高中数学选修4精品学案第一章《不等式和绝对值不等式》

高中数学人教A版选修4-5精品学案一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式1．了解两个正数的算术平均数与几何平均数．2．理解定理1和定理2(基本不等式)．(重点)3．掌握用基本不等式求一些函数的最值及实际的应用问题．(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1两个定理及算数平均与几何平均阅读教材P5～P6“例3”以上部分，完成下列问题．1．两个定理如果a，b都是正数，我们称a＋b2为a，b的算术平均，ab为a，b的几何平均．下列不等式中，正确的个数是()①若a，b∈R，则a＋b2≥ab；②若x∈R，则x2＋2＋1x2＋2≥2；③若x∈R，则x2＋1＋1x2＋1≥2；④若a，b为正实数，则a＋b2≥ab.A ．0B ．1C ．2 D.3【解析】 显然①不正确；③正确；对于②，虽然x 2＋2＝1x 2＋2无解，但x 2＋2＋1x 2＋2＞2成立，故②正确；④不正确，如a ＝1，b ＝4. 【答案】 C教材整理2 利用基本不等式求最值 阅读教材P 6～P 8，完成下列问题． 已知x ，y 为正数，x ＋y ＝S ，xy ＝P ，则(1)如果P 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，S 取得最小值2P ； (2)如果S 是定值，那么当且仅当x ＝y 时，P 取得最大值S 24.若x ≠0，则f (x )＝2－3x 2－12x 2的最大值是________，取得最值时x 的值是________.【解析】 f (x )＝2－3⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋4x 2≤2－3×4＝－10，当且仅当x 2＝4x 2，即x ＝±2时取等号． 【答案】 －10 ±2[小组合作型]已知a ，b ，c 都是正数，求证：a b ＋b c ＋c a ≥a ＋b ＋c .【精彩点拨】 观察不等号两边差异，利用基本不等式来构造关系． 【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0， ∴a 2b ＋b ≥2a 2b ·b ＝2a ，同理：b 2c ＋c ≥2b ，c 2a ＋a ≥2c . 三式相加得：a 2b ＋b 2c ＋c 2a ＋(b ＋c ＋a )≥2(a ＋b ＋c )， ∴a 2b ＋b 2c ＋c 2a ≥a ＋b ＋c .1．首先根据不等式两端的结构特点进行恒等变形或配凑使之具备基本不等式的结构和条件，然后合理地选择基本不等式或其变形式进行证明．2．当且仅当a ＝b ＝c 时，上述不等式中“等号”成立，若三个式子中有一个“＝”号取不到，则三式相加所得的式子中“＝”号取不到．[再练一题]1．已知x ，y ，z 均为正数，求证：x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z . 【证明】 ∵x ，y ，z 都是正数， ∴x yz ＋y zx ＝1z ⎝ ⎛⎭⎪⎫x y ＋y x ≥2z .同理可得y zx ＋z xy ≥2x ，z xy ＋x yz ≥2y .将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得x yz ＋y zx ＋z xy ≥1x ＋1y ＋1z .设x ，y ，z 均是正数，x －2y ＋3z ＝0，则y xz 的最小值为________． 【精彩点拨】 由条件表示y ，代入到y 2xz 中，变形为能运用基本不等式求最值的形式，求出最小值，但要注意等号取到的条件．【自主解答】 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z2，∴y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫x z ＋9z x ＋6≥14⎝ ⎛⎭⎪⎫2x z ·9z x ＋6＝3. 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2xz 取得最小值3. 【答案】 31．本题解题的关键是根据已知条件消掉目标函数中的y ，通过对目标函数的变形，转化为考生所熟悉的使用基本不等式求最值的问题．2．使用基本不等式求最值，必须同时满足三个条件：①各项均为正数；②其和或积为定值；③等号必须成立，即“一正、二定、三相等”．在具体问题中，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，决定着成败的关键．[再练一题]2．已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，试求x ＋y 的最小值. 【解】 ∵x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋9y＝y x ＋9xy ＋10≥2y x ·9xy ＋10＝16.当且仅当y x ＝9xy ，即y ＝3x 时等号成立． 又1x ＋9y ＝1，∴当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.年里约热内卢奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销售量x 万件与年促销费t 万元之间满足3－x 与t ＋1成反比例的关系，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知2016年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需要投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．(1)若计划2016年生产的化妆品正好能销售完，试将2016年的利润y (万元)表示为促销费t (万元)的函数；(2)该企业2016年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？ 【精彩点拨】 (1)两个基本关系式是解答关键，即利润＝销售收入－生产成本－促销费；生产成本＝固定费用＋生产费用；(2)表示出题中的所有已知量和未知量，利用它们之间的关系式列出函数表达式．利用基本不等式求最值．【自主解答】 (1)由题意可设3－x ＝kt ＋1(k ＞0)， 将t ＝0，x ＝1代入，得k ＝2. ∴x ＝3－2t ＋1. 当年生产x 万件时，年生产成本为32x ＋3＝32×⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3. 当销售x 万件时，年销售收入为 150%×⎣⎢⎡⎦⎥⎤32×⎝⎛⎭⎪⎫3－2t ＋1＋3＋12t . 由题意，生产x 万件化妆品正好销完， 得年利润y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)(t ≥0)．(2)y ＝－t 2＋98t ＋352(t ＋1)＝50－⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋12＋32t ＋1≤50－2t ＋12×32t ＋1＝50－216＝42，当且仅当t ＋12＝32t ＋1，即t ＝7时，等号成立，y max ＝42，∴当促销费定在7万元时，年利润最大． [再练一题]3．