概率论与数理统计模拟试卷和答案
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷20(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷20(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．若，则必有A．P(C)≤P(A)+P(B)一1．B．P(C)≥P(A)+P(B)一1C．P(C)=P(AB)D．P(C)=P(A ∪B)．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A | B)+=1，则A与B必A．不相容．B．对立．C．独立．D．不独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计3．设三事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是：A．A与BC独立．B．AB与A ∪C独立．C．AB与AC独立．D．A ∪B与A ∪C独立．正确答案：A解析：∵“两两独立”指P(AB)=P(A)P(B)，P(AC)=P(A)P(C)，P(BC)=P(B)P(C)；而“相互独立”指上述3个式子，另加P(ABC)=P(A).P(B)P(C)共4个式子成立．注意P(ABC)=P(A(BC))，只有(A)可选．知识模块：概率论与数理统计4．设三事件A，B，C相互独立且0＜P(C)＜1，则下述事件中不独立的是：A．B．C．D．正确答案：B解析：∵AB与中都含C的运算(即有公共的事件C)，无法保证独立，而另3项选择却都是“相互独立”的．知识模块：概率论与数理统计5．设事件A与B独立且不相容，则min[P(A)，P(B)]=_______．A．1B．0C．D．不能确定．正确答案：B解析：∵AB=φ，得0=P(AB)=P(A)P(B)，可见P(A)与P(B)中至少有一个为0，故min[P(A)，P(B)]=0．知识模块：概率论与数理统计6．对事件A，B,已知P(A)=1，则必有：A．A=Ω．B．C．A与B独立．D．P(B)＜P(A)正确答案：C解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选(C)．注意由“P(A)=1”推不出“A=Ω”，而有可能B=Ω呢!故另3个选项不行．知识模块：概率论与数理统计7．抛n次硬币(该币每次出现正面的概率均为p)，则共出现偶数次正面的概率为：A．B．C．D．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．设X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，P{|X一μ|＜σ}：A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．设随机变量X的密度为f(x)，且f(-x)=f(x)，x∈R1．又设X的分布函数为F(x)，则对任意实数a，F(-a)等于A．1一∫0af(x)dxB．C．F(a)D．2F(a)一1正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．对事件A，B，已知，则P(A)=_____，P(B)=______=_______正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计11．设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件．已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为________．正确答案：记A={取的2件产品中至少有1件是不合格品}，B={取的2件产品都是不合格品}，则P(A)=1-，有AB=B．所求概率为P(B | A)= 涉及知识点：概率论与数理统计12．对二事件A、B。
长沙理工大学《概率论与数理统计》模拟试题及答案七
长沙理工大学概率论与数理统计模拟试卷第七套姓名: 班级: 学号: 得分: 一．判断题（10分，每题2分）1. 在古典概型的随机试验中，当且仅当是不可能事件 ( ) 2．连续型随机变量的密度函数与其分布函数相互唯一确定 ( ) 3．若随机变量与独立，且都服从的 (0，1) 分布，则( )4．设为离散型随机变量, 且存在正数k 使得，则的数学期望未必存在( )5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时, 犯第一类错误的概率与犯第二类错误的概率不能同时减少 ( ) 二．选择题（15分，每题3分）1. 设每次试验成功的概率为，重复进行试验直到第次才取得次成功的概率为 . (a)； (b)；(c) ； (d) . 2. 离散型随机变量的分布函数为，则 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) .3. 设随机变量服从指数分布，则随机变量的分布函数 .(ａ) 是连续函数； (ｂ) 恰好有一个间断点； (ｃ) 是阶梯函数； (ｄ) 至少有两个间断点.4. 设随机变量的方差相关系数则方差 . (ａ) 40； (ｂ) 34； (ｃ) 25.6； (ｄ) 17.65. 设为总体的一个样本，为样本均值，则下列结论中正确的是 .(ａ) ； (ｂ) ；(ｃ) ； (ｄ) . 二. 填空题（28分，每题4分）1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才取到正品的概率为0)(=A P A )(x f )(x F X Y 1.0=p Y X =X 0)(=>k X P X )(X E )10(<<p p n )1(n r r ≤≤r n r r n p p C ----)1(11rn rr n p p C --)1(1111)1(+-----r n r r n p pC r n r p p --)1(X )(x F ==)(k x X P )(1k k x X x P ≤≤-)()(11-+-k k x F x F )(11+-<<k k x X x P )()(1--k k x F x F X )2003,(max X Y =),(Y X ,1)(,4)(==Y D X D ,6.0=XY ρ=-)23(Y X D ),,,(21n X X X )2,1(2N X )(~/21n t n X -)1,(~)1(4112n F X ni i ∑=-)1,0(~/21N n X -)(~)1(41212n X ni i χ∑=-2. 设连续随机变量的密度函数为，则随机变量的概率密度函数为3. 设为总体中抽取的样本()的均值, 则＝ .4. 设二维随机变量的联合密度函数为则条件密度函数为,当 时 ,5. 设,则随机变量服从的分布为 ( 需写出自由度 )6. 设某种保险丝熔化时间（单位：秒），取的样本，得样本均值和方差分别为，则的置信度为95%的单侧 置信区间上限为7. 设的分布律为1 2 3已知一个样本值，则参数的极大似然估计值 为三. 计算题（40分，每题8分）1. 已知一批产品中96 %是合格品. 检查产品时，一合格品被误认为是次品的 概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认 为是合格品的产品确实是合格品的概率2．设随机变量与相互独立，，分别服从参数为的指数 分布，试求的密度函数. 3．某商店出售某种贵重商品. 根据经验，该商品每周销售量服从参数为 的泊松分布. 假定各周的销售量是相互独立的. 用中心极限定理计算该商店一年内（52周）售出该商品件数在50件到70件之间的概率.4. 总体，为总体的一个样本. 求常数 k , 使为σ 的无偏估计量.5．（1） 根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力（单位：kg ）. 已知kg ， 现从该厂生产的一大批特种金属丝中 随机抽取10个样品，测得样本均值kg . 问这批特种金属丝的 平均折断力可否认为是570 kg ？ （） （2） 已知维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布. 某日抽取 5个样品，测得其纤度为: 1.31， 1.55， 1.34， 1.40， 1.45 .)(x f Xe Y 3==)(yf Y X )4,3(~N X 4321,,,XX X X )51(<<-X P ),(Y X ⎩⎨⎧<<<=他其,0;10,,1),(x x y y x f =)(x y f X Y )(~m t X 2X Y =),(~2σμN X 16=n 36.0,152==S X μX X P 2θ)1(2θθ-2)1(θ-)1,2,1(),,(321=x x x X Y X Y )(,μλμλ≠Y X Z 23+=)(z f Z 1=λ),(~2σμN X ),,,(21n X X X X ∑=-ni i XX k 1),(~2σμN X 8=σ2.575=x %5=α)048.0,(2μN问 这天的纤度的总体方差是否正常？试用作假设检验. 四. 证明题（7分）设随机变量相互独立且服从同一贝努利分布. 试证明随机变量与相互独立.附表： 标准正态分布数值表 分布数值表 t 分布数值表%10=αZ Y X ,,),1(p B Y X +Z 2χ6103.0)28.0(=Φ488.9)4(205.0=χ1315.2)15(025.0=t 975.0)96.1(=Φ711.0)4(295.0=χ7531.1)15(05.0=t 9772.0)0.2(=Φ071.11)5(205.0=χ1199.2)16(025.0=t 9938.0)5.2(=Φ145.1)5(295.0=χ7459.1)16(05.0=t长沙理工大学模拟试卷第七套概率论与数理统计试卷答案一. 判断题（10分，每题2分） 是 非 非 非 是 . 二. 选择题（15分，每题3分） （ａ）（ｄ）（ｂ）（ｃ）（ｄ）. 三. 填空题（28分，每题4分）1.1/22 ；2. ；3.0.9772 ；4. 当时； 5. 6. 上限为 15.263 . 7. 5 / 6 . 四. 计算题（40分，每题8分）1. 被查后认为是合格品的事件， 抽查的产品为合格品的事件. (2分)， (4分)(2分)2.(1分)时，，从而 ； (1分) 时，(2分)(2分)所以[] (2分) 3. 设为第i 周的销售量, (1分)则一年的销售量为 ，, . (2分)由独立同分布的中心极限定理，所求概率为(4分) . (1分)⎩⎨⎧≤>=000)])3/[ln()(1y y y f y f yY 10<<x ⎩⎨⎧<<-=他其0)2/(1)(xy x x x y f X Y ),1(m F A B 9428.005.004.098.096.0)()()()()(=⨯+⨯=+=B A P B P B A P B P A P .998.09428.0/9408.0)(/)()()(===A P B A P B P A B P ⎩⎨⎧>=-其他00)(x e x f xX λλ⎩⎨⎧>=-其他00)(y e y f yY μμ0≤z 0)(=z F Z 0)(=z f Z 0≤z ⎰∞+-∞-=dxx z f x f z f Y X Z ]2/)3[()()(21)(232/3/3/0]2/)[(21z z z x z x e e dx e μλμλλμλμλμ-------==⎰⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(23)(2/3/z z e e z f z z Z μλλμλμ⎪⎩⎪⎨⎧≤>--=--0,00),(32)(3/2/z z e e z f z z Z μλλμλμiX 52,,2,1 =i i X)1(~P ∑==521i iX Y 52)(=Y E 52)(=Y D 1522521852185252522)7050(-⎪⎪⎭⎫⎝⎛Φ+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Φ≈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-<-=<<Y P Y P 6041.016103.09938.01)28.0()50.2(=-+=-Φ+Φ=4. 注意到5. (1) 要检验的假设为(1分)检验用的统计量， 拒绝域为. (2分)，落在拒绝域内，故拒绝原假设，即不能认为平均折断力为570 kg .[, 落在拒绝域外，故接受原假设，即可以认为平均折断力为571 kg . ] (1分)(2) 要检验的假设为 (1分)[]检验用的统计量 ， 拒绝域为 或(2分)570:,570:10≠=μμH H )1,0(~/0N nX U σμ-=96.1)1(025.02==-≥z n z U α96.106.21065.010/85702.5750>==-=U 0H 96.1632.0102.010/92.5695710<==-=U 0H 221220048.0:,048.0:≠=σσH H 22122079.0:,79.0:≠=σσH H )1(~)(2202512--=∑=n X Xi iχσχ488.9)4()1(205.022==->χχχαn 711.0)4()1(295.02122==-<-χχχαn ()n i i X X n X X nX X ---+--=- )1(121)2(1)(,0)(2分σnn X X D X X E i i -=-=-)1(1,0~2分⎪⎭⎫⎝⎛--σn n N X X i dze n n z X X E nn z i 2212121|||)(|σσπ--∞+∞-⎰-=-dze nn znn z 221201212σσπ--∞+⎰-=)3(122分σπnn -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∑∑==ni i n i i X X E k X X k E 11||||σπn n kn 122-=σ令=）分（2)1(2-=n n k π[], 落在拒绝域内，[,落在拒绝域内，]故拒绝原假设，即认为该天的纤度的总体方差不正常 . (1分)五、证明题 (7分) 由题设知0 1 0 1 2(2分) ；；；；；. 