葫芦岛市2017届高三第一次模拟考试数学试卷(理)含答案解析
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高三一模数学(文)试卷 Word版含解析
辽宁省葫芦岛市2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，]D．[﹣，]2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．24．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．35．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=27．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．88．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．119．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．211．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．312．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为__________．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=__________．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为__________．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是__________．（把你认为正确的结论都填上）三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生__________ __________ __________住校生__________ 10 __________合计__________ __________ __________据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4—4】坐标系与参数方程23．在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为（θ为参数）若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为ρsin （θ+）=（其中t为常数）．（1）若曲线N与曲线M只有一个公共点，求t的取值范围；（2）当t=﹣2时，求曲线M上的点与曲线N上的点的最小距离．【选修4—5】不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|+|2x+2|．（1）解不等式f（x）＞5；（2）若关于x的方程=a的解集为空集，求实数a的取值范围．辽宁省葫芦岛市2015届高考数学一模试卷（文科）一、选择题（每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若P={y|y≥0}，Q={x|﹣≤x≤}，则P∩Q=( )A．{0，} B．{（1，1），（﹣1，﹣1）} C．[0，] D．[﹣，]考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由P与Q，求出两集合的交集即可．解答：解：∵P=[0，+∞），Q=[﹣，]，∴P∩Q=[0，]，故选：C．点评：此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2．已知复数z满足（1+2i）z=4+3i，则|z|=( )A．5 B．C．1+2i D．±（1﹣2i）考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的模的运算法则求解即可．解答：解：复数z满足（1+2i）z=4+3i，两边求模可得：|1+2i||z|=|4+3i|，可得|z|=5，∴|z|=．故选：B．点评：本题考查复数的模的求法，复数的运算法则的应用，考查计算能力．3．单位向量与的夹角为，则=( )A．B．1 C．D．2考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由||=||=1，与的夹角为60°，故，，，又由=，代入即可得到答案．解答：解：∵向量与为单位向量，且向量与的夹角为，∴，，∴===1﹣1+1=1∴=1故选B点评：向量的数量积运算中，要熟练掌握如下性质：==，4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c2=（a﹣b）2+6，C=，则△ABC的面积是( )A．B．C．D．3考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：将“c2=（a﹣b）2+6”展开，另一方面，由余弦定理得到c2=a2+b2﹣2abcosC，比较两式，得到ab的值，计算其面积．解答：解：由题意得，c2=a2+b2﹣2ab+6，又由余弦定理可知，c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab，∴﹣2ab+6=﹣ab，即ab=6．∴S△ABC==．故选：C．点评：本题是余弦定理的考查，在高中范围内，正弦定理和余弦定理是应用最为广泛，也是最方便的定理之一，2015届高考中对这部分知识的考查一般不会太难，有时也会和三角函数，向量，不等式等放在一起综合考查．5．下列中错误的是( )A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β考点：平面与平面垂直的性质．专题：空间位置关系与距离；简易逻辑．分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．解答：解：由题意可知：A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此成立；B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此成立；C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故成立；D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此错误．故选D．点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．6．已知圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为( )A．（x+1）2+（y﹣1）2=2 B．（x﹣1）2+（y+1）2=2 C．（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 D．（x+1）2+（y+1）2=2考点：圆的标准方程．分析：圆心在直线x+y=0上，排除C、D，再验证圆C与直线x﹣y=0及x﹣y﹣4=0都相切，就是圆心到直线等距离，即可．解答：解：圆心在x+y=0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y=0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4=0的距离是．故A错误．故选B．点评：一般情况下：求圆C的方程，就是求圆心、求半径．本题是选择题，所以方法灵活多变，值得探究．7．若变量x，y满足约束条件，且z=2x+y的最大值和最小值分别为m和n，则m﹣n=( )A．5 B．6 C．7 D．8考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此时z=﹣2﹣1=﹣3，此时n=﹣3，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点B，直线y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此时z=2×2﹣1=3，即m=3，则m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故选：B．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．8．运行如图所示的程序，则运行后输出的结果为( )A．7 B．9 C．10 D．11考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：由已知中的程序算法可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量i的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解答：解：第1次执行循环体后，i=1，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第2次执行循环体后，i=2，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第3次执行循环体后，i=3，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第4次执行循环体后，i=4，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第5次执行循环体后，i=5，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第6次执行循环体后，i=6，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第7次执行循环体后，i=7，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第8次执行循环体后，i=8，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第9次执行循环体后，i=9，S=lg，不满足S＜﹣1，继续执行循环体；第10次执行循环体后，i=10，S=lg，满足S＜﹣1，故输出的i值为10，故选：C点评：本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．如图，在圆心角为直角的扇形OAB区域中，M、N分别为OA、OB的中点，在M、N 两点处各有一个通信基站，其信号的覆盖范围分别为以OA、OB为直径的圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点无信号的概率是( )A．1﹣B．﹣C．+D．考点：几何概型．专题：应用题；概率与统计．分析：OA的中点是M，则∠CMO=90°，这样就可以求出弧OC与弦OC围成的弓形的面积，从而可求出两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积，用扇形OAB的面积减去三角形的面积，减去加上两个弧OC围成的面积就是无信号部分的面积，最后根据几何概型的概率公式解之即可．解答：解：OA的中点是M，则∠CMO=90°，半径为OA=rS扇形OAB=πr2，S半圆OAC=π（）2=πr2，S△OmC=××=r2，S弧OC=S半圆OAC﹣S△ODC=πr2﹣r2，两个圆的弧OC围成的阴影部分的面积为πr2﹣r2，图中无信号部分的面积为πr2﹣r2﹣（πr2﹣r2）=πr2﹣r2，∴无信号部分的概率是：．故选：A．点评：本题主要考查了几何概型，解题的关键是求无信号部分的面积，不规则图形的面积可以转化为几个不规则的图形的面积的和或差的计算，属于中档题．10．抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b的最大值为( )A．B．5 C．D．2考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），即有双曲线的c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．故选A．点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．11．如图，一个几何体的三视图如图所示，则该多面体的几条棱中，最长的棱的长度为( )A．3B．C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据几何体的三视图，得出该几何体是三棱锥，画出它的直观图，求出各条棱长即可．解答：解：根据几何体的三视图，得；该几何体是三棱锥P﹣ABC，如图所示；PA=4，AB=3+2=5，C到AB中点D的距离为CD=3，∴PB===，AC===，BC==，PC===，∴PB最长，长度为．故选：C．点评：本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是由三视图得出几何体的结构特征是什么．12．已知f（x）=lnx﹣+，g（x）=﹣x2﹣2ax+4，若对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，则a的取值范围是( )A．[﹣，+∞）B．[，+∞）C．[﹣，]D．（﹣∞，]考点：函数的单调性与导数的关系．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：由题意，要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，且x1∈（0，2]，x2∈[1，2]，然后利用导数研究它们的最值即可．解答：解：因为f′（x）===，易知当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，当x∈（1，2）时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，1）上递减，在[1，2]上递增，故f（x）min=f（1）=．对于二次函数g（x）=）=﹣x2﹣2ax+4，该函数开口向下，所以其在区间[1，2]上的最小值在端点处取得，所以要使对∀x1∈（0，2]，∃x2∈[1，2]，使得f（x1）≥g（x2）成立，只需f（x1）min≥g（x2）min，即或，所以或．解得．故选A．点评：本题考查了不等式恒成立问题以及不等式有解问题的综合思路，概念性很强，注意理解．二、填空题（每小题5分，共20分）13．函数单调增区间为（﹣∞，﹣2）．考点：复合函数的单调性．专题：函数的性质及应用．分析：先求原函数的定义域，再将原函数分解成两个简单函数y=、g（x）=x2﹣4，因为y=单调递减，求原函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的减区间（根据同增异减的性质），再结合定义域即可得到答案．解答：解：∵，∴要使得函数有意义，则x2﹣4＞0，即（x+2）（x﹣2）＞0，解得，x＜﹣2或x＞2，∴的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），要求函数的单调递增区间，即求g（x）=x2﹣4的单调递减区间，g（x）=x2﹣4，开口向上，对称轴为x=0，∴g（x）=x2﹣4的单调递减区间是（﹣∞，0），又∵的定义域为（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞），∴函数，的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）．故答案为：（﹣∞，﹣2）．点评：本题主要考查复合函数单调性的问题、函数单调性的应用、一元二次不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，求复合函数单调性时注意同增异减的性质即可，求单调区间特别要注意先求出定义域，单调区间是定义域的子集．属于基础题．14．若函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：通过函数的奇偶性以及函数的周期性，化简所求表达式，通过分段函数求解即可．解答：解：函数f（x）（x∈R）是周期为4的奇函数，且在[0，2]上的解析式为f（x）=，则f（）+f（）=f（8﹣）+f（8﹣）=f（﹣）+f（﹣）=﹣f（）﹣f（）===．故答案为：．点评：本题考查函数的值的求法，分段函数的应用，考查计算能力．15．已知函数f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+，x∈R则f（x）在闭区间[﹣，]上的最大值和最小值分别为、﹣．考点：三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值．专题：三角函数的图像与性质．分析：由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=sin（2x﹣），又x∈[﹣，]，可得2x﹣∈[﹣，]，根据正弦函数的性质即可得解．解答：解：∵f（x）=cosx•sin（x+）﹣cos2x+=cosx（sinx+cosx）﹣cos2x+=sinxcosx+cos2x﹣cos2x+=sin2x﹣×+=sin（2x﹣），又∵x∈[﹣，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣=﹣，即x=﹣时，f（x）min=﹣，当2x﹣=，即x=时，f（x）min=，故答案为：、﹣．