如图1-1-1所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无盖长方体沉淀箱，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a m ，高度为b m ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a ，b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60 m 2，问当a ，b 各为多长时，沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)?图1-1-1【解】 法一 设流出的水中杂质的质量分数为y ，由题意y ＝kab ，其中k 为比例系数(k >0)．根据题意，得 2×2b ＋2ab ＋2a ＝60(a >0，b >0)，∴b ＝30－a 2＋a(由a >0，b >0，可得a <30)．∴y ＝k ab ＝k 30a －a22＋a. 令t ＝a ＋2，则a ＝t －2.从而30a －a 22＋a ＝30(t －2)－(t －2)2t ＝34t －t 2－64t ＝34－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋64t ，∴y ＝k ab ≥k34－2t ·64t＝k 18.当且仅当t＝64t ，即a＋2＝64a＋2时，取“＝”，∴a＝6.由a＝6，可得b＝3.综上所述：当a＝6 m，b＝3 m时，经沉淀后流出的水中杂质的质量分数最小．法二设流出的水中杂质的质量分数为y，依题意y＝kab，其中k为比例系数(k>0)．要求y的最小值必须先求出ab的最大值．依题设4b＋2ab＋2a＝60，即ab＋a＋2b＝30(a>0，b>0)．∵a＋2b≥22ab(当且仅当a＝2b时取“＝”)，∴ab＋22ab≤30，可解得0<ab≤18.由a＝2b及ab＋a＋2b＝30，可得a＝6，b＝3，即a＝6，b＝3时，ab取得最大值，从而y的值最小．[探究共研型]探究1在基本不等式2≥ab中，为什么要求a>0，b>0?【提示】对于不等式a＋b2≥ab，如果a，b中有两个或一个为0，虽然不等式仍成立，但是研究的意义不大，当a，b都为负数时，不等式不成立；当a，b中有一个为负数，另一个为正数，不等式无意义．探究2利用a＋b2≥ab求最值的条件是怎样的？【提示】利用基本不等式求最值的条件是“一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取得相等的值．探究3你能给出基本不等式的几何解释吗？【提示】 如图，以a ＋b 为直径的圆中，DC ＝ab ，且DC ⊥AB .因为CD 为圆的半弦，OD 为圆的半径，长为a ＋b2，根据半弦长不大于半径，得不等式ab ≤a ＋b2.显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a ＝b 时，等号成立．因此，基本不等式的几何意义是圆的半弦长不大于半径；或直角三角形斜边的中线不小于斜边上的高．命题：①任意x >0，lg x ＋1lg x ≥2；②任意x ∈R ，a x ＋1a x ≥2；③任意x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，tan x ＋1tan x ≥2；④任意x ∈R ，sin x ＋1sin x ≥2. 其中真命题有( ) A ．③ B ．③④ C ．②③D.①②③④【精彩点拨】 按基本不等式成立的条件进行判定．【自主解答】 在①④中，lg x ∈R ，sin x ∈[－1,1]，不能确定lg x >0与sin x >0.因此①④是假命题；在②中，a x >0，a x ＋1a x ≥2a x ·1a x ＝2，当且仅当x ＝0时，取等号，则②是真命题；在③中，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2时，tan x >0，有tan x ＋1tan x ≥2，且x ＝π4时取等号，∴③是真命题．【答案】 C1．本题主要涉及基本不等式成立的条件及取等号的条件．在定理1和定理2中，“a ＝b ”是等号成立的充要条件．但两个定理有区别又有联系：(1)a ＋b2≥ab 是a 2＋b 2≥2ab 的特例，但二者适用范围不同，前者要求a ，b 均为正数，后者只要求a ，b ∈R ；(2)a ，b 大于0是a ＋b2≥ab 的充分不必要条件；a ，b 为实数是a 2＋b 2≥2ab 的充要条件．2．当b ≥a >0时，有变形不等式a ≤2aba ＋b≤ab ≤a ＋b 2≤a 2＋b 22≤b .[再练一题]4．若a ，b ∈R ，且ab >0，则下列不等式中，恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b >2abD.b a ＋a b ≥2【解析】 A 选项中，当a ＝b 时，a 2＋b 2＝2ab ，则排除A ；当a <0，b <0时，a ＋b <0<2ab ，1a ＋1b <0<2ab ，则排除B ，C 选项；D 选项中，由ab >0，则b a >0，a b >0，∴b a ＋ab ≥2b a ·a b ＝2，当且仅当a ＝b 时取“＝”，所以选D.【答案】 D1．下列结论中不正确的是( ) A ．a ＞0时，a ＋1a ≥2 B.b a ＋a b ≥2 C ．a 2＋b 2≥2abD.a 2＋b 2≥(a ＋b )22【解析】 选项A ，C 显然正确；选项D 中，2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ≥0，∴a 2＋b 2≥(a ＋b )22成立；而选项B 中，b a ＋ab ≥2不成立，因为若ab ＜0，则不满足不等式成立的条件．【答案】 B2．下列各式中，最小值等于2的是()A.xy＋yx B.x2＋5x2＋4C．tan θ＋1tan θ D.2x＋2－x【解析】∵2x＞0,2－x＞0，∴2x＋2－x≥22x·2－x＝2，当且仅当2x＝2－x，即x＝0时，等号成立．故选D.【答案】 D3．已知5x＋3y＝1(x>0，y>0)，则xy的最小值是()A．15 B．6 C．60 D.1【解析】∵5x＋3y≥215xy(当且仅当x＝10，y＝6时，取等号)，∴215xy≤1，∴xy≥60，故xy的最小值为60.【答案】 C4．已知lg x＋lg y＝2，则1x＋1y的最小值为______．【解析】∵lg x＋lg y＝2，∴x＞0，y＞0，lg(xy)＝2，∴xy＝102，∴1x＋1y≥21xy＝15，当且仅当x＝y＝10时，等号成立．【答案】1 55．已知a，b是正数，求证：(1)a2＋b22≥a＋b2；(2)ab≥21a＋1b.【证明】(1)左边＝a2＋b2＋a2＋b24≥a2＋b2＋2ab4＝(a＋b)24＝a＋b2＝右边，原不等式成立．(2)右边＝21a＋1b≤221ab＝ab＝左边，原不等式成立．分层测评（二）(建议用时：45分钟) 一、选择题1．函数f(x)＝xx＋1的最大值为()A.25 B.12 C.22D．1【解析】显然x≥0.当x＝0时，f(x)＝0；当x>0时，x＋1≥2x，∴f(x)≤12，当且仅当x＝1时，等号成立，∴f(x)max＝1 2.【答案】 B2．设0＜a＜b，则下列不等式中正确的是()A．