广州市执信中学2014-2015学年八年级上学期期中考试数学试题(含答案)
执信2015-2016学年第一学期期中考试八年级数学
执信试卷第一部分：选择题（共30分）一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列图形中对称轴最多的是（ ） A ．等腰三角形 B ．正方形 C ．圆 D ．线段 2．用同一种正多边形不能．．铺满地板的是（ ） A ．正五边形 B ．正方形 C ．正三角形 D ．正六边形3．如图，将三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，130∠=︒，250∠=︒，则3∠等于（ ）A ．10︒B ．20︒C ．30︒D ．50︒ 4．当多边形的边数增加1时，它的外角和与内角和（ ） A ．都不变 B ．外角和不变，内角和增加180︒ C ．外角和减少180︒ D ．都增加180︒ 5．下列各式运算结果为8x 的是（ ）A ．44x x ⋅B ．()44xC ．162x x ÷D ．44x x +6．整式乘法中，()()223x x x px q -+=++成立，那么其中p ，q 的值是（ ）A ．5，6B ．1，6C ．1，6-D ．5，6- 7．等腰三角形的一边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．19 B ．25 C ．25或32 D ．328．如图，AE AF =，AB AC =，EC 与BF 交于点O ，60A ∠=︒，25B ∠=︒，则E O B ∠的度数为（ ）A ．60︒B ．70︒C ．75︒D ．85︒9．已知一三角形，求作点P ，使点P 到该三角形三边的距离．．．．．．．．相等的方法是（ ） A ．作三角形任意两边的中垂线的交点 B ．作三角形任意两边上的高线的交点 C ．作三角形任意两边上的中线的交点 D ．作三角形任意两角角平分线的交点 10．ABC △中，12AB AC ==厘米，B C ∠=∠，8BC =厘米，点D 为AB 的中点．如果点P 在线段BC上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．若点Q 的运动速度为v 厘米/秒，则当BPD △与CQP △全等时，v 的值为（ ）321ABC OEFA ．1B ．1或5C ．2或3D ．2第二部分：非选择题（共90分）二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．若2m a =，5n a =，则m n a += ．12．等腰三角形一个内角的大小为50︒，则其顶角的大小为 ．13．小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是 ．14．如图，已知点A 、E 、F 、O 在同一条直线上，且AE DF =，AB DC =，要使ABF DCE △△≌，还需添加的条件是 ；（只需填一个）15．如图，ED 为ABC △的边AC 的垂直平分线，且5AB =，BCE △的周长为9，则BC =．16．如图，在ABC △中，8AB =，6AC =，则BC 边上的中线AD 的取值范围是．三、解答题（本大题共8小题，共72分） 17．（本题8分）如图，在平面直角坐标系中，按要求完成下列操作：ABCDPQABCD E FABC D EABCD⑴请画出ABC △关于y 轴对称的A B C '''△； ⑵写出A '，B '，C '三点的坐标：A '（ ），B '（ ），C '（ ） ⑶请直接写出ABC △的面积ABC S =△18．（8分）如图，在ABC △中，AD BC ⊥于D ，AE 平分DAC ∠，80BAC ∠=︒，60B ∠=︒，求D A E∠的度数．19．（本题8分）如图，在ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=︒，AD AC ⊥于点A ，8DC =，求BD的长．20．（本题8分）已知：如图，在ABC △中，30A ∠=︒，60ABC ∠=︒．⑴作ABC ∠的平分线BM ，交AC 于点M ；作AB 的中点N （要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法和证明）；⑵连接MN ，求证：AMN BMN △△≌．21．根据已知条件求代数式的值（每题各4分，共8分）⑴若2n x =且n 为整数，求()()22324nn x x -．ABCDEABCDA BC⑵先化简，再求值：()()22213x x x x x x ----，其中2x =-．22．（本题8分）如图，AD 是ABC △的角平分线，DE AB ⊥，DF AC ⊥，垂足分别是E 、F ，连接EF ，EF 与AD 相交于点G ．试证明AD EF ⊥．23．（本题12分）如图，ABC △是等边三角形，P 为BC 上一动点（不与B 、C 重合），以AP 为边作等边APE △，连接CE ．⑴求证：AB CE ∥；⑵是否存在点P ，使得AE CE ⊥？若存在，指出点P 的位置并证明你的结论；若不存在，请说明理由．24．（本题12分）⑴如图⑴，已知：在ABC △中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线m 经过点A ，BD ⊥直线m ，CE ⊥直线m ，垂足分别为点D 、E ．证明：DE BD CE =+．图⑴ 图⑵ 图⑶⑵如图⑵，将⑴中的条件改为：在ABC △中，AB AC =，D 、A 、E 三点都在直线m 上，并且有BDA AEC BAC α∠=∠=∠=，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE BD CE =+是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．⑶拓展与应用：如图⑶，D 、E 是D 、A 、E 三点所在直线m 上的两动点（D 、A 、E 三点互不重合），点F 为BAC ∠平分线上的一点，且ABF △和ACF △均为等边三角形，连接BD 、CE ，若BDA AEC BAC ∠=∠=∠，试判断DEF △的形状．654321G CBA DEF PEBAmE A D CBmEA D CBmC EADFB。
2016-2017年广东省广州市越秀区执信中学八年级下学期期中数学试卷及解析答案word版
2016-2017学年广东省广州市越秀区执信中学八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．2．（2分）能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．两条对角线互相平分C．两条对角线互相垂直D．一对邻角的和为180°3．（2分）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．4．（2分）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两圆孔中心A和B的距离为（）mm．A．120 B．135 C．30D．1505．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．5 C．16 D．8+2一段时间后队伍开始休息，休息后他们以每小时b千米（0＜b＜a）的速度继续前进，直达山顶．那么他们登山的路程s（千米）与时间t（时）之间的函数图象大致是（）A． B．C．D．7．（2分）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形8．（2分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．559．（2分）若a＜2，化简=（）A．a﹣5 B．5﹣a C．1﹣a D．﹣1﹣a10．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为（）A．1 B．C．D．二、填空题（共6题，每题3分，共18分．）11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是．12．（3分）计算：=．13．（3分）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC=．14．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是．15．（3分）直角三角形的斜边上的中线长为3，面积为2，则这个直角三角形的周长为．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是．三、解答题（共9道大题，共81分）17．（6分）计算．18．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是菱形．19．（6分）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．20．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．21．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形．（2）求△ABC的面积．22．（8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵，∴，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3，∴a2﹣4a=﹣1，∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=；=．24．（12分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC 的最小值．25．（14分）如图，边长为a的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF、AH．（1）若BF=DH，求证：AF=AH．（2）若∠FAH=45°，求△FCH的周长（用含a的代数式表示）．（3）若Rt△GBF的周长为a，求矩形EPHD的面积（用含a的代数式表示）．2016-2017学年广东省广州市越秀区执信中学八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题2分，共20分）1．（2分）下列根式中是最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、=，故此选项错误；B、是最简二次根式，故此选项正确；C、=3，故此选项错误；D、=2，故此选项错误；故选：B．2．（2分）能够判定一个四边形是平行四边形的条件是（）A．一组对角相等B．两条对角线互相平分C．两条对角线互相垂直D．一对邻角的和为180°【解答】解：根据平行四边形的判定可知B正确．故选：B．3．（2分）下列各曲线中不能表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【解答】解：显然A、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数；B、对于x＞0的任何值，y都有二个值与之相对应，则y不是x的函数；故选：B．4．（2分）如图是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中的尺寸（单位：mm），可以计算出两圆孔中心A和B的距离为（）mm．A．120 B．135 C．30D．150【解答】解：如图，在Rt△ABC中，∵AC=150﹣60=90，BC=180﹣60=120，∴AB==150（mm），∴两圆孔中心A和B的距离为150mm．故选：D．5．（2分）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，E、F分别是AB、AD的中点．若EF=2，则菱形ABCD的周长为（）A．4 B．5 C．16 D．8+2【解答】解：∵E、F分别是AB、AD的中点，∴EF=BD，∵EF=2，∴BD=4，∵∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，∴AB=BD=4，∴菱形ABCD的周长=4×4=16，故选：C．6．（2分）某校组织学生举行登山活动，他们以每小时a千米的速度登山，行进一段时间后队伍开始休息，休息后他们以每小时b千米（0＜b＜a）的速度继续前进，直达山顶．那么他们登山的路程s（千米）与时间t（时）之间的函数图象大致是（）A． B．C．D．【解答】解：根据题意，登山运动分为三个阶段，快行﹣停止﹣慢行，反映到图象上是：三条线段陡，平，缓．故选：C．7．（2分）顺次连接对角线互相垂直的四边形的各边中点，所得图形一定是（）A．正方形B．矩形C．菱形D．直角梯形【解答】已知：AC⊥BD，E、F、G、H分别为各边的中点，连接点E、F、G、H．求证：四边形EFGH是矩形证明：∵E、F、G、H分别为各边的中点，∴EF∥AC，GH∥AC，EH∥BD，FG∥BD，（三角形的中位线平行于第三边）∴四边形EFGH是平行四边形，（两组对边分别平行的四边形是平行四边形）∵AC⊥BD，EF∥AC，EH∥BD，∴∠EMO=∠ENO=90°，∴四边形EMON是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形），∴∠MEN=90°，∴四边形EFGH是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）．故选：B．8．（2分）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（）A．4 B．6 C．16 D．55【解答】解：∵a、b、c都是正方形，∴AC=CD，∠ACD=90°；∵∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°，∴∠BAC=∠DCE，∵∠ABC=∠CED=90°，AC=CD，∴△ACB≌△DCE，∴AB=CE，BC=DE；在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC2=AB2+BC2=AB2+DE2，即S b=S a+S c=11+5=16，故选：C．9．（2分）若a＜2，化简=（）A．a﹣5 B．5﹣a C．1﹣a D．﹣1﹣a【解答】解：∵a＜2，∴=2﹣a﹣3=﹣1﹣a．故选：D．10．