2019-2020学年江苏省苏州市高二下学期期末数学试卷 (解析版)

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2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题(解析版)

2019-2020学年江苏省苏州市姑苏区高二上学期期中数学试题一、单选题1．命题“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是( ) A ．0x ∀≤，2230x x -+< B ．0x ∀>，2230x x -+< C ．0x ∃>，2230x x -+< D ．0x ∃≤，2230x x -+<【答案】C【解析】根据全称命题的否定的性质进行求解即可. 【详解】“0x ∀>，2230x x -+≥”的否定是0x ∃>，2230x x -+<. 故选：C 【点睛】本题考查了全称命题的否定，属于基础题.2．在等比数列{}n a 中，22a =，68a =，则2a 与6a 的等比中项为( ) A ．6 B ．4C ．4-D ．4±【答案】D【解析】根据等比中项的性质进行求解即可. 【详解】因为22a =，68a =，所以2a 与6a 的等比中项为4=±. 故选：D 【点睛】本题考查了等比中项的性质，考查了数学运算能力.3．“直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据两直线平行求出m 的值，然后根据充分性和必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行，所以有1(32)m m m ⋅=⋅-且163m ⨯≠，解得1m =，所以直线1:30l mx y ++=与2:(32)60l m x my -++=平行"是“1m =”的充要条件.故选：C 【点睛】本题考查了充要条件的判断，考查了两直线平行求参数问题，考查了推理论证能力和数学运算能力.4．在等差数列{}n a 中，123a a +=，235a a +=，则910a a +=( ) A ．19 B ．19-C ．15D ．15-【答案】A【解析】根据等差数列的通项公式，结合已知，可得方程组，解方程组求出首项和公差，最后再利用等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设等差数列的公差为d ，由123a a +=，235a a +=可得：1119101111318919251a a d a a a a d a d a d a d d ++==⎧⎧⇒∴+=+++=⎨⎨+++==⎩⎩. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了数学运算能力. 5．若0a b <<，则下列结论不正确的是( ) A ．a b ->- BC ．22a b >D ．11a b> 【答案】B【解析】根据不等式的基本性质和作差比较法进行求解即可. 【详解】 A ：由10a ba b <⎧⇒->-⎨-<⎩，故本选项正确；B：由00a b a b <<⇒->->⇒>⇒>项是错误的；C ：因为0a b <<，所以0,0a b a b +<-<，因此2222()()0a b a b a b a b -=+->⇒>，故本选项是正确的；D ：因为0a b <<，所以0,0ab b a >->，因此11110b a a b ab a b--=>⇒>，故本选项是正确的. 故选：B 【点睛】本题考查了不等式的基本性质和作差比较法的应用，属于基础题.6．给出下列四个命题：①有的质数是偶数；②存在正整数x ，使得x 为29的约数；③有的三角形三个内角成等差数列；④与给定的圆只有一个公共点的直线是圆的切线.其中既是存在性命题又是真命题的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据存在性命题的定义进行判断即可. 【详解】①：因为2既是质数又是偶数，其他偶数都不是质数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；②：因为1和29都是29的约数，其他正整数都不是29的约数，所以本命题既是存在性命题又是真命题；③：因为当三角形一个内角为60︒，则三个内角成等差数列，所以本命题既是存在性命题又是真命题；④：因为任何与给定的圆只有一个公共点的直线就是圆的切线，所以本命题是全称命题不是特称命题，也就是不是存在性命题,因此共有3个命题既是存在性命题又是真命题. 故选：C 【点睛】本题考查了存在性合理的定义，考查了命题的真假判断，属于基础题.7．若不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，则a ，b ，c 的值可能为( ) A ．1，4，3 B ．1-，4，3-C ．1-，4-，3-D ．1，4-，3【答案】D【解析】根据一元二次不等式的解集性质进行求解即可. 【详解】因为不等式20ax bx c ++>的解集是{|1x x <或3}x >，所以有0134313a a b b a a c ac a ⎧⎪>>⎧⎪⎪⎪+=-⇒=-⎨⎨⎪⎪=⎩⎪⨯=⎪⎩，A ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项不符合题意；B ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；C ：当1a =-时，不符合0a >，故本选项不符合题意；D ：当1a =时，符合0a >，此时4,3b c =-=，故本选项符合题意. 故选：D 【点睛】本题考查了已知一元二次不等式的解集求参数问题，考查了数学运算能力.8．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若80S <，90S >，则当n S 最小时，n 的值为( ) A ．4 B ．5C ．8D ．15【答案】A【解析】根据等差数列前n 项和公式以及等差数列的下标性质进行求解即可. 【详解】因为90S >，所以有191955()9002002a a a a a a +⋅>⇒+>⇒>⇒>，又因为80S <，所以有18184554()8000002a a a a a a a a +⋅<⇒+<⇒+<>∴<Q ，说明等差数列的公差是正数，因此当4n =时，n S 最小. 故选：A 【点睛】本题考查了等差数列前n 项和公式，考查了等差数列下标的性质，属于中档题. 9．已知数列{}n a是等比数列，有下列四个命题：①是等比数列；②1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列；③{}1n n a a ++是等比数列；④{}1n n a a +⋅是等比数列，其中正确命题的序号是( ) A ．②④ B ．③④C ．②③④D ．①②③④【答案】A【解析】根据等比数列的性质和通项公式，结合举特例法进行判断即可. 【详解】①：当等比数列{}n a 的公比是负数时，显然数列{}n a 中，存在某些项是负数，没有意义，故本命题是假命题；②：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有111111111()n n n a a q a q --=⋅=⋅，因为11211111()1(2,)111()n n n n a a q n n N q a a q---⋅==≥∈⋅，所以1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列，故本命题是真命题；③：显然数列(1)n n a =-是以1-为首项，公比为1-的等比数列，但是10n n a a -+=，因此数列{}1n n a a ++不能成为等比数列，故本命题是假命题；④：因为数列{}n a 是等比数列，所以有11n n a a q -=，其中q 是等比数列的公比，因此有21111(2,)n n n n n n n na a a q a qq n n N a a a a +---⋅⋅⋅⋅==≥∈⋅⋅，因此数列{}1n n a a +⋅是等比数列，故本命题是真命题. 故选：A 【点睛】本题考查了等比数列的性质，考查了等比数列通项公式的应用，属于中档题.10．我国古代数学典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题：“今有蒲生一日，长三尺.莞生一日，长一尺，蒲生日自半，莞生日自倍，问几何日而长等？”翻译为现代汉语：今有蒲草第一天长高3尺，莞草第一天长高1尺.以后蒲草每天增长的长度是前一天增长的一半；而莞草每天增长的长度是前一天增长的两倍，问多少天蒲草、莞草高度相等？蒲草、莞草高度相等的时刻约在( ) A ．第1天 B ．第2天C ．第3天D ．第4天【答案】C【解析】根据题意，结合等比数列的前n 项和公式进行求解即可. 【详解】设第n 天，蒲草、莞草高度相等，由题意可知：213[1()]1(12)2(2)72602611212n nn n n ⋅-⋅-=⇒-⋅+=⇒=--或21n =，解得2log 6n =或0n =(不符合题意，舍去)，因为2222log 4log 6log 83=<<=，所以23n <<，由题意可知：蒲草、莞草高度相等的时刻约在第3天. 故选：C 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了等比数列的前n 项和公式的应用，考查了数学运算能力.二、多选题11．已知b 克糖水中有a 克糖()0b a >>，若再添加m 克糖()0m >，则糖水变得更甜.对于0b a >>，0m >，下列不等式正确的有：( ) A ．a a mb b m+<+ B ．a a mb b m ->- C ．a a bmb b am+<+ D ．a a bmb b am-<- 【答案】AC【解析】根据题意，可以得到一个不等式，根据这个不等式所反应的事实对四个选项逐一判断即可. 【详解】由题意可知，可以得到不等式，若0b a >>，0m >，则有a a m b b m+<+，因此选项A 是正确的；由该不等式反应的性质可得：a a am a bmb b am b am++<<++，因此选项C 是正确的；对于选项B ：假设a a mb b m->-成立，例如：当3,1,4b a m ===时，显然1143334->=-不成立，故选项B 不是正确的；对于选项D ：假设a a bmb b am-<-成立，例如：当3,1,1b a m ===时，显然113113311-⨯<=--⨯不成立，故选项D 不是正确的. 故选：AC 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学建模能力，考查了数学知识迁移能力，属于中档题.12．已知实数x ，y 满足21x y +=，则11x y+可能的值为( ) A ．0 B ．3C ．6D ．9【答案】CD 【解析】根据11x y+的特征和已知21x y +=，运用基本不等式求出当x ，y 为正实数时，11x y+的取值范围，然后对四个选项逐一判断即可.【详解】对于式子11x y +而言， ,x y 都不能为零，所以11x y+不能为零，选项A 不符合题意；当x ，y 为正实数时，11222333x y x y y x y y x y x x +=+=++≥+=+++（当且仅当2y xx y=时取等号，即x =时，取等号），显然633>+>+，故选项C 、D 符合题意；因为,x y 都不能为零，所以1122230x y x y y xy y x yx x ++=++++==不成立，故选项B 不符合题意. 故选：CD 【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了数学运算能力，属于中档题.13．对于数列{}n a ，若存在正整数k ()2k ≥，使得1k k a a -<，1k k a a +<，则称k a 是数列{}n a 的“谷值，k 是数列{}n a 的“谷值点”，在数列{}n a 中，若98n a n n=+-，则数列{}n a 的“谷值点”为( ) A ．2 B ．3C ．5D ．7【答案】AD【解析】由数列的通项公式求出前七项各项的值，然后根据题意进行求解即可,【详解】因为98n a n n=+-，所以123456783761292,,2,,,,,245278a a a a a a a a ========，当7,n n N ≥∈，9998088n n a n n n n n+->∴=+-=+-，此时数列单调递增， 21a a <，23a a <，76a a <，78a a <，所以数列{}n a 的“谷值点”为2，7. 故选：AD 【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了数学运算能力，考查了数列的单调性，属于中档题.三、填空题14．已知不等式231x x m->+的解集为M ，若1M ∈，则实数m 的取值范围为______________. 【答案】3<1m -<-【解析】根据集合与元素的关系，结合分式不等式的解法进行求解即可. 【详解】因为1M ∈，所以有21323110031111m m m m m--+>⇒->⇒<⇒-<<-+++.故答案为：3<1m -<- 【点睛】本题考查了集合与元素的关系，考查了分式不等式的解法，考查了数学运算能力. 15．在等比数列{}n a 中，若13541,4(1),a a a a ==-则7a =______ 【答案】4【解析】因为()35441,a a a =-所以233444744(1)2222 4.a a a q a a q =-∴=∴=∴==⨯=16．已知命题“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，则实数m 的取值范围为___________.【答案】5m ≥【解析】先求出不等式2430x x -+<的解集，然后对240x mx -+<进行常变量分离，构造函数，求出函数的值域，然后根据题意进行求解即可. 【详解】243013x x x -+<⇒<<,22440413x mx mx x x m x x-+<⇒>+<<∴>+Q ，设4()(13)f x x x x=+<<，函数在12x <<时单调递减，在23x <<时单调递增，所以有13(1)5,(2)4,(3)3f f f ===，因此函数4()(13)f x x x x=+<<的值域为[4,5)，因为“若2430x x -+<，则240x mx -+<”为真命题，所以有5m ≥. 故答案为：5m ≥ 【点睛】本题考查了已知命题是真命题求参数的取值范围，考查了构造法，考查了数学运算能力.17．已知x ，y 为正实数，定义22x y x y xy-⊗=.对于正实数x ，y ，若1x y ⊗=，则x y =______________；当(2)x y y x ⊗+⊗取最小值时，xy=_______________.【解析】根据定义，由1x y ⊗=，通过换元法，解一元二次方程求出xy的值；【详解】因为1x y ⊗=，所以有2211x y x yx y xy y x-⊗==⇒-=，因为x ，y 为正实数，所以令(0)x t t y =>，因此有21111100,22t t t t t t t +-=⇒--=⇒=>∴=；222222(2)2(2)222x y y x x y x y y x xy yx xy xy--+⊗+⊗=+=≥=x =时，取等号，此时xy=.【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了解一元二次方程，考查了重要不等式的应用，考查了数学运算能力.四、解答题18．在等差数列{}n a 中，已知：13a =-，58115a a =. （1）求数列{}n a 的公差.（2）求数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值，并指出此时正整数n 的值. 【答案】（1）2；（2）n S 最小值为4-，此时正整数n 的值为2.【解析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等式58115a a =进行求解即可；（2）由（1），结合等差数列的前n 项和公式，求出n S 的表达式，然后应用配方法进行求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为d ，由5811111511(4)5(7)3,2a a a d a d a d =⇒+=+=-∴=Q ，所以等差数列的公差为2；（2）因为13,2a d =-=，所以2211(1)4(2)42n na n n d n n n S =+-=-=--，当2n =时，n S 有最小值4-，此时正整数n 的值为2.【点睛】本题考查了等差数列的通项公式的应用，考查了等差数列前n 项和最小值问题，考查了数学运算能力.19．已知2()(6)6f x x a a x =+--，a R ∈. （1）解关于a 的不等式()10f >；（2）若不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，求实数a ，b 的值.【答案】（1）15a <<；（2）13a b =⎧⎨=⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【解析】（1）根据函数的解析式，结合解一元二次不等式的方法进行求解即可；（2）根据一元二次不等式的解集性质，结合根与系数进行求解即可. 【详解】（1）()221(6)1606510015a a a a a f +-⋅->⇒-+<⇒<⇒<>；（2）222()7(6)67(67)60f x x b x a a x x b a x a x b >-+--+⇒+->⇒-->-，由题意可知：不等式()7f x x b >-的解集为(,1)(3,)-∞-+∞U ，因此有：2113(67)3136a a ab b =⎧-+=---⎧⇒⎨⎨=-⨯=-⎩⎩或53a b =⎧⎨=⎩. 【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了已知一元二次不等式的解集求参数的值，考查了数学运算能力.20．已知等比数列{}n a 的前n 项和31nn S λ=⋅-，其中λ为实数.（1）求实数λ的值，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项的积12n n T a a a =⋅L .【答案】（1）1λ=,123n n a -=⋅；（2）(1)223n n n -⋅.【解析】（1）根据31nn S λ=⋅-，求出123,,a a a ，利用等比数列的性质，以及结合,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）根据等比数列的通项公式，结合等差数列前n 项的和公式进行求解即可. 【详解】（1）因为31nn S λ=⋅-，所以可得1122133231,6,18a S a S S a S S λλλ==-=-==-=,由等比数列的性质可知: 22213(6)(31)(18)1a a a λλλλ=⇒=-⋅⇒=或0λ=(不符合题意舍去),所以1λ=,因此31nn S =-,当2()n n N ≥∈时,11131(31)23n n n n n n a S S ---==---=⋅-,显然当1n =时,112a S ==也适合,因此123n n a -=⋅；（2）(1)121123(1)2122(23)(23)(23)2323n n n n n nn nT a a a --++++-=⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅=⋅L K L .【点睛】本题考查了已知等比数列前n 项的和求通项公式，考查了等差数列前n 项的和公式，考查了数学运算能力.21．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且2(1)2n n S n a =+--，*N n ∈.（1）令12n n n b a a ++=-，证明：数列{}n b 为常数数列，并求出{}n a 的通项公式；（2）若12111n n n nc a a a +=+++L ，求数列{}n c 的最大项的值. 【答案】（1）证明见详解，21n a n =-；（2）43. 【解析】（1）根据递推公式2(1)2n n S n a =+--，求出123,,a a a 的值，再对递推公式再递推一步，两个等式相减，再结合12n n n b a a ++=-，可以证明出数列{}n b 为常数数列，也就能求出{}n a 的通项公式；（2）判断数列的单调性，根据数列的单调性进行求解即可. 【详解】（1）因为2(1)2n n S n a =+--，所以可求出1231,3,5a a a ===，由2(1)2(1)n n S n a =+--，可得211(2)2(2)n n S n a ++=+--，(2)(1)-得：1223(3)n n a a n +-=+，可得：当2()n n N ≥∈时，1221(4)n n a a n --=+，因为12n n n b a a ++=-，所以(3)(4)-得：12n n b b -=，而120,0b b ==，所以数列0n b =，因此有12n n a a +-=，即说明数列{}n a 是公差为2等差数列，因此21n a n =-；（2）因为12111n n n nc a a a +=+++L ，所以有1112212211111n n n n n n c a a a a a +++++=+++++L ，因此12122111111167414321(41)(43)(21)n n n n n n c c a a a n n n n n n +++--=+-=+-++-++--=，因为n *∈N ，所以110n n n n c c c c ++-<⇒<，因此数列{}n c 是单调递减数列，所以当1n =，数列{}n c 有最大项，其值为1121114133c a a =+==+.【点睛】本题考查了由递推关系求数列的通项公式，考查了数列的单调性，考查了等差数列的定义，考查了数学运算能力.22．如图，一幅壁画的最高点A 处离地面4米，最低点B 处离地面2米.正对壁画的是一条坡度为1:2的甬道（坡度指斜坡与水平面所成角α的正切值），若从离斜坡地面1.5米的C 处观赏它.（1）若C 对墙的投影（即过C 作AB 的垂线垂足为投影）恰在线段AB （包括端点）上，求点C 离墙的水平距离的范围；（2）在（1）的条件下，当点C 离墙的水平距离为多少时，视角θ（ACB ∠）最大？【答案】（1）点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【解析】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，利用平行线成比例定理，结合锐角三角函数正切的定义进行求解即可；（2）利用两角和的正切公式、结合正切的定义，求出tan θ的表达式，利用换元法、基本不等式进行求解即可. 【详解】（1）如图所示：设(02),BF x x CF y =≤≤=，显然有1tan tan 2FGD α∠==，因此有2(2)tan DFFG x FGD==+∠，由//GE DF ,可得：1.52(2)22(2)CE CG x yDF GF x x +-=⇒=++，化简得：21y x =+，因为02x ≤≤，所以15y ≤≤，即点C 离墙的水平距离的范围为：1~5m m ；（2）222tan tan 2tan tan()21tan tan 21x x BCF ACF y y yBCF ACF x x BCF ACF y x x y yθ-+∠+∠=∠+∠===--∠⋅∠-+-⋅,因为21y x =+，所以有12y x -=，代入上式化简得： 2222228tan 11522()5622y y y y y x x y y yθ===---+-⋅++-，因为15y ≤≤，所以有55562564y y y y+-≥⋅=（当且仅当55y y =时取等号，即1y =时，取等号），因此有0tan 2θ<≤，因此当点C 离墙的水平距离为1m 时，视角θ（ACB ∠）最大.【点睛】本题考查两角和的正切公式的应用，考查了基本不等式的应用，考查了平行线成比例定理，考查了数学建模能力，考查了数学运算能力.23．若正整数数列{}n a ，{}n b 满足：对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，则称数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”.（1）已知数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，求证：数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）已知数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，且111a b ==，求证：“数列{}n a 是等差数列” 是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件.【答案】（1）证明见详解；（2）证明见详解.【解析】（1）根据错位相减法，结合等差数列和等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据充分不必要条件的定义，结合友好数列的定义进行证明即可. 【详解】（1）因为数列{}n a ，{}n b 的通项公式分别为21n a n =-，12n nb -=，所以有01211122123252(21)2n n n a b a b a b n -+++=⋅+⋅+⋅++-⋅L L ，令0121123252(21)2(1)n n S n -=⋅+⋅+⋅++-⋅L所以有1232123252(21)2(2)nn S n =⋅+⋅+⋅++-⋅L ，(2)(1)-得：1211(2)2(2)2(2)2(21)2n n n S n -=-+-⋅+-⋅++-⋅+-⋅L所以12(12)1(2)(21)2(23)2312n n n n S n n --=-+-⋅+-⋅=-⋅+-，而113(23)23nn n a b n -++=-⋅+，因此有对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，所以数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”；（2）因为数列{}n a ，{}n b 为“友好数列”，所以对任意2n ≥，*N n ∈，都有1122113(1)n n n n a b a b a b a b -++++=+L 恒成立，因此有11221123(2)n n n n n n a b a b a b a b a b ++++++=++L ，(2)(1)-得：112111112()n n n n n n n n n n n a b a b a b b a a a b +++-+++-+==-⇒+，若数列{}n a 是等差数列，则有11()2n n n a a a +-+=，已知数列{}n a 是正整数数列，因此有212n n b b ++=，因此数列{}n b 是等比数列；若数列{}n b 是等比数列，设公比为q ，则有11n n n q a a a +-+=，显然只有当2q =时，数列{}n a 是等差数列，因此由数列{}n a 是等差数列能推出数列{}n b 是等比数列，但由数列{}n b 是等比数列不一定能推出数列{}n a 是等差数列，因此“数列{}n a 是等差数列”是“数列{}n b 是等比数列”的充分不必要条件. 【点睛】本题考查了数列新定义问题，考查了充分不必要的证明，考查了等差数列和等比数列的定义的应用，考查了错位相减法，考查了数学运算能力.。