a＜b＜ab＜a＋b2B．a＜ab＜a＋b2＜bC．a＜ab＜b＜a＋b2 D.ab＜a＜a＋b2＜b【解析】取特殊值法．取a＝2，b＝8，则ab＝4，a＋b2＝5，所以a＜ab＜a＋b2＜b.故选B.【答案】 B3．已知x≥52，则f(x)＝x2－4x＋52x－4有()A．最大值为54B．最小值为54C．最大值为1 D.最小值为1【解析】∵x≥52，∴x－2≥12，∴f(x)＝(x－2)2＋12(x－2)＝12(x－2)＋12(x－2)≥2x－22·12(x－2)＝1，当且仅当x－22＝12(x－2)，即x＝3时，等号成立，∴f(x)min＝1.【答案】 D4．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则(a＋b)2cd的最小值是()A．0 B．1C．2 D.4【解析】由题意知a＋b＝x＋y，cd＝xy，∴(a＋b)2＝(x＋y)2≥4xy＝4cd，∴(a＋b)2cd≥4，当且仅当x＝y时，取等号．【答案】 D5．已知a，b是不相等的正数，x＝a＋b2，y＝a＋b，则x，y的关系是()A．x>y B．y>xC．x>2y D.y>2x【解析】因为a，b是不相等的正数，所以x2＝a＋b2＋ab<a＋b2＋a＋b2＝a＋b＝y2，即x2<y2，故x<y.【答案】 B二、填空题6．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是________.【解析】x2＋y2＋xy＝(x＋y)2－xy≥(x＋y)2－(x＋y)24＝34(x＋y)2，∴(x＋y)2≤43，∴|x＋y|≤233，即x＋y的最大值为23 3.【答案】23 37．已知x，y∈R＋，且满足x3＋y4＝1，则xy的最大值为________．【解析】因为x＞0，y＞0，所以x3＋y4≥2x3·y4＝xy3，即xy3≤1，解得xy≤3，所以其最大值为3.【答案】 38．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)(bm＋an)的最小值为________．【解析】∵a，b，m，n∈R＋，且a＋b＝1，mn＝2，∴(am＋bn)(bm＋an)＝abm2＋a2mn＋b2mn＋abn2＝ab(m2＋n2)＋2(a2＋b2)≥2ab·mn＋2(a2＋b2)＝4ab＋2(a2＋b2)＝2(a2＋b2＋2ab)＝2(a ＋b )2＝2，当且仅当m ＝n ＝2时，取“＝”， ∴所求最小值为2. 【答案】 2 三、解答题9．已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，x ，y 为变量，a ，b 为常数，且a ＋b ＝10，a x ＋by ＝1，x ＋y 的最小值为18，求a ，b .【解】 ∵x ＋y ＝(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y＝a ＋b ＋bx y ＋ayx ≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2， 当且仅当bx y ＝ayx 时取等号． 又(x ＋y )min ＝(a ＋b )2＝18， 即a ＋b ＋2ab ＝18. ① 又a ＋b ＝10，②由①②可得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝8或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝2.10．已知x 1，x 2，x 3为正实数，若x 1＋x 2＋x 3＝1，求证：x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1.【证明】 ∵x 22x 1＋x 1＋x 23x 2＋x 2＋x 21x 3＋x 3≥2x 22＋2x 23＋2x 21＝2(x 1＋x 2＋x 3)＝2，∴x 22x 1＋x 23x 2＋x 21x 3≥1. [能力提升]1．设x ，y ∈R ＋，且满足x ＋4y ＝40，则lg x ＋lg y 的最大值是( ) A ．40B ．10C ．4 D.2【解析】 因为x ，y ∈R ＋，∴4xy ≤x ＋4y2， ∴xy ≤x ＋4y4＝10，∴xy ≤100. ∴lg x ＋lg y ＝lg xy ≤lg 100＝2. 【答案】 D2．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( )A ．5千米处B ．4千米处C ．3千米处D.2千米处【解析】 由已知：y 1＝20x ， y 2＝0.8x (x 为仓库到车站的距离)． 费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x ≥20.8x ·20x ＝8.当且仅当0.8x ＝20x ， 即x ＝5时等号成立． 【答案】 A3．y ＝3＋x ＋x 2x ＋1(x ＞0)的最小值是________．【解析】 ∵x ＞0，∴y ＝3＋x ＋x 2x ＋1＝3x ＋1＋x ＋1－1≥23－1. 当且仅当x ＋1＝3时取等号． 【答案】 23－14．若对任意x >0，xx 2＋3x ＋1≤a 恒成立，求实数a 的取值范围.【解】 由x >0，知原不等式等价于0<1a ≤x 2＋3x ＋1x ＝x ＋1x ＋3恒成立．又x >0时，x ＋1x ≥2x ·1x ＝2，∴x ＋1x ＋3≥5，当且仅当x ＝1时，取等号． 因此⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋3min ＝5，从而0<1a ≤5，解得a ≥15. 故实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞.3.三个正数的算术­几何平均不等式1．探索并了解三个正数的算术-几何平均不等式的证明过程． 2．会用平均不等式求一些特定函数的最大(小)值．(重点)3．会建立函数不等式模型，利用其解决实际生活中的最值问题．(难点)[基础·初探]教材整理1 三个正数的算术-几何平均不等式 阅读教材P 8～P 9定理3，完成下列问题．1．如果a ，b ，c ∈R ＋，那么a 3＋b 3＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．2．定理3：如果a ，b ，c ∈R ＋a ＝b ＝c时，等号成立．即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．已知a ，b ，c 为正数，则a b ＋b c ＋ca 有( ) A ．最小值为3 B ．最大值为3 C ．最小值为2D.最大值为2【解析】 a b ＋b c ＋ca ≥33ab ×bc ×c a ＝3， 当且仅当a b ＝b c ＝ca ，即a ＝b ＝c 时，取等号． 【答案】 A教材整理2 基本不等式的推广阅读教材P 9～P 9“例5”以上部分，完成下列问题．对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立．教材整理3 利用基本不等式求最值阅读教材P 9～P 9“习题1.1”以上部分，完成下列问题．若a ，b ，c 均为正数，①如果a ＋b ＋c 是定值S ，那么a ＝b ＝c 时，积abc 有最大值；②如果积abc 是定值P ，那么当a ＝b ＝c 时，和a ＋b ＋c 有最小值．