（2分）如图，四边形ABCD是矩形，AD=3，AB=4，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE，则DE的长为（）A．1 B．C．D．【解答】解：过D作DF⊥AC于F，过E作EH⊥AC于H，如图，∵四边形ABCD为矩形，∴Rt△ABC≌Rt△CDA，又∵矩形沿着直线AC折叠，使点B落在点E处，∴Rt△ABC≌Rt△AEC，∴△ADC≌△CEA，∴CE=AD，根据全等三角形的面积相等，得：DF=EH，∵EH∥DF，∴四边形DFHE是平行四边形，∴DE∥AC，∵AD=CE，∴四边形DACE是等腰梯形，S△ADC=AD×DC=AC×DF，∵AD=3，DC=4，由勾股定理得：AC=5，∴DF==EH，在△ADF中，由勾股定理得：AF=CH==，∴DE=FH=5﹣2×=．故选：D．二、填空题（共6题，每题3分，共18分．）11．（3分）函数y=中，自变量x的取值范围是x≥﹣．【解答】解：根据题意得：2x+3≥0，解得：x≥﹣．12．（3分）计算：=．【解答】解：原式=+2﹣6=﹣3．故答案为：﹣3．13．（3分）已知正方形ABCD的面积为8，则对角线AC=4．【解答】解：∵正方形ABCD的面积为8，AC=BD，∴AC•BD=8，即AC2=16，∴AC=4故答案为：4．14．（3分）如图所示：数轴上点A所表示的数为a，则a的值是．【解答】解：图中直角三角形的两直角边为1，2，∴斜边长为=，那么﹣1和A之间的距离为，那么a的值是：﹣1+．15．（3分）直角三角形的斜边上的中线长为3，面积为2，则这个直角三角形的周长为2+6．【解答】解：设直角三角形的两直角边长分别为a、b，∵直角三角形的斜边上的中线长为3，∴斜边长为6．∵面积为2，∴，由①得，2ab=8③，②+③得，（a+b）2=44，∴a+b=2，∴这个直角三角形的周长=a+b+6=2+6．故答案为：2+6．16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线．将△DCB绕着点D顺时针旋转45°得到△DGH，HG交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG．则下列结论：①四边形AEGF是菱形②△AED≌△GED③∠DFG=112.5°④BC+FG=1.5其中正确的结论是①②③．【解答】证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=DC=BC=AB，∠DAB=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，∠ADB=∠BDC=∠CAD=∠CAB=45°，∵△DHG是由△DBC旋转得到，∴DG=DC=AD，∠DGE=∠DCB=∠DAE=90°，在Rt△ADE和Rt△GDE中，，∴AED≌△GED，故②正确，∴∠ADE=∠EDG=22.5°，AE=EG，∴∠AED=∠AFE=67.5°，∴AE=AF，同理△AEF≌△GEF，可得EG=GF，∴AE=EG=GF=FA，∴四边形AEGF是菱形，故①正确，∵∠DFG=∠GFC+∠DFC=∠BAC+∠DAC+∠ADF=112.5°，故③正确．∵AE=FG=EG=BG，BE=AE，∴BE＞AE，∴AE＜，∴CB+FG＜1.5，故④错误．故答案为①②③．三、解答题（共9道大题，共81分）17．（6分）计算．【解答】解：原式=﹣5=﹣5×3=﹣15．18．（8分）如图，已知四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD交于点O，CE∥BD，DE∥AC，CE与DE交于点E．求证：四边形OCED是菱形．【解答】解：OE⊥DC，理由如下：∵DE∥AC，CE∥BD，∴四边形OCED是平行四边形，∵四边形ABCD是矩形，∴OC=AC，OD=BD，AC=BD，∴OC=OD，∴四边形OCED是菱形．19．（6分）如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：（1）AE=CF；（2）四边形AECF是平行四边形．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）．∴AE=CF．（2）∵△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四边形AECF是平行四边形．20．（8分）已知：如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，求（1）Rt△ABC的面积．（2）斜边AB的长．（3）求AB边上的高．【解答】解：（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，∴Rt△ABC的面积===4，即Rt△ABC的面积是4；（2）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，∴AB===2，即AB的长是2；（3）∵Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，AB=2，∴AB边上的高是：=，即AB边上的高是．21．（10分）如图，△ABC中，AB=AC，D是AC边上的一点，CD=1，，BD=2．（1）求证：△BCD是直角三角形．（2）求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵CD=1，，BD=2，∴CD2+BD2=BC2，∴△BDC是直角三角形；（2）设腰长AB=AC=x，在Rt△ADB中，∵AB2=AD2+BD2，∴x2=（x﹣1）2+22，解得x=，即△ABC的面积=AC•BD=××2=．22．（8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边长分别是a，b，斜边长为c和一个边长为c的正方形，请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形．（1）画出拼成的这个图形的示意图．（2）证明勾股定理．【解答】解法一：（1）如图；（2）证明：∵大正方形的面积表示为（a+b）2大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2=c2+4×ab，a2+b2+2ab=c2+2ab∴a2+b2=c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．解法二：（1）如图（2）证明：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．23．（10分）小明在解决问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．他是这样分析与解的：∵，∴，∴（a﹣2）2=3，a2﹣4a+4=3，∴a2﹣4a=﹣1，∴2a2﹣8a+1=2（a2﹣4a）+1=2×（﹣1）=﹣1．请你根据小明的分析过程，解决如下问题：（1）化简．（2）若．求：①求3a2﹣6a+1的值．②直接写出代数式的值a3﹣3a2+a+1=0；=2．【解答】解：（1）原式=+++…+=×（﹣1+﹣+…+11﹣）=（﹣1+11）=5；（2）①∵a===+1，∴a﹣1=，∴a2﹣2a+1=2，∴a2﹣2a=1∴3a2﹣6a=3∴3a2﹣6a+1=4；②∵a3﹣3a2+a+1=a3﹣2a2﹣a2+a+1=a（a2﹣2a）﹣a2+a+1∵a2﹣2a=1∴原式=a﹣a2+a+1=﹣（a2﹣2a）+1=﹣1+1=0；∵=2a2﹣4a﹣，∵a2﹣2a=1∴原式=2﹣0=2．故答案为：0，2．24．（12分）如图，BD是△ABC的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由．（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=，点H是BD上的一个动点，求HG+HC 的最小值．【解答】解：四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形；（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在Rt△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=4，∴EM=BE=2，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=2，MN=DE=4，在Rt△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=2，∴MC=4+2=6，在Rt△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=2．MC=6，∴EC==4∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为4．25．（14分）如图，边长为a的正方形ABCD被两条与边平行的线段EF、GH分割成四个小矩形，EF与GH交于点P，连接AF、AH．（1）若BF=DH，求证：AF=AH．（2）若∠FAH=45°，求△FCH的周长（用含a的代数式表示）．（3）若Rt△GBF的周长为a，求矩形EPHD的面积（用含a的代数式表示）．【解答】（1）证明：连接AH、AF．∵ABCD是正方形，∴AD=AB，∠D=∠B=90°．∵ADHG与ABFE都是矩形，∴DH=AG，AE=BF，又∵BF=DH，∴AE=BF．在Rt△ADH与Rt△ABF中，∵AD=AB，∠D=∠B=90°，DH=BF，∴Rt△ADH≌Rt△ABF，∴AF=AH．（2）证明：将△ADH绕点A顺时针旋转90°到△ABM的位置．在△AMF与△AHF中，∵AM=AH，AF=AF，∠MAF=∠MAH﹣∠FAH=90°﹣45°=45°=∠FAH，∴△AMF≌△AHF．∴MF=HF．∵MF=MB+BF=HD+BF，∴△FCH的周长=CF+FH+CH=CF+BF+CH+DH=2a．（3）解：设BF=x，GB=y，则FC=a﹣x，AG=a﹣y，（0＜x＜1，0＜y＜1）在Rt△GBF中，GF2=BF2+BG2=x2+y2∵Rt△GBF的周长为a，∴BF+BG+GF=x+y+=a，即=a﹣（x+y）即x2+y2=a2﹣2a（x+y）+（x+y）2整理得2xy﹣2ax﹣2ay+a2=0∴xy﹣ax﹣ay=﹣a2，∴矩形EPHD的面积S=PH•EP=FC•AG=（a﹣x）（a﹣y）=xy﹣ax﹣ay+a2=﹣a2+a2=a2．赠送：初中数学几何模型【模型一】半角型：图形特征：FAB正方形ABCD中，∠EAF=45°∠1=12∠BAD推导说明：1.1在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且∠FAE＝45°，求证：EF＝BE+DFE-aa B E1.2在正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且EF＝BE+DF，求证：∠FAE＝45°E-aa B E挖掘图形特征：x-aa-a运用举例：1．正方形ABCD 的边长为3，E 、F 分别是AB 、BC 边上的点,且∠EDF =45°.将△DAE 绕点D 逆时针旋转90°，得到△DCM . （1）求证：EF =FM（2）当AE =1时，求EF 的长．E2.如图，△ABC 是边长为3的等边三角形，△BDC 是等腰三角形，且∠BDC =120°．以D 为顶点3．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠C ＝90°，BC ＝CD ＝2AD ＝4，E 为线段CD 上一点，∠ABE ＝45°.（1）求线段AB 的长；（2）动点P 从B 出发，沿射线．．BE 运动，速度为1单位/秒，设运动时间为t ，则t 为何值时，△ABP 为等腰三角形； （3）求AE －CE 的值.。
【真卷】2014-2015年广东省广州市天河区八年级(上)数学期中试卷带答案
2014-2015学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷一、选择题．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，43．（3分）七边形外角和为（）A．180°B．360°C．900° D．1260°4．（3分）已知等腰△ABC的边长为3、5，则腰AC的长可能为（）A．5 B．5或3 C．3 D．25．（3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°7．（3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC8．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50°B．30°C．80°D．100°9．（3分）四边形的内角和为（）A．180°B．360°C．540° D．720°10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=．12．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标为．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=20°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=°．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是．15．（3分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=度．16．（3分）一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程货演算步骤）17．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上．画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C 与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．18．（9分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC．求证：AB=AD．