所以 与相互独立. (5分)41.1=x 49.1=x 488.9739.150023.0/0362.020>==χ711.0086.06241.0/0538.020<==χ0H X Y X +P p qP 2q pq 22p )0()0()0,0(3==+====+Z P Y X P q Z Y X P )1()0()1,0(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()1(2)0,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()1(2)1,1(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )0()2()0,2(2==+====+Z P Y X P pq Z Y X P )1()2()1,2(3==+====+Z P Y X P p Z Y X P Y X +Z。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷82(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷82(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X～E(1)，记Y＝max(X，1)，则E(Y)＝A．1．B．1＋e-1．C．1－e-1．D．e-1．正确答案：B解析：如果先去求Y的密度fY(y)，则计算量很大．直接用随机变量函数的数学期望的定义式E(Y)＝E[max(X，1)]＝∫－∞＋∞max(χ，1)f(χ)dχ，其中f(χ)为指数分布的X的密度函数，且f(χ)＝所以E(Y)＝∫－∞＋∞max(χ，1)f(χ)dχ＝∫－∞0max(χ，1).0dχ＋∫0＋∞max(χ，1)e－χdχ＝∫01e－χdχ＋∫1＋∞χe－χdχ＝1－e-1＋2e-1＝1＋e-1．知识模块：概率论与数理统计2．已知随机变量X与Y均服从0．1分布，且EXY＝，则P{X＋Y≤1}＝A．．B．．C．．D．．正确答案：C解析：由X与Y均服从0－1分布，可以列出(X，Y)的联合分布如下：由二维离散型随机变量(X，Y)的函数的数学期望的定义式可知，随机变量Z＝g(X，Y)＝XY的数学期望为E(XY)＝0.0.P{X＝0，Y＝0}＋0.1.P{X＝0，Y＝1}＋1.0.P{X＝1，Y＝0}＋1.1.P}X＝1，Y＝1} ＝P{X＝1，Y＝1} 即p22＝，从而P{X＋Y≤1}＝P{X＝0，Y＝0}＋P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0} ＝p11＋p12＋p21＝1－p22＝，故选C．知识模块：概率论与数理统计3．设随机变量X与Y独立同分布，记U＝X－Y，V＝X＋Y，则随机变量U与VA．不独立．B．独立．C．相关系数不为零．D．相关系数为零．正确答案：D解析：由于X与Y独立同分布，因此E(X)＝E(Y)，E(X2)＝E(Y2)．又E(U)＝E(X－Y)＝E(X)－E(Y)＝0，E(UV)＝E[(X－Y)(X＋Y]＝E(X2－Y2)＝E(X2)－E(Y2)＝0，Cov(U，V)＝E(UV)－E(U)E(V)＝0，从而可知U与V的相关系数为零，故选D．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY＝1，则A．P{Y＝－2X－1}＝1．B．P{Y＝2X－1}＝1．C．P{Y＝－2X＋1}＝1．D．P{Y＝2X＋1}＝1．正确答案：D解析：由于X与Y的相关系数ρXY＝1＞0，因此P{Y＝aX＋b}＝1，且a ＞0．又因为Y～N(1，4)，X～N(0，1)，所以EX＝0，EY＝1．而EY＝E(aX＋b)＝bb＝1．即应选D．知识模块：概率论与数理统计5．已知随机变量X与Y有相同的不为零的方差，则X与Y相关系数ρ＝1的充要条件是A．Cov(X＋Y，X)＝0．B．Cov(X＋Y，Y)＝0．C．Cov(X＋Y，X－Y)＝0．D．Cov(X－Y，X)＝0．正确答案：D解析：直接用定义通过计算确定正确选项．已知DX＝DY＝σ2＞0，则ρ＝＝1 Cov(X，Y)＝Cov(X，X) Cov(X，Y－X)＝0 Cov(X－Y，X)＝0．故选D 知识模块：概率论与数理统计填空题6．已知随机变量X在(1，2)上服从均匀分布，在X＝χ条件下Y服从参数为χ的指数分布，则E(XY)＝_______．正确答案：1 涉及知识点：概率论与数理统计7．设随机变量X和Y相互独立，且X～N(1，2)，Y～N(－3，4)，则随机变量Z＝－2X＋3Y＋5的概率密度为f(z)＝_______．正确答案：f(z)＝，z∈R．涉及知识点：概率论与数理统计8．设随机变量X的概率密度为f(χ)＝(－∞＜χ＜＋∞)，则随机变量X的二阶原点矩为_______．正确答案：解析：依题设，即求EX2．首先对所给概率密度作变换：对于χ(－∞＜χ＜＋∞)，有由此可知随机变量X服从正态分布，从而EX＝，DX＝．于是EX2＝DX＋(EX)2＝．知识模块：概率论与数理统计9．设试验成功的概率为，失败的概率为，现独立重复地试验直到成功两次为止，则所需进行的试验次数的数学期望为_______．正确答案：解析：设X表示试验成功两次时所进行的试验次数，Y表示第一次试验成功所进行的试验次数，Z表示从第一次成功之后到第二次成功所进行的试验次数，则X＝Y＋Z，且Y与Z都服从同一几何分布，其概率分布为P{Y＝k}＝P{Z＝k}＝(k＝1，2，…)，从而右F(Y)＝E(Z)＝，于是E(X)＝E(Y ＋Z)＝E(Y)＋E(Z)＝．知识模块：概率论与数理统计10．已知随机变量Xl与X2相互独立且分别服从参数为λ1，λ2的泊松分布，P{X1＋X2＞0}＝1－e-1，则E(X1＋X2)2＝_______．正确答案：2解析：已知Xi～P(λi)且相互独立，所以EXi＝DXi＝λi，i＝1，2．E(X1＋X2)2＝E(X12＋2X1X2×X22)＝EX12＋2EX1EX2＋EX22 ＝λ1＋λ12＋2λ1λ2＋λ2＋λ22＝λ1＋λ2＋(λ1＋λ2)2．为求得最终结果我们需要由已知条件求得λ1＋λ2．因为P{X1＋X2＞0}＝1－P{X1＋X2≤0}＝1－P{X1＋X2＝0} ＝1－P{X1＝0，X2＝0}＝1－P{X1＝0}P{X2＝0} ＝1－1－e-1．所以λ1＋λ2＝1，故E(X1＋X2)2＝1＋1＝2．知识模块：概率论与数理统计11．已知(X，Y)在以点(0，0)，(1，0)，(1，1)为顶点的三角形区域上服从均匀分布，对(X，Y)作4次独立重复观察．观察值X＋Y不超过1出现的次数为Z．则EZ2＝_______．正确答案：5解析：由题设知(X，Y)的联合概率密度为若记A＝“X＋Y≤1”，则Z 是4次独立重复试验事件A发生的次数，故Z～B(4，p)，其中p＝P(A)＝P{X ＋Y≤1}＝f(χ，y)dχdy ＝2×．所以EZ2＝DZ＋(EZ)2＝4×＝5．知识模块：概率论与数理统计12．设盒子中装有m个颜色各异的球，有放回地抽取n次，每次1个球．设X表示n次中抽到的球的颜色种数，则EX＝_______．正确答案：m[1－(1－)2]解析：令Xi＝则X＝X1＋X2＋…＋Xm．事件”Xi＝0”表示n次中没有抽到第i种颜色的球，由于是有放回抽取，n次中各次抽取结果互不影响，因此有知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学一(概率论与数理统计)模拟试卷45(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷45(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设二维随机变量(X，Y)满足E(XY)＝EXEY，则X与YA．相关．B．不相关．C．独立．D．不独立．正确答案：B解析：因E(XY)＝EXEY，故Cov(X，Y)＝E(XY)一EXEY＝0，X与Y不相关，应选(B)．知识模块：概率论与数理统计2．将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1．B．0．C．．D．1．正确答案：A解析：依题意，Y＝n—X，故ρXY＝一1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足｜ρXY｜≤1．若Y＝aX＋b，则当a>0时，ρXY＝1，当a－arxcosX，即U＝一V＋，由于U是V的线性函数，且其增减变化趋势恰恰相反，所以其相关系数ρ＝－1.应选(A)．知识模块：概率论与数理统计5．设随机变量X1，X2，…，Xn(n>1)独立同分布，且方差σ2>0，记，则X1一的相关系数为A．一1．B．0．C．．D．1．正确答案：B解析：由于Xi独立同分布，故DXi＝σ2，，Cov(X1，Xi)＝0(i≠1)，故应选(B)．(注：容易计算D(X1一) 知识模块：概率论与数理统计6．设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P{｜X—EX｜≥3｜≤，则一定有A．DX＝2．B．P｛｜X—EX｜＜3｝．C．DX≠2．D．P｛｜X—EX｜＜3｝≥．正确答案：D解析：因事件{｜X—EX｜，即选项(D)正确．进一步分析，满足不等式P{l｜X—EX｜≥3}≤的随机变量，其方差既可能不等于2，亦可以等于2，因此结论(A)与(C)都不能选．比如：X服从参数为P的0—1分布，DX＝pq}＝0．因此(A)不成立．若X服从参数n＝8，P＝0．5的二项分布，则有EX＝4，DX＝2．但是P{｜X—EX｜≥3}＝P{｜X一4｜≥3}P{X＝0}＋P{X＝1}＋P{X＝7}＋P{X ＝8}＝．因比(B)也不成立．知识模块：概率论与数理统计7．设随机变量序列X1，X2，…，Xn，…相互独立，则根据辛钦大数定律，当n→∞时依概率收敛于其数学期望，只要{Xn，n≥1}A．有相同的期望．B．有相同的方差．C．有相同的分布．D．服从同参数p的0－1分布．正确答案：D解析：由于辛钦大数定律除了要求随机变量X1，X2，…，Xn，…相互独立的条件之外，还要求X1，X2，…，Xn，…同分布与期望存在，只有选项(D)同时满足后面的两个条件，应选(D)．知识模块：概率论与数理统计8．设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，记Yn＝X2n一X2n－1(n≥1)，根据大数定律，当n→∞时依概率收敛到零，只要{Xn，n≥1 }A．数学期望存在．B．有相同的数学期望与方差．C．服从同一离散型分布．D．服从同一连续型分布．正确答案：B解析：由于Xn相互独立，所以Yn相互独立．选项(A)缺少“同分布”条件；选项(C)、(D)缺少“数学期望存在”的条件，因此它们都不满足辛钦大数定律，所以应选(B)．事实上，若EXn＝μ，DXn＝σ2存在，则根据切比雪夫大数定律：对任意ε>0有即依概率收敛到零．知识模块：概率论与数理统计填空题9．两名射手各向自己的靶独立射击，直到有一次命中时该射手才(立即)停止射击．如果第i名射手每次命中的概率为pi(0解析：每位射手的射击只有两个基本结果：中与不中，因此两射手的每次射击都是一个伯努利试验．每位射手直到他有一次命中时方停止射击，因此此时的射击次数应服从几何分布；此时的射击次数一1：未击中的次数．以Xi表示第i 名射手首次命中时的脱靶数，则此时他的射击次数Xi＋1服从参数为pi的几何分布，因此P{Xi＝k}}＝(1一pi)kpi＝1，2，且E(Xi＋1)＝，i＝1，2，于是EXi ＝E(Xi＋1)一1＝—1，两射手脱靶总数X＝X1＋X2的期望为EX＝EX1＋EX2＝. 知识模块：概率论与数理统计10．将长度为L的棒随机折成两段，则较短段的数学期望为______．正确答案：解析：设X为折点到左端点的距离，Y为较短段的长，则X～U(0，L)，且于是E(Y)＝E[g(X)]＝g(x)f(x)dx 知识模块：概率论与数理统计11．设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z＝2X一1，则Y与Z的相关系数为______．正确答案：0.9解析：Cov(Y，Z)＝Cov(Y，2X一1)＝2Cov(X，Y)，DZ＝D(2X一1)＝4DX．Y 与Z的相关系数ρYZ为知识模块：概率论与数理统计12．设随机变量X和Y的相关系数为0．5，EX＝EY＝0，EX2＝EY2＝2，则E(X＋Y)2＝______ ．正确答案：6解析：DX＝EX2一(Ex)2＝2，DY＝2，Cov(X，Y)＝ρXY＝1，E(X＋Y)＝EX＋EY＝0，E(X＋Y)2＝D(X＋Y)＋[E(X＋y)]2＝D(X＋Y)＝DX＋2Cov(X，Y)＋DY＝2＋2＋2＝6．知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
考研数学二(概率论与数理统计)模拟试卷3(题后含答案及解析)