江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷(I)卷

江苏省苏州市2019-2020年度数学高二下学期理数期末考试试卷（I）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、单选题 (共12题；共24分)1. （2分）已知集合，集合，则等于（）A .B .C .D .2. （2分）已知实数a,b满足a+b>0,b<0，则a,b,-a,-b的大小关系是（）A . a>-b>b>-aB . a>b>-b>-aC . a>-b>-a>bD . a>b>-a>-b3. （2分） (2019高一上·临河月考) 函数的定义域是（）A .B .C .D .4. （2分） (2019高一上·集宁月考) 函数y=log （5+4x-x2）的单调递增区间为（）A . (2, 5)B . (-1,2)C . (-∞,2)D . (2,+∞)5. （2分）(2020·兴平模拟) “ ”是“ ”的（）条件A . 充分不必要B . 必要不充分C . 充要D . 既不充分也不必要6. （2分） (2017高一下·长春期末) 若x, y满足约束条件 ,则z=x+2y的取值范围是（）A .B .C .D .7. （2分）函数的单调递减区间是（）A .B .C .D .8. （2分） (2018高二上·宁德期中) 已知，函数的最小值是A . 6B . 5C . 4D . 39. （2分） (2016高一上·汉中期中) 定义在R上的偶函数在[0，7]上是增函数，又f（7）=6，则f（x）（）A . 在[﹣7，0]上是增函数，且最大值是6B . 在[﹣7，0]上是减函数，且最大值是6C . 在[﹣7，0]上是增函数，且最小值是6D . 在[﹣7，0]上是减函数，且最小值是610. （2分）下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A .B .C .D .11. （2分）某企业为节能减排，用9万元购进一台新设备用于生产．第一年需运营费用2万元，从第二年起，每年运营费用均比上一年增加2万元，该设备每年生产的收入均为11万元．设该设备使用了n（n∈N*）年后，年平均盈利额达到最大值（盈利额等于收入减去成本），则n等于（）A . 6B . 5C . 4D . 312. （2分） (2017高三上·静海开学考) 已知x∈（0，+∞）时，不等式9x﹣m•3x+m+1＞0恒成立，则m的取值范围是（）A . 2﹣2 ＜m＜2+2B . m＜2C . m＜2+2D . m二、填空题 (共3题；共3分)13. （1分） (2016高一上·仁化期中) 用“二分法”求方程x3﹣2x﹣5=0，在区间[2，3]内的实根，取区间中点为x0=2.5，那么下一个有根的区间是________．14. （1分）(2020·鹤壁模拟) 已知函数在函数的零点个数________．15. （1分）命题“∀x∈R，x2+x+1＞0”的否定是________ ．三、解答题 (共7题；共51分)16. （1分）函数g（x）是函数f（x）=loga（x﹣2）（a＞0，且a≠1）的反函数，则函数g（x）的图象过定点________17. （10分） (2018高二下·张家口期末) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点，直线与曲线交于两点.（1）当时，求两点的极坐标；（2）设，求的值.18. （10分） (2015高二上·柳州期末) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|．（1）当a=﹣4时，求不等式f（x）≥6的解集；（2）若f（x）≤|x﹣3|的解集包含[0，1]，求实数a的取值范围．19. （10分） (2017高三下·赣州期中) 在高中学习过程中，同学们经常这样说“如果物理成绩好，那么学习数学就没什么问题”某班针对“高中生物理对数学学习的影响”进行研究，得到了学生的物理成绩与数学成绩具有线性相关关系的结论，现从该班随机抽取5名学生在一次考试中的物理和数学成绩，如表：编号12345成绩物理（x）9085746863数学（y）1301251109590（参考公式：b= ， = b ，）参考数据：902+852+742+682+632=2939490×130+85×125+74×110+68×95+63×90=42595．（1）求数学y成绩关于物理成绩x的线性回归方程 = x+ （b精确到0.1），若某位学生的物理成绩为80分时，预测他的物理成绩．（2）要从抽取的这五位学生中随机选出三位参加一项知识竞赛，以X表示选中的学生的数学成绩高于100分的人数，求随机变量X的分布列及数学期望．20. （10分） (2016高二下·北京期中) 已知函数f（x）= x3﹣（a∈R）．（1）若a=1，求函数f（x）在[0，2]上的最大值；（2）若对任意x∈（0，+∞），有f（x）＞0恒成立，求a的取值范围．21. （5分） (2019高二上·浙江期中) 如图，已知是椭圆的一个顶点，的短轴是圆的直径，直线，过点P且互相垂直，交椭圆于另一点D，交圆于A，B两点Ⅰ 求椭圆的标准方程；Ⅱ 求面积的最大值．22. （5分）(2018·中山模拟) 设函数 .(Ⅰ)求函数的单调区间；(Ⅱ)若函数有两个极值点且，求证．参考答案一、单选题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共3题；共3分)13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共7题；共51分) 16-1、17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、。

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二(下)期末数学试卷

2019-2020学年江苏省淮安市淮阴中学高二（下）期末数学试卷1.（单选题，5分）集合A={x|-1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩B=（）A.{x|x＜1}B.{x|-1≤x≤2}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|-1≤x＜1}2.（单选题，5分）已知x与y之间的一组数据：A.（2，2）B.（1.5，4）C.（1，2）D.（2.5，4），2}，若幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）3.（单选题，5分）已知α∈{-3，-2，13上单调递减，则α的值为（）A.-3B.-2C. 13D.2的图象，只需把函数y=lgx的图象上所有的点4.（单选题，5分）为了得到函数y=lg x−310（）A.向左平移3个单位长度，再向上平移I个单位长度B.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度C.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度D.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度＞1的解集为（）5.（单选题，5分）不等式x2−x−4x−1A.{x|x＜-1或x＞3}B.{x|x＜-1或1＜x＜3}C.{x|-1＜x＜1或x＞3}D.{x|-1＜x＜1或1＜x＜3}6.（单选题，5分）已知随机变量X～N（2，σ2），P（X≤4）=0.8，那么P（2≤X≤4）的值为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.87.（单选题，5分）用数字0，1，2，3，4这五个数字组成的无重复数字的四位偶数的个数为（）A.64B.88C.72D.608.（单选题，5分）若存在实数x使得不等式|x+1|-|x-1|≤a2-3a成立，则实数a的取值范围为（）A.（-∞，3−√172]∪[ 3+√172，+∞）B.（-∞，-2]∪[1，+∞）C.[1，2]D.（-∞，1]∪[2，+∞）9.（单选题，5分）设a，b都是不等于1的正数，则“log a3＞log b3＞1”是“3a＜3b”的（）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件10.（单选题，5分）（x2+2）3（1x2-1）7展开式中常数项是（）A.15B.-15C.7D.-711.（多选题，5分）下列说法正确的是（）A.函数y= x2x与函数y=log33x是同一函数B.函数y= √16−4x的值域是（-∞，4]C.若奇函数f（x）对定义域内任意x都有f（x）=f（2-x），则f（x）为周期函数D.函数y=|x|sinx为R上奇函数12.（多选题，5分）已知函数f （x ）= {2x +1，x ≤0|log 2x |−1，x ＞0，则方程f 2（x ）-2f （x ）+a 2-1=0的根的个数可能为（）A.2B.6C.5D.413.（填空题，5分）函数f （x ）= √1−log 2x 的定义域是 ___ ．14.（填空题，5分）设函数f （x ）=x 3+（a-1）x 2+ax 为奇函数，则曲线y=f （x ）在点x=1处的切线方程为___ ．15.（填空题，5分）设0＜p ＜1，随机变量ξ的分布列是16.（填空题，5分）已知动抛物线y=x 2+ax+b （其中a∈R ，b≤0）与动直线y=t （t≥1）交于A 、B 两点且与动直线y=t+1交于C 、D 两点，ABCD 构成一个梯形，S 为这个梯形的面积，AD 为其一腰长，则 14 S 2+16AD 2的最小值为___ ．17.（问答题，10分）设（1+2x ）n =a 0+a 1x+…+a n x n ，其中n∈N*，a 0，a 1，……，a n ∈R ．（1）若n=6，写出二项展开式第四项；（2）若n=8，求出a 0+a 2+a 4+a 6+a 8的值．18.（问答题，12分）现有大小相同的7只球，其中2只不同的红球，2只不同的白球，3只不同的黑球．（1）将这7只球排成一列且相同颜色的球必须排在一起，有多少种排列的方法？（请用数字作答）（2）将这7只球分成三堆，三堆的球数分别为：1，3，3，共有多少种分堆的方法？（请用数字作答）（3）现取4只球，求各种颜色的球都必须取到的概率．（请用数字作答）19.（问答题，12分）设函数f（x）=a x+mb x，其中a，m，b∈R．（1）若a=2，b= 12且f（x）为R上偶函数，求实数m的值；（2）若a=4，b=2且f（x）在R上有最小值，求实数m的取值范围；（3）a∈（0，1），b＞1，解关于x的不等式f（x）＞0．20.（问答题，12分）设U=R，A={x||x+1|＞1}，B={x|x2+（m+1）x+3m＜0}．（1）求集合A；（2）若B=∅，求实数m的取值范围；（3）若A∪B=R，求实数m的取值范围．21.（问答题，12分）江苏实行的“新高考方案：3+1+2”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门：“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门．某校根据统计选物理的学生占整个学生的34；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为23；在选历史的条件下，选地理的概率为45．（1）求该校最终选地理的学生概率；（2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．① 求随机变量X=2的概率；② 求X的概率分布表以及数学期望．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=xlnx，函数g（x）=x3-ax2，a为实数．（1）若g（x）≥a2在[1，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（2）求证：实数b＞0时，f（x）-b在（1，+∞）仅有一个零点；（3）若h（x）=-g（x），是否存在实数x1，x2，其中x1＞1，x2＞0，使得f（x）在x1处的切线与h（x）在x2处的切线重合，若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由．。