点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值的解法，属于基本知识的考查．16．给出如下四个结论：①已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，则3a+2b+c等于14；②∃a∈R+，使的f（x）=﹣a有三个零点；③设直线回归方程为=3﹣2x，则变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位；④若p：∀x∈R．e x＞x+1，则￢p为真．以上四个结论正确的是③④．（把你认为正确的结论都填上）考点：的真假判断与应用．专题：阅读型；概率与统计；集合；简易逻辑．分析：对三个关系一一判断，结合集合中元素的性质，计算即可判断①；考虑抛物线和指数函数的图象的交点最多有2个交点，即可判断②；运用类似一次函数的单调性，即可判断③；取x=0，即可判断p假，进而判断④．解答：解：对于①，已知集合{a，b，c}={1，2，3}，且下列三个关系：①a≠3；②b=3；③c≠1有且只有一个正确，若①正确，则c=1，a=2，b=2不成立，若②正确，则b=3，c=1，a=3不成立，若③正确，则a=3，b=1，c=2，即有3a+2b+c=13，则①错误；对于②，∃a∈R+，f（x）=﹣a，令f（x）=0则有﹣x2﹣x+1=ae x，由于y=﹣x2﹣x+1为开口向下的抛物线，y=ae x为下凹的指数函数图象，它们最多有2个交点，则②错误；对于③，设直线回归方程为=3﹣2x，由一次函数的单调性，可得变量x增加一个单位时，y平均减少2个单位，则③正确；对于④，若x=0，则e x=x+1=1，即有p为假，则￢p为真，则④正确．故答案为：③④．点评：本题考查集合中元素的性质和函数的零点的个数，同时考查复合的真假和线性回归方程的特点，运用函数方程的转化思想和函数的性质是解题的关键．三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知数列{a n}为等差数列，a3=5，a4+a8=22．（1）求数列{a n}的通项公式a n及前n项和公式S n；（2）令b n=，求证：b1+b2+…b n＜．考点：数列的求和；等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由已知求出等差数列的首项和公差，代入等差数列的通项公式和前n项和得答案；（2）把等差数列的前n项和代入b n=，列项和求出b1+b2+…b n，放缩后得答案．解答：（1）解：由a4+a8=22得：a6=11，又a3=5，∴d=2，则a1=a3﹣2d=1．∴a n=2n﹣1；S n=═n2 ；（2）证明：b n===，当n=1时，b1=，原不等式成立；当n≥2时，b1+b2+…+b n==＜=．∴b1+b2+…+b n＜．点评：本题考查了等差数列的通项公式，训练了裂项相消法求数列的和，训练了放缩法证明数列不等式，是中档题．18．如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，点E在底面的圆周上，BF⊥AE，F是垂足．（1）求证：BF⊥AC；（2）若CE=1，∠CBE=30°，求三棱锥F﹣BCE的体积．考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．（1）欲证BF⊥AC，先证BF⊥平面AEC，根据线面垂直的判定定理可知只需证CE⊥BF，分析：BF⊥AE且CE∩AE=E，即可证得线面垂直；（2）V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE，即可求出三棱锥F﹣BCE的体积．解答：（1）证明：∵AB⊥平面BEC，CE⊂平面BEC，∴AB⊥CE∵BC为圆的直径，∴BE⊥CE．∵BE⊂平面ABE，AB⊂平面ABE，BE∩AB=B∴CE⊥平面ABE，∵BF⊂平面ABE，∴CE⊥BF，又BF⊥AE且CE∩AE=E，∴BF⊥平面AEC，∵AC⊂平面AEC，∴BF⊥AC…（2）解：在Rt△BEC中，∵CE=1，∠CBE=30°∴BE=，BC=2又∵ABCD为正方形，∴AB=2，∴AE=，∴BF•AE=AB•BE，∴BF=，∴EF=∴V F﹣BCE=V C﹣BEF=•S△BEF•CE=••EF•BF•CE=••••1=…点评：本小题主要考查空间线面关系、圆柱性质、空间想象能力和逻辑推理能力，考查三棱锥F﹣BCE的体积的计算，属于中档题．19．为了调查学生星期天晚上学习时间利用问题，某校从2014-2015学年高二年级100名学生（其中走读生450名，住宿生550名）中，采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷调查，根据问卷取得了这n名同学每天晚上学习时间（单位：分钟）的数据，按照以下区间分为八组①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到频率布直方图如图，已知抽取的学生中星期天晚上学习时间少于60分钟的人数为5人．（1）求n的值并补全下列频率分布直方图；（2）如果把“学生晚上学习时间达到两小时”作为是否充分利用时间的标准，对抽取的n名学生，完成下列2×2列联表：利用时间充分利用时间不充分合计走读生30 15 45住校生45 10 55合计75 25 100据此资料，你是否认为学生“利用时间是否充分”与走读、住校有关？（3）若在第①组、第②组共抽出2人调查影响有效利用时间的原因，求抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率．考点：频率分布直方图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．专题：概率与统计．分析：（1）由分层抽样及频率分布直方图的特点即可求得结果；（2）由分布直方图可完成表格，再将数据带入给定的公式即可；（3）先列出基本事件总数的情况，再挑出满足条件的情况即可．解答：解：（1）设第i组的频率为P i（i=1，2，…，8），由图可知：P1=，P2=，∴学习时间少于60分钟的频率为P1+P2=，由题意：n×=5∴n=100，又P3=，P5=，P6=，P7=，P8=，∴P4=1﹣（P1+P2+P3+P5+P6+P7+P8）=，∴第④组的高度为：h=，频率分布直方图如右图（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100人中，“走读生”有45人，利用时间不充分的有40人，从而2×2列联表如下：利用时间充分利用时间不充分总计走读生30 15 45住宿生45 10 55总计75 25 100将2×2列联表中的数据代入公式计算，得K2==≈3.030，因为3.030＜3.841，所以没有理由认为学生“利用时间是否充分”与走读、住宿有关；（3）记第①组2人为A1、A2，第②组的3人为B1、B2、B2，则“从5人中抽取2人”所构成的基本事件空间Ω=“A1A2、A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3、B1B2、B1B3、B2B3”，共10个基本事件；记“抽取2人中第①组、第②组各有1人”记作事件A，则事件A所包含的基本事件有：A1B1、A1B2、A1B3、A2B1、A2B2、A2B3共6个基本事件，∴P（A）=，即抽出的2人中第①组第②组各有1人的概率为．点评：本题考查频率分布直方图及概率的计算，做题时要认真审题，弄清题意，属基础题．20．设椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，离心率为，过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为．（1）求椭圆C的方程；（2）直线l：y=kx+t（k≠0）与椭圆C交于M、N两点，线段MN的垂直平分线与y轴交点P（0，﹣），求△MON（O为坐标原点）面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；椭圆的应用．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：对第（1）问，由离心率得a与c的等量关系，由椭圆的通径长为，得a与b有等量关系，结合c2=a2﹣b2，消去c，即得a2，b2，从而得椭圆C的标准方程．对第（2）问，联立直线l与椭圆C的方程，消去y，得到关于x的一元二次方程，设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理及中点公式，得x0及y0的表达式，用k，t表示直线MN的垂直平分线的方程，将P点坐标（0，﹣）代入，得k与t的等量关系．由弦长公式，得|MN|，由点到直线距离公式，得△MON底边MN上的高，从而得△MON面积的表达式，即可探求其面积的最大值．解答：解：（1）设F（﹣c，0），由离心率知，a2=3c2=3（a2﹣b2），得3b2=2a2．…①易知，过F且与x轴垂直的直线方程为x=﹣c，代入椭圆方程中，得，解得y=±由题意，得，得．…②联立①、②，得，b2=2，故椭圆C的方程为．（2）由，消去y，整理，得（3k2+2）x2+6ktx+3t2﹣6=0，…③有△=24（3k2+2﹣t2）＞0，得3k2+2＞t2，…④设M（x1，y1），N（x2，y2），MN的中点为G（x0，y0），由韦达定理，得x1+x2=，，则x0=，，∴线段MN的垂直平分线方程为：y﹣=﹣（x+），将P点的坐标（0，﹣）代入上式中，得﹣﹣=﹣（0+），化简得：3k2+2=4t，代入④式中，有4t＞t2，得0＜t＜4．|MN|===．设原点O到直线MN的距离为d，则，∴S△MON=•|MN|•d=•．==，当t=2时，S△MON有最大值，此时，由3k2+2=4t知，k=±，∴△MON面积的最大值为，此时直线l的方程为y=±x+2．点评：本题计算量较大，考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆相交的综合问题，处理此类问题的常见技巧如下：1．确定椭圆的标准方程，关键是确定a2，b2的值，若引入c，则需建立关于a，b，c的三个独立的方程，注意隐含条件“a2=b2+c2”运用．2．对于直线与椭圆相交的有关三角形面积的最值问题，一般是联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理及弦长公式，写出面积的表达式，转化为一元二次函数问题，或利用导数，或利用其本不等式寻求最值．21．已知f（x）=，g（x）=2lnx，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0．（1）求a，b的值；（2）若当x≥1时，g（x）≤mf（x）恒成立，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：分类讨论；导数的概念及应用；不等式的解法及应用．分析：（1）求出f（x）的导数，求切线方程可得切线的斜率和切点坐标，解方程可得a，b；（2）由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx ﹣m（x﹣），求出导数，对m讨论，分①当m=0时，②当m≤﹣1时，③当﹣1＜m＜0时，④当0＜m＜1时，⑤当m≥1时，判断h（x）在x≥1时的单调性，由恒成立思想即可得到m的范围．解答：解：（1）f（x）=ax+，导数f′（x）=a﹣，由曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为2x﹣y﹣2=0，可得f′（1）=2，f（1）=0，即a﹣b=2，a+b=0，解得：a=1，b=﹣1；（2）f（x）=x﹣，由g（x）≤mf（x）得：2lnx≤m（x﹣），即有2lnx﹣m（x﹣）≤0，令h（x）=2lnx﹣m（x﹣），则h′（x）=﹣m（1+）=，①当m=0时，h′（x）=＞0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；若m≠0，令△=4﹣4m2=4（1+m）（1﹣m），②当m≤﹣1时，△≤0恒成立且﹣m＞0，即有﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立即h′（x）≥0恒成立，即h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；③当﹣1＜m＜0时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），由韦达定理得x1•x2=1＞0，x1+x2=＜0，即x1＜x2＜0，即有当x≥1时，﹣mx2+2x﹣m≥0恒成立，即h′（x）＞0恒成立，h（x）在（1，+∞）上单调递增，h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；④当0＜m＜1时，△＞0，方程﹣mx2+2x﹣m=0有两个不等实根x1，x2（不妨设x1＜x2），0＜x1=＜1，x2=＞1即有0＜x1＜1＜x2，即h（x）在（1，x2）单调递增，即有当x∈（1，x2）时，h′（x）＞0 则h（x）在（1，+∞）上单调递增，即有h（x）＞h（1）=0，这与h（x）≤0矛盾，不合题意；⑤当m≥1时，△≤0且﹣m＜0，即有h′（x）≤0恒成立，h（x）在[1，+∞）上单调递减，则h（x）≤h（1）=0，合题意．综上所述，当m∈[1，+∞）时，g（x）≤mf（x）恒成立．点评：本题考查导数的运用：求切线的方程和求单调区间、极值，主要考查导数的几何意义和函数的单调性的运用，运用分类讨论的思想方法和二次方程的韦达定理及求根公式是解题的关键．【选修4—1】几何证明选讲22．如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：选作题；立体几何．分析：（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．解答：证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．点评：本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4—4】坐标系与参数方程。
2014届辽宁省葫芦岛市高三第一次模拟考试理科数学试题(含答案解析)扫描版
2014年葫芦岛市高三第一次模拟考试数学试题(理科) 参考答案及评分标准一.选择题:每小题5分,总计60分 题号 1 23456789101112答案A CBBBCCDDAAD二.填空题:每小题5分,总计20分.13. 24 14.1+ln2215. 216. 2三.解答题:17.解：设等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d, 由S 3+S 4=S 5,a 7=5a 2+2得： 2a 1-d=0,4a 1-d-2=0 解得:a 1=1,d=2因此:a n =2n-1(n ∈N *) ……………………………4分 (Ⅱ)令c n =a n b n =(2n-1)(12)n-1.则T n =c 1+c 2+…+c n∴211111135(21)222n n T n -⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①2311111135(21)22222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅+⋅++-⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭② ---------------------6分 ①—②,得211111112(21)22222n nn T n -⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⋅+++--⋅⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦111212n -⎡⎤⎛⎫=+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1(21)2nn ⎛⎫--⋅ ⎪⎝⎭=2332nn +----------------10分 所以12362n n n T -+=- --------12分18.(本小题满分12分)（Ⅰ）证明：因为四边形ABCD 是菱形，所以 AC BD ⊥. ……………… 1分因为平面BDEF ⊥平面ABCD ，且四边形BDEF 是矩形， 所以 ED ⊥平面ABCD ， ……………… 2分 又因为 AC ⊂平面ABCD ，所以 ED AC ⊥. ……………… 3分 因为 ED BD D = ， 所以 AC ⊥平面BDEF . ……………… 4分 （Ⅱ）解：设AC BD O = ，取EF 的中点N ，连接ON ，因为四边形BDEF 是矩形，,O N 分别为,BD EF 的中点， 所以 //ON ED ，又因为 ED ⊥平面ABCD ，所以 ON ⊥平面ABCD ， 由AC BD ⊥，得,,OB OC ON 两两垂直.