考研数学二（概率论与数理统计）模拟试卷3(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．关于随机事件{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}，下列结论正确的是( ) A．为对立事件．B．为互不相容事件．C．为相互独立事件．D．P{X≤a，Y≤b}＞P{X＞a，Y＞b}．正确答案：B解析：如图3—1所示，选项(A)、(D)都是不一定成立的．如果{X≤a，Y≤b}与{X＞a，Y＞b}相互独立，则应P{(X≤a，Y≤b)(X＞a，Y＞b)}=0，不一定与P{X≤a，Y≤b}P{X＞a，Y＞b}相等，故(C)不正确．综上，应选B．知识模块：概率论与数理统计2．设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则(X，X)的分布函数G(x，y)为( )A．F(x，y)．B．F(y，x)．C．F(一x，一y)．D．F(一y，一x)．正确答案：B解析：G(x，y)=P{Y≤x，x≤y}=P{x≤y，Y≤x}=F(y，x)．故应选B．知识模块：概率论与数理统计3．设二维随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)=，则常数A和B的值依次为( )A．B．C．D．正确答案：C解析：V(x，y)能够作为分布函数，则需满足0≤F(x，y)≤1，F(+∞，+∞)=1，F(一∞，一∞)=F(x，一∞)=F(一∞，y)=0，关于x，y单调不减且右连续，故F(+∞，+∞)=Aπ(B+)=1，满足此条件的只有(C)．知识模块：概率论与数理统计4．设随机变量X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(x)，Z=X+Y，FZ(z)为Z的分布函数，则下列成立的是( )A．FZ(2z)=2F(z)．B．FZ(2z)=[r(z)2C．FZ(2z)≤[F(z)]2．D．FZ(2z)≥[，(z)]2．正确答案：D解析：如图3—2所示，FZ(2z)=P{Z≤2z}=P{X+Y≤2z}，X+Y≤2z对应区域为A，由于X和Y相互独立，且有相同的分布函数F(z)，从而[p(z)]2=F(z)F(z)=P{X≤z}P{y≤z}=P{X≤z，Y≤z}，X≤z，y≤z对应区域B，显然BA，故FZ(2z)≥[F(z)]2，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计5．设X1和X2是两个相互独立的连续型随机变量，其概率密度分别为f1(x)和f2(x)，分布函数分别为F1(x)和F2(x)，则下列说法正确的是( ) A．f1(x)+f2(x)必为某一随机变量的概率密度．B．f1(x)f2(x)必为某一随机变量的概率密度．C．F1(x)+F2(x)必为某一随机变量的分布函数．D．F1(x)F2(x)必为某一随机变量的分布函数．正确答案：D解析：由已知条件，有∫-∞+∞f1(x)dx=∫-∞+∞f2(x)dx=1，F1(+∞)=F2(+∞)=1，∫-∞+∞[f1(x)+f2(x)]dx=∫-∞+∞f1(x)dx+∫-∞+∞f2(x)dx=1，选项(A)不正确；例如令f1(x)=，故选项(B)不正确；F1(+∞)+F2(+∞)=2，故选项(C)不正确，因此选(D)．知识模块：概率论与数理统计6．已知随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是( )A．X=YB．P{X=Y}=0．?C．P{X=Y}=．D．P{X=Y}=1．正确答案：C解析：P{X=Y}=P{X=一1，Y=一1}+P{x=1，Y=1}=P{X=一1}P{Y=一1}+P{X=1}P{Y=1} = 知识模块：概率论与数理统计7．设二维随机变量(X，Y)在平面区域G上服从均匀分布，其中G是由x 轴，y轴以及直线y=2x+1所围成的三角形域，则(X，Y)的关于X的边缘概率密度为( )正确答案：B解析：由已知条件，如图3—4所示。
概率论与数理统计模拟考试题-附答案
概率论与数理统计模拟考试题1（15分）、某工厂由甲、乙、丙三个车间生产同一种产品,每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%,各车间产品的次品率分别为5%,4%,2%, 求：(1)全厂产品的次品率(2) 若任取一件产品发现是次品,此次品是甲车间生产的概率是多少？解：设321,,A A A 分别表示任选一件产品由甲、乙、丙车间生产，B 表示任选一件产品为次品。
则%25)(1=A P ，%35)(2=A P ，%35)(3=A P ，%5)|(1=A B P ，%4)|(2=A B P ，%2)|(3=A B P 。
（1）由全概率公式可得：)|()()|()()|()()(332211A B P A P A B P A P A B P A P B P ++= %2%35%4%35%5%25⨯+⨯+⨯= 0345.0=全厂产品的次品率为3.45%。
（2）由贝叶斯公式可知：362.00345.0%5%25)()|()()()()|(1111≈⨯===B P A B P A P B P B A P B A P任选一件产品发现为次品，则此次品为甲车间生产的概率为0.362。
2（15分） 设某次考试考生成绩服从正态分布，且152=σ。
从中随机抽取36位考生的成绩，算得66.5,X =问在0.05α=时，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?解：由题可假设70:70:10≠=μμH H由于152=σ，不妨选取检验统计量为：nX Z /σμ-=又0.05α=，96.1025.02==z z α，则拒绝域为：96.1||>z根据条件可计算检验统计量的绝对值为96.1422.5|36/15705.66||/|>≈-=-n X σμ因此，拒绝0H ，接受1H ，认为这次考试全体考生的平均成绩不为70分。
3（15分）设某机器生产的零件长度（单位：cm ）2~(,)X N μσ，今抽取容量为16的样本，测得样本均值10x =，样本方差20.16s =. 求μ的置信度为0.95的置信区间。
概率论和数理统计模拟考试题目和答案解析
概率论和数理统计模拟考试题目和答案解析-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN概率论与数理统计复习题（一）一． 填空1.3.0)(,4.0)(==B P A P 。
若A 与B 独立，则=-)(B A P ；若已知B A ,中至少有一个事件发生的概率为6.0，则=-)(B A P 。
2．)()(B A p AB p =且2.0)(=A P ，则=)(B P 。
3．设),(~2σμN X ，且3.0}42{ },2{}2{=<<≥=<X P X P X P ，则=μ ；=>}0{X P 。
4．1)()(==X D X E 。
若X 服从泊松分布，则=≠}0{X P ；若X 服从均匀分布，则=≠}0{X P 。
5．设44.1)(,4.2)(),,(~==X D X E p n b X ，则==}{n X P6．,1)(,2)()(,0)()(=====XY E Y D X D Y E X E 则=+-)12(Y X D 。
7．)16,1(~),9,0(~N Y N X ，且X 与Y 独立，则=-<-<-}12{Y X P （用Φ表示），=XY ρ 。
8．已知X 的期望为5，而均方差为2，估计≥<<}82{X P 。
9．设1ˆθ和2ˆθ均是未知参数θ的无偏估计量，且)ˆ()ˆ(2221θθE E >，则其中的统计量 更有效。
10．在实际问题中求某参数的置信区间时，总是希望置信水平愈 愈好，而置信区间的长度愈 愈好。
但当增大置信水平时，则相应的置信区间长度总是 。
二．假设某地区位于甲、乙两河流的汇合处，当任一河流泛滥时，该地区即遭受水灾。
设某时期内甲河流泛滥的概率为0.1；乙河流泛滥的概率为0.2；当甲河流泛滥时，乙河流泛滥的概率为0.3，试求： （1）该时期内这个地区遭受水灾的概率； （2）当乙河流泛滥时,甲河流泛滥的概率。
《概率论与数理统计》模拟题(一)参考答案
《概率论与数理统计》模拟题一及参考答案一、填空题1.（1842）已知事件,A B 互不相容，()0P B >，则(|)P A B = .2. 已知,A B 两个事件满足条件()()P AB P AB =，且()3P A =，则()P B = .3. 一口袋中有三个黑球、四个白球，今从中无放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 ；若从中有放回地任意取三个球，则恰有一个白球的概率为 .4.一批零件共100个，次品率为0.1，每次从中任取一个零件，取出的零件不再放回，则第三次才取得正品的概率为 . 5. 某地进行体育彩票抽奖，10000张彩票中有100个奖票.今有10人先到抽奖，则第10人取到中奖票的概率是 . 6. 设,A B 是相互独立的事件，()0.6P A B =，()0.4P A =，则()P B = .7.（1841）设,A B 是相互独立的事件，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P A B = .8.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被击中，则它是甲射中的概率为 . 9.（1741）同时掷两枚均匀硬币，则都出现正面的概率为 . 10.（1741）设随机变量X 的分布律为则常数c = .11.（1842）设随机变量~(3,0.4)X B ，令2Y X =，则{9}P Y == . 12. 设~()X P λ（或~()X πλ），若{1}{2}P X P X ===，则{5}P X == . 13.（1842）设随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1,1,x F x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩记X 的概率密度为()f x ，则当01x <<时，()f x = . 14. 若X 服从区间[1,6]上的均匀分布，且1216x x <<<，则12{}P x X x ≤≤= . 15. 设2~(2,)X N σ，且{24}0.3P X <<=，则{0}P X <= .16. 若随机变量X 服从正态分布2(,)(0)N μσσ>，且二次方程240y y X ++=无实根的概率为12，则μ= . 17.若(,)X Y 的概率密度为(34),0,0,(,)0,x y Ce x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其它, 则C =12，分布函数(,)F x y = ，{01,0P X Y <≤< 2}≤= .18. 设随机变量(,)X Y 的分布律为若,X Y 独立，则α= ，β= .19. 设二维随机变量(,)X Y 在区域G 上服从均匀分布，其中G 是由曲线2y x =和y x =所围成的区域，则(,)X Y 的概率密度为(,)x y ϕ= .20.（1841）设随机变量,X Y 相互独立，~(1,2)X N ，~(3,4)Y N ，则{4}P X Y +≤= .21. 设随机变量X 的分布律为则()E X = ，2()E X = ，()D X = .22.（1741）设随机变量~(20,0.1)X B ，随机变量Y 服从参数为2的泊松分布，且X 与Y 相互独立，则()E X Y += . 23.（1741）设随机变量~(2,4)X N ，且32Y X =-，则()D Y = .24. 设随机变量,X Y 独立，且()()0E X E Y ==，()()1D X D Y ==，则2[()]E X Y += . 25. 掷n 颗骰子，则出现的点数之和的数学期望与方差分别为 与 .26（1741）已知()25D X =，()36D Y =，X 与Y 的相关系数0.4XY ρ=，则()D X Y += .27. 在每次试验中事件A 出现的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A 发生的次数为X ，则利用切比雪夫不等式估计X 在40到60之间取值的概率至少为 . 28.（1842）设随机变量序列12,,,,n X X X 独立同分布，且()i E X μ=，2()i D X σ=，1,2,i =，则对任意0ε>，都有11lim {|||ni n i P X n με→∞=-<=∑ . 29. 设随机变量12,,,n X X X 相互独立，且~(0,1)(1,2,,)i X N i n =，则222212n X X X χ=+++服从 分布.30. 设n X X X ,,,21 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσX 服从 分布. 31.（1741）设总体~(1,5)X N ，1220,,,X X X 为来自总体X 的一个样本，201120i i X X ==∑，则()E X = .32.（1841）设12,,,n X X X 为来自总体X 的一个样本，2~(,)X N μσ，2S 为样本方差，若22(1)n S σ-服从分布2(99)χ，则样本容量n = .33.（1841）设123,,X X X 为来自总体X 的一个样本，记()E X μ=，若12311ˆ33X aX X μ=++是μ的无偏估计，则常数a = . 34.（1741）设总体X 服从参数为(0)λλ>的指数分布，12,,,n X X X 是来自X 的样本，其样本均值3x =，则λ的矩估计ˆλ= . 35.（1741）已知某厂生产的零件直径服从(,4)N μ，现随机取16个零件测其直径，并算得样本均值21x =，做假设检验01:20,:20H H μμ=≠，则检验统计量的值为 .二、单项选择题:1.（1842）设随机事件,A B 独立，()0.2P A =，()0.6P B =，则()P AB =()A 0.12. ()B 0.32. ()C 0.68. ()D 0.88. 答 【 】2. 设()P A a =，()P B b =，()P A B c =，则()P AB 为()A a b -. ()B c a -. ()C (1)a b -. ()D b a -. 答 【 】3. 设,A B 为任意两个事件，并适合A B ⊂，()0P A >，则下列结论中必然成立的是()A ()()P A P A B <. ()B ()()P A P A B >. ()C ()()P A P A B ≤. ()D ()()P A P A B ≥. 答【 】4. 设,A B 为两个事件，则下列命题中正确的是()A 若A 与B 独立，则A 与B 互斥. ()B 若A 与B 互斥，则A 与B 独立.()C 若A 与B 互逆，则A 与B 独立. ()D 若A 与B 独立，则A 与B 独立. 答 【 】 5. 设~(0,1)X N ，2~(,)Y N a σ，则Y 与X 之间的关系是()A Y a X σ=+. ()B 2Y a X σ=+. ()C 2X aY σ-=. ()D X aY σ-=. 答 【 】6. 已知随机变量X 的分布律为则2{4}P X <=()A 1. ()B 15. ()C 25. ()D 3. 答【 】 7.（1841）设随机变量X的概率密度为2,01,()0,x x f x ≤≤⎧=⎨⎩其它,则11{}22P X -<<= ()A 0. ()B14. ()C 12. ()D 1. 答 【 】 8.（1841）设随机变量X 的分布函数为()F x ，则下列结论中正确的是()A ()1F +∞=-. ()B ()0F +∞=. ()C ()0F -∞=. ()D ()1F -∞=. 答【 】 9. 设二维随机变量(,)X Y 的分布函数为(,)F x y ，则(,)X Y 关于X 的边缘分布函数()X F x =()A (,)F x +∞. ()B (,)F y +∞. ()C (,)F x -∞. ()D (,)F y -∞. 答【 】 10. 设随机变量(,)X Y 的分布律为则{3}P X Y +==()A 0.1. ()B 0.2. ()C 0.3. ()D 0.4. 答 【 】11. 设X 在(1,2)上服从均匀分布，则下列结论中正确的是()A 3()12E X =. ()B 3()2D X =. ()C 1()2E X =. ()D 1()12D X =. 答 【 】 12. 