设x ＞0，则y ＝x ＋4x 2的最小值为( ) A ．2 B ．2 2 C ．3 2D.3【解析】 y ＝x ＋4x 2＝x 2＋x 2＋4x 2≥3·3x 2·x 2·4x 2＝3，当且仅当x 2＝4x 2时取“＝”号． 【答案】 D[小组合作型]设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2≥27.【精彩点拨】 根据不等式的结构特点，运用a ＋b ＋c ≥33abc ，结合不等式的性质证明．【自主解答】 ∵a >0，b >0，c >0， ∴a ＋b ＋c ≥33abc >0， 从而(a ＋b ＋c )2≥93a 2b 2c 2>0. 又1a 2＋1b 2＋1c 2≥331a 2b 2c 2>0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2＋1c 2(a ＋b ＋c )2 ≥331a 2b 2c 2·93a 2b 2c 2＝27， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．1．(1)在应用平均不等式时，一定要注意是否满足条件，即a >0，b >0. (2)若问题中一端出现“和式”而另一端出现“积式”，这便是应用基本不等式的“题眼”，不妨运用平均不等式试试看．2．连续多次运用平均不等式定理时，要特别注意前后等号成立的条件是否一致．[再练一题]1．设a ，b ，c 为正数，求证：⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1b 3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81.【证明】 因为a ，b ，c 为正数， 所以有1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3＝3abc ＞0. 又(a ＋b ＋c )3≥(33abc )3＝27abc ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 3＋1b 3＋1c 3(a ＋b ＋c )3≥81， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．灯．大家知道，灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小；挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度E 和电灯射到桌子边缘的光线与桌子的夹角θ的正弦成正比，而和这一点到光源的距离r 的平方成反比，即E ＝k sin θr 2.这里k 是一个和灯光强度有关的常数．那么究竟应该怎样选择灯的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？图1-1-2【精彩点拨】 根据题设条件建立r 与θ的关系式，将它代入E ＝k sin θr 2，得到以θ为自变量，E 为因变量的函数关系式，再用平均不等式求函数的最值．【自主解答】 ∵r ＝2cos θ， ∴E ＝k ·sin θcos 2θ4⎝ ⎛⎭⎪⎫0<θ<π2. ∴E 2＝k 216·sin 2θ·cos 4θ＝k 232(2sin 2θ)·cos 2θ·cos 2θ≤k 232⎝⎛⎭⎪⎫2sin 2θ＋cos 2θ＋cos 2θ33＝k 2108， 当且仅当2sin 2θ＝cos 2θ时取等号，即tan 2θ＝12，tan θ＝22时，等号成立． ∴h ＝2tan θ＝2，即h ＝2时，E 最大．因此选择灯的高度为2米时，才能使桌子边缘处最亮．1．本题的关键是在获得了E ＝k ·sin θcos 2θ4后，对E 的函数关系式进行变形求得E 的最大值．2．解应用题时必须先读懂题意，建立适当的函数关系式，若把问题转化为求函数的最值问题，常配凑成可以用平均不等式的形式，若符合条件“一正、二定、三相等”即可直接求解．[再练一题]2．制造容积为π2立方米的无盖圆柱形桶，用来制作底面的金属板的价格为每平方米30元，用来制作侧面的金属板的价格为每平方米20元，要使用料成本最低，则圆柱形桶的底面半径和高应各为多少米？【解】 设圆柱形桶的底面半径为r 米，高为h 米，则底面积为πr 2平方米，侧面积为2πrh 平方米．设用料成本为y 元，则y ＝30πr 2＋40πrh . ∵桶的容积为π2，∴πr 2h ＝π2，∴rh ＝12r .∴y ＝30πr 2＋20r π＝10π⎝ ⎛⎭⎪⎫3r 2＋1r ＋1r ≥10π×333，当且仅当3r 2＝1r 时，即r ＝393时等号成立，此时h ＝392.故要使用料成本最低，圆柱形桶的底面半径应为393米，高为392米．[探究共研型]探究1 利用不等式a ＋b ＋c 3≥3abc 求最值的条件是什么？【提示】 “一正、二定、三相等”，即(1)各项或各因式为正；(2)和或积为定值；(3)各项或各因式能取到相等的值．探究2 如何求y ＝4x 4＋x 2的最小值？【提示】 y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 22＋x 22≥334x 4·x 22·x 22＝3，当且仅当4x 4＝x 22，即x ＝±2时，等号成立，∴y min ＝3.其中把x 2拆成x 22和x 22两个数，这样可满足不等式成立的条件．若这样变形：y ＝4x 4＋x 2＝4x 4＋x 24＋34x 2，虽然满足了乘积是定值这个要求，但“三相等”不能成立，因为4x 4＝x 24＝34x 2时x 无解，不能求出y 的最小值．已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．【精彩点拨】 为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．【自主解答】 ∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2 ＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)·12. ∵2x 2＋(1－x 2)＋(1－x 2)＝2， ∴y 2≤12⎝⎛⎭⎪⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x2＝1－x2，即x＝33时等号成立．∴y≤239，∴y的最大值为239.1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑：y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12⎝⎛⎭⎪⎫x＋2－2x＋1＋x33＝12.虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取“＝”号的条件，显然x＝2－2x＝1＋x无解，即无法取“＝”号，也就是说，这种拼凑法是不正确的．2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数学结构，同时也要注意算术-几何平均不等式的使用条件，三个缺一不可．[再练一题]3．若2a＞b＞0，试求a＋4(2a－b)b的最小值.【解】a＋4(2a－b)b＝2a－b＋b2＋4(2a－b)b＝2a－b2＋b2＋4(2a－b)b≥3·32a－b2·b2·4(2a－b)b＝3，当且仅当2a－b2＝b2＝4(2a－b)b，即a＝b＝2时取等号．