所以以O 为原点，,,OB OC ON 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，如图建立空间 直角坐标系. ……………… 5分因为底面ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠= ，3BF =， 所以(0,A ，(1,0,0)B ，(1,0,0)D -，(1,0,3)E -(1,0,3)F ，C ，13()222H . ………………因为 AC ⊥平面BDEF ，所以平面BDEF 的法向量AC =. …………7设直线DH 与平面BDEF 所成角为α，由 33(,)222DH = ， 得sin |cos ,|DH AC DH AC DH ACα⋅=<>=== ，所以直线DH 与平面BDEF. ………………9分 （Ⅲ）解：由（Ⅱ），得13()22BH =- ，(2,0,0)DB = .设平面BDH 的法向量为111(,,)x y z =n ，所以0,0,BH DB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ n n ………………10分即111130,20,x z x ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩令11z =，得(0,=n . ………………11分由ED ⊥平面ABCD ，得平面BCD 的法向量为(0,0,3)ED =-，则1cos ,2ED ED ED⋅<>===-n n n . …………13分由图可知二面角H BD C --为锐角，所以二面角H BD C --的大小为60 . ………………14分 19．（本题满分12分）解：（Ⅰ）记“从10天的PM2.5日均监测数据中，随机抽出三天，恰有一天空气质量达到一级”为事件A ， ……………………………1分 P(A)= C 13·C 27C 310=2140………………………………………4分（Ⅱ）依据条件，X 服从超几何分布：其中N=10，M=3，n=3，X 的可能值为0,1,2,3，其分布列为：P(X=k)= C k3·C 3-k7C 310(k=0,1,2,3)…………………………6分……………………8分（Ⅲ）依题意可知，一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为P=710，一年中空气质量达到一级或二级的天数为Y ，则Y~B(366,0.7) …………………10分∴EY=366×0.7≈256∴一年中平均有256天的空气质量达到一级或二级 ………………………12分20．（本题满分12分）解：（1）当l 过椭圆的焦点且与x 轴垂直时，截得的弦为椭圆的通径，∴2b 2a =3又∵c=1 ∴b 2=3 a 2=4∴椭圆C 的方程为：x 24+y23=1………………………………………………………4分（2）当直线l 与x 轴垂直时，直线l 即为y 轴，此时A(0,-3)、B(0,3) |PA|=3-3,|PB|=3+ 3 由题意：2|PC|2=1|PA|2+1|PB|2 解得：|PC|= 3∴C （0，3-3）(2) 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线的方程为y=kx-3.与椭圆方程x 24+y 23=1联立并消元整理得：（4k 2+3)x 2-24kx+24=0 ………………①Δ=(24k)2-4(4k 2+3)×24=96(2k 2-3)>0 ∴k 2>32设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1,x 2是方程①的两个解，由韦达定理得： x 1+x 2=24k 4k 2+3,x 1x 2=244k 2+3|PA|2=x 12+(y 1+3)2=x 12+(kx 1-3+3)2=(1+k 2)x 12|PB|2=x 22+(y 2+3)2=x 22+(kx 2-3+3)2=(1+k 2)x 22|PC|2=x 2+(y+3)2=x 2+(kx-3+3)2=(1+k 2)x 2由题意：2|PC|2=1|PA|2+1|PB|2∴2(1+k 2)x 2 =1(1+k 2)x 12 +1(1+k 2)x 22即2x 2 =1x 12 +1x 22 =(x 1+x 2)2-2x 1x 2x 12x 22=(24k)2-2×24(4k 2+3)242=8k 2-312 ∴x 2=248k 2-3又∵点C 在直线上，∴y=kx-3 k=y+3x代入上式并化简得：8（y+3)2-3x 2=24即(y+3)23-x 28=1∵k 2>32 ∴0<x 2<83 即x ∈(-263,0)∪(0,263)又C （0，3-3）满足(y+3)23-x 28=1，故x ∈(-263,263).由题意，C(x,y)在椭圆C 内部，所以-3≤y ≤3，又由8（y+3)2=24+3x 2有(y+3)2∈(3,4) 且-3≤y ≤ 3 ∴y ∈(3-3,-1)所以点C 的轨迹方程是(y+3)23-x28=1，其中，x ∈(-263,263)，y ∈(3-3,-1)………12分 (如考生未考虑l 与x 轴垂直，扣1分；求轨迹方程后没有求得x,y 取值范围的扣1分）21. （本题满分12分）（1）f '(x)=ln(1+x)+1 令f '(x)=0得：x=1e -1 ∴当x ∈(-1,1e -1)时，f '(x)<0,f(x)在(-1,1e -1)上单调递减，同理，(x)在(1e -1，+∞)上单调递增；∴当x=1e -1时，f 极小=-1e ；又x ∈(-1, 1e -1)时,f(x)<0∴f(x)的图象如右：①当a<-1e时，方程无解；②当a=-1e 或a ≥0时，方程有一解；③当-1e<a<0时，方程有两解；（2）令ϕ(x)=f(x)-g(x)=(1+x)ln(1+x)-kx 2-x则ϕ'(x)=ln(1+x)-2kx 令h(x)= ln(1+x)-2kx 则h '(x)=11+x -2k∵x ≥0 ∴11+x∈(0,1]①当k ≥12时，2k ≥1 h '(x)=11+x -2k ≤0 ∴h(x)在[0，+∞）上单调递减∴h(x)≤h(0)=0 即ϕ'(x)≤0 ∴ϕ(x)在[0，+∞）上单调递减 ∴ϕ(x)≤ϕ(0)=0 ∴f(x)≤g(x) ∴当k ≥12时满足题意；②当k ≤0时，h '(x)=11+x -2k>0 ∴h(x)在[0，+∞）上单调递增∴h(x)≥h(0)=0 即ϕ'(x)≥0 ∴ϕ(x)在[0，+∞）上单调递增 ∴ϕ(x)≥ϕ(0)=0 ∴f(x)≥g(x) ∴当k ≤0时不合题意；③当0<k<12时，由h '(x)=11+x -2k=0得：x=1-2k 2k >0,当x ∈(0,1-2k2k )时，h(x)单调递增，∴h(x)>0 即ϕ'(x)>0 ∴ϕ(x)在(0,1-2k2k )上单调递增 ∴ϕ(x)>0即f(x)>g(x) ∴不合题意 综上，k 的取值范围是[12,+∞)(3)由（2）知（取k=12):(1+x)ln(1+x)≤12x 2+x;变形得：ln(1+x)≤x 2+2x 2(1+x)=(1+x)2-12(1+x)=12((1+x)-11+x )取x=n-1 得:lnn ≤12(n-1n ) 即：1n +2lnn ≤n∴11+2ln1≤1 12+2ln2≤2 13+2ln3≤3 (1)n+2lnn ≤n 以上各式相加得：（11+12+13+…+1n ）+2（ln1+ln2+ln3+…+lnn ）≤1+2+…+n即：S n +2lnn!≥n(n+1)222．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲解 (1)连结BN ，则AN BN ⊥，又CD AB ⊥，则90BEF BNF ∠=∠=︒，即180BEF BNF ∠+∠=︒，则B 、E 、F 、N 四点共圆. ……………5分 (2)由直角三角形的射影原理可知2AC AE AB =⋅， 由Rt BEF ∆与Rt BMA ∆相似可知：BF BEBA BM=，第 11 页 共 11 页 ()BF BM BA BE BA BA EA ⋅=⋅=⋅-，2BF BM AB AB AE ⋅=-⋅，则22BF BM AB AC ⋅=-，即22AC BF BM AB +⋅=.……………………10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程解：(Ⅰ)把直线的参数方程对应的坐标代入曲线方程并化简得051272=--t t设A ，B 对应的参数分别为21,t t ，则 75,7122121-==+t t t t ． ……3分 所以771104)(5)4()3(212212122=-+=--+-=t t t t t t AB ． ……5分 (Ⅱ)易得点P 在平面直角坐标系下的坐标为)2,2(-，根据中点坐标的性质可得AB 中点M 对应的参数为76221=+t t ． ……8分 所以由t 的几何意义可得点P 到M 的距离为73076)4()3(22=⋅-+-=PM ． ……10分24. 解：（Ⅰ）原不等式等价于 313222(21)(23)6(21)(23)6x x x x x x ⎧⎧>-≤≤⎪⎪⎨⎨⎪⎪++-≤+--≤⎩⎩或或12(21)(23)6x x x ⎧<-⎪⎨⎪-+--≤⎩………3分 解，得3131212222x x x <≤-≤≤-≤<-或或 即不等式的解集为}21|{≤≤-x x ………5分（Ⅱ）4|)32()12(||32||12|=--+≥-++x x x x …………8分4|1|>-∴a 35a a ∴<->或。
届辽宁省葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试试卷 数学文
2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试数学试卷（文科）一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1.设全集{}{}{}2,1,0,1,2,|1,2,0,2U A x x B =--=≤=-，则()U C AB =A. {}2,0-B.{}2,0,2-C. {}1,1,2-D. {}1,0,2- 2.已知复数()1z i i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，若34542a a a ++=，则7S =A. 98B. 49C. 14D. 147 4.下列命题中正确的是A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为A. 200πB. 50πC. 100πD.12523π 6.函数22ln x x y x=的图象大致是7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,a b 分别为20,17，则输出的c =A. 1B. 6C. 7D. 118.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统计数据如下表（单位：万元）。
2017年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2017年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）与复数z的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z的共轭复数，并记作，若z ＝i（3﹣2i）（其中i为复数单位），则＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．2+3i D．2﹣3i2．（5分）已知cos（）＝，则sinθ＝（）A．B．C．﹣D．﹣3．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件B．向量，满足，则与的夹角为锐角C．若am2≤bm2，则a≤bD．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”4．（5分）已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．A．6038B．6587C．7028D．75395．（5分）已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．6．（5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为10+2的△ABC满足sin A：sin B：sin C＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．127．（5分）已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则＝3﹣，＝2+的夹角为（）A．120°B．60°C．45°D．30°8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f（x）在区间上的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣29．（5分）20世纪70年代，流行一种游戏﹣﹣﹣角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4﹣2﹣1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（）A．5B．16C．5或32D．4或5或32 10．（5分）a＝（﹣cos x）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为（）A．﹣B．﹣C．D．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．D．4012．（5分）设a，b∈R且a＜b，若a3e b＝b3e a，则下列结论中一定正确的个数是（）①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b．A．1B．2C．3D．4二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝．14．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，﹣1）满足，则p的取值范围是．15．（5分）若x，y满足约束条件，等差数列{a n}满足a1＝x，a5＝y，其前n项为S n，则S5﹣S2的最大值为．16．（5分）在△ABC中若sin2A+sin2B＝sin2C﹣sin A sin B，则sin2A tan2B最大值是．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+2a2+…+na n＝4﹣．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（3n﹣2）a n，求数列{b n}的前n项和S n．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP＝AB＝AC＝a，，P A⊥底面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面P AC；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由．19．（12分）几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即圆通公司与申通公司：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”：这两家公司对“快递员”的日工资方案为：圆通公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；申通公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：（1）求申通公司的快递员一日工资y（单位：元）与送件数n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记圆通公司的“快递员”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．20．（12分）已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝+a cos x，g（x）是f（x）的导函数．（1）若f（x）在处的切线方程为y＝，求a的值；（2）若a≥0且f（x）在x＝0时取得最小值，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，当x＞0时，．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．2017年辽宁省葫芦岛市高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）与复数z的实部相等，虚部互为相反数的复数叫做z的共轭复数，并记作，若z ＝i（3﹣2i）（其中i为复数单位），则＝（）A．3﹣2i B．3+2i C．2+3i D．2﹣3i【考点】A5：复数的运算．【解答】解：由z＝i（3﹣2i）＝2+3i，得．故选：D．2．（5分）已知cos（）＝，则sinθ＝（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【解答】解：∵cos（）＝，∴cos（﹣θ）＝2﹣1＝﹣＝sinθ，即sinθ＝﹣，故选：C．3．（5分）下列选项中说法正确的是（）A．命题“p∨q为真”是命题“p∧q为真”的必要条件B．向量，满足，则与的夹角为锐角C．若am2≤bm2，则a≤bD．