设X 是一随机变量，()E X μ=，22()(,0D X σμσ=>为常数)，则对任意常数c ，必有()A 222[()]()E X c E X c -=-. ()B 22[()][()]E X c E X μ-=-.()C 22[()][()]E X c E X μ-<-. ()D 22[()][()]E X c E X μ-≥-. 答【 】 13. 若随机变量X 与Y 相互独立，且~(1,6)X N ，~(1,2)Y N ，则Z X Y =-服从()A(0,N . ()B (0,4)N . ()C (0,8)N . ()D (0,N . 答【 】 14.（1842）设,X Y 为随机变量，()()1E X E Y ==，(,)2Cov X Y =，则(2)E XY =()A 6-. ()B 2-. ()C 2. ()D 6. 答【 】15. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，其中μ未知，2σ已知，则下面不是统计量的是()A ___11n i i X X n ==∑. ()B ___2211()1n ii S X X n ==--∑. ()C ___2211()ni i X X σ=-∑. ()D 211()ni i X n μ=-∑. 答 【 】 16. 设12,,,n X X X 是取自总体2~(,)X N μσ的样本，则11ni i X X n ==∑服从分布()A 2(,)N nσμ. ()B 2(,)N μσ. ()C (0,1)N . ()D 2(,)N n n μσ. 答 【 】17. 设随机变量X 和Y 都服从标准正态分布，则()A X Y +服从正态分布. ()B 22X Y +服从2χ分布.()C 2X 和2Y 都服从2χ分布. ()D 22X Y 服从F 分布. 答 【 】 18.样本12,,,n X X X 取自标准正态分布(0,1)N 总体，___X 及2S 分别为样本的平均值及样本方差，则以下结果不成立的是()A ~(0,1)(1)i X N i n ≤≤. ()B ~(0,1)X N . ()C~(1)t n S -. ()D 221~()ni i X n χ=∑. 答 【 】 19.（1841）设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的样本，___X 是样本均值，2S 是样本方差，则μ的极大似然估计为()A ___X . ()B S . ()C 2X . ()D 2S . 答【 】 20. 设12,,,n X X X 是来自正态总体2(,)N μσ的简单随机样本，2σ未知，___X 是样本均值，___2211()1ni i S X X n ==--∑.若用(X kX k -+作为μ的α-1置信区间，则k 应取分位数 ()A 121.96uα-=，或t 分布的分位数. ()B 1(1)t n α--. ()C 1t α-. ()D 2(1)t n α-. 答 【 】21. 设12,X X 是来自正态总体(,2)N μ的容量为2的样本，则下列四个估计量中最优的是()A 11213ˆ44X X μ=+. ()B 11223ˆ55X X μ=+. ()C 11211ˆ22X X μ=+. ()D 11243ˆ77X X μ=+. 答 【 】 22. 样本12,,,n X X X 来自总体2(,)N μσ，则总体方差2σ的无偏估计为()A ___22111()1n i i S X X n ==--∑. ()B ___22211()2n i i S X X n ==--∑. ()C ___22311()n i i S X X n ==-∑. ()D ___22411()1n i i S X X n ==-+∑. 答 【 】 23.（1842）设总体~(1,)X B p ，12,,,n X X X 是来自总体X 的样本，1n >，___X 为样本均值，则未知参数p 的无偏估计ˆp= ()AX n . ()B 1Xn -. ()C X . ()D nX . 答 【 】 24.（1842）在假设检验过程中，增大样本容量，则犯两类错误的概率()A 都增大. ()B 都减小. ()C 都不变. ()D 一个增大，一个减小. 答 【 】三、计算题：1. 某工厂有甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，每个车间的产量分别占全厂的25%,35%,40%，各车间产品的次品率 分别为0.08,0.05,0.04，求全厂产品的次品率.2.（1741）某工厂甲、乙两台机床生产同一型号产品，产量分别占总产量的40%,60%，并且各自产品中的次品率分别为1%,2%.求：(1) 从该产品中任取一件是次品的概率. (2) 在取出一件是次品的条件下，它是由乙机床生产的概率.3.设连续型随机变量X 的分布函数为20,0,(),01,1, 1.x F x kx x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩求：(1) 常数k .(2) {0.250.75}P X <<.(3) X 的概率密度. 4. 设随机变量~(0,1)X N ，求21Y X =-+的概率密度，并指出分布的名称. 5.（1741）设随机变量X 的概率密度为,02,()0,,cx x f x <<⎧=⎨⎩其它 令1Y X =+. 求：(1) 常数c . (2) {01}P X <<. (3) Y 的概率密度()Y f y .6. 今有5件产品，其中2件是次品，3件是正品.从这5件中依次取出2件，每次取一件，取出一件再放回去，用,X Y 分 别表示每次取得的次品件数，求(,)X Y 的分布律.7.设二维随机变量(,)X Y 只能取下列各值：(0,0)，(1,1)-，1(1,)3-，(2,0)，且取这些值的概率依次是16，13，112，512， 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律.8. 设随机变量(,)X Y 的分布律为(1) 求(,)X Y关于X 和关于Y 的边缘分布律. (2) 验证,X Y 不是独立的.9.（1741）设随机变量(,)X Y 的分布律为求：(1) (,)X Y 的边缘分布律. (2) {2}P X =，{1}P X Y -=，{0}P XY =. (3) ()E X Y +.10. 设二维随机变量(,)X Y 概率密度,0,(,)0,y e y x f x y -⎧>>=⎨⎩其它,求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度和边缘分布函数. 11. 若(,)X Y 的概率密度为2,01,01,(,)0,Cxy x y f x y ⎧<<<<=⎨⎩其它, (1) 求常数C . (2) 证明：X 与Y 相互独立. 12. 设(,)X Y 的概率密度为33,02,0,(,)20,ye x yf x y -⎧<<>⎪=⎨⎪⎩其它. (1) 求{||}P Y X>. (2) 求(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度. (3) 问X 与Y 是否相互独立？13.（1841）设某投资项目的收益率X 是一个随机变量，其分布律为(1) 求该投资项目的平均收益率. (2) 若有一位投资者在该项目上投资10万元，问他预期获得多少利润？14.（1841）某社交网站有10000个相互独立的用户，且每个用户在任一时刻访问该网站的概率为0.5，求在任一时刻有超 过5100个用户访问该网站的概率.（()x Φ为标准正态分布函数，(2)0.9772Φ=）15.某工厂生产的一批滚珠的直径服从正态分布，总体方差20.05σ=.今从中抽取八个，测得的直径（单位：毫米）分别 为：14.7、15.1、14.8、14.9、15.2、14.4、14.6、15.1，求直径均值的95%的置信区间.16.（1841）加工某种鲜果饮品，每瓶饮品中维生素C 的含量为随机变量X （单位：mg ）.设2~(,)X N μσ，其中2,μσ均 未知.现随机抽查了16瓶饮品进行测试，测得维生素C 的平均含量20.80x =，样本标准差 1.60s =，试求μ的置信度为95%的置信区间.（0.025(15) 2.13t =）17. 设总体X 的概率密度为(1),01,()0,x x f x θθ⎧+<<=⎨⎩其它, 其中1θ>-是未知参数，12,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本，分别用矩估计法和最大似然估计法求θ的估计量.18.已知某炼铁厂的铁水含碳量在正常情况下服从正态分布)108.0,55.4(2N .现在测了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.问：若标准差不变，总体均值有无显著变化？（取05.0=α）《概率论与数理统计》模拟题（一）参考答案一、填空题1.1.2.25.3.12，108343.4.91078. 5.0.01. 6.1. 7.0.88. 8.0.75. 9.14. 10.58.11.0.064.12.2415e . 13.2x . 14.215x -. 15.0.2. 16.4. 17.34(1)(1),0,0,0,x y e e x y --⎧-->>⎨⎩其它.38(1)(1)e e ----. 18.220，420. 19.6,(,),0,x y G ∈⎧⎨⎩其它.. 20.0.5. 21.118，318，12764. 22.4. 23.16. 24.2. 25.72n ，3512n . 26.85. 27.0.75. 28.1. 29.2()n χ. 30.(1)t n -. 31.1. 32.100. 33.13. 34.13. 35.2.二、单项选择题1.B .2.B .3.C .4.D .5.A .6.D .7.B .8.C .9.A . 10.D . 11.D . 12.D . 13.C . 14.D . 15.D . 16.A . 17.C . 18.B . 19.A . 20.D . 21.C . 22.A . 23.C . 24.B . 二、计算题：1.解 设{A =从中任取一件次品}，123,,B B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙、丙三个车间生产的”，则1()0.25P B = 1()0.08P A B =，2()0.35P B =，2()0.05P A B =，3()0.4P B =，3()0.04P A B =.故由全概率公式31()()()i i i P A P B P A B ===∑0.250.080.350.050.40.040.0535⨯+⨯+⨯=.2.解 设{A =任取一件为次品}，12,B B 分别表示事件“任取一件产品是由甲、乙机床生产的”，则1()0.4P B =，1()0.01P A B =，2()0.6P B =，2()0.02P A B =.(1) 由全概率公式得1122()()(|)()(|)0.40.010.60.020.016P A P B P A B P B P A B =+=⨯+⨯=. (2) 由贝叶斯公式，得取出的次品是由乙机床生产的概率为222()(|)0.60.02(|)0.75()0.016P B P A B P B A P A ⨯===.3.解 (1) （法一）21010lim ()lim x x F x kx k →-→-==，1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，由1010lim ()lim ()x x F x F x →-→+=，得1k =.（法二）因()F x 在1x =处右连续，知10lim ()(1)x F x F k →+==.而1010lim ()lim 11x x F x →+→+==，故1k =.(2) {0.250.75}(0.75)(0.25)0.5P X F F <<=-=.(3) 2,01,()()0, 1.x x f x F x x ≤<⎧'==⎨>⎩ 4.解 X的概率密度为22()()x x x ϕ-=-∞<<+∞.由21y x =-+，得12yx -=，且2y '=-.故21Y X =-+的概率密度为221()(1)2821()12()()22y y y f y y ϕ-----===-∞<<+∞-，（或11()()22y f y ϕ-=-，这里12x '=-）即~(1,4)Y N . 5.解 (1)由()1f x dx +∞-∞=⎰，得222001()212cxdx c x c ===⎰，故12c =.(2) 111200011{01}()244x P X f x dx dx x <<====⎰⎰.(3) 当02x <<时，113y x <=+<，且1x y =-，1y '=，此时，(1)1()|1|2Y f y y f y --==.故1,13,()20,Y y y f y -⎧<<⎪=⎨⎪⎩其它. 6.解 X 与Y 都可能取值为0,1，因而(,)X Y 可能取值为(0,0),(0,1),(1,0),(1,1).(,)X Y 的分布律为339{0,0}{0}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，326{0,1}{0}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 236{1,0}{1}{0}5525P X Y P X P Y ======⨯=，224{1,1}{1}{1}5525P X Y P X P Y ======⨯=， 即7.解 依题设知(,)X Y 的分布律为故(,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为8.解 (1) (,)X Y 的关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) 由于138p =，138p =，1118p =，所以，1111p p p ≠⋅，故,X Y 不是独立的.9.解 (1) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘分布律分别为(2) {2}0.6P X ==，{1}{1,0}{2,1}0.10.10.2P X Y P X Y P X Y -====+===+=，{0}{1,0}{2,P XY P X Y P X ====+=0}0.10.20.3Y ==+=.(3) ()10.420.6 1.6E X =⨯+⨯=，()00.310.320.4 1.1E Y =⨯+⨯+⨯=，故()()() 1.6 1.1 2.7E X Y E X E Y +=+=+=.10.