江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期学业质量阳光指标调研(期末)数学试题含答案

江苏省苏州市2019-2020学年高二下学期学业质量阳光指标调研数学试题一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共计40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上） 1．下列导数运算正确的是A ．1C '=（C 为常数）B ．211()x x '=C ．(e )e xx'=（e 为自然对数的底数） D ．(sin )cos x x '=- 2．已知2i 1iz=++（i 是虚数单位），则复数z 的共轭复数z ＝ A ．1﹣3i B ．﹣1﹣3i C ．﹣1＋3i D ．1＋3i 3．函数()f x x a =+图象的对称轴为直线x ＝1，则实数a ＝A ．﹣1B ．0C ．1D ．1或﹣1 4．已知随机变量ξ服从正太分布N(1，2σ)，若P(ξ＜4)＝0.8，则P(﹣2＜ξ＜1)＝ A ．0.2 B ．0.3 C ．0.5 D ．0.6 5．3523()x x-展开式中的常数项是 A ．﹣270 B ．﹣90 C ．90 D ．270 6．现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p ，且12＜p ＜l ，则恰有三个人译出密码的概率是A ．335C pB ．2235(1)C p p - C ．3325(1)C p p -D ．2251(1)C p -- 7．若椭圆2255x ky +=的一个焦点是(0，2)，则实数k ＝ A ．521B ．1C ．15D ．25 8．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是A ．8B ．12C ．16D ．24二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．在每小题给出的四个选项中，至少有两个是符合题目要求的，请把答案添涂在答题卡相应位置上）9．下图展示了2月14日至29日肺炎疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是A ．16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大B ．16 天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500C ．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量D ．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和 10．已知定义域为R 的函数()f x ，且函数()f x y x'=的图象如右图，则下列结论中正确的是A ．(1)(1)0f f ''=-=B ．函数()f x 在区间(-∞，﹣1)上单调递增C ．当x ＝1时，函数()f x 取得极小值D ．方程()0f x '=与()0f x =均有三个实数根 11．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为线段BC 1上的一个动点，下列结论中正确的是 A ．A 1D ⊥D 1PB ．平面PAD 1⊥平面BCC 1B 1C ．存在唯一的点P ，使得∠CPD 1为90° D ．当点P 为BC 1中点时，CP ＋PD 1取得最小值12．已知P 是双曲线C ：2214x y m-=上任意一点，A ，B 是双曲线的两个顶点，设直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k (120k k ≠)，若12k k t +≥恒成立，且实数t 的最大值为1，则下列说法正确的是A ．双曲线的方程为2214x y -= B ．双曲线的离心率为5C ．函数log (15)a y x =++(a ＞0，a ≠1)的图象恒过双曲线C 的一个焦点D ．直线x ﹣y ＝0与双曲线C 有两个交点三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共计20分．其中第16题共有2空，第一个空2分，第二个空3分；其余题均为一空，每空5分．请把答案填写在答题卡相应位置上） 13．不等式2log 5x a -<对任意x ∈[4，16]恒成立，则实数a 的取值范围为． 14．如图，直线l 是曲线()y f x =在x ＝4处的切线，则(4)(4)f f '+＝．15．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为． 16．已知F 为抛物线22x py =(p ＞1)的焦点，点A(1，p )，M 为抛物线上任意一点，MA +MF 的最小值为3，则p ＝；若线段AF 的垂直平分线交抛物线于P ，Q两点，则四边形APFQ 的面积为．（本题第一空2分，第二空3分）四、解答题（本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分）解下列关于x 的不等式：（1）(2)1(3)x x x x +-≥-；（2）237223x x x -≥+-．18．（本小题满分12分）已知函数1()lg1xf xax+=+(a≠1)为奇函数．（1）求实数a；（2）设函数2()()12xg x f x=++．①求11()()22g g+-；②试证明函数()g x的图象关于点(0，1)对称．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）若E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CD⊥EF；（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为35，求二面角P—BC—A的余弦值．20．（本小题满分12分）苏州市从2020年6月1日起推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节，为了解居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如下：得分[30，40) [40，50) [50，60) [60，70) [70，80) [80，90) [90，100] 男性人数40 90 120 130 110 60 30女性人数20 50 80 110 100 40 20（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试，试估计其得分不低于60分的概率；（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分不太了解比较了解总计男性女性总计（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同m (m N*∈)名男性调查员一起组成3个环保宜传组，若从这m＋10人中随机抽取3人作为组长，且男性组长人数ξ的期望不小于2，求m的最小值．附公式及表如下：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．P(20K k ≥)0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821．（本小题满分12分）如图，已知椭圆E ：22221x y a b +=(a ＞b ＞0)的右焦点为F(1，0)，离心率e ＝12，过F 作一直线l 1交椭圆E 于A ，B 两点（其中A 在x 轴的上方），过点A 作直线l 2：x ＝4的垂线，垂足为C ．（1）求椭圆E 的方程；（2）问：在x 轴上是否存在一个定点T ，使得B ，T ，C 三点共线？若存在，求出T 的坐标;若不存在，请说明理由．22．（本小题满分12分）对于函数()f x ，()g x ，如果存在实数s ，使得()()f s g s =，()()f s g s ''=同时成立，则称函数()f x 和()g x 互为“亲密函数”．若函数32()f x ax bx cx d =+++，()e xg x =（其中a ，b ，c ，d 为实数，e 为自然对数的底数）．（1）当a ＝0，b ＝﹣l ，c ＝d ＝1时，判断函数()f x 和()g x 是否互为“亲密函数”，并说明理由；（2）当b ＝c ＝d ＝0时，若函数()f x 和()g x 互为“亲密函数”，求证：对任意的实数x 都满足()()f x g x ≤．。

2019-2020学年江苏省苏州市昆山市苏教版二年级上册期末测试数学试卷

………○__________班…○…………绝密★启用前2019-2020学年江苏省苏州市昆山市苏教版二年级上册期末测试数学试卷试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明一、选择题 1．6×5可以用算式（）表示。

A ．6＋5 B ．6＋6＋6＋6C ．5＋5＋5＋5＋5＋52．28个，可以搭（）个。

A ．9B ．7C ．63．小星、小军、小明三人拍皮球，小军拍得比小星多，小明拍得比小星少。

（）拍得最多。

A ．小星B ．小军C ．小明4．一根彩带原来长1米，剪去60厘米后，把剩下的彩带平均分成了5小段，每小段长（）厘米。

A ．40B ．8C ．65．9×□＜8×8，□里最大能填（）。

A ．9B ．8C ．76．小明看到的是第（）幅图。

…线…………………○…………装…A ．B ．C ．第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、口算和估算 7．直接写出得数。

9×4＝ 54÷6＝ 42－6＝ 9×8＝ 7÷7＝ 81÷ 9＝ 7×9＝ 18÷3＝ 35＋5＝ 7×8＝ 20÷5＝ 8×5＝ 64÷8＝ 6×7＝ 63÷9＝ 41－9＝ 2×2×2＝ 72÷8÷3＝ 9＋3×5＝ 30÷6×7＝ 6×8－8＝ 32－2－20＝ 7×4－4＝ 24÷4＋50＝三、竖式计算 8．用竖式计算。

86－52＋38＝ 53＋27－35＝ 74－30－7＝ 39＋27＋23＝四、看图列式 9．看图填算式。

装…………○………订…………○………线…………姓名：___________班级：_____考号：___________…………○…………线…………………………○…………内………○…………装…10．看图填算式。

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷(含答案解析)

2019-2020学年淮安市高中校协作体高二下学期期中数学试卷一、单空题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 已知i 是虚数单位，则i 2014= ______ ．2. 若z =−1+√3i(其中i 为虚数单位)，则z 3= ______ ．3. 从集合{−1,1，2，3}中任意取出两个不同的数记作m ，n ，则方程x 2m+y 2n=1表示焦点在x 轴上的双曲线的概率是______．4. 已知(3x +1)(x +m)6的展开式中x 5的系数为3，则m =______5. 已知(x 13−2x)n 的展开式中，各项的系数与它的二项式系数和的差为−33，则n =______． 6. 因指数函数y =a x 是增函数(大前提)，而y =(13)x 是指数函数(小前提)，所以y =(13)x 是增函数(结论)，上面推理错误的原因是______ 是错误的(填大前提或小前提或结论)．7. 已知S n =1n+1+1n+2+⋯+12n ，n ∈N ∗，利用数学归纳法证明不等式S n >1324的过程中，从n =k到n =k +l(k ∈N ∗)时，不等式的左边S k+1=S k +______． 8. 如图，正方形边长为，分别作边上的三等分点，得正方形，再分别取边上的三等分点，得正方形，如此继续下去，得正方形，……，则正方形的面积为．9. 已知点A(1,2，3)，B(0,1，2)，C(−1,0，λ)，若A ，B ，C 三点共线，则λ=______．10. 若直线l 的方向向量为a⃗ =(1,0，2)，平面α的法向量为u ⃗ =(−2,0，−4)，则直线与平面的位置关系是______ ．11. 已知向量a ⃗ =(2,−1,2)，b ⃗ =(−4,2，m)，且a ⃗ //b⃗ ，则m 的值为______ ． 12. 已知空间三点A(0,2，3)，B(2,5，2)，C(−2,3，6)，则以AB ，AC 为邻边的平行四边形的面积为______．13. 已知点M ，N 是椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点，直线OM 与直线ON 的斜率之积为b 2a 2(O 为坐标原点)，P 为平面内任意一点．研究发现：若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=2；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =2OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +2ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=5；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b 2=10；若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +3ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则点p 的轨迹方程为x 2a 2+y 2b2=10；根据上述研究结果，可归纳出：OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =m OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +n ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m,n ∈N ∗)则点p 的轨迹方程为______ ． 14. 14.，则。

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷及解析

江苏省苏州市常熟市2019-2020学年高二下学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知复数1z i =-（其中i 是虛数单位），则复数z 的虛部为（） A.1-B.i -C.1D.i2.火车开出车站一段时间内，速度v （单位：m/s ）与行驶时间t （单位：s ）之间的关系是()20.40.6v t t t =+，则火车开出几秒时加速度为2.8m/s 2？（）A.32s B.2s C.52s D.73s 3.在正方体1111ABCD A B C D -中，平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的正弦值为（）D.134.有6个人排成一排拍照，其中甲和乙相邻，丙和丁不相邻的不同的排法有（） A.240种B.144种C.72种D.24种5.若函数()332f x x bx =-+在区间()2,3内单调递增，则实数b 的取值范围是（） A.4b ≤B.4b <C.4b ≥D.4b >6.如图，在圆锥PO 的轴截面PAB 中，60APB ∠=︒，有一小球1O 内切于圆锥（球面与圆锥的侧面、底面都相切），设小球1O 的体积为1V ，圆锥PO 的体积为V ，则1:V V 的值为（）A.13B.49C.59D.237.若函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，则实数a 的取值范围是（）A.1,e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B.10,e ⎛⎫⎪⎝⎭C.()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭D.()1,00,e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭8.从0，1，2，3，…，9中选出三个不同数字组成一个三位数，其中能被3整除的三位数个数为（） A.252B.216C.162D.228第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9.复数z 满足z i=（其中i 是虛数单位），则复数z 的模等于______. 10.设函数()f x 满足()()2311f x x f x '=++，则()3f 的值为______.11.用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中五个区域进行涂色，要求相邻区域所涂颜色不同，共有______种不同的涂色方法.（用数字回答）三、解答题（题型注释）12.已知复数(),z a bi a b R =+∈满足3z i +为实数，2zi-为纯虚数，其中i 是虚数单位. （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数()2125z z m m i =++-在复平面内对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围.13.已知函数()ln f x ax bx x =+，()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，其中e 是自然对数的底数.（1）求实数a ，b 的值；（2）求函数()f x 的极值.14.某班有6名同学报名参加校运会的四个比赛项目，在下列情况下各有多少种不同的报名方法，（用数字回答）（1）每人恰好参加一项，每项人数不限；（2）每项限报一人，且每人至多参加一项；（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加.15.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，4PA AD ==，2AB =，M 是PD 上一点，且BM PD ⊥.（1）求异面直线PB 与CM 所成角余弦的大小；（2）求点M 到平面PAC 的距离.16.如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，//AB CD ，3AB AC AD ===，4PA CD ==，E 为线段AB 上一点，2AE EB =，M 为PC 的中点.（1）求证：//EM 平面PAD ；（2）求直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值. 17.