19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）20．（10分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．21．（10分）如图，BA⊥AD，∠ADB=∠ABD=∠DAO，∠DBC=60°，∠DCO=∠BCO．（1）求证：BD⊥AC；（2）求∠DCO的度数；（3）求证：BC=DC．22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是度和度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有个等腰三角形，其中有个黄金等腰三角形．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC 的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．24．（14分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）作点B关于y轴的对称点B′，并写出点B′的坐标．（2）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标．25．（16分）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C 重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM 的度数为°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM 的度数为°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．2014-2015学年广东省广州市天河区八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题．1．（3分）下列图形中，不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．2．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，6 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4【解答】解：A、1+2＜6，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．3．（3分）七边形外角和为（）A．180°B．360°C．900° D．1260°【解答】解：七边形的外角和为360°．故选：B．4．（3分）已知等腰△ABC的边长为3、5，则腰AC的长可能为（）A．5 B．5或3 C．3 D．2【解答】解：当腰长为3时，三角形的三边为3、3、5，满足三角形的三边关系，则另一腰长为3，当腰长为5时，三角形的三边为5、5、3，满足三角形的三边关系，则另一腰长为5，综上可知腰AC可能为3或5，故选：B．5．（3分）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD，垂足为E，下列结论不一定成立的是（）A．AB=AD B．AC平分∠BCD C．AB=BD D．△BEC≌△DEC【解答】解：∵AC垂直平分BD，∴AB=AD，BC=CD，∴AC平分∠BCD，EB=DE，∴∠BCE=∠DCE，在Rt△BCE和Rt△DCE中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCE（HL），故选：C．6．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，∠B=70°，则∠A的度数是（）A．70°B．55°C．50°D．40°【解答】解：∵AB=AC，∠B=70°，∴∠A=180°﹣2∠B=180°﹣2×70°=40°．故选：D．7．（3分）如图，已知AE=CF，∠AFD=∠CEB，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ADF≌△CBE的是（）A．∠A=∠C B．AD=CB C．BE=DF D．AD∥BC【解答】解：∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，A、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；B、根据AD=CB，AF=CE，∠AFD=∠CEB不能推出△ADF≌△CBE，错误，故本选项正确；C、∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（SAS），正确，故本选项错误；D、∵AD∥BC，∴∠A=∠C，∵在△ADF和△CBE中∴△ADF≌△CBE（ASA），正确，故本选项错误；故选：B．8．（3分）如图，AB与CD交于点O，OA=OC，OD=OB，∠A=50°，∠B=30°，则∠D的度数为（）A．50°B．30°C．80°D．100°【解答】解：∵OA=OC，OD=OB，∠AOD=∠COB，∴△AOD≌△COB（SAS），∴∠D=∠B=30°．故选：B．9．（3分）四边形的内角和为（）A．180°B．360°C．540° D．720°【解答】解：四边形的内角和=（4﹣2）•180°=360°．故选：B．10．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点．将Rt △ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于（）A．25°B．30°C．35°D．40°【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，∴∠B=90°﹣25°=65°，∵△CDB′由△CDB反折而成，∴∠CB′D=∠B=65°，∵∠CB′D是△AB′D的外角，∴∠ADB′=∠CB′D﹣∠A=65°﹣25°=40°．故选：D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．（3分）已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，则PB=6．【解答】解：∵点P在线段AB的垂直平分线上，PA=6，∴PB=PA=6．故答案为：6．12．（3分）点P（3，2）关于x轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．【解答】解：根据轴对称的性质，得点P（3，2）关于y轴对称的点的坐标为（3，﹣2）．故答案为：（3，﹣2）．13．（3分）如图，在△ABC中，∠C=20°，CA=CB，则△ABC的外角∠ABD=100°．【解答】解：∵CA=CB，∠C=20°，∴∠A=∠ABC==80°，∴∠ABD=180°﹣∠ABC=180°﹣80°=100°，故答案为：100．14．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD=3，BC=10，则△BDC的面积是15．【解答】解：过D作DE⊥BC于E，∵∠A=90°，∴DA⊥AB，∵BD平分∠ABC，∴AD=DE=3，∴△BDC的面积是×DE×BC=×10×3=15，故答案为：15．15．（3分）在△ABC中，三个内角∠A、∠B、∠C满足∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，则∠B=60度．【解答】解：∵∠B﹣∠A=∠C﹣∠B，∴∠A+∠C=2∠B，又∵∠A+∠C+∠B=180°，∴3∠B=180°，∴∠B=60°．故答案为：60．16．（3分）一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为80海里．【解答】解：如图∠NPM=180°﹣70°﹣40°=70°，∵向北的方向线是平行的，∴∠M=70°，∴∠NPM=∠M，∴NP=MN=40海里×2=80海里，故答案为：80海里．三、解答题（本大题共9小题，满分102分，解答应写出文字说明，证明过程货演算步骤）17．（9分）如图，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上．画出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1（A与A1，B与B1，C 与C1相对应），连接AA1，BB1，并计算梯形AA1B1B的面积．【解答】解：△A1B1C1如图所示，梯形AA1B1B的面积=×（2+8）×4=20．18．（9分）如图，∠B=∠D，∠BAC=∠DAC．求证：AB=AD．【解答】证明：在△BAC和△DAC中，，∴△BAC≌△DAC（AAS），∴AB=AD．19．（10分）如图，点C，F在线段BE上，BF=EC，∠1=∠2，请你添加一个条件，使△ABC≌△DEF，并加以证明．（不再添加辅助线和字母）【解答】AC=DF．证明：∵BF=EC，∴BF﹣CF=EC﹣CF，∴BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS）．20．（10分）如图，E、F分别是等边三角形ABC的边AB，AC上的点，且BE=AF，CE、BF交于点P．（1）求证：CE=BF；（2）求∠BPC的度数．【解答】（1）证明：如图，∵△ABC是等边三角形，∴BC=AB，∠A=∠EBC=60°，∴在△BCE与△ABF中，，∴△BCE≌△ABF（SAS），∴CE=BF；（2）解：∵由（1）知△BCE≌△ABF，∴∠BCE=∠ABF，∴∠PBC+∠PCB=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，即∠PBC+∠PCB=60°，∴∠BPC=180°﹣60°=120°．即：∠BPC=120°．21．（10分）如图，BA⊥AD，∠ADB=∠ABD=∠DAO，∠DBC=60°，∠DCO=∠BCO．（1）求证：BD⊥AC；（2）求∠DCO的度数；（3）求证：BC=DC．【解答】（1）证明：∵BA⊥AD，∴∠BAD=90°，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠DAO=45°，∴∠AOD=90°，∴BD⊥AC；（2）解：∵∠DCO=∠BCO，且∠DBC=60°，∴∠DCO=∠BCO=30°；（3）证明：由（1）可知O为BD中点，且AC⊥BD，∴AC垂直平分BD，∴BC=DC．22．（12分）如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，称满足此条件的三角形为黄金等腰三角形．请完成以下操作：（画图不要求使用圆规，以下问题所指的等腰三角形个数均不包括△ABC）（1）在图1中画1条线段，使图中有2个等腰三角形，并直接写出这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；（2）在图2中画2条线段，使图中有4个等腰三角形；（3）继续按以上操作发现：在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．【解答】解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108，36；（2）如图2所示：（3）如图3所示：当1条直线可得到2个等腰三角形；当2条直线可得到4个等腰三角形；当3条直线可得到6个等腰三角形；…∴在△ABC中画n条线段，则图中有2n个等腰三角形，其中有n个黄金等腰三角形．故答案为：2n，n．23．（12分）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BA延长线上的一点，点E是AC 的中点．（1）实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）；①作∠DAC的平分线AM；②连接BE并延长交AM于点F；（2）猜想与证明：试猜想AF与BC有怎样的位置关系和数量关系，并说明理由．【解答】解：（1）如图所示；（2）AF∥BC，且AF=BC，理由如下：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∴∠DAC=∠ABC+∠C=2∠C，由作图可得∠DAC=2∠FAC，∴∠C=∠FAC，∴AF∥BC，∵E为AC中点，∴AE=EC，在△AEF和△CEB中，∴△AEF≌△CEB（ASA）．∴AF=BC．24．（14分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上．（1）作点B关于y轴的对称点B′，并写出点B′的坐标．（2）当△ABC的周长最小时，求点C的坐标．【解答】解：（1）点B′的坐标为（﹣3，0）；（2）连接AB′，由轴对称确定最短路线问题，交点即为△ABC的周长最小的点C的位置，设直线AB′的解析式为y=kx+b，则，解得，所以，直线AB′的解析式为y=x+3，令x=0，则y=3，所以，点C的坐标为（0，3）．25．（16分）在图1、图2、图3、图4中，点P在线段BC上移动（不与B、C 重合），M在BC的延长线上．（1）如图1，△ABC和△APE均为正三角形，连接CE．①求证：△ABP≌△ACE．②∠ECM的度数为60°．（2）①如图2，若四边形ABCD和四边形APEF均为正方形，连接CE．则∠ECM 的度数为45°．②如图3，若五边形ABCDF和五边形APEGH均为正五边形，连接CE．则∠ECM 的度数为36°．（3）如图4，n边形ABC…和n边形APE…均为正n边形，连接CE，请你探索并猜想∠ECM的度数与正多边形边数n的数量关系（用含n的式子表示∠ECM的度数），并利用图4（放大后的局部图形）证明你的结论．【解答】解：（1）①证明：如图1，∵△ABC与△APE均为正三角形，∴AB=AC，AP=AE，∠BAC=∠PAE=60°，∴∠BAC﹣∠PAC=∠PAE﹣∠PAC即∠BAP=∠CAE，在△ABP和△ACE中，，∴△ABP≌△ACE （SAS）．②∵△ABP≌△ACE，∴∠ACE=∠B=60°，∵∠ACB=60°，∠ECM=180°﹣60°﹣60°=60°．故答案为：60．（2）①如图2，作EN⊥BN，交BM于点N∵四边形ABCD和APEF均为正方形，∴AP=PE，∠B=∠ENP=90°，∴∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=90°，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△ANE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠ECM=∠CEN=45°②如图3，作EN∥CD交BM于点N，∵五边形ABCDF和APEGH均为正五边方形，∴AP=PE，∠B=∠BCD，∵EN∥CD，∴∠PNE=∠BCD，∴∠B=∠PNE∵∠BAP+∠APB=∠EPM+∠APB=180°﹣∠B，即∠BAP=∠NPE，在△ABP和△PNE中，，∴△ABP≌△PNE （AAS）．∴AB=PN，BP=EN，∵BP+PC=PC+CN=AB，∴BP=CN，∴CN=EN，∴∠NCE=∠NEC，∵∠CNE=∠BCD=108°，∴∠ECM=∠CEN=（180°﹣∠CNE）=×（180°﹣108°）=36°．故答案为：45，36．（3）如图4中，过E作EK∥CD，交BM于点K，∵n边形ABC…和n边形APE…为正n边形，∴AB=BC AP=PE∠ABC=∠BCD=∠APE=∵∠APK=∠ABC+∠BAP，∠APK=∠APE+∠EPK∴∠BAP=∠KPE∵EK∥CD，∴∠BCD=∠PKE∴∠ABP=∠PKE，在△ABP和△PKE中，，∴△ABP≌△PKE（AAS）∴BP=EK，AB=PK，∴BC=PK，∴BC﹣PC=PK﹣PC，∴BP=CK，∴CK=KE，∴∠KCE=∠KEC，∵∠CKE=∠BCD=∴∠ECK=．。