解 (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为,0,,0,()(,)0,0,y x x X e dy x e x f x f x y dy +∞--+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它0,0,,0,()(,)0,0,yy y Y e dx y ye y f y f x y dx --+∞-∞⎧>⎧>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它当0x <时，()()0x X X F x f t dt -∞==⎰.当0x ≥时，0()()1x x xt t x X X F x f t dt e dt e e ----∞===-=-⎰⎰.故(,)X Y 关于X 的边缘分布函数为0,0,()1,0.X xx F x e x -<⎧=⎨-≥⎩ 当0y <时，()()0y Y Y F y f t dt -∞==⎰.当0y ≥时，0()()1y yt y y Y Y F y f t dt te dt ye e ----∞===--⎰⎰.故(,)X Y 关于Y 的边缘分布函数为0,0,()1,0.Y y yy F y ye e y --<⎧=⎨--≥⎩11.解 (1) 由(,)1f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰，即1111220()()1Cxy dxdy C xdx y dy ==⎰⎰⎰⎰，得6C =.(2) 证明 1206,01,2,01,()(,)0,0,X xy dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧<<<<⎧⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它,其它1206,01,()(,)0,Y xy dx y f y f x y dx +∞-∞⎧<<⎪===⎨⎪⎩⎰⎰其它23,010,y y ⎧<<⎨⎩其它.由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 与Y 相互独立. 12.解 (1) 222233336000||311111{||}(,)()()(1)222236y y x x xxy xP Y X f x y dxdy dx e dy e dx e dx e e +∞+∞----->>===-==⋅-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰.(2) (,)X Y 关于X 和关于Y 的边缘概率密度分别为3031,02,,02,()(,)220,0,y X e dy x x f x f x y dy +∞-+∞-∞⎧⎧<<<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩⎰⎰其它其它.23303,0,3,0,()(,)20,0,y yY e dx y e y f y f x y dx --+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其它.其它 (3) 由于对,x y R ∀∈，均有(,)()()X Y f x y f x f y =⋅，故X 和Y 相互独立.13.解 (1) ()1%0.12%0.23%0.14%0.35%0.26%0.1 3.6%E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.(2) 投资者预期获得的利润为3.6%100.36⨯=（万元）.14.解 设在任一时刻访问社交网站的用户个数为X ，则~(10000,0.5)X B ，()100000.55000E X =⨯=，()100000.5D X =⨯⨯ (10.5)2500-=.由中心极限定理，得所求概率为{510010000}{2100}P X P P <<=<<=<<(100)(2)10.97720.0228≈Φ-Φ=-=.15.解 81114.858i i x x ===∑，10.95α-=，0.05α=，0.0252 1.96z z α==，故所求的置信区间为2()(14.85x z α= 1.96)，即(14.7,15.01).16.解 μ的置信度为95%的置信区间为2(1)x n α⎛⎫- ⎪⎝⎭.依题意，知20.80x =，16n =， 1.60s =，10.95α-=，0.05α=，20.025(1)(15) 2.13t n t α-==，代入上述区间得所求的置信区间为(19.948,21.652).17.解 (Ⅰ) 11120011()(;)(1)22E X xf x dx x dx x θθθθθθθθ∞++-∞++==+==++⎰⎰，得12()()1E X E X θ-=-，故θ的矩估计量为12ˆ1X X θ-=-. (Ⅱ) 样本的似然函数为111(1),01,(1)(),01,()(;)0,,0,n nn ni i i i i i i i x x x x L f x θθθθθθ===⎧⎧+<<+<<⎪⎪===⎨⎨⎪⎪⎩⎩∏∏∏其它其它.当01(1,2,,)i x i n <<=时，()0L θ>，且11ln ()ln(1)ln()ln(1)ln nni i i i L n x n x θθθθθ===++=++∑∏，令ln ()0dL d θθ=，即1ln 01ni i n x θ=+=+∑，解得θ的 最大似然估计值为1ˆ1ln nii nxθ==--∑.θ的最大似然估计量为1ˆ1ln nii nXθ==--∑.18.解 依题意，需检验假设0010: 4.55,:H H μμμμ==≠.由已知得511 4.3645i i x x ===∑，20.025 1.96z z α==.因||||x z ==0.0253.85 1.96z ≈>=，所以z 的值落在拒绝域中，应拒绝0H ，即认为铁水含碳量均值比原来有显著变化.。
最新概率论与数理统计模拟试题及解答
模拟试题（一）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1、设B A ,为两个随机事件,若0)(=AB P ,则下列命题中正确的是（ ） (A) A 与B 互不相容 (B) A 与B 独立(C) 0)(0)(==B P A P 或(D) AB 未必是不可能事件解 若AB 为零概率事件,其未必为不可能事件.本题应选D.2、设每次试验失败的概率为p ,则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ ）(A) )1(3p - (B) 3)1(p - (C) 31p - (D) 213)1(p p C -解 所求事件的对立事件为“3次都不成功”,其概率为3p ,故所求概率为31p -.若直接从正面去求较为麻烦.本题应选C.3、若函数)(x f y =是一随机变量ξ的概率密度,则下面说法中一定成立的是（ ） (A) )(x f 非负 (B) )(x f 的值域为]1,0[ (C) )(x f 单调非降 (D) )(x f 在),(+∞-∞内连续解 由连续型随机变量概率密度的定义可知,)(x f 是定义在),(+∞-∞上的非负函数,且满足⎰∞+∞-=1d )(x x f ,所以A 一定成立.而其它选项不一定成立.例如服从]21,31[上的均匀分布的随机变量的概率密度⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他,0,2131,6)(x x f在31=x 与21=x 处不连续,且在这两点的函数值大于1.因而本题应选A. 4、若随机变量X 的概率密度为)( e21)(4)3(2+∞<<-∞=+-x x f x π,则=Y （ ）)1,0(~N(A)23+X (B)23+X (C)23-X (D)23-X 解 X 的数学期望3-=EX ,方差2=DX ,令23+=X Y ,则其服从标准正态分布.故本题应选A.5、若随机变量Y X ,不相关,则下列等式中不成立的是（ ） (A) 0),cov(=Y X (B) DY DX Y X D +=+)((C) DY DX DXY ⋅=(D) EY EX EXY ⋅=解 因为0=ρ,故0),cov(=⋅=DY DX Y X ρ,DY DX Y X DY DX Y X D +=++=+),cov(2)(, 但无论如何,都不成立DY DX DXY ⋅=.故本题应选C.6、设样本n X X X ,,,21⋅⋅⋅取自标准正态分布总体X ,又S X ,分别为样本均值及样本标准差,则（ ） (A) )1,0(~N X(B) )1,0(~N X n(C) )(~212n X ni i χ∑=(D))1(~-n t SX解 )1,0(~nN X ,),0(~n N X n ,)1(~-⋅n t S X n ,只有C 选项成立.本题应选C. 7、样本n X X X ,,,21 )3(≥n 取自总体X ,则下列估计量中,（ ）不是总体期望μ的无偏估计量(A)∑=ni iX1(B) X(C) )46(1.01n X X +(D) 321X X X -+解 由无偏估计量的定义计算可知,∑=ni iX1不是无偏估计量,本题应选A.8、在假设检验中,记0H 为待检假设,则犯第一类错误指的是（ ） (A) 0H 成立,经检验接受0H (B) 0H 成立,经检验拒绝0H (C) 0H 不成立,经检验接受0H (D) 0H 不成立,经检验拒绝0H解 弃真错误为第一类错误,本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1、同时掷三个均匀的硬币,出现三个正面的概率是________,恰好出现一个正面的概率是________. 解81;83. 2、设随机变量X 服从一区间上的均匀分布,且31,3==DX EX ,则X 的概率密度为________. 解 设],[~b a X ,则,3112)( ,322=-==+=a b DX b a EX 解得2=a , 4=b , 所以X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=.0,42,21)(其他x x f3、设随机变量X 服从参数为2的指数分布, Y 服从参数为4的指数分布,则=+)32(2Y X E ________. 解 473])([232)32(222=++=+=+EY EX DX EY EX Y X E . 4、设随机变量X 和Y 的数学期望分别为－2和2,方差分别为1和4,而相关系数为－0.5,则根据切比雪夫不等式,有≤≥+}6||{Y X P ________.解 根据切比雪夫不等式,12136),cov(26)(}6||{2=++=+≤≥+Y X DY DX Y X D Y X P . 5、假设随机变量X 服从分布)(n t ,则21X 服从分布________（并写出其参数）.解 设)(~n t nZY X =,其中)1,0(~N Y ,)(~2n Z χ,且)1(~22χY ,从而)1,(~122n F Y n ZX =. 6、设n X X X ,,,21 )1(>n 为来自总体X 的一个样本,对总体方差DX 进行估计时,常用的无偏估计量是________.解 ∑=--=ni i X X n S 122)(11. 三.(本题６分)设1.0)(=A P ,9.0)|(=A B P ,2.0)|(=A B P ,求)|(B A P . 解 由全概率公式可得27.02.09.09.01.0)|()()|()()(=⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P .31)()|()()()()|(===B P A B P A P B P AB P B A P .四.(本题8分)两台车床加工同样的零件,第一台出现废品的概率为0.03,第二台出现废品的概率为0.02.加工出来的零件放在一起.又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的2倍.求:(1) 任取一个零件是合格品的概率,(2) 若任取一个零件是废品,它为第二台车床加工的概率.解 设21,A A 分别表示第一台,第二台车床加工的零件的事件.B 表示产品是合格品的事件. (1) 由全概率公式可得973.098.03197.032)|()()|()()(2211≈⋅+⋅=+=A B P A P A B P A P B P . (2) 247.0973.0102.031)()|()()()()|(2222≈-⋅===B P A B P A P B P B A P B A P . 五.(本题14分)袋中有4个球分别标有数字1,2,2,3,从袋中任取一球后,不放回再取一球,分别以Y X ,记第一次,第二次取得球上标有的数字,求:(1) ) ,(Y X 的联合分布； (2) Y X ,的边缘分布； (3) Y X ,是否独立；(4) )(XY E .解 （1） YX 1 2 3 1 061 121 2 61 61 613 121 61（2）41)1(==X P ,21)2(==X P ,41)3(==X P .41)1(==Y P ,21)2(==Y P ,41)3(==Y P .（3）因为)1()1(1610)1,1(===≠===Y P X P Y X P ,故Y X ,不独立. （4）613261226112121316121)(⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅=XY E 612312113⋅⋅+⋅⋅+623=.六.(本题12分)设随机变量X 的密度函数为)( e )(||2+∞<<-∞=-x Ax x f x ,试求:(1) A 的值； (2) )21(≤<-X P ； (3) 2X Y =的密度函数. 解 (1) 因⎰∞+∞-x x f d )(⎰∞+-===0214d e 2A x x A x ,从而41=A ; (2) ⎰⎰⎰---+==≤<-20201221d e 41d e 41d )(}21{x x x x x x f X P xx 12e 45e 251----=;(3) 当0≤y 时,0)(=y F Y ;当0>y 时,)()()()(2y X y P y X P y Y P y F Y ≤≤-=≤=≤=)()(y F y F X X --=,所以,两边关于y 求导可得,.e 4121e 4121e 41)(yyyY y yy yy y f ---⋅=-⋅⋅-⋅⋅=故Y 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧>⋅≤=-.0,e 41,0,0)(y y y y f yY七.