【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．解题的关键是要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．二、填空题13．12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程再利用三角形三边关系得出各边长进而得出答案【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0解得：x1＝2x2＝5故等腰三角形的腰长只能为55底边长解析：12【解析】【分析】首先利用因式分解法解方程，再利用三角形三边关系得出各边长，进而得出答案.【详解】解：x2﹣7x+10＝0（x﹣2）（x﹣5）＝0，解得：x1＝2，x2＝5，故等腰三角形的腰长只能为5，5，底边长为2，则其周长为：5+5+2＝12．故答案为：12．【点睛】本题考查因式分解法解一元二次方程，需要熟悉三角形三边的关系以及等腰三角形的性质. 14．4-4【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系进而求出二次函数解析式再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度即可得出答案【详解】建立平面直角坐标系设横轴x通过AB纵轴y通过AB中点O且通过C点则通过画解析：42-4【解析】【分析】y=-代入抛物线解根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把2析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶0,2.点C坐标为()通过以上条件可设顶点式22y ax =+，其中a 可通过代入A 点坐标()2,0.-代入到抛物线解析式得出：0.5a =-，所以抛物线解析式为20.52y x =-+，当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当2y =-时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线2y =-与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把2y =-代入抛物线解析式得出：220.52x -=-+，解得：x =±所以水面宽度增加到 4.故答案是： 4.【点睛】考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键． 15．－3＜x ＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1一个交点为（10）可推出另一交点为（﹣30）结合图象求出y ＞0时x 的范围解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1已知一个交点为（1解析：－3＜x ＜1【解析】试题分析：根据抛物线的对称轴为x=﹣1，一个交点为（1，0），可推出另一交点为（﹣3，0），结合图象求出y ＞0时，x 的范围．解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=﹣1，已知一个交点为（1，0），根据对称性，则另一交点为（﹣3，0），所以y ＞0时，x 的取值范围是﹣3＜x ＜1．故答案为﹣3＜x ＜1．考点：二次函数的图象．16．16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积依此列式计算即可【详解】解：如图2+2=4恒星的面积=4×4-4π=16-4π故答案为16-4π【点睛】本题考查了扇形面解析：16﹣4π【解析】【分析】恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积，依此列式计算即可．【详解】解：如图．2+2=4，恒星的面积=4×4-4π=16-4π．故答案为16-4π．【点睛】本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为4的正方形面积-半径为2的圆的面积．17．10【解析】【分析】设年平均增长率为x则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元建立方程2500(1+x)2=3025求解即可【详解】解：设年平均增长解析：10%【解析】【分析】设年平均增长率为x，则经过两次变化后2019年的经费为2500(1+x)2；2019年投入教育经费3025万元，建立方程2500(1+x)2=3025，求解即可.【详解】解：设年平均增长率为x，得2500(1+x)2=3025，解得x=0.1=10%，或x=-2.1（不合题意舍去）.所以2017年到2019年该地区投入教育经费的年平均增长率为10%.【点睛】本题考查一元二次方程的应用--求平均变化率的方法,能够列出式子是解答本题的关键. 18．85【解析】由于两盏EF距离水面都是8m因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值故有-140x2+10=8即x2=80x1=45x2=-45所以两盏警示灯之间的水平解析：【解析】由于两盏E、F距离水面都是8m，因而两盏景观灯之间的水平距离就是直线y=8与抛物线两交点的横坐标差的绝对值．故有，即，，．所以两盏警示灯之间的水平距离为：19．90【解析】【分析】根据弧长公式列式计算得到答案【详解】设这个扇形的圆心角为n°则＝3π解得n＝90故答案为：90【点睛】考核知识点:弧长的计算熟记公式是关键解析：90【解析】【分析】根据弧长公式列式计算，得到答案．【详解】设这个扇形的圆心角为n °， 则6180n π⋅＝3π， 解得，n ＝90，故答案为：90．【点睛】 考核知识点: 弧长的计算．熟记公式是关键.20．k ＞﹣1且k≠0【解析】【分析】根据函数与方程的关系求出根的判别式的符号根据△＞0建立关于的不等式通过解不等式即可求得的取值范围【详解】令y ＝0则kx2﹣6x ﹣9＝0∵二次函数y ＝kx2﹣6x ﹣9的解析：k ＞﹣1且k ≠0．【解析】【分析】根据函数与方程的关系，求出根的判别式的符号，根据△＞0建立关于k 的不等式，通过解不等式即可求得k 的取值范围．【详解】令y ＝0，则kx 2﹣6x ﹣9＝0．∵二次函数y ＝kx 2﹣6x ﹣9的图象与x 轴有两个不同的交点，∴一元二次方程kx 2﹣6x ﹣9＝0有两个不相等的解，()()206490k k ≠⎧⎪∴⎨=--⨯->⎪⎩n ， 解得：k ＞﹣1且k ≠0．故答案是：k ＞﹣1且k ≠0．【点睛】本题考查了一元二次方程与函数的关系，函数与x 轴的交点的横坐标就是方程的根，若函数与x 轴有交点说明方程有根，两者互相转化，要充分运用这一点来解题．．三、解答题21．（1）答案见解析；（2）16【解析】【分析】列举出所有情况，让寻宝游戏中胜出的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）树状图如下：（2）由（1）中的树状图可知：P（胜出）【点睛】本题考查的是用画树状图法求概率，解答本题的关键是熟练掌握概率=所求情况数与总情况数之比．同时熟记用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法22．（1）x1＝15x2＝3152）x1＝﹣2.5，x2＝3【解析】【分析】（1）先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可；（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】x2﹣6x﹣6＝0，∵a=1，b=-6，c=-6，∴b2﹣4ac＝（﹣6）2﹣4×1×（﹣6）＝60，x 660315±=x1＝15x2＝315（2）2x2﹣x﹣15＝0，（2x+5）（x﹣3）＝0，2x+5＝0，x﹣3＝0，x1＝﹣2.5，x2＝3．【点睛】此题考查一元二次方程的解法，根据每个方程的特点选择适合的方法是关键，由此才能使计算更简便.23．（1）证明见解析；（2）37【解析】【分析】（1）连接FO，可根据三角形中位线的性质可判断易证OF∥AB，然后根据直径所对的圆周角是直角，可得CE⊥AE，进而知OF⊥CE，然后根据垂径定理可得∠FEC＝∠FCE，∠OEC＝∠OCE，再通过Rt△ABC可知∠OEC＋∠FEC＝90°，因此可证FE为⊙O的切线；（2）根据⊙O的半径为3，可知AO＝CO＝EO＝3，再由∠EAC＝60°可证得∠COD＝∠EOA＝60°，在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3，可由勾股定理求得CD=33，最后根据Rt△ACD，用勾股定理求得结果．【详解】解：（1）连接FO易证OF∥AB∵AC⊙O的直径∴CE⊥AE∵OF∥AB∴OF⊥CE∴OF所在直线垂直平分CE∴FC＝FE，OE＝OC∴∠FEC＝∠FCE，∠0EC＝∠OCE∵Rt△ABC∴∠ACB＝90°即：∠OCE＋∠FCE＝90°∴∠OEC＋∠FEC＝90°即：∠FEO＝90°∴FE为⊙O的切线（2）∵⊙O的半径为3∴AO＝CO＝EO＝3∵∠EAC＝60°，OA＝OE∴∠EOA＝60°∴∠COD＝∠EOA＝60°∵在Rt△OCD中，∠COD＝60°，OC＝3∴CD＝33∵在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，CD＝，AC＝6∴AD＝【点睛】本题考查切线的判定，中位线的性质，以及特殊直角三角形的边角关系和勾股定理．24．解：（1）90°；（2）【解析】试题分析：（1）首先由等腰直角三角形的性质求得∠BAD、∠BCD的度数，然后由旋转的性质可求得∠BCE的度数，故此可求得∠DCE的度数；（2）由（1）可知△DCE是直角三角形，先由勾股定理求得AC的长，然后依据比例关系可得到CE和DC的长，最后依据勾股定理求解即可．试题解析：（1）∵△ABCD为等腰直角三角形，∴∠BAD=∠BCD=45°．由旋转的性质可知∠BAD=∠BCE=45°．∴∠DCE=∠BCE+∠BCA=45°+45°=90°．（2）∵BA=BC，∠ABC=90°，∴=．∵CD=3AD，∴，．由旋转的性质可知：．∴=考点：旋转的性质．25．x1=2，x2=3【解析】【分析】先移项，再利用提公因式法因式分解求出方程的根．【详解】3（x-2）2-x（x-2）=0（x-2）[3（x-2）-x]=0（x-2）（2x-6）=0x-2=0或2x-6=0∴x1=2，x2=3．【点睛】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，用提公因式法因式分解可以求出方程的根．。
上海民办兰生复旦中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案
上海民办兰生复旦中学九年级上册压轴题数学模拟试卷含详细答案一、压轴题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，的解析式为，若将抛物线平移，使平移后的抛物线经过点， 对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点是，顶点是，连结.（1）求抛物线的解析式；（2）求证：∽（3）半径为的⊙的圆心沿着直线从点运动到，运动速度为1单位/秒，运动时间为秒，⊙绕着点顺时针旋转得⊙，随着⊙的运动，求的运动路径长以及当⊙与轴相切的时候的值.2．已知函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++均为一次函数，m 为常数．（1）如图1，将直线AO 绕点()1,0A -逆时针旋转45°得到直线l ，直线l 交y 轴于点B ．若直线l 恰好是1221,(21)1y x m y m x =+-=++中某个函数的图象，请直接写出点B 坐标以及m 可能的值；（2）若存在实数b ，使得||(1)10m b b ---=成立，求函数1221,(21)1y x m y m x =+-=++图象间的距离；（3）当1m 时，函数121y x m =+-图象分别交x 轴，y 轴于C ，E 两点，(21)1y m x =++图象交x 轴于D 点，将函数11y y y =的图象最低点F 向上平移5621m +个单位后刚好落在一次函数121y x m =+-图象上，设12y y y =的图象，线段OD ，线段OE 围成的图形面积为S ，试利用初中知识，探究S 的一个近似取值范围．（要求：说出一种得到S 的更精确的近似值的探究办法，写出探究过程，得出探究结果，结果的取值范围两端的数值差不超过0.01．）3．如图，抛物线214y x bx c =-++经过点()6,0C ，顶点为B ，对称轴2x =与x 轴相交于点A ，D 为线段BC 的中点．（1）求抛物线的解析式；（2）P 为线段BC 上任意一点，M 为x 轴上一动点，连接MP ，以点M 为中心，将MPC 逆时针旋转90︒，记点P 的对应点为E ，点C 的对应点为F ．当直线EF 与抛物线214y x bx c =-++只有一个交点时，求点M 的坐标． （3）MPC 在（2）的旋转变换下，若2PC =（如图）．①求证：EA ED =．②当点E 在（1）所求的抛物线上时，求线段CM 的长．4．某校开展了一次综合实践活动，参加该活动的每个学生持有两张宽为6cm ，长足够的矩形纸条．探究两张纸条叠放在一起，重叠部分的形状和面积．如图1所示，一张纸条水平放置不动，另一张纸条与它成45°的角，将该纸条从右往左平移．（1）写出在平移过程中，重叠部分可能出现的形状．（2）当重叠部分的形状为如图2所示的四边形ABCD 时，求证：四边形ABCD 是菱形． （3）设平移的距离为cm(0662)x x <≤+，两张纸条重叠部分的面积为2cm s ．求s 与x 的函数关系式，并求s 的最大值．5．已知：如图，抛物线2134y x x =--交x 正半轴交于点A ，交y 轴于点B ，点()4,C n -在抛物线上，直线l ：34y x m =-+过点B ，点E 是直线l 上的一个动点，ACE △的外心是P ．（1）求m ，n 的值．（2）当点E 移动到点B 时，求ACE △的面积．（3）①是否存在点E ，使得点P 落在ACE △的边上，若存在，求出点E 的坐标，若不存在，请说明理由．②过点A 作直线AD x ⊥轴交直线l 于点D ，当点E 从点D 移动到点B 时，圆心P 移动的路线长为_____．（直接写出答案）6．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．（1）求证：AB =AC ；（2）①证明：GE =EC ；②若BC =8，OG =1，求EF 的长．7．如图1，抛物线221y x x =-+-的顶点A 在x 轴上，交y 轴于B ，将该抛物线向上平移，平移后的抛物线与x 轴交于,C D ，顶点为()1,4E ．（1）求点B 的坐标和平移后抛物线的解析式；（2）点M 在原抛物线上，平移后的对应点为N ，若OM ON =，求点M 的坐标； （3）如图2，直线CB 与平移后的抛物线交于F ．在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得以,,C F P 为顶点的三角形是直角三角形？若存在，直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．（问题发现）（1）如图①，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则EC +ED 的最小值是 ．（问题研究）（2）如图②，平面直角坐标系中，分别以点A （﹣2，3），B （3，4）为圆心，以1、3为半径作⊙A 、⊙B ，M 、N 分別是⊙A 、⊙B 上的动点，点P 为x 轴上的动点，试求PM +PN 的最小值．（问题解决）（3）如图③，该图是某机器零件钢构件的模板，其外形是一个五边形，根据设计要求，边框AB 长为2米，边框BC 长为3米，∠DAB ＝∠B ＝∠C ＝90°，联动杆DE 长为2米，联动杆DE 的两端D 、E 允许在AD 、CE 所在直线上滑动，点G 恰好是DE 的中点，点F 可在边框BC 上自由滑动，请确定该装置中的两根连接杆AF 与FG 长度和的最小值并说明理由．9．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =++与直线AB 相交于A ，B 两点，其中()3,4A --，()0,1B -．（1）求该抛物线的函数表达式；（2）点P 为直线AB 下方抛物线上的任意一点，连接PA ，PB ，求PAB △面积的最大值； （3）将该抛物线向右平移2个单位长度得到抛物线()211110y a x b x c a =++≠，平移后的抛物线与原抛物线相交于点C ，点D 为原抛物线对称轴上的一点，在平面直角坐标系中是否存在点E ，使以点B ，C ，D ，E 为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．11．如图，已知抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （3，0），B （0，3）两点．（1）求此抛物线的解析式和直线AB 的解析式；（2）如图①，动点E 从O 点出发，沿着OA 方 向 以1个单位/秒的速度向终点A 匀速运动，同时， 动点F 从A 点出发，沿着AB 方向以2个单位/ 秒的速度向终点B 匀速运动，当E ，F 中任意一点到达终点时另一点也随之停止运动，连接EF ，设运动时间为t 秒，当t 为何值时，△AEF 为直角三角形？（3）如图②，取一根橡皮筋，两端点分别固定在A ，B 处，用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 与A ，B 两点构成无数个三角形，在这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点P 的坐标；如果不存在，请简要说明理由．12．对于⊙C 与⊙C 上的一点A ，若平面内的点P 满足：射线．．AP 与⊙C 交于点Q （点Q 可以与点P 重合），且12PA QA≤≤，则点P 称为点A 关于⊙C 的“生长点”． 已知点O 为坐标原点，⊙O 的半径为1，点A （-1，0）．（1）若点P 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且点P 在x 轴上，请写出一个符合条件的点P 的坐标________；（2）若点B 是点A 关于⊙O 的“生长点”，且满足1tan BAO 2∠=，求点B 的纵坐标t 的取值范围；（3）直线3y x b =+与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N ，若线段MN 上存在点A 关于⊙O 的“生长点”，直接写出b 的取值范围是_____________________________．13．已知在矩形ABCD 中，AB=2，AD=4．P 是对角线BD 上的一个动点（点P 不与点B 、D 重合），过点P 作PF⊥BD，交射线BC 于点F ．联结AP ，画∠FPE=∠BAP，PE 交BF 于点E ．设PD=x ，EF=y ．（1）当点A 、P 、F 在一条直线上时，求△ABF 的面积；（2）如图1，当点F 在边BC 上时，求y 关于x 的函数解析式，并写出函数定义域；（3）联结PC ，若∠FPC=∠BPE，请直接写出PD 的长．14．如图1 ，一次函数1y kx b =+(k,b 为常数，k≠0)的图象与反比例函数2m y x =（m 为常数，m≠0）的图象相交于点M(1，4)和点N （4，n ）． (1)填空：①反比例函数的解析式是 ； ②根据图象写出12y y ＜时自变量x 的取值范围是 ；(2) 若将直线MN 向下平移a(a>0)个单位长度后与反比例函数的图象有且只有一个公共点，求a 的值；(3) 如图2，函数2m y x=的图象（x ＞0）上有一个动点C ，若先将直线MN 平移使它过点C ，再绕点C 旋转得到直线PQ ，PQ 交轴于点A ，交轴点B ，若BC =2CA ， 求OA·OB 的值.15．如图，在平面直角坐标系中，函数(0)k y x x=>的图象经过点A （1，4）和点B ，过点A 作AC ⊥x 轴，垂足为点C ，过点B 作BD ⊥y 轴，垂足为点D ，连结AB 、BC 、DC 、DA ，点B 的横坐标为a （a ＞1）（1）求k 的值（2）若△ABD 的面积为4；①求点B 的坐标，②在平面内存在点E ，使得以点A 、B 、C 、E 为顶点的四边形是平行四边形，直接写出符合条件的所有点E 的坐标．16．如图所示，在Rt ABC ∆中，90B ∠=︒，43BC =，30C ∠=︒，点D 从点C 出发沿CA 方向以每秒2个单位长度的速度向点A 匀速运动，同时点E 从点A 出发沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度向点B 匀速运动，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动.设点D 、E 运动的时间是t 秒(0)t >，过点D 作DF BC ⊥于点F ，连接DE 、EF .（1）求证：AE DF =；（2）四边形AEFD 能够成为菱形吗？若能，求出t 的值；若不能，请说明理由； （3）当t =________时，DEF ∆为直角三角形.17．如图，已知矩形ABCD 中，AB=8，AD=6， 点E 是边CD 上一个动点，连接AE ，将△AED 沿直线AE 翻折得△AEF.(1) 当点C 落在射线AF 上时，求DE 的长;(2)以F 为圆心，FB 长为半径作圆F ，当AD 与圆F 相切时，求cos ∠FAB 的值;(3)若P 为AB 边上一点，当边CD 上有且仅有一点Q 满∠BQP=45°，直接写出线段BP 长的取值范围.18．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.（1）求此抛物线的函数表达式；（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12MB 的最小值以及此时点M 的坐标.19．定义：如果一个三角形中有两个内角α，β满足α+2β＝90°，那我们称这个三角形为“近直角三角形”．（1）若△ABC是“近直角三角形”，∠B＞90°，∠C＝50°，则∠A＝度；（2）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4．若BD是∠ABC的平分线，①求证：△BDC是“近直角三角形”；②在边AC上是否存在点E（异于点D），使得△BCE也是“近直角三角形”？若存在，请求出CE的长；若不存在，请说明理由．（3）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，以BD为直径的圆交BC 于点E，连结AE交BD于点F，若△BCD为“近直角三角形”，且AB＝5，AF＝3，求tan∠C 的值．20．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D，E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．（1）观察猜想：图1中，线段PM与PN的数量关系是，位置关系是；（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN，BD，CE，判断△PMN的形状，并说明理由；（3）拓展延伸：把△ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD＝4，AB＝10，请直接写出△PMN面积的最大值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、压轴题1．（1）（2）证明见解析（3）P1的运动路径长为8，运动时间为5秒或7秒。
【精品】初三数学九年级上册期末试题和解析