“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x≥0”【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：对于A，若p∨q为真命题，则p，q至少有一个为真命题，若p∧q为真命题，则p，q都为真命题，则“p∨q为真命题”是“p∧q为真命题”的必要不充分条件，正确；对于B，根据向量数量积的定义，向量，满足，则与的夹角为锐角或同向，故错；对于C，如果m2＝0时，am2≤bm2成立，a≤b不一定成立，故错；对于D，“∃x0∈R，x02﹣x0≤0”的否定是“∀x∈R，x2﹣x＞0”，故错．故选：A．4．（5分）已知随机变量X﹣N（1，1），其正态分布密度曲线如图所示，若向正方形OABC 中随机投掷10000个点，则落入阴影部分的点个数的估计值为（）附：若随机变量ξ﹣N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ≤μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜ξ≤μ+2σ）＝0.9544．A．6038B．6587C．7028D．7539【考点】67：定积分、微积分基本定理；CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【解答】解：由题意P（0＜X≤1）＝．P（阴影）＝1﹣P（0＜X≤1）＝1﹣×0.6826＝1﹣0.3413＝0.6587，则落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.6587＝6587．故选：B．5．（5分）已知双曲线过点（2，3），其中一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（）A．B．C．D．【考点】KC：双曲线的性质．【解答】解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为，则可以设其方程为：﹣x2＝λ，（λ≠0），又由双曲线过点（2，3），则有﹣22＝λ，解可得λ＝﹣1，则其方程为：﹣x2＝﹣1．即x2﹣＝1，故选：C．6．（5分）《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，全书十八卷共八十一个问题，分为九类，每类九个问题，《数书九章》中记录了秦九昭的许多创造性成就，其中在卷五“三斜求职”中提出了已知三角形三边a，b，c求面积的公式，这与古希腊的海伦公式完成等价，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S＝，现有周长为10+2的△ABC满足sin A：sin B：sin C＝2：3：，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A．B．C．D．12【考点】HT：三角形中的几何计算．【解答】解：∵sin A：sin B：sin C＝2：3：，则a：b：c＝2：3：，∵△ABC周长为10+2，即a+b+c＝10+2，∴a＝4，b＝6，c＝2，所以S＝＝6，故选：A．7．（5分）已知若，是夹角为90°的两个单位向量，则＝3﹣，＝2+的夹角为（）A．120°B．60°C．45°D．30°【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【解答】解：∵，是夹角为90°的两个单位向量，∴，，∴＝；＝；＝（3﹣）•（2+）＝．设与的夹角为θ，∴cosθ＝＝，∵θ∈[0°，180°]，∴θ＝45°．故选：C．8．（5分）已知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）（|φ|＜）的图象向右平移个单位后关于y轴对称，则f（x）在区间上的最小值为（）A．﹣1B．C．D．﹣2【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．【解答】解：知函数f（x）＝cos（2x﹣φ）﹣sin（2x﹣φ）＝2cos（2x﹣φ+），（|φ|＜）的图象向右平移个单位后，可得y＝2cos（2x﹣﹣φ+）＝2cos（2x﹣φ+）的图象，再根据所得图象关于y轴对称，可得﹣φ+＝kπ，k∈Z，故φ＝，f（x）＝2cos（2x+）．在区间上，2x+∈[﹣，]，cos（2x+）∈[﹣，1]，故f（x）的最小值为2•（﹣）＝﹣，故选：C．9．（5分）20世纪70年代，流行一种游戏﹣﹣﹣角谷猜想，规则如下：任意写出一个自然数n，按照以下的规律进行变换：如果n是个奇数，则下一步变成3n+1；如果n是个偶数，则下一步变成，这种游戏的魅力在于无论你写出一个多么庞大的数字，最后必然会落在谷底，更准确的说是落入底部的4﹣2﹣1循环，而永远也跳不出这个圈子，下列程序框图就是根据这个游戏而设计的，如果输出的i值为6，则输入的n值为（）A．5B．16C．5或32D．4或5或32【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟程序的运行，由题意可得当输入的n的值为5时，i＝1，第1次循环，n＝5，n为奇数，n＝16i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝8i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝4i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝2i＝5，第5次循环，n为偶数，n＝1i＝6，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为16时，i＝1，第1次循环，n＝16，n为偶数，n＝8i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝4i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝2i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝1i＝5，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为5．不符合题意．当输入的n的值为32时，i＝1，第1次循环，n＝32，n为偶数，n＝16i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝8i＝3，第3次循环，n为偶数，n＝4i＝4，第4次循环，n为偶数，n＝2i＝5，第5次循环，n为偶数，n＝1i＝6，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为6．符合题意．当输入的n的值为4时，i＝1，第1次循环，n＝4，n为偶数，n＝2i＝2，第2次循环，n为偶数，n＝1i＝3，满足条件n＝1，退出循环，输出i的值为3．不符合题意．故选：C．10．（5分）a＝（﹣cos x）dx，则（ax+）9展开式中，x3项的系数为（）A．﹣B．﹣C．D．【考点】67：定积分、微积分基本定理；DA：二项式定理．【解答】解：a＝（﹣cos x）dx＝＝﹣1，则（ax+）9即＝﹣，的通项公式T r+1＝＝x9﹣2r．令9﹣2r＝3，交点r＝3．∴x3项的系数＝＝﹣．故选：A．11．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）A．B．C．D．40【考点】L!：由三视图求面积、体积．【解答】解：由三视图知：几何体是四棱锥，如图：其中SA⊥平面ABCD，SA＝4，四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB＝AD＝4，BC＝1．∴几何体的体积V＝××4×4＝．故选：B．12．（5分）设a，b∈R且a＜b，若a3e b＝b3e a，则下列结论中一定正确的个数是（）①a+b＞6；②ab＜9；③a+2b＞9；④a＜3＜b．A．1B．2C．3D．4【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6D：利用导数研究函数的极值．【解答】解：令f（x）＝，则f′（x）＝，可知：x＞3时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减；x＞3时，f′（x）≥0，函数f（x）单调递增．x＝3时，函数f（x）取得极大值即最大值，f（3）＝．∵f（a）＝f（b），a＜b．∴0＜a＜3＜b，a+b＞6；ab＜9；a+2b＞9．因此正确的答案为4个．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）若函数f（x）＝xln（x+）为偶函数，则a＝1．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵f（x）＝xln（x+）为偶函数，∴f（﹣x）＝f（x），∴（﹣x）ln（﹣x+）＝xln（x+），∴﹣ln（﹣x+）＝ln（x+），∴ln（﹣x+）+ln（x+）＝0，∴ln（+x）（﹣x）＝0，∴lna＝0，∴a＝1．故答案为：1．14．（5分）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），P，Q是C上任意两点，点M（0，﹣1）满足，则p的取值范围是（0，2]．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：过G点作抛物线的两条切线，设切线方程为y＝kx﹣1，切点坐标为M（x0，y0），N（﹣x0，y0），由y＝，y′＝x，则由导数的几何意义可知，解得k＝±．恒成立，∠AOB≤90°，即∠AGO≤45°，∴|k|＞tan45°＝1，即≥1，解得p≤2，由p＞0，则0＜p≤2，p的取值范围：（0，2]，故答案为：（0，2]．15．（5分）若x，y满足约束条件，等差数列{a n}满足a1＝x，a5＝y，其前n项为S n，则S5﹣S2的最大值为．【考点】85：等差数列的前n项和．【解答】解：等差数列{a n}满足a1＝x，a5＝y，∴d＝，∴设z＝S5﹣S2＝5a1+10d﹣2a1﹣d＝3a1+9d＝3x+＝x+，则y＝﹣11x+，平移目标函数，当过点A时，在y轴的截距最大，此时z最大由解得x＝3，y＝2，即A（3，2），∴z＝+＝，故答案为：16．（5分）在△ABC中若sin2A+sin2B＝sin2C﹣sin A sin B，则sin2A tan2B最大值是3﹣2．【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HT：三角形中的几何计算．【解答】解：∵△ABC中，有sin2A+sin2B＝sin2C﹣sin A sin B，∴⇒cos C＝，即C＝．则2A+2B＝则sin2A tan2B＝sin（﹣2B）tan2B＝cos2B×＝cos2B×令1+cos2B＝t，t∈（1，2），则cos2B×＝＝﹣（t+）故t＝时，sin2A tan2B最大值3﹣2．故答案为：3﹣2三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+2a2+…+na n＝4﹣．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝（3n﹣2）a n，求数列{b n}的前n项和S n．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【解答】解：（1）当n＝1时，a1＝4﹣＝1．当n≥2时，a1+2a2+…+na n＝4﹣…①a1+2a2+…+（n﹣1）a n﹣1＝4﹣…②①﹣②得：na n＝﹣＝（2n+2﹣n﹣2）＝∴a n＝，当n＝1时，a1也适合上式，∴数列{a n}的通项公式a n＝（n∈N*）．（2）b n＝（3n﹣2），S n＝+++…+（3n﹣5）+（3n﹣2），…①S n＝+++…+（3n﹣5）+（3n﹣2），…②①﹣②得：S n＝1+3（+++…+）﹣（3n﹣2）＝1+3•﹣（3n﹣2）＝4﹣，∴S n＝8﹣．∴数列{b n}的前n项和S n，S n＝8﹣．18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为平行四边形，AP＝AB＝AC＝a，，P A⊥底面ABCD．（1）求证：平面PCD⊥平面P AC；（2）在棱PC上是否存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为？若存在，求出的值？若不存在，说明理由．【考点】L Y：平面与平面垂直；MJ：二面角的平面角及求法．【解答】证明：（1）在△ACD中，AC＝a，CD＝a，AD＝a，由勾股定理得：CD⊥AC∵P A⊥底面ABCD，∴P A⊥CD，AC⊂面P AC，P A⊂面P AC，P A∩AC＝A∴CD⊥面P AC又∵CD⊂面PCD∴平面PCD⊥平面P AC．解：（2）由（1）知：AB⊥AC，又P A⊥底面ABCD∴以A为原点，AB，AC，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系则A（0，0，0），B（a，0，0），C（0，a，0），D（﹣a，a，0），P（0，0，a）假设点E存在，且λ＝，则＝λ（x E，y E﹣a，z E）＝λ（0，﹣a，a）∴x E＝0，y E＝（1﹣λ）a，z E＝λa＝（a，0，0）＝（0，（1﹣λ）a，λa），＝（﹣a，a，0）设平面BAE的法向量为＝（x1，y1，z1），平面DAE的法向量为＝（x2，y2，z2），则，取y1＝λ，得，，取x2＝λ，得＝（λ，λ，λ﹣1）cos＜＞＝＝＝，由题意：|cos＜＞|＝＝，整理得：3（2λ2﹣2λ+1）＝2（3λ2﹣2λ+1），解得λ＝，∴棱PC上存在一点E，使得二面角B﹣AE﹣D的平面角的余弦值为﹣，且此时λ＝．19．（12分）几年来，网上购物风靡，快递业迅猛发展，某市的快递业务主要由两家快递公司承接，即圆通公司与申通公司：“快递员”的工资是“底薪+送件提成”：这两家公司对“快递员”的日工资方案为：圆通公司规定快递员每天底薪为70元，每送件一次提成1元；申通公司规定快递员每天底薪为120元，每日前83件没有提成，超过83件部分每件提成10元，假设同一公司的快递员每天送件数相同，现从这两家公司各随机抽取一名快递员并记录其100天的送件数，得到如下条形图：（1）求申通公司的快递员一日工资y（单位：元）与送件数n的函数关系；（2）若将频率视为概率，回答下列问题：①记圆通公司的“快递员”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；②小王想到这两家公司中的一家应聘“快递员”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学过的统计学知识为他作出选择，并说明理由．【考点】B8：频率分布直方图；CG：离散型随机变量及其分布列．【解答】解：（1）由题意：当0≤n≤83时，y＝120元，当n＞85时，y＝120+（n﹣83）×10＝10n﹣710∴申通公司的快递员一日工资y（单位：元）与送件数n的函数关系为：y＝．（2）X的所有可能取值为152，154，156，158，160①由题意：P（X＝152）＝0.1，P（X＝154）＝0.1，P（X＝156）＝0.2，P（X＝158）＝0.3，P（X＝160）＝0.3，∴X的分布列为：∴X的数学期望EX＝152×0.1+154×0.1+156×0.2+158×0.3+160×0.3＝157.2（元）②设申通公司的日工资为Y，则EY＝120+0×0.1+10×0.2+30×0.1+50×0.4+70×0.2＝159（元）由于到圆通公司的日工资的数学期望（均值）没有申通公司的日工资的数学期望（均值）高，所以小王应当到申通公司应聘“快递员”的工作．20．（12分）已知椭圆的两个焦点为，是椭圆上一点，若，．（1）求椭圆的方程；（2）直线l过右焦点（不与x轴重合）且与椭圆相交于不同的两点A，B，在x轴上是否存在一个定点P（x0，0），使得的值为定值？若存在，写出P点的坐标（不必求出定值）；若不存在，说明理由．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：（1）由题意椭圆的焦点在x轴上，（a＞b＞0），c＝，||2+||2＝（2c）2＝20，||•||＝8∴（||+||）2＝||2+||2+2||•||＝36 解得：||+||＝6，2a＝6，则a＝3 b2＝a2﹣c2＝4∴椭圆的方程为：；（2）解法一：设直线l的方程为：x＝my+，，并消元整理得：（4m2+9）x2﹣18x+45﹣36m2＝0，…①设A（x1，y1），B（x2，y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2＝，x1x2＝，y1y2＝（x1﹣）（x2﹣）＝（x1x2﹣（x1+x2）+5）＝﹣，•＝（x1﹣x0，y1）•（x2﹣x0，y2）＝（x1﹣x0）（x2﹣x0）+y1y2＝x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2＝﹣×x0+x02+（﹣）＝，令•＝t则（4x02﹣36）m2+9x02﹣18x0+29＝t（4m2+9），比较系数得：4x02﹣36＝4t且9x02﹣18x0+29＝9t消去t得：36x02﹣36×9＝36x02﹣72 x0+29×4 解得：x0＝，∴在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）；解法二：当直线与x轴不垂直时，设直线l方程为：y＝k（x﹣），代入椭圆方程并消元整理得：（9k2+4）x2﹣18k2x+45k2﹣36＝0…①设A（x1，y1），B（x2，y2），则是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2＝，x1x2＝，y1y2＝k2（x1﹣）（x2﹣）＝k2（x1x2﹣（x1+x2）+5）＝﹣，•＝（x1﹣x0，y1）•（x2﹣x0，y2）＝（x1﹣x0）（x2﹣x0）+y1y2＝x1x2﹣x0（x1+x2）+x02+y1y2，＝，令•＝t则（9x02﹣18x0+29）k2+4x02﹣36＝t（4+9k2），9x02﹣18x0+29＝9 t且4x02﹣36＝4t，解得：x0＝，此时t的值为﹣，当直线l与x轴垂直时，l的方程为：x＝，代入椭圆方程解得：A（，﹣），B（，），•＝（﹣，﹣）•（﹣，）＝﹣＝﹣，∴当直线l与x轴垂直时，•也为定值﹣，综上，在x轴上存在一个定点P（，0），使得•的值为定值（﹣）．