已知()221()ln ,x f x a x x a R x-=-+∈．（Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a =时，证明()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立．四、新添加的题型）A.若()2211x f x x -=+，则()()2241x f x x '=+ B.若()2x f x e =，则()2x f x e '=C.若()f x =()f x '=D.若()cos 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则()sin 23f x x π⎛⎫'=-- ⎪⎝⎭19.下面四个命题中的真命题为（） A.若复数z 满足1R z∈，则z R ∈ B.若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C.若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z = D.若复数z R ∈，则z R ∈ 20.以下关于函数()21f x x x=+的说法正确的是（） A.函数()f x 在0,上不单调B.函数()f x 在定义域上有唯一零点C.函数()f xD.x =()f x 的一个极值点21.（多选题）如图，在菱形ABCD 中，2AB =，60BAD ∠=，将ABD △沿对角线BD 翻折到PBD △位置，连结PC ，则在翻折过程中，下列说法正确的是（）A.PC 与平面BCD 所成的最大角为45B.存在某个位置，使得PB CD ⊥--的大小为90时，PC=C.当二面角P BD CD.存在某个位置，使得B到平面PDC22.已知四面体ABCD的所有棱长均为a，则对棱AB与CD间的距离为______，该四面体的外接球表面积为______.参考答案1.A【解析】1.利用复数的除法运算化简，再得到复数z 的虛部.21i z i =-2(1)1(1)(1)i i i i i --==--+--，则复数z 的虛部为1-. 故选：A 2.B【解析】2.计算()'v t ，根据()'v t 的物理意义，代入() 2.8='v t ，简单计算可得结果. 由题可知：()20.40.6v t t t =+，所以()=0.4+1.2'v t t 则()2.8=0.4+1.22⇒=t t s 所以火车开出2s 时加速度为2.8m/s 2 故选：B 3.C【解析】3.连AC 交BD 于O ，连1A O ，证明BD ⊥平面11AAC C ，从而有1,AC BD AO BD ⊥⊥，1AOA ∠或（补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 所成二面角的平面角，在1Rt AOA 中求出11,AO AA 关系，即可得出结论.连接AC 交BD 于点O ，连1A O ，如下图所示，因为1AA ⊥平面ABCD ，所以11,A AA BD AC BD A C A A ⊥⊥=，，BD ⊥平面111,AAC C AO ⊂平面111,AAC C BD AO ⊥，所以1AOA ∠（或补角1A OC ∠）为平面1A BD 与平面ABCD 的平面角，在△A 1OA 中，设AA 1＝a ，则AO 2=a ，12A O a =，1111sin sin2AAAOC AOAAO∠=∠===所以平面1A BD与平面ABCD.故选：C．4.B【解析】4.甲和乙相邻，捆绑法，丙和丁不相邻用插空法，即先捆甲和乙，再与丙和丁外的两人共“3人”排列，再插空排丙和丁.甲和乙相邻，捆绑在一起有22A种，再与丙和丁外的两人排列有33A种，再排丙和丁有24A种，故共有22A33A24A144=种.故选：B5.A【解析】5.先对函数求导，根据函数在区间()2,3内单调递增，转化为导函数大于等于0，然后分离常数b，根据最值求得b的取值范围.3()32f x x bx=-+，2()33f x x b'=-，∵函数()332f x x bx=-+在区间()2,3内单调递增，∴导函数2()33f x x b'=-0,(2,3)x≥∈恒成立，则2,(2,3)b x x≤∈恒成立，故4b≤.故选：A．6.B【解析】6.采用数形结合，假设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R，然后计算=r R ，可得R =，然后根据体积公式简单计算，可得结果.如图设小球1O 的半径为r ，圆O 的半径为R 由1△△POB PMO 所以11=PO O MPB OB由60APB ∠=︒，所以tan tan 603=∠==OP R OBP R R2sin2==∠OBPB RAPB所以=r RR =所以3323141,3333πππ==⋅==r R V V R r所以149=V V ，故选：B 7.C【解析】7.首先能判断出0x=是函数的零点，问题转化为xxa e =有一个非零根，构造函数，研究其图象的走向，从而得出结果.函数()2x x f x ax e =-存在两个不同零点，等价于2x x ax e=有两个不同的解，0x =满足条件，所以xxa e =有一个非零根，令()x x g x e =，21'()x x xx e xe xg x e e--==，当1x >时，)'(0g x <，1x <时，'()0g x >，所以()g x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，且当(,1)x ∈-∞时，1()(,)f x e ∈-∞，当(1,)x ∈+∞时，1()(0,)f x e∈，所以xx a e =有一个非零根时，实数a 的取值范围是()1,0e ⎧⎫-∞⋃⎨⎬⎩⎭，故选：C. 8.D【解析】8.根据题意将10个数字分成三组:即被3除余1的有1，4，7；被3除余2的有2，5，8；被3整除的有3，6，9，0，若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:每组自己全排列，每组各选一个，再利用排列与组合的知识求出个数，进而求出答案.解:将10个数字分成三组，即被3除余1的有{1,4,7}，被3除余2的有{2,5,8}，被3整除的有{3,6,9,0}.若要求所得的三位数被3整除，则可以分类讨论:①三个数字均取自第一组{1,4,7}中，或均取自第二组{2,5,8}中，有33212A =个；②若三个数字均取自第三组{3,6,9,0}，则要考虑取出的数字中有无数字0，共有324318A A -=个；③若三组各取一个数字，第三组中不取0，有11133333162C C C A ⋅⋅⋅=个， ④若三组各取一个数字，第三组中取0，有112332236C C A ⋅⋅⋅=个，这样能被3整除的数共有12+18+162+36228=个. 故选：D.【解析】9.利用复数的运算法则和模的计算公式即可得出结果． ∵3iz i-=， ∴223331131i i i i i z i i --+===---=，∴|z |=10.1【解析】10.先对函数求导，再令1x =，求出'(1)f 的值，代入原函数中，再令3x =可求出(3)f .由()()2311f x x f x '=++，得''()23(1)f x x f =+，令1x =，则''(1)23(1)f f =+，解得'(1)1f =-，所以()231=-+f x x x ，令3x =，则(3)9911f =-+=，解得(3)1f = 故答案为：1 11.240【解析】11.根据分步计数原理与分类计数原理，列出每一步骤及每种情况，计算即可. 从A 开始涂色，A 有4种方法，B 有3种方法， ①若E 与B 涂色相同，则,C D 共有23A 种涂色方法； ②若E 与B 涂色不相同，则E 有2种涂色方法，当,C E 涂色相同时，D 有3种涂色方法；当,C E 涂色不相同时，C 有2种涂法，D 有2种涂色方法.共有()2343432322240A ⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=种涂色方法.故答案为：240.12.（1）32a =-；3b =-；（2）34m <<【解析】12.（1）根据3z i +为实数，求得3b =-，利用复数的除法运算法则，化简2zi-，利用其为纯虚数，求得32a =-；（2）将所求值代入，确定出()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，根据其在复平面内对应的点在第四象限，列出不等式组，求得结果.（1）因为()33z i a b i +=++为实数，所以3b =-，因为()()()()()()32236322225a i i a a i z a i i i i i -+++--===---+为纯虚数，所以32a =-．（2）332z i =--，332z i =-+，所以()213222z m m i ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭，因为复数1z 在复平面内对应的点在第四象限，所以2320220m m ⎧->⎪⎨⎪-<⎩，解之得34m << 13.（1）11a b =⎧⎨=-⎩；（2）极大值1；()f x 无极小值..【解析】13.（1）计算()f e ，()f e '，根据函数在x e =处的切线方程，简单计算可得结果. （2）根据（1）的结论，可得()ln f x x x x =-，然后利用导数，判断原函数的单调性，找到极值点，最后计算可得结果.（1）由()ln f x ax bx x =+，得()()1ln f x a b x '=++，由()f x 在x e =处的切线方程是0x y e +-=，知切点为(),0e ，斜率为1-，所以()()()021f e a b e f e a b ⎧=+=⎪⎨=+=-'⎪⎩，解之得11a b =⎧⎨=-⎩．（2）()ln f x x x x =-，()ln f x x '=-，令()0f x '=，得1x =，由表可知，当1x =时，f x 取得极大值1；)f x 无极小值. 14.（1）4096种；（2）360种；（3）1560种.【解析】14.（1）根据分步计数原理直接计算可得64，然后可得结果. （2）依据题意，计算46A ，可得结果.（3）先分组，可得22364622+C C C A ，后排列，可得2234646422⎛⎫+ ⎪⎝⎭C C C A A ，简单计算可得结果. （1）每人都可以从这四个项目中选报一项，各有4种不同的选法，由分步计数原理知共有644096=种．（2）每项限报一人，且每人至多报一项，因此可由项目选人，第一个项目有6种不同的选法，第二个项目有5种不同的选法，第三个项目有4种不同的选法，第四个项目有3种不同的选法，由分步计数原理得共有报名方法466543360A =⨯⨯⨯=种．（3）每人限报一项，人人参加，且每个项目均有人参加，因此需将6人分成4组，有2236462215620652C C C A ⨯+=+=种．每组参加一个项目，由分步计数原理得共有()22346464222045241560C C C A A ⎛⎫+=+⨯= ⎪⎝⎭种． 15.（1；（2.【解析】15.（1）连BD 交AC 于O ，连MO ，根据已知可得BP BD =，得出M 为PD 中点，从而有//OM PB ，OMC ∠（或补角）就为所求的角，分别求出,,OM OC MC ，即可得出结论；或建立空间直角坐标系，确定,,,P B M C 坐标，利用向量夹角公式，也可求解.（2）点M 到平面PAC 的距离等于点D 到平面PAC 距离的一半，由PA ⊥平面ABCD ，过D 做DN AC ⊥于N ，可证DN ⊥平面PAC ，即可求出结论；或求出,PAC ACD △△的面积，用等体积法也可求解；或建立空间直角坐标系，求出平面PAC的法向量，利用空间向量点到面的距离公式亦可求解. （1）连BD 交AC 于O ，连MO ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA AB PA CD ⊥⊥，在Rt PAB中，4,2,PA AB PB ====，又因为底面ABCD 是矩形，所以O 为BD 中点，2,4AB AD ==，所以BD PB ==，因为M 是PD 上一点，且BM PD ⊥，所以M 为PD 中点，1//,2MO PB MO PB =，所以OMC ∠（或补角）就为PB 与CM 所成的角，因为,,PA CD AD CD PAAD A ⊥⊥=所以CD ⊥平面,PAD CD PD ⊥，MC ==，1122MO PB CO AC ====2cos MCOMC MO ∠===所以异面直线PB 与CM所成角余弦值为5；（2）解1：过D 做DN AC ⊥于N ，PA ⊥平面ABCD ，所以,PA DN PAAC A ⊥=，所以DN ⊥平面PAC ，DN 为点D 到平面PAC 的距离，在Rt ACD △中，CD DA DN AC ⋅==，又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC．解2：因为Rt BCE ，PA ⊥平面ABCD ，所以111162443323P ACD ACD V S PA -⎛⎫=⋅=⨯⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，在Rt ADC 中，AC ==11422PAC S AC PA =⋅=⨯=△设点D 到平面PAC 的距离为h ，则13D PAC PAC V S h -=⋅=△，由P ACD D PAC V V --=，得1633=，所以h =．又M 是PD 中点，所以点M 到平面PAC ．解法二：分别以AB ，AD ，AP 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，（1）()()()()()0,0,0,2,442,0,0,0,4,0,0,0,,0,A P C B D则()2,0,4PB =-，()2,4,4PC =-，()0,4,4PD =-，设()01PM PD λλ=≤≤，则()0,4,4PM λλ=-，所以()2,4,44BM PM PB λλ=-=--，由BM PD ⊥，知()0164440BM PD λλ⋅=+--=，所以12λ=，M 为PD 中点，所以()0,2,2M ，()2,2,2CM =--，cos ,2PBCM PB CM PB CM⋅===．所以异面直线PB 与CM 所成角的余弦值为5．（2）()0,0,4AP =，()2,4,0AC =，设平面PAC 的法向量为(),,n x y z =，由00AP n AC n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得40240z x y =⎧⎨+=⎩，所以0z =，取2x =，得1y =-，所以()2,1,0n =-是平面PAC 的一个法向量．所以点M 到平面PAC 的距离为22CM n n⋅-==． 16.（1）证明见解析；（2.【解析】16.（1）取PD 中点N ，连接AN ，MN ，证明//EM AN ，再证得//EM 平面PAD ；（2）连接PE ，先证CE AB ⊥，证得CE ⊥面PAB ，再作⊥AF PE 交PE 于F，连接MF ，证得AF ⊥面PEC ，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角，再求出AMF∠的正弦值.（1）证明：取PD 中点N ，连接AN ，MN ，因为M 为PC 的中点，所以//MN CD 且12MN CD =，又223AE AB ==，4CD =，且//AB CD ，则//MN AE ，且MN AE =，所以四边形AEMN 为平行四边形，则//EM AN ．又因为EM ⊄平面PAD ，AN ⊂平面PAD ，所以//EM 平面PAD ．（2）解：在ACD △中，22291692cos 22343AC CD AD ACD AC CD +-+-∠===⋅⨯⨯，因为//AB CD ，所以2cos 3BAC ∠=，在ACE △中，22222cos 4922353CE AE AC AE AC BAC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯⨯=，由222AE CE AC +=，知CE AB ⊥．因为PA ⊥底面ABCD ，CE ⊂底面ABCD ，所以CE PA ⊥，又PAAB A =，PA ⊂平面PAB ，AB 平面PAB ，所以CE ⊥平面PAB ．在平面PAB 内，过点A 作⊥AF PE ，交PE 于F ，连接FM ，则CE AF ⊥，又PECE E =，CE ⊂平面PCE ，PE ⊂平面PCE ，所以AF ⊥平面PCE ，所以FM 是AM 在平面PCE 内的射影，则AMF ∠为直线AM 与平面PCE 所成角．在Rt PAC △中，M 为PC 的中点，所以1522AM PC ===，在Rt PAE 中，由PA AE PE AF ⋅=⋅，得5PA AE AF PE ⋅===，所以sin 25AF AMF AM ∠==所以直线AM 与平面PCE 所成角的正弦值为25． 17.（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析【解析】17.试题（Ⅰ）求()f x 的导函数，对a 进行分类讨论，求()f x 的单调性；（Ⅱ）要证()3()'2f x f x +＞对于任意的[]1,2x ∈成立，即证3()'()2f x f x ->，根据单调性求解. 试题解析：（Ⅰ）的定义域为；223322(2)(1)'()a ax x f x a x x x x--=--+=. 当，时，'()0f x >，单调递增；(1,),'()0x f x ∈+∞<时，单调递减.当时，3(1)22'()()()a x f x x x x a a-=+-. （1），，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减；（2）时，，在x ∈内，'()0f x ≥，单调递增；（3）时，，当或x ∈时，'()0f x >，单调递增；当x ∈时，'()0f x <，单调递减.综上所述，当时，函数在内单调递增，在内单调递减；当时，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增；当时，在内单调递增；当，在内单调递增，在内单调递减，在内单调递增.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，时，22321122()'()ln (1)x f x f x x x x x x x --=-+---+23312ln 1x x x x x =-++--，，令，.则()'()()()f x f x g x h x -=+，由1'()0x g x x-=≥可得，当且仅当时取得等号.又24326'()x x h x x--+=，设，则在x ∈单调递减，因为，所以在上存在使得时，时，，所以函数()h x 在上单调递增；在上单调递减，由于，因此，当且仅当取得等号，所以3()'()(1)(2)2f x f xgh ->+=，即3()'()2f x f x >+对于任意的恒成立。