【精品】初三数学九年级上册期末试题和解析一、选择题1．下列关于x 的一元二次方程，有两个不相等的实数根的方程的是( )A．x2＋1＝0B．x2＋2x＋1＝0C．x2＋2x＋3＝0D．x2＋2x－3＝0 2．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（）A．4 B．3 C．2 D．13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c（a＜0＜b）的图像与x轴只有一个交点，下列结论：①x ＜0时，y随x增大而增大；②a＋b＋c＜0；③关于x的方程ax2＋bx＋c＋2＝0有两个不相等的实数根．其中所有正确结论的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．①②③4．如图，点I是△ABC的内心，∠BIC＝130°，则∠BAC＝（）A．60°B．65°C．70°D．80°5．若x=2y，则xy的值为（）A．2 B．1 C．12D．136．实施新课改以来，某班学生经常采用“小组合作学习”的方式进行学习，学习委员小兵每周对各小组合作学习的情况进行了综合评分．下表是其中一周的统计数据：组别1234567分值90959088909285这组数据的中位数和众数分别是A．88，90 B．90，90 C．88，95 D．90，957．下列方程有两个相等的实数根是（）A．x2﹣x+3＝0 B．x2﹣3x+2＝0 C．x2﹣2x+1＝0 D．x2﹣4＝08．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为（）A ．8B ．12C ．14D ．169．如图，若二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）图象的对称轴为x=1，与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A 、点B （﹣1，0），则 ①二次函数的最大值为a+b+c ； ②a ﹣b+c ＜0； ③b 2﹣4ac ＜0；④当y ＞0时，﹣1＜x ＜3，其中正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．410．一个不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，它们除颜色外都相同，若从中任意摸出1个球，则（ ） A ．摸出黑球的可能性最小 B ．不可能摸出白球 C ．一定能摸出红球D ．摸出红球的可能性最大11．已知二次函数y ＝x 2＋mx ＋n 的图像经过点（―1，―3），则代数式mn +1有（ ） A ．最小值―3 B ．最小值3 C ．最大值―3 D ．最大值3 12．二次函数y =()21x ++2的顶点是( ) A ．(1，2) B ．(1，−2)C ．(−1，2)D ．(−1，−2)13．如图,在O 中，AB 是O 的直径,点D 是O 上一点，点C 是弧AD 的中点，弦CE AB ⊥于点F ，过点D 的切线交EC 的延长线于点G ，连接AD ,分别交CF BC 、于点P Q 、，连接AC ．给出下列结论:①BAD ABC ∠=∠；②GP GD =；③点P 是ACQ的外心；④AP AD ⋅CQ CB =⋅．其中正确的是( )A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②③④14．如图，点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（1，7），（1，1），（4，1），（6，1），以C ，D ，E 为顶点的三角形与△ABC 相似，则点E 的坐标不可能是A ．（6，0）B ．（6，3）C ．（6，5）D ．（4，2）15．如图，AB 为O 的直径，C 为O 上一点，弦AD 平分BAC ∠，交BC 于点E ，6AB =，5AD =,则AE 的长为（ ）A ．2.5B ．2.8C ．3D ．3.2二、填空题16．关于x 的一元二次方程20x a +=没有实数根，则实数a 的取值范围是 ． 17．将二次函数y=2x 2的图像沿x 轴向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，所得函数图像的函数关系式为______________.18．如图，已知Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8AC =，6BC =，将ABC ∆绕点C 顺时针旋转得到MCN ∆，点D 、E 分别为AB 、MN 的中点，若点E 刚好落在边BC 上，则sin DEC ∠=______.19．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．20．如图，在□ABCD 中，AB ＝5，AD ＝6，AD 、AB 、BC 分别与⊙O 相切于E 、F 、G 三点，过点C 作⊙O 的切线交AD 于点N ，切点为M ．当CN ⊥AD 时，⊙O 的半径为____．21．数据2，3，5，5，4的众数是____．22．抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是____． 23．在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，则tanA 等于 ． 24．某厂一月份的总产量为500吨，通过技术更新，产量逐月提高，三月份的总产量达到720吨．若平均每月增长率是，则可列方程为__． 25．方程290x 的解为________.26．.甲、乙、丙、丁四位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是 2.3，3.8，5.2，6.2，则成绩最稳定的同学是______.27．圆锥的底面半径是4cm ，母线长是6cm ，则圆锥的侧面积是______cm 2（结果保留π）．28．已知二次函数y ＝3x 2+2x ，当﹣1≤x ≤0时，函数值y 的取值范围是_____． 29．如图，在△ABC 中，P 是AB 边上的点，请补充一个条件，使△ACP ∽△ABC ，这个条件可以是：___(写出一个即可)，30．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD ＝∠BCD ＝90°，AB +AD ＝8cm ．当BD 取得最小值时，AC 的最大值为_____cm ．三、解答题31．（1）计算：()212cos6020202π-⎛⎫++-︒ ⎪⎝︒⎭（2）若关于x 的方程22210x x m ++-=有两个相等的实数根，求m 的值.32．如图，平行四边形ABCD 中，30B ∠=︒，过点A 作AE BC ⊥于点E ，现将ABE ∆沿直线AE 翻折至AFE ∆的位置，AF 与CD 交于点G .（1）求证：CG BF CD CF ⋅=⋅； （2）若3AB =8AD =，求DG 的长. 33．已知关于x 的方程x 2+ax +a ﹣2=0．（1）求证：不论a 取何实数，该方程都有两个不相等的实数根；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根．34．某果园有100棵橙子树，平均每棵结600个橙子．现准备多种一些橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就要减少．根据经验估计，每增种1棵树，平均每棵树就少结5个橙子．设果园增种x 棵橙子树，果园橙子的总产量为y 个．（1）求y 与x 之间的关系式；（2）增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 420个以上？35．市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元．物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元．经市场调查发现：日销售量y （千克）是销售单价x （元）的一次函数，且当x ＝45时，y ＝10；x ＝55时，y ＝90．在销售过程中，每天还要支付其他费用500元．（1）求出y 与x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）求该公司销售该原料日获利w （元）与销售单价x （元）之间的函数关系式； （3）当销售单价为多少元时，该公司日获利最大？最大获利是多少元？四、压轴题36．如图，在平面直角坐标系中，直线1l ：162y x =-+分别与x 轴、y 轴交于点B 、C ，且与直线2l ：12y x =交于点A .（1）分别求出点A 、B 、C 的坐标；（2）若D 是线段OA 上的点，且COD △的面积为12，求直线CD 的函数表达式； （3）在（2）的条件下，设P 是射线CD 上的点，在平面内里否存在点Q ，使以O 、C 、P 、Q 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.37．已知在ABC 中，AB AC =．在边AC 上取一点D ，以D 为顶点、DB 为一条边作BDF A ∠=∠，点E 在AC 的延长线上，ECF ACB ∠=∠．（1）如图（1），当点D 在边AC 上时，请说明①FDC ABD ∠=∠；②DB DF =成立的理由．（2）如图（2），当点D 在AC 的延长线上时，试判断DB 与DF 是否相等？38．如图，B 是O 的半径OA 上的一点（不与端点重合），过点B 作OA 的垂线交O 于点C ，D ，连接OD ，E 是O 上一点，CE CA =，过点C 作O 的切线l ，连接OE 并延长交直线l 于点F.（1）①依题意补全图形. ②求证：∠OFC=∠ODC ． （2）连接FB ，若B 是OA 的中点，O 的半径是4，求FB 的长.39．MN 是O 上的一条不经过圆心的弦，4MN =，在劣弧MN 和优弧MN 上分别有点A,B （不与M,N 重合），且AN BN =，连接,AM BM .（1）如图1，AB 是直径，AB 交MN 于点C ，30ABM ︒∠=，求CMO ∠的度数； （2）如图2，连接,OM AB ，过点O 作//OD AB 交MN 于点D ，求证：290MOD DMO ︒∠+∠=；（3）如图3，连接,AN BN ，试猜想AM MB AN NB ⋅+⋅的值是否为定值，若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.40．如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 交x 轴于A 、B 两点，其中点A 坐标为（1，0），与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接AC，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．（3）如图2，点P为抛物线上一动点，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．【详解】A、△=0-4×1×1=-4<0，没有实数根；B、△=22-4×1×1=0，有两个相等的实数根；C、△=22-4×1×3=-8<0，没有实数根；D、△=22-4×1×（-3）=16>0，有两个不相等的实数根，故选D．【点睛】本题考查了根的判别式，注意掌握一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．2．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．3．C解析：C【解析】【分析】①根据对称轴及增减性进行判断； ②根据函数在x=1处的函数值判断；③利用抛物线与直线y=-2有两个交点进行判断． 【详解】解：∵a ＜0＜b ，∴二次函数的对称轴为x=2ba->0，在y 轴右边，且开口向下， ∴x ＜0时，y 随x 增大而增大； 故①正确；根据二次函数的系数，可得图像大致如下， 由于对称轴x=2ba-的值未知， ∴当x=1时，y=a+b+c 的值无法判断， 故②不正确；由图像可知，y=＝ax 2＋bx ＋c ≤0，∴二次函数与直线y=-2有两个不同的交点， ∴方程ax 2＋bx ＋c =-2有两个不相等的实数根. 故③正确. 故选C. 【点睛】本题考查了二次函数的图像的性质，二次函数的图像与系数的关系，二次函数与方程的关系，借助图像解决问题是关键.4．D解析：D 【解析】 【分析】根据三角形的内接圆得到∠ABC=2∠IBC ，∠ACB=2∠ICB ，根据三角形的内角和定理求出∠IBC+∠ICB ，求出∠ACB+∠ABC 的度数即可； 【详解】解：∵点I 是△ABC 的内心， ∴∠ABC ＝2∠IBC ，∠ACB ＝2∠ICB ， ∵∠BIC ＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝180°﹣∠CIB＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝2×50°＝100°，∴∠BAC＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝80°．故选D．【点睛】本题主要考查了三角形的内心，掌握三角形的内心的性质是解题的关键. 5．A解析：A【解析】【分析】将x=2y代入xy中化简后即可得到答案.【详解】将x=2y代入xy得：22x yy y==，故选：A.【点睛】此题考查代数式代入求值，正确计算即可.6．B解析：B【解析】中位数是一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数）．由此将这组数据重新排序为85，88，90，90，90，92，95，∴中位数是按从小到大排列后第4个数为：90．众数是在一组数据中，出现次数最多的数据，这组数据中90出现三次，出现的次数最多，故这组数据的众数为90．故选B．7．C解析：C【解析】【分析】先根据方程求出△的值，再根据根的判别式的意义判断即可．【详解】A、x2﹣x+3＝0，△＝（﹣1）2﹣4×1×3＝﹣11＜0，所以方程没有实数根，故本选项不符合题意；B、x2﹣3x+2＝0，△＝（﹣3）2﹣4×1×2＝1＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；C、x2﹣2x+1＝0，△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，所以方程有两个相等的实数根，故本选项符合题意；D、x2﹣4＝0，△＝02﹣4×1×（﹣4）＝16＞0，所以方程有两个不相等的实数根，故本选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题考查了根的判别式，能熟记根的判别式的意义是解此题的关键．8．D解析：D【解析】【分析】直接利用三角形中位线定理得出DE∥BC，DE=12BC，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．【详解】解：∵在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC，DE=12 BC，∴△ADE∽△ABC，∵DEBC=12，∴14ADEABCSS∆∆=，∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为：16，故选D．【点睛】考查了三角形的中位线以及相似三角形的判定与性质，正确得出△ADE∽△ABC是解题关键．9．B解析：B【解析】分析：直接利用二次函数图象的开口方向以及图象与x轴的交点，进而分别分析得出答案．详解：①∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为x=1，且开口向下，∴x=1时，y=a+b+c，即二次函数的最大值为a+b+c，故①正确；②当x=﹣1时，a﹣b+c=0，故②错误；③图象与x轴有2个交点，故b2﹣4ac＞0，故③错误；④∵图象的对称轴为x=1，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），∴A（3，0），故当y＞0时，﹣1＜x＜3，故④正确．故选B．点睛：此题主要考查了二次函数的性质以及二次函数最值等知识，正确得出A点坐标是解题关键．10．D解析：D【解析】【分析】根据概率公式先分别求出摸出黑球、白球和红球的概率，再进行比较，即可得出答案．【详解】解：∵不透明的袋子中装有20个红球，2个黑球，1个白球，共有23个球，∴摸出黑球的概率是2 23，摸出白球的概率是1 23，摸出红球的概率是20 23，∵123＜223＜2023，∴从中任意摸出1个球，摸出红球的可能性最大；故选：D．【点睛】本题考查了可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．11．A解析：A【解析】【分析】把点（-1，-3）代入y＝x2＋mx＋n得n=-4+m，再代入mn+1进行配方即可.【详解】∵二次函数y＝x2＋mx＋n的图像经过点（-1，-3），∴-3=1-m+n，∴n=-4+m，代入mn+1，得mn+1=m2-4m+1=(m-2)2-3.∴代数式mn+1有最小值-3.故选A.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，以及二次函数的性质，把函数mn+1的解析式化成顶点式是解题的关键．12．C解析：C【解析】【分析】因为顶点式y=a （x-h ）2+k ，其顶点坐标是（h ，k ），即可求出y=()21x ++2的顶点坐标．【详解】解：∵二次函数y=()21x ++2是顶点式，∴顶点坐标为：(−1，2)；故选：C.【点睛】此题主要考查了利用二次函数顶点式求顶点坐标，此题型是中考中考查重点，同学们应熟练掌握． 13．B解析：B【解析】【分析】①由于AC 与BD 不一定相等，根据圆周角定理可判断①；②连接OD ，利用切线的性质，可得出∠GPD=∠GDP ，利用等角对等边可得出GP=GD ，可判断②；③先由垂径定理得到A 为CE 的中点，再由C 为AD 的中点，得到CD AE =，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP ，利用等角对等边可得出AP=CP ，又AB 为直径得到∠ACQ 为直角，由等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC ，得出CP=PQ ，即P 为直角三角形ACQ 斜边上的中点，即为直角三角形ACQ 的外心，可判断③；④正确．证明△APF ∽△ABD ，可得AP×AD=AF×AB ，证明△ACF ∽△ABC ，可得AC 2=AF×AB ，证明△CAQ ∽△CBA ，可得AC 2=CQ×CB ，由此即可判断④；【详解】解：①错误，假设BAD ABC ∠=∠，则BD AC =，AC CD =，∴AC CD BD ==，显然不可能，故①错误．②正确．连接OD ． GD 是切线，DG OD ∴⊥，90GDP ADO ∴∠+∠=︒，OA OD =，ADO OAD∴∠=∠，∠=∠，∠+∠=︒，GPD APF90APF OAD∴∠=∠，GPD GDP∴=，故②正确．GD GP⊥，③正确．AB CE∴AE AC=，AC CD=，∴CD AE=，CAD ACE∴∠=∠，∴=，PC PAAB是直径，90∴∠=︒，ACQ∠+∠=︒，CAP CQP90ACP QCP∴∠+∠=︒，90∴∠=∠，PCQ PQC∴==，PC PQ PAACQ∠=︒，90∆的外心．故③正确．∴点P是ACQ④正确．连接BD．∠=∠=︒，PAF BAD90AFP ADB∠=∠，∽，APF ABD∴∆∆∴AP AF=，AB AD∴⋅=⋅，AP AD AF ABAFC ACB∠=∠=︒，∠=∠，90CAF BAC∽，∴∆∆ACF ABC可得2=，AC AF AB∠=∠，∠=∠，CAQ ABCACQ ACB∽，可得2CAQ CBA∴∆∆=⋅，AC CQ CB∴⋅=⋅．故④正确，AP AD CQ CB故选：B．【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、垂径定理、圆周角定理、切线的性质等知识，解题的关键是正确现在在相似三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．14．B解析：B【解析】试题分析：△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．A、当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC，故本选项不符合题意；B、当点E的坐标为（6，3）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=2，则AB：BC≠CD：DE，△CDE与△ABC不相似，故本选项符合题意；C、当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC，故本选项不符合题意；D、当点E的坐标为（4，2）时，∠ECD=90°，CD=2，CE=1，则AB：BC=CD：CE，△DCE∽△ABC，故本选项不符合题意．故选B．15．B解析：B【解析】【分析】连接BD,CD,由勾股定理求出BD的长，再利用ABD BED，得出DE DBDB AD=，从而求出DE的长，最后利用AE AD DE=-即可得出答案．【详解】连接BD,CD∵AB为O的直径90ADB∴∠=︒22226511BD AB AD∴=-=-∵弦AD平分BAC∠11CD BD∴==CBD DAB∴∠=∠ADB BDE∠=∠ABD BED ∴DE DBDB AD∴=5=解得115DE=115 2.85AE AD DE∴=-=-=故选：B．【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论及相似三角形的判定及性质，掌握圆周角定理的推论及相似三角形的性质是解题的关键．二、填空题16．a＞0．【解析】试题分析：∵方程没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．解析：a＞0．【解析】试题分析：∵方程20x a+=没有实数根，∴△=﹣4a＜0，解得：a＞0，故答案为a＞0．考点：根的判别式．17．y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移解析：y=2(x+2)2-3【解析】【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可.【详解】解：根据“上加下减，左加右减”的原则可知，二次函数y＝2x2的图象向左平移2个单位，再向下平移3个单位后得到的图象表达式为y=2(x+2)2-3【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减，左加右减”的原则是解答此题的关键．18．【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE长，的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】【解析】【分析】根据旋转性质及直角三角形斜边中线等于斜边一半，求出CD=CE=5,再根据勾股定理求DE 长，sin DEC∠的值即为等腰△CDE底角的正弦值，根据等腰三角形三线合一构建直角三角形求解.【详解】如图，过D点作DM⊥BC，垂足为M，过C作CN⊥DE，垂足为N，在Rt△ACB中，AC=8，BC=6，由勾股定理得，AB=10，∵D为AB的中点，∴CD=15 2AB= ,由旋转可得，∠MCN=90°,MN=10，∵E为MN的中点，∴CE=15 2MN,∵DM⊥BC,DC=DB,∴CM=BM=13 2BC=,∴EM=CE-CM=5-3=2，∵DM=14 2AC,∴由勾股定理得，DE=∵CD=CE=5，CN⊥DE,∴∴由勾股定理得，CN=∴sin∠DEC=25 CNCE.25.【点睛】本题考查旋转性质，直角三角形的性质和等腰三角形的性质，能够用等腰三角形三线合一的性质构建直角三角形解决问题是解答此题的关键.19．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.20．2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解：设半径为r，∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝解析：2或1.5【解析】【分析】根据切线的性质，切线长定理得出线段之间的关系，利用勾股定理列出方程解出圆的半径.【详解】解：设半径为r，∵AD、AB、BC分别与⊙O相切于E、F、G三点，AB＝5，AD＝6∴GC=r，BG=BF=6-r，∴AF=5-（6-r）=r-1=AE∴ND=6-（r-1）-r=7-2r，在Rt△NDC中，NC2+ND2=CD2，（7-r）2+（2r）2=52，解得r=2或1.5.故答案为：2或1.5.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，勾股定理，平行四边形的性质，正确得出线段关系，列出方程是解题关键.21．5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案解析：5【解析】【分析】由于众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个，由此即可确定这组数据的众数．【详解】解：∵5是这组数据中出现次数最多的数据，∴这组数据的众数为5．故答案为：5．【点睛】本题属于基础题，考查了确定一组数据的众数的能力，解题关键是要明确定义，读懂题意．22．（2，﹣3）【解析】【分析】根据：对于抛物线y=a （x ﹣h ）2+k 的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题解析：（2，﹣3）【解析】【分析】根据：对于抛物线y=a （x ﹣h ）2+k 的顶点坐标是(h,k).【详解】抛物线y=（x ﹣2）2﹣3的顶点坐标是（2，﹣3）.故答案为（2，﹣3）【点睛】本题考核知识点：抛物线的顶点. 解题关键点：熟记求抛物线顶点坐标的公式.23．.【解析】试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝，∴.∴可设.∴根据勾股定理可得.∴.考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理. 解析：43. 【解析】 试题分析：∵在△ABC 中，∠C ＝90°，cosA ＝35，∴35AC AB =. ∴可设35AC k AB k ==，.∴根据勾股定理可得4BC k =. ∴44tanA 33BC k AC k ===. 考点：1.锐角三角函数定义；2.勾股定理.24．【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：，三月份的产量为：.【详解】二月份的产量为：，三月份的产量为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟解析：2500(1)720x +=【解析】【分析】根据增长率的定义列方程即可，二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【详解】二月份的产量为：500(1)x +，三月份的产量为：2500(1)720x +=.【点睛】本题考查了一元二次方程的增长率问题，解题关键是熟练理解增长率的表示方法，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）. 25．【解析】【分析】这个式子先移项，变成x2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x2=9，解得x=±3．故答案为．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这解析：3x =±【解析】【分析】这个式子先移项，变成x 2=9，从而把问题转化为求9的平方根．【详解】解：移项得x 2=9，解得x =±3．故答案为3x =±．