广州执信中学八年级数学上册第十三章《轴对称》测试(含答案解析)
一、选择题1．如图，长方形纸片ABCD （长方形的对边平行且相等，每个角都为直角），将纸片沿EF 折叠，使点C 与点A 重合，下列结论：①AF AE =，②ABE AGF ≌，③AF CE =，④60AEF ∠=︒，其中正确的（ ）A ．①②B ．②③C ．①②③D ．①②③④C解析：C【分析】 根据翻折的性质可得∠AEF ＝∠CEF ，根据两直线平行，内错角相等可得∠AFE ＝∠CEF ，然后求出∠AEF ＝∠AFE ，根据等角对等边可得AE ＝AF ；根据HL 即可得到△ABE ≌AGF ．根据等量代换即可得到AF ＝CE ；根据△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，即可得到∠AEF 不一定为60°．【详解】解：由翻折的性质得，∠AEF ＝∠CEF ，∵矩形ABCD 的对边AD ∥BC ，∴∠AFE ＝∠CEF ，∴∠AEF ＝∠AFE ，∴AE ＝AF ，故①正确，在Rt △ABE 和Rt △AGF 中，AE AF AB AG =⎧⎨=⎩， ∴Rt △ABE ≌Rt △AGF （HL ），故②正确，∵CE ＝AE ，AE ＝AF ，∴CE ＝AF ，故③正确；∵AE ＝AF ，∴△AEF 是等腰三角形，不一定是等边三角形，∴∠AEF 不一定为60°，故④错误；故选C ．【点睛】本题考查了翻折变换的性质，等腰三角形的判定与性质，解题时注意：折叠是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．2．如图，长方形ABCD 沿直线EF 、EG 折叠后，点A 和点D 分别落在直线l 上的点A '和点D 处，若130∠=︒，则2∠的度数为（ ）A ．30°B ．60°C ．50°D ．55°B解析：B【分析】 根据折叠的性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，根据12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒得到2(12)180∠+∠=︒，即可求出答案．【详解】解：由折叠得：∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠，∵12180AEF D EG '∠+∠+∠+∠=︒，∴2(12)180∠+∠=︒，∴260∠=︒故选：B ．【点睛】此题考查折叠的性质，平角有关的计算，正确理解折叠性质得到∠AEF=130∠=︒，2D EG '∠=∠是解题的关键．3．已知点A 的坐标为()1,3，点B 的坐标为()2,1，将线段AB 沿坐标轴翻折180°后，若点A 的对应点A '的坐标为()1,3-，则点B 的对应点B '的坐标为（ ）A ．()2,2B ．(2,1)-C ．()2,1-D ．(2,1)-- C解析：C【分析】根据点A ，点A'坐标可得点A ，点A'关于y 轴对称，即可求点B'坐标．【详解】解：∵将线段AB 沿坐标轴翻折后，点A （1，3）的对应点A′的坐标为（-1，3）， ∴线段AB 沿y 轴翻折，∴点B 关于y 轴对称点B'坐标为（-2，1）故选：C ．【点睛】本题考查了翻折变换，坐标与图形变化，熟练掌握关于y 轴对称的两点纵坐标相等，横坐标互为相反数是关键．4．等腰三角形的一个内角是50度，它的一腰上的高与底边的夹角是（ ）度 A ．25或60B ．40或60C ．25或40D ．40C 解析：C【分析】当顶角为50°时和底角为50°两种情况进行求解．【详解】当顶角为50°时，底角为：（180°−50°）÷2＝65°．此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−65°＝25°．当底角为50°时，此时它的一条腰上的高与底边的夹角为：90°−50°＝40°．故选：C ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形中两个底角相等．同时考查了分类讨论的思想． 5．如图，在ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，以A 为圆心，任意长为半径画弧分别交AB 、AC 于点M 和N ，再分别以M 、N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，连结AP 并延长交BC 于点D ，则下列说法中正确的个数是（ ）①AD 平分∠BAC ；②∠ADC ＝60°；③点D 在AB 的垂直平分线上；④2ABD ACD S S ．A ．1B ．2C ．3D ．4D解析：D【分析】 先根据三角形内角和计算出∠BAC=60°，再利用基本作图对①进行判断；利用∠BAD=∠CAD=30°得到∠ADC=60°，则可对②进行判断；利用∠B=∠BAD 得到DA=DB ，根据线段垂直平分线的性质定理的逆定理可对③进行判断． 利用30度角所对的直角边是斜边的一半、三角形的面积计算公式来求两个三角形的面积之比．【详解】解：∵∠C ＝90°，∠B ＝30°，∴∠BAC ＝60°，由作法得AD 平分∠BAC ，所以①正确；∴∠BAD ＝∠CAD ＝30°，∴∠ADC ＝90°﹣∠CAD ＝60°，所以②正确；∵∠B ＝∠BAD ，∴DA ＝DB ，∴点D 在AB 的垂直平分线上，所以③正确；∵如图，在直角△ACD 中，∠CAD ＝30°，∴CD ＝12AD ，∴BC＝CD+BD＝12AD+AD＝32AD，S△DAC＝12AC•CD＝14AC•AD．∴S△ABC＝12AC•BC＝12AC•32AD＝34AC•AD，∴S△DAC：S△ABC＝14AC•AD：34AC•AD＝1：3，∴S△DAC：S△ABD＝1：2．即S△ABD＝2S△ACD，故④正确．故选：D．【点睛】本题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及作图-基本作图．解题时需要熟悉等腰三角形的判定与性质．6．如图，∠MON=30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM上，△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形，从左起第1个等边三角形的边长记为a1，第2个等边三角形的边长记为a2，以此类推．若OA1=1，则a2019=（）A．22017B．22018C．22019D．22020B解析：B【分析】根据等边三角形的性质以及平行线的性质得出A1B1∥A2B2∥A3B3，以及a2=2a1，得出a3=4a1=4，a4=8a1=8，a5=16a1=16，进而得出答案．【详解】解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，∴∠2=120°，∵∠MON=30°，∴∠1=180°−120°−30°=30°，又∵∠3=60°，∴∠5=180°−60°−30°=90°，∵∠MON=∠1=30°，∴OA1=A1B1=1，∴A2B1=1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，∵∠4=∠12=60°，∴A 1B 1∥A 2B 2∥A 3B 3，B 1A 2∥B 2A 3，∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，∴a 2=2a 1=2，a 3=4a 1=22，a 4=8a 1=32，a 5=16a 1=42，，以此类推：a 2019=22018．故选：B ．【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形的性质，根据已知得出a 3=4a 1=4，a 4=8a 1=8，a 5=16…进而发现规律是解题关键．7．已知一个等腰三角形ABC 的两边长为5，7，另一个等腰三角形ABC 的两边为23x -，35x -，若两个三角形全等，则x 的值为（ ）A ．5B ．4C ．4或5D ．103B 解析：B【分析】根据等腰ABC 的两边长为5，7，得到ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；之后根据全等分2x-3=5，2x-3=7，3x-5=5，3x-5=7四种情况分类讨论，舍去不合题意的即可求解．【详解】解：∵等腰ABC 的两边长为5，7，∴ABC 的三边长为5，7，7；或5,5,7；由题意得另一个等腰三角形的两边为23x -，35x -，且与等腰ABC 全等（1）当2x-3=5时，解得x=4，则3x-5=7，符合题意；（2）当2x-3=7时，解得x=5，则3x-5=10，不合题意；（3）当3x-5=5时，解得103x =，则2x-3=113，不合题意； （4）当3x-5=7时，解得x=4，则2x-3=5，符合题意；综上所述：x 的值为4．故答案为：B【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，全等三角形的性质，根据题意分类讨论是解题关键． 8．如图，ABC 中，AC AD BD ==，80CAD ︒∠=，则B 等于（ ）A ．25︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒A解析：A【分析】 利用AD=AC ，求出∠ADC=∠C=50︒，利用AD=AB ，即可求得∠B=∠BAD 1252ADC ==∠︒． 【详解】∵AD=AC ，∴∠ADC=∠C ，∵80CAD ︒∠=，∴∠ADC=∠C=50︒，∵AD=AB ，∴∠B=∠BAD 1252ADC ==∠︒， 故选：A ．【点睛】此题考查等边对等角的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．9．如图，已知AD 为ABC 的高线，AD BC =，以AB 为底边作等腰Rt ABE △，连接ED ，EC 延长CE 交AD 于F 点，下列结论：①DAE CBE ∠=∠；②CE DE ⊥；③BD AF =；④AED 为等腰三角形；⑤BDE ACE S S =△△，其中正确的有（ ）A ．①③⑤B ．①②④C ．①③④D ．①②③⑤D解析：D【分析】 ①由等腰直角三角形的性质可得出结论；②证明△ADE ≌△BCE ，可得∠AEC=∠DEB ，即可求得∠AED=∠BEG ，即可解题； ③证明△AEF ≌△BED 即可；④AE≠DE ，故④不正确；⑤易证△FDC 是等腰直角三角形，则CE=EF ，S △AEF =S △ACE ，由△AEF ≌△BED ，可知S △BDE =S △ACE ，所以S △BDE =S △ACE ．【详解】解：①∵AD 为△ABC 的高线，∴∠CBE+∠ABE+∠BAD=90°，∵Rt △ABE 是等腰直角三角形，∴∠ABE=∠BAE=∠BAD+∠DAE=45°，AE=BE ，∴∠CBE+∠BAD=45°，∴∠DAE=∠CBE ，故①正确②在△DAE 和△CBE 中，AE BE DAE CBE AD BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE ≌△BCE （SAS ）；∴∠EDA=∠ECB ，∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠ECB=90°，∴∠DEC=90°，∴CE ⊥DE ；故②正确；③∵∠BDE=∠ADB+∠ADE ，∠AFE=∠ADC+∠ECD ，∴∠BDE=∠AFE ，∵∠BED+∠BEF=∠AEF+∠BEF=90°，∴∠BED=∠AEF ，在△AEF 和△BED 中，BDE AFE BED AEF AE BE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BED （AAS ），∴BD=AF ；故③正确；④∵AE≠DE，∴△ADE不是等腰三角形，⑤∵AD=BC，BD=AF，∴CD=DF，∵AD⊥BC，∴△FDC是等腰直角三角形，∵DE⊥CE，∴EF=CE，∴S△AEF=S△ACE，∵△AEF≌△BED，∴S△AEF=S△BED，∴S△BDE=S△ACE．故⑤正确；故选：D．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．10．如图，在Rt ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，以AB长为半径作弧交BC于点D，再分别以点B，D为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧交于点P，作射线AP交BC于点E，如果AB＝3，AC＝4，那么线段AE的长度是（）A．125B．95C．85D．75A解析：A【分析】根据作图过程可得AP是BD的垂直平分线，根据勾股定理可得BC的长，再根据等面积法求出AE的长即可．【详解】解：∵∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，∴BC225AB AC+=，根据作图过程可知：AP是BD的垂直平分线，∴BE ＝DE ，AE ⊥BD ，∴△ABC 的面积：12AB•AC ＝12BC•AE ， ∴5AE ＝12， ∴AE ＝125． 