2019-2020年高二下学期期末数学试卷(文科)含解析

2019-2020年高二下学期期末数学试卷（文科）含解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞04．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．58．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.0049．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=_______．12．函数y=的值域为_______．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是_______．14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于_______．15．已知函数则的值为_______．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行_______次才停止；若运算进行3次才停止，则x的取值范围是_______．三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？20．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．2015-2016学年北京市东城区高二（下）期末数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，A={x|x（x﹣2）＜0}，B={x|x﹣1＞0}，则A∩B=（）A．（﹣2，1）B．[1，2）C．（﹣2，1] D．（1，2）【考点】交集及其运算．【分析】先求出不等式x（x﹣2）＜0的解集，即求出A，再由交集的运算求出A∩B．【解答】解：由x（x﹣2）＜0得，0＜x＜2，则A={x|0＜x＜2}，B={x|x﹣1＞0}={x|x＞1}，∴A∩B═{x|1＜x＜2}=（1，2），故选D．2．已知数列…，则2是这个数列的（）A．第6项B．第7项C．第11项D．第19项【考点】数列的概念及简单表示法．【分析】本题通过观察可知：原数列每一项的平方组成等差数列，且公差为3，即a n2﹣a n﹣12=3从而利用等差数列通项公式an2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1=20，得解，n=7【解答】解：数列…，各项的平方为：2，5，8，11，…则a n2﹣a n﹣12=3，又∵a12=2，∴a n2=2+（n﹣1）×3=3n﹣1，令3n﹣1=20，则n=7．故选B．3．下列四个命题中的真命题为（）A．∃x0∈Z，1＜4x0＜3 B．∃x0∈Z，5x0+1=0 C．∀x∈R，x2﹣1=0 D．∀x∈R，x2+x+2＞0【考点】四种命题的真假关系．【分析】注意判断区分∃和∀．【解答】解：A错误，因为，不存在x0∉ZB错误，因为C错误，x=3时不满足；D中，△＜0，正确，故选D答案：D4．函数y=在x=1处的导数等于（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】导数的运算．【分析】先求原函数的导函数，再把x=1的值代入即可．【解答】解：∵y′=，∴y′|x=1==1．故选：A．5．“a=﹣2”是“复数z=（a2﹣4）+（a+1）i（a，b∈R）为纯虚数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分又非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；复数的基本概念．【分析】把a=﹣2代入复数，可以得到复数是纯虚数，当复数是纯虚数时，得到的不仅是a=﹣2这个条件，所以得到结论，前者是后者的充分不必要条件．【解答】解：a=﹣2时，Z=（22﹣4）+（﹣2+1）i=﹣i是纯虚数；Z为纯虚数时a2﹣4=0，且a+1≠0∴a=±2．∴“a=2”可以推出“Z为纯虚数”，反之不成立，故选A．6．已知a=30.2，b=log64，c=log32，则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．c＜b＜a C．b＜a＜c D．b＜c＜a【考点】对数值大小的比较．【分析】a=30.2＞1，利用换底公式可得：b=log64=，c=log32=，由于1＜log26＜log29，即可得出大小关系．【解答】解：∵a=30.2＞1，b=log64=，c=log32==，∵1＜log26＜log29，∴1＞b＞c，则a＞b＞c，故选：B．7．设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8．高二第二学期期中考试，按照甲、乙两个班级学生数学考试成绩优秀和不优秀统计后，得到如表：A．0.600 B．0.828 C．2.712 D．6.004【考点】独立性检验的应用．【分析】本题考查的知识点是独立性检验公式，我们由列联表易得：a=11，b=34，c=8，d=37，代入K2的计算公式：K2=即可得到结果．【解答】解：由列联表我们易得：a=11，b=34，c=8，d=37则K2===0.6004≈0.60故选A9．已知函数f（x）=x|x|﹣2x，则下列结论正确的是（）A．f（x）是偶函数，递增区间是（0，+∞）B．f（x）是偶函数，递减区间是（﹣∞，1）C．f（x）是奇函数，递减区间是（﹣1，1）D．f（x）是奇函数，递增区间是（﹣∞，0）【考点】函数奇偶性的判断．【分析】根据奇函数的定义判断函数的奇偶性，化简函数解析式，画出函数的图象，结合图象求出函数的递减区间．【解答】解：由函数f（x）=x|x|﹣2x 可得，函数的定义域为R，且f（﹣x）=﹣x|﹣x|﹣2（﹣x ）=﹣x|x|+2x=﹣f（x），故函数为奇函数．函数f（x）=x|x|﹣2x=，如图所示：故函数的递减区间为（﹣1，1），故选C．10．为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，a i∈{0，1}（i=0，1，2），传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0=a0⊕a1，h1=h0⊕a2，⊕运算规则为：0⊕0=0，0⊕1=1，1⊕0=1，1⊕1=0，例如原信息为111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（）A．11010 B．01100 C．10111 D．00011【考点】抽象函数及其应用．【分析】首先理解⊕的运算规则，然后各选项依次分析即可．【解答】解：A选项原信息为101，则h0=a0⊕a1=1⊕0=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为11010，A选项正确；B选项原信息为110，则h0=a0⊕a1=1⊕1=0，h1=h0⊕a2=0⊕0=0，所以传输信息为01100，B 选项正确；C选项原信息为011，则h0=a0⊕a1=0⊕1=1，h1=h0⊕a2=1⊕1=0，所以传输信息为10110，C 选项错误；D选项原信息为001，则h0=a0⊕a1=0⊕0=0，h1=h0⊕a2=0⊕1=1，所以传输信息为00011，D 选项正确；故选C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．设复数z满足（1﹣i）z=2i，则z=﹣1+i．【考点】复数相等的充要条件；复数代数形式的乘除运算．【分析】由条件利用两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，计算求得结果．【解答】解：∵复数z满足（1﹣i）z=2i，则z====﹣1+i，故答案为：﹣1+i．12．函数y=的值域为{y|y≠2} ．【考点】函数的值域．【分析】函数y===2+，利用反比例函数的单调性即可得出．【解答】解：函数y===2+，当x＞1时，＞0，∴y＞2．当x＜1时，＜0，∴y＜2．综上可得：函数y=的值域为{y|y≠2}．故答案为：{y|y≠2}．13．若P=﹣1，Q=﹣，则P与Q的大小关系是P＞Q．【考点】不等式比较大小．【分析】利用作差法，和平方法即可比较大小．【解答】解：∵P=﹣1，Q=﹣，∴P﹣Q=﹣1﹣+=（+）﹣（+1）∵（+）2=12+2，（ +1）2=12+2∴+＞+1，∴P﹣Q＞0，故答案为：P＞Q14．已知变量x，y具有线性相关关系，测得（x，y）的一组数据如下：（0，1），（1，2），（2，4），（3，5），其回归方程为=1.4x+a，则a的值等于0.9．【考点】线性回归方程．【分析】求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程即可．【解答】解：∵==1.5，==3，∴这组数据的样本中心点是（1.5，3）把样本中心点代入回归直线方程，∴3=1.4×1.5+a，∴a=0.9．故答案为：0.9．15．已知函数则的值为﹣．【考点】函数的值；函数迭代．【分析】由题意可得=f（﹣）=3×（﹣），运算求得结果．【解答】解：∵函数，则=f（﹣）=3×（﹣）=﹣，故答案为﹣．16．按程序框图运算：若x=5，则运算进行4次才停止；若运算进行3次才停止，则x 的取值范围是（10，28] ．【考点】循环结构．【分析】本题的考查点是计算循环的次数，及变量初值的设定，在算法中属于难度较高的题型，处理的办法为：模拟程序的运行过程，用表格将程序运行过程中各变量的值进行管理，并分析变量的变化情况，最终得到答案．【解答】解：（1）程序在运行过程中各变量的值如下表示：x x 是否继续循环循环前5∥第一圈15 13 是第二圈39 37 是第三圈111 109 是第四圈327 325 否故循环共进行了4次；（2）由（1）中数据不难发现第n圈循环结束时，经x=（x0﹣1）×3n+1：x 是否继续循环循环前x0/第一圈（x0﹣1）×3+1 是第二圈（x0﹣1）×32+1 是第三圈（x0﹣1）×33+1 否则可得（x0﹣1）×32+1≤244且（x0﹣1）×33+1＞244解得：10＜x0≤28故答案为：4，（10，28]三、解答题（本大题共5小题，共52分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（1﹣x），a＞0且a≠1．（1）求f（x）的定义域；（2）判断f（x）的奇偶性并予以证明．【考点】函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．【分析】（1）使函数各部分都有意义的自变量的范围，即列出不等式组，解此不等式组求出x范围就是函数的定义域；（2）根据函数奇偶性的定义进行证明即可．【解答】解：（1）由题得，使解析式有意义的x范围是使不等式组成立的x范围，解得﹣1＜x＜1，所以函数f（x）的定义域为{x|﹣1＜x＜1}．（2）函数f（x）为奇函数，证明：由（1）知函数f（x）的定义域关于原点对称，且f（﹣x）=log a（﹣x+1）﹣log a（1+x）=﹣log a（1+x）+log a（1﹣x）=﹣[log a（1+x）﹣log a （1﹣x）]=﹣f（x）所以函数f（x）为奇函数．18．命题p方程：x2+mx+1=0有两个不等的实根，命题q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求m的取值范围．【考点】复合命题的真假．【分析】先将命题p，q分别化简，然后根据若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，判断出p，q一真一假，分类讨论即可．【解答】解：由题意命题P：x2+mx+1=0有两个不等的实根，则△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2，命题Q：方程4x2+4（m+2）x+1=0无实根，则△＜0，解得﹣3＜m＜﹣1，若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则p，q一真一假，（1）当P真q假时：，解得m≤﹣3，或m＞2，（2）当P假q真时：，解得﹣2≤m＜﹣1，综上所述：m的取值范围为m≤﹣3，或m＞2，或﹣2≤m＜﹣1．19．在边长为60cm的正方形铁片的四角切去相等的正方形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的方底箱子，箱底的边长是多少时，箱子的容积最大？最大容积是多少？【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用．【分析】先设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积，再利用导数的方法解决，应注意函数的定义域．【解答】解：设箱底边长为xcm，则箱高cm，得箱子容积（0＜x＜60）．（0＜x＜60）令=0，解得x=0（舍去），x=40，并求得V（40）=16 000由题意可知，当x过小（接近0）或过大（接近60）时，箱子容积很小，因此，16 000是最大值答：当x=40cm时，箱子容积最大，最大容积是16 000cm320．已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）．（Ⅰ）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）把a的值代入f（x）中，求出f（x）的导函数，把x=1代入导函数中求出的导函数值即为切线的斜率，可得曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（Ⅱ）求出f（x）的导函数，分a大于等于0和a小于0两种情况讨论导函数的正负，进而得到函数的单调区间；（Ⅲ）对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）max＜g（x）max，分别求出相应的最大值，即可求得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，f'（1）=2+1=3，所以斜率k=3，又切点（1，2），所以切线方程为y﹣2=3（x﹣1）），即3x﹣y﹣1=0故曲线y=f（x）在x=1处切线的切线方程为3x﹣y﹣1=0．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）①当a≥0时，由于x＞0，故ax+1＞0，f'（x）＞0，所以f（x）的单调递增区间为（0，+∞）．﹣﹣﹣﹣﹣﹣②当a＜0时，由f'（x）=0，得．在区间上，f'（x）＞0，在区间上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅲ）由已知，转化为f（x）max＜g（x）max．g（x）=（x﹣1）2+1，x∈[0，1]，所以g （x）max=2由（Ⅱ）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，，所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），解得．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣21．在无穷数列{a n}中，a1=1，对于任意n∈N*，都有a n∈N*，且a n＜a n+1．设集合A m={n|a n ≤m，m∈N*}，将集合A m中的元素的最大值记为b m，即b m是数列{a n}中满足不等式a n≤m的所有项的项数的最大值，我们称数列{b n}为数列{a n}的伴随数列．例如：数列{a n}是1，3，4，…，它的伴随数列{b n}是1，1，2，3，…．（I）设数列{a n}是1，4，5，…，请写出{a n}的伴随数列{b n}的前5项；（II）设a n=3n﹣1（n∈N*），求数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【考点】数列的求和；数列的应用．【分析】（I）由{a n}伴随数列{b n}的定义可得前5项为1，1，1，2，3．（II）由a n=3n﹣1≤m，可得n≤1+log3m，m∈N*，分类讨论：当1≤m≤2时，m∈N*，b1=b2=1；当3≤m≤8时，m∈N*，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20时，m∈N*，b9=b10=…=3；即可得出数列{a n}的伴随数列{b n}的前20项和．【解答】解：（Ⅰ）数列1，4，5，…的伴随数列{b n}的前5项1，1，1，2，3；（Ⅱ）由，得n≤1+log3m（m∈N*）．∴当1≤m≤2，m∈N*时，b1=b2=1；当3≤m≤8，m∈N*时，b3=b4=…=b8=2；当9≤m≤20，m∈N*时，b9=b10=…=b20=3．∴b1+b2+…+b20=1×2+2×6+3×12=50．2016年9月9日。