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x 2=a （a ≥0）的形式，利用数的开方直接求解．注意：（1）用直接开方法求一元二次方程的解的类型有：x 2=a （a ≥0）；ax 2=b （a ，b 同号且a ≠0）；（x +a ）2=b （b ≥0）；a （x +b ）2=c （a ，c 同号且a ≠0）．法则：要把方程化为“左平方，右常数，先把系数化为1，再开平方取正负，分开求得方程解”．（2）用直接开方法求一元二次方程的解，要仔细观察方程的特点．26．甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差解析：甲【解析】【分析】方差反映了一组数据的波动情况，方差越小越稳定，据此可判断.【详解】∵2.3<3.8<5.2<6.2,∴2222甲乙丁丙<<<S S S S ，∴成绩最稳定的是甲.故答案为：甲.【点睛】本题考查了方差的概念，正确理解方差所表示的意义是解题的关键.27．24π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm ，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，解析：24π【解析】【分析】根据圆锥的侧面展开图为扇形，先计算出圆锥的底面圆的周长，然后利用扇形的面积公式计算即可．【详解】解：∵圆锥的底面半径为4cm，∴圆锥的底面圆的周长=2π•4=8π，∴圆锥的侧面积=12×8π×6=24π（cm2）．故答案为：24π．【点睛】本题考查了圆锥的侧面积的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长为圆锥的底面周长，扇形的半径为圆锥的母线长．也考查了扇形的面积公式：S=12•l•R，（l为弧长）．28．﹣≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+）2﹣，∴函数的对称轴为x＝﹣，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最解析：﹣13≤y≤1【解析】【分析】利用配方法转化二次函数求出对称轴，根据二次函数的性质即可求解．【详解】∵y＝3x2+2x＝3（x+13）2﹣13，∴函数的对称轴为x＝﹣13，∴当﹣1≤x≤0时，函数有最小值﹣13，当x＝﹣1时，有最大值1，∴y的取值范围是﹣13≤y≤1，故答案为﹣13≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的性质、一般式和顶点式之间的转化，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质．29．∠ACP=∠B（或）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解析：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【解析】【分析】由于△ACP与△ABC有一个公共角，所以可利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似或有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．【详解】解：∵∠PAC=∠CAB，∴当∠ACP=∠B时，△ACP∽△ABC；当AP ACAC AB=时，△ACP∽△ABC．故答案为：∠ACP=∠B（或AP ACAC AB=）．【点睛】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似：有两组角对应相等的两个三角形相似．30．【解析】【分析】设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD 为直径的圆上．解析：【解析】【分析】设AB＝x，则AD＝8﹣x，由勾股定理可得BD2＝x2+(8﹣x)2，由二次函数的性质可求出AB＝AD＝4时，BD的值最小，根据条件可知A，B，C，D四点在以BD为直径的圆上．则AC为直径时最长，则最大值为42．【详解】解：设AB ＝x ，则AD ＝8﹣x ， ∵∠BAD ＝∠BCD ＝90°，∴BD 2＝x 2+(8﹣x )2＝2(x ﹣4)2+32．∴当x ＝4时，BD 取得最小值为42．∵A ，B ，C ，D 四点在以BD 为直径的圆上．如图，∴AC 为直径时取得最大值．AC 的最大值为2．故答案为：2．【点睛】本题考查了四边形的对角线问题，掌握勾股定理和圆内接四边形的性质是解题的关键．三、解答题31．（1）6；（2）1m =.【解析】【分析】（1）根据负指数幂和0次幂法则，特殊三角函数值分别算出原算式中的每一项，然后进行实数运算即可.（2）根据一元二次方程根的判别式与根个数的关系，可得出b 2-4ac=0,列方程求解.【详解】解：（1）()2012cos6020202π-⎛⎫++- ⎪⎝⎭︒ 12412=⨯++ 6=；（2）∵22210x x m ++-=有两个相等的实数根，∴b 2-4ac=22-4(2m-1)=0,∴m=1.【点睛】本题考查实数运算和一元二次方程根的判别式与根个数的关系，掌握负指数幂，0次幂和特殊三角形函数值及根的判别式是解答此题的关键.32．（1）见解析；（2【解析】【分析】（1）根据平行四边形的性质得AB∥CD,AB=CD，通过两角对应相等证明△FCG∽△FBA，利用对应边成比例列比例式，进行等量代换后化等积式即可；（2）根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半及勾股定理，求出BE的长,再由折叠性质求出BF长，结合（1）的结论代入数据求解.【详解】解（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD,AB=CD,AD=BC∴∠GCF=∠B, ∠CGF=∠BAF,∴△FCG∽△FBA,∴CG CF AB BF= ,∴CG CF CD BF∴CG BF CD CF⋅=⋅.（2）∵AE BC⊥，∴∠AEB=90°,∵∠B=30°, AB=∴AE=123 2AB ,由勾股定理得，BE=6，由折叠可得，BF=2BE=12，∵AD=BC=8，∴CF=4∵CG BF CD CF⋅=⋅,∴124CG=,∴ ,∴.【点睛】本题考查平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质即为相似三角形判定的条件，利用相似三角形的对应边成比例是解答问题的关键.33．（1）见解析；（2）a=12，x1=﹣32【解析】（1）根据根的判别式即可求解；（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根．【详解】解：（1）∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4≥0，∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．（2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0得1+a+a﹣2=0，解得a=12；∴方程为x2+12x﹣32=0，即2x2+x﹣3=0，设另一根为x1，则1×x1=ca=﹣32，∴另一根x1=﹣32．【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系．34．（1）y=600-5x（0≤x＜120）；（2）7到13棵【解析】【分析】（1）根据增种1棵树，平均每棵树就会少结5个橙子列式即可；（2）根据题意列出函数解析式，然后根据函数关系式y=-5x2+100x+60000=60420，结合一元二次方程解法得出即可．【详解】解：（1）平均每棵树结的橙子个数y（个）与x之间的关系为：y=600-5x（0≤x＜120）；（2）设果园多种x棵橙子树时，可使橙子的总产量为w，则w=（600-5x）（100+x）=-5x2+100x+60000当y=-5x2+100x+60000=60420时，整理得出：x2-20x+84=0，解得：x1=14，x2=6，∵抛物线对称轴为直线x=1002(5)-⨯-=10，∴增种7到13棵橙子树时，可以使果园橙子的总产量在60420个以上．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，准确分析题意，列出y与x之间的二次函数关系式是解。
上海上海中学数学九年级上册期末试卷(带解析)
上海上海中学数学九年级上册期末试卷(带解析) 一、选择题1．已知3sin2α=，则α∠的度数是（）A．30°B．45°C．60°D．90°2．如图，在△ABC中，DE∥BC，若DE＝2，BC＝6，则ADEABC的面积的面积＝（）A．13B．14C．16D．193．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，CD⊥AB于D，设∠ACD=α，则cosα的值为（）A．45B．34C．43D．354．已知点O是△ABC的外心，作正方形OCDE，下列说法：①点O是△AEB的外心；②点O是△ADC的外心；③点O是△BCE的外心；④点O是△ADB的外心.其中一定不成立的说法是（）A．②④B．①③C．②③④D．①③④5．在平面直角坐标系中，点A(0,2)、B(a,a+2)、C(b,0)（a>0,b>0），若AB=42且∠ACB最大时，b的值为（）A．226+B．226-+C．242+D．2426．已知OA，OB是圆O的半径，点C，D在圆O上，且//OA BC，若26ADC∠=︒，则B的度数为（）A．30B．42︒C．46︒D．52︒7．△ABC的外接圆圆心是该三角形（）的交点．A．三条边垂直平分线B．三条中线C．三条角平分线D．三条高8．小华同学某体育项目7次测试成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，9，10．这组数据的中位数和众数分别为（ ） A ．8，10 B ．10，9 C ．8，9 D ．9，10 9．若圆锥的底面半径为2，母线长为5，则圆锥的侧面积为（ ）A ．5πB ．10πC ．20πD ．40π10．如图示，二次函数2y x mx =-+的图像与x 轴交于坐标原点和()4,0，若关于x 的方程20x mx t -+=（t 为实数）在15x <<的范围内有解，则t 的取值范围是（ ）A ．53t -<<B ．5t >-C ．34t <≤D ．54t -<≤11．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 12．一组数据0、－1、3、2、1的极差是（ ） A ．4B ．3C ．2D ．113．如图，在⊙O 中，AB 为直径，圆周角∠ACD=20°，则∠BAD 等于（ ）A ．20°B ．40°C ．70°D ．80°14．如图，随意向水平放置的大⊙O 内部区域抛一个小球，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为（ ）A ．12B ．14C ．13D ．1915．如图，A 、B 、C 、D 是⊙O 上的四点，BD 为⊙O 的直径，若四边形ABCO 是平行四边形，则∠ADB 的大小为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题16．已知∠A ＝60°，则tan A ＝_____．17．若记[]x 表示任意实数的整数部分，例如：[]4.24=，21⎡⎤=⎣⎦，…，则123420192020⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦（其中“+”“－”依次相间）的值为______.18．某同学想要计算一组数据105，103，94，92，109，85的方差20S ，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去100，得到一组新数据5，3，－6，－8，9，－15，记这组新数据的方差为21S ，则20S ______21S （填“>”、“=”或“<”）. 19．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________； 20．某一时刻身高160cm 的小王在太阳光下的影长为80cm ，此时他身旁的旗杆影长10m ，则旗杆高为______．21．已知实数,,a b c 满足0a ≠，且0a b c -+=，930a b c ++=，则抛物线2y ax bx c =++图象上的一点(2,4)-关于抛物线对称轴对称的点为__________．22．若m 是方程5x 2﹣3x ﹣1＝0的一个根，则15m ﹣3m+2010的值为_____． 23．已知关于x 的方程a （x +m ）2+b ＝0（a 、b 、m 为常数，a ≠0）的解是x 1＝2，x 2＝﹣1，那么方程a （x +m +2）2+b ＝0的解_____．24．圆锥的母线长是5 cm,底面半径长是3 cm,它的侧面展开图的圆心角是____. 25．一组数据3，2，1，4，x 的极差为5，则x 为______. 26．数据1、2、3、2、4的众数是______．27．如图，点C 是以AB 为直径的半圆上一个动点（不与点A 、B 重合），且AC+BC=8，若AB=m （m 为整数），则整数m 的值为______．28．一次安全知识测验中，学生得分均为整数，满分10分，这次测验中甲、乙两组学生人数都为6人，成绩如下：甲：7，9，10，8，5，9；乙：9，6，8，10，7，8． （1）请补充完整下面的成绩统计分析表：（2）甲组学生说他们的众数高于乙组，所以他们的成绩好于乙组，但乙组学生不同意甲组学生的说法，认为他们组的成绩要好于甲组，请你给出一条支持乙组学生观点的理由_____________________________．29．甲、乙两个篮球队队员身高的平均数都为2.07米，方差分别是2S甲、2S乙，且22S S甲乙，则队员身高比较整齐的球队是_____．30．已知二次函数y＝ax2+bx+c(a＞0)图象的对称轴为直线x＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)，则y1_____y2．(填“＞”“＜”或“＝”)三、解答题31．为了从小华和小亮两人中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在相同条件下各射击6次，命中的环数如下（单位：环）：小华：7，8，7，8，9，9；小亮：5，8，7，8，10，10．（1）填写下表：（2）根据以上信息，你认为教练会选择谁参加比赛，理由是什么？（3）若小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差．（填“变大”、“变小”、“不变”）32．解方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0；（2）（2x﹣1）2＝4（2x﹣1）．33．已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C （2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．（1）画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，点C2的坐标是；（3）△A2B2C2的面积是平方单位．34．如图 1，直线 y=2x+2 分别交 x 轴、y 轴于点A 、B ，点C 为x 轴正半轴上的点，点 D 从点C 处出发，沿线段CB 匀速运动至点 B 处停止，过点D 作DE ⊥BC ，交x 轴于点E ，点 C′是点C 关于直线DE 的对称点，连接 EC′，若△ DEC′与△ BOC 的重叠部分面积为S ，点D 的运动时间为t （秒），S 与 t 的函数图象如图 2 所示． （1）V D = ,C 坐标为 ； （2）图2中，m= ，n= ，k= .（3）求出S 与t 之间的函数关系式（不必写自变量t 的取值范围）.35．解方程：2670x x --=四、压轴题36．如图1，Rt △ABC 两直角边的边长为AC ＝3，BC ＝4．（1）如图2，⊙O 与Rt △ABC 的边AB 相切于点X ，与边BC 相切于点Y ．请你在图2中作出并标明⊙O 的圆心（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法和证明）（2）P 是这个Rt △ABC 上和其内部的动点，以P 为圆心的⊙P 与Rt △ABC 的两条边相切．设⊙P 的面积为S ，你认为能否确定S 的最大值？若能，请你求出S 的最大值；若不能，请你说明不能确定S 的最大值的理由．37．已知：在ABC 中，,90AC BC ACB ︒=∠=，点F 在射线CA 上，延长BC 至点D ，使CD CF =，点E 是射线BF 与射线DA 的交点．（1）如图1，若点F 在边CA 上； ①求证：BE AD ⊥；②小敏在探究过程中发现45BEC ︒∠=，于是她想：若点F 在CA 的延长线上，是否也存在同样的结论？请你在图2上画出符合条件的图形并通过测量猜想BEC ∠的度数． （2）选择图1或图2两种情况中的任一种，证明小敏或你的猜想． 38．问题发现：（1）如图①，正方形ABCD 的边长为4，对角线AC 、BD 相交于点O ，E 是AB 上点（点E 不与A 、B 重合），将射线OE 绕点O 逆时针旋转90°，所得射线与BC 交于点F ，则四边形OEBF 的面积为 ． 问题探究：（2）如图②，线段BQ ＝10，C 为BQ 上点，在BQ 上方作四边形ABCD ，使∠ABC ＝∠ADC ＝90°，且AD ＝CD ，连接DQ ，求DQ 的最小值； 问题解决：（3）“绿水青山就是金山银山”，某市在生态治理活动中新建了一处南山植物园，图③为南山植物园花卉展示区的部分平面示意图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝∠ADC ＝90°，AD ＝CD ，AC ＝600米．其中AB 、BD 、BC 为观赏小路，设计人员考虑到为分散人流和便观赏，提出三条小路的长度和要取得最大，试求AB +BD +BC 的最大值．39．对于线段外一点和这条线段两个端点连线所构成的角叫做这个点关于这条线段的视角．如图1，对于线段AB 及线段AB 外一点C ，我们称∠ACB 为点C 关于线段AB 的视角． 如图2，点Q 在直线l 上运动，当点Q 关于线段AB 的视角最大时，则称这个最大的“视角”为直线l 关于线段AB 的“视角”．（1）如图3，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，2），点C坐标为（﹣2，2），点C关于线段AB的视角为度，x轴关于线段AB的视角为度；（2）如图4，点M是在x轴上，坐标为（2，0），过点M作线段EF⊥x轴，且EM＝MF ＝1，当直线y＝kx（k≠0）关于线段EF的视角为90°，求k的值；（3）如图5，在平面直角坐标系中，P（3，2），Q（3+1，1），直线y＝ax+b（a＞0）与x轴的夹角为60°，且关于线段PQ的视角为45°，求这条直线的解析式．40．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝45，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊥OA时，求t的值；（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．C解析：C【解析】【分析】根据特殊角三角函数值，可得答案．【详解】解：由sin2α=，得α=60°，故选：C．【点睛】本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．2．D解析：D【解析】【分析】由DE∥BC知△ADE∽△ABC，然后根据相似比求解．【详解】解：∵DE∥BC∴△ADE∽△ABC.又因为DE＝2，BC＝6，可得相似比为1:3.即ADEABC的面积的面积=2213：=19.故选D.【点睛】本题主要是先证明两三角形相似，再根据已给的线段求相似比即可．3．A解析：A【解析】【分析】根据勾股定理求出AB的长，在求出∠ACD的等角∠B，即可得到答案.【详解】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=3，∴AB5==,∵CD⊥AB,∴∠ADC=∠C=90°,∴∠A+∠ACD=∠A+∠B,∴∠B=∠ACD=α,∴4cos5BCcos BABα===.故选：A.【点睛】此题考查解直角三角形，求一个角的三角函数值有时可以求等角的对应函数值.4．A解析：A 【解析】 【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB ，根据正方形的性质得出OA=OC ＜OD ，求出OA=OB=OC=OE≠OD ，再逐个判断即可． 【详解】解：如图，连接OB 、OD 、OA ，∵O 为锐角三角形ABC 的外心， ∴OA ＝OC ＝OB ， ∵四边形OCDE 为正方形， ∴OA ＝OC ＜OD ， ∴OA ＝OB ＝OC ＝OE ≠OD ，∴OA ＝OC ≠OD ，即O 不是△ADC 的外心， OA ＝OE ＝OB ，即O 是△AEB 的外心， OB ＝OC ＝OE ，即O 是△BCE 的外心， OB ＝OA ≠OD ，即O 不是△ABD 的外心， 故选：A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.5．B解析：B 【解析】 【分析】根据圆周角大于对应的圆外角可得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值，此时圆心F 的横坐标与C 点的横坐标相同，并且在经过AB 中点且与直线AB 垂直的直线上，根据FB=FC 列出关于b 的方程求解即可. 【详解】解：∵AB=42，A(0,2)、B(a ,a +2) ∴22(22)42a a ++-=， 解得a =4或a =-4（因为a >0，舍去） ∴B(4,6)，设直线AB 的解析式为y=kx+2， 将B(4,6)代入可得k =1，所以y=x+2，利用圆周角大于对应的圆外角得当ABC ∆的外接圆与x 轴相切时，ACB ∠有最大值. 如下图，G 为AB 中点，()2,4G ，设过点G 且垂直于AB 的直线:l y x m =-+， 将()2,4G 代入可得6m =，所以6y x =-+.设圆心(),6F b b -+，由FC FB =，可知()()()2226466b b b -+=-+-+-，解得262b =（已舍去负值）.故选：B. 【点睛】本题考查圆的综合题，一次函数的应用和已知两点坐标，用勾股定理求两点距离.能结合圆的切线和圆周角定理构建图形找到C 点的位置是解决此题的关键.6．D解析：D 【解析】【分析】连接OC ，根据圆周角定理求出∠AOC ，再根据平行得到∠OCB ，利用圆内等腰三角形即可求解.【详解】连接CO ，∵26ADC ∠=︒∴∠AOC=252ADC ∠=︒∵//OA BC∴∠OCB=∠AOC=52︒∵OC=BO ，∴B =∠OCB=52︒故选D.【点睛】此题主要考查圆周角定理，解题的关键是熟知圆的基本性质及圆周角定理的内容.7．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外接圆的概念、三角形的外心的概念和性质直接填写即可．【详解】解：△ABC 的外接圆圆心是△ABC 三边垂直平分线的交点，故选：A ．【点睛】本题考查了三角形的外心，三角形的外接圆圆心即为三角形的外心，是三条边垂直平分线的交点，正确理解三角形外心的概念是解题的关键.8．D解析：D【解析】试题分析：把这组数据从小到大排列：7，8，9，9，10，10，10，最中间的数是9，则中位数是9；10出现了3次，出现的次数最多，则众数是10；故选D ．考点：众数；中位数．9．B解析：B【解析】【分析】利用圆锥面积=Rr 计算.【详解】 Rr =2510，故选：B.【点睛】 此题考查圆锥的侧面积公式，共有三个公式计算圆锥的面积，做题时依据所给的条件恰当选择即可解答.10．D解析：D【解析】【分析】首先将()4,0代入二次函数，求出m ，然后利用根的判别式和求根公式即可判定t 的取值范围.【详解】将()4,0代入二次函数，得2440m -+=∴4m =∴方程为240x x t -+=∴x = ∵15x <<∴54t -<≤故答案为D .【点睛】此题主要考查二次函数与一元二次方程的综合应用，熟练掌握，即可解题.11．D解析：D【解析】试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ），2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2，即所列的方程为100（1+x ）2=144，故选D ．点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键．12．A解析：A【解析】【分析】根据极差的概念最大值减去最小值即可求解．【详解】解：这组数据：0、－1、3、2、1的极差是：3-（-1）=4．故选A．【点睛】本题考查了极差的知识，极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差．13．C解析：C【解析】【分析】连接OD，根据∠AOD=2∠ACD，求出∠AOD，利用等腰三角形的性质即可解决问题．【详解】连接OD．∵∠ACD=20°，∴∠AOD=2∠ACD=40°．∵OA=OD，∴∠BAD=∠ADO=12（180°﹣40°）=70°．故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．14．B解析：B【解析】【分析】针扎到内切圆区域的概率就是内切圆的面积与外切圆面积的比．【详解】解：∵如图所示的正三角形，∴∠CAB＝60°，∴∠OAB ＝30°，∠OBA ＝90°，设OB ＝a ，则OA ＝2a ，则小球落在小⊙O 内部(阴影)区域的概率为()22142a a ππ=． 故选：B ．【点睛】本题考查了概率问题，掌握圆的面积公式是解题的关键．15．