所以当a＝b＝2时，a＋4(2a－b)b有最小值为3.1．已知x ＋2y ＋3z ＝6，则2x ＋4y ＋8z 的最小值为( ) A ．336 B ．22 C ．12 D ．1235 【解析】 ∵x ＋2y ＋3z ＝6，∴2x ＋4y ＋8z ＝2x ＋22y ＋23z ≥332x·22y·23z＝332x ＋2y ＋3z ＝12.当且仅当2x ＝22y ＝23z ，即x ＝2，y ＝1，z ＝23时，等号成立． 【答案】 C2．若a ＞b ＞0，则a ＋1b (a －b )的最小值为( )A ．0B ．1C ．2 D.3【解析】 ∵a ＋1b (a －b )＝(a －b )＋b ＋1b (a －b )≥33(a －b )·b ·1b (a －b )＝3，当且仅当a ＝2，b ＝1时取等号，∴a ＋1b (a －b )的最小值为3.故选D.【答案】 D3．函数y ＝4sin 2x ·cos x 的最大值为________，最小值为________． 【解析】 ∵y 2＝16sin 2 x ·sin 2x ·cos 2x ＝8(sin 2x ·sin 2x ·2cos 2x ) ≤8⎝⎛⎭⎪⎫sin 2x ＋sin 2x ＋2cos 2x 33＝8×827＝6427， ∴y 2≤6427，当且仅当sin 2x ＝2cos 2x ， 即tan x ＝±2时取等号． ∴y max ＝893，y min ＝－89 3.【答案】893－89 34．函数f(x)＝5x＋20x2(x>0)的最小值为________.【解析】∵f(x)＝5x＋20x2＝52x＋52x＋20x2≥3353＝15.当52x＝20x2，即x＝2时取等号．【答案】155．已知x>0，y>0，证明：(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥9xy. 【证明】因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥33xy2>0,1＋x2＋y≥33x2y>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥33xy2·33x2y＝9xy.分层测评（三）(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知正数x，y，z，且x＋y＋z＝6，则lg x＋lg y＋lg z的取值范围是()A．(－∞，lg 6] B．(－∞，3lg 2]C．[lg 6，＋∞) D.[3lg 2，＋∞)【解析】∵6＝x＋y＋z≥33 xyz，∴xyz≤8.∴lg x＋lg y＋lg z＝lg(xyz)≤lg 8＝3lg 2.【答案】 B2．已知x∈R＋，有不等式：x＋1x≥2x·1x＝2，x＋4x2＝x2＋x2＋4x2≥33x2·x2·4x2＝3，….启发我们可能推广结论为：x＋ax n≥n＋1(n∈N＋)，则a的值为( )A ．n nB ．2nC ．n 2D ．2n ＋1【解析】 x ＋ax n ＝＋ax n ，要使和式的积为定值，则必须n n ＝a ，故选A.【答案】 A3．设0<x <1，则x (1－x )2的最大值为( ) A.18 B ．1 C.3183 D.427 【解析】 ∵0<x <1， ∴0<1－x <1，∴x (1－x )2＝12·2x ·(1－x )·(1－x ) ≤12⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x ＋(1－x )＋(1－x )33＝427. 当且仅当x ＝13时，等号成立． 【答案】 D4．已知a ，b ，c ∈R ＋，x ＝a ＋b ＋c 3，y ＝3abc ，z ＝a 2＋b 2＋c 23，则( )A ．x ≤y ≤zB ．y ≤x ≤zC ．y ≤z ≤xD.z ≤y ≤x【解析】 由a ，b ，c 大于0，易知a ＋b ＋c 3≥3abc ，即x ≥y .又z 2＝a 2＋b 2＋c 23，x 2＝(a ＋b ＋c )29， 且x 2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )9≤3(a 2＋b 2＋c 2)9＝a 2＋b 2＋c23，∴x2≤z2，则x≤z，因此z≥x≥y.【答案】 B5．设x，y，z＞0，且x＋3y＋4z＝6，则x2y3z的最大值为() A．2 B．7C．8 D.1【解析】∵6＝x＋3y＋4z＝x2＋x2＋y＋y＋y＋4z≥66x2y3z，∴x2y3z≤1，当x2＝y＝4z时，取“＝”，即x＝2，y＝1，z＝14时，x2y3z取得最大值1.【答案】 D二、填空题6．若记号“*”表示求两个实数a与b的算术平均的运算，即a*b＝a＋b 2，则两边均含有运算“*”和“＋”，且对任意3个实数a，b，c都能成立的一个等式可以是________．【解析】由题意知a＋(b*c)＝a＋b＋c2＝2a＋b＋c2，(a＋b)*(a＋c)＝(a＋b)＋(a＋c)2＝2a＋b＋c2，所以a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)．【答案】a＋(b*c)＝(a＋b)*(a＋c)7．若a＞2，b＞3，则a＋b＋1(a－2)(b－3)的最小值为________．【解析】∵a＞2，b＞3，∴a－2＞0，b－3＞0，则a＋b＋1(a－2)(b－3)＝(a－2)＋(b－3)＋1(a－2)(b－3)＋5≥33(a －2)×(b －3)×1(a －2)(b －3)＋5＝8.当且仅当a －2＝b －3＝1(a －2)(b －3)，即a ＝3，b ＝4时等号成立．【答案】 88．已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1，对于下列不等式：①abc ≤127；②1abc ≥27；③a 2＋b 2＋c 2≥13.其中正确的不等式序号是________． 【解析】 ∵a ，b ，c ∈(0，＋∞)， ∴1＝a ＋b ＋c ≥33abc ， 0<abc ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127，1abc ≥27，从而①正确，②也正确．又a ＋b ＋c ＝1， ∴a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca )＝1，因此1≤3(a 2＋b 2＋c 2)，即a 2＋b 2＋c 2≥13，③正确．【答案】 ①②③ 三、解答题9．已知a ，b ，c 均为正数，证明：a 2＋b 2＋c 2＋(1a ＋1b ＋1c )2≥63，并确定a ，b ，c 为何值时，等号成立．【证明】 因为a ，b ，c 均为正数，由算术-几何平均不等式，得a 2＋b 2＋c 2≥3(abc )23，①1a ＋1b ＋1c≥3(abc )-13.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥9(abc )-23.②故a 2＋b 2＋c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ＋1c 2≥3(abc )23＋9(abc )-23.又3(abc )23＋9(abc )-23≥227＝63， ③所以原不等式成立．当且仅当a ＝b ＝c 时，①式和②式等号成立． 当且仅当3(abc )23＝9(abc )-23时，③式等号成立． 