2020-2021学年高二数学新题速递22 导数及其应用(多选题)11月理(解析版)

专题22 导数及其应用（多选题）1．以下四个式子分别是函数在其定义域内求导，其中正确的是 A ．（1x ）′21x= B ．（cos 2x ）'＝﹣2sin 2x C ．333x x ln '⎛⎫= ⎪⎝⎭D ．（lgx ）′110xln -=【试题来源】山东省潍坊市潍坊中学2019-2020学年高二下学期4月阶段测试【答案】BC【解析】211'x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（cos 2x ）′＝﹣2sin 2x ，3'33x xln ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1'10lgx xln =．故选BC ． 2．已知函数2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，其导函数为()'f x ，则 A ．(0)1f =- B ．(0)1f '= C ．(0)1f =D ．(0)1f '=-【试题来源】湖北省百所重点中学2020-2021学年高三上学期10月联考【答案】BC【解析】因为2()(0)(0)cos 2f x x f x f x '=+⋅-⋅+，所以()()020f f '=-．又()2(0)(0)sin f x x f f x ''=++⋅，所以()()00f f '=．故()()001f f '==．故选BC 3．定义在R 上的可导函数()y f x =的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是A ．-3是()f x 的一个极小值点B ．-2和-1都是()f x 的极大值点C ．()f x 的单调递增区间是()3,-+∞D ．()f x 的单调递减区间是(),3-∞-【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末【答案】ACD【解析】当3x <-时，()0f x '<，(3,)x ∈-+∞时()0f x '≥，所以3-是极小值点，无极大值点，增区间是()3,-+∞，减区间是(),3-∞-．故选ACD ． 4．如图是()y f x =的导函数()'f x 的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是．A ．()f x 在[2,1]-上是增函数B ．当4x =时，()f x 取得极小值C ．()f x 在[1,2]-上是增函数、在[2,4]上是减函数D ．当1x =时，()f x 取得极大值【试题来源】湖北省武汉市五校联合体2019-2020学年高二下学期期末【答案】BC【分析】这是一个图象题，考查了两个知识点：①导数的正负与函数单调性的关系，若在某个区间上，导数为正，则函数在这个区间上是增函数，若导数为负，则这个函数在这个区间上是减函数；②极值判断方法，在导数为零的点处左增右减取极大值，左减右增取极小值．【解析】由图象可以看出，在[2-，1]-上导数小于零，故A 不对；1x =-左侧导数小于零，右侧导数大于零，所以1x =-是()f x 的极小值点，故B 对；在[1-，2]上导数大于零，在[]2,4上导数小于零，故C 对；1x =左右两侧导数的符号都为正，所以1x =不是极值点，D 不对．故选BC ．5．设()'f x 为函数()f x 的导函数，已知2()()ln x f x xf x x '+=，1(1)2f =，则下列结论不正确的是A ．()xf x 在(0,)+∞单调递增B ．()xf x 在(1,)+∞单调递增C ．()xf x 在(0,)+∞上有极大值12D ．()xf x 在(0,)+∞上有极小值12【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AC【解析】由2()()ln x f x xf x x '+=得0x >，则ln ()()xxf x f x x'+=，即ln [()]'=xxf x x ，设()()g x xf x =，ln ()01x g x x x'=>⇒>，()001g x x '<⇒<<，即()xf x 在(1,)+∞单调递增，在(0,1)单调递减，即当1x =时，函数()()g x xf x =取得极小值()()1112==g f ．故选AC ． 6．已知函数()f x 的导函数为()f x '，若()()()2f x xf x f x x '≤<-对(0,)x ∈+∞恒成立，则下列不等式中，一定成立的是 A ．(2)(1)2f f > B ．(2)(1)2f f <C ．(2)1(1)42f f <+ D ．(2)1(1)42f f +< 【试题来源】金太阳联考2020-2021学年新高考（广东卷）【答案】BD 【解析】设2()()f x xg x x -=，()()f x h x x=，()0,x ∈+∞，则[][]243()12()()2()()f x x x f x x xf x f x x g x x x '---'-+'==，2()()()xf x f x h x x '-'=．因为()()2()f x xf x f x x '<<-对()0,x ∈+∞恒成立，所以()0g x '<，()0h x '>，所以()g x 在()0,∞+上单调递减，()h x 在()0,∞+上单调递增，则()()12g g >，()()12h h <，即22(1)1(2)212f f -->，(1)(2)12f f <即(2)1(2)(1)422f f f +<<．故选BD ． 7．函数()f x 在定义域R 内可导，若()(2)f x f x =-，且(1)()0x f x '-<，若1(0),,(3)2a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系正确的有A ．b a >B ．c b >C ．b c >D ．c a >【试题来源】湖南省长沙市长沙县第九中学2020-2021学年高三上学期10月月考【答案】AC【分析】确定函数关于1x =对称，再确定函数的单调性，综合两者判断大小得到答案．【解析】由()()2f x f x =-得()()11f x f x +=-，则函数关于1x =对称，当1x >时，由()()10x f x '-<得()0f x '<，函数单调递减；当1x <时，由()()10x f x '-<得()0f x '>，函数单调递增．又()()02a f f ==，1322b f f ⎛⎫⎛⎫==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3c f =，故b a c >>．故选AC ． 8．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f >C ．()f x 是R 上的增函数D ．若0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省高研会高考测评研究院2021届高三上学期第一次阶段性检测调研【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()x e f x 为增函数，故()()2019202020192020e f e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122xxx e e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．9．已知函数()f x 为R 上的可导函数，则下列判断中正确的是（） A ．若()f x 在0x x =处的导数值为0，则()f x 在0x x =处取得极值 B ．若()'f x 为奇函数，则()f x 为偶函数 C ．若()'f x 为偶函数，则()f x 为奇函数D ．若()f x 的图象关于某直线对称，则()'f x 的图象关于某点成中心对称【试题来源】福建省龙岩市“长汀、连城、上杭、武平、永定、漳平”六县（市区）一中2021届高三上学期期中联考【答案】BD【解析】A 选项，若3()f x x =，则2()3f x x '=，所以(0)0f '=，而3()f x x =显然是单调函数，没有极值，故A 错；B 选项，若()'f x 为奇函数，则原函数一定是偶函数，加上常数C 后，也为偶函数，故B 正确；C 选项，若()'f x 为偶函数，则()f x 不一定为奇函数，如2()3f x x '=显然为偶函数，但3()f x x C =+，若C 不为0，则3()f x x C =+不是奇函数；故C 错；D 选项，若()f x 的图象关于直线x a =对称，则()()f a x f a x +=-，两边求导，可得()()f a x f a x ''+=--，即()()0f a x f a x ''++-=，所以函数()'f x 的图象关于(),0a 中心对称，故D 正确．故选BD ． 10．已知函数31()423f x x x =-+，下列说法中正确的有 A ．函数()f x 的极大值为223，极小值为103-B ．当[]3,4x ∈时，函数()f x 的最大值为223，最小值为103-C ．函数()f x 的单调减区间为[]22-,D ．曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为42y x =-+ 【试题来源】河北省邢台市第二中学2021届高三上学期11月月考【答案】ACD【解析】因为31()423f x x x =-+，所以2()4f x x =-'，由()0f x '>，得2x <-或2x >，由()0f x '<，得22x -<<，所以函数()f x 在(,2)-∞-上递增，在[]22-,上递减，在(2,)+∞上递增，故选项C 正确，所以当2x =-时，()f x 取得极大值3122(2)(2)4(2)233f -=⨯--⨯-+=，在2x =时，()f x 取得极小值3110(2)242233f =⨯-⨯+=-，故选项A 正确，当[]3,4x ∈时，()f x 为单调递增函数，所以当3x =时，()f x 取得最小值31(3)343213f =⨯-⨯+=-，当4x =时，()f x 取得最大值3122(4)444233f =⨯-⨯+=，故选项B 不正确，因为(0)4f '=-，所以曲线()y f x =在点(0,2)处的切线方程为24(0)y x -=--，即42y x =-+，故选项D 正确．故选ACD ．11．为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改、设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()()f b f a b a---的大小评价在[,]a b 这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示．给出下列四个结论，其中正确结论为A ．在[]12,t t 这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B ．在2t 时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；C ．在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；D ．甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，在[]10,t 的污水治理能力最强．【试题来源】江苏省无锡市第一中学2020-2021学年高三上学期10月检测【答案】ABC 【解析】()()f b f a b a---表示区间端点连线斜率的负数，在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；A 正确；甲企业在[][][]112230,,,,,t t t t t 这三段时间中，甲企业在[]12,t t 这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在[]12,t t 的污水治理能力最强．D 错误；在2t时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；B 正确；在3t 时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；C 正确；故选ABC ． 12．若直线12y x b =+是函数()f x 图象的一条切线，则函数()f x 可以是 A ．1()f x x=B ．4()f x x =C ．()sin f x x =D ．()x f x e =【试题来源】江苏省淮安市五校2020-2021学年高三上学期第一次联考【答案】BCD 【解析】直线12y x b =+的斜率为12k =，由1()f x x =的导数为'21()f x x=-，即切线的斜率小于0，故A 不正确；由4()f x x =的导数为'3()4f x x =，而3142x =，解得12x =，故B 正确；由()sin f x x =的导数为'()cos f x x =，而1cos 2x =有解，故C 正确；由()x f x e =的导数为'()x f x e =，而12xe =，解得ln 2x =-，故D 正确，故选BCD13．若函数()y f x =的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称()y f x =具有T 性质，下列函数中具有T 性质的是 A ．cos y x = B ．ln y x = C ．e x y =D ．2yx【试题来源】辽宁省本溪满族自治县高级中学2019-2020学年高二下学期期末考试【答案】AD【分析】由题意关键看选项中的函数的导函数'()f x ，否存在点1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-成立．【解析】由题意()y f x =具有T 性质，则存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-．对于选项A ，因为'()sin f x x =-，存在12x π=，22x π=-，使得()1f x '()21f x '=-；对于选项B ，因为'1()0f x x=>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-；对于选项C ，因为'()e 0x f x =>，不存在1x ，2x ，使得()1f x '()21f x '=-；对于选项D ，因为'()2f x x =，存在11x =，214x =-，使得()1f x '()21241f x x x '==-．故选AD ．14．设函数ln ,0()(1),0xx x f x e x x ⎧>=⎨+≤⎩，若方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，则实数a 可取的值可能是A ．12B ．23C ．1D ．2【试题来源】湖北省“荆、荆、襄、宜“四地七校联盟2020-2021学年高三上学期期中联考【答案】BC【解析】当0x ≤时，()()1xf x ex =+，则()(1)(2)x x x f x e x e e x '=++=+由()'0f x <得20x +<，即2x <-，此时()f x 为减函数，由()0f x '>得20x +>，即20x -<≤，此时()f x 为增函数，即当2x =-时，()f x 取得极小值21(2)f e -=-，作出()f x 的图象如图：由图象可知当()01f x <≤时，有三个不同的x 与()f x 对应，设()t f x =，方程21[()()01]6f x af x -+=有六个不等的实数根，所以21016t at -+=在(]0,1t ∈内有两个不等的实根，设21()16g t t at =-+，即21016(0)01(1)01011716012164016012012g g a a a a a ⎧⎧>⎪⎪>⎪⎪⎪⎪≥-+≥⎪⎪⎪∴∴<≤⎨⎨∆>⎪⎪-⨯>⎪⎪<<⎪⎪⎪⎪<<⎪⎩⎩，，，则实数a 可取的值可能是23，1，故选BC ．15．已知函数f (x )＝21xx x e+-，则下列结论正确的是 A ．函数f (x )不存在两个不同的零点 B ．函数f (x )既存在极大值又存在极小值C ．当－e <k <0时，方程f (x )＝k 有且只有两个实根D ．若x ∈[t ，＋∞)时，f (x )max ＝25e ，则t 的最大值为2 【试题来源】辽宁省锦州市渤大附中、育明高中2021届高三上学期第一次联考【答案】BCD【解析】A ．()2010f x x x =⇒+-=，解得12x -±=，所以A 不正确； B ．()()()2122x xx x x x f x e e +---'=-=-，当()0f x '>时，12x -<<，当()0f x '<时，1x <-或2x >()(),1,2,-∞-+∞是函数的单调递减区间，()1,2-是函数的单调递增区间，所以()1f -是函数的极小值，()2f 是函数的极大值，所以B 正确．C ．当x 趋向于+∞时，y 趋向于0，根据B 可知，函数的最小值是()1f e -=-，再根据单调性可知，当0e k -<<时，方程()f x k =有且只有两个实根，所以C 正确；D ．由图象可知，t 的最大值是2，所以正确．故选BCD ． 16．关于函数()2ln f x a x x=+，下列判断正确的是 A ．当1a =时，()ln 21f x ≥+；B ．当1a =-时，不等式()()210f x f x -->的解集为1,12⎛⎫⎪⎝⎭；C ．当a e >时，函数()f x 有两个零点；D ．当()f x 的最小值为2时，2a =．【试题来源】江苏省扬州中学2020-2021学年高三上学期10月月考【答案】ABD【解析】对函数()2ln ,0f x a x x x =+>求导得()2222a ax f x x x x -'=-=，当1a =时，()2ln f x x x =+，()22x f x x-'=，当()0,2x ∈时，()0f x '<，单调递减，当()2,x ∈+∞时，()0f x '>，单调递增，所以()()2ln 21f x f ≥=+，故A 正确；当1a =-时，()2ln f x x x=-+，在()0,∞+上单调递减，因为()()210f x f x -->即()()21f x f x ->，所以021x x <-<，解得1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故B 正确；当2a e =时，()22ln f x e x x =+，()222ex f x x -'=，则当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()112ln20f x f e e e e⎛⎫≥=+= ⎪⎝⎭，函数只有一个零点，故C 错误；当0a ≤时，()2ln f x a x x=+单调递减，无最小值；当0a >时，由()22ax f x x-'=可得当20,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，函数单调递减，当2,x a ⎛⎫∈+∞⎪⎝⎭时，()0f x '>，函数单调递增，所以()min 22ln 2f x f a a a a ⎛⎫==+=⎪⎝⎭，解得2a =，故D 正确．故选ABD ． 17．已知实数a ，b ，c ，d 满足2111a a e cb d --==-，其中e 是自然对数的底数，则()()22a cb d -+-的值可能是A ．7B ．8C ．9D ．10【试题来源】广东省深圳市外国语学校2021届高三上学期第一次月考【答案】BCD【解析】由212a a a e b a e b-=⇒=-，令()2x f x x e =-，()12xf x e '∴=-由1121cd c d -=⇒=-+-，令()2g x x =-+ 则()()22a cb d -+-的表示()y f x =上一点(),M a b 与()y g x =上一点(),Ncd 的距离的平方，设()y f x =上与()y g x =平行的切线的切点为()000,M x y 由()0001210xf x e x '=-=-⇒=，∴切点为()00,2M -所以切点为()00,2M -到()y g x =的距离的平方为28=的距离为(),M a b 与(),N c d 的距离的平方的最小值．故选BCD ．18．已知函数()sin cos f x x x x x =+-的定义域为[)2,2ππ-，则 A ．()f x 为奇函数B ．()f x 在[)0,π上单调递增C ．()f x 恰有4个极大值点D ．()f x 有且仅有4个极值点【试题来源】2020届山东省临沂市高三上学期期末考试【答案】BD【解析】因为()f x 的定义域为[)2,2ππ-，所以()f x 是非奇非偶函数，()sin cos f x x x x x =+-，()()1cos cos sin 1sin f x x x x x x x '∴=+--=+，当0,x 时，()0f x '>，则()f x 在0,上单调递增．显然()00f '≠，令()0f x '=，得1sin x x=-，分别作出sin y x =，1y x=-在区间[)2,2ππ-上的图象，由图可知，这两个函数的图象在区间[)2,2ππ-上共有4个公共点，且两图象在这些公共点上都不相切，故()f x 在区间[)2,2ππ-上的极值点的个数为4，且()f x 只有2个极大值点．故选BD ．19．已知函数32()247f x x x x =---，其导函数为()f x '，下列命题中真命题的为 A ．()f x 的单调减区间是2(,2)3B ．()f x 的极小值是15-C ．当2a >时，对任意的2x >且x a ≠，恒有()f x f >（a ）f +'（a ）()x a -D ．函数()f x 有且只有一个零点【试题来源】江苏省泰州中学2019-2020学年高二下学期第二次月考【答案】BCD【解析】32()247f x x x x =---，其导函数为2()344f x x x '=--．令()0f x '=，解得23x =-，2x =，当()0f x '>时，即23x <-，或2x >时，函数单调递增，当()0f x '<时，即223x -<<时，函数单调递减；故当2x =时，函数有极小值，极小值为()215f =-，当23x =-时，函数有极大值，极大值为2()03f -<，故函数只有一个零点，A 错误，BD 正确；令2()344g x x x =--，则()64g x x '=-故在()2,+∞上()640g x x '=->，即2()344f x x x '=--在()2,+∞上单调递增，根据切割线的定义可知，当2a >时，对任意的x a >，恒有()()()f x f a f a x a-'<-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，对任意的2x a <<，恒有()()()f x f a f a x a-'>-，即()()()()f x f a f a x a '>+-，故C 正确；故选BCD ．20．定义在R 的函数()f x ，已知()000x x ≠是它的极大值点，则以下结论正确的是 A ．0x -是()f x -的一个极大值点 B ．0x -是()f x -的一个极小值点 C ．0x 是()f x -的一个极大值点D ．0x -是()f x --的一个极小值点【试题来源】福建省福州市仓山区福建师范大学附属中学2019-2020学年高二上学期期末【答案】AD【解析】()000x x ≠是()f x 的极大值点，就是存在正数m ，使得在00(,)x m x -上，()0f x '>，在00(,)x x m +上，()0f x '<．()()g x f x =-，()()g x f x ''=--，当00x x x m -<<-+时，00x m x x -<-<，()0f x '->，()0g x '<，同理00x m x x --<<-时，()0g x '>，所以0x -是()f x -的一个极大值点，从而0x -是()f x --的一个极小值点，0x 是()f x -的一个极小值点．不能判定0x -是不是()f x -的极值点．故选AD ．21．设函数()ln x e f x x=，则下列说法正确的是A ．()f x 定义域是()0,∞+B ．()0,1x ∈时，()f x 图象位于x 轴下方C ．()f x 存在单调递增区间D ．()f x 有且仅有一个极值点【试题来源】福建省福州市2021届高三数学10月调研B 卷试题【答案】BCD【分析】求出函数定义域判断A ，根据函数值的正负判断B ，求出导函数，利用导函数确定原函数的增区间，判断C ，由导函数研究函数的单调性得极值，判断D ．【解析】由题意，函数()ln xe f x x =满足0ln 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠，所以函数()ln xe f x x=的定义域为()()0,11,+∞，所以A 不正确；由()ln xe f x x=，当()0,1x ∈时，ln 0x <，所以()0f x <，所以()f x 在()0,1上的图象都在轴的下方，所以B 正确；因为21ln '()(ln )x e x x f x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=，所以()'0f x >在定义域上有解，所以函数()f x 存在单调递增区间，所以C 是正确的；由()1ln g x x x =-，则()211'(0)g x x x x=+>，所以()'0g x >，函数()g x 单调增，则函数'()0f x =只有一个根0x ，使得0'()0f x =，当0(0,)x x ∈时，'()0f x <，函数单调递减，当()0,x x ∈+∞时，函数单调递增，所以函数只有一个极小值，所以D 正确；故选BCD ．22．下列函数，在定义域内单调递增且图象关于原点对称的是 A ．()sin f x x x =-B ．()ln(1)ln(1)f x x x =--+C ．e e ()2x xf x -+=D ．e 1()e 1x x f x -=+【试题来源】江苏省苏州市吴江区平望中学2020-2021学年高三上学期阶段性测试（一）【答案】AD【解析】对于A ，()f x 的定义域为R ，且()()sin f x x x f x -=-+=-，()f x ∴是奇函数，关于原点对称，又()1cos 0f x x '=-≥，则()f x 单调递增，故A 正确；对于B ，()ln(1)ln(1)f x x x =--+满足1010x x ->⎧⎨+>⎩，解得1x >，即()f x 定义域为()1,+∞，不关于原点对称，故B 错误；对于C ，()e e ()2x xf x f x -+-==，故()f x 是偶函数，不关于原点对称，故C 错误；对于D ，()f x 定义域为R ，且()e 11e ()e 11e x xx xf x f x -----===-++，则()f x 是奇函数，关于原点对称，又e 1()1e 12e 1x x xf x -==-++，可知其单调递增，故D 正确．故选AD ．23．已知函数()ln f x x x =，则A ．()f x 的单调递增区间为()e ∞+，B ．()f x 在10e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上是减函数 C ．当(]01x ∈，时，()f x 有最小值1e- D ．