A解析：A 【解析】【详解】解：∵四边形ABCO 是平行四边形，且OA=OC ，∴四边形ABCO 是菱形，∴AB=OA=OB ，∴△OAB 是等边三角形，∴∠AOB=60°，∵BD 是⊙O 的直径，∴点B 、D 、O 在同一直线上，∴∠ADB=12∠AOB=30° 故选A ． 二、填空题16．【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tanA=tan60°=．故答案为：．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 3【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出答案．【详解】tan A=tan60°．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键．17．-22【解析】【分析】先确定的整数部分的规律，根据题意确定算式的运算规律，再进行实数运算. 【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数解析：-22【解析】【分析】2020的整数部分的规律，根据题意确定算式-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-的运算规律，再进行实数运算.【详解】解：观察数据12=1，22=4，32=9，42=16，52=25,62=36的特征，得出数据1,2,3,4 (2020)中，算术平方根是1的有3个，算术平方根是2的有5个，算数平方根是3的有7个，算数平方根是4的有9个，…其中432=1849，442=1936,452=2025，所以在、⋅⋅⋅⋅⋅⋅中，算术平方根依次为1,2,3……43的个数分别为3,5,7,9……个，均为奇数个，最大算数平方根为44的有85个，所以-+-+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+-=1-2+3-4+…+43-44= -22【点睛】本题考查自定义运算，通过正整数的算术平方根的整数部分出现的规律，找到算式中相同加数的个数及符号的规律，方能进行运算.18．=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数解析：=【解析】【分析】根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案.【详解】解：∵一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，它的平均数都加上或减去这一个常数，两数进行相减，方差不变，∴2201S S故答案为：=.【点睛】本题考查的知识点是数据的平均数与方差，需要记忆的是如果将一组数据中的每一个数据都加上同一个非零常数，那么这组数据的方差不变，但平均数要变，且平均数增加这个常数．19．5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，∴△A BC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的解析：5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB ，圆心在AB 的中点，再计算AB 的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC 中，∠C=90°，∴△ABC 外接圆直径为斜边AB 、圆心是AB 的中点，∵∠C=90°，AC=6，BC=8， ∴22226810AB AC BC ，∴△ABC 外接圆半径为5.故答案为：5.【点睛】此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.20．20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm ，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：：10，解得．故答案是：20m ．解析：20m【解析】【分析】根据相同时刻的物高与影长成比例列出比例式，计算即可．【详解】解：设旗杆的高度为xm ，根据相同时刻的物高与影长成比例，得到160：80x =：10，解得x 20=．故答案是：20m ．【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键．21．【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵，，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点关于直线x=解析：(4,4)【解析】【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵0a b c -+=，930a b c ++=，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线2y ax bx c =++上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点(2,4)关于直线x=1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键. 22．2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5 m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解解析：2019【解析】【分析】根据m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根代入得到5m2﹣3m﹣1＝0，进一步得到5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，然后整体代入即可求得答案．【详解】解：∵m是方程5x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴5m2﹣3m﹣1＝0，∴5m2﹣1＝3m，两边同时除以m得：5m﹣1m＝3，∴15m﹣3m+2010＝3（5m﹣1m）+2010＝9+2010＝2019，故答案为：2019．【点睛】本题考查了一元二次方程的根，灵活的进行代数式的变形是解题的关键.23．x3＝0，x4＝﹣3．【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，解析：x3＝0，x4＝﹣3．【解析】【分析】把后面一个方程中的x+2看作整体，相当于前面一个方程中的x求解．【详解】解：∵关于x的方程a（x+m）2+b＝0的解是x1＝2，x2＝﹣1，（a，m，b均为常数，a≠0），∴方程a（x+m+2）2+b＝0变形为a[（x+2）+m]2+b＝0，即此方程中x+2＝2或x+2＝﹣1，解得x＝0或x＝﹣3．故答案为：x3＝0，x4＝﹣3．【点睛】此题主要考查一元二次方程的解，解题的关键是熟知整体法的应用.24．216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，解析：216°.【解析】【分析】【详解】圆锥的底面周长为2π×3=6π(cm),设圆锥侧面展开图的圆心角是n°,则π5 180n=6π,解得n=216.故答案为216°.【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．25．－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x是最小值，解析：－1或6【解析】【分析】由题意根据极差的公式即极差=最大值-最小值．x可能是最大值，也可能是最小值，分两种情况讨论．【详解】解：当x是最大值，则x-（1）=5，所以x=6；当x是最小值，则4-x=5，所以x=－1；故答案为－1或6．【点睛】本题考查极差的定义，极差反映了一组数据变化范围的大小，求极差的方法是用一组数据中的最大值减去最小值，同时注意分类的思想的运用．26．2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．【点睛】此题考查了众数，掌握众数的解析：2【解析】【分析】根据众数的定义直接解答即可．【详解】解：数据1、2、3、2、4中，∵数字2出现了两次，出现次数最多，∴2是众数，故答案为：2．此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键，众数是一组数据中出现次数最多的数． 27．6或7【解析】【分析】因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中，且AC+BC=8，即可求得，根据基本不等式，可得的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可解析：6或7【解析】【分析】 因为直径所对圆周角为直角，所以ABC 的边长可应用勾股定理求解，其中222AB =AC BC +，且AC+BC=8，即可求得22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥2AB 的范围，再根据题意要求AB 为整数及三角形三边关系，即可得出AB 可能的长度．【详解】 解：∵直径所对圆周角为直角，故ABC 为直角三角形，∴根据勾股定理可得，222AB =AC BC +，即22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅，又∵AC+BC=8，根据基本不等式AC BC=AC+(8-AC)+≥∴0<AC BC 16⋅≤，代入22AB =(AC+BC)2AC BC -⋅∴232AB 64≤≤，同时AB 要满足整数的要求，∴AB=6或7或8，但是三角形三边关系要求，任意两边之和大于第三边，故AB ≠8， ∴AB=6或7，故答案为：6或7．【点睛】本题主要考察了直径所对圆周角为直角、勾股定理、三角形三边关系、基本不等式，解题的关键在于找出AB 长度的范围． 28．（1），8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【解析】【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中解析：（1）83，8.5，8；（2）两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【分析】（1）根据方差、平均数的计算公式求出甲组方差和乙组平均数，根据中位数的定义，取出甲组中位数；（2）根据（1）中表格数据，分别从反应数据集中程度的中位数和平均分及反应数据波动程度的方差比较甲、乙两组，由此找出乙组优于甲组的一条理由．【详解】（1）甲组方差：()()()()()()22222218789810888589863⎡⎤-+-+-+-+-+-=⎣⎦ 甲组数据由小到大排列为：5，7，8，9，9，10故甲组中位数：（8+9）÷2=8.5乙组平均分：(9+6+8+10+7+8)÷6=8填表如下：故答案为：83，8.5，8；两队的平均分相同，但乙组的方差小于甲组方差，所以乙组成绩更稳定．【点睛】本题考查数据分析，熟练掌握反应数据集中趋势的中位数、众数和平均数以及反应数据波动程度的方差的计算公式和定义是解题关键． 29．乙【解析】【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵，∴队员身解析：乙【解析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．【详解】解：∵22S S 甲乙，∴队员身高比较整齐的球队是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查方差．解题关键在于知道方差是用来衡量一组数据波动大小的量30．>【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax2+bx+c(a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y1)，(2，y2)和二次函数的性质可以判断y1 和y2的大小关系．【详解】解：∵二次解析：>【解析】【分析】根据二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，且经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)和二次函数的性质可以判断y 1 和y 2的大小关系．【详解】解：∵二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ＞0)图象的对称轴为直线x ＝1，∴当x ＞1时，y 随x 的增大而增大，当x ＜1时，y 随x 的增大而减小，∵该函数经过点(﹣1，y 1)，(2，y 2)，|﹣1﹣1|＝2，|2﹣1|＝1，∴y 1＞y 2，故答案为：＞．【点睛】本题考查了二次函数的增减性问题，掌握二次函数的性质是解题的关键．三、解答题31．（1）8，8，23；（2）选择小华参赛．（3）变小 【解析】【分析】（1）根据方差、平均数和中位数的定义求解；（2）根据方差的意义求解；（3）根据方差公式求解．（1）解：小华射击命中的平均数:7+8+7+8+9+96=8, 小华射击命中的方差:2222122(78)2(88)2(98)63S ⎡⎤=-+-+-=⎣⎦, 小亮射击命中的中位数:8+8=82； （2）解：∵x 小华＝x 小亮，S 2小华＜S 2小亮∴选小华参赛更好，因为两人的平均成绩相同，但小华的方差较小，说明小华的成绩更稳定，所以选择小华参赛．（3）解：小亮再射击2次，分别命中7环和9环，则小亮这8次射击成绩的方差变小.【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．也考查了算术平均数和众数．32．（1）x ＝2；（2）x ＝52或x ＝12． 【解析】【分析】（1）根据配方法即可求出答案．（2）根据因式分解法即可求出答案．【详解】解：（1）∵x 2﹣2x ﹣1＝0，∴x 2﹣2x +1＝2，∴（x ﹣2）2＝2，∴x ＝．（2）∵（2x ﹣1）2＝4（2x ﹣1），∴（2x ﹣1﹣4）（2x ﹣1）＝0， ∴x ＝52或x ＝12. 【点睛】 此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法.33．（1）（2，﹣2）；（2）（1，0）；（3）10．【解析】试题分析：（1）根据平移的性质得出平移后的图从而得到点的坐标；（2）根据位似图形的性质得出对应点位置，从而得到点的坐标；（3）利用等腰直角三角形的性质得出△A2B2C2的面积．试题解析：（1）如图所示：C1（2，﹣2）；故答案为（2，﹣2）；（2）如图所示：C2（1，0）；故答案为（1，0）；（3）∵=20，=20，=40，∴△A2B2C2是等腰直角三角形，∴△A2B2C2的面积是：××=10平方单位．故答案为10．考点：1、平移变换；2、位似变换；3、勾股定理的逆定理34．（1）点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．（285；45；53）①当点C′在线段BC上时，S＝14t2；②当点C′在CB的延长线上，S=−1312t285203；③当点E在x轴负半轴， S＝t25t＋20．【解析】【分析】（1）根据直线的解析式先找出点B的坐标，结合图象可知当t＝5时，点C′与点B重合，通过三角形的面积公式可求出CE的长度，结合勾股定理可得出OE的长度，由OC＝OE＋EC可得出OC的长度，即得出C点的坐标，再由勾股定理得出BC的长度，根据CD＝12BC，结合速度＝路程÷时间即可得出结论；（2）结合D点的运动以及面积S关于时间t的函数图象的拐点，即可得知当“当t＝k 时，点D与点B重合，当t＝m时，点E和点O重合”，结合∠C的正余弦值通过解直角三角形即可得出m、k的值，再由三角形的面积公式即可得出n的值；（3）随着D点的运动，按△DEC′与△BOC的重叠部分形状分三种情况考虑：①通过解直角三角形以及三角形的面积公式即可得出此种情况下S关于t的函数关系式；②由重合部分的面积＝S△CDE−S△BC′F，通过解直角三角形得出两个三角形的各边长，结合三角形的面积公式即可得出结论；③通过边与边的关系以及解直角三角形找出BD和DF的值，结合三角形的面积公式即可得出结论．【详解】（1）令x＝0，则y＝2，即点B坐标为（0，2），∴OB＝2．当t＝5时，B和C′点重合，如图1所示，此时S＝12×12CE•OB＝54，∴CE＝52，∴BE＝52．∵OB＝2，∴OE2253222⎛⎫-=⎪⎝⎭，∴OC＝OE＋EC＝32＋52＝4，BC222425+=CD5551（单位长度/秒），∴点D的运动速度为1单位长度/秒，点C坐标为（4，0）．故答案为：1单位长度/秒；（4，0）；（2）根据图象可知：当t＝k时，点D与点B重合，。
上海市九年级上期末考试数学试卷及答案
上海市九年级上期末考试数学试卷及答案14．已知矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，如果ba==,3，___=BO ．15．如果cb a =+，cb a 33=+，那么a与b是 向量（填“平行”或“不平行” ）16． ABC ∆中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，且DE ∥BC . 若ADE ∆的面积与四边形BCED的面积相等，则ABAD 的值为 .17．如图，已知，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则 AF ∶FC = ． 18. 如图,在矩形ABCD 中,AB=3,BC=4,将矩形折叠,使点C 与点A 重合,则折痕EF= .三、（本大题共6题，第19--22题,每题8分；第23、24题,每题10分．满分52分）19．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为 4m ，跨度为 10m ，如图所示，把它的图形放在直角坐标系中。
（1）求这条抛物线所对应的函数关系式；（2）如图，在对称轴右边 1m 处，桥洞离水面的高是多少？A C DB E F第（17）题 BDCAOF E20. 如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，对角线AC 、BD 交于点F ，点E 在AB 上，且EF //BC ， （163==BC AD ， 求EF 的长 （2）设cb==,，分别求出向量在cb 、方向上的分向量.21．如图,已知AD ∥BE,OCOA OB ⋅=2,求证:∠C=∠OBD._A_F_ C_B_D_E（第21题）22、已知：如图5，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC ⊥BC ，AC 平分∠DAB ，点E 为AC 的中点．求证：DE =BC 21．23. （本题满分10分）如图10,已知ABC ∆中,ABCE ⊥于点E, ACBF ⊥于点F,如果2400=∆ABC S ,600=∆AEFS.(1)求证：AEC ∆～AFB ∆ (2) 求角A 的正弦值.24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点．二次函数图D ABCE 图10FECBA23y x bx =-++的图像经过点(10)A -，，顶点为B ．（1）求这个二次函数的解析式，并写出顶点B 的坐标； （2）如果点C 的坐标为(40)，，AE BC ⊥，垂足为点E ，点D 在直线AE 上，1DE =，求点D 的坐标．25.（本题共3小题，4分+4分+6分，满分14分）如图，已知在△ABC 中， AB =AC =6，BC =5，D 是AB 上一点，BD =2，E 是BC 上一动点，联结DE ，并作DEF B ∠=∠，射线EF 交线段AC 于F ． （1）求证：△DBE ∽△ECF ；（2）当F 是线段AC 中点时，求线段BE 的长；（3）联结DF ，如果△DEF 与△DBE 相似，求FC 的长．x25．∵DEC B BDE ∠=∠+∠，DEC DEF FEC ∠=∠+∠，又DEF B ∠=∠，∴BDE FEC ∠=∠，…………………………………（2分） ∵AB =AC ，∴B C ∠=∠, ∴△DBE∽△ECF ．………………………………………………………（2分）（2）由△DBE ∽△ECF ，得BD BECE CF =．………………………………（2分）设BE 长为x ， 则253xx =-， 解得12x =，23x=．∴BE 的长为2或3．……………………………………………………（2分） （3）1º 当FDE BED ∠=∠时，BCBCDF ∥BC ，∴AF ADAC AB=， ∴2FC =．………………………………………………（2分）2º 解一：当FDE BDE ∠=∠时，作EO ⊥DF ，EP ⊥BD ，EQ ⊥CF ，垂足分别为O 、P ，Q ， ∵FDE BDE ∠=∠，∴EO =EP ． ∵DFE DEB EFC ∠=∠=∠，∴EO =EQ ．∴EP =EQ ，∴AE 是BAC ∠的平分线． ∵AB =AC ，∴52BE EC ==………………………（2分） 由△DBE ∽△ECF ，得BD BE CE CF =，∴258FC =………………………（1分）综上所述，FC 的长为2或258时，△DEF 与△DBE 相似……………（1分）解二：当DFE BED ∠=∠时，DE BDEF BE =， 由△DBE ∽△ECF ，得DE BDEF EC=， ∴BD BD BE EC =，∴52BE EC ==…………………………………………（2分）由△DBE ∽△ECF ，得BD BECE CF =，∴258FC =………………………（1分）综上所述，FC 的长为2或258时，△DEF 与△DBE 相似……………（1分）。
2021-2022学年上海市闵行区九年级上学期期末数学试题(解析卷)
上海市闵行区2021-2022学年九年级上学期期末数学试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在 Rt ABC 中， 各边的长度都扩大 4 倍． 那么锐角 B 的正切值（ ） A ．扩大 4 倍B ．扩大 2 倍C ．保持不变D ．缩小 4 倍【答案】C【解析】【分析】 根据锐角三角函数的定义得出tan AC B BC =，求出44AC AC BC BC =，再得出选项即可． 【详解】解：如图，在Rt ABC 中，90C ∠=︒，则tan AC B BC =，44AC AC BC BC=， ∴在Rt ABC 中，各边的长度都扩大4倍．那么锐角B 的正切值保持不变， 故选：C ．【点睛】 本题考查了解直角三角形，解题的关键是能根据锐角三角函数的定义得出tan AC B BC =． 2．在 Rt ABC 中， 90,4,3C BC AC ∠===， 那么 A ∠ 的三角比值为 35的是（ ）A ．sin AB ．cos AC ．tan AD ．cot A 【答案】B【解析】【分析】根据锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的定义判断即可．【详解】解：在Rt ABC 中，90C ∠=︒，4BC =，3AC =，5AB ∴=，3cos 5AC A AB ∴==， 故选：B ．【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的正弦，余弦，正切，余切的区别．3．下列二次函数与抛物线 223y x x =-+-的对称轴相同的函数是（ ）A ．243y x x =-+-B ．223y x x =--C ．2367y x x =+-D ．2152y x x =-+ 【答案】D【解析】【分析】 通过抛物线对称轴为直线2b x a =-求解． 【详解】解：抛物线223y x x =-+-的对称轴为直线212x =-=-， 选项A 中抛物线对称轴为直线422x =-=-，不符合题意． 选项B 中抛物线对称轴为直线3344x -=-=--，不符合题意． 选项C 中抛物线对称轴为直线616x =-=-，不符合题意．选项D 中抛物线对称轴为直线111x -=-=，符合题意． 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数图象对称轴与系数的关系． 4．如图， 已知在 ABC 中， 点 D 在边 AB 上， 那么下列条件中 不能判定 ABC ACD 的是（ ）A ．AC AB CD BC = B ．2AC AD AB =⋅C ．B ACD ∠=∠D ．ADC ACB ∠=∠ 【答案】A【解析】【分析】由两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判断A ，B ，由两个角对应相等的两个三角形相似可判断C ，D ，从而可得答案.【详解】 解：AC AB CD BC =而,ACD B 不一定相等，不能判断ABC ACD ，故A 符合题意； 2AC AD AB =⋅，,ACAB AD AC而,A A ∠=∠ ,ABC ACD ∴故B 不符合题意；B ACD ∠=∠，,A A ∠=∠,ABC ACD ∴故C 不符合题意；ADC ACB ∠=∠，,A A ∠=∠,ABCACD ∴故D 不符合题意；故选A【点睛】 本题考查的是相似三角形的判定，掌握“两个角对应相等的两个三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”是解本题的关键.5．如果a b c +=，3a b c -=，且0c ≠，下列结论正确的是A ．=a bB ．20a b +=C ．a 与b 方向相同D ．a 与b 方向相反【答案】D【解析】【分析】根据向量的性质进行计算判断即可.【详解】解：将a b c +=代入3a b c -=，计算得：-2a b =（方向相反）.故选：D【点睛】本题考查了向量的性质，熟悉向量的性质是解题的关键.6．