故选：A ．【点睛】 本题考查垂直平分线和勾股定理，需要有一定的数形结合能力，熟练掌握垂直平分线的定义，结合题意进行解题是解决本题的关键．二、填空题11．如图，已知30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ，…在射线ON 上，1B ，2B ，3B ，…在射线OM 上，112A B A △，223A B A △，334A B A △，…均为等边三角形；若48OA =，则1n n n A B A +△的边长为______．【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA2=A2B2=OA3OA3=A3B3=OA4…再将解得OA3==OA2==OA1=找到规律进而得出答案【详解】解：∵△A1B1A2是等边解析：12n -【分析】根据等边三角形的性质以及含30度角的直角三角形得出OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4…，再将48OA =解得OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==，找到规律，进而得出答案． 【详解】解：∵△A 1B 1A 2是等边三角形，∴A 1B 1=A 2B 1，∠B 1A 1A 2=∠A 1B 1A 2=60°∵∠MON=30°，∴∠OB 1A 1=30°，∠OB 1A 2=90°∴OA 1=A 1B 1=12OA 2， 同理可得OA 2=A 2B 2=12OA 3，OA 3=A 3B 3=12OA 4∵48OA =∴OA 3=1842⨯==312-，OA 2=1422⨯==212-，OA 1=1112122-⨯==， 以此类推△A n B n A n+1的边长为2n-1．故答案为2n-1．【点睛】本题考查了等边三角形的性质及含30°角的直角三角形的性质，根据得出的数值找到规律是解题的关键．12．如图，在ABC 中，D 是BC 上一点，,105AC AD DB BAC ==∠=︒，则B ∠=________°．25【分析】设∠ADC ＝α然后根据AC ＝AD ＝DB ∠BAC ＝105°表示出∠B 和∠BAD 的度数最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数进而求得∠B 的度数即可【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ∴∠B ＝ 解析：25【分析】设∠ADC ＝α，然后根据AC ＝AD ＝DB ，∠BAC ＝105°，表示出∠B 和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC 的度数，进而求得∠B 的度数即可．【详解】解：∵AC ＝AD ＝DB ，∴∠B ＝∠BAD ，∠ADC ＝∠C ，设∠ADC ＝α，∴∠B ＝∠BAD ＝2α ， ∵∠BAC ＝105°，∴∠DAC ＝105°﹣2α， 在△ADC 中， ∵∠ADC +∠C +∠DAC ＝180°，∴2α+105°﹣2α＝180°， 解得：α＝50°，∴∠B ＝∠BAD ＝2α＝25°， 故答案为：25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，()1,1A ，在x 轴上确定一点P ，使AOP 为等腰三角形，则符合条件的等腰三角形的顶角度数为______．90°45°135°【分析】此题应该分情况讨论以OA 为腰或底分别讨论当A 是顶角顶点时P 是以A 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有1个当O 是顶角顶点时P 是以O 为圆心以OA 为半径的圆与x 轴的交点共有2解析：90°，45°，135°【分析】此题应该分情况讨论．以OA 为腰或底分别讨论．当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有1个，当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，共有2个，若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，有1个，进而求出对应等腰三角形的顶角度数，即可．【详解】（1）若AO 作为腰时，有两种情况，①当A 是顶角顶点时，P 是以A 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°；②当O 是顶角顶点时，P 是以O 为圆心，以OA 为半径的圆与x 轴的交点，此时，顶角度数为：45°或135°；（2）若OA 是底边时，P 是OA 的中垂线与x 轴的交点，此时，顶角度数为：90°． 综上所述，符合条件的等腰三角形的顶角度数为：90°，45°，135°，故答案是：90°，45°，135°．【点睛】此题主要考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论． 14．如图，在Rt ABC 中，BAC 90︒∠=，AB 2=，M 为边BC 上的点，连接AM ．如果将ABM 沿直线AM 翻折后，点B 恰好落在边AC 的中点处，那么点M 到AC 的距离是________．【分析】过点M 作MP ⊥ACMQ ⊥AB 首先证明MP＝MQ 求出AC 的长度运用S △ABC ＝S △ABM ＋S △ACM 求出MP 即可解决问题【详解】如图设点B 的对应点为N 由题意得：∠BAM ＝∠CAMAB ＝AN ＝2解析：4 3【分析】过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，首先证明MP＝MQ，求出AC的长度，运用S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，求出MP即可解决问题．【详解】如图，设点B的对应点为N，由题意得：∠BAM＝∠CAM，AB＝AN＝2；过点M作MP⊥AC，MQ⊥AB，则MP＝MQ，设MP＝MQ=x，∵AN＝NC，∴AC＝2AN＝4；∵S△ABC＝S△ABM＋S△ACM，∴12AB•AC＝12AB•MQ＋12AC•MP，∴2×4＝2x＋4x，解得：x＝43，故答案为43．【点睛】该题主要考查了翻折变换的性质、角平分线的性质、三角形的面积公式及其应用，解题的关键是作辅助线，灵活运用三角形的面积公式来解答．15．等腰三角形的周长为24，其中一边为6，则另两边的长分别为__________．【分析】题中没有指明长为的边长是腰还是底则分两种情况进行分析还应验证是否满足三角形的三边关系【详解】当腰长是时底边长不能构成三角形；当底长是时三角形的腰能构成三角形其他两边长为故答案为：【点睛】本题解析：9，9【分析】题中没有指明长为6的边长是腰还是底，则分两种情况进行分析，还应验证是否满足三角形的三边关系．【详解】当腰长是6时，底边长246612=--=，6、6、12不能构成三角形；当底长是6时，三角形的腰()24629=-÷=，6、9、9能构成三角形，其他两边长为9、9．故答案为：9，9．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目—定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．16．如图，在ABC 中，AB AC =，36ABC ∠=︒，DE 是线段AC 的垂直平分线，连接AE ，若BE a =，EC b =，则用含有a ，b 的代数式表示ABC 的周长是______．【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ∠EAD=∠ECD=36°进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA 进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解【详解】∵AB解析：3a b +【分析】根据等腰三角形的性质∠BAC ＝108°，由线段垂直平分线的性质可得AE=CE ，∠EAD=∠ECD=36°，进而根据角的和差可得∠BAE ＝∠BEA ，进而可得BA ＝BE ＝AC 然后问题可求解．【详解】∵AB=AC ，∠ABC=36°，∴∠C=∠ABC=36°，∠BAC ＝108°，∵DE 是AC 的垂直平分线，∴AE=CE ，∴∠EAD=∠ECD=36°，∴∠AEC=108°=∠BAC ，∴∠BAE ＝∠BAC －∠CAE ＝108°－36°＝72°∵∠BEA ＝180°－∠AEC ＝180°－108°＝72°即∠BAE ＝∠BEA∴BA ＝BE∴BA ＝BE ＝AC ＝a∴△ABC 的周长＝AB ＋BE ＋EC ＋AC ＝3a ＋b故答案为：3a+b ．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定，熟练掌握垂直平分线的性质定理及等腰三角形的性质与判定是解题的关键．17．如图，已知点D 、点E 分别是边长为2a 的等边三角形ABC 的边BC AB 、的中点，连接,AD 点F 为AD 上的一个动点，连接,EF BF 、若,AD b =则BEF 的周长的最小值是__________．【分析】过C 作CE ⊥AB 于E 交AD 于F 连接BF 则BF+EF 最小证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b 即BF+EF=b 再根据等边三角形的性质可得BE=a 从而可得结论【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E 交AD解析：+a b【分析】过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，则BF+EF 最小，证△ADB ≌△CEB 得CE=AD=b ，即BF+EF=b ，再根据等边三角形的性质可得BE=a ，从而可得结论．【详解】解：过C 作CE ⊥AB 于E ，交AD 于F ，连接BF ，∵△ABC 是等边三角形，∴BE=12AB a = ∵等边△ABC 中，BD=CD ，∴AD ⊥BC ，∴AD 是BC 的垂直平分线（三线合一），∴C 和B 关于直线AD 对称，∴CF=BF ，即BF+EF=CF+EF=CE ，∴∠ADB=∠CEB=90°，在△ADB 和△CEB 中，∵ADB CEB ABD CBE AB CB ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADB ≌△CEB （AAS ），∴CE=AD=b ，即BF+EF=b ，∴BEF 的周长的最小值为BE+CF=a+b ，故答案为：a+b ．【点睛】 本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到等边三角形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识点的综合运用．18．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，BD 平分ABC ∠，如果9cm AC =，那么AD = ___________cm ．6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°进而得AD=BD 设AD=BD=x(cm)列出关于x 的方程即可求解【详解】∵在中∴∠ABC=60°∵BD 平分∴∠ABD=∠CBD=30°∴∠ABD=∠A ∴AD解析：6【分析】先求得∠ABD=∠CBD=30°，进而得AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，列出关于x 的方程，即可求解．【详解】∵在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，30A ∠=︒，∴∠ABC=60°,∵BD 平分ABC ∠，∴∠ABD=∠CBD=30°，∴∠ABD=∠A ，∴AD=BD ，设AD=BD=x(cm)，∵AC=9cm ，∴CD=(9-x)cm ， ∴912x x -=，即：x=6，∴AD =6．故答案是：6【点睛】本题主要考查等腰三角形的判定定理以及含30°角的直角三角形的性质，熟练掌握“直角三角形中，30°角所对的直角边是斜边的一半”是解题的关键．19．如图，ABC ∆中，AB AC =，点D 、E 、F 分别在AB 、BC 、CA 边上，且BE CF =，BD CE =，如果44A ∠=︒，则EDF ∠的度数为__．56°【分析】根据AB=AC 可证明又因为∠A=44°可求出∠ABC=∠ACB=68°根据利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：∵BE=CFBD=CE ∴在和中是等腰三角形；∴∠BDE解析：56°【分析】根据AB=AC 可证明DBE CEF ∆≅∆，又因为∠A=44°，可求出∠ABC=∠ACB=68°，根据DBE CEF ∆≅∆，利用三角形内角和定理即可求出∠EDF 的度数；【详解】解：AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，∵BE=CF ，BD=CE ，∴在DBE ∆和CEF ∆中BE CF ABC ACB BD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()DBE CEF SAS ∴∆≅∆，DE EF ∴=，DEF ∴∆是等腰三角形；DBE CEF ∆≅∆，∴∠BDE=∠CEF ，∠DEB=∠CFE ，180A B C ∠+∠+∠=︒，∠A=44°，1(18044)682B ∴∠=︒-︒=︒ ∴∠BDE+∠DEB=112°∴∠CEF +∠DEB=112°180112=68DEF ∴∠=︒-︒︒，18068562EDF ︒-︒∴∠==︒． 故答案为：56︒．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质的掌握，以及三角形的内角和定理和平角是180°，因此有一定的难度，属于中档题；20．△ABC 中，∠A =50°，当∠B =____________时，△ABC 是等腰三角形．