21．（12分）已知函数f（x）＝+a cos x，g（x）是f（x）的导函数．（1）若f（x）在处的切线方程为y＝，求a的值；（2）若a≥0且f（x）在x＝0时取得最小值，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，当x＞0时，．【考点】63：导数的运算；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（1）f′（x）＝x﹣a sin x，f′（）＝﹣a＝，∴a＝﹣1，经验证a＝﹣1合题意；（2）g（x）＝f′（x）＝x﹣a sin x g′（x）＝1﹣a cos x①当a＝0时，f（x）＝x2，显然在x＝0时取得最小值，∴a＝0合题意；②当a＞0时，（i）当≥1即0＜a≤1时，g′（x）≥0恒成立，∴g（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，又g（0）＝0∴当x＜0时，g（x）＜0 即f′（x）＜0，当x＞0时，g（x）＞0 即f′（x）＞0∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∴f（x）在x＝0时取得最小值∴当0＜a≤1时合题意；（ii）当0＜＜1即a＞1时，在（0，π）内存在唯一x0＝arccos使g′（x）＝0当x∈（0，x0）时，∵y＝cos x在（0，π）上是单调递减的，∴cos x＞cos x0＝∴g′（x）＝a（﹣cos x）＜0，∴g（x）在（0，x0）上单调递减，∴g（x）＜g（0）＝0即f′（x）＜0，∴f（x）在（0，x0）内单调递减；∴x∈（0，x0）时，f（x）＜0 这与f（x）在x＝0时取得最小值即f（x）≥f（0）矛盾，∴当a＞1时不合题意；综上，a的取值范围是0，1]，（3）由（1）知，a＝﹣1 此时g（x）＝x+sin x，g′（x）＝1+cos x，∴＝＝|cos|≥cos，∴若要证原不等式成立，只需证cos+x2＞成立；由（2）知，当a＝1时，f（x）≥f（0）恒成立，即x2+cos x≥1恒成立即cos x≥1﹣x2（当且仅当x＝0时取“＝“号），∴cos≥1﹣x2（当且仅当x＝0时取“＝“号）…①∴只需证：1﹣x2+x2＞成立，即1+x2＞，又由均值不等式知：1+x2≥x（当且仅当x＝2时取“＝“号）…②∵①②两个不等式取“＝“的条件不一致，∴只需证：x≥，两边取对数得：lnx≥1﹣…③下面证③式成立：令ϕ（x）＝lnx﹣1+，则ϕ′（x）＝﹣＝，∴ϕ（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增∴ϕ（x）≥ϕ（1）＝0，即lnx﹣1+≥0，∴lnx≥1﹣，即③式成立，∴原不等式成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的参数方程为（t为参数），则曲线C1的普通方程为（x﹣5）2+（y﹣4）2＝25，曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣10ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0．（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程ρ2﹣10ρcosθ﹣8ρsinθ+16＝0，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ，联立得，又θ∈[0，2π），则θ＝0或或θ＝，①当θ＝0时，ρ＝2；②当时，，③当θ＝时，ρ＝﹣，不符合题意，舍去．所以交点坐标为（2，0），．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|，g（x）＝|x﹣1|+2．（1）解不等式|g（x）|＜5；（2）若对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，求实数a的取值范围．【考点】3R：函数恒成立问题；R5：绝对值不等式的解法．【解答】解：（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5∴﹣7＜|x﹣1|＜3，得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）＝g（x2）成立，所以{y|y＝f（x）}⊆{y|y＝g（x）}，又f（x）＝|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|＝|a+3|，g（x）＝|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）。
2020届辽宁省葫芦岛市普通高中2017级高三上学期学业质量监测(期末)数学(理)试卷及答案
2020届辽宁省葫芦岛市普通高中2017级高三上学期学业质量监测（期末）数学（理）试卷★祝考试顺利★注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分，共6页．满分150分；考试时间：120分钟.2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目、试卷类型用2B铅笔涂在答题卡上．3.用铅笔把第Ⅰ卷的答案涂在答题卡上，用钢笔或圆珠笔把第Ⅱ卷的答案写在答题纸的相应位置上．4.考试结束，将答题卡和答题纸一并交回．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
)1. A={x|x-1>0},B={x|x2-x-6≤0}，则A∩B=A.[-2,1)B.[-2,3]C. (1,3]D.[1,3)2.已知i是虚数单位，复数52-i=A．i-2 B．i+2 C．-2 D．2 3.在等比数列{a n}中，a4,a6是方程x2+5x+1=0的两根，则a5=A.1B. ±1C. 52D.±524. 已知a,b均为单位向量，则|a-2b|=|2a+b|是a⊥b的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5. 2018年辽宁省正式实施高考改革。
新高考模式下，学生将根据自己的兴趣、爱好、学科特长和高校提供的“选考科目要求”进行选课 . 这样学生既能尊重自己爱好、特长做好生涯规划，又能发挥学科优势，进而在高考中获得更好的成绩和实现自己的理想。
考改实施后，学生将在高二年级将面临着3+1+2的选课模式，其中“3”是指语、数、外三科必学内容，“1”是指在物理和历史中选择一科学习，“2”是指在化学、生物、地理、政治四科中任选两科学习。
某校为了更好的了解学生对“1”的选课情况，学校抽取了部分学生对选课意愿进行调查，依据调查结果制作出如下两个等高堆积条形图：根据这两幅图中的信息，下列哪个统计结论是不．正确的A．样本中的女生数量多于男生数量B．样本中有学物理意愿的学生数量多于有学历史意愿的学生数量C．样本中的男生偏爱物理D．样本中的女生偏爱历史6. 函数f(x)=e x+e-xx2的图像大致为等高堆积条形图1 等高堆积条形图2高三数学（理）试卷第2页（共6页）高三数学（理）试卷第1页（共6页）A. B. C. D.7. 在△ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，B=30°，a+c=2b，△ABC的面积为32，则b=A. 1+D. 28. 函数f(x)=ln(x2-ax-3)在(1,+∞)单调递增，求a的取值范围A.a≤2B.a<2C. a≤-2D. a<-2高三数学（理）试卷第2页（共6页）高三数学（理）试卷第1页（共6页）。
辽宁省葫芦岛市普通高中作协体2016-2017学年高一上学期第一次考试数学试题(图片版)
2016—2017学年第一学期葫芦岛市普通高中联合体第一次考试高一数学试题答案1－5 CDBDA 6－10 BBDBA 11－12 C A13．{}0,1,2,3 14． -1 15．a ≤-3 16.217,解（1）若使f(x)有意义，())[()∞+∴⎩⎨⎧≠-≥⇒⎩⎨⎧≠+≥+，，定义域则2-2-3-2-30203 x f x x x x 5分 （2）()1-23-133-3-=+++=f 7分 ()833332321332+=+++=x f 10分 18解：①U C B ={2，3} 4分②若A B ⋂=B,则24x = 6分 2x =± 8分③若A B ⋃=U ，则23x = 10分∴x =分 (少1个减1分) 19.试题解析： （1）由题意得∁R A={x|x≥-1}． 2分（2）∵B ⊆∁R A ．①若B=∅，即 a+3≤2a，a≥3时，满足B ⊆∁R A ． 6分②若B≠∅，则 ⎩⎨⎧+<-≥3212a a a ，即321<≤-a 10分 综上可得a≥ 21- 12分 20.解:（1） 图像（略） …………… …5分（2）22224(1)4(1)32f a a a a +=-+=--，((3))f f =(5)f -＝11， ………………………………………………9分(3)由图像知，当43x -≤<时，5()9f x -<≤故()f x 取值的集合为{}|59y y -<≤………………………………12分21.试题解析：（1）设x<0,则-x>0, x x x x x f 2)(2)()(22--=-+--=-． 3分又f(x)为奇函数，所以f(-x)=-f(x)．于是x<0时x x x f 2)(2+= 5分 所以⎪⎩⎪⎨⎧<+=>+-=)0(2)0(0)0(2)(22x x x x x x x x f 6分（2）要使f(x)在[-1,a-2]上单调递增, （画出图象得2分）结合f(x)的图象知 2121a a ->-,⎧⎨-≤,⎩ 10分所以13a <≤,故实数a 的取值范围是(1,3]． 12分22.：解：（1）∵当a ，b [1,1]∈-且0a b +≠，时()()0f a f b a b +>+恒成立， ∴()()0()f a f b a b +->+-， ∴ ()()0f a f b a b ->-， 2分 ∴a b <时，∴ ()()f a f b <， a b >时，∴ ()()f a f b >∴()f x 在[1,1]-上是单调增函数 4分（2）∵()f x 在[1,1]-上是单调增函数，且)()1(x f x f <-∴⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≤-≤-<-111111x x x x ， 6分⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤≤-≤≤>⇒112021x x x 121≤<⇒x 7分 故所求不等式的解集 ⎥⎦⎤ ⎝⎛1,21 8分 （3）∵()f x 在[1,1]-上是单调增函数，(1)1f =，∴max ()1f x =， 9分 若2()21f x m am <-+对于所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，则2121m am <-+，[1,1]a ∈-恒成立， 10分 即220m am ->，[1,1]a ∈-恒成立，令22()22g a m am ma m =-=-+， 要使()0g a >在[1,1]a ∈-恒成立，则必须(1)0(1)0g g ->⎧⎨>⎩，解得2m <-，或2m > 则m 的取值范围是+(,2)(2∞-∞-⋃，） 12分。
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案
大连市2017年高三第一次模拟考试
数学（理科）能力测试
第I卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分•在每小题给出的四个选项中，只有- 项是符合题目要求的•
1•已知复数z =1 2i，则Zz=（）
A. 5
B. 5 4i
C. -3
D. 3 - 4i
1 x
2•已知集合A={X|X2-2x-3 ：：0} , B ={x| 0}，则A B=（）
x
A. {x |1 ：：x ：：3}
B. {x | —1 ：：x ：：3}
C. {x | —1 ：：x ：：0或0 x 3} D . {x|「1 ：：x 0或1 ：：x 3}
3•设a,b均为实数，则“ a・|b|”是“ a3 b3”的（）
A .充分不必要条件
B .必要不充分条件
C.充要条件 D .既不充分也不必要条件
2 1
4•若点P为抛物线C:x y上的动点，F为抛物线C的焦点，则| PF |的最小值为
2
( )
1 1 1
A . 2
B .— c.— D .-
2 4 8
5•已知数列{a n}满足a n 1 - a n =2, a i =-5，则|a | 伦| …$ |二()
A . 9 B15 .C・18 D . 30
x y -3 _0
I『
6•在平面内的动点（x,y）满足不等式x-y，1—0，贝V z=2x，y的最大值是（
）
［八0
C. 2
7•某几何体的三视图如图所示，则其体积为（。
学校2017届高三高考第一次模拟考试文数试题+Word版含答案
高三数学（文科）试卷第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}(){}x y x B x x x A -==<--=2ln ,0322，则=B A （ ）A ．{}31<<-x xB ．{}21<<-x xC ．{}23<<-x x D ．{}21<<x x2. =-02215sin 165cos （ ） A ．21 B ．22 C ．23 D ．33 3.已知i iz+=+221，则复数5+z 的实数与虚部的和为（ ） A ．10 B ．10- C ．0 D ．5-4.“22bc ac >”是“b a >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件5.将函数()13cos 2-⎪⎭⎫⎝⎛-=πx x f 的图象向右平移3π个单位，再把所有的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到函数()x g y =的图像，则函数()x g y =的一个对称中心为（ ） A ．⎪⎭⎫⎝⎛0,6π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛0,12π C. ⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,6π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-1,12π 6.已知y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-4040x y x y x ，则y x -4的最小值为（ ）A ．4B ．6 C. 12 D ．167.已知21,F F 是双曲线()0,01:2222>>=-b a by a x C 的左、右焦点，若直线x y 3=与双曲线C 交于Q P ,两点，且四边形21QF PF 是矩形，则双曲线的离心率为（ ）A ．525-B ．525+ C. 13+ D ．13-8.如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径，若该几何体的表面积是π17，则它的体积是（ ） A ．π8 B ．356π C.314π D ．328π9.圆：092222=-+++a ax y x 和圆：0414222=+--+b by y x 有三条公切线，若R b R a ∈∈,，且0≠ab ，则2214b a +的最小值为（ ） A ．1 B ．3 C. 4 D ．510.设函数()x f 的导函数为()x f '，且满足()()()e f xe xf x f x x==+'1,，则0>x 时，()x f （ ）A ．有极大值，无极小值B ．有极小值，无极大值 C.既有极大值又有极小值 D ．既无极大值也无极小值第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）11.下表是降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程ˆˆ0.70.3yx =+，那么表中m 的值为 ．12.观察下列各式 ,7,4,3,1:443322=+=+=+=+b a b a b a b a ，则=+1010b a ．13.已知()1,4a a b a b a =+=⋅-=- ，则a 与b夹角是 ．14.执行如图的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是 ．15.