二次函数 ()2`0y a x bx c a =++≠ 的图像如图所示， 现有以下结论： （1） 0b > ： （2） 0abc <； （3）0a b c -+>， （4） 0a b c ++>； （5） 240b ac -> ； 其中正确的结论有（ ）A ．2 个B ．3 个C ．4 个D ．5 个．【答案】C【解析】【分析】 由抛物线的开口方向判断a 与0的关系，由抛物线与y 轴的交点判断c 与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x 轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：（1）∵函数开口向下，∵a ＜0，∵对称轴在y 轴的右边，∵02b a->，∵b ＞0，故命题正确；（2）∵a ＜0，b ＞0，c ＞0，∵abc ＜0，故命题正确；（3）∵当x =-1时，y ＜0，∵a -b +c ＜0，故命题错误；（4）∵当x =1时，y >0，∵a +b +c >0，故命题正确；（5）∵抛物线与x 轴于两个交点，∵b 2-4ac ＞0，故命题正确；故选C ．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a 与b 的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．二、填空题7．如果 :5:2x y =， 那么 ():x y y + 的值为_________ 【答案】72##7：2 【解析】【分析】设x =5k ，y =2k ，代入计算即可．【详解】∵:5:2x y =，∵设x =5k ，y =2k ，∵():x y y +=（5k +2k ）：2k =7：2， 故答案为：72． 【点睛】本题考查了比例的基本性质，熟练掌握性质，并灵活解题是解题的关键．8．已知线段 AB 的长为 2 厘米，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，那么较长线段 AP 的长 是_________厘米．【答案】1)【解析】【分析】根据黄金分割：AP ：AB 解答即可． 【详解】解：根据题意，AP ：AB ，AB =2厘米，∵AP = ·AB =1)厘米，故答案为：1)．【点睛】=较长线段：全线段是解答的关键． 9．在ABC ∆中，290,4,sin ,_________3C BC A AB ∠====则．【答案】6【解析】【分析】 根据2sin 3A =，即可求得AB 的长.【详解】 ∵24,sin 3BC A ==， ∵AB=sin BC A =423=6.故答案为6.【点睛】本题考点：锐角的正弦函数.10．两个相似三角形的面积之比是 9:25， 其中较大的三角形一边上的高是 5 厘米， 那 么另一个三角形对应边上的高为_________厘米．【答案】3【解析】【分析】把面积之比转换成相似比，在通过比例求出高【详解】∵两个三角形面积比为9:25∵两个三角形相似比为3:5设：另一三角形对应边上的高为x∵355x =，解得x =3 故答案为：3【点睛】本题考查相似比和面积比的应用，掌握他们的区别是本题关键．11．e 为单位向量， a 与 e 的方向相同， 且长度为 2 ， 那么 a = _________e【答案】2【解析】【分析】两向量方向相同可做线性运算，单位向量长度为1，故可得二者的数量关系．【详解】解：∵e 长度为1，a 长度为2，二者方向相同∵做线性运算可得2a e =故答案为：2．【点睛】本题考查了向量的线性运算．解题的关键在于明确向量是有大小和方向的量．12．如果拋物线 21y x m =++ 的顶点是坐标轴的原点，那么 m 的值是__________【答案】-1【解析】【分析】根据顶点为原点得出m +1=0，再解出m 即可．【详解】∵该函数顶点是坐标轴的原点∵m +1=0；解得m =-1答案为：m =-1【点睛】本题考查一元二次方程中参数的取值，掌握各种典型函数图像的知识是关键．13．已知二次函数()212f x x bx c =++图像的对称轴为直线4x =，则()1f ________()3f ．（填“＞”或“＜”）【答案】>【解析】【分析】根据对称轴及开口方向确定其增减性即可确定答案．【详解】解：∵二次函数()212f x x bx c =++的图象开口向上，对称轴为直线4x =，∵当x 的取值越靠近4函数值就越小，反之越大，∵()1f >()3f ，故答案为：＞．【点睛】考查了二次函数的性质，解题的关键是根据对称轴及开口方向确定其增减性．14．如图所示， 用手电来测量古城墙高度，将水平的平面镜放置在点 P 处， 光线从点 A 出发，经过平面镜反射后，光线刚好照到古城墙 CD 的顶端 C 处． 如果 AB BD ⊥， , 1.5CD BD AB ⊥= 米， 1.8BP = 米， 12PD = 米， 那么该古城墙的高度是__________米【答案】10【解析】【分析】根据两个三角形相似、对应边长度比成比例求出古城墙高度．【详解】∵入射角=反射角∵入射角的余角∵APB =反射角的余角∵CPD又AB ∵BD ；CD ∵BD∵∵ABP ∵∵CDP∵ 1.551.86AB CD BP PD === ∵CD =PD ×56=10 故答案为：10【点睛】本题考查相似三角形在求建筑物的高度中的应用，找出比例是关键．15．如图，某幢楼的楼梯每一级台阶的高度为20厘米，宽度为30厘米，那么斜面AB 的坡度为______．【答案】23【解析】【分析】根据坡度的概念计算，得到答案．【详解】解：斜面AB 的坡度为：202303=， 故答案为：23． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握坡度是坡面的铅直高度h 和水平宽度l 的比是解题的关键．16．如图， 已知在 Rt ABC △ 中， 90,30,1,ACB B AC D ∠∠=== 是 AB 边上一点， 将 ACD △ 沿 CD 翻折， 点 A 恰好落在边 BC 上的点 E 处，那么AD =__________1##1-【解析】【分析】翻折的性质可知AD DE AC CE ==，，A CED ∠=∠；在Rt ABC 中有60A ∠=︒，BC =；CED B EDB ∠=∠+∠，得DEB 是等腰三角形，AD DE BE BC CE BC AC ===-=-即可求出长度．【详解】解：翻折可知：ACD ECD ≌，AD DE AC CE ==，∵30B ∠=︒，1AC =，90ACB ∠=︒∵在Rt ABC 中，22AB AC ==∵60A CED ∠=∠=︒，BC =∵CED B EDB ∠=∠+∠∵30EDB B ∠=∠=︒∵DEB 是等腰三角形∵DE EB =∵1AD EB BC CE ==-=1．【点睛】本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的外角，勾股定理等知识点．解题的关键在于找出边相等的关系．17．如图，在平面直角坐标系中，已知点A 的坐标为(),3(4)a a >，射线OA 与反比例函数12y x=的图像交于点P ，过点A 作x 轴的垂线交双曲线于点B ，过点A 作y 轴的垂线交双曲线于点C ，联结、BP CP ，那么ABP ACP SS 的值是__________【答案】1【解析】【分析】求出AO 的直线解析式3y x a =，联立123y x y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，求出P，过P 点作PM AB ⊥交于点B ，PN AC ⊥交于点N ，则12(,)C a a ，(4,3)B ，分别求出123AC a =-，PN a =-4AB a =-，3PM =1(4)(32ABP S a ∆=-，112()2ACP S a a ∆=--，再求ABP ACP S S ∆∆即可． 【详解】解：设AO 的解析式为y kx =，3ak ∴=，3k a ∴=， 3y x a∴=， 联立123y x y x a ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩P ∴， 过P 点作PM AB ⊥交于点B ，PN AC⊥交于点N ，12(,)C a a∴，(4,3)B ， 123AC a ∴=-，PN a =-4AB a =-，3PM =1(4)(32ABP S a ∆∴=-，112()2ACP S a a∆=--，∴3121ABPACP a S S ∆∆--=， 故答案为：1．【点睛】本题考查反比例函数的图象及性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象及性质． 18．如图， 在 Rt ABC 中， 90,8,6C AC BC ∠===， 点 P 是 AC 边上一点，将 ACB △ 沿着过点 P 的一条直线翻折，使得点 A 落在边 AB 上的点 Q 处，联结 PQ ， 如果 CQB APQ ∠∠=， 那么 AQ 的长为______【答案】395##475【解析】【分析】由题意知，10AB =，A 和Q 关于过点P 的直线对称，如图所示，AP PQ =，CQB APQ ∠∠=，有CPQ AQC ∠=∠，QCP ACQ ∠=∠，故有QPC AQC ∽，QP QC PC AQ AC QC ==；182tan 10AQ AC A AP AB ===∠得8=5AQ AQ AP QP =，求出QC ，PC ，AP 的值，进而得出AQ 的值．【详解】解：由题意知，A 和Q 关于过点P 的直线对称，如图所示在Rt ABC 中， 90C ∠=︒，8AC = ，6BC =∵10AB∵AP PQ =，CQB APQ ∠∠=∵A PQA ∠=∠，CPQ AQC ∠=∠在QPC 和AQC 中QCP ACQ CPQ CQA PQC A ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∵QPC AQC ∽ ∵QP QC PC AQ AC QC== 又∵182cos 10AQ AC A AP AB ∠=== ∵8=5AQ AQ AP QP = ∵588QP QC PC AQ QC=== ∵5QC =，258PC =，2539888AP AC PC =-=-= ∵395AQ = 故答案为：395． 【点睛】本题考查了轴对称，相似三角形的判定与性质，正切值等知识点．解题的关键与难点在于相似比找出线段之间的数量关系．三、解答题19．计算：()101tan45312-⎛⎫+- ⎪⎝⎭【答案】2【解析】【分析】代入特殊角三角函数值，化简零指数幂，负整数指数幂，利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算，然后再算加减．【详解】解：原式112=+-1122=+-+，2=．【点睛】本题考查二次根式的混合运算，理解01(0)a a =≠，1(0)p pa a a -=≠，解题的关键是熟记特殊角三角函数值，掌握利用平方差公式进行二次根式分母有理化计算． 20．如图， ,AD BE 是 ABC 的中线， 交于点 G ， 且 ,AB a BCb ==．(1)直接写出向量 AG 关于 a b 、 的分解式， AG =______(2)在图中画出向量 BG 在向量 a 和 b 方向上的分向量．（不要求写作法， 但要保留作图痕迹， 并写明结论）【答案】(1)2133a b +； (2)见解析【解析】【分析】（1）根据三角形中线性质和重心性质可得BD =12BC ，AG =23AD ，由AD AB BD =+求解即可；（2）过点G 分别作AB 、BC 的平行线，分别交BC 、AB 于H 、F ，作向量BF 、BH 即可．(1)解：∵,AD BE 是 ABC 的中线， 交于点 G ，∵BD =12BC ，AG =23AD ， ∵,AB a BC b ==，∵AD AB BD =+=12a b +， ∵22121()33233AG AD a b a b ==+=+， 故答案为：2133a b +； (2)解：如图所示，BF 、BH 是向量 BG 在向量 a 和 b 方向上的分向量．【点睛】本题考查平面向量的线性运算、三角形的中线性质、三角形的重心性质、尺规作图-作平行线，熟练掌握向量的线性运算，会作出一个向量在给定的两个不平行向量的方向上的分向量是解答的关键．21．如图， 已知在 Rt ABC 中， 90,tan 2ACB CAB ∠∠==， 点A 的坐标为1,0，点 B 在 x 轴正半轴上， 点 C 在 y 轴正半轴上．(1)求经过 B C 、 两点的直线的表达式．(2)求图像经过 、、A B C 三点的二次函数的解析式．【答案】(1)1 2.2y x (2)213 2.22y x x =-++ 【解析】【分析】（1）利用tan 2CAB ∠=先求解C 的坐标，再证明,tan tan ,CAOBCO CAO BCO 再求解B 的坐标，利用待定系数法求解BC 的解析式即可；（2）根据抛物线与x 轴的交点设抛物线为14,y a x x 再把C 的坐标代入求解a 即可.(1)解： tan 2CAB ∠=， 点A 的坐标为1,0，,AO CO ⊥ 2,OCOA 则2,0,2,OC C90,90,ACB AOC90,CAOACO ACO BCO ,tan tan ,CAOBCO CAO BCO 2,24,OBOB OCOC ()4,0,B ∴设直线BC 为：1,y kx b1140,2k b b 解得：1122kb ，所以直线BC 为：1 2.2yx (2) 解：设过1,0,4,0,0,2A B C 的抛物线为：14,y a x x42,a解得：1,2a =- 所以抛物线为：211314 2.222yx x x x 【点睛】本题考查的是锐角三角函数的应用，坐标与图形，利用待定系数法求解一次函数与二次函数的解析式，熟练的利用锐角三角函数求解,B C 的坐标是解本题的关键.22．为了维护南海的主权， 我国对相关区域进行海空常态化立体巡航．如图， 在一次巡航中，预警机沿 AE 方向飞行， 驱护舰沿 BP 方向航行， 且航向相 同 ()AE BP ∥． 当顼紫机飞行到 A 处时，测得航行到 B 处的驱护舰的俯角为 45 ，此时 B 距离相关岛屿 P 恰为 60 千米； 当预警机飞行到 C 处 时 ， 驱护舰恰好航行到预警机正下方 D 处，此时 10CD = 千米，当预警机继续飞行到 E 处时，驱护舰到达相关岛屿,P 且测得E 处的预警机的仰角为22.︒求预警机的飞行距离AE ．（结果保留整数）（参考数据： sin220.37,cos220.93,tan220.40≈≈≈．）【答案】预警机的飞行距离AE 为95千米【解析】【分析】过B 作BH ∵AE 于H ，过E 作EF ∵BP 交延长线于F ，利用锐角三角函数解直角三角形求得AH 、PF 即可．【详解】解：过B 作BH ∵AE 于H ，过E 作EF ∵BP 交延长线于F ，则∵AHB =∵EFP =90°，由题意，∵A =45°，∵EPF =22°，BH=CD=EF=10千米，EH=BF ，BP =60千米， 在Rt∵AHB 中，∵A =45°，BH= 10千米，∵AH=BH=10千米，在Rt∵EFP 中，∵EPF =22°，EF=10千米， ∵1025tan220.4EF PF =≈=， ∵AE=AH+HE=10+60+25=95（千米），答：预警机的飞行距离AE 为95千米．【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，熟练掌握利用锐角三角函数解直角三角形，作垂线构造直角三角形是解答的关键．23．如图，在等腰ABC 中，AB AC =，点D 是边BC 上的中点，过点C 作CE BC ⊥，交BA 的延长线于点E ，过点B 作BH AC ⊥，交AD 于点F ，交AC 于点H ，交CE 于点G ．求证：(1)BC BH CH EC ⋅=⋅；(2)24BC DF DA =⋅．【答案】(1)见解析(2)见解析 【解析】【分析】（1）利用已知条件证明BCE CHB ∆∆∽即可；（2）通过证明ADC BDF ∆∆∽得出DC AD DF BD =，再根据12BD DC BC ==，得出结论． (1)证明：CE BC ⊥，BH AC ⊥，90BCE CHB ∴∠=∠=︒， AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，BCE CHB ∴∆∆∽， ∴BC CE CH BH=， BC BH CH EC ∴⋅=⋅；(2)证明AB AC =，点D 是边BC 上的中点，AD BC ⊥，BH AC ⊥，90ADC AHF ∴∠=∠=︒，DAC HAF ∠=∠，ACD AFH ∴∠=∠，AFH BFD ∠=，ACD BFD ∴∠=∠，90ADC BDF ∠=∠=︒，ADC BDF ∴∆∆∽， ∴DC AD DF BD=， 12BD DC BC ==， ∴214BC AD DF =⋅， 即24BC DF DA =⋅．【点睛】本题考查了三角形相似的判定和性质以及直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理进行证明．24．如图， 在平面直角坐标系 xQ ，中， 直线 5y x =-+ 与 x 牰交于点 A ， 与 y轴交于点 B ． 点C 为拋物线 223122y ax a x a a =-++ 的顶点．(1)用含 a 的代数式表示顶点 C 的坐标：(2)当顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S = 时，求抛物线的表达式： (3)如果将抛物线向右平移一个单位，再向下平移12 个单位后，平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， 求 a 的取值范围．【答案】(1)2()1,C a a (2)2289y x x =-+；(3)1＜a ＜3【解析】【分析】（1）利用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可解答；（2）求出点A 、B 的坐标，利用三角形面积公式求解a 值即可解答；（3）根据点的坐标平移规律“右加左减，上加下减”得出P 点坐标，再根据条件得出a 的一元一次不等式组，解不等式组即可求解(1)解：拋物线 2232112()22y ax a x a a a x a a =-++=-+， ∵顶点C 的坐标为1(,)2a a ； (2)解：对于5y x =-+，当x =0时，y =5，当y =0时，x =5，∵A （5，0），B （0，5），∵顶点 C 在 AOB 内部， 且 52AOC S =，∵1155222a ⨯⋅=， ∵a =2，∵拋物线的表达式为 2289y x x =-+；(3)解：由题意，平移后的抛物线的顶点P 的坐标为11(1,)22a a +-， ∵平移后的抛物线的顶 点 P 仍在 AOB 内， ∵101102211(1)522a a a a ⎧⎪+>⎪⎪->⎨⎪⎪-++>-⎪⎩， 解得：1＜a ＜3，即a 的取值范围为1＜a ＜3．【点睛】本题考查求二次函数的顶点坐标和表达式、二次函数的图象平移、一次函数的图象与坐标轴的交点问题、坐标与图象、解一元一次不等式组，熟练掌握相关知识的联系与运用，第（3）小问正确得出不等式组是解答的关键．25．已知四边形 ABCD 是菱形， 4AB =， 点 E 在射线 CB 上， 点 F 在射线 CD 上，且 EAF BAD ∠=∠．(1)如图， 如果 90BAD ∠=， 求证： AE AF = ；(2)如图， 当点 E 在 CB 的延长线上时， 如果 60ABC ∠=， 设 ,AF DF x y AE==， 试建立 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围(3)联结 ,2AC BE =， 当 AEC △ 是等腰三角形时，请直接写出 DF 的长．【答案】(1)证明过程详见解答； (2)4(04)4x y x -=<< (3)85DF =或167 【解析】【分析】（1）先证明四边形ABCD 是正方形，再证明ABE ADF ∆≅∆，从而命题得证； （2）在AD 上截取DG DF =，先证明DGF ∆是正三角形，再证明ABE AGF ∆∆∽，进一步求得结果；（3）当AE AC =时，作AH CE ⊥于H ，以F 为圆心，DF 为半径画弧交AD 于G ，作FN AD ⊥于N ，证明ABH FND ∆∆∽，AGF ABE ∠=∠，可推出12DG DF =，再证明ABE AGF ∆∆∽，可推出442DG GF -=，从而求得DF ，当6AC CE ==时，作AH CE ⊥于H ，以F 为圆心，DF 为半径画弧交AD 于G ，作FN AD ⊥于N ，作BM AC ⊥于M ，先根据1122ABC S AC BM BC AH ∆=⋅=⋅求得AH ，进而求得BH ，根据ABH FGN ∆∆∽，ABE AFF ∆∆∽，14DG GF =和412DG GF +=，从而求得DF ，根据三角形三边关系否定AE CE =，从而确定DF 的结果．(1) 解：证明：四边形ABCD 是菱形，90BAD ∠=︒，∴菱形ABCD 是正方形，90BAE ABC ADF ∴∠=∠=∠=︒，AD AB =，BAE DAF ∠=∠，()ABE ADF ASA ∴∆≅∆，AE AF ∴=；(2)解：如图1，在AD 上截取DG DF =，四边形ABCD 是菱形，60ADF ABC ∴∠=∠=︒，6AD AB ==，DGF ∴∆是正三角形，60DFG ∴∠=︒，GF DF DG x ===，120AGF ABE ∴∠=∠=︒，4AG x =-，BAE DAF ∠=∠，ABE AGF ∴∆∆∽， ∴AF AG AE AB=， 4(04)4x y x -∴=<<； (3)如图2，当AE AC =时，作AH CE ⊥于H ，以F 为圆心，DF 为半径画弧交AD 于G ，作FN AD ⊥于N ，11(42)322CH CE ∴==⨯+=，90FND AHB ∠=∠=︒，D FGD ∠=∠，2DG DN =，431BH BC CH ∴=-=-=，四边形ABCD 是菱形，D ABC ∴∠=∠，ABH FND ∴∆∆∽，AGF ABE ∠=∠， ∴14DN BH DF AB ==， ∴12DG GF =∵， BAE DAF ∠=∠，ABE AGF ∴∆∆∽， ∴AG GF AB BE =， ∴442DG GF -=∵， 由∵∵得，85GF =， 85DF ∴=， 如图3，当6AC CE ==时，作AH CE ⊥于H ，以F 为圆心，DF 为半径画弧交AD 于G ，作FN AD ⊥于N ，作BM AC ⊥于M ，132CM AC ∴==，BM ∴ 由1122ABC S AC BM BC AH ∆=⋅=⋅得，4AH=⋅，AH∴12BH∴，由第一种情形知：ABH FGN∆∆∽，ABE AFF∆∆∽，∴18GN BHFG AB==，12AG ABGF BE==，∴14DGGF=∵，412DGGF+=∵，由∵∵得，167GF=，167DF∴=，AB BE AE+>，BC BE AE∴+>，即CE AE>，综上所述：85DF=或167．【点睛】本题考查了菱形性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，面积法等知识，解题的关键是作辅助线，构造相似三角形．。
沪科版九年级上册数学期末考试试卷含答案解析
沪科版九年级上册数学期末考试试题一、选择题。