(本题6分)某商店负责供应某地区1000人商品,某种产品在一段时间内每人需用一件的概率为0.6.假定在这段时间,各人购买与否彼此无关,问商店应预备多少件这种商品,才能以%7.99的概率保证不会脱销？（假定该商品在某一段时间内每人最多买一件）.解 设⎩⎨⎧=人购买该种商品第人不购买该种商品第i i X i ,1,,0(1000,,2,1 =i ),X 表示购买该种商品的人数,则)6.0,1000(~B X .又设商品预备n 件该种商品,依题意,由中心极限定理可得)240600240600()()(-≤-=-≤-=≤n X P DXEX n DX EX X P n X P997.0)240600(=-Φ≈n .查正态分布表得75.2240600=-n ,解得6436.642≈=n 件.八.(本题10分)一个罐内装有黑球和白球,黑球数与白球数之比为R .(1) 从罐内任取一球,取得黑球的个数X 为总体,即⎩⎨⎧=白球，，黑球，，01X 求总体X 的分布；(2) 从罐内有放回的抽取一个容量为n 的样本n X X X ,,,21 ,其中有m 个白球,求比数R 的最大似然估计值.解（1） X 1 0PR R +1 R+11即R R R R R x X P xxx+=⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫⎝⎛+==-1111)(1 )1,0(=x ; （2）nx ni i iR R x XP R L i)1()()(1+∑===∏=,两边取对数,)1ln()(ln R n x R R L i +-∑=,两边再关于R 求导,并令其为0,得011=+-∑R nx i , 从而∑∑-=ii x n x R ˆ,又由样本值知,m n x i -=∑,故估计值为1ˆ-=m n R. 九.(本题14分)对两批同类电子元件的电阻进行测试,各抽6件,测得结果如下（单位:Ω）:A 批:0.140,0.138,0.143,0.141,0.144,0.137；B 批:0.135,0.140,0.142,0.136,0.138,0.141. 已知元件电阻服从正态分布,设05.0=α,问:(1) 两批电子元件的电阻的方差是否相等? (2) 两批电子元件的平均电阻是否有显著差异? （2281.2)10(025.0=t ,15.7)5,5(025.0=F ）解 (1) 2221122210 σσσσ≠=：，：H H .检验统计量为2221S S F =)5 ,5(~F （在0H 成立时）,由05.0=α,查得临界值15.7)5 ,5(025.02/==F F α,15.712/1=-αF . 由样本值算得962.00000078.00000075.0==F ,由于2/2/1ααF F F <<-,故不能拒绝10H ,即认为两批电子元件的电阻的方差相等.(2) 211210 μμμμ==：，：H H . 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n sn s n n n YX T )10(~t （在0H 成立时）,查表得临界值228.2)10(025.02/==t t α.再由样本值算得005.2120000078.00000075.0139.01405.0=+-=T ,因为2/||αt T <,故接收0H .即认为两批电子元件的平均电阻无显著差异.模拟试题（二）参考答案一.单项选择题（每小题2分,共16分）1.设C , ,B A 表示3个事件,则C B A 表示（ ）. (A) C , ,B A 中有一个发生(B) C , ,B A 中不多于一个发生(C) C , ,B A 都不发生 (D) C , ,B A 中恰有两个发生 解 本题应选C. 2.已知)(,61)|(,31)()(B A P B A P B P A P 则====（ ）. (A) 187 (B) 1811 (C) 31 (D) 41解 181)|()()(==A B P A P AB P ,187)()()(1)(1)()(=+--=-==AB P B P A P B A P B A P B A P . 故本题应选A.3.设两个相互独立的随机变量X 与Y 分别服从正态分布)1,0(N 和)1,1(N ,则（ ）(A) 21}0{=≤+Y X P (B) 21}1{=≤+Y X P (C) 21}0{=≤-Y X P (D) 21}1{=≤-Y X P解 )2,1(~N Y X +,)2,1(~--N Y X ,故本题应选B.4.设X 与Y 为两随机变量,且6.0,1,4===XY DY DX ρ,则=-)23(Y X D （ ） (A) 40 (B) 34 (C) 25.6 (D) 17.6解 2.1),cov(=⋅=DY DX Y X XY ρ,6.25),cov(1249)23(=-+=-Y X DY DX Y X D .故本题应选C.5.若随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则2X 的数学期望是（ ）(A) λ(B)λ1 (C) 2λ (D) λλ+2 解 222)(λλ+=+=EX DX EX ,本题应选D.6.设n X X X ,,,21 是来自于正态总体),(2σμN 的简单随机样本,X 为样本方差,记∑=--=n i i X X n S 122)(111 ∑=-=n i i X X n S 1222)(1 ∑=--=n i i X n S 1223)(11μ ∑=-=n i i X n S 1224)(1μ 则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ ）(A) 1/1--=n S X t μ(B) 1/2--=n S X t μ(C) 1/3--=n S X t μ(D) 1/4--=n S X t μ解 ),(~2nN X σμ,)1(~)(1122--∑=n t X Xni iσ,再由t 分布的定义知,本题应选B.7.设总体X 均值μ与方差2σ都存在,且均为未知参数,而,,,21 X X n X 是该总体的一个样本,X 为样本方差,则总体方差2σ的矩估计量是（ ）(A) X (B) ∑=-n i i X n 12)(1μ(C) ∑=--n i i X X n 12)(11 (D) ∑=-n i i X X n 12)(1 解 本题应选D.8.在假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ） (A) 都增大 (B) 都减小(C) 都不变 (D) 一个增大一个减小 解 本题应选B.二.填空题（每空2分,共14分）1.设10件产品中有4件不合格品,从中任取2件,已知所取2件中有1件是不合格品,则另外1件也是不合格品的概率为________.解 设A 表示两件中有一件不合格品,B 表示两件都是不合格品.则所求的极限为51)()()()()|(===A PB P A P AB P A B P2.设随机变量X 服从)8.0 ,1(B 分布,则X 的分布函数为________.解 X 服从0-1分布,其分布函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥<≤<=.11,10,2.0,0,0)(x x x x f3.若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且6.0}40{=<<X P ,则}0{<X P =________.解 2=μ,即其密度函数关于2=x 对称.由对称性知2.026.01}0{=-=<X P . 4.设总体X 服从参数为p 的0－1分布,其中)10(<<p p 未知.现得一样本容量为8的样本值:0,1,0,1,1,0,1,1,则样本均值是________,样本方差是________.解 由定义计算知85=X ;56152=S . 5.设总体X 服从参数为λ的指数分布,现从X 中随机抽取10个样本,根据测得的结果计算知27101=∑=i ix,那么λ的矩估计值为________.解 27101ˆ==Xλ.6.设总体) ,(~2σμN X ,且2σ未知,用样本检验假设00μμ=：H 时,采用的统计量是________. 解 )1(~0--=n t nSX T μ (0H 为真时).三.（本题8分）设有三只外形完全相同的盒子,Ⅰ号盒中装有14个黑球,6个白球；Ⅱ号盒中装有5个黑球,25个白球；Ⅲ号盒中装有8个黑球,42个白球.现在从三个盒子中任取一盒,再从中任取一球,求:（1）取到的球是黑球的概率；（2）若取到的是黑球,它是取自Ⅰ号盒中的概率.解 设321,,A A A 分别表示从第Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ号盒中取球,B 表示取到黑球. (1) 由全概公式可得≈⋅+⋅+⋅==∑=5083130531201431)|()()(31i i i A B P A P B P 0.342; (2) 由贝叶斯公式得≈=)()|()()|(111B P A B P A P B A P 0.682.四.（本题6分）设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其他，，，，002cos 21)(πx x x f , 对X 独立地重复观察4次,用Y 表示观察值大于3π地次数,求2Y 的数学期望. 解 21d 2cos 21)3(3==>⎰πππx x X P ,)21,4(~B Y ,从而 5)(22=+=EY DY EY .五.（本题12分） 设),(Y X 的联合分布律为YX 0 1 2 1 0.1 0.05 0.35 2 0.3 0.1 0.1 问:(1) Y X ,是否独立；(2) 计算)(Y X P =的值；(3) 在2=Y 的条件下X 的条件分布律. 解 (1) 因为)0()1(4.05.02.01.0)0,1(===⋅=≠===Y P X P Y X P ,所以Y X ，不独立; (2) 15.01.005.0)2,2()1,1()(=+===+====Y X P Y X P Y X P ;(3) 9745.035.0)2()2,1()2|1(========Y P Y X P Y X P ,92971)2|2(=-===Y X P .六.（本题12分）设二维随机变量) ,(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=,,0,10,12),(2其他x y y y x f 求:(1) X 的边缘密度函数)(x f X ；(2) )(XY E ； (3) )1(>+Y X P . 解 (1)⎩⎨⎧≤≤⎪⎩⎪⎨⎧=≤≤==⎰⎰∞+∞-.,0,104,0,10,d 12d ),()(302其他其他x xx y y y y x f x f x X(2) 21d 12d )(0310==⎰⎰y xy x XY E x ;(3) ==>+⎰⎰-y y x Y X P x x d 12d )1(1212187.七.（本题6分）一部件包括10部分,每部分的长度是一个随机变量,它们相互独立,且服从同一均匀分布,其数学期望为2mm,均方差为0.05,规定总长度为)1.020(±mm 时产品合格,试求产品合格的概率.解 设i X 表示第i 部分的长度,10,,2,1 =i ,X 表示部件的长度.由题意知2=i EX ,0025.0=i DX ,且∑==101i i X X ,20=EX ,025.0=DX .由独立同分布的中心极限定理知,产品为合格品的概率为)025.01.0|025.020(|)1.0|20(|≤-=≤-X P X P4714.01)025.01.0(2=-Φ=. 八.（本题7分）设总体X 具有概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧>-=--,,0,0,e )!1()(1其他x x k x f x k k θθ 其中k 为已知正整数,求θ的极大似然估计.解 设n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,当0,,,21>n x x x 时,似然函数∑-===-=-=∑∏ni ix ni k innkni i xk x f L 1e])!1[()()(111θθθ,两边取对数,∑-+--===-∑ni i ni k ix x k n nk L 111ln )!1ln(ln )(ln θθθ,关于θ求导,并令其为0,得0)(ln 1=∑-==ni i x nkL θθ,从而解得θ的极大似然估计为XkX nkni i=∑==1ˆθ. 九.（本题14分）从某锌矿的东、西两支矿脉中,各抽取样本容量分别为9与8的样本进行测试,得样本含锌平均数及样本方差如下:东支:230.01=x ,1337.021=n s , )9(1=n 西支:269.02=x ,1736.022=n s , )8(2=n 若东、西两支矿脉的含锌量都服从正态分布,问东、西两支矿脉含锌量的平均值是否可以看作一样？)05.0(=α53.4)7 ,8( (025.0=F ,90.4)8 ,7(025.0=F ,) 1315.2)15(0025.0=t解 本题是在未知方差,又没有说明方差是否相等的情况下,要求检验两总体均值是否相等的问题,故首先必须检验方差是否相等,在相等的条件下,检验总体均值是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,接受0H ,即可认为东、西两支矿脉含锌量的平均值相等.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题5分） 设总体X 的密度函数为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=,,0,0,3)(23其它θθx x x f其中θ为未知参数,n X X X ,,,21 为来自总体X 的样本,证明:X 34是θ的无偏估计量.证明 ⎰∞+∞-===x x xf EX X E X E d )(343434)34(θθθ==⎰033d 334x x , 故X 34是θ的无偏估计量.模拟试题（三）参考答案一.填空题（每小题2分,共14分）1.一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为8180,则该射手的命中率为 .解 设A 表示一次射击中击中目标,依题意,四次都没击中的概率为81801)(4-=A P ,解得31)(=A P ,从而射手的命中率为32)(=A P . 