()f x 在定义域内无极值【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高三上学期第一次月考【答案】BC【分析】先求解出()f x '，根据()0f x '=分析出()f x 的单调性以及极值，由此可确定各选项是否正确．【解析】因为()()ln 10f x x x '=+>，令()0f x '=，所以1=x e，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，1=x e 是极小值点，所以A 错误，B 正确；当(]0,1x ∈时，根据单调性可知，()min 11f x f e e⎛⎫==-⎪⎝⎭，故C 正确；显然()f x 有极小值1f e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故D 错误，故选BC ．24．已知函()sin cos f x x x =-且π2a f ⎛⎫=-⎪⎝⎭，ππ,b f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，22c f e ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则A ．()f x 为偶函数B ．()f x 在π0,2⎛⎫⎪⎝⎭单调递增C ．a c b >>D ．b a c >>【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一）【答案】ABC【解析】对于A ：因为()()()sin cos sin cos f x x x x f x x -==--=--，所以函数()f x 为偶函数，故选项A 正确；对于B ：当π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos f x x x =-，()sin cos 0f x x x '=+>，此时()f x 单调递增；故选项B 正确；对于C 和D ：令()x x g x e =，则()1x xg x e-'=，则()g x 在(),1-∞单调递增，在()1,+∞单调递减，因为2π<，所以π2π2πe e 2<<，由函数()f x 的单调性有： π2π2ππe e 22f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．即a c b >>，故选项C 正确，选项D 不正确故选ABC ． 25．若函数()ln f x y x=在(1,)+∞上单调递减，则称()f x 为P 函数．下列函数中为P 函数的为A ．()1f x =B ．()f x x =C ．1()f x x=D ．()f x =【试题来源】江苏省泰州中学2020-2021学年高三上学期第二次检测【答案】AC【解析】对于A ，()1ln ln f x y x x ==，当(1,)x ∈+∞，ln y x =为增函数，故1ln y x=为减函数，所以()1f x =为P 函数，故A 符合；对于B ，()ln ln f x xy x x==，求导2ln 1(ln )-'=x y x ，令0y '=，得x e = 当(1,)x e ∈时，0y '<，即ln xy x=在(1,)e 上单调递减；当[),x e ∈+∞时，0y '>，即ln x y x=在[),e +∞上单调递增；所以()f x x =不是P 函数，故B 不符合；对于C ，()1ln ln f x y x x x ==，求导2(ln 1)0(ln )x y x x -+'=<，所以1ln y x x=在(1,)+∞上单调递减，所以1()f x x=为P 函数，故C 符合；对于D ，()ln f x y x ==y '=0y '=，得2x e =当2(1,)x e ∈时，0y '<，即ln y x=在2(1,)e 上单调递减；当)2,x e ⎡∈+∞⎣时，0y '>，即y =在)2,e ⎡+∞⎣上单调递增；所以()f x =P 函数，故D 不符合；故选AC ．26．关于函数()e ,x f x ax x R =-∈，其中e 为自然对数的底数，下列说法正确的是A ．当1a =时，()f x 在(,0)-∞上单调递增B ．当0a =时，()lnx 3f x -≥在(0,)x ∈+∞上恒成立C ．对任意0a <，()f x 在(,0)-∞上一定存在零点D ．存在0a >，()f x 有唯一的极小值【试题来源】江苏省镇江市名校2020-2021学年高三上学期10月月考【答案】CD【分析】就a 的不同取值，利用导数讨论各选项的函数性质或不等式在给定的范围上是否成立后可得正确的选项．【解析】对于A ，当1a =时，()x f x e x =-，()1x f x e =-'，当0x <时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞上单调递减，故A 不正确．对于B ，当0a =时，()x f x e =，此时()ln ln x f x x e x -=-，因为1(1)ln103f e -=-<，故B 错误．对于C ，当0a <时，()x f x e ax =-，()0x f x e a '=->，故()f x 在R 上为单调递增函数，又()01f =，1110a f e a ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，故()f x 在(,0)-∞上一定存在零点，故C 正确．对于D ，取2a =，则()2x f x e x =-，则()2x f x e '=-，当ln 2x <时，()0f x '<，当ln 2x >时，()0f x '>，故()f x 有唯一的极小值点ln 2x =，故D 正确．故选CD ．27．已知函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠有两个互异的极值点()1212,x x x x <，下列说话正确的是 A ．230b ac ->B ．有三个零点的充要条件是12()()0f x f x <C ．0a >时，()f x 在区间12(,)x x 上单调递减D ．0a <时，1()f x 为极大值，2()f x 为极小值【试题来源】辽宁省凌海市第二高级中学2020-2021学年高三上学期第二次月考【答案】ABC【解析】因为函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，所以2()32f x ax bx c '=++，因为()f x 有两个互异的极值点()1212,x x x x <，所以()()22212430b ac b ac ∆=-=->，故A 正确；所以若()f x 有三个零点则12()()0f x f x <，故B 正确；当0a >时，2()32f x ax bx c '=++开口向上，则12(,)x x x ∈时，()0f x '<，所以()f x 区间12(,)x x 上单调递减，故C 正确；当0a <时，当1x x <或2x x >时，()0f x '<，当12x x x <<时，()0f x '>，所以1()f x 为极小值，2()f x 为极大值，故D 错误；故选ABC ．28．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()'f x ，且()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立．下列结论正确的是A ．()()22315f f ->B ．若()12f =，1x >，则()21122f x x x >++ C ．()()3217f f -<D ．若()12f =，01x <<，则()21122f x x x >++ 【试题来源】江苏省南通市四校2020-2021学年高三上学期第二次联考【答案】CD【分析】构造函数()()21f x xg x x -=+，然后求导，可得到函数()g x 的单调性，然后根据单调性判断所给选项的正误．【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()()()()2222211211f x x x f x x x f x f x x x g x x x '⎡⎤⎡⎤-+--'+---⎣⎦⎣⎦'==++，因为()()()21'2x f x f x x x +-<+对()0,x ∈+∞恒成立，所以()()()()()221201x f x f x x x g x x '+---'=<+在()0,x ∈+∞上恒成立，即()g x 在()0,∞+上递减，所以()()21g g <，即()()241132f f --<，整理得()()22315f f -<，故A 错；所以()()31g g <，即()()391142f f --<，整理得()()3217f f -<，故C 正确；对于B 选项，若()12f =，1x >，则()()1g x g <在()1,+∞恒成立，所以()()2111122f x x f x --<=+整理得()21122f x x x <++，所以B 错；对于D 选项，当01x <<时，()()1g x g >，则可得()21122f x x x >++，故D 正确．故选CD ．29．已知函数()y f x =在R 上可导且()01f =，其导函数()f x '满足[](1)()()0x f x f x '+->，对于函数()()xf xg x e =，下列结论正确的是 A ．函数()g x 在(),1-∞-上为增函数 B ．1x =-是函数()g x 的极小值点 C ．函数()g x 必有2个零点D ．2()(2)e e f e e f >【试题来源】湖南省郴州市2020-2021学年高三上学期第一次教学质量监测【答案】BD 【解析】函数()()x f x g x e =，则()()()xf x f xg x e'-'=，当1x >-时，()()0f x f x '->，故()g x 在()1,-+∞上为增函数，A 错误；当1x <-时，()()0f x f x '-<，故()g x 在(),1-∞-单调递减，故1x =-是函数g (x )的极小值点，B 正确；若()10g -<，则()y g x =有两个零点，若()10g -=，则()y g x =有一个零点，若()10g ->，则()y g x =没有零点，故C 错误；()g x 在()1,-+∞上为增函数，则()()2g g e <，即()()22e f f e e e<，化简得2()(2)e e f e e f >，D 正确；故选BD30．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x '>-，则下列式子成立的是 A ．()()20192020f ef < B ．()()20192020ef f > C ．()f x 是R 上的增函数D ．0t >，则有()()tf x e f x t <+【试题来源】广东省2021届高三上学期10月联考【答案】AD【解析】由()()f x f x '>-，得()()0xxe f x e f x '+>，即()0x e f x '⎡⎤>⎣⎦，所以函数()xe f x 为增函数，故()()2019202020192020ef e f <，所以()()20192020f ef <，故A 正确，B 不正确；函数()xe f x 为增函数时，()f x 不一定为增函数，如122x x xe e ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是增函数，但12x⎛⎫ ⎪⎝⎭是减函数，所以C 不正确；因为函数()xe f x 为增函数，所以0t >时，有()()xx te f x ef x t +<+，故有()()tf x e f x t <+成立，所以D 正确．故选AD ．31．关于函数()2ln f x x x=+，下列说法正确的是 A ．2x =是()f x 的极大值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点 C ．存在正整数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，若()()12f x f x =，则124x x +> 【试题来源】湖南省长沙市雅礼中学2020-2021学年高三上学期月考（三）【答案】BD【解析】对于A 选项，函数的的定义域为()0,∞+，函数的导数()22212'x f x x x x-=-+= ，所以()0,2x ∈时，()'0f x <，函数()f x 单调递减，()2,x ∈+∞时，()'0f x >，函数()f x单调递增，所以2x =是()f x 的极小值点，故A 错误；对于B 选项，()2ln y f x x x x x =-=+-，所以222212'10x x y x x x-+-=-+-=<，所以函数在()0,∞+上单调递减，因为()112ln1110f -=+-=>，()221ln220f -=+-<，所以函数()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于C 选项，若()f x kx >，可得()22ln f x xk x x x<=+，令()22ln x g x x x =+，则()34ln 'x x xg x x -+-=，令()4ln h x x x x =-+-，则()'ln h x x =-，所以在()0,1x ∈上，()'0h x >，函数()h x 单调递增，()1,x ∈+∞上，()'0h x <，函数()h x 单调递减，所以()()130h x h ≤=-<，所以()'0g x <，所以()22ln xg x x x=+在()0,∞+上函数单调递减，函数无最小值，所以不存在正实数k ，使得()f x kx >成立，故C 错误；对于D 选项，由12x x >，()()12f x f x =可知122,02x x ><<，要证124x x +>，即证124x x >-，且1242x x >->，由函数()f x 在()2,x ∈+∞是单调递增函数，所以有()()124x f f x >-，由于()()12f x f x =，所以()()224x f f x >-，即证明()()()4,0,2f x f x x >-∈，令()()()()()224ln ln 4,0,24m x f x f x x x x x x=--=--+-∈-，则()()()22282'04x m x x x --=<-，所以()m x 在()0,2是单调递减函数，所以()()20m x m >=，即()()()4,0,2f x f x x >-∈成立，故124x x +>成立，所以D 正确．综上，故正确的是BD ．故选BD【名师点睛】函数中涉及极值、零点，不等式恒成立，一般都需要通过导数研究函数的单调性极值最值来处理，特别的要根据所求问题，适时构造恰当的函数，利用所构造函数的单调性、最值解决问题是常用方法．32．材料：函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型，在现行的高等数学与数学分析教材中，对“初等函数”给出了确切的定义，即由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算及有限次的复合步骤所构成的，且能用一个式子表示的，如函数()()0xf x x x =>，我们可以作变形：()ln ln xxx x x t f x x ee e ====()ln t x x =，所以()f x 可看作是由函数()tf t e=和()ln g x x x =复合而成的，即()()0xf x x x =>为初等函数．根据以上材料，对于初等函数()()10xh x x x =>的说法正确的是A ．无极小值B ．有极小值1C ．无极大值D ．有极大值1ee【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三上学期一轮复习联考新高考数学试卷（一）【答案】AD【解析】根据材料知()111ln ln xx x xxh x x e e===，所以()()111ln ln ln 2221111ln ln 1ln x x x xx xh x ex e x e x x xx x '⎛⎫⎛⎫'=⋅=-⋅+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，令()0h x '=得x e =，当0x e <<时，()0h x '>，此时函数()h x 单调递增；当x e >时，()0h x '<，此时函数()h x 单调递减．所以()h x 有极大值且为()1eh e e =，无极小值．故选AD ．33．已知函数1n ,0()31,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩，若直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点(,()),(,()),(,())A a f a B b f b C c f c （其中a b c <<），则13b a++的可能值为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】山东省泰安市泰山国际学校2020-2021学年高三10月月考【答案】BC【解析】在0x >时，()ln f x x =，'1()f x x =，设切点的坐标为00(,)x y ，'1()f x x=，因此有'001()f x x =，所以切线方程为0001ln ()y x x x x -=-，当该切线过原点时，00010ln (0)x x x e x-=-⇒=，所以切点的坐标为(,1)e ，因为直线y kx =与()y f x =交于三个不同的点，所以有(1,)b e ∈，当切线与直线31yx 相交时，解方程组：31131113e y x x ey x y e e ⎧=+=⎧⎪⎪⎪-⇒⎨⎨=⎪⎪=⎩⎪-⎩，因此有1(,)133e a e ∈--，于是有11(3,3)a e ∈--+，所以113(1,)b e a e++∈+，显然选项BC 符合，故选BC ．34．已知函数()ln f x x ，若()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，则A12+= B ．12128x x <C ．1232x x +<D ．2212512x x +>【试题来源】广东省深圳高级中学2021届高三上学期10月月考【答案】AD【解析】由题意知1()(0)f x x x'=->，因为()f x 在1x x =和()212x x x x =≠处切线平行，所以()()12f x f x ''=1211x x -=-12=，A 正确；由基本不等式及12x x ≠，可得12=>即12256x x >，B错误；1232x x +>>，C 错误；2212122512x x x x +>>，D 正确．故选AD ． 35．已知函数()sin x f x e a x =+，下列说法正确的是 A ．0a R ∃∈，使得()f x 是周期函数；B ．(1,1)a ∀∈-，函数()f x 在(0,)+∞单调递增；C ．当1a =时，()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y -+=；D ．当1a =时，()f x 在(,)π-+∞内存在唯一极小值点0x ，且01()0f x -<<．【试题来源】福建省三明市泰宁一中学2021届高三上学期第二阶段考试【答案】BCD【分析】逐一验证选项，选项A ，假设成立，推出矛盾，则不成立；选项B ，求导后判断正负，得出结论；选项C ，通过切点求切线，再通过点斜式写出切线方程；选项D ，通过导数求出函数极值并判断极值范围．【解析】选项A ，若()f x 是周期函数，周期为0T ≠，则不0a R ∃∈，使得()()sin sin ()x T x f x T e a x T e a x f x ++=++=+=成立，故选项A 不符合题意；选项B ，'()cos x f x e a x =+，0x，1x e ∴>，1cos 1x -≤≤，(1,1)a ∀∈-，1cos 1a x ∴-≤≤，()'0f x ∴>，即函数()f x 在(0,)+∞单调递增，故选项B 符合题意；选项C ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，所以f （0）＝1，故切点为（0，1），f ′（x ）＝e x +cos x ，所以切线斜率K ＝f ′（0）＝2，故切线方程为y ﹣1＝2（x ﹣0），即2x ﹣y +1＝0．故选项C 符合题意；选项D ，当a ＝1时，f （x ）＝e x +sin x ，x ∈（﹣π，+∞），f ′（x ）＝e x +cos x ，f ″（x ）＝e x ﹣sin x ＞0恒成立，所以f ′（x ）在（﹣π，+∞）单调递增，又f ′（﹣34π）＝e 34π-+cos （﹣34π）＜0 ， f ′（﹣2π）＝20e π->，故f （x ）在（﹣π，+∞）存在唯一极值点0x ，不妨设0x ∈（﹣34π，2π-），则f ′（0x ）＝0，即00cos 0xe x +=，f （x 0）＝e 0x +sin x 0＝sin x 0﹣cos x 0（x 0﹣4π）∈（﹣1，0），故选项D 符合题意；故选BCD ．36．函数()()322320f x x ax a x a =-+≠在1x =处的切线方程为40x y +-=，若()1212,x x x x <是函数()()4g x f x x λ=-的两个极值点，且()()120f x f x -<，则λ的值可能为 A ．1 B ．2 C ．3D ．4【试题来源】决胜新高考名校交流2020-2021学年高三9月联考卷【答案】CD【解析】由已知得()()223620f x x ax a a '=-+≠，所以()21362f a a '=-+，由已知得()13f =，()11f '=-，解得2a =，所以()3268f x x x x =-+，()()324684g x f x x x x x x λλ=-=-+-，()231284g x x x λ'=-+-．若1λ=，则()23124g x x x '=-+，101x <<，234x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x >，()20f x <，不满足要求，排除A 选项；若2λ=，则()2312g x x x '=-，10x =，24x =．又()()()24f x x x x =--，所以()10f x =，()20f x =，不满足要求，排除B 选项；若3λ=，则()23124g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故C 选项正确；若4λ=，则()23128g x x x '=--，110x -<<，245x <<．又()()()24f x x x x =--，所以()10<f x ，()20f x >，满足要求，故D 选项正确．故选CD ．37．已知函数()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩，则函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为 A ．0 B ．1 C ．2D ．3【试题来源】河北省邯郸市永年县第二中学2021届高三上学期月考（一）【答案】BCD【解析】由()()10g x f x ax =--=可得()1f x ax =+，则函数()g x 的零点即是函数()y f x =与直线()10y ax a =+>图象交点的横坐标，画出()243,1ln 2,1x x x f x x x ⎧+-≤=⎨+>⎩的大致图象如下，由ln 2y x =+得1y x'=，所以曲线ln 2y x =+在点()1,2处的切线斜率为11x k y ='==，此时的切线方程为21y x -=-，即1y x =+，恰好过点()0,1，又直线()10y ax a =+>也过点()0,1，所以由图象可得，当1a =时，直线1y ax =+与函数()y f x =的图象有两个交点；即函数()g x 有两个零点；当1a >时，直线1y ax =+只与函数()y f x =在1x <的图象有一个交点，即函数()g x 有一个零点；当01a <<时，直线1y ax =+与函数()y f x =有三个不同的交点，即函数()g x 有三个零点；综上，函数()()()10g x f x ax a =-->的零点个数可能为1，2，3．故选BCD ．38．在直角坐标系内，由A ，B ，C ，D 四点所确定的“N 型函数”指的是三次函数()()320ax bx d a f x cx =+++≠，其图象过A ，D 两点，且()f x 的图象在点A 处的切线经过点B ，在点D 处的切线经过点C ．若将由()0,0A ，()1,4B ，()3,2C ，()4,0D 四点所确定的“N 型函数”记为()y f x =，则下列选项正确的是 A ．曲线()y f x =在点D 处的切线方程为28y x =-+ B ．()()()1488f x x x x =-- C ．曲线()y f x =关于点()4,0对称 D ．当46x ≤≤时，()0f x ≥【试题来源】江苏省百校联考2020-2021学年高三上学期第一次考试【答案】ABC【分析】A ．根据函数在点D 处的切线经过点C ，利用点斜式求解判断；B ．根据()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，然后再利用()'04f =，()'42f =求解判断；C ．由B 得到()()80f x f x +-=判断；D ．由B 结合46x ≤≤，有40x -≥，80x -<判断．【解析】因为直线CD 的斜率为02243-=--，所以CD 的方程为()024y x -=--，即28y x =-+，所以A 正确．因为()f x 的图象过点()0,0A 及()4,0D ，所以()f x 有两个零点0，4，故可设()()()4f x x x kx m =-+(其中0k ≠)，则()()()()'424f x kx x kx m x =-++-，由()'04f =，()'42f =，得1m =-，18k =，所以()()()1488f x x x x =--，故B 正确．由选项B 可知，()()80f x f x +-=，所以曲线()y f x =关于点()4,0对称，故C 正确．当46x ≤≤时，有40x -≥，80x -<，所以()0f x ≤，故D 不正确．故答案为ABC ． 39．已知函数()ln xf x x=，下列说法正确的是 A ．()f x 在1x =处的切线方程为1y x =- B ．单调递增区间为(),e -∞ C ．()f x 的极大值为1eD ．方程()2f x =-有两个不同的解【试题来源】江苏省连云港市赣榆智贤中学2020-2021学年高三上学期9月月考【答案】AC 【解析】()21ln xf x x -'=（0x >），因为()11f '=，()10f =，所以()f x 在1x =处的切线方程为1y x =-，故A 正确；令()21ln 0xf x x-'=>，即1ln 0x ->，解之得x e <，因为0x >，所以()f x 的单调递增区间为()0,e ，故B 错误；再令()21ln 0-'=<xf x x，即1ln 0x -<，解之得x e >，所以()f x 的单调递减区间为(),e +∞，所以()f x 在x e =处取得极大值，极大值为1()f e e=，故C 正确；方程()2f x =-即ln 2xx=-，也即ln 2x x =-，函数ln y x =与函数2y x =-的图象只有一个交点，所以方程()2f x =-有一个解，故D 错误．故选AC ．【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查导数的几何意义，考查函数。