（每小题只有一个正确答案）1．若|m|＝5，|n|＝7，m+n ＜0，则m ﹣n 的值是()A ．﹣12或﹣2B ．﹣2或12C ．12或2D ．2或﹣122．若反比例函数y ＝k x 的图象经过点（3，1），则它的图象也一定经过的点是（）A ．（﹣3，1）B ．（3，﹣1）C ．（1，﹣3）D ．（﹣1，﹣3）3．若△ABC ～△A ′B 'C ′，相似比为1：2，则△ABC 与△A 'B ′C '的周长的比为（）A ．2：1B ．1：2C ．4：1D ．1：44．如图，已知AB ∥CD ∥EF ，它们依次交直线l 1、l 2于点A 、D 、F 和点B 、C 、E ，如果AD ：DF ＝3：1，BE ＝10，那么CE 等于()A ．103B ．203C ．52D ．1525．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=900，CD ⊥AB 于点D ，BC=3，AC=4，tan ∠BCD 的值为（）A ．34B ．43C ．45D ．546．如图，一艘快艇从O 港出发，向东北方向行驶到A 处，然后向西行驶到B 处，再向东南方向行驶，共经过1小时到O 港，已知快艇的速度是60km/h ，则A ，B 之间的距离是（）A ．60302-B ．60260-C ．120602-D ．1202120-二、填空题7．若233a b c ==，且-3a b c +=，则c =______.8．2sin30°+tan60°×tan30°＝_____．9．抛物线y ＝x 2﹣2x +1与x 轴交点的交点坐标为______．10．已知a +b ＝0目a ≠0，则20202019a b a+＝_____．11．抛物线y ＝x 2﹣4x +3与x 轴交于A 、B ，与y 轴交于C ，则△ABC 的面积＝__．12．铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y ＝﹣112x 2+23x+53，铅球推出后最大高度是_____m ，铅球落地时的水平距离是______m.13．二次函数22y x x c =-+图象与x 轴交于点(2,0)A -，则与图象x 轴的另一个交点B 的坐标为__．14．如图，现有测试距离为5m 的一张视力表，表上一个E 的高AB 为2cm ，要制作测试距离为3m 的视力表，其对应位置的E 的高CD 为____cm ．15．如图所示，四边形ABCD 中，∠B ＝90°，AB ＝2，CD ＝8，AC ⊥CD ，若sin ∠ACB ＝13，则cos ∠ADC ＝______．16．如图，在ABC ∆中，1sin 3B =，tan 2C =，3AB =，则AC 的长为_____．17．五角星是我们生活中常见的一种图形，如图五角星中，点C ，D 分别为线段AB 的右侧AB ＝2，则图中五边形CDEFG 的周长为________．18．如图，在一笔直的海岸线l上有A，B两个观测站，AB＝2km，从A测得灯塔P在北偏东60°的方向，从B测得灯塔P在北偏东45°的方向，则灯塔P到海岸线l的距离为_____km．三、解答题19．（1）计算：计算：6cos45°+（13）﹣1+ 1.73）0+|5﹣|+42017×（﹣0.25）2017；（2）先化简，再求值：2214221a aa a a--⋅+-+÷211a-，其中a满足20a a-=.20．已知二次函数y=x2+4x+k-1.（1）若抛物线与x轴有两个不同的交点，求k的取值范围；（2）若抛物线的顶点在x轴上，求k的值.21．一位同学想利用树影测量树高，他在某一时间测得长为1m的竹竿影长0.8m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不完全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2m，又测得地面部分的影长为5m，测算一下这棵树的高时多少？22．已知，在平行四边形OABC中，OA＝5，AB＝4，∠OCA＝90°，动点P从O点出发沿射线OA方向以每秒2个单位的速度移动，同时动点Q从A点出发沿射线AB方向以每秒1个单位的速度移动．设移动的时间为t秒．（1）求直线AC的解析式；（2）试求出当t为何值时，△OAC与△PAQ相似．23．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x﹣2与反比例函数y＝kx（k为常数，k≠0）的图象在第一象限内交于点A，点A的横坐标为4．（1）求反比例函数的表达式；（2）设直线y＝x﹣2与y轴交于点C，过点A作AE⊥x轴于点E，连接OA，CE．求四边形OCEA的面积．24．某品牌手机去年每台的售价y（元）与月份x之间满足函数关系：y＝﹣50x+2600，去年的月销量p（万台）与月份x之间成一次函数关系，其中1﹣6月份的销售情况如下表：月份（x）1月2月3月4月5月6月销售量（p） 3.9万台4.0万台4.1万台 4.2万台 4.3万台 4.4万台（1）求p关于x的函数关系式；（2）求该品牌手机在去年哪个月的销售金额最大？最大是多少万元？（3）今年1月份该品牌手机的售价比去年12月份下降了m%，而销售量也比去年12月份下降了1.5m%．今年2月份，经销商决定对该手机以1月份价格的“八折”销售，这样2月份的销售量比今年1月份增加了1.5万台．若今年2月份这种品牌手机的销售额为6400万元，求m的值．25．如图，▱ABCD中，连接AC，AB⊥AC，tan B＝43，E、F分别是BC，AD上的点，且CE＝AF，连接EF交AC与点G．（1）求证：G为AC中点；（2）若EF⊥BC，延长EF交BA的延长线于H，若FH＝4，求AG的长．参考答案1．C【解析】根据题意，利用绝对值的意义求出m与n的值，再代入所求式子计算即可.【详解】解：∵|m|＝5，|n|＝7，且m+n＜0，∴m＝5，n＝﹣7；m＝﹣5，n＝﹣7，可得m﹣n＝12或2，则m ﹣n 的值是12或2.故选：C.【点睛】本题考查了绝对值的意义，掌握绝对值的意义求值是关键.2．D【分析】由反比例函数y=k x的图象经过点（3，1），可求反比例函数解析式，把点代入解析式即可求解．【详解】∵反比例函数y ＝k x 的图象经过点（3，1），∴y ＝3x ，把点一一代入，发现只有（﹣1，﹣3）符合．故选D ．【点睛】本题运用了待定系数法求反比例函数解析式的知识点，然后判断点是否在反比例函数的图象上．3．B【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比即可得出结论．【详解】解：∵ABC ∽A B C '''V ，相似比为1：2，∴ABC 与A B C '''V 的周长的比为1：2．故选：B ．【点睛】此题考查的是相似三角形的性质,掌握相似三角形的周长比等于相似比是解决此题的关键．4．C【分析】根据平行线分线段成比例定理得到3AD BC DF CE==，得到BC=3CE ，然后利用BC+CE=BE=10可计算出CE 的长，即可．【详解】解：∵AB ∥CD ∥EF ，∴3AD BC DF CE==，∴BC=3CE ，∵BC+CE=BE ，∴3CE+CE=10，∴CE=52．故选C ．【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.5．A【分析】根据余角的性质，可得∠BCD=∠A ，根据等角的正切相等，可得答案．【详解】由∠ACB=90°，CD ⊥AB 于D ，得∠BCD=∠Atan ∠BCD=tan ∠A=34BC AC =，故选A ．【点睛】此题考查锐角三角函数的定义，利用余角的性质得出∠BCD=∠A 是解题关键．6．B【分析】根据∠AOD ＝45°，∠BOD ＝45°，AB ∥x 轴，△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝OB ，利用三角函数解答即可．【详解】∵∠AOD ＝45°，∠BOD ＝45°，∴∠AOD ＝90°，∵AB ∥x 轴，∴∠BAO ＝∠AOC ＝45°，∠ABO ＝∠BOD ＝45°，∴△AOB 为等腰直角三角形，OA ＝OB ，∵OB+OA+AB ＝60km ，∵OB ＝OA ＝2AB ，∴AB ＝60，故选：B ．【点睛】本题考查了等腰直角三角形，解决本题的关键是熟悉等腰直角三角形的性质．7．12【分析】设234a b c k ===，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，由-3a b c +=求出k 值，即可求出c 的值.【详解】解：设234a b c k ===，则a=2k ，b=3k ，c=4k ，∵a+b-c ＝3，∴2k+3k-4k=3，∴k=3，∴c=4k=12.故答案为12.【点睛】此题主要考查了比例的性质，利用等比性质是解题关键．8．2【分析】特殊值：sin 30°=12，ta n 60°=ta n 30°=3,本题是特殊角，将特殊角的三角函数值代入求解．【详解】解：2sin30°+ta n60°×ta n30°=2×12=1+1=2【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．9．（1，0）【分析】通过解方程x 2-2x+1=0得抛物线与x 轴交点的交点坐标．【详解】解：当y ＝0时，x 2﹣2x +1＝0，解得x 1＝x 2＝1，所以抛物线与x 轴交点的交点坐标为（1，0）．故答案为：（1，0）．【点睛】本题考查抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y=ax 2+bx+c （a ，b ，c 是常数，a≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．10．1【分析】先将分式变形，然后将0a b +=代入即可．【详解】解：20202019a b a +20192019a b b b ++=020192019b b +=20192019bb=1=，故答案为1【点睛】本题考查了分式，熟练将式子进行变形是解题的关键．11．3【分析】先根据题意求出AB 的长。
沪教版2021年数学九年级上册期末试题及答案
沪教版2021年数学九年级上册期末试题及答案一、选择题1．如图，AB 为圆O 直径，C 、D 是圆上两点，∠ADC=110°，则∠OCB 度（ ）A ．40B ．50C ．60D ．702．一元二次方程x 2＝－3x 的解是（ ）A ．x ＝0B ．x ＝3C ．x 1＝0，x 2＝3D ．x 1＝0，x 2＝－33．甲、乙两人参加社会实践活动，随机选择“打扫社区卫生”和“参加社会调查”其中一项，那么两人同时选择“参加社会调查”的概率为（ ） A ．34B ．14C ．13D ．124．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC =8，∠B =∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．45．若25x y =，则x y y+的值为（ ） A ．25B ．72C ．57D ．756．电影《我和我的祖国》讲述了普通人与国家之间息息相关的动人故事．一上映就获得全国人民的追捧，第一天票房约3亿元，以后每天票房按相同的增长率增长，三天后累计票房收入达10亿元，若把平均每天票房的增长率记作x ，则可以列方程为（ ） A ．3(1)10x += B ．23(1)10x +=C ．233(1)10x ++=D ．233(1)3(1)10x x ++++=7．已知点O 是△ABC 的外心，作正方形OCDE ，下列说法：①点O 是△AEB 的外心；②点O 是△ADC 的外心；③点O 是△BCE 的外心；④点O 是△ADB 的外心.其中一定不成立的说法是（ ）A ．②④B ．①③C ．②③④D ．①③④8．如图，已知等边△ABC 的边长为4，以AB 为直径的圆交BC 于点F ，CF 为半径作圆，D 是⊙C 上一动点，E 是BD 的中点，当AE 最大时，BD 的长为（ ）A ．23B ．25C ．4D ．69．如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D 是BC 的中点，将△ABD 沿AD 翻折得到△AED ，连CE ，则线段CE 的长等于（ ）A ．2B ．54C ．53D ．7510．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像如图所示，则下列结论正确的个数有（ ） ①c ＞0；②b 2－4ac ＜0；③ a －b ＋c ＞0；④当x ＞－1时，y 随x 的增大而减小．A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．设()12,A y -，()21,B y ，()32,C y 是抛物线2(1)y x k =-++上的三点，则1y ，2y ，3y 的大小关系为（ ）A ．123y y y >>B ．132y y y >>C ．231y y y >>D ．312y y y >>12．如图，∠1＝∠2，要使△ABC ∽△ADE ，只需要添加一个条件即可，这个条件不可能是（ ）A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C．AD ABAE AC=D．AC BCAE DE=13．二次函数y=ax2+bx+c的y与x的部分对应值如下表：x…0134…y…242﹣2…则下列判断中正确的是（）A．抛物线开口向上B．抛物线与y轴交于负半轴C．当x=﹣1时y＞0 D．方程ax2+bx+c=0的负根在0与﹣1之间14．如图，AB，AM，BN 分别是⊙O 的切线，切点分别为 P，M，N．若 MN∥AB，∠A＝60°，AB＝6，则⊙O 的半径是（）A．32B．3 C．323D．315．如图，在正方形 ABCD 中，E是BC的中点，F是CD上一点，AE⊥EF．有下列结论：①∠BAE＝30°；②射线FE是∠AFC的角平分线；③CF＝13 CD；④AF＝AB＋CF．其中正确结论的个数为（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个二、填空题16．将边长分别为2cm，3cm，4cm的三个正方形按如图所示的方式排列，则图中阴影部分的面积为______2cm .17．若一个圆锥的主视图是腰长为5，底边长为6的等腰三角形，则该圆锥的侧面积是____________．18．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，AB 是⊙O 的直径，过点C 作⊙O 的切线交AB 的延长线于点P ，若∠P ＝40°，则∠ADC ＝____°．19．在△ABC 中，∠C=90°，若AC=6，BC=8，则△ABC 外接圆半径为________；20．已知关于x 的一元二次方程x 2+mx+n=0的两个实数根分别为x 1=-1，x 2=2 ，则二次函数y=x 2+mx+n 中，当y ＜0时，x 的取值范围是________；21．如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知不等式20ax bx c ++>的解集是_______.22．如图，在ABCD 中，13BE DF BC ==，若1BEG S ∆=，则ABF S ∆=__________．23．如图，圆锥的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ，则该圆锥的侧面积是_____cm 2．24．已知关于x 的一元二次方程2230x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________．25．如图，点O 是△ABC 的内切圆的圆心，若∠A ＝100°，则∠BOC 为_____．26．如图，抛物线2143115y x x =--与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，⊙B 的圆心为B ，半径是1，点P 是直线AC 上的动点，过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，则切线长PQ 的最小值是__．27．如图，45AOB ∠=，点P 、Q 都在射线OA 上，2OP =，6OQ =，M 是射线OB 上的一个动点，过P 、Q 、M 三点作圆，当该圆与OB 相切时，其半径的长为__________．28．当21x -≤≤时，二次函数22()1y x m m =--++有最大值4，则实数m 的值为________．29．在一块边长为30 cm 的正方形飞镖游戏板上，有一个半径为10 cm 的圆形阴影区域，则飞镖落在阴影区域内的概率为__________．30．有4根细木棒，它们的长度分别是2cm 、4cm 、6cm 、8cm ．从中任取3根恰好能搭成一个三角形的概率是_____．三、解答题31．已知二次函数y ＝x 2－2mx ＋m 2＋m －1（m 为常数）． （1）求证：不论m 为何值，该二次函数的图像与x 轴总有两个公共点；（2）将该二次函数的图像向下平移k （k ＞0）个单位长度，使得平移后的图像经过点（0，－2），则k 的取值范围是 ．32．现代城市绿化带在不断扩大，绿化用水的节约是一个非常重要的问题．如图1、图2所示，某喷灌设备由一根高度为0.64m的水管和一个旋转喷头组成，水管竖直安装在绿化带地面上，旋转喷头安装在水管顶部（水管顶部和旋转喷头口之间的长度、水管在喷灌区域上的占地面积均忽略不计），旋转喷头可以向周围喷出多种抛物线形水柱，从而在绿化带上喷灌出一块圆形区域．现测得喷的最远的水柱在距离水管的水平距离3m处达到最高，高度为1m．（1）求喷灌出的圆形区域的半径；（2）在边长为16m的正方形绿化带上固定安装三个该设备，喷灌区域可以完全覆盖该绿化带吗？如果可以，请说明理由；如果不可以，假设水管可以上下调整高度，求水管高度为多少时，喷灌区域恰好可以完全覆盖该绿化带．（以上需要画出示意图，并有必要的计算、推理过程）33．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋2 的图象与x 轴交于A（﹣3，0），B （1，0）两点，与y 轴交于点C．（1）求这个二次函数的关系解析式，x 满足什么值时y﹤0 ?（2）点p 是直线AC 上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP 面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由（3）点M 为抛物线上一动点，在x 轴上是否存在点Q，使以A、C、M、Q 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q 的坐标；若不存在，说明理由．34．某射击队教练为了了解队员训练情况，从队员中选取甲、乙两名队员进行射击测试，相同条件下各射靶5次，成绩统计如下：命中环数678910甲命中相应环数的次数01310乙命中相应环数的次数20021（1）根据上述信息可知：甲命中环数的中位数是_____环，乙命中环数的众数是______环；（2）试通过计算说明甲、乙两人的成绩谁比较稳定？（3）如果乙再射击1次，命中8环，那么乙射击成绩的方差会变小．（填“变大”、“变小”或“不变”）35．解方程：3x 2﹣4x +1＝0．（用配方法解）四、压轴题36．如图, AB 是⊙O 的直径,点D 、E 在⊙O 上,连接AE 、ED 、DA ,连接BD 并延长至点C ,使得DAC AED ∠=∠．（1）求证: AC 是⊙O 的切线；（2）若点E 是BC 的中点, AE 与BC 交于点F ， ①求证: CA CF =；②若⊙O 的半径为3，BF =2,求AC 的长．37．如图，在正方形ABCD 中，P 是边BC 上的一动点（不与点B ，C 重合），点B 关于直线AP 的对称点为E ，连接AE ，连接DE 并延长交射线AP 于点F ，连接BF（1）若BAP α∠=，直接写出ADF ∠的大小（用含α的式子表示）. （2）求证：BF DF ⊥.（3）连接CF ，用等式表示线段AF ，BF ，CF 之间的数量关系，并证明.38．抛物线G ：2y ax c =+与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C （0，-1），且AB =4OC ．（1）直接写出抛物线G 的解析式： ；（2）如图1，点D （-1，m ）在抛物线G 上，点P 是抛物线G 上一个动点，且在直线OD 的下方，过点P 作x 轴的平行线交直线OD 于点Q ，当线段PQ 取最大值时，求点P 的坐标；（3）如图2，点M 在y 轴左侧的抛物线G 上，将点M 先向右平移4个单位后再向下平移，使得到的对应点N也落在y轴左侧的抛物线G上，若S△CMN=2，求点M的坐标．39．如图，抛物线y＝﹣(x+1)(x﹣3)与x轴分别交于点A、B(点A在B的右侧)，与y轴交于点C，⊙P是△ABC的外接圆．(1)直接写出点A、B、C的坐标及抛物线的对称轴；(2)求⊙P的半径；(3)点D在抛物线的对称轴上，且∠BDC＞90°，求点D纵坐标的取值范围；(4)E是线段CO上的一个动点，将线段AE绕点A逆时针旋转45°得线段AF，求线段OF的最小值．40．如图，在边长为5的菱形OABC中，sin∠AOC＝45，O为坐标原点，A点在x轴的正半轴上，B，C两点都在第一象限．点P以每秒1个单位的速度沿O→A→B→C→O运动一周，设运动时间为t（秒）．请解答下列问题：（1）当CP⊥OA时，求t的值；（2）当t＜10时，求点P的坐标（结果用含t的代数式表示）；（3）以点P为圆心，以OP为半径画圆，当⊙P与菱形OABC的一边所在直线相切时，请直接写出t的值．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【解析】【分析】根据角的度数推出弧的度数,再利用外角∠AOC的性质即可解题.【详解】解：∵ ADC=110°,即优弧ABC的度数是220°,∴劣弧ADC的度数是140°,∴∠AOC=140°,∵OC=OB,∴∠OCB=12∠AOC=70°,故选D.【点睛】本题考查圆周角定理、外角的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．2．D解析：D【解析】【分析】先移项，然后利用因式分解法求解．【详解】解：（1）x2=-3x，x2+3x=0，x（x+3）=0，解得：x1=0，x2=-3．故选：D．【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．3．B解析：B【解析】试题解析：可能出现的结果的结果有1种， 则所求概率1.4P = 故选B.点睛：求概率可以用列表法或者画树状图的方法.4．B解析：B 【解析】 【分析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BCDC AC=,可求出AC 的长．【详解】解：由题意得：∠B =∠DAC ，∠ACB =∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BCDC AC=，又AD 是中线，BC =8，得DC=4,代入可得AC=, 故选B. 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．5．D解析：D 【解析】 【分析】由已知可得x 与y 的关系，然后代入所求式子计算即可. 【详解】 解：∵25x y =， ∴25x y =， ∴2755y yx y y y ++==.故选：D. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，熟练掌握比例的性质是解题关键.6．D解析：D【分析】根据题意分别用含x 式子表示第二天，第三天的票房数，将三天的票房相加得到票房总收入，即可得出答案．【详解】解：设增长率为x ，由题意可得出，第二天的票房为3(1+x)，第三天的票房为3(1+x)2， 根据题意可列方程为233(1)3(1)10x x ++++=．故选：D ．【点睛】本题考查的知识点是由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是读懂题意，找出等量关系式． 7．A解析：A【解析】【分析】根据三角形的外心得出OA=OC=OB ，根据正方形的性质得出OA=OC ＜OD ，求出OA=O B=OC=OE≠OD ，再逐个判断即可．【详解】解：如图，连接OB 、OD 、OA ，∵O 为锐角三角形ABC 的外心，∴OA ＝OC ＝OB ，∵四边形OCDE 为正方形，∴OA ＝OC ＜OD ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OE ≠OD ，∴OA ＝OC ≠OD ，即O 不是△ADC 的外心，OA ＝OE ＝OB ，即O 是△AEB 的外心，OB ＝OC ＝OE ，即O 是△BCE 的外心，OB ＝OA ≠OD ，即O 不是△ABD 的外心，故选：A ．【点睛】本题考查了正方形的性质和三角形的外心.熟记三角形的外心到三个顶点的距离相等是解决此题的关键.8．B解析：B【解析】点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，根据等腰三角形的性质和圆周角定理证得F是BC的中点，从而得到EF为△BCD的中位线，根据平行线的性质证得CD⊥BC，根据勾股定理即可求得结论．【详解】解：点D在⊙C上运动时，点E在以F为圆心的圆上运到，要使AE最大，则AE过F，连接CD，∵△ABC是等边三角形，AB是直径，∴EF⊥BC，∴F是BC的中点，∵E为BD的中点，∴EF为△BCD的中位线，∴CD∥EF，∴CD⊥BC，BC=4，CD=2，故BD= 2216425+=+=，BC CD故选：B．【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，圆周角定理，三角形中位线的性质以及勾股定理，熟练并正确的作出辅助圆是解题的关键．9．D解析：D【解析】【分析】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．首先证明AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，求出BC、BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理即可解决问题．【详解】如图连接BE交AD于O，作AH⊥BC于H．在Rt△ABC中，∵AC=4，AB=3，∴，∵CD=DB，∴AD=DC=DB=52，∵12•BC•AH=12•AB•AC，∴AH=125，∵AE=AB，DE=DB=DC，∴AD垂直平分线段BE，△BCE是直角三角形，∵12•AD•BO=12•BD•AH，∴OB=125，∴BE=2OB=245，在Rt△BCE中，75 ==.故选D．点睛：本题考查翻折变换、直角三角形的斜边中线的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用面积法求高，属于中考常考题型．10．C解析：C【解析】【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据抛物线与x轴交点及x=-1时二次函数的值的情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：由图象可知，a＜0，c＞0，故①正确；抛物线与x轴有两个交点，则b²-4ac>0,故②错误;∵当x=-1时，y>0,即a-b+c>0，故③正确;由图象可知，图象开口向下，对称轴x＞-1，在对称轴右侧， y随x的增大而减小，而在对称轴左侧和-1之间，是y随x的增大而减小，故④错误．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b 2-4ac ＞0时，抛物线与x 轴有2个交点；△=b 2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b 2-4ac ＜0时，抛物线与x 轴没有交点．11．A解析：A【解析】【分析】根据二次函数的性质得到抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，然后根据三个点离对称轴的远近判断函数值的大小．【详解】解：∵抛物线y =－（x +1）2+k （k 为常数）的开口向下，对称轴为直线x =﹣1，而A （2，y 1）离直线x =﹣1的距离最远，C （﹣2，y 3）点离直线x =1最近，∴123y y y >>． 故选A ．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．12．D解析：D【解析】【分析】先求出∠DAE ＝∠BAC ，再根据相似三角形的判定方法分析判断即可．【详解】∵∠1＝∠2，∴∠1+∠BAE ＝∠2+∠BAE ，∴∠DAE ＝∠BAC ，A 、添加∠B ＝∠D 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC ∽△ADE ，故此选项不合题意；B 、添加∠C ＝∠E 可利用两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似可得△ABC ∽△ADE ，故此选项不合题意；C 、添加AD AB AE AC=可利用两边及其夹角法：两组边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，故此选项不合题意； D 、添加AC BC AE DE =不能证明△ABC ∽△ADE ，故此选项符合题意； 故选：D ．