50°或80°或65°【分析】由已知条件根据题意分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角∠B ＝∠A 时③∠A 是底角∠B ＝∠A 时利用三角形的内角和进行求解【详解】①∠A 是顶角∠B ＝（180°−∠A ）÷解析：50°或80°或65°【分析】由已知条件，根据题意，分三种情况讨论：①∠A 是顶角；②∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，③∠A 是底角，∠B ＝∠A 时，利用三角形的内角和进行求解．【详解】①∠A 是顶角，∠B ＝（180°−∠A ）÷2＝65°；②∠A 是底角，∠B ＝∠A ＝50°．③∠A 是底角，∠A ＝∠C ＝50°，则∠B ＝180°−50°×2＝80°，∴当∠B 的度数为50°或65°或80°时，△ABC 是等腰三角形．故答案为：50°或65°或80°．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的内角和定理；分情况讨论是正确解答本题的关键．三、解答题21．如图1，在直角△ABC 中，∠C=90°，分别作∠CAB 的平分线AP 和AB 的垂直平分线DP ，交点为P ．（1）如图2，若点P 正好落在BC 边上．①求∠B 的度数；②求证：BC=3PC ．（2）如图3，若点C 、P 、D 恰好在一条直线上，线段AD 、PD 、BC 之间的数量关系是否满足AD +PD=BC ？若满足，请给出证明；若不满足，请说明理由．解析：（1）①∠B 的度数是30°；②见解析；（2）满足，理由见解析【分析】（1）①由垂直平分线与角平分线的性质证明：∠PAD=∠PAC=∠B，再利用直角三角形的内角和定理即可得到答案；②先利用角平分线的性质证明PC=PD，再用∠B=30°证明BP=2PD，进而即可得到结论；（2）过点P作PE⊥AC于点E，由垂直平分线的性质可知AC=BC，∠ACD=∠BCD=45°，进而证明PE=CE，由角平分线的性质可知PE=PD，即可证明Rt△AEP≌Rt△ADP（HL），可得AE=AD，再利用线段的和差性质即可证明AD+PD=BC．【详解】（1）①∵DP是AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠PAD=∠B，又∵AP平分∠CAB，∴∠PAD=∠PAC，∴∠PAD=∠PAC=∠B，设∠B=x°，则∠CAB=∠PAD+∠PAC=2x°，∵在Rt ABC中，∠C=90°，∴∠B+∠BAC=90°，即3x=90，x=30，∴∠B的度数是30°．②∵AP平分∠CAB，∠C=90°，DP⊥AB，∴PC=PD，∵在Rt△BDP中，∠B=30°，∴BP=2PD，∴BC=BP+PC=3PC．（2）如图，过点P作PE⊥AC于点E，∵CD是AB的垂直平分线，∴AC=BC，∴∠ACD=∠BCD=1∠ACB=45°．2∵PE⊥AC，∴∠CPE=90°−∠PCE=90°−45°=45°=∠PCE，∴PE=CE，又∵AP平分∠CAB，PD⊥AB，PE⊥AC，∴PE=PD，∴在Rt △AEP 和Rt △ADP 中，,,AP AP PE PD =⎧⎨=⎩ ∴Rt △AEP ≌Rt △ADP （HL ），∴AE=AD ，∴AC=AE+EC=AD+PE=AD+PD ，又∵AC=BC ，∴AD+PD=BC ．【点睛】本题考查了角平分线的性质、垂直平分线的性质、三角形的内角和定理、锐角三角函数、等腰直角三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、含30°的直角三角形的性质、线段的和差性质，解答本题的关键是掌握并熟练运用以上知识．22．如图，在△ABC 中，AB 边的中垂线PQ 与△ABC 的外角平分线交于点P ，过点P 作PD ⊥BC 于点D ，PE ⊥AC 于点E ．（1）求证：BD =AE ；（2）若BC =6，AC =4．求CE 的长度．解析：（1）见解析；（2）CE =1【分析】（1）连接PA 、PB ，根据角平分线的性质得到PD=PE ，根据线段垂直平分线的性质得到PA=PB ，证明Rt △AEP ≌Rt △BDP ，根据全等三角形的性质得到AE=BD ；（2）结合图形计算得到答案．【详解】（1）连接PA 、PB ，∵CP 是∠BCE 的平分线，PD ⊥BC ，PE ⊥AC ，∴PD =PE ，在Rt △CDP 和Rt △CEP 中，PD PE PC PC =⎧⎨=⎩， ∴Rt △CDP ≌Rt △CEP （HL ）∴CD =CE ，∵PQ 是线段AB 的垂直平分线，∴PA =PB ，在Rt △AEP 和Rt △BDP 中，PE PD PA PB =⎧⎨=⎩， ∴Rt △AEP ≌Rt △BDP （HL ），∴AE =BD ；（2）AC +CE +CD =BD +CD =BC =6， ∴1(64)12CE CD ==⨯-=． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．23．如图，BD 是ABC 的角平分线，点E 在边AB 上，且//DE BC ，AE BE =． （1）若5BE =，求DE 的长；（2）求证：AB BC =．解析：（1）DE=5；（2）证明见解析．【分析】（1）根据角平分线和平行线的性质可得∠ABD=∠EDB ，从而可得DE= BE=5；（2）根据等边对等角得出∠A=∠ADE ，根据平行线的性质可得∠C=∠ADE ，从而可得∠A=∠C ，根据等角对等边可证得结论．【详解】解：（1）∵BD 是ABC 的角平分线，∴∠ABD=∠DBC ，∵DE//BC ，∴∠EDB=∠DBC ，∴∠ABD=∠EDB ，∴BE=DE ，∵BE=5,∴DE=5；（2）∵AE=BE ，BE=DE ，∴AE=DE ，∴∠A=∠ADE ，∵DE//BC ，∴∠C=∠ADE ，∴∠A=∠C ，∴AB=BC ．【点睛】本题考查等腰三角形的性质和判定，平行线的性质．解决此题的关键是借助等腰三角形的性质和判定完成边相等与角相等之间的互相转化．24．如图，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，AD 是高，E 是AB 上一点，连接DE ，过点D 作DF DE ⊥，交AC 于点F ，连接EF ，交AD 于点G ．（1）若6AB =，2AE =，求线段AF 的长；（2）求证：AGF AED ∠=∠．解析：（1）4；（2）见解析【分析】（1）证△ADE ≌△CDF （ASA ），得AE=CF=2，即可得出答案；（2）由全等三角形的性质得DE=DF ，则△DEF 是等腰直角三角形，得∠DEF=∠DFE=45°，再由三角形的外角性质即可得出结论．【详解】（1）解：∵△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是高，∴BD=CD=AD=12BC ，∠B=∠C=45°，∠BAD=∠CAD=12∠BAC=45°， ∵DF ⊥DE ，∴∠EDF=∠ADC=90°，∴∠ADE=∠CDF ，在△ADE 和△CDF 中， ADE CDF AD CDBAD C ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△ADE ≌△CDF （ASA ），∴AE=CF=2，∵AC=AB=6，∴AF=AC-CF=6-2=4；（2）证明：由（1）得：△ADE ≌△CDF ，∴DE=DF ，又∵∠EDF=90°，∴△DEF 是等腰直角三角形，∴∠DEF=∠DFE=45°，∵∠AGF=∠DAE+∠AEG=45°+∠AEG ，∠AED=∠DEF+∠AEG=45°+∠AEG ，∴∠AGF=∠AED ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识；熟练掌握等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．25．如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，CAP 和CBQ △都是等边三角形，BQ 和CP 交于点H ，求证：BQ CP ⊥．解析：见解析【分析】由已知条件证得∠BHC=90°即可得到解答．【详解】∵CAP 和CBQ △都是等边三角形；∴60ACP CBQ ∠=∠=︒， ∵90ACB ∠=︒，∴30BCP ACB ACP ∠=∠-∠=︒在BCH 中，18090BHC BCH CBH ∠=︒-∠-∠=︒∴BQ CP ⊥【点睛】本题考查等边三角形和直角三角形的综合运用，熟练掌握等边三角形、直角三角形的性质并灵活运用是解题关键．26．如图，等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 在线段AD 上，45EBC ∠=︒，求ACE ∠的度数．解析：15°【分析】根据等边三角形的性质可得∠ACB 的度数，并证得 AD 是BC 的垂直平分线，利用线段垂直平分线性质定理可得BE=CE ，再由等腰三角形的性质可求得∠ECB 的度数，即可求得结论．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，AD BC ⊥ ，∴60ACB ∠=︒，BD CD =，∴AD 是BC 的重直平分线，点E 在线段AD 上∴BE CE =．∵45EBC ∠=︒，∴45ECB EBC ∠=∠=︒，∴6045=15ACE ACB ECB ∠=∠-∠=︒-︒︒．【点睛】此题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，掌握相关的性质定理并能灵活应用所学知识是解题的关键．27．如图，点A ，C ，D ，B 四点共线，且AC BD =，A B ∠=∠，ADE BCF ∠=∠．（1）求证：ADE BCF ≌；（2）若9DE =，CG 4=，求线段EG 的长．解析：（1）证明见解析；（2）5EG =．【分析】（1）根据AC=BD 可得AD=BC ，然后利用已知条件根据ASA 即可证明全等；（2）根据（1）中的全等可得∠ADE=∠BCF ，再结合等角对等边可得4DG CG ==，最后利用线段的和差即可求得EG 的长度．【详解】解：（1）证明：∵AC=BD ，∴AC+CD=BD+CD ，∴AD=BC ，在△ADE 和△BCF 中，A B AD BCADE BCF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△BCF （ASA ）；（2）∵△ADE ≌△BCF ，∴∠ADE=∠BCF ，∴4DG CG ==，∵9DE =，∴5EG DE DG =-=．【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形等角对等边．熟练掌握全等三角形的几种判定定理，并能结合题中所给条件灵活运用是解题关键．28．小红发现，任意一个直角三角形都可以分割成两个等腰三角形．已知：在ABC 中，90ACB ∠=︒．求作：直线CD ，使得直线CD 将ABC 分割成两个等腰三角形．下面是小红设计的尺规作图过程．作法：如图，①作直角边CB 的垂直平分线MN ，与斜边AB 相交于点D ；②作直线CD ．所以直线CD 就是所求作的直线．根据小红设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：∵直线MN 是线段CB 的垂直平分线，点D 在直线MN 上，∴DC DB =．（_______）（填推理的依据）∴∠_______=∠__________．∵90ACB ∠=︒，∴90ACD DCB ∠=︒-∠，90A ∠=︒-∠_________．∴ACD A ∠=∠．∴DC DA =．（_______）（填推理的依据）∴DCB 和DCA △都是等腰三角形．解析：（1）见解析；（2）线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【分析】（1）根据题意，按照尺规作图的基本要求，完成作图即可；（2）根据证明过程可分析得出：此题的证明思路是利用线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定，则可根据推理过程补充相应的内容即可．【详解】解：（1）补全的图形如下：（2）证明：∵直线MN是线段CB的垂直平分线，点D在直线MN上，∴DC＝DB．（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）∴∠DCB＝∠DBC．∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＝90°−∠DCB，∠A＝90°−∠DBC．∴∠ACD＝∠A．∴DC＝DA．（等角对等边）∴△DCB和△DCA都是等腰三角形．故答案为：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等；DCB，DBC；DBC；等角对等边．【点睛】本题考查了作图−应用与设计作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定，解决本题的关键是掌握线段垂直平分线的性质与等腰三角形的判定．。
2014-2015学年八年级上学期期中联考数学试题(含答案)
2014-2015学年八年级上学期期中联考数学试题（含答案）（时间：100分钟，满分：100分）一、选择题（每题3分，共30分）1、下面各组线段中，能组成三角形的是（ ）A ．5，11，6B ．8，8，16C ．10，5，4D ．6，9，14 2、下列命题中：⑴形状相同的两个三角形是全等形；⑵在两个三角形中，相等的角是对应角，相等的边是对应边；⑶全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等.其中真命题的个数有（ ）A.3个B.2个C.1个D.0个 3、一个多边形内角和是10800，则这个多边形的边数为 （ ） A 、 6 B 、 7 C 、 8 D 、 9 4、等腰三角形的一个角是50，则它的底角是（ ） A. 50 B. 50或65 C 、80 D 、65 5、和点P （2，5-）关于x 轴对称的点是（ ）A （-2，5-）B （2，5-）C （2，5）D （-2，5） 6、已知直角三角形中30°角所对的直角边为2 cm ，则斜边的长为（ ）． A ．2 cm B ．4 cm C ．6 cm D ．8 cm7、如图，已知12=∠∠，AC AD =，增加下列条件：①AB AE =；②BC ED =；③C D =∠∠；④B E =∠∠．其中能使ABC AED △≌△的条件有（ ） Ａ．4个 Ｂ．3个Ｃ．2个 Ｄ．个8、如图，先将正方形纸片对折,折痕为MN ，再把B 点折叠在折痕MN 上，折痕为AE ，点B 在MN 上的对应点为H ，沿AH 和DH 剪下，这样剪得的三角形中 ( ) A ．AD DH AH ≠= B ．AD DH AH == C ．DH AD AH ≠= D ．AD DH AH ≠≠9、如图，把△ABC 纸片沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，∠A 与∠1＋∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )A ．∠A＝∠1＋∠2B ．2∠A＝∠1＋∠2C ．3∠A＝2∠1＋∠2D ．3∠A＝2(∠1＋∠2)10、把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变换（如图1）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两个对应三角形（如图2）的对应点所具有的性质是（ ） A ．对应点连线与对称轴垂直 B ．对应点连线被对称轴平分 C ．对应点连线被对称轴垂直平分 D ．对应点连线互相平行 二、填空题（每题3分，共24分）11、为了使一扇旧木门不变形，木工师傅在木门的背面加钉了一根木条这样做的道理是_________ ______。