已知()1-=x e x f ，又()()()()R t x tf x f x g ∈-=2，若满足()1-=x g 的x 有三个，则t的取值范围是 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，现从高一学生中抽取100人做调查，得到如下22⨯列联表：已知在这100人中随机抽取一人抽到喜欢游泳的学生的概率为53， （Ⅰ）请将上述列联表补充完整，并判断是否有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（Ⅱ）针对问卷调查的100名学生，学校决定从喜欢游泳的人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，并在这6人中任选两人作为宣传组的组长，求这两人中至少有一名女生的概率，参考公式：()()()()()21122122121112212211211222n n n n n n n n n n n n n χ-=++++,其中22211211n n n n n +++=.参考数据：17.量2cos ,4444x x x x m n ⎫⎫=⋅=⎪⎪⎭⎭，设()f x m n =⋅ ， （Ⅰ）若()2fα=，求cos 3πα⎛⎫+⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，且满足()B c C b a cos cos 2=-，求()A f 的取值范围；18.六面体ABCDE 中，面⊥DBC 面ABC ，⊥AE 面ABC.（Ⅰ）求证：//AE 面DBC ；（Ⅱ）若CD BD BC AB ⊥⊥,，求证：面⊥ADB 面EDC ；19.列{}n a 与{}n b 满足()N n b b a a n n n n ∈-=-++,211，12-=n b n ，且.21=a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n n nn nn T b a c ,1-=为数列{}n c 的前n 项和，求.n T20.()().ln 222x x x ax x x f -++-= （Ⅰ）当2=a 时，求()x f 的单调区间；（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，求整数a 的最小值；21. 在直角坐标系中，椭圆()01:2222>>=+b a by a x C 的左、右焦点分别为21,F F ，其中2F 也是抛物线x y C 4:22=的焦点，点P 为1C 与2C 在第一象限的交点，且352=PF , （Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过2F 且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于N M ,两点，若线段2OF 上存在定点()0,t T 使得以TN TM ,为邻边的四边形是棱形，求t 的取值范围；试卷答案一、选择题1-5:BCCAD 6-10:BCDAD 二、填空题11. 8.2 12. 123 13. π65（或0150） 14.315.()+∞,2三、解答题16.解：（Ⅰ）由已知可得：喜欢游泳的人共6053100=⨯，不喜欢游泳的有：4060100=-人，又由表可知喜欢游泳的人女生20人，所以喜欢游泳的男生有402060=-人， 不喜欢游泳的男生有人，所以不喜欢游泳的女生有40-10=30人 由此：完整的列表如下：因为()22100403020105010.828604050503χ⨯-⨯==>⨯⨯⨯所以有9.99％的把握认为喜欢游泳与性别有关.（Ⅱ）从喜欢游泳的60人中按分层抽样的方法随机抽取6人成立游泳科普知识宣传组，其中男生应抽取460640=⨯人，分别设为D C B A ,,,；女生应抽取246=-人，分别设为F E ,，现从这6人中任取2人作为宣传组的组长，共有15种情况，分别为：()()()()()()()()()()()()()()()F E F D E D F C E C D C F B E B D B C B F A E A D A C A B A ,,,,,,,,,,,,,,,若记=M “两人中至少有一名女生的概率”，则M 包含9种情况，分别为：()()()()()()()()()F E F D E D F C E C F B E B F A E A ,,,,,,,,,,所以().53159==M P 17.Ⅰ）()4cos 4sin 324cos22x x x x f += 12cos 2sin 3++=xx162sin 2+⎪⎭⎫⎝⎛+=πx()2f α= 2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+∴πa21cos 12sin 3262παπα⎛⎫⎛⎫∴+=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（Ⅱ）()B c C b a cos cos 2=-()B C C B A cos sin cos sin sin 2=-∴()C B C B C B C A +=+=sin sin cos cos sin cos sin 2A C A sin cos sin 2=∴0sin ≠A 21cos =∴C 3π=∴C π320<<∴A 2626πππ<+<A162sin 21<⎪⎭⎫⎝⎛+<∴πA ()162sin 2+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πA A f()A f ∴取值范围为()3,2.18.（Ⅰ）过点D 作O BC DO ,⊥为垂足，∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面⊂=DO BC ABC ,面DBC ，⊥∴DO 面ABC ，又⊥AE 面ABCDO AE //∴又⊄AE 面DBC 上，⊂DO 面.DBC//AE ∴面.DBC（Ⅱ）∴面⊥DBC 面ABC ，面 DBC 面BC AB BC ABC ⊥=,，⊥∴AB 面DBC ,又⊂DC 面DBC ,DC AB ⊥∴,又⊂=⊥BD AB B BD AB CD BD ,,, 面ADB ，⊥∴DC 面ADB ,又⊂DC 面EDC ，∴面⊥ADB 面.EDC19.（Ⅰ）因为()12,211-=-=-++n b b b a a n n n n n ， 所以()()412122211=+-+=-=-++n n b b a a n n n n ，所以{}n a 是等差数列，首项为21=a ，公差为4，即24-=n a n ，（Ⅱ）()()()n n nn n nnn n n n b a c 212122411-=--==-- n n c c c c T ++++= 321()n n 21225232132-++⋅+⋅+⋅= ①()14322122523212+-++⋅+⋅+⋅=n n n T ②①-②得：()13221222222221+--⋅++⋅+⋅+⋅=-n n n n T()()112122121422+---⎥⎦⎤⎢⎣⎡--+=n n n()12326+---=n n().23261+-+=∴n n n T20.（Ⅰ）由题意可得()x f 的定义域为()+∞,0,当2=a 时，()()x x x x x x f ln 2222-++-=,所以()()()()x x xx x x x x x f ln 2412ln 122222-=⋅-+-++-=' 由()0>'x f 可得()0ln 24:>-x x ，所以⎩⎨⎧>>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧<<-0ln 024x x解得1>x 或210<<x ； 由()0<'x f 可得()0ln 24:<-x x ，所以⎩⎨⎧<>-0ln 024:x x 或⎩⎨⎧><-0ln 024x x ，解得.121<<x 综上可知()x f :递增区间为()+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛,1,21.0，递减区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21，（Ⅱ）若()+∞∈,0x 时，()02>+x x f 恒成立，则()0ln 22>-+x x x ax 恒成立， 因为0>x ，所以()0ln 12>-+x x a 恒成立， 即()x x a ln 12:-->恒成立，令()()x x x g ln 12--=，则()max x g a >， 因为()xx x x x x g 22ln 21ln 2+--=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-='， 所以()x g '在()+∞,0上是减函数， 且()01='g ，所以()x g 在()1,0上为增函数，在()+∞,1上是减函数，1=∴x 时，()0max =x g ，0>∴a ，又因为Z a ∈，所以.1min =a21.（Ⅰ）抛物线x y 42=的焦点为()0,13512=+=p x PF 32=∴p x 632=∴p y ⎪⎭⎫ ⎝⎛∴632,32P 又()0,12F ()0,11-∴F4353721=+=+∴PF PF 2=∴a 又1=c 3222=-=∴c a b∴椭圆方程是134:22=+y x . （Ⅱ）设直线MN 的方程为() ,1-=x k y 以TN TM ,为邻边得四边形是菱形，TN TM =∴,设()()2211,,y x N y x M ，则134,13422222121=+=+y x y x ，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∴413,41322222121x y x y ， ()()()()⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+-=+-∴222221212222212141134113,x t x x t x y t x y t x ，()()0241212221=---∴x x t x x 直线MN 与x 轴不垂直，21x x ≠∴，()()212181,241x x t t x x +=∴=+∴， 把()1-=x k y 代入椭圆方程并整理可得()01248432222=-+-+k x k x k ，2221438k k x x +=+∴，2243kk t +=∴， 当0≠k 时，()43181221+=+=k x x t ， ,410,02<<∴>t k所以t 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛41.0.。
辽宁省大连市2017届高三第一次模拟考试理数试题Word版含答案
大连市 2017 年高三第一次模拟考试数学（理科）能力测试第Ⅰ卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每题 5 分 ,共 60 分 .在每题给出的四个选项中，只有一项是切合题目要求的 .1.已知复数 z 1 2i ，则 z z（ ）A ． 5B ． 5 4iC ． -3D ． 3 4i2.已知会合 A{ x | x22x 3 0}， B{ x |1x 0}，则 AB （）xA ． { x |1 x 3}B ． { x | 1 x 3}C ． { x | 1 x 0或 0x 3} D ． { x | 1 x 0或1 x 3}3.设 a, b 均为实数，则“ a | b |”是“ a 3b 3 ”的（）A ．充足不用要条件B ． 必需不充足条件C ．充要条件D ． 既不充足也不用要条件4.若点 P 为抛物线 C : x21y 上的动点， F 为抛物线 C 的焦点，则 | PF |的最小值为2（ ）A ． 2 1C.1D ．1B ．4825.已知数列 { a n } 知足 a n 1a n 2 ， a 15 ，则 | a 1 | | a 2 || a 6 | （）A ． 9B15 ．C.18D ． 30x y 3 06.在平面内的动点 ( x, y) 知足不等式x y 1 0 ，则 z 2 xy 的最大值是（）y 0A ． 6B ． 4C. 2D ． 07.某几何体的三视图以下图，则其体积为（）A ． 47 4 8B ．C.D ．33315，则 n 的最小值8.将一枚硬币连续投掷n 次，若使得起码有一次正面向上的概率不小于16为（ ）A ． 4B ． 5C. 6 D ． 79.运转以下图的程序框图，则输出结果为（）115 C.323A ．B ．2D ．841610.若方程 2sin(2 x)m 在 x [0, ] 上有两个不相等的实数解 x 1 , x 2 ，则 x 1 x 26 2（ ）A ．B ． C.23D ．24311.已知向量 OA (3,1) ， OB ( 1,3) ， OC mOA nOB (m 0, n 0) ，若m n[1,2] ，则 |OC | 的取值范围是（）A ． [5,2 5] B ． [ 5,2 10) C. (5, 10)D ． [ 5,2 10]12.已知定义在 R 上的函数 f ( x)e x mx 2 m(m 0) ，当 x 1 x 2 1 时，不等式f ( x1 ) f (0) f ( x2 ) f (1) 恒成立，则实数x1的取值范围是（）A ．( ,0) B．(0,1) C. (1,1) D．(1, ) 2 2第Ⅱ卷（共90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.现将 5 张连号的电影票分给甲乙等 5 个人，每人一张，且甲乙分得的电影票连号，则共有种不一样的分法（用数字作答）．14.函数f ( x) e x sin x 的图象在点(0, f (0))处的切线方程是．15.我国古代数学专著《孙子算法》中有“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”假如此物数目在100 至 200 之间，那么这个数是．x2 y21(a 0, b 0) 的焦点 F 且与一条渐近线垂直的直线与两条渐近线16.过双曲线b2a2订交于 A, B 两点，若 BF 2FA ，则双曲线的离心率为．三、解答题（本大题共 6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知点P( 3,1) ，Q(cos x,sin x)，O为坐标原点，函数 f ( x) OP QP.（1）求函数f (x)的最小值及此时x的值；（2）若A为ABC 的内角， f ( A) 4，BC 3，求ABC 的周长的最大值.18.某手机厂商推出一次智好手机，现对 500 名该手机使用者（ 200 名女性， 300 名男性）进行检查，敌手机进行打分，打分的频数散布表以下：（1）达成以下频次散布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的方差大小（不计算详细值，给出结论即可）；（2）依据评分的不一样，运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，在这20 名用户中，从评分不低于80 分的用户中随意取 3 名用户，求 3 名用户评分小于90 分的人数的散布列和期望.19. 如图，在四棱锥P ABCD 中，底面 ABCD 为正方形， PA底面ABCD，AD AP ，E为棱 PD中点.（1）求证：PD 平面 ABE ；（2）若F为AB中点，PM PC(0 1)，试确立的值，使二面角 P FM B 的余弦值为3. 320. 已知点P是长轴长为2 2x2 y21(a b 0) 上异于极点的一个动点，的椭圆 Q：b2a2O 为坐标原点， A 为椭圆的右极点，点M 为线段 PA 的中点，且直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为1 . 2（1）求椭圆Q的方程；（2）设过左焦点F1且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆于C , D两点，线段CD的垂直均分线与 x 轴交于点G，点G横坐标的取值范围是[ 1,0) ，求 | CD |的最小值. 421. 已知函数f ( x) (x 2)e x a( x 2)2 (x 0) .（1）若f ( x)是(0,)的单一递加函数，务实数 a 的取值范围；（2）当a1) 时，求证：函数 f (x) 有最小值，并求函数 f ( x) 最小值的取值范围. (0,4请考生在22、 23 两题中任选一题作答，假如多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程已知在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，成立极坐标x2 5t 15系，曲线 C1的极坐标方程为4cos ，直线 l 的参数方程为（ t 为参数）.5 ty 15（1）求曲线C1的直角坐标方程及直线l 的一般方程；（2）若曲线C2的参数方程为x 2cos，Q 为y sin（为参数），曲线 C1上点P的极角为4曲线 C2上的动点，求PQ的中点M到直线l距离的最大值. 23.选修 4-5：不等式选讲已知 a 0, b 0 ，函数 f ( x) | x a | | 2x b | 的最小值为 1. （1）求证：2a b 2 ；（2）若a 2b tab 恒成立，务实数t的最大值.2017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）23 ．3三.解答题（17）解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ，∴ f (x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ，3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2．