【点睛】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是掌握相似三角形判定方法：两角法、两边及其夹角法、三边法、平行线法．13．D解析：D【解析】【分析】根据表中的对应值，求出二次函数2y ax bx c =++的表达式即可求解．【详解】解：选取02（，），14（，），32（，）三点分别代入2y ax bx c =++得 24932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得：132a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩∴二次函数表达式为232y x x =-++∵1a =-，抛物线开口向下；∴选项A 错误；∵2c =函数图象与y 的正半轴相交；∴选项B 错误；当x=－1时，2(1)3(1)220y =--+⨯-+=-<；∴选项C 错误；令0y =，得2320x x -++=，解得：1x =，2x =∵10-，方程20ax bx c ++=的负根在0与－1之间； 故选：D ．【点睛】本题考查二次函数图象与性质，掌握性质，利用数形结合思想解题是关键．14．D解析：D【解析】【分析】根据题意可判断四边形ABNM 为梯形，再由切线的性质可推出∠ABN=60°，从而判定△APO ≌△BPO ，可得AP=BP=3，在直角△APO 中，利用三角函数可解出半径的值.【详解】解：连接OP ，OM ，OA ，OB ，ON∵AB ，AM ，BN 分别和⊙O 相切，∴∠AMO=90°，∠APO=90°，∵MN ∥AB ，∠A ＝60°，∴∠AMN=120°，∠OAB=30°，∴∠OMN=∠ONM=30°，∵∠BNO=90°，∴∠ABN=60°，∴∠ABO=30°，在△APO和△BPO中，OAP OBPAPO BPOOP OP∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，△APO≌△BPO（AAS），∴AP=12AB=3，∴tan∠OAP=tan30°=OPAP=3，∴OP=3，即半径为3.故选D.【点睛】本题考查了切线的性质，切线长定理，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，关键是说明点P是AB中点，难度不大.15．B解析：B【解析】【分析】根据点E为BC中点和正方形的性质，得出∠BAE的正切值，从而判断①，再证明△ABE∽△ECF，利用有两边对应成比例且夹角相等三角形相似即可证得△ABE∽△AEF，可判断②③，过点E作AF的垂线于点G，再证明△ABE≌△AGE，△ECF≌△EGF，即可证明④.【详解】解：∵E是BC的中点，∴tan∠BAE=1=2BEAB，∴∠BAE≠30°，故①错误；∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，AB=BC=CD，∵AE⊥EF，∴∠AEF=∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠AEB+FEC=90°，∴∠BAE=∠CEF ，在△BAE 和△CEF 中，==B C BAE CEF ∠∠⎧⎨∠∠⎩， ∴△BAE ∽△CEF ， ∴==2AB BE EC CF， ∴BE=CE=2CF ， ∵BE=CF=12BC=12CD ， 即2CF=12CD ， ∴CF=14CD ， 故③错误；设CF=a ，则BE=CE=2a ，AB=CD=AD=4a ，DF=3a ，∴AE=，，AF=5a ，∴AE AFBE EF ， ∴=AE BE AF EF， 又∵∠B=∠AEF ，∴△ABE ∽△AEF ，∴∠AEB=∠AFE ，∠BAE=∠EAG ，又∵∠AEB=∠EFC ，∴∠AFE=∠EFC ，∴射线FE 是∠AFC 的角平分线，故②正确；过点E 作AF 的垂线于点G ，在△ABE 和△AGE 中，===BAE GAE B AGE AE AE ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩，∴△ABE ≌△AGE （AAS ），∴AG=AB ，GE=BE=CE ，在Rt △EFG 和Rt △EFC 中，==GE CE EF EF ⎧⎨⎩， Rt △EFG ≌Rt △EFC （HL ），∴GF=CF ，∴AB+CF=AG+GF=AF ，故④正确. 故选B.【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质和全等三角形的判定和性质，以及正方形的性质．题目综合性较强，注意数形结合思想的应用．二、填空题16．【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如解析：133【解析】【分析】首先对图中各点进行标注，阴影部分的面积等于正方形BEFL 的面积减去梯形BENK 的面积，再利用相似三角形的性质求出BK 、EN 的长从而求出梯形的面积即可得出答案.【详解】解：如图所示，∵四边形MEGH为正方形，∴NE GH∴△AEN~△AHG∴NE:GH=AE:AG∵AE=2+3=5，AG=2+3+4=9,GH=4∴NE:4=5:9∴NE=20 9同理可求BK=8 9梯形BENK的面积：1208143 2993⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭∴阴影部分的面积：1413 3333⨯-=故答案为：13 3.【点睛】本题主要考查的知识点是图形面积的计算以及相似三角形判定及其性质，根据相似的性质求出相应的边长是解答本题的关键.17．15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解析：15π．【解析】【分析】根据圆锥的主视图得到圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，然后根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．【详解】解：根据题意得圆锥的底面圆的半径为3，母线长为5，所以这个圆锥的侧面积=12×5×2π×3=15π．【点睛】本题考查圆锥侧面积的计算，掌握公式，准确计算是本题的解题关键.18．115°【解析】【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连解析：115°【解析】【分析】根据过C点的切线与AB的延长线交于P点，∠P=40°，可以求得∠OCP和∠OBC的度数，又根据圆内接四边形对角互补，可以求得∠D的度数，本题得以解决．【详解】解：连接OC，如右图所示，由题意可得，∠OCP=90°，∠P=40°，∴∠COB=50°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC=65°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠D+∠ABC=180°，∴∠D=115°，故答案为：115°．【点睛】本题考查切线的性质、圆内接四边形，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．19．5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的解析：5【解析】【分析】先确定外接圆的半径是AB，圆心在AB的中点，再计算AB的长，由此求出外接圆的半径为5.【详解】∵在△ABC中，∠C=90°，∴△ABC外接圆直径为斜边AB、圆心是AB的中点，∵∠C=90°，AC=6，BC=8，∴22226810AB AC BC，∴△ABC外接圆半径为5.故答案为：5.【点睛】此题考查勾股定理的运用、三角形外接圆的确定.根据圆周角定理，直角三角形的直角所对的边为直径，即可确定圆的位置及大小.20．-1＜x＜2【解析】【分析】根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围. 【详解】由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0），解析：-1＜x＜2【解析】【分析】根据方程的解确定抛物线与x轴的交点坐标，即可确定y＜0时，x的取值范围.【详解】由题意得：二次函数y=x2+mx+n与x轴的交点坐标为（-1，0），（2，0）， ，开口向上，∵a=10∴y＜0时，x的取值范围是-1＜x＜2.【点睛】此题考查二次函数与一元二次方程的关系，函数图象与x轴的交点横坐标即为一元二次方程的解，掌握两者的关系是解此题的关键.21．【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x解析：15x -<<【解析】【分析】求方程的解即是求函数图象与x 轴的交点坐标，因为图像具有对称性，知道一个坐标，就可求出另一个,分析x 轴上方的图象可得结果.【详解】由图像可知，二次函数的对称轴x=2，图像与x 轴的一个交点为5，所以，另一交点为2-3=-1. ∴x 1=-1,x 2=5. ∴不等式20ax bx c ++>的解集是15x -<<.故答案为15x -<<【点睛】要了解二次函数性质与图像，由于图像的开口向下，所以，有两个交点，知一易求另一个，本题属于基础题.22．6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得，根据相似三角形的性质可求得，进而可得答案.【详解】解：∵四解析：6【解析】【分析】先根据平行四边形的性质证得△BEG ∽△FAG ，从而可得相似比，然后根据同高的两个三角形的面积等于底边之比可求得ABG S ∆，根据相似三角形的性质可求得AFG S ∆，进而可得答案.【详解】解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD=BC ，AD ∥BC ，∴△BEG ∽△FAG ， ∵13BE DF BC ==，∴12EG BE AG AF ==， ∴211,24BEG BEG ABG AFG S S EG BE S AG S AF ∆∆∆∆⎛⎫==== ⎪⎝⎭， ∵1BEG S ∆=，∴2ABG S ∆=，4AFG S ∆=，∴6ABF ABG AFG S S S ∆∆∆=+=.故答案为：6.【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及三角形的面积等知识，属于常考题型，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的判定与性质是解答的关键. 23．60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC ＝＝10（cm ），∴圆锥的侧面积是：（解析：60π【解析】【分析】先利用勾股定理求出BC 的长度，然后利用扇形的面积公式求解即可．【详解】解：∵它的底面半径OB ＝6cm ，高OC ＝8cm ．∴BC=＝10（cm ）， ∴圆锥的侧面积是：12610602r l rl ππππ⋅⋅==⋅⨯=（cm 2）． 故答案为：60π．【点睛】本题主要考查勾股定理及扇形的面积公式，掌握勾股定理及扇形的面积公式是解题的关键． 24．【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k 的不等式，求出k 的取值范围.，，方程有两个不相等的实数解析：3k<【解析】【分析】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围．【详解】根据一元二次方程的根的判别式，建立关于k的不等式，求出k的取值范围.1a，b=-，c k=方程有两个不相等的实数根，241240b ac k∴∆=-=->，3k∴<.故答案为：3k<．【点睛】本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．25．140°．【解析】【分析】根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数，进而可求出∠BOC的度数.【详解】∵点O是△ABC解析：140°．【解析】【分析】根据内心的定义可知OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，根据三角形内角和定理可求出∠OBC+∠OCB的度数，进而可求出∠BOC的度数.【详解】∵点O是△ABC的内切圆的圆心，∴OB、OC为∠ABC和∠ACB的角平分线，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∵∠A=100°，∴∠ABC+∠ACB=180°-100°=80°，∴∠OBC+∠OCB=12（∠ABC+∠ACB ）=40°， ∴∠BOC=180°-40°=140°.故答案为：140°【点睛】 本题考查了三角形内心的定义及三角形内角和定理，熟练掌握三角形内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点是解题关键.26．【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令中y=0，得x1=【解析】【分析】先根据解析式求出点A 、B 、C 的坐标，求出直线AC 的解析式，设点P 的坐标，根据过点P 作⊙B 的切线，切点是Q 得到PQ 的函数关系式，求出最小值即可.【详解】令21115y x =-中y=0，得x 1x 2∴直线AC的解析式为1y =-， 设P （x ，313x ）， ∵过点P 作⊙B 的切线，切点是Q ，BQ=1∴PQ 2=PB 2-BQ 2，2+（313x ）2-1， =24283753x x ， ∵43a =0<， ∴PQ 2有最小值24283475()3326443，∴PQ 的最小值是26，故答案为：26，【点睛】 此题考查二次函数最小值的实际应用，求动线段的最小值，需构建关于此线段的函数解析式，利用二次函数顶点坐标公式求最值，此题找到线段PQ 、BQ 、PB 之间的关系式是解题的关键.27．【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再解析：4223-【解析】【分析】圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D ，根据等腰直角三角形的性质和垂径定理，即可求出ON 、ND 、PN ，设圆C 的半径为r ，再根据等腰直角三角形的性质即可用r 表示出CD 、NC ，最后根据勾股定理列方程即可求出r ．【详解】解：如图所示，圆C 过点P 、Q ，且与OB 相切于点M ，连接CM ，CP ，过点C 作CN ⊥PQ 于N 并反向延长，交OB 于D∵2OP =，6OQ =，∴PQ=OQ －OP=4根据垂径定理，PN=122PQ = ∴ON=PN ＋OP=4在Rt △OND 中，∠O=45°∴ON=ND=4，∠NDO=∠O=45°，242ON =设圆C 的半径为r ，即CM=CP=r∵圆C 与OB 相切于点M ，∴∠CMD=90°∴△CMD 为等腰直角三角形∴CM=DM=r ，=∴NC=ND －CD=4 根据勾股定理可得：NC 2＋PN 2=CP 2即()22242r -+=解得：12r r +==DM ＞OD ，点M 不在射线OB 上，故舍去）故答案为：．【点睛】此题考查的是等腰直角三角形的判定及性质、垂径定理、勾股定理和切线的性质，掌握垂径定理和勾股定理的结合和切线的性质是解决此题的关键．28．2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m ，且开口向下，解析：2或【解析】【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m ，再分m ＜-2，-2≤m≤1，m ＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数22()1y x m m =--++的对称轴为直线x=m ，且开口向下，①m ＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m ）2+m 2+1=4， 解得74m =-， 724->-， ∴不符合题意，②-2≤m≤1时，x=m 取得最大值，m 2+1=4，解得m =所以m =，③m ＞1时，x=1取得最大值，-（1-m ）2+m 2+1=4，解得m=2，。
2023-2024学年上海市闵行区九年级(上)期末数学试卷(一模)及答案解析
2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个钝角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么cos A的值是（）A．B．C．D．3．（4分）下列说法错误的是（）A．如果与都是单位向量，那么B．如果，那么k＝0或＝C．如果（为非零向量），那么D．如果，（为非零向量），那么与平行4．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，那么下列比例式正确的是（）A．B．C．D．5．（4分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝﹣1B．图象经过原点C．开口向上D．图象有最低点6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示﹣a﹣b的值，那么P、Q的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：10×2﹣1＝．8．（4分）已知，那么＝．9．（4分）计算：＝．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝2，BC＝2，那么AC＝．11．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，DE∥AB，AD：AC＝2：3，那么的值为．12．（4分）将抛物线y＝x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是．13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣4，如果点A（0，y1）、B（1，y2）在此抛物线上，那么y1y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）14．（4分）小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是．15．（4分）已知反比例函数，如果x1＜x2＜0，0＜y1＜y2，那么k0．（填“＞”或“＜”）16．（4分）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC＝30，BD＝20，那么AB ＝．17．（4分）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD ⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D为边BC上的点，联结AD，将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果AF ＝3FE，那么tan∠BCE的值为．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：sin30°﹣cot60°+8．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别是边DC、BC的中点，设，．（1）＝，＝；（用含有向量、的式子表示）（2）在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，并写明结论）21．（10分）如图，在坐标平面xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），与x轴交于点B．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式．22．（10分）诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员．如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是0.2米，即PQ＝MN＝0.2米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线AD经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．AB⊥DC于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离AB＝4米，光线和行驶路线的夹角∠BDA＝11.4°，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据：tan11.4°≈）（1）BD的长度是多少米？（2）相邻遮光板的距离PM是多少米？23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD•AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求证：AE•EB＝AB•FC．24．（12分）如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6）．抛物线C1：y＝﹣ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B（点P与点B不重合），抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式；（2）求抛物线C2的对称轴；（3）当a＜0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边在△ABC外部作等边三角形ACE和等边三角形BCF，且联结EF．（1）如图1，联结AF，EB，求证：△ECB≌△ACF；（2）如图2，延长AC交线段EF于点M．①当点M为线段EF中点时，求的值；②请用直尺和圆规在直线AB上方作等边三角形ABD（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M在△ABD的内部时，求的取值范围．2023-2024学年上海市闵行区九年级（上）期末数学试卷（一模）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．（4分）下列命题中，真命题是（）A．两个直角三角形一定相似B．两个等腰三角形一定相似C．两个钝角三角形一定相似D．两个等边三角形一定相似【分析】根据相似三角形的判定定理对各个选项进行分析即可．【解答】解：A，不正确，不符合三角形相似的判定方法，是假命题，不符合题意；B，不正确，没有指明相等的角或边的比例，是假命题，不符合题意；C，不正确，没有指明另一个锐角或边的比例，是假命题，不符合题意；D，正确，等边三角形的三个角均相等，能通过有两个角相等的三角形相似来判定，是真命题，符合题意．故选：D．【点评】本题考查命题和定理，三角形相似的判定，正确记忆相关内容是解题关键．2．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，AC＝2，那么cos A的值是（）A．B．C．D．【分析】根据直角三角形中余弦的定义cos A＝计算即可．【解答】解：根据题意，得cos A＝＝，故选：B．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，掌握在直角三角形中计算锐角三角函数的方法是本题的关键．3．（4分）下列说法错误的是（）A．如果与都是单位向量，那么B．如果，那么k＝0或＝C．如果（为非零向量），那么D．如果，（为非零向量），那么与平行【分析】根据平面向量的运算法则逐一判断即可．【解答】解：如果与都是单位向量，那么，故A选项正确，不符合题意；如果，那么k＝0或＝，故B选项正确，不符合题意；如果（为非零向量），那么＝，故C选项不正确，符合题意；∵，（为非零向量），∴3（）＝2，即，∴，∴与平行．故D选项正确，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握平面向量的运算法则是解答本题的关键．4．（4分）如图，已知l1∥l2∥l3，直线l1，l2，l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，那么下列比例式正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式即可判断．【解答】解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，A选项符合题意；＝，B选项不符合题意；＝，C选项不符合题意；＝，D选项不符合题意；故选：A．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．5．（4分）已知二次函数的解析式为y＝﹣x2+2x，下列关于函数图象的说法正确的是（）A．对称轴是直线x＝﹣1B．图象经过原点C．开口向上D．图象有最低点【分析】依据题意，将二次函数解析式化为顶点式求解．【解答】解：∵y＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣1）2+1，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1），函数图象有最高点（1，1），当x＝0时，y＝0，即图象过原点．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．6．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），如果实数P表示9a﹣3b+c的值，实数Q表示﹣a﹣b的值，那么P、Q 的大小关系为（）A．