广东省区广州市执信中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题
广东省区广州市执信中学2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题一、单选题1．下列图形不是．．轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．2．以下各组线段为边，能组成三角形的是（）A ．1，2，4B ．8，6，4C ．12，5，6D ．2，3，63．如图，要使ABC ABD △≌△，下面给出的四组条件中，错误的一组是()A ．C D ∠=∠，BAC BAD ∠=∠B ．BC DB =，BAC BAD ∠=∠C ．BAC BAD ∠=∠，ABC ABD∠=∠D ．BC BD =，AC AD=4．一个多边形的每个内角均为120︒，则这个多边形是（）A ．七边形B ．六边形C ．五边形D ．四边形5．下列运算正确的是（）A ．235a a a +=B ．2222a a a =g C ．532632a a a ÷=D ．()325a a -=-6．如图所示ABC V 与某长方形相交于的A 、E 、D 、F 点，如果35,20B BAF ∠=︒∠=︒，那么CDE ∠=（）A ．15︒B ．55︒C ．45︒D ．50︒7．如图，在ABC V 中，点D ，E 分别是边BC AB ，的中点，若ABC V 的面积等于8，则BDE V 的面积等于（）A ．2B ．3C ．4D ．58．如图，ABC AED ≌△△，点D 在BC 边上．若40EAB ∠=︒，则ADE ∠的度数是（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒9．已知23x =，26y =，212z =，则下列给出x ，y ，z 之间的数量关系式中，错误的是（）A ．4x z=B ．2x z y+=C ．1y z+=D ．1x y+=10．如图，在ABC V 中，90ACB ∠=︒，AC BC =，AD 平分BAC ∠，CE AD ⊥交AB 于E ，点G 是AD 上的一点，且45ACG ∠=︒，连BG 交CE 于P ，连DP ，下列结论：①AC AE =，②CD BE =，③2BG DP AD +=，④PG PE =，其中正确的有（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④二、填空题11．计算：()32x -=.12．已知点A 的坐标为（－2，－3），则点A 关于x 轴对称的点的坐标为．13．已知一个正n 边形的一个内角等于一个外角的32倍，则n =．14．如图，在ABC V 中，B ∠与C ∠的平分线交于点O ，过点O 作DE BC ∥，分别交AB 、AC 于点D 、E ．若9AB =，7AC =，则ADE V 的周长是．15．如图，30AOB ∠=︒，OP 平分AOB ∠，,PC OB PD OB ⊥∥，如果6PC =，那么PD 等于．16．如图，四边形ABCD 中，对角线AC BD ⊥，点F 为CD 上一点，连接AF 交BD 于点E ，AF AB ⊥，DE DF =，45BAG ABC ∠=∠=︒，2AE EF =，20AB =，则AF =．三、解答题17．计算：(1)()352a a b -(2)()2215105x y xy xy-÷18．如图，点A 、D 、C 、F 在同一条直线上，AD CF =，BCA F ∠=∠，BC EF =．求证：ABC DEF ≌△△．19．在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标分别为()5,2A ，()3,5B ，(1)画出ABC V 关于y 轴对称的111A B C △；(2)分别写出1B ，C 的坐标；(3)111A B C △的面积为20．先化简，再求值：()()()23a b a b a a b -+--，其中2a =-，1b =-21．如图，在ABC V 中，AC AE =，BC BD =，若20A ∠=︒，40B ∠=︒，求DCE ∠的度数．22．如图所示．在ABC V 中，已知AB AC =，90BAC ∠=︒，D 是BA 上的一点，EC BC ⊥，EC BD =，点F 为DE 的中点．求证：(1)ABD ACE ≌△△；(2)AF D E ⊥．23．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上有一点D ，延长BD ，并在BD 的延长线上取点E ，使AE ＝AB ，连接AE ．（1）作图：作∠EAC 的平分线AF ，AF 交DE 于点F ，（用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF ，求证：∠ABE ＝∠ACF ．24．已知ABC V 是等边三角形，E F 、分别是边BC AC 、上的点，AE 与BF 相交于点G ，且BE CF =．(1)如图（1），求证：BCF V ≌ABE ，并直接写出AGF ∠的度数；(2)如图（2），若DF AE ⊥，垂足为D ，且2,7DG BF ==，求BG 的长度；(3)如图（3），以AB 为边在左侧作等边ABD △，连接,10,7DG DG AG ==，求BG 的长度．25．如图，在ABC V 中，90ABC ∠=︒，AB BC =，点A ，B 分别在坐标轴上．(1)如图①，若点C 的横坐标为2-，点B 的坐标为；(2)如图②，若x 轴恰好平分BAC ∠，BC 交x 轴于点M ，过点C 作CD 垂直x 轴于D 点，试猜想线段CD 与AM 的数量关系，并说明理由；(3)如图③，OB BF =，90OBF ∠=︒，连接CF 交y 轴于P 点，点B 在y 轴的正半轴上运动时，线段AO 与PB 的数量关系是否发生改变？如不变，试猜想线段AO 与PB 的数量关系，并说明理由．。
2014-2015学年广东省广州广大附八年级(上)期中数学试卷
9．（2014秋•越秀区校级期中）如果ab=﹣1，n=2012的值为（ ） A．﹣2012 2012 C．110．（2011•呼伦贝尔）如图，△ACB≌△A′CB′，∠的度数为（ ）D．40°越秀区校级期中）一个三角形两边长分别为2和9，则第三边长围 ．15．（2014秋•越秀区校级期中）如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，F，△ABC的面积是27cm2，AB=10cm，AC=8cm，则DE的长为 18．（2014秋•越秀区校级期中）先化简，再求值：（x+2）2﹣（x+1）（x﹣1），其中x=﹣．19．（2014秋•孟津县期中）已知：a+b=3，ab=2，求a2+b2的值．20．（2014秋•越秀区校级期中）已知：如图，AB⊥BC，AD⊥DC，且AD=AB．求证：BC=DC．21．（2014秋•越秀区校级期中）已知△ABC中，∠C=90°，点D在AC上，DE⊥AB于点E，且DC=DE，∠A=40°，求∠CBD的度数．22．（2011•内江）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AC=2AB，点D是AC的中点．将一块锐角为45°的直角三角板如图放置，使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合，连接BE、EC．试猜想线段BE 和EC的数量及位置关系，并证明你的猜想．23．（2014秋•越秀区校级期中）附加题：（此题分数加入总分，但总分超过100分就计100分）如图，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C 点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动．（1）如果点P、Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由；（2）若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，是否存在某一个时刻，使得△BPD 与△CQP全等？如果存在请求出这一时刻并证明；如果不存在，请说明理由．5．（2014秋•越秀区校级期中）如图， A35°将△ABC分为三个三角形，则 A1：1：1 B，∴△ABC≌△，∴△ABC≌△BAD（∴×DE+×﹣．﹣时，原式（﹣）中，，BCD=∠CBA=×AD=CD=AC∵在△EAB和△EDC，∴△EAB≌△EDC（BD=AC=5=CP∵，∴△BDP≌△CPQ∵△BDP和△CPQ全等，∠B=∴或（此方程组无解）解得：t=2，在△BDP和△∵，∴△BDP≌△CQP。
2018-2019学度广东省广州市执信中学初二(上)年中数学试卷
2018-2019学度广东省广州市执信中学初二（上）年中数学试卷2014-2015学年广东省广州市执信中学八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每一个小题3分，共30分）1．（3分）（2012?安顺）一个多边形的内角和是900°，则这个多边形的边数是（）A．6 B．7 C．8 D．92．（3分）（2012?海南）一个三角形的两边长分别为3cm和7cm，则此三角形第三边长可能是（）A．3cm B．4cm C．7cm D．11cm3．（3分）（2014秋?荔湾区校级期中）下列各式运算正确的是（）A．a2+a3=a5B．a2?a3=a5C．（ab2）3=ab6D．a10÷a2=a5（a≠0）4．（3分）（2013秋?嘉峪关校级期末）若3x=15，3y=5，则3x﹣y等于（）A．5 B．3 C．15 D．105．（3分）（2014秋?荔湾区校级期中）如图，一副分别含有30°和45°角的两块直角三角板，拼成如下图形，其中∠C=90°，∠B=30°，∠E=45°，则∠BFD的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．10°6．（3分）（2014秋?荔湾区校级期中）如图，△ABD≌△ACE，点B和点C是对应顶点，AB=8，AD=6，BD=7，则BE的长是（）A．1 B．2 C．4 D．67．（3分）（2010秋?浦东新区期末）如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．6米B．9米C．12米D．15米8．（3分）（2014秋?荔湾区校级期中）如图，在△ABC中，已知∠B和∠C的平分线相交于点D，过点D作EF∥BC交AB、AC于点E、F，若△AEF的周长为9，BC=6，则△ABC的周长为（）A．18 B．17 C．16 D．159．（3分）（2015春?宿州期末）如（x+m）与（x+3）的乘积中不含x的一次项，则m的值为（）A．﹣3 B．3 C．0 D．110．（3分）（2004?绍兴）已知∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，P1与P关于OB对称，P2与P关于OA对称，则P1，O，P2三点所构成的三角形是（）A．直角三角形B．钝角三角形C．等腰三角形D．等边三角形二、填空题（每题2分，共10题，满分20分）11．（2分）（2014秋?荔湾区校级期中）正十二边形的外角和为．12．（2分）（2013?海南）如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A= °．13．（2分）（2012?泉州）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD= ．14．（2分）（2007秋?西城区期末）如图，用圆规以直角顶点O为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A、B两点，若再以A为圆心，以OA为半径画弧，与弧AB交于点C，则∠AOC等于．15．（2分）（2013秋?宁海县期中）在△ABC中，与∠A相邻的外角是100°，要使△ABC是等腰三角形，则∠B的度数是．16．（2分）（2014秋?荔湾区校级期中）已知点A（x，﹣4）与点B（3，y）关于y轴对称，那么xy的值为．17．（2分）（2013秋?沙坪坝区期中）如图，∠BAC=100°，∠B=40°，∠D=20°，AB=3，则CD= ．18．（2分）（2014秋?赛罕区校级期中）如图，已知AE平分∠BAC，BE⊥AE于E，ED∥AC，∠BAE=36°，那么∠BED= ．19．（2分）（2014秋?大同期末）如图，已知△ABC的周长是24，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于D，且OD=3，则△ABC的面积是．20．（2分）（2012?淮安模拟）如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝的距离之最大值为．。
广东省广州市执信中学2015届高三上学期期中考试数学(理)
2014-2015学年度第一学期高三级理科数学科期中考试试卷本试卷分选择题和非选择题两部分，共10页，满分为150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。
2、选择题每小题选出答案后，有2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。