(2) ∵f ( A)=4，∴A 2，32又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 2bc cos ，∴ 9 (b c)2 bc．3(b c)2 3(b c) 29 ，．bc4 ，∴ 4∴ b c 2 3 ，当且仅当b=c取等号，∴三角形周长最大值为 3 23.(18)解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大.（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于 80 分有 6 人，此中评分小于90 分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，P( XC 41C 22 1 2)C 42 C 21 3 C 43C 22 11)； P(XC 63； P(X 3)C 63.C 63555因此 X 的散布列为X123P131555EX43 2或EX1 6 32.65 5 5(19)解： (I) 证明：∵ PA 底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA AB ，又∵底面 ABCD 为矩形，∴ AB AD ，PAAD A ， PA平面 PAD ， AD 平面PAD ，∴ AB 平面 PAD ，又 PD 平面 PAD ，∴ AB PD ，AD AP ，E 为PD 中点，∴ AEPD ，AE ABA ，AE 平面 ABE ， AB 平面 ABE ，∴ PD平面 ABE .(II) 以 A 为原点，以 AB, AD, AP 为 x, y, z 轴正方向，成立空间直角坐标系 ABDP ，令|AB| 2 ，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1)， F (1,0,0) ， PF(1,0, 2) ，PC (2,2, 2)，PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量 m ( x1 , y1, z1 ) ，m PF =0 x 2z 0，即2 x 2，m PM =0 y 2 z 0m (2, 1,1)设平面 BFM 的法向量n ( x2 , y2 , z2 ) ，n BF =0，n FM =0x 0， n (0, 1, )即1 x2 y 22 2 z 0m n 1 3 1| cos m,n |2 2，解得.| m || n |6 1 3 2 (20)解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．设 P( x0 , y0 ) ，y0∵直线 PA 与 OM 的斜率之积恒为 1 ，∴ 2 y0 1 ，2 x0 2 x0 222∴x02 2，∴ b 1，y02 1故椭圆的方程为x2 y 2 1.2(Ⅱ ) 设直线 l 方程为y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k 2 x 2k2 2 0 ，设 A(x1, y1 ), B( x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ (x14k22, x1x22k 2 2 x2 )2k 1 2k2.1∴ x0 1 2k 2, y0 k ( x0 1)k ( x1 x2 )1 2k22k2 2 1∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1( x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 12 4k 2 2∵ x G [ 1,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k 2 1 ．4 4 2 4k2 2 2|CD| 1 k2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2| CD |min 3 2．2(21)解：（Ⅰ） f x e x (x 2)e x 2ax 4a∵函数（f （ 0，+ ）x) 在区间上单一递加，f x 0在（ 0，+ ）上恒成立 . ∴e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x) e x ，2x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 .4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t ) ．2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ．4 4∴ f min x =f t=（t-2）e t+ e t (1 t)(t 2) 2et ( t2t 2) ，2(t 2) 2f t = e t( t 2t 1) 0 ，2∴ f (1) f (t ) f (0) ， ef (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是 ( e, 1) ．(22)解：（Ⅰ）由 C : x 2y 2 4x 0, l : x 2y 30 .1（Ⅱ） P(22, ), 直角坐标为 (2, 2) ，4 1Q(2cos ,sin ),M(1 cos ,1 ) ， l : x2 y3 0 ．sin2M 到 l 的距离 d|1 cos2 sin3|10| sin(4 ) |，55进而最大值为 10.5(23)解：（Ⅰ）法一： f ( x) | x a || 2x b | = | x a | | x b | | x b|，b | | ( x a) (xb) | a b 且 | x b | 2 2 ∵ | x a | | x0，b2b 2 22b∴ f (x)af ( x) 的最小值为 a，当 x时取等号，即，222b1， 2a b 2 .∴ a2b法二：∵ a，23x a b, x a∴ f (x)| x a | | 2x b | = x a b, a x b ，b23x a b, x2明显 f (x) 在 (, b ] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，2 2∴ f (x) 的最小值为 f ( b) ab ，2 2∴ ab 1， 2a b 2 .2（Ⅱ）∵ a 2b tab 恒成立，∴a2b t 恒成立，aba 2b 1 2 ( 1 2)(2 a b) 11(1 4 2a2b ) 1 (1 4 2 2a 2b ) 9ab b a b a2 2 ba2b a 2 当 a b 2 时，a 2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .222017 年大连市高三一模测试数学（理科）参照答案与评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参照，假如考生的解法与本解答不一样，可依据试题的主要考察内容对比评分标准制定相应的评分细则．二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，假如后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超出该部分正确解答应得分数的一半；假如后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．一．选择题（1）A ；（ 2）D ；（ 3）A ；（ 4）D；（ 5）C；（ 6）A ；（ 7）D ；（ 8）A ；（9）B ；（ 10） C；（ 11）B；（ 12）D ．二.填空题（13） 48；（ 14）y x ；（15） 128 ；（16）2 3．3三.解答题（17） (本小题满分12 分)解：（ I ）∵OP ( 3,1),QP ( 3 cos x,1 sin x) ， 3 分∴ f ( x) 3 3 cos x 1 sin x 4 2sin( x ) ， 5 分3∴当 x62k (k Z ) 时， f (x) 获得最小值2． 6 分2，7 分(2) ∵f ( A)=4，∴A32bc cos 2又∵ BC 3，∴ a2 b2 c2 ，∴ 9 (b c)2 bc．9 分3(b c) 2 3(b c)29 ，．10 分bc ，∴4 4∴ b c 2 3 ，当且仅当 b=c 取等号，∴三角形周长最大值为 3 2 3 . 12 分(18)( 本小题满分12 分 )解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频次散布直方图分别以下左、右图：频次频次组距组距O 50 60 70 80 90 100 评分O 50 60 70 80 90 100 评分12 分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分由图可得女性用户的颠簸小，男性用户的颠簸大. ,,,,,,,,,,,,,, 6 分（Ⅱ）运用分层抽样从男性用户中抽取20 名用户，评分不低于80 分有 6 人，此中评分小于90分的人数为 4 ，从 6 人人任取 3 人，记评分小于 90 分的人数为 X ，则 X 取值为 1,2,3 ，C41C22 1 C42 C21 3 C43C22 1P(X 1) ； P(X 2)C63 ； P(X 3)C63. 9分C63 5 5 5因此 X 的散布列为X 1 2 3P 1 3 15 5 5EX 4 3 2或 EX 1 6 3 2.12分6 5 5 5(19)( 本小题满分12 分)解： (I) 证明：∵ PA⊥底面 ABCD ， AB 底面 ABCD ，∴ PA⊥AB ，又∵底面ABCD 为矩形，∴ AB⊥ AD， PA∩AD =A， PA 平面 PAD ， AD 平面 PAD，∴ AB ⊥平面 PAD，又 PD 平面 PAD ，∴ AB⊥PD ， AD=AP ， E 为 PD 中点，∴ AE⊥ PD ， AE∩AB =A，AE 平面 ABE， AB平面ABE，∴ PD⊥平面ABE. 6 分(II) 以A为原点，以AB, AD, AP为x, y, z轴正方向，成立空间直角坐标系 A BDP ，令|AB| 2，则 A(0,0,0) ， B(2,0,0) ， P(0,0,2) ， C (2,2,0) ， E(0,1,1) ， F (1,0,0) ， PF (1,0, 2) ，PC (2,2, 2)， PM (2 ,2 , 2 )，M(2 ,2 ,2 2 )设平面 PFM 的法向量mm PF =0 x 2z 0( x1 , y1, z1 ) ，，即x 2 y 2 z，m PM =0 2 0m (2, 1,1)设平面BFM 的法向量n ( x2 , y2, z2 ) ，n BF =0，即n FM =0x 0， n (0, 1, ) 2 x1 2y 2 z2 0| cosm n 1 3 1 m,n |2 2，解得.| m || n | 6 3 21(20) （本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）∵椭圆 Q 的长轴长为 2 2 ，∴ a 2 ．P(x0 , y0 ) ，∵PA 与OM 的1设直线斜率之积恒为，2y0∴ 2 y0 1，,,,,,,,,,,,,,,,, 2 分x0 2 x0 2 22∴ x02 y02 1，∴ b 1，2故椭圆的方程为x2y 2 1.,,,,,,,,,,,,,,,, 4 分2(Ⅱ ) 设直线l 方程为 y (k x1 ) (k ，代入x2 y2 1 有2(1 2k 2 ) x2 4k2 x 2k 2 2 0 ，,,,,,,,,,,,, 5 分设 A(x1, y1 ), B(x2 , y2 ) ，AB中点 N ( x0 , y0 ) ，∴ ( x1 x2 )4k22, x1 x22k 2 2.,,,,,,,,,,,,, 6 分1 2k 1 2k 2∴ x0 1( x1 x2 )12k 2 2 , y0 k( x0 1) k 2 ,,,,,,,, 7 分2 2k 1 2k∴ CD 的垂直均分线方程为y y0 1(x x0 ) ，k令 y 0 ，得 x G x0 ky0 1 1,,,,,,,,,,,, 9 分2 4k2 2∵ x G [ 1 ,0) ，∴ 1 1 1 ，∴ 0 k2 1 ． ,,,,,, 10 分4 4 2 4k2 2 2|CD | 1 k 2 | x2 x1 | 1 k 2 16k 4 4(2k2 1)(2k 2 2)2k 2 12 2[1+ 1 ] 3 2 ，2 2(2k 2 1) 2|CD |min 3 2． ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 12 分2(21)（本小题满分12 分）解：（Ⅰ） f x e x(x 2)e x2ax 4a 1 分函数（fx)在区间（ 0，+ ）上单一递加， f x 0在（ 0，+ ）上恒成立. ∴ e x (x 2)e x 2ax 4a 0 ，∴ a (1 x)e x ， 2 分2 x 4令 g( x) (1 x)e x ， g ( x) [(1 x)e x e x ](2 x 4) 2(1 x) e x e x ( 2x2 2x 2) 0 ，2x 4 (2 x 4)2 (2 x 4) 2∴g( x) g(0) 1，∴ a 1 . 4 分4 4（Ⅱ） f x x e x 2a 0 ∴ y=f x 在（0，+ ）上单一递加又 f 0 =4 a 1 0 f 1 =6 a 0 ∴存在 t （ 0,1 ）使 f t =0∴ x （0，t）时， f x 0， x （ t，+ ）时， f x 0当 x=t时， f min x =f t = （t -2）e t +a(t 2)2 ,,,,,,,,,, 6 分且有 f t =e t（t-1）+2a(t 2) 0 ，∴a= e t (1 t )．,,,,,,,, 6 分2(t 2)由（Ⅰ）知 a=g(t)= et(1t) 在t (0, ) 上单一递减，2(t 2)g(0)= 1, g(1)=0 ，且 0 a1，∴ t (0,1) ． , , , , , , ,,,, , , , , 8 分4 4∴ f min x =f t =（t-2）e t + et(1t) (t 2) 2 e t ( t2 t2)，,,,,,,, 10 分2(t 2) 2f t = e t ( t2 t 1) 0 ，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 11 分2∴ f (1) f (t ) f (0) ， e f (t) 1 ,∴ f (x) 的最小值的取值范围是( e, 1) ．,,,,,,,,,,,,,,, 12 分．(22)（本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）由C1: x2 y2 4x 0, ,,,,,,,,,,,,,,, 2 分l : x 2 y 3 0 . ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,, 5 分（Ⅱ） P(2 2, ),直角坐标为(2,2，), , , , , , , , , , ,,,6分4 1sin ) ， l : xQ (2cos ,sin ),M(1 cos ,1 2 y 3 0．,, 8 分2M 到 l 的距离 d |1 cos 2 sin3|10| sin()|，,9 分554进而最大值为10 ,,,,,,,,,,,,,,,10.5分(23) （本小题满分 10 分）解：（Ⅰ）法一：f ( x )||| 2| = | a| |b| b| ， |2 分x ax bxxx, ,22∵ | x a | | xb| |( x a) ( xb) | a b且 | x b| 0 ，2 2 2 2∴ f (x)ab b时 取 等 号 ， 即 f ( x) 的 最 小 值 为 ab， , ,4 分2 ， 当 x 22b 1， 2a b2 .,,,,5 分∴ a2b法二：∵a，23x a b, x a∴ f ( x)| x a | | 2x b | = x a b, a xb，,,,,,3 分b23x a b, x2明显 f ( x) 在 (, b] 上单一递减， f ( x) 在 [ b,) 上单一递加，22∴ f ( x) 的最小值为 f ( b)a b ，, ,,,,4 分b22∴ a1， 2a b 2 .,,,,,,,,,5 分2tab 恒 成 立 ， ∴a 2b（ Ⅱ ） ∵ a2b t 恒 成 立 ，, ,, , , 7 分aba 2b 12 (1 2)(2 a b) 1 1(1 4 2a 2b )ab ba b a2 2 b a1(142 2a 2b9 , , , ,, , , ,,,,,, ,, , 9 分 当2 b a ) 2a b 2 时， a2b获得最小值 9 ，∴93 ab92t ，即实数 t 的最大值为 .,,,,,,,,,,,,,,,5 分22。
辽宁省葫芦岛市普通高中联合体2017-2018学年高三上学期第一次考试数学(文)试题 Word版含答案