即当且仅当a ＝b ＝c ＝43时，原式等号成立． 10．已知x ，y ，z ∈R ＋，x ＋y ＋z ＝3. (1)求1x ＋1y ＋1z 的最小值；(2)证明：3≤x 2＋y 2＋z 2<9.【解】 (1)因为x ＋y ＋z ≥33xyz >0，1x ＋1y ＋1z ≥33xyz>0，所以(x ＋y ＋z )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＋1z ≥9，即1x ＋1y ＋1z ≥3，当且仅当x ＝y ＝z ＝1时，1x ＝1y ＝1z 取最小值3. (2)证明：x 2＋y 2＋z 2＝x 2＋y 2＋z 2＋(x 2＋y 2)＋(y 2＋z 2)＋(z 2＋x 2)3≥x 2＋y 2＋z 2＋2(xy ＋yz ＋zx )3＝(x ＋y ＋z )23＝3.又x 2＋y 2＋z 2－9＝x 2＋y 2＋z 2－(x ＋y ＋z )2＝－2(xy ＋yz ＋zx )<0， 所以3≤x 2＋y 2＋z 2<9.[能力提升]1．已知圆柱的轴截面周长为6，体积为V ，则下列总成立的是( ) A ．V ≥π B ．V ≤π C ．V ≥18π D ．V ≤18π【解析】 设圆柱半径为r ，则圆柱的高h ＝6－4r2，所以圆柱的体积为V ＝πr 2·h ＝πr 2·6－4r 2＝πr 2(3－2r )≤π⎝⎛⎭⎪⎫r ＋r ＋3－2r33＝π. 当且仅当r ＝3－2r ，即r ＝1时取等号． 【答案】 B2．若实数x ，y 满足xy ＞0，且x 2y ＝2，则xy ＋x 2的最小值是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解析】 xy ＋x 2＝12xy ＋12xy ＋x 2≥ 3312xy ·12xy ·x 2＝3314(x 2y )2＝3344＝3.【答案】 C3．已知关于x 的不等式2x ＋1(x －a )2≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________．【解析】 ∵2x ＋1(x －a )2＝(x －a )＋(x －a )＋1(x －a )2＋2a .又∵x －a ＞0，∴2x ＋1(x －a )2≥33(x －a )(x －a )1(x －a )2＋2a ＝3＋2a ，当且仅当x －a ＝1(x －a )2，即x ＝a ＋1时，取等号．∴2x ＋1(x －a )2的最小值为3＋2a . 由题意可得3＋2a ≥7，得a ≥2. 【答案】 24．如图1-1-3(1)所示，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器，如图1-1-3(2)所示，求这个正六棱柱容器容积的最大值．图1-1-3【解】 设正六棱柱容器底面边长为x (0＜x ＜1)，高为h ，由图可有2h ＋3x ＝3， ∴h ＝32(1－x )，V ＝S 底·h ＝6×34x 2·h ＝332x 2·32·(1－x ) ＝9×x 2×x 2×(1－x )≤9×⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x 2＋x 2＋1－x 33＝13.当且仅当x 2＝1－x ，即x ＝23时，等号成立．所以当底面边长为23时，正六棱柱容器容积最大值为13.二绝对值不等式1.绝对值三角不等式1．理解绝对值的几何意义，能利用绝对值的几何意义证明绝对值不等式的性质定理．(重点)2．会用绝对值不等式的性质定理证明简单的含绝对值的不等式，会求简单绝对值不等式的最值．(难点、易错易混点)[基础·初探]教材整理1绝对值的几何意义阅读教材P11～P11“思考”以上部分，完成下列问题．1．实数a的绝对值|a|表示数轴上坐标为a的点A到原点的距离．2．对于任意两个实数a，b，设它们在数轴上的对应点分别为A，B，那么|a－b|的几何意义是数轴上A，B两点之间的距离，即线段AB的长度．教材整理2绝对值三角不等式阅读教材P11～P14“定理2”以上部分，完成下列问题．1．定理1如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．2．在定理1中，实数a，b替换为向量a，b，当向量a，b不共线时，有向量形式的不等式|a＋b|<|a|＋|b|，它的几何意义是三角形的两边之和大于第三边．对于|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|，下列结论正确的是()A．当a，b异号时，左边等号成立B．当a，b同号时，右边等号成立C．当a＋b＝0时，两边等号均成立D．当a＋b＞0时，右边等号成立；当a＋b＜0时，左边等号成立【解析】当a，b异号且|a|＞|b|时左边等号才成立，A不正确；显然B正确；当a＋b＝0时，右边等号不成立，C不正确；D显然不正确．【答案】 B教材整理3三个实数的绝对值不等式阅读教材P14～P15“2.绝对值不等式的解法”以上部分，完成下列问题．定理2如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．设|a|＜1，|b|＜1，则|a＋b|＋|a－b|与2的大小关系是()A．|a＋b|＋|a－b|＞2 B．|a＋b|＋|a－b|＜2C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D.不可能比较大小【解析】当(a＋b)(a－b)≥0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|＜2；当(a＋b)(a－b)＜0时，|a＋b|＋|a－b|＝|(a＋b)－(a－b)|＝2|b|＜2.【答案】 B[小组合作型]围．【精彩点拨】令t＝|x＋1|＋|x＋2|，只需m≤t min.【自主解答】法一对x∈R，|x＋1|＋|x＋2|≥|(x＋1)－(x＋2)|＝1，当且仅当(x＋1)(x＋2)≤0时，即－2≤x≤－1时取等号．∴t＝|x＋1|＋|x＋2|的最小值为1，故m≤1.∴实数m的取值范围是(－∞，1]．法二 t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －(2x ＋3) ， x <－2，1， －2≤x ≤－1，2x ＋3， x >－1.∴t ≥1，则t ＝|x ＋1|＋|x ＋2|的最小值为1，故m ≤1.因此实数m 的取值范围是(－∞，1]．1．本题也可利用绝对值的几何意义求解．2．对于含有两个绝对值及以上的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质求函数最值．[再练一题]1．(2016·全国丙卷)已知函数f (x )＝|2x －a |＋a .(1)当a ＝2时，求不等式f (x )≤6的解集；(2)设函数g (x )＝|2x －1|.当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3，求a 的取值范围．【解】 (1)当a ＝2时，f (x )＝|2x －2|＋2.解不等式|2x －2|＋2≤6，得－1≤x ≤3.因为f (x )≤6的解集为{x |－1≤x ≤3}．(2)当x ∈R 时，f (x )＋g (x )＝|2x －a |＋a ＋|1－2x |≥|2x －a ＋1－2x |＋a ＝|1－a |＋a ，当x ＝12时等号成立，所以当x ∈R 时，f (x )＋g (x )≥3等价于|1－a |＋a ≥3.