2.若事件A ,B 独立,且p A P =)(,q B P =)(则=+)(B A P . 解 pq p B P A P B P A P B A P +-=-+=1)()()()()( .3.设离散型随机变量X 服从参数为λ（0>λ）的泊松分布,已知==)1(X P )2(=X P ,则λ= .解 )2(e 2e)1(2=====--X P X P λλλλ,从而解得2=λ.4.设相互独立的两个随机变量X ,Y 具有同一分布律,且X 的分布律为:X 0 1P 21 21则随机变量},max{Y X Z =的分布律为 . 解 Z 的可能取值为0,1.412121)0()0()0,0()0(=⋅========Y P X P Y X P Z P .43411)1(=-==Z P .5.设随机变量X ,Y 的方差分别为25=DX ,36=DY ,相关系数4.0=XY ρ,则),(Y X Cov = .解 12),cov(=⋅=DY DX Y X XYρ.6.设总体X 的期望值μ和方差2σ都存在,总体方差2σ的无偏估计量是21)(∑=-n i i X X n k ,则=k .解 1-=n n k . 7.设总体),(~2σμN X ,μ未知,检验2020σσ=H ：,应选用的统计量是 .解)1(~)(2212--∑=n X Xni iχσ (0H 为真时)二 .单项选择题（每小题2分,共16分）1.6本中文书和4本外文书任意往书架上摆放,则4本外文书放在一起的概率为（ ）(A)!10!6!4 (B)107 (C)!10!7!4 (D)104 解 本题应选C.2.若事件B A ,相互独立,则下列正确的是（ ） (A) =)|(A B P )|(B A P (B) =)|(A B P )(A P (C) )|(B A P )(B P =(D) =)|(B A P )(1A P -解 由独立性的定义知,==)()|(A P B A P )(1A P -,故本题应选D.3.设随机变量X 服从参数为n ,p 的二项分布,且6.1=EX ,28.1=DX ,则n ,p 的值为（ ） (A) n =8,p =2.0 (B) n =4,p =4.0 (C) n =5,p =32.0(D) n =6,p =3.0解 由6.1=np ,28.1)1(=-p np ,解得n =8,p =2.0,本题应选A.4.设随机变量X 服从正态分布)1,2(N ,其概率密度函数为)(x f ,分布函数为)(x F ,则有（ ） (A) =≥)0(X P =≤)0(X P5.0 (B) =≥)2(X P =≤)2(X P 5.0 (C) )(x f =)(x f -,),(∞+-∞∈x (D) =-)(x F -1)(x F , ),(∞+-∞∈x解 2=EX ,故其密度函数关于2=x 对称,故本题应选B.5.如果随机变量X 与Y 满足:)(Y X D +)(Y X D -=,则下列式子正确的是（ ） (A) X 与Y 相互独立 (B) X 与Y 不相关 (C) 0=DY(D) 0=⋅DY DX解 由)(Y X D +)(Y X D -=,可得0),cov(=Y X ,从而可知X 与Y 不相关,故本题应选B.6.设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本,X 为样本均值,令=Y 212)(σ∑=-ni iX X,则~Y （ ）(A) )1(2-n χ (B) )(2n χ (C) ),(2σμN (D)),(2nN σμ解 本题应选A.7.设n X X X ,,,21 是取自总体),0(2σN 的样本,可以作为2σ的无偏估计量的统计量是（ ）(A) ∑=n i i X n 121 (B) ∑=-n i i X n 1211 (C) ∑=n i i X n 11 (D)∑=-ni i X n 111 解 由无偏估计的定义及期望的性质知,2221212)(1)1(σ==+===∑∑==DX EX DX EX EX n X n E ni i n i i ,故A 选择正确,同理验算其他选项,B,C,D 均不正确.故本题应选A.8.样本n X X X ,,,21 来自正态总体),(2σμN ,若进行假设检验,当（ ）时,一般采用统计量nS X t /0μ-=(A) μ未知,检验2σ=20σ (B) μ已知,检验2σ=20σ (C) 2σ未知,检验 μ=0μ(D) 2σ已知,检验μ=0μ解 本题应选C. 三.（本题8分）有两台车床生产同一型号螺杆,甲车床的产量是乙车床的5.1倍,甲车床的废品率为%2,乙车床的废品率为%1,现随机抽取一根螺杆检查,发现是废品,问该废品是由甲车床生产的概率是多少？解 设21,A A 分别表示螺杆由甲,乙车床生产的事件.B 表示螺杆是废品的事件.由贝叶斯公式可得)|()()|()()|()()|(2211111A B P A P A B P A P A B P A P B A P +=75.001.05202.05302.053=⋅+⋅⋅=. 四.（本题8分）假设一部机器在一天内发生故障的概率为2.0,机器发生故障时全天停止工作.若一周五个工作日里无故障,可获利润10万元,发生一次故障获利润5万元,发生两次故障获利润0万元,发生三次或三次以上故障就要亏损2万元,问一周内期望利润是多少？解 设X 表示一周中所获的利润,其分布律为:X 0 5 10 P 548.08.02.051-⋅⋅- 48.02.05⋅⋅ 58.0从而由期望的定义计算可得216.5=EX .五.（本题12分）1.设随机向量X ,Y 的联合分布为:X Y 1 2 31 0 61 1212 61 61 613 121 61(1) 求X ,Y 的边际分布；(2) 判断X ,Y 是否独立. 解 (1) X 的边际分布为： Y 的边际分布为：X 1 2 3 Y 1 2 3P 41 21 41 P 41 21 41(2) X 与Y 不相互独立.2.设随机变量),(Y X 的联合密度函数为:),(y x f =⎩⎨⎧<<-其他，，，，00e y x y求概率)1(≤+Y X P .解 ==≤+⎰⎰--y x Y X P x xy d e d )1(121211e2e 1---+.六.（本题8分）设连续型随机变量X 的分布函数为:=)(x F ⎪⎩⎪⎨⎧≤>+-，，，，000e 22x x B A x 求: (1) 系数A 及B ；(2) 随机变量X 的概率密度； (3) )9ln 4ln (≤≤X P .解 (1) 由分布函数的性质知1)e(lim )(22==+=+∞-+∞→A B A F x x ,)0(0)e(lim )(lim 202F B A B A x F x x x ==+=+=-→→++,从而1-=B ;(2) 分布函数的导数即为其概率密度,即)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤>-000e 22x x x x ，，，(3) 61)4ln ()9ln ()9ln 4ln (=-=≤≤F F X P . 七.（本题8分）设n X X X ,,,21 为总体X 的一个样本,X 的概率密度为:)(x f =⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-其他，，，，0101x x θθ其中0>θ,求未知参数θ的矩估计量与极大似然估计量.解 令X x x EX =+==⎰1d 10θθθθ,从而解得θ的矩估计量为2)1(XX -=θ. 极大似然估计为:∑∑==+=ni ini iXX n 11ln ln θ.(具体做法类似与模拟试卷二第八题)八.（本题１０分）设某次考试的考生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生的成绩,算得平均成绩为5.66分,标准差为15分,问在显著水平05.0下,是否可认为全体考生的平均成绩为70分？解 假设0H :70=μ,选取统计量ns X T /μ-=)1(~-n t , (0H 为真时)在05.0=α下,查t 分布的双侧临界值表知0301.2025.0=t . 另一方面,计算统计量的值0301.24.136/15705.66||<=-=T ,从而接受原假设,即可认为全体考生的平均成绩为70分.九.（本题１２分）两家银行分别对21个储户和16个储户的年存款余额进行抽样调查,测得其平均年存款余额分别为x =2600元和y =2700元,样本标准差相应地为811=S 元和1052=S 元,假设年存款余额服从正态分布,试比较两家银行的储户的平均年存款余额有无显著差异？（10.0=α）解 此题要求检验21μμ=,由于t 检验必须在方差相等的条件下进行,因此必须先检验21σ与22σ是否相等.第一步假设0H :21σ=22σ,统计量2221s s F =~)1,1(21--n n F ,经检验,接受0H :21σ=22σ；第二步假设0H :21μμ=, 统计量2)1()1()11(2122221121-+-+-+-=n n s n s n n n YX T )2(~21-+n n t经检验,拒绝0H ,即两家银行的储户的平均年存款余额有显著差异.(请参见模拟试题(一)第九大题)十.（本题４分）设总体X 服从参数为λ的泊松分布,λ为未知参数,⎩⎨⎧-=为偶数，，为奇数，，X X X T 11)(证明:)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.证明 ∑∞===)()()]([x x X P x T X T E∑∞=-=0!)(x xex x T λλ=-=∑∞=-0!)1(n nne n λλλ2-e ,所以)(X T 是λ2-e的一个无偏估计量.模拟试题（四）参考答案一.填空题(每小题2分,共20分)1.设)(A P =0.4,)(B P =0.5.若,7.0)(=B A P 则=+)(B A P . 解 55.0)|()()()()(=-+=+B A P B P B P A P B A P2.若随机变量X 服从二项分布,即)1.0,5(~B X ,则=-)21(X D .解 8.19.01.0544)21(=⋅⋅⋅==-DX X D . 3.三次独立重复射击中,若至少有一次击中的概率为6437,则每次击中的概率为 . 解43. 4.设随机变量X 的概率密度是:⎩⎨⎧<<=,,0,10,3)(2其他x x x f 且，784.0)(=≥a X P 则=a .解 由784.0)(=≥a X P 知,10<<α.故，784.01d 3)(132⎰=-==≥ααx x a X P 从而6.0=α. 5.利用正态分布的结论,有:=+-⎰∞+∞---x x x x d e )44(212)2(22π .解 令t x =-2,则原式1)(d e212222=+==⎰∞+∞--EX DX t t t π,这里)1,0(~N X .6.设总体X 的密度函数为:⎩⎨⎧<<=-,,0,10,)(1其他x x x f αα)0(>αα为参数其中,n x x x ,,,21 是来自总体X 的样本观测值,则样本的似然函数=);,,,(21αn x x x L .解 ∏=-ni i nx 11αα.7.设X ,Y 是二维随机向量,DX ,DY 都不为零,若有常数0>a 与b 使1)(=+-=b aX Y P ,这时X 与Y 是 关系.解 完全相关.8.若),(~2σμN X ,n X X X ,,,21 是来自总体X 的样本,2,S X 分别为样本均值和方差,则SnX )(μ-服从 分布.解 )1(-n t .9.设),(~211σμN X ,),(~222σμN Y ,X 与Y 相互独立.从X ,Y 中分别抽取容量为21,n n 的样本,样本均值分别为Y X ,,则Y X -服从分布 .解 ),(22212121n n N σσμμ+-.10.设随机变量X 和Y 的相关系数为0.9,若4.0-=X Z ,则Y 与Z 的相关系数为____________. 解 9.0),cov()4.0,cov(),cov(==-=X Y X Y Z Y . 二.单项选择题(每小题2分,共12分)1. 设随机变量X 的数学期望EX 与2σ=DX 均存在,由切比雪夫不等式估计概率}4{σ<-EX X P 为( )(A) 161≥(B) 161≤(C) 1615≥(D) 1615≤解 本题应选C.2.B A ,为随机随机事件,且A B ⊂,则下列式子正确的是( ). (A) )()(A P B A P =(B) )()()(A P B P A B P -=-(C) )()(A P AB P = (D) )()(B P A B P =解 本题应选A.3. 设随机变量X 的密度函数为⎩⎨⎧≤≤+=其他，，，，010)(x B Ax x f 且127=EX ,则( ).(A) 5.0,1-==B A(B) 1,5.0=-=B A(C) 1,5.0==B A (D) 5.0,1==B A 解 令1d )(10=+⎰x B Ax ,127d )(1=+⎰x x B Ax ,解得5.0,1==B A ,故本题应选D. 4.若随机变量X 与Y 不相关,则有( ). (A) )(9)()3(Y D X D Y X D -=- (B) )()()(Y D X D XY D ⨯= (C) 0)]}()][({[=--Y E Y X E X E(D) 1)(=+=b aX Y P 解 本题应选C.5.已知随机变量),(~21n n F F ,且αα=>)},({21n n F F P ,则=-),(211n n F α( ).(A) ),(121n n F α(B)),(1121n n F α-(C)),(112n n F α(D) ),(1211n n F α-解6.将一枚硬币独立地掷两次,记事件:=1A {掷第一次出现正面},=2A {掷第二次出现正面},=3A {正、反面各出现一次},=4A {正面出现两次},则事件( ).(A) 321,,A A A 相互独立 (B) 432,,A A A 相互独立 (C) 321,,A A A 两两独立(D) 432,,A A A 两两独立解 21)(1=A P ,21)(2=A P ,21)(3=A P ,41)(4=A P ,再由事件独立的充分必要条件可知321,,A A A 两两独立,本题应选C.三.计算题(每小题８分,共48分)1.某厂由甲,乙,丙三个车间生产同一种产品,它们的产量之比为3:2:1,各车间产品的不合格率依次为8%,9%,12%.现从该厂产品中任意抽取一件,求:(1) 取到不合格产品的概率；(2) 若取到的是不合格品,求它是由甲厂生产的概率. 解 (1) 运用全概率公式, 0.09;(2) 运用贝叶斯公式, 0.44.(具体做法参见模拟试卷(一)第四题)2.