2017-2018学年 高三数学（文科）试题一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.下列各式中，值为2） A ．2sin15cos15 B ．22cos 15sin 15- C ．22sin 151- D ．22sin 15cos 15+2.若角α的终边过点()002cos120225P ，则cos α=（ ）A ．B ．12-CD ．3.已知命题3:,sin 2p x R x ∃∈=；命题2:,450q x R x x ∀∈-+>，则下列结论正确的是（ ）A ．命题p q ∧是真命题B ．命题p q ∧⌝是真命题C ．命题p q ⌝∧是真命题D ．命题p q ⌝∨⌝是真命题4.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-，则tan 2α等于（ ）A ．34-B ．34C ．43-D ．435.设集合{|xA x e =>，集合{}|lgx lg2B x =≤-，则AB 等于（ ）A ．RB ．[]0,+∞C ．()0,+∞D ．φ6.函数()f x 的定义域为R ，且满足：()f x 是偶函数，()1f x -是奇函数，若()0.59f =，则()8.5f 等于（ ） A ．9 B ．-9 C ．-3 D ．07.下列函数中，既是偶函数，又在()0,+∞上是单调减函数的是（ ） A ．2xy =- B ．12y x = C ．ln 1y x =+ D ．cos y x = 8.下列命题中正确的个数为（ ）①对于命题:P x R ∃∈，使得210x x +-<，则:P x R ⌝∀∈，均有210x x +->； ②p 是q 的必要不充分条件，则p ⌝是q ⌝的充分不必要条件； ③命题“若x y =，则sin sin x y =”的逆否命题为真命题；④“1m =-”是“直线()1:2110l mx m y +-+=与直线2:330l x my ++=垂直”的充要条件．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 9.已知函数()()sin f x x ωϕ=+（其中2πϕ<）的图象如图所示，则函数()f x 的解析式为（ ）A ．()sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B ．()sin 3f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．()sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭10.已知函数()f x 的导函数()f x '的图象如图所示，那么函数()f x 的图象最有可能的是（ ）A ．B ．C ．D ．11.已知()2121x x f x -=+，则不等式()()2240f x f x -+-<的解集为（ ）A ．()1,6-B ．()6,1-C ．()2,3-D ．()3,2-12.已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是（ ）A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞-D ．(),1-∞-二、填空题（每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.1717cos sin 44ππ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值是__________． 14. ABC ∆中，045a b B ==∠=，则A ∠=____________． 15.下列判断：（1）命题“若q 则p ”与“若p ⌝则q ⌝”互为逆否命题； （2）“22am bm <”是“a b <”的充要条件； （3）“矩形的两条对角线相等”的否命题是假命题；（4）命题“{}1,2∅⊆”为真命题，其中正确的序号是__________．16.已知()()()()22log 1111x x f x x x --+<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，若()3f a =，则a =___________． 三、解答题17.（本题满分10分）已知角α的终边经过点43,55P ⎛⎫-⎪⎝⎭，（1）求cos α的值；（2）求()()()sin tan 2sin cos 3πααπαππα⎛⎫- ⎪-⎝⎭+-的值． 18.（本题满分12分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知32,5,cos 5a c B ===．（1）求b 的值；（2）求sin C 的值． 19.（本题满分12分）已知()113cos ,cos 714ααβ=-=，且02πβα<<<． （1）求tan 2α的值；（2）求β的值．20.（本题满分12分）已知函数()22cos sin 2cos ,f x x x x x x R =--∈．（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； （2）函数()y f x =的图象向右移动12π个单位长度得到以()y g x =的图象，求()y g x =在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 21.（本题满分12分）已知函数()()3220f x x ax bx a a =+++>在1x =处有极值10． （1）求a b 、的值； （2）求()f x 的单调区间；（3）求()f x 在[]0,4的最大值与最小值．22.（本小题满分12分）已知函数()ln f x x a x =+在1x =处的切线l 与直线20x y +=垂直，函数()()212g x f x x bx =+-． （1）求实数a 的值；（2）设()1212,x x x x <是函数()g x 的两个极值点，若72b ≥，求()()12g x g x -的最小值．参考答案1．B 2．D ．3．C 4．B 5．C 6． A 7．A 8．B 9．C 10A 11．D 12．C13 14．3π或23π15．（1）（3）（4） 16．3- 17．（1）45 ；（2） 54解：（1）、1r ==, 4cos 5x r α==sin()tan()cos tan()2sin()cos(3)sin cos()πααπαπααππααπα----⋅=⋅+---cos sin sin()cos()cos ααπαπαα--=⋅-2cos sin 15sin cos cos 4ααααα=⋅== 18．（1（2解：（1）由余弦定理 2222cos b a c ac B =+-，得23425225175b =+-⨯⨯⨯=，∴b =（2）∵3cos 5B =∴4sin 5B =，由正弦定理 sin sin b c B C =5sin 5C =，sin C = 19．（1）tan 247α=-；（2）3πβ＝解：（1）由cos α＝17，0<α<2π，得sin α∴tan α＝sin cos αα71＝于是tan2α＝22tan 1tan αα-1-（2）由0<β<α<2π，得0<α－β<2π又∵cos （α－β）＝1314，∴sin （α－β14由β＝α－（α－β）得cos β＝cos[α－（α－β）]＝cos αcos （α－β）＋sin αsin （α－β）＝17×131412， ∴β＝3π 20．（1）T π=，单调递减区间为5k ,,36k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦；（2）min ()g x =，ax 1()2m g x =-．解：(1）23)62sin(22cos 112sin 23)(--=+--=πx x x x f ， π=∴T ．(2)23)32sin()(--=πx x g 20π≤≤x 32323πππ≤-≤-∴x 233)(0332x min +-==-=-∴x g x 时，即当ππ21)(125232x ax -===-m x g x 时，即当πππ21．（1）a=4，b=﹣11；（2）f （x ）在上单调递增，上单调递减．；（3）f （x ）的最大值为100，最小值为1020．解：（1）由f ′（1）=3+2a+b=0，f （1）=1+a+b+a 2=10，得a=4，或a=﹣3 ∵a ＞0，∴a=4，b=﹣11（经检验符合）（2）f （x ）=x 3+4x 2﹣11x+16，f'（x ）=3x 2+8x ﹣11， 由f ′（x ）=0得所以令f ′（x ）＞0得；令所以f （x ）在上单调递增，上单调递减．（3）由（2）知：f （x ）在（0，1）上单调递减，（1，4）上单调递增，又因为f （0）=16，f （1）=10，f （4）=100， 所以f （x ）的最大值为100，最小值为1020．22．（Ⅰ）1a =；解：（Ⅰ）∵()ln f x x a x =+，∴()1af x x'=+， 2分 又l 与直线20x y +=垂直，∴(1)12k f a '==+=，∴1a =． 4分（Ⅱ）令()0g x '=，得2(1)10x b x --+= ，12121,1x x b x x ∴+=-= , 6分()1g x g -分 120x x <<，，所以()h t 在()0,1单调递减， 10分，01,t << ∴()1152ln 248h t h ⎛⎫≥=-⎪⎝⎭， 12分。
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2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学试卷（理科） 一选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.设全集2,1,0,1,2,|1,2,0,2UAxxB，则UCAB
A. 2,0 B.2,0,2 C. 1,1,2 D. 1,0,2 2.已知复数1zii（i为虚数单位），则复数z在复平面内对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D.第四象限 3.已知等差数列na中，其前n项和为nS，若34542aaa，则7S A. 98 B. 49 C. 14 D. 147 4.下列命题中正确的是 A.若两条直线和同一平面所成角相等，则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行 C. 若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线垂直 D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行 5.《九章算术》是我国古代数学经典名著，它在几何学中的研究比西方早1千多年.在《九章算术》中，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖膳.已知“鳖膳”的三视图如图所示，则该鳖膳的外接球的表面积为
A. 200 B. 50 C. 100 D.12523
6.函数22lnxxyx的图象大致是
7.中国古代算书《孙子算经》中有一著名的问题“物不知数”，原题为：今有物，不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三；七七数之剩二，问物几何？后来，南宋数学家秦九韶在其著作《数书九章》中对此类问题的解法作了系统的论述，并称之为“大衍求一术.下面的程序
框图的算法思路源于“大衍求一术”，执行该程序框图，若输入的,ab分别为20,17，则输出的c A. 1 B. 6 C. 7 D. 11 8.为了调查广告与销售额的关系，某厂商对连续5年的广告费和销售额进行了统计，得到统
计数据如下表（单位：万元）。由上表可得回归方程为ˆˆ10.2yxa，据此模型，预测广告费为10万元时的销售额约为 A. 111.2 B. 108.8 C. 101.2 D.118.2
9.已知函数sin0,02fxAx，若203ff，则的最小值为 A. 2 B. 32 C. 1 D. 12
10.设1,01ln,1xxfxxxe，直线0,,0,1xxeyy所围成的区域为M，曲线yfx与直线1y围成的区域为N,在区域M内任取一点P，则点P在区域N上的概率
为
A. 232ee B. 32e C. 321eeee D.11ee
11.已知F为双曲线2222:10,0xyEabab的右焦点，过点F作E的一条渐近线的垂线，垂足为P，线段PF与E相交于点Q,记点Q到E的两条渐近线的距离之积为2d，若2PFd，则该双曲线的离心率为
A. 2 B. 2 C. 3 D. 4 12.以下四个命题：
①22ee ②2ln23 ③33 ④ln2ln2 其中，正确的个数为 A. 1 B. 2 C. 3 D.4
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知平面向量,ab的夹角为120，且2,4ab，若naba，则n .
14. 1nxx的展开式中，所有二项式系数的和为512，则展开式中3x的系数为 .（用数字作答） 15. 已知数列na满足
231222112222,loglognnnnnnaaaannNbaa
，设数列nb的前n项
和为nS，则1230SSS . 16. 设实数,xy满足约束条件0033xyxyxy，则22xyxy的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
已知,,abc分别为ABC内角,,ABC的对边，函数2323sincos2cosfxxxx
且5.fA （1）求角A的大小； （2）若2a，求ABC面积的最大值.
18.（本题满分12分） 如图，四棱锥SABCD中，底面ABCD为直角梯形，//,ABCDBCCD,平面SCD
平面ABCD，2,,SCCDSDADABMN分别为,SASB的中点，E为CD的中点，过,MN作平面MNPQ分别与交,BCAD于点,PQ，若.DQtDA （1）当12t时，求证：平面SAE平面MNPQ； （2）是否存在实数t，使得二面角MPQA的平面角的余弦值为55？若存在，求出实数t的值，若不存在，说明理由. 19.（本题满分12分） 2017年3月10日CBA半决赛开打，采用7局4胜制（若某队取胜四场，则终止本次比赛，并获得进入决赛资格），采用2-3-2的赛程，辽宁男篮将与新疆男篮争夺一个决赛名额，由于新疆队常规赛占优，决赛时拥有主场优势（新疆先两个主场，然后三个客场，再两个主场）。以下是总决赛赛程：
（1）若考虑主场优势，每个队主场获胜的概率为23，客场取胜的概率均为13，求辽宁队以比分4:1获胜的概率； （2）根据以往资料统计，每场比赛组织者可获得门票收入50万元（与主客场无关），若不
考虑主客场因素，每个队每场比赛获胜的概率均为12，设本次半决赛中（只考虑这两支队）组织者所获得的门票收入为X,求X的分布列及数学期望.
20.（本题满分12分） 已知椭圆2222:10xyCabab左、右焦点分别12,,2,0FFA是椭圆的右顶点，过
2F且垂直于x轴的直线交椭圆于两点，且3PQ
（1）求椭圆的方程； （2）若直线l与椭圆交于两点M,N，（M,N不同于点A），若0,AMANMTTN， ①求证：直线l过定点，并求出定点的坐标； ②求直线AT的斜率的取值范围. 21.（本题满分12分） 已知函数21.xfxaxxe
（1）当12ea时，求fx在点1,1f处的切线方程； （2）讨论fx的单调性； （3）当1122ae时，fx是否存在极值？若存在，求所有极值的和的取值范围.
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按照所做的第一题计分. 22.（本题满分10分）选修4-4：极坐标与参数方程 在平面直角坐标系xoy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
曲线1C的参数方程为22cos2sinxy（为参数），曲线2C的极坐标方程为
cos2sin40. （1）求曲线1C的普通方程和曲线2C的直角坐标方程； （2）设P为曲线1C上一点，Q为曲线2C上一点，求PQ的最小值.
23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数121fxxx的最大值为m.
（1）作出函数fx的图象； （2）若2222abcm，求2abbc的最大值. 2017年葫芦岛市普通高中高三第一次模拟考试 数学试题(理科) 参考答案及评分标准 一.选择题:每小题5分,总计60分 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A C B D C A B A B D 二.填空题:每小题5分,总计20分. 13. 1 14.126
15. 111 16.[-,0] 三.解答题: 17. (本小题满分12分)
(1)由题意可得：
，即，.................6分 (2)由余弦定理可得：
故面积的最大值是............................12分
18.(本小题满分12分)
(1)E为CD中点，所以四边形ABCE为矩形，所以AECD
当t=时，Q为AD中点， 所以PQAE 因为平面SCD⊥平面ABCD，SE⊥CD，所以SE⊥面ABCD 因为PQ，所以PQ⊥SE 所以PQ⊥面SAE 所以面MNPQ⊥面SAE.................6分 （2）如图，以E为原点，ED,EA,ES直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示坐标系；
设ED=a,则E(0,0,0),A(0,0),Q,，面ABCD一个方向向量为（1,0,0） 设平面MPQ的法向量为→n1=(x,y,z),则由→n1⊥,→n1⊥得：
,x=0
令z=2∴→n1=.................9分 显然平面ABCD的法向量为→n2=（0，0，1） 由题意：
∴cos=→n1→n2→n1→n1|n1= 所以t=...............11分 由图形知，当t=43时，二面角M-PQ-A为钝二面角，不合题意，舍去 综上：t=41...............12分 19．（本题满分12分） (1)设“辽宁队以比分4：1获胜”为事件A，“第i场比赛取胜”记作事件Ai,由赛程表可知：
P（A1）=P（A2）=,P(A3)= P(A4)= P(A5)=