① 当a ≤1时，①等价于1－a ＋a ≥3，无解．当a ＞1时，①等价于a －1＋a ≥3，解得a ≥2.所以a 的取值范围是[2，＋∞)．设m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2. 【精彩点拨】 不管|a |，|b |,1的大小，总有m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1，然后利用绝对值不等式的性质证明．【自主解答】 依题意m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |>m ，∴|x |>|a |，|x |>|b |，|x |>1，从而|x |2>|b |.因此⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b x 2 ＝|a ||x |＋|b ||x 2|<|x ||x |＋|x |2|x 2|＝2，即⎪⎪⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.1．将文字语言“m 等于|a |，|b |,1中最大的一个”转化为符号语言“m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1”是证明本题的关键．2．运用绝对值不等式的性质证明不等式时，要注意放缩的方向和“尺度”，切忌放缩过度．[再练一题]2．若f (x )＝x 2－x ＋c (为常数)，且|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1).【证明】 |f (x )－f (a )|＝|(x 2－x ＋c )－(a 2－a ＋c )|＝|x 2－x －a 2＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a |·|x ＋a －1|<|x ＋a －1|＝|(x －a )＋(2a －1)|≤|x －a |＋|2a －1|.又|x －a |<1，∴|f (x )－f (a )|≤|x －a |＋|2a －1|≤|x －a |＋|2a |＋1<1＋2|a |＋1＝2(|a|＋1)．[探究共研型]【提示】不等式|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|.探究2你能给出定理2的几何解释吗？【提示】在数轴上，a，b，c的对应的点分别为A，B，C.当点B在点A，C之间时，|a－c|＝|a－b|＋|b－c|；当点B不在点A，C之间时，|a－c|<|a－b|＋|b －c|.已知a，b∈R，则有(1)|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是________；(2)|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是________．【精彩点拨】利用绝对值三角不等式定理分别求解．【自主解答】(1)因为|a|－|b|≤|a－b|恒成立，所以有|a－b|＞0⇔a≠b⇔|a|－|b||a－b|≤1，因此|a|－|b||a－b|≤1成立的充要条件是a≠b.(2)因为|a|＋|b|≥|a＋b|恒成立，所以有|a＋b|＞0⇔a≠－b⇔|a|＋|b||a＋b|≥1.因此|a|＋|b||a＋b|≥1成立的充要条件是a≠－b.【答案】(1)a≠b(2)a≠－b1．本题求解的关键在于|a|－|b|≤|a－b|与|a|＋|b|≥|a＋b|的理解和应用．2．解决此类问题应从两个方向推出关系来进行求解．[再练一题]3．条件不变，试求：(1)||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件；(2)|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件．【解】(1)因为ab＜0⇔||a|－|b||＜|a－b|⇔|a|－|b||a－b|＜1，所以||a|－|b|||a－b|＜1成立的充要条件是ab＜0.(2)因为|a|＋|b||a＋b|＞1⇔|a|＋|b|＞|a＋b|且a＋b≠0⇔ab＜0且a≠－b，所以|a|＋|b||a＋b|＞1成立的充要条件是ab＜0且a≠－b.1．已知实数a，b满足ab＜0，则下列不等式成立的是() A．|a＋b|＞|a－b| B．|a＋b|＜|a－b|C．|a－b|＜||a|－|b|| D.|a－b|＜|a|＋|b|【解析】∵ab＜0，∴|a－b|＝|a|＋|b|＞|a＋b|＝||a|－|b||，故应选B.【答案】 B2．若a，b∈R，则使|a|＋|b|>1成立的充分不必要条件可以是()A．|a|≥12且|b|≥12B．|a＋b|≥1C．|a|≥1 D.b<－1【解析】当b<－1时，|b|>1，∴|a|＋|b|>1，但|a|＋|b|>1⇒/b<－1(如a＝2，b＝0)，∴“b<－1”是“|a|＋|b|>1”的充分不必要条件．【答案】 D3．已知四个命题：①a>b⇒|a|>b；②a>b⇒a2>b2；③|a|>b⇒a>b；④a>|b|⇒a>b.其中正确的命题是________．【解析】当a>b时，|a|≥a>b，①正确．显然②③不正确．又当a>|b|时，有a>|b|≥b，④正确．【答案】①④4．|x＋1|＋|2－x|的最小值是________.【解析】∵|x＋1|＋|2－x|≥|(x＋1)＋(2－x)|＝3，当且仅当(x＋1)(2－x)≥0，即－1≤x≤2时，取等号．因此|x＋1|＋|2－x|的最小值为3.【答案】 35．f(x)＝|x－10|＋|x－20|(x∈R)，求f(x)的最小值，并求当f(x)有最小值时，实数x的取值范围．【解】∵|x－10|＋|x－20|＝|x－10|＋|20－x|≥|(x－10)＋(20－x)|＝10.当且仅当(x－10)(20－x)≥0时取等号，即10≤x≤20.因此f(x)的最小值为10，此时实数x的取值范围是[10,20]．分层测评（四）(建议用时：45分钟)一、选择题1．已知a ，b ，c ∈R ，且a ＞b ＞c ，则有( )A ．|a |＞|b |＞|c |B ．|ab |＞|bc |C ．|a ＋b |＞|b ＋c | D.|a －c |＞|a －b |【解析】 当a ，b ，c 均为负数时，则A ，B ，C 均不成立，如a ＝－1，b ＝－2，c ＝－3时，有|a |＜|b |＜|c |，故A 错；|ab |＝2，而|bc |＝6，此时|ab |＜|bc |，故B 错；|a ＋b |＝3，|b ＋c |＝5，与C 中|a ＋b |＞|b ＋c |矛盾，故C 错；只有D 正确．故选D.【答案】 D2．已知|a |≠|b |，m ＝|a |－|b ||a －b |，n ＝|a |＋|b ||a ＋b |，则m ，n 之间的大小关系为( ) A ．m >nB ．m <nC ．m ＝n D.m ≤n【解析】 由|a |－|b |≤|a ±b |≤|a |＋|b |，得|a |－|b ||a －b |≤1，|a |＋|b ||a ＋b |≥1. 【答案】 D3．已知a ，b ∈R ，ab >0，则下列不等式中不正确．．．的是( ) A ．|a ＋b |＞a －bB ．2ab ≤|a ＋b |C ．|a ＋b |<|a |＋|b | D.⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2 【解析】 当ab >0时，|a ＋b |＝|a |＋|b |，C 错．