第一部分选择题(共40分)一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若集合，且，则集合可能是（）A． B． C． D．2．下列说法正确的是（ ）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．命题“∀x≥0，x2＋x－1＜0”的否定是“∃x0＜0，x＋x0－1＜0”C．命题“若x＝y，则sin x＝sin y”的逆否命题为假命题D．若“”为真命题，则p，q中至少有一个为真命题3．已知数列{}为等差数列，公差，为其前n项和.若，则=（）A． B． C． D．4．将正方形（如图1所示）截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为（）5．在中，已知,则的面积是（）A． B． C．或 D．6．设曲线在点处的切线与直线垂直，则（）A． B． C． D．7．在中，点在上，且，点是的中点，若，，则（）A． B． C． D．8．已知函数,把函数的零点按从小到大的顺序排列成一个数列,则该数列的通项公式为（ ）A．B．C．D．第二部分非选择题(共 110分)二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（一）必做题（9 ～ 13题）9．已知复数（其中，是虚数单位），则的值为10．若，则常数T的值为________．11．设满足约束条件,则的最大值是 ．12．已知的展开式中第5项的系数与第3项的系数比为56：3，则．CyxOAB13．如图，在平面直角坐标系中，点A为椭圆E：的左顶点，B、C在椭圆上，若四边形OABC为平行四边形，且∠OAB＝30°，则椭圆E的离心率等于．（二）选做题（14 ～ 15题，考生只能从中选做一题）14．在极坐标系中,曲线与的公共点到极点的距离为__________FAEDBC15．如图,已知圆中两条弦与相交于点,是延长线上一点,且,,若与圆相切,则线段的长为 ．三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）用五点作图法列表，作出函数在上的图象简图．（Ⅱ）若，，求的值．17．（本小题满分14分）在三棱柱ABC—A1B1C1中，已知，，在底面的射影是线段的中点．（Ⅰ）证明：在侧棱上存在一点，使得⊥平面，并求出的长；（II）求二面角的余弦值．18．（本小题满分14分）袋中装着标有数学1，2，3，4，5的小球各2个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等，用表示取出的3个小球上的最大数字，求：（Ⅰ）取出的3个小球上的数字互不相同的概率；（Ⅱ）随机变量的概率分布和数学期望；19．（本小题满分12分）已知，点在函数的图像上，其中（Ⅰ）证明：数列是等比数列；（Ⅱ）设，求（Ⅲ）记，求数列的前项和20．（本小题满分13分）已知椭圆的离心率为，过的左焦点的直线被圆截得的弦长为.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设的右焦点为，在圆上是否存在点，满足,若存在，指出有几个这样的点（不必求出点的坐标）;若不存在，说明理由.21．（本小题满分14分）设函数.（Ⅰ）当时，判断函数的单调性，并加以证明；（Ⅱ）当时，求证：对一切恒成立；（Ⅲ）若，且为常数，求证：的极小值是一个与无关的常数.2014-2015学年度第一学期班级：_______________姓名：_______________学号：_______________O•••••••••••••••••••••• 密••••••••••••••••••••••O•••••••••••••••••••••• 封 ••••••••••••••••••••••O•••••••••••••••••••••• 线••••••••••••••••••••••O高三级理科数学期中考试答卷注意事项：1、本答卷为第二部分非选择题答题区。
广东省广州市越秀区执信中学八年级(上)期中数学试卷
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标
志中，是轴对称图形的是（ ）
A．
B．
C．
D．
2．（3 分）不一定在三角形内部的线段是（ ）
A．三角形的角平分线
（1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线 DE 对称的△A1B1C1．
（2）在 DE 上画出点 P，使 PB1+PC 最小，根据：
．
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（3）在 DE 上画出点 Q，使 QA+QC 最小，根据：
．
18．如图，B 处在 A 处的南偏西 45°方向，C 处在 A 处的南偏东 30°方向，C 处在 B 处的北偏东 80°方向，求∠ACB 的度数．
19．如图，已知△ABC 的周长为 24cm，AD 是 BC 边上的中线，AD＝ ＝8cm，△ABD 的周长是 18cm，求 AC 的长．
，AB
20．如图，已知 BC＝DE，∠C＝∠E，∠DAB＝∠EAC，求证：AD＝AB．
21．如图，AB∥CD，E 是 AD 的中点，CE 的延长线与 BA 的延长线交于 G 点．求 证：CD＝AG．
A．6
B．7
C．8
D．9
10．（3 分）如图，在等边△ABC 中，AC＝9，点 O 在 AC 上，且 AO＝3，点 P
是 AB 上一动点，连结 OP，将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD，
要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是（ ）
A．3
B．5
C．6
D．8
二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分）
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1、若一个多边形的内角和是9000，则这个多边形的边数是（ ）A ． 4B ． 5C ． 6D ． 7 2、若一个三角形的两边长分别为３cm 和７cm ,则此三角形第三边长可能是（ ）A ．3cmB ．4 cmC ． 7 cmD ．11cm 3、下列各式运算正确的是（ ）A ．532a a a =+ B ．532a a a =⋅ C ．632)(ab ab = D ．5210a a a=÷ (0)a ≠4、若3x =15, 3y =5，则3x y-=（ ）A ．5B ．3C ．15D ．105、如图，一副分别含有30º和45º角的两块直角三角板，拼成如下图形，其中∠C ＝90º，∠B ＝30º，∠E ＝45º，则∠BFD 的度数是（ ）A ．15ºB ．25ºC ．30ºD ．10º7、如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（ ）A ． 6米B ．9米C ．12米D ．15米8、如图，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点D ，过点D 作EF ∥BC 交AB 、AC 于点E 、F ，若△AEF 的周长为9，BC =6，则△ABC 的周长为（ ） A ．18B ．17C ．16D ．159、若(x ＋m )与(x ＋3)的乘积中不含x 的一次项，则m 的值为（ ）10、已知∠AOB =30°，点P 在∠AOB 内部，P 1与P 关于OB 对称，P 2与P 关于OA 对称，则P 1，O ，P 2三点所构成的三角形是（ ）A ．直角三角形B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形第二部分非选择题 (共90 分)二、填空题（每题2分，共10题，满分20分） 11、正十二边形的外角和为 ．12、如图，AB ∥CD ，AE =AF ，CE 交AB 于点F ，∠C =110°，则∠A =________． 13、如图，在△ABC 中，AB =AC ，BC =6，AD ⊥BC 于D ，则BD =_________ ．14、如图，用圆规以直角顶点O 为圆心，以适当半径画一条弧交两直角边于A 、B 两点，若再以A 为圆心，以OA 为半径画弧，与弧AB 交于点C ，则∠AOC 等于 ___．15、在△ABC 中，与∠A 相邻的外角是100°，要使△ABC 是等腰三角形，则∠B 的度数是 _ _． 16、已知点A （x ，－4）与点B （3，y ）关于y 轴对称，那么xy 的值为____________． 17、如图，∠BAC =100°，∠B =40°，∠D =20°，AB =3，则CD = _______．19、如图，已知△ABC 的周长是24，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于D ，且OD =3，则△ABC 的面积是 ．20、如图，用四个螺丝将四条不可弯曲的木条围成一个木框，不计螺丝大小，其中相邻两螺丝的距离依序为2、3、4、6，且相邻两木条的夹角均可调整．若调整木条的夹角时不破坏此木框，则任两螺丝间距离的最大值为 ．第12题图第13题图第14题图三、解答题（共9小题，满分70分） 21、作图题（10分）（1）（6分）在3×3的正方形格点图中，有格点△ABC 和△DEF ，且△ABC 和△DEF 关于某直线成轴对称，请在下面给出的图中画出3个这样的△DEF 。
要画出对称轴，不写结论。
（2）（4分）如图，现在甲、乙、丙三家公司共建一个污水处理站P ，使得该站到乙、丙两家公司的距离相等，且使甲公司到污水处理站P 的距离最短，试在图中确定污水处理站P 的位置。
（要求尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，但要写结论）22、计算:（每题2分，共6小题，满分12分）（1） 32()a - （2）2(3)x y -·(213xy ) （3）34223()()a b ab ÷（4）2()a a b -- （5）(2)(2)x y x y +-． （6）2(93)(3)x x x -+÷-=23、（4分）先化简，再求值：()()()22111x x x x x -+-+-，其中2x =．BBB甲 ∙乙 ∙∙丙24、(每题4分，共8分)解下列方程与不等式（1） 3(7)18(315)x x x x -=--； （2）(3)(7)8(5)(1)x x x x +-+>+-．25、（6分）如图，AB =AC ，∠C =67°，AB 的垂直平分线EF 交AC 于点D ，求∠DBC 的度数．26、（7分）如图，△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ，若AD =6，求AC 的长．27、（7分）已知：如图，在△ABC 中，AB =BC ，∠ABC =120°，BE ⊥AC 于点D ，且DE =DB ，试判断△CEB 的形状，并说明理由． 第25题图第26题图第27题图28、（8分）如图，在△ABC 和△DBC 中，∠ACB =∠DBC = 90º，E 是BC 的中点，EF ⊥AB于点F ，且AB = DE ．(1)求证：△ACB ≌△EBD ；（4分）(2)若10DB =，求AC 的长． （4分）29、（8分）在△ABC 中，∠ACB = 90º，,8AC BC AB ==,CD ⊥AB ,垂足为D ，M 为边AB 上任意一点，点N在射线CB 上（点N 与点C 不重合），且,MC MN NE AB =⊥，垂足为E 。
（1）如图1，直接求出CD 的长。
（1分） （2）如图1，当∠MCD =30º时，直接求出 ME 的长。
（1分）（3）如图2，当点M 在边AB 上运动时，试 探索ME 的长是否会改变？说明你的理由？（6分）解：（1）CD = ． （2）ME = ．（3） ，理由如下： ACBDMNE 第29题图2第28题图第29题图1ABD MECN12 34参考答案一、选择题 DCBBA BBDCD 二、填空题11、360º 12、40º 13、3 14、60º 15、50º或80º 16、12 17、3 18、126º 19、24 20、7 三、解答题21、（1）图略，（2）如右图 22、(1) 6a (2) 33x y - （3）32a b （4）222a ab -+ （5）24x y - （6）31x - 23、化简为x +1．（化简3分） 求值为3 （求值1分） 24、（1）x =3 (2) x <－1 (按步骤给分)25、解：∵AB =AC ，∠C =67°，∴∠ABC =∠C =67°，－－－－－－（2分）∴∠A =180°－67°－67°=46°，－－－－－－（3分） ∵EF 是AB 的垂直平分线，∴AD =BD ，－－－－－－－－－（4分） ∴∠A =∠ABD =46°，－－－－－（5分）∴∠DBC =67°－46°=21°－－－－－－－－（6分）26、解：∵△ABC 中，∠C =90°，∠ABC =60°，BD 平分∠ABC ， ∴∠2=∠3=30°；（1分） 在Rt △BCD 中，CD =BD ，∠4=90°﹣30°=60°（直角三角形的两个锐角互余）；（3分） ∴∠1+∠2=60°（外角定理）， ∴∠1=∠2=30°，∴AD =BD （等角对等边）；（5分）(E )第25题图∴AC =AD +CD =AD ；（6分） 又∵AD =6， ∴AC =9．（7分）27、（7分）解：△CEB 是等边三角形．（1分） 证明：∵AB =BC ，∠ABC =120°，BE ⊥AC ， ∴∠CBE =∠ABE =60°．（3分） 又DE =DB ， BE ⊥AC ， ∴CB =CE ．（5分）∴△CEB 是等边三角形．（7分）28、(1)证明∵∠DEB +∠ABC = 90º，∠A +∠ABC = 090， ∴∠DEB =∠A ，（2分）又∵DE = BA ，∠DBE =∠BCA = 090， ∴△ACB ≌△EBD (AAS )． （4分）(2)解：由△ACB ≌△EBD ,则有BC = DB ,AC = EB ,（5分） ∵E 是BC 的中点，∴EB =BC 21, （6分） ∵DB = 8，BC = DB ，∴BC = 10, （7分） ∴AC =EB =BC 21= 5． （8分） 第27题图第28题图③、如备用图所示，如果点N 在边CB 上，可知点M 在线段BD 上， 且点E 在边AB 的延长线上。
（2分）综上所述：由①②③可知，当点M 在边AB 上移动时，线段ME 的长不变，ME =4。
45,45.90()4ABC MNC BMN BCD MCD MCN MCN MNC MCD BMN MCD NME MCD NME MDC NEM MCD NME AAS MC NM ME CD ∠=∠+∠=︒∠=∠+∠=︒∠=∠∴∠=∠∆∆∠=∠⎧⎪∠=∠=︒∴∆≅∆⎨⎪=⎩∴== 在和中。