一实习生用一台机器接连独立地制造三个同样的零件,第i 个零件是不合格品的概率为)3,2,1(11=+=i ip i ,以X 表示三个零件中合格品的个数,求:(1) X 的概率分布； (2) X 的方差DX .解 (1)12234132411241=⋅+⋅+=EX , (2)2741924114412=⋅+⋅+=EX ,故521.0)(22=-=EX EX DX . 3.设总体X ),0(~2σN ,2σ为未知参数,n x x x ,,,21 是来自总体X 的一组样本值,求2σ的最大似然估计.解 似然函数21221222222e )21(e)21()(σσσπσπσ∑=∑===--ni i ni i x nx nL ,两边取对数212222ln 22ln 4)(ln σσπσ∑---==ni ix nn L ,关于2σ求导,并令其为零,得0)(21222122=∑+⋅-=σσni ix n , 从而解得极大似然估计量为∑==n i i x n 1221ˆσ. 4.二维随机变量(X ,Y )的联合概率密度:⎩⎨⎧>>=+-其它，，，，00,0e 2),()2(y x y x f y x求: (1) X 与Y 之间是否相互独立,判断X 与Y 是否线性相关；(2) )1(≤+X Y P .3解 (1) ⎪⎩⎪⎨⎧≤>==⎰⎰∞++-∞+∞-0,0,0,d e 2d ),()(0)2(x x y y y x f x f y x X⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e x x x 同理⎩⎨⎧≤>=-.0,0,0,e )(2y y yf y Y 从而)()(),(y f x f y x f Y X =,故X 与Y 相互独立,因而X 与Y 一定不相关.(2) =≤+)1(X Y P =⎰⎰-+-y x x y x d 2e d 10)2(1021)e 1(--.5.某人乘车或步行上班,他等车的时间X (单位:分钟)服从参数为51的指数分布,如果等车时间超过10分钟他就步行上班.若此人一周上班5次,以Y 表示他一周步行上班的次数.求Y 的概率分布；并求他一周内至少有一次步行上班的概率.解 此人每天等车时间超过10分钟也即步行上班的概率为210e d e 51)10(--∞+==>⎰x X P sx. 故)e ,5(~2-B Y .52)e 1(1)1(---=≥Y P .6.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧∈⋅=其他，，，，0]8,1[31)(32x x x f)(x F 是X 的分布函数.求随机变量)(X F Y =的概率分布.解 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≤<-≤=.8,1,81,1,1,0)(31x x x x x F(3) 当0<y 时,0)()(=≤=y Y P y F Y ;当10<≤y 时,))1(()1()()(331+≤=≤-=≤=y X P y X P y Y P y F Yy y F X =+=))1((3;当1≥y 时,1)()(=≤=y Y P y F Y .故对)(y F Y 求导可得Y 的概率密度,⎩⎨⎧<<=其它，，，，0101)(y y f Y 即]10[~，U Y四.应用题(第1题7分、第2题8分,共15分)1.假设对目标独立地发射400发炮弹,已知每一发炮弹的命中率等于0.2,用中心极限定理计算命中60发到100发之间的概率.解 设⎩⎨⎧=发炮弹命中第发炮弹没有命中第i i X i ,1,,0 (400,,2,1 =i ),则 ∑==4001i i X X )2.0,400(~B表示400发炮弹命中的发数,且80=EX ,64=DX ,故由中心极限定理知,)6420|6480(|)20|80(|)10060(<-=<-=<<X P X P X P 9876.01)820(2=-Φ=.2.某厂生产铜丝,生产一向稳定.现从该厂产品中随机抽出10段检查其折断力,测后经计算: 5.160)(,5.28712=-=∑=ni i x x x .假定铜丝折断力服从正态分布,问是否可以相信该厂生产的铜丝的折断力方差为16?(1.0=α)解 16162120≠=σσ：，：H H .采用统计量 2221S n σχ-=,在0H 成立时,)9(~22χχ.由1.0=α,查得临界值 325.3)9(295.022/1==-χχα, 919.16)9(205.022/==χχα, 由样本值算得03.10165.1602≈=χ,由于22/222/1ααχχχ<<-,所以不拒绝0H ,即该厂生产的铜丝的折断力方差为16. 五.证明题(5分)若随机变量X 的密度函数)(x f ,对任意的R x ∈,满足:)()(x f x f -=,)(x F 是其分布函数.证明:对任意实数a ,有⎰-=-a x x f a F 0d )(21)(. 证明 ⎰⎰⎰-∞--∞-+==-a ax x f x x f x x f a F 00d )(d )(d )()(⎰-+=a x x f 0d )(21 (令x t -=) ⎰⎰⎰-=-=--=a a a x x f t t f t t f 000d )(21d )(21d )(21.。
成都理工大学概率论与数理统计模拟考试卷及详细答案
2
～ 2
2
X1
2
X 2 +X 2
2
3
4 2
= X1 ～t 2
X 2 +X 2
2
3
2
E
X
n
Z , 2
X
n
Z
2
Ai ：第 i 人译出
1 P A1 A2 A3 1 P A1 A2 A3
1 2 3 4 0.6 345
2
P
A1 A2 A3
P
A1A2 A3
P
A1 A2 A3
13 30
P 任选一点落在 0.8, 0.9 =0.1
设 X 表示落在 0.8,0.9的点的个数 X～Bn,0.1
PX
1
C1 n
0.11
0.9n1
0.1 0.9n1
n
PX 1 1 PX 0 1 0.9n
f xdx
1
Axdx
A
1
A2
0
2
P
X
1
2
1
1 2xdx
2
3 4
P X Y 1
1
0.625
2
0.325
EY EaX b a b
DY a2D X a2 2
E XY E aX 2 bX a2 2 b
cov XY E XY E X EY a 2
XY
pk
0.5
1
2
0.4
0.1
E XY 0.6 E X 0.5
EY 0.7 0.6 1.3
cov X ,Y 0.6 0.51.3 0.05
FY y PY y P X y
1:若y 0, FY y 0
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05——06 页脚内容1 北京语言大学网络教育学院
《概率论与数理统计》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设A,B是两个互不相容的事件，P（A）>0 ，P（B）>0，则（ ）一定成立。 [A] P（A)＝1－P（B） [B] P（A│B)＝0
[C] P（A│B)＝1 [D] P（AB)＝0 2、设A,B是两个事件，P（A）>0 ， P（B）>0 ，当下面条件（ ）成立时，A与B一定相互独立。
[A] P(AB)＝P（A）P（B） [B] P（AB）＝P（A）P（B） [C] P（A│B）＝P（B） [D] P（A│B）＝P(A)
3、若A、B相互独立，则下列式子成立的为（ ）。
[A] )()()(BPAPBAP [B] 0)(ABP
[C] )()(ABPBAP [D] )()(BPBAP 4、下面的函数中，（ ）可以是离散型随机变量的概率函数。
[A] 11(0,1,2)!ePkkk
[B] 12(1,2)!ePkkk [C] 31(0,1,2)2kPkk [D] 41(1,2,3)2kPkk 5、设1()Fx与2()Fx分别为随机变量1X与2X的分布函数，为了使12()()()FxaFxbFx是某一随机变量的分布函数，则下列个组中应取（ ）。
[A]1,2a32b [B] 2,3a23b
[C] 3,5a25b [D] 1,2a32b 二、【判断题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)正确的填T，错误的填F，填05——06 页脚内容2 在答题卷相应题号处。
6、事件“掷一枚硬币，或者出现正面，或者出现反面”是必然事件。 （ ） 7、通过选取经验函数12;,,...,kxaaa中的参数使得观察值iy与相应的函数值12;,,...,ikxaaa之差的平方和最小的方法称之为方差分析法。 （ ）
8、在进行一元线性回归时， 通过最小二乘法求得的经验回归系数^b为xyxxll。 （ ）
9、连续抛一枚均匀硬币6 次，则正面至少出现一次的概率为92。（ ） 10、设某次考试考生的成绩服从正态分布270,N，2未知，为了检验样本均值是否显著改变，抽取36名同学测得平均成绩为66.5分，标准差为15分，显著水平0.05，则应该接受原假设。（ ）
三、【填空题】（本大题共5小题，每小题5分，共25分）请将答案填写在答题卷相应题号处。
11、10个球中只有一个红球，有放回地抽取，每次取一球，直到第n次才取得k次(k≤n)红球的概率为（ ）。 12、设（,）的联合分布律如表所示，则（a,b）=（ ）时，与相互独立。
-0 1 2 -1
1 16 13 19 a 1
9
b
13、设61,,xx 为正态总体 )2,0(2N的一个样本，则概率}54.6{612iixP为（ ）。 14、样本容量为n时，样本方差2s是总体方差2的无偏估计量，这是因为（ ）。 15、估计量的有效性是指（ ）。
四、【计算题】（本大题共4小题，第16，17，18每题10分，第19题15分，共45分）请将答案填写在答题卷相应题号处。
16、某人射击中靶的概率为0.75. 若射击直到中靶为止，求射击次数为3 的概率。 17、设随机变量的概率密度为()0bkxfx 01,(0,0)xbk其他且05——06 页脚内容3 1()0.752P，则K和b分别为多少？
18、假设1234,,,XXXX是取自正态总体20,2N的一个样本，令221234234KaXXbXX，则当120,1100ab时，统计量服从2分
布，其自由度是多少？ 19、某大学从来自A，B两市的新生中分别随机抽取5名与6名新生，测其身高（单位：cm）后算得x=175.9，y=172.0；s21=11.3，s22=9.1。假设两市新生身高分别服从正态分布X～N(,)12，Y～N(,)22，其中2未知。试求12的置信度为0.95的置信区间。(t0.025(9)=2.2622，t0.025(11)=2.2010)。 05——06
页脚内容4 《概率论与数理统计》模拟试卷一答案
一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 题号 1 2 3 4 5 答案 B A A A C
二、【判断题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 题号 6 7 8 9 10 答案 T F F F T
三、【填空题】（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 11、1119()()1010kknknC
12、2199， 13、 0.95 14、22()Es 15、估计量的方差比较小
四、【计算题】（本大题共4小题，第16，17，18每题10分，第19题15分，共45分）16、
标准答案： 设Ai表示第i次击中靶， P(射击次数3次)=P(123AAA)=P(1A)P(2A)P(3A)=0.252X0.75 复习范围：第2章第2节 条件概率与独立性 – 独立性 17、 标准答案： 05——06 页脚内容5 解方程组12101()1()0.75fxdxfxdx，即1111120.751bkbkb，解得k=2，b=1。
复习范围：第4章第1节 连续型随机变量 – 连续性随机变量及其概率密度 18、 标准答案：
X1-2X2~N(0,22+4x22)= N(0,20)，则21212020XXZ~ N(0,1)。
3X1- 4X2~N(0,9 x 22+16x22)= N(0,100)，则234234100XXZ~ N(0,1)。 Z=Z12+Z22~χ2(2) 所以a=1/20 b=1/100时，自由度为2。
复习范围：第8章第2节 数理统计基本知识 - 三个重要分布
19、 标准答案： 解：这是两正态总体均值差的区间估计问题。由题设知， n1=5,n2=6,x=175.9,y=172,s12113.,s22=9.1,005..
snsnsnnw()()11222212112
=3.1746 选取t0.025(9)=2.2622, 则12置信度为0.95的置信区间为：
[xytnnsnnxytnnsnnww2121221212211211(),()] =[-0.4484,8.2484]. 复习范围：第9章第3节 参数估计--区间估计 05——06 页脚内容6 北京语言大学网络教育学院
《概率论与数理统计》模拟试卷二
注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。
一、【单项选择题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、设A，B为两个事件，P[A]≠P（B）>0,且AB，则（ ）一定成立。 [A]P（A│B)＝1 [B] P（B│A)＝1
[C] P（B│A)＝1 [D] P（A│B)＝0 2、设A,B,C是任意三个随机事件，则以下命题正确的是（ ）。 [A]()ABBAB （B）()ABBA [C] ()()ABCABC [D] ABABBA
3、设A,B是两个相互独立的事件，P[A]>0 ， P（B）>0 ，则（ ）一定成立。 [A]P（A)＝1－P（B） [B] P（A│B)＝0
[C] P（A│B)＝1－P（A) [D] P（A│B)＝P（B）
4、2(1,2,)kkPxkp为一随机变量的概率函数的必要条件是（ ）。 [A]kx非负 [B] kx为整数 [C] 02kp [D] 2kp
5、设（,）的联合概率密度为2211(,)0xyfxy其他 则与为（ ）的随机变量。 [A] 独立同分布 [B] 独立不同分布 [C] 不独立同分布 [D] 不独立也不同分布
二、【判断题】(本大题共5小题，每小题3分，共15分)正确的填T，错误的填F，填在答题卷相应题号处。
6、设,10~NX ,21~NYYX,相互独立，令XYZ2，则~Z(1,9)N。 （ ） 7、设随机变量X具有分布,2,1,21}{kkXPk.)(xE为0。 （ ） 8、设2~(,)XN，则()DX。 （ ）