P＞Q B．P＝Q C．P＜Q D．无法确定【分析】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），得P＝9a ﹣3b+c＝0，对称轴为直线x＝﹣1，根据抛物线开口向下，得a＜0，b＜0，所以Q＝﹣a ﹣b＞0，即可得出答案．【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过（1，0），（﹣3，0），∴P＝9a﹣3b+c＝0，对称轴为直线x＝＝﹣1，∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，∴Q＝﹣a﹣b＞0，∴P＜Q．故选：C．【点评】本题考查了二次函数的图象和二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与系数是解题的关键．二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．（4分）计算：10×2﹣1＝．【分析】根据零指数和负整数指数幂公式可解答．【解答】解：10×2﹣1＝1×＝．故答案为：．【点评】本题考查了零指数和负整数指数幂，掌握a0＝1（a≠0），a﹣p＝（a≠0，p为正整数）是解本题的关键．8．（4分）已知，那么＝．【分析】根据比例的性质“如果＝，那么＝”计算即可．【解答】解：∵，∴＝，∴＝．故答案为：【点评】本题考查比例的性质，理解并灵活运用它是本题的关键．9．（4分）计算：＝+．【分析】根据平面向量的运算法则计算即可．【解答】解：＝＝+＝+．故答案为：+．【点评】本题考查平面向量，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．10．（4分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，如果tan B＝2，BC＝2，那么AC＝4．【分析】利用正切的定义计算即可．【解答】解：∵tan B＝＝2，∴AC＝2BC，∵BC＝2，∴AC＝4，故答案为：4．【点评】本题考查锐角三角函数的定义，熟练掌握并灵活运用各锐角三角函数的定义是解题的关键．11．（4分）如图，在△ABC中，点D在边AC上，点E在边BC上，DE∥AB，AD：AC＝2：3，那么的值为．【分析】根据平行线可推出△ADE∽△ABC，依据面积比等于相似比的平方进行解答即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∵AD：AC＝2：3，∴CD：AC＝1：3，∴＝，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定及性质，熟记面积比等于相似比的平方是解题的关键．12．（4分）将抛物线y＝x2+4x向上平移2个单位，平移后的抛物线的顶点坐标是（﹣2，﹣2）．【分析】依据题意，直接利用抛物线平移规律：上加下减，左加右减进而得出平移后的解析式，即可得出顶点坐标．【解答】解：∵将抛物线y＝x2+4x＝（x+2）2﹣4向上平移2个单位，∴平移后的抛物线的解析式为：y＝（x+2）2﹣4+2＝（x+2）2﹣2．∴平移后的抛物线的顶点坐标为：（﹣2，﹣2）．故答案为：（﹣2，﹣2）．【点评】本题主要考查了二次函数图象的平移变换，解题时要熟练掌握并能正确理解平移规律是关键．13．（4分）抛物线y＝x2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣4，如果点A（0，y1）、B（1，y2）在此抛物线上，那么y1＜y2．（填“＞”、“＝”或“＜”）【分析】依据题意，首先利用对称轴和二次项系数的符号确定增减性，然后写出答案即可．【解答】解：∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣4，a＝1＞0，∴当x＞﹣4时，y随着x的增大而增大．∵﹣4＜0＜1，∴y1＜y2．故答案为：＜．【点评】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握并能理解函数的增减性是关键．14．（4分）小明沿斜坡坡面向上前进了5米，垂直高度上升了1米，那么这个斜坡的坡比是1：2．【分析】由勾股定理求出小明行走的水平距离，由坡比的定义即可计算．【解答】解：由勾股定理得：小明行走的水平距离是＝2（米），∴这个斜坡的坡比i＝1：2．故答案为：1：2．【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角，关键是掌握斜坡的坡比的定义．15．（4分）已知反比例函数，如果x1＜x2＜0，0＜y1＜y2，那么k＜0．（填“＞”或“＜”）【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征可确定k的符号．【解答】解：∵x1＜x2＜0，0＜y1＜y2，∴点（x1，y1）和点（x2，y2）在第二象限，∴k＜0．故答案为：＜．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征和图象与k的关系，先根据题意判断出函数的图象所在的象限是解题的关键．16．（4分）“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达．喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．”如图，已知AC⊥AB，BD⊥AB，M是AB上一点，CM＝DM，在C处测得点M的俯角为60°，AC＝30，BD＝20，那么AB＝．【分析】先解Rt△AMC，求出AM和CM，再由DM＝CM，利用勾股定理求出BM即可解决问题．【解答】解：由题知，∵在点C处测得点M的俯角为60°，∴∠C＝90°﹣60°＝30°．在Rt△ACM中，cos C＝，又∵AC＝30，∴MC＝．同理可得，AM＝．又∵CM＝DM，∴DM＝．在Rt△BMD中，BM＝．∴AB＝AM+BM＝．故答案为：．【点评】本题考查解直角三角形，熟知特殊角的三角函数值及勾股定理的巧妙运用是解题的关键．17．（4分）新定义：如果等腰三角形腰上的中线与腰的比值为黄金分割数（黄金数），那么称这个等腰三角形为“精准三角形”．如图，△ABC是“精准三角形”，AB＝AC＝2，CD⊥AB，垂足为点D，那么BD的长度为．【分析】作△ABC的中线CM，由精准三角形的定义得到＝，求出CM的长，由线段中点定义得到AM＝MB＝AB＝1，令DM＝x，由勾股定理得到﹣x2＝22﹣（x+1）2，求出x＝，得到DM＝即可求出BD的长．【解答】解：作△ABC的中线CM，∵△ABC是“精准三角形”，∴＝，∵AB＝2，∴CM＝﹣1，∵M是AB中点，∴AM＝MB＝AB＝1，令DM＝x，则AD＝x+1，∵CD2＝CM2﹣MD2＝AC2﹣AD2，∴﹣x2＝22﹣（x+1）2，∴x＝，∴DM＝，∴BD＝MB﹣DM＝．故答案为：．【点评】本题考查勾股定理，黄金分割，等腰三角形的性质，关键是由精准三角形的定义求出CM的长，由勾股定理列出关于x方程．18．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，，点D为边BC上的点，联结AD，将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，边AE交边BC于点F，联结CE，如果AF＝3FE，那么tan∠BCE的值为．【分析】先过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，再根据相似三角形的性质及解直角三角形求解．【解答】解：如图所示：过A作AM⊥BC于M，过E作EN⊥BC于N，∴AM∥EN，∴△AMF∽△ENF，∴，∵，∴MC＝4x，AC＝5x，∴EN＝x，∵将△ABD沿AD翻折，点B落在平面内点E处，∴AE＝AB＝AC＝5x，∵AF＝3FE，∴AF＝×5x＝，∴FM＝＝x，∴NF＝＝x，∴NC＝NF+FM+MC＝7x，∴tan∠BCE＝＝＝，故答案为：．【点评】本题考查了翻折的性质，掌握等腰三角形的性质和解直角三角形是解题的关键．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：sin30°﹣cot60°+8．【分析】根据特殊角的三角函数值、分数指数幂和二次根式的分母有理化计算即可．【解答】解：原式＝﹣+2﹣（2+）＝﹣．【点评】本题考查分数指数幂、实数的运算和特殊角的三角函数值，牢记特殊角的三角函数值是本题的关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，点M，N分别是边DC、BC的中点，设，．（1）＝﹣+，＝﹣+；（用含有向量、的式子表示）（2）在图中画出在向量和方向上的分向量．（不要求写作法，但要保留作图痕迹，【分析】（1）利用三角形法则求解；（2）利用平行四边形法则求解．【解答】解：（1）＝+＝﹣+，∵CM＝DM，CN＝NB，∴MN∥DB，MN＝DB，∴＝﹣+．故答案为：﹣+，﹣+；（2）如图，，即为所求．【点评】本题考查作图﹣复杂作图，三角形中位线定理，平行四边形的性质，三角形法则等知识，解题的关键是掌握三角形法则，平行四边形法则．21．（10分）如图，在坐标平面xOy中，一次函数y＝x+2的图象与反比例函数的图象交于点A（a，3），与x轴交于点B．（1）求这个反比例函数的解析式；（2）过点A作AC⊥x轴，垂足为点C，将一次函数图象向右平移，且经过点C，求平移后的一次函数的解析式．【分析】（1）把点A（a，3）代入y＝x+2得到a＝1，把A（1，3）代入y＝，求得k ＝3，于是得到结论；（2）根据平移前后的一次函数的解析式k相等，设平移后的一次函数的解析式为：y＝x+b，将点C的坐标代入可得结论．【解答】解：（1）∵点A（a，3）在y＝x+2上，∴a+2＝3，∴a＝1，∴A（1，3），∵A（1，3）在y＝上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为：y＝；（2）设平移后的一次函数的解析式为：y＝x+b，∵AC⊥x轴，且A（1，3），∴C（1，0），把点C（1，0）代入y＝x+b中，得：0＝1+b，∴b＝﹣1，∴平移后的一次函数的解析式为：y＝x﹣1．【点评】本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确的理解题意是解题的关键．22．（10分）诱发高速公路夜间行车安全事故的一个重要原因是眩光现象．夜间会车时，对向车辆车灯的强光射向驾驶员，存在安全隐患．目前主要措施是设置防眩装置遮挡车辆灯光，避免强光射向对向车道的驾驶员．如图所示，一条东西方向的双向笔直道路，中央隔离带中轴线l垂直平分每块遮光板，遮光板宽度是0.2米，即PQ＝MN＝0.2米．一辆摩托车自西向东行驶，车灯位于点A时，车灯发出的光线AC经过相邻2个遮光板外侧的点Q和点M，光线AD经过遮光板外侧的点P，点D和点C在对向车道驾驶员行驶路线上．AB⊥DC于点B，两侧驾驶员行驶路线之间的距离AB＝4米，光线和行驶路线的夹角∠BDA＝11.4°，点A，B，C，D，P，Q，M，N在同一平面内．（参考数据：tan11.4°≈）（1）BD的长度是多少米？（2）相邻遮光板的距离PM是多少米？【分析】（1）根据锐角三角函数的定义求解即可；（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，然后根据平行线的性质求出PE的长，再根据矩形的判定与性质求出AF以及QF的长，最后根据平行线的性质，求出tan∠PMQ，从而可以求出PM．【解答】解：（1）tan∠BDA＝≈，∴BD＝5AD＝20（米）；（2）过P作PE⊥AB于E，过Q作QF⊥AB于F，中轴线l与AB交于点O，如图：∵AB⊥BC，∴BD∥PE∥QF，∴∠EPA＝∠BDA，∵EF∥PQ，∴四边形EFQP为矩形，∴EF＝PQ，PE＝QF，∵O是AB中点，也是EF的中点，∴AE＝AO+OE＝2+0.1＝2.1米，AF＝AO﹣OF＝2﹣0.1＝1.9（米），∴PE＝5AE＝10.5米，∴tan∠FQA＝＝＝，∵PM∥QF，∴∠PMQ＝∠FQA，∴PM＝＝0.2×＝（米）．答：相邻遮光板的距离PM是米．【点评】本题主要考查了解直角三角形，正确理解锐角三角形正切的定义是本题解题的关键．23．（12分）如图，在△ABC中，点D、E在边AB上，AC2＝AD•AB，AC＝AE，过点D作DF∥CE交边AC于点F．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）求证：AE•EB＝AB•FC．【分析】（1）根据“两组对边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”即可得解；（2）根据平行线分线段成比例定理求出DE＝FC，根据比例性质及等量代换求解即可．【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•AB，∴＝，又∵∠CAD＝∠BAC，∴△ACD∽△ABC；（2）∵DF∥CE，∴＝，∵AC＝AE，∴DE＝FC，∴AC＝AE＝AB﹣DE，AD＝AE﹣DE＝AE﹣FC，∵＝，∴＝，∴AB•AE﹣BE•AE＝AB•AE﹣AB•FC，∴AE•EB＝AB•FC．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键．24．（12分）如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相同，那么它们的二次项系数相等；如果两个二次函数图象的形状相同，开口方向相反，那么它们的二次项系数是互为相反数．已知，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（8，0），点B的坐标为（0，6）．抛物线C1：y＝﹣ax2+2x上有一点P，以点P为顶点的抛物线C2经过点B（点P与点B不重合），抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反．（1）当抛物线C1经过点A时，求抛物线C1的表达式；（2）求抛物线C2的对称轴；（3）当a＜0时，设抛物线C1的顶点为Q，抛物线C2的对称轴与x轴的交点为F，联结PQ、QO、FQ，求证：QO平分∠PQF．【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线C1的解析式，求出a的值；（2）通过题意求出抛物线C2的解析式，假设点P的坐标，代入抛物线C2求出m的值，从而得到抛物线C2的对称轴；（3）过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，利用a 表示点P、点Q的坐标，得到各边的数量关系，通过证明△QOE≌△QOF，得到QO平分∠PQF．【解答】解：（1）将点A（8，0）代入抛物线，得﹣a•82+2×8＝0，解得，得抛物线C1得表达式为；（2）由抛物线C1和C2形状相同，开口方向相反，设抛物线C2得表达式为y＝ax2+bx+c，把B（0，6）代入抛物线C2：y＝ax2+bx+c，得c＝6，则抛物线C2得表达式为y＝ax2+bx+6，由点P在抛物线C1上，设点P的坐标为（m，﹣am2+2m），由点P是抛物线C2的顶点，得，解得，得点P的坐标为（3，﹣9a+6），即抛物线C2的对称轴为直线x＝3；（3）由点Q是抛物线C1的顶点，得Q，过点Q作QN⊥x轴，QM⊥y轴，垂足分别为点N，M，PQ交y轴于点E，如下图所示，∵Q，∴OM＝ON＝，∴△OQM是等腰直角三角形，∴∠QON＝∠QOM＝45°，∴∠QON+∠NOE＝∠QOM+∠MOF，即∠QOE＝∠QOF，设直线PQ表达式为y＝kx+b，代入Q，P（3，﹣9a+6），得，∴直线PQ表达式为y＝（1﹣3a）x+3，把x＝0代入y＝（1﹣3a）x+3，得y＝3，得点E的坐标为（0，3），∴OE＝OF，∵OQ＝OQ，∠QOE＝∠QOF，∴△QOE≌△QOF，∴∠OQE＝∠OQF，∴QO平分∠PQF．【点评】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数顶点的坐标，全等三角形的性质与判定等知识点．25．（14分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC，BC为边在△ABC外部作等边三角形ACE和等边三角形BCF，且联结EF．（1）如图1，联结AF，EB，求证：△ECB≌△ACF；（2）如图2，延长AC交线段EF于点M．①当点M为线段EF中点时，求的值；②请用直尺和圆规在直线AB上方作等边三角形ABD（不要求写作法，保留作图痕迹，并写明结论），当点M在△ABD的内部时，求的取值范围．【分析】（1）由等边三角形的性质得出相等的边和相等的角，再利用角的和得出∠BCE ＝∠FCA，从而得出全等．（2）①根据已知条件得出△MDF≌△MCE，再根据得出的结论证明△BCD≌△BFD，从而得出△ABD是等边三角形，求出即可．②作等边三角形，由作法可以证明是等边三角形，分类讨论当M在AD边上时，当M 在BD边上时，分别求出的值，即可得出的取值范围．【解答】（1）证明：∵等边三角形ACE和等边三角形BCF，∴AC＝EC，BC＝FC，∠ACE＝∠BCF＝60°，∴∠BCE＝∠FCA，∴△ECB≌△ACF（SAS）；（2）解：①如图2，延长CM到点D，使DM＝CM，连接FD、BD，∵M是EF的中点，∴MF＝ME，∵∠DMF＝∠CME，∴△MDF≌△MCE（SAS），∴DF＝CE，∠MDF＝∠MCE，∵△ACE，△BCF都是等边三角形，∴AC＝CE，∠ACE＝∠BCF＝∠CBF＝∠BFC＝60°，BC＝BF，∴∠MDF＝∠MCE＝180°﹣60°＝120°，DF＝AC，∴∠CDF+∠CBF＝180°，∴∠BCD+∠BFD＝180°，∴∠ACB＝90°，∴∠BCD＝∠BFD＝90°，∵BD＝BD，BC＝BF，∴Rt△BCD≌Rt△BFD（HL），∴∠BDC＝∠BDF＝60°，CD＝FD＝AC，∴BC垂直平分AD，∴AB＝BD，∴△ABD是等边三角形，∴AC＝AD＝AB，∴BC＝AC，∴＝＝．②如图3，分别以A、B为圆心，AB长为半径在AB上方画弧，两弧交于点D，连接AD、BD，则△ABD为所求作的等边三角形，由作图可知AB＝BD＝AD，所以△ABD为等边三角形，当M在AD边上且为EF中点时，由①知：可得，当M在BD边上时，假设AC＝BC，如图4，∵∠ACB＝90°，△ACE和△BCF为等边三角形，AC＝BC，∴∠ACE＝∠BCF＝60°，EC＝FC，∴∠FCM＝30°，∠ECM＝120°，∠ECF＝150°，∴∠CEF＝∠CFE＝15°，∴∠EMC＝45°，∠CMF＝135°，∴∠EMC+∠CMF＝180°，∴点M在线段EF上．∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝∠ABC＝45°，∴∠MAD＝∠CBD＝15°，∴∠DMC＝105°，∠CMB＝75°，∴∠DMC+∠CMB＝180°，∴AC＝BC时，M在BD边上，∴此时＝1，∴的取值范围是＜t＜1．【点评】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，尺规作图，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形。
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27．抛物线 与x轴只有一个公共点，则m的值为________．
28．如图，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，则∠CAD＝_____．
A．70°B．72°C．74°D．76°
3．在平面直角坐标系中，如图是二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程ax2+bx+c＝0的两根分别为﹣3和1；④b2﹣4ac＞0，其中正确的命题有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
4．分别写有数字0，﹣1，﹣2，1，3的五张卡片，除数字不同外其他均相同，从中任抽一张，那么抽到负数的概率是（）
17．如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD．若AC＝2，则cosD＝________.
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，点D是AB边上一点（不与A、B重合），若过点D的直线截得的三角形与△ABC相似，并且平分△ABC的周长，则AD的长为____．
上海兰生复旦数学九年级上册期末试卷(带解析)
一、选择题
1．在半径为3cm的⊙O中，若弦AB＝3 ，则弦AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．30°B．45°C．30°或150°D．45°或135°
2．如图，OA、OB是⊙O的半径，C是⊙O上一点．若∠OAC＝16°，∠OBC＝54°，则∠AOB的大小是（）
25．如图（1），在矩形ABCD中，将矩形折叠，使点B落在边AD上，这时折痕与边AD和BC分别交于点E、点F．然后再展开铺平，以B、E、F为顶点的△BEF称为矩形ABCD的“折痕三角形”．如图（2），在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，当“折痕△BEF”面积最大时，点E的坐标为_________________________．
（2）（问题解决）如图2，在四边形 中， , ,求 的度数.
（3）（问题拓展）如图3， 是正方形 的边 上两个动点，满足 .连接交于点，连接 交 于点 ,连接 交于点 ,若正方形的边长为2，则线段 长度的最小值是_______.
22．在英语句子“Wish you success”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．
23．某一时刻，测得身高1.6 的同学在阳光下的影长为2.8 ，同时测得教学楼在阳光下的影长为25.2 ，则教学楼的高为__________ .
24．已知关于 的方程 的一个根为-2，则方程另一个根为__________．
三、解答题
31．（1）（学习心得）于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易.例如：如图1，在 中， , 是 外一点，且 ,求 的度数.若以点 为圆心， 为半径作辅助 ，则 、 必在 上， 是 的圆心角，而 是圆周角，从而可容易得到 =________ .
19．抛物线y＝3（x+2）2+5的顶点坐标是_____．
20．从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h（米）与小球运动时间t（秒）之间的函数关系式是h=12t﹣6t2，则小球运动到的最大高度为________米；
21．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC=6，AB=10，OD⊥BC于点D，则OD的长为______．
29．已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h（m）与飞行时间t（s）满足函数表达式 ，则火箭升空的最大高度是___m
30．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，tanA＝ ，将Rt△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△DEC，点F是DE上一动点，以点F为圆心，FD为半径作⊙F，当FD＝_____时，⊙F与Rt△ABC的边相切．
A．144（1﹣x）2=100B．100（1﹣x）2=144C．144（1+x）2=100D．100（1+x）2=144
11．如图1，在菱形ABCD中，∠A＝120°，点E是BC边的中点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H是图象上的最低点，则a+b的值为（ ）
A． B． C． D．
15．如图， 为 的直径， 为 上一点，弦 平分 ，交 于点 ， ， ,则 的长为（）
A．2.5B．如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG＝2，则线段AE的长度为_____．
A． B． C． D．
5．若将二次函数 的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移2个单位长度，则所得图象对应函数的表达式为（）
A． B．
C． D．
6．已知 ， 是圆 的半径，点 ， 在圆 上，且 ，若 ，则 的度数为（）
A． B． C． D．
7．将二次函数 的图象先向左平移4个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新的图象的函数表达式为( )
A． B．
C． D．
8．已知⊙O的半径为4，点P到圆心O的距离为4.5，则点P与⊙O的位置关系是（）
A．P在圆内B．P在圆上C．P在圆外D．无法确定
9．如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，点 在一次函数 的图像上， 是线段 的中点，连结 ，则线段 的最小值是（）
A． B． C． D．
10．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x，则根据题意可列方程为（）
A．7 B． C． D．
12．我国传统文化中的“福禄寿喜”图（如图）由四个图案构成．这四个图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
13．如图， 是 的内接正十边形的一边， 平分 交 于点 ，则下列结论正确的有（）
① ；② ；③ ；④ ．
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．将抛物线 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物线解析式为（）