【答案】 C4．若|a －c |＜b ，则下列不等式不成立的是( )A ．|a |＜|b |＋|c |B ．|c |＜|a |＋|b |C ．b ＞||c |－|a ||D.b ＜||a |－|c ||【解析】 b ＞|a －c |＞|a |－|c |，b ＞|a －c |＞|c |－|a |，故A ，B 成立，∴b＞||a|－|c||，故C成立．应选D(此题代入数字也可判出)．【答案】 D5．“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m”(x，y，a，m∈R)的() A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵|x－a|＜m，|y－a|＜m，∴|x－a|＋|y－a|＜2m.又∵|(x－a)－(y－a)|≤|x－a|＋|y－a|，∴|x－y|＜2m，但反过来不一定成立，如取x＝3，y＝1，a＝－2，m＝2.5，|3－1|＜2×2.5，但|3－(－2)|＞2.5，|1－(－2)|＞2.5，∴|x－y|＜2m不一定有|x－a|＜m且|y－a|＜m，故“|x－a|＜m且|y－a|＜m”是“|x－y|＜2m(x，y，a，m∈R)”的充分不必要条件．【答案】 A二、填空题6．设a，b∈R，|a－b|>2，则关于实数x的不等式|x－a|＋|x－b|>2的解集是________．【解析】因为a，b∈R，则|a－b|>2，其几何意义是数轴上表示数a，b的两点间距离大于2，|x－a|＋|x－b|的几何意义为数轴上任意一点到a，b两点的距离之和，当x处于a，b之间时|x－a|＋|x－b|取最小值，距离恰为a，b两点间的距离，由题意知其恒大于2，故原不等式解集为R.【答案】R7．下列四个不等式：①log x 10＋lg x ≥2(x ＞1)；②|a －b |＜|a |＋|b |；③⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ≥2(ab ≠0)； ④|x －1|＋|x －2|≥1.其中恒成立的是________(填序号)．【解析】 log x 10＋lg x ＝1lg x ＋lg x ≥2，①正确．ab ≤0时，|a －b |＝|a |＋|b |，②不正确；∵ab ≠0，b a 与a b 同号，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋a b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ≥2，③正确； 由|x －1|＋|x －2|的几何意义知|x －1|＋|x －2|≥1恒成立，④也正确．综上，①③④正确．【答案】 ①③④8．已知α，β是实数，给出三个论断：①|α＋β|＝|α|＋|β|；②|α＋β|>5；③|α|>22，|β|>2 2.以其中的两个论断为条件，另一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题是________．【解析】 ①，③成立时，则|α＋β|＝|α|＋|β|>42>5.【答案】 ①③⇒②三、解答题9．设ε>0，|x －a |<ε4，|y －b |<ε6.求证：|2x ＋3y －2a －3b |<ε.【证明】 ∵|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤2|x －a |＋3|y －b |<2×ε4＋3×ε6＝ε.10．(2014·全国卷Ⅱ)设函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |(a >0)． (1)证明：f (x )≥2；(2)若f (3)<5，求a 的取值范围．【解】 (1)证明：由a >0，有f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a ＋|x －a |≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪x ＋1a －(x －a )＝1a ＋a ≥2，所以f (x )≥2.(2)f (3)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3＋1a ＋|3－a |.当a >3时，f (3)＝a ＋1a ，由f (3)<5，得3<a <5＋212.当0<a ≤3时，f (3)＝6－a ＋1a ，由f (3)<5，得1＋52<a ≤3.综上，a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋52，5＋212.[能力提升]1．对任意x ，y ∈R ，|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1| 的最小值为() A ．1 B ．2C ．3 D.4【解析】 ∵x ，y ∈R ，∴|x －1|＋|x |≥|(x －1)－x |＝1，|y －1|＋|y ＋1|≥|(y －1)－(y ＋1)|＝2，∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|≥3.∴|x －1|＋|x |＋|y －1|＋|y ＋1|的最小值为3.【答案】 C2．以下三个命题：(1)若|a －b |＜1，则|a |＜|b |＋1；(2)若a ，b ∈R ，则|a ＋b |－2|a |≤|a －b |；(3)若|x |＜2，|y |＞3，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＜23. 其中正确的有________个．【解析】 (1)1＞|a －b |≥|a |－|b |，∴1＋|b |＞|a |成立，(1)正确；(2)|a ＋b |－2|a |＝|a ＋b |－|2a |≤|a ＋b －2a |＝|a －b |正确；(3)⎪⎪⎪⎪⎪⎪x y ＝|x ||y |＜2|y |＜23，正确． 【答案】 33．若存在实数x 使|x －a |＋|x －1|≤3成立，则实数a 的取值范围是________.【解析】 |x －a |＋|x －1|≥|a －1|，则只需要|a －1|≤3，解得－2≤a ≤4.【答案】 －2≤a ≤44．若1＜a ＜8，－4＜b ＜2，则a －|b |的取值范围是____________．【解析】 ∵－4＜b ＜2，则0≤|b |＜4，∴－4＜－|b |≤0.又∵1＜a ＜8，∴－3＜a －|b |＜8.【答案】 (－3,8)5．(2016·江苏高考)设a ＞0，|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，求证：|2x ＋y －4|＜a .【证明】 因为|x －1|＜a 3，|y －2|＜a 3，所以|2x ＋y －4|＝|2(x －1)＋(y －2)|≤2|x －1|＋|y －2|＜2×a 3＋a 3＝a.2.绝对值不等式的解法1．理解绝对值的几何意义，掌握去绝对值的方法．(难点)2．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax ＋b |≤c ；|ax ＋b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≥c ；|x －a |＋|x －b |≤c .(重点)3．能利用绝对值不等式解决实际问题．。