2019-2020学年江苏省苏州市常熟市八年级(上)期末数学试卷附答案解析

2019-2020学年江苏省苏州市常熟市八年级（上）期末数学试卷一．选择题1．（3分）下列四个图标中，是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列实数中，无理数是（）A．B．3πC．D．3．（3分）人的眼睛可以看见的红光的波长约为8×10﹣5cm，近似数8×10﹣5精确到（）A．0.001cm B．0.0001cm C．0.00001cm D．0.000001cm 4．（3分）下列四组数，可作为直角三角形三边长的是（）A．4cm、5cm、6cm B．1cm、2cm、3cmC．2cm、3cm、4cm D．1cm、cm、cm5．（3分）若分式的值为0，则x的值为（）A．1B．﹣2C．﹣1D．26．（3分）已知点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，则a的值为（）A．﹣1B．0C．1D．27．（3分）在平面直角坐标系中，把直线y＝﹣3x+4沿x轴向左平移2个单位长度后，得到的直线函数表达式为（）A．y＝﹣3x+1B．y＝﹣3x+2C．y＝﹣3x﹣1D．y＝﹣3x﹣2 8．（3分）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（0，2），则不等式kx+b﹣2＞0的解集是（）A．x＞0B．x＜0C．x＜2D．x＞29．（3分）如图，已知O为△ABC三边垂直平分线的交点，且∠A＝50°，则∠BOC的度数为（）A．80°B．100°C．105°D．120°10．（3分）如图，直线y＝x+b（b＞0）分别交x轴、y轴于点A、B，直线y＝kx（k＜0）与直线y＝x+b（b＞0）交于点C，点C在第二象限，过A、B两点分别作AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，且BE+BO＝8，AD＝4，则ED的长为（）A．2B．C．D．1二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．（3分）计算：＝．12．（3分）等腰三角形的两边长分别是2cm和5cm，则它的周长是．13．（3分）若代数式有意义，则x的取值范围是．14．（3分）在平面直角坐标系中，已知一次函数y＝﹣x+1的图象经过P1（x1，y1），P2（x2，y2）两点，若x1＞x2，则y1y2．15．（3分）已知点P（m，n）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，则9m2﹣6mn+n2＝．16．（3分）若关于x的分式方程﹣＝1有增根，则a的值．17．（3分）如图，点C坐标为（0，﹣1），直线y＝x+3交x轴，Y轴于点A，点B，点D 为直线上一动点，则CD的最小值为．18．（3分）如图，已知直角三角形ABC中，∠ABC为直角，AB＝12，BC＝16，三角形ACD 为等腰三角形，其中AD＝DC＝，且AB∥CD，E为AC中点，连接ED，BE，BD，则三角形BDE的面积为．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔19．（5分）计算：++|1﹣|20．（5分）解方程：﹣＝121．（6分）先化简，再求值（﹣x+3）÷，其中x＝﹣22．（8分）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知三角形ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．（1）作出三角形ABC关于y轴对称的三角形A1B1C1．（2）点A1的坐标为．（3）①利用网络画出线段AB的垂直平分线l；②P为直线l上一动点，则P A+PC的最小值为．23．（6分）如图，△ABC为等边三角形，D为△ABC内一点，且∠ABD＝∠DAC，过点C 作AD的平行线，交BD的延长线于点E，BD＝EC，连接AE．（1）求证：△ABD≌△ACE．（2）求证：△ADE为等边三角形．24．（8分）小明用30元买水笔，小红用45元买圆珠笔，已知每支圆珠笔比水笔贵2元，那么小明和小红能买到相同数量的笔吗？25．（8分）如图，一次函数y1＝x+b的图象与x轴y轴分别交于点A，点B，函数y1＝x+b，与y2＝﹣x的图象交于第二象限的点C，且点C横坐标为﹣3．（1）求b的值；（2）当0＜y1＜y2时，直接写出x的取值范围；（3）在直线y2＝﹣x上有一动点P，过点P作x轴的平行线交直线y1＝x+b于点Q，当PQ＝OC时，求点P的坐标．26．（10分）在同一直线上有甲乙两地，小明，小红同学分别从甲乙两地同时出发，相向而行，当他们相遇后小明立即以原速返回，且他先达到甲地，小红继续前行到甲地．在整个行进过程中，他们之间的距离y（m）与行进的时间x（min）之间的函数关系如图所示，请结合图象信息解答下列问题．（1）a＝，小明速度为m/min，小红速度为m/min；（2）求小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y与x之间的函数表达式；（3）他们第一次相遇后再过多长时间相距200m．27．（10分）直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，点D为AC的中点，点E为CB延长线上一点，且BE＝CD，连接DE．（1）如图1，求证∠C＝2∠E；（2）如图2，若AB＝6，BE＝5，△ABC的角平分线CG交BD于点F，求△BCF的面积．28．（10分）已如，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），点C在y轴上，作直线AC．点B关于直线AC的对称点B′刚好在x轴上，连接CB′．（1）写出一点B′的坐标，并求出直线AC对应的函数表达式；（2）点D在线段AC上，连接DB、DB′、BB′，当△DBB′是等腰直角三角形时，求点D坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，点P从点B出发以每秒2个单位长度的速度向原点O 运动，到达点O时停止运动，连接PD，过D作DP的垂线，交x轴于点Q，问点P运动几秒时△ADQ是等腰三角形．参考答案一．选择题1．【解答】解：A、不是轴对称图案，故此选项错误；B、是轴对称图案，故此选项正确；C、不是轴对称图案，故此选项错误；D、不是轴对称图案，故此选项错误；故选：B．2．【解答】解：A、是有理数，不合题意；B、3π是无理数，符合题意；C、﹣＝﹣2是有理数，不合题意；D、＝3是有理数，不合题意；故选：B．3．【解答】解：8×10﹣5＝0.00008，∴近似数8×10﹣5精确到0.00001cm．故选：C．4．【解答】解：A、∵42+52≠62，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；B、12+22≠32，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；C、∵22+32≠42，∴此组数据不能构成直角三角形，故本选项错误；D、∵12+（）2＝（）2，∴此组数据能构成直角三角形，故本选项正确．故选：D．5．【解答】解：由题意得：1﹣x＝0，且x+2≠0，解得：x＝1，故选：A．6．【解答】解：∵点P（a，2a﹣1）在一、三象限的角平分线上，∴a＝2a﹣1，解得：a＝1．故选：C．7．【解答】解：由题意得：平移后的解析式为：y＝﹣3（x+2）+4，即y＝﹣3x﹣2．故选：D．8．【解答】解：∵一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（0，2），∴不等式kx+b﹣2＞0即kx+b＞2的解集是x＞0，故选：A．9．【解答】解：连接OA，∵O为△ABC三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OBA＝∠OAB，∠OCA＝∠OAC，∴∠OBA+∠OCA＝∠BCA＝50°，∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠BCA＝130°，∴∠OBC+∠OCB＝130°﹣50°＝80°，∴∠BOC＝180°﹣80°＝100°，故选：B．10．【解答】解：当y＝0时，x+b＝0，解得，x＝﹣b，∴直线y＝x+b（b＞0）与x轴的交点坐标A为（﹣b，0）；当x＝0时，y＝b，∴直线y＝x+b（b＞0）与y轴的交点坐标B为（0，b）；∴OA＝OB，∵AD⊥OC于D，BE⊥OC于E，∴∠ADO＝∠BEO＝90°，∵∠DOA+∠DAO＝90°，∠DOA+∠DOB＝90°，∴∠DAO＝∠EOB，在△DAO和△BOE中，∴△DAO≌△EOB，∴OD＝BE，AD＝OE＝4，∵BE+BO＝8，∴OB＝8﹣BE，∵OB2＝BE2+OE2，∴（8﹣BE）2＝BE2+42，∴BE＝3，∴DE＝OE﹣OD＝AD﹣BE＝1，故选：D．二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.11．【解答】解：∵42＝16，∴＝4，故答案为4．12．【解答】解：若2为腰，5为底边，此时2+2＜5，不能构成三角形，故2不能为腰；若2为底边，5为腰，此时三角形的三边分别为2，5，5，周长为2+5+5＝12，综上三角形的周长为12．故答案为：12cm13．【解答】解：代数式有意义，则2x+1≠0，解得：x≠﹣．故答案为：x≠﹣．14．【解答】解：∵一次函数y＝﹣x+1中k＝﹣＜0，∴y随x的增大而减小，∵x1＞x2，∴y1＜y2．故答案为：＜．15．【解答】解：∵点P（m，n）在一次函数y＝3x﹣1的图象上，∴n＝3m﹣1，即3m﹣n＝1，∴9m2﹣6mn+n2＝（3m﹣n）2＝12＝1．故答案为：1．16．【解答】解：﹣＝1，去分母，方程两边同时乘以x﹣2，得：x+x﹣a＝x﹣2，由分母可知，分式方程的增根可能是2，当x＝2时，2+2﹣a＝2﹣2，解得a＝4．故答案为：4．17．【解答】解：连接AC，过点C作CD⊥直线AB于点D，此时CD的长度最小，如图所示．当x＝0时，y＝x+3＝3，∴点B的坐标为（0，3），OB＝3；当y＝0时，x+3＝0，解得：x＝﹣4，∴点A的坐标为（﹣4，0），OA＝4，∴AB＝＝5．∵S△ABC＝OA•BC＝AB•CD，∴CD＝＝．故答案为：．18．【解答】解：∵∠ABC为直角，AB＝12，BC＝16，∴AC＝＝＝20，∵AD＝CD，E为AC中点，∴AE＝EC＝10，DE⊥AC，∴DE＝＝＝∵S△ABC＝×AB×BC＝96，∴S△BEC＝48，∵三角形BDE的面积＝S△BDC﹣S△BEC﹣S△EDC，∴三角形BDE的面积＝×16×﹣48﹣×10×＝，故答案为：．三、解答题：本大题共10小题，共76分.把解答过程写在答题卷相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔19．【解答】解：原式＝3﹣2﹣1+＝．20．【解答】解：方程两边同时乘以（x+2）（x﹣2）得：x﹣（1﹣x）（x﹣2）＝（x+2）（x﹣2），解方程可得：x＝3，经检验，x＝3是原方程的根，∴原方程的解为x＝3．21．【解答】解：原式＝[﹣]•＝•＝，当x＝﹣时，原式＝．22．【解答】解：（1）如图所示，三角形A1B1C1即为所求；（2）由图可得，点A1的坐标为（3，6），故答案为：（3，6）；（3）①如图所示，直线l即为所求；②直线l与BC的交点即为点P，P A+PC的最小值为线段BC的长，由勾股定理可得，BC＝＝＝2，故答案为：2．23．【解答】证明：（1）∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°，∵AD∥CE，∴∠DAC＝∠ACE，且∠ABD＝∠DAC，∴∠ACE＝∠ABD，且AB＝AC，BD＝CE，∴△ABD≌△ACE（SAS）（2）∵△ABD≌△ACE，∴AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，∵∠BAD+∠DAC＝∠BAC＝60°，∴∠CAE+∠DAC＝∠DAE＝60°，且AD＝AE，∴△ADE是等边三角形．24．【解答】解：设每支水笔的价格为x元，则每支圆珠笔的价格为（x+2）元，假设小明和小红能买到相同数量的笔，依题意，得：＝，解得：x＝4，经检验，x＝4是原方程的解．当x＝4时，＝7.5，∵7.5不是整数，∴不符合题意，即假设不成立．答：小明和小红不能买到相同数量的笔．25．【解答】解：（1）将x＝﹣3代入y2＝﹣x，可得C（﹣3，4），再将C点代入y1＝x+b，∴b＝7；（2）﹣7＜x＜﹣3；（3）∵点P为直线y2＝﹣x上一动点，设P（a，﹣a），∵PQ∥x轴，∴Q（﹣a﹣7，﹣a），∴PQ＝|a+7|，∵C（﹣3，4），∴OC＝5，∴PQ＝OC＝14，∴|a+7|＝14，∴a＝3或a＝﹣9，∴P（3，﹣4）或P（﹣9，12）．26．【解答】解：（1）小红速度为：2000÷50＝40（m/min），小明速度为：40×（50﹣20）÷20＝60（m/min），a＝2000÷（60+40）＝20．故答案为：20；60；40；（2）当x＝40时，y＝2000﹣40×40＝400，∴点C的坐标为（40，400），设线段BC的函数表达式为y＝k1+b1，把B（20，0），C（40，400）代入，得，解得，∴小明与小红从第一次相遇到小明到达甲地时，y与x之间的函数表达式为：y＝﹣20x ﹣400（20≤x≤40）；（3）设线段CD的函数表达式为y＝k2+b2，把C（40，400），D（50，0）代入，得，解得，∴线段CD的函数表达式为：y＝﹣40x+2000（40＜x≤50），把y＝200代入y＝20x﹣400，得x＝30，30﹣20＝10；把y＝200代入y＝﹣40x+2000，得x＝45，45﹣20＝25．答：他们第一次相遇后再过10min或25min后相距200m．27．【解答】解：（1）证明：∵∠ABC＝90°，点D为AC的中点，∴BD＝AC＝CD＝AD，∵CD＝BE，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E，∵BD＝CD，∴∠C＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC＝∠BDE+∠E＝2∠E；（2）过点F作FM⊥BC，FN⊥AC∵CG平分∠ABC∴FM＝FN∵BE＝5∴CD＝AD＝BE＝5，AC＝10又∵AB＝6∴在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2∴BC＝8∵BD为△ABC的中线∴S△BCD＝S△ABC＝×AB×BC＝××6×8＝12又∵S△BCD＝S△BCF+S△CDF∴12＝CD•FN+BC•FM∴×5×FM+×8×FM＝12∴FM＝∴S△BCF＝BC•FM＝×8×＝．28．【解答】解：（1）∵A的坐标为（6，0）、点B的坐标为（0，8），∴OA＝6，OB＝8，∵∠AOB＝90°，∴AB＝10，∵B与B'关于直线AC对称，∴AC垂直平分BB'，∴BC＝CB'，AB'＝AB＝10，∴B'（﹣4，0），设点C（0，m），∴CB'＝CB＝8﹣m，∵在Rt△COB'中，∠COB'＝90°，∴m2+16＝（8﹣m）2，∴m＝3，∴C（0，3），设直线AC的解析式为y＝kx+b（k≠0），把A（6，0），C（0，3）代入可得k＝﹣，b＝3，∴y＝﹣x+3；（2）∵AC垂直平分BB'，∴DB＝DB'，∵△BDB'是等腰直角三角形，∴∠BDB'＝90°，过点D作DE⊥x轴，DF⊥y轴，∴∠DFO＝∠DFB＝∠DEB'＝90°，∵∠EDF＝360°﹣∠DFB﹣∠DEO﹣∠EOF，∠EOF＝90°，∴∠EDF＝90°，∴∠EDF＝∠BDB'，∴∠BDF＝∠EDB'，∴△FDB≌△EDB'（AAS），∴DF＝DE，设点D（a，a）代入y＝﹣x+3中，∴a＝2，∴D（2，2）；（3）同（2）可得∠PDF＝∠QDE，∵DF＝DE＝2，∠PDF＝∠QDE＝90°，∴△PDF≌△QDE（AAS），∴PF＝QE，①当DQ＝DA时，∴QE＝AE＝4，∴PF＝QE＝4，∴BP＝BF﹣PF＝2，∴点P运动时间为1秒；②当AQ＝AD时，∵A（6，0）、D（2，2），∴AD＝2，∴AQ＝2﹣4，∴PF＝QE＝2﹣4，∴BP＝BF﹣PF＝10﹣2，∴点P的运动时间为5﹣秒；③当QD＝QA时，设QE＝n，则QD＝QA＝4﹣n，在Rt△DEQ中，∠DEQ＝90°，∴4+n2＝（4﹣n）2，∴n＝1.5，∴PF＝QE＝1.5，∴BP＝BF+PF＝7.5，∴点P的运动时间为7.5秒；综上所述：点P的运动时间为1秒或5﹣秒或7.5秒．。

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2019-2020学年江苏省苏州市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．下列导数运算正确的是（）A．C'＝1（C为常数）B．C．（e x）′＝e x（e为自然对数的底数）D．（sin x）'＝﹣cos x2．已知＝2+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．函数f（x）＝|x+a|图象的对称轴为直线x＝1，则实数a＝（）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣14．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜4）＝0.8，则P（﹣2＜ξ＜1）＝（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.65．（x3﹣）5展开式中的常数项是（）A．﹣270B．﹣90C．90D．2706．现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p，且＜p＜1，则恰有三个人译出密码的概率是（）A．C p3B．C p2（1﹣p）3C．C p3（1﹣p）2D．1﹣C（1﹣p）27．若椭圆5x2+ky2＝5的一个焦点是（0，2），则实数k＝（）A．B．1C．15D．258．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（）A．8B．12C．16D．24二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．疫情就是号令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．如图展示了2月14日至29日全国疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大B．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500C．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量D．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和10．已知定义域为R的函数f（x），且函数y＝的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．f′（1）＝f′（﹣1）＝0B．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值D．方程f′（x）＝0与f（x）＝0均有三个实数根11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的一个动点，下列结论中正确的是（）A．A1D⊥D1PB．平面PAD1⊥平面BCC1B1C．存在唯一的点P，使得∠CPD1为90°D．当点P为BC1中点时，CP+PD1取得最小值12．已知P是双曲线C：＝1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（）A．双曲线的方程为﹣y2＝1B．双曲线的离心率为C．函数y＝log a（x+1+）（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的一个焦点D．直线x﹣y＝0与双曲线C有两个交点三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则实数a的取值范围为．14．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f（4）+f′（4）＝．15．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为16．已知F为抛物线x2＝2py（p＞1）的焦点，点A（1，p），M为抛物线上任意一点，|MA|+|MF|的最小值为3，则p＝；若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形APFQ的面积为．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解下列关于x的不等式：（1）x（x+2）﹣1≥x（3﹣x）；（2）≥2．18．已知函数f（x）＝lg（a≠1）为奇函数．（1）求实数a；（2）设函数g（x）＝f（x）+．①求g（）+g（﹣）；②试证明函数g（x）的图象关于点（0，1）对称．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）若E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CD⊥EF；（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．20．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解男性女性（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n（n∈N*）名男性调查员一起组成3个环保宣传队．若从这n+10人中随机取3人作为队长，且男性队长人数的期望ξ不小于2．求n的最小值．附：K2＝，（n＝a+b+c+d）临界值表：P （K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 21．如图，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e＝，过F作一直线l1交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线l2：x ＝4的垂线，垂足为C．（1）求椭圆E的方程；（2）问：在x轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．22．对于函数f（x），g（x），如果存在实数s，使得f（s）＝g（s），f′（s）＝g′（s）同时成立，则称函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”．若函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，g（x）＝e x（其中a，b，c，d为实数，e为自然对数的底数）．（1）当a＝0，b＝﹣1，c＝d＝1时，判断函数f（x）和g（x）是否互为“亲密函数”，并说明理由；（2）当b＝c＝d＝0时，若函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”，求证：对任意的实数x都满足f（x）≤g（x）．参考答案一、单项选择题共8小题．1．下列导数运算正确的是（）A．C'＝1（C为常数）B．C．（e x）′＝e x（e为自然对数的底数）D．（sin x）'＝﹣cos x【分析】根据导数的基本公式判断即可．解：C'＝0，（C为常数），（）′＝﹣，（e x）'＝e x，（sin x）'＝cos x，故选：C．2．已知＝2+i（i为虚数单位），则复数z的共轭复数＝（）A．1﹣3i B．﹣1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由，得z＝（2+i）（1+i）＝1+3i，∴．故选：A．3．函数f（x）＝|x+a|图象的对称轴为直线x＝1，则实数a＝（）A．﹣1B．0C．1D．1或﹣1解：根据函数的性质可知，y＝|x+a|的图象关于x＝﹣a对称，故﹣a＝1，所以a＝﹣1．故选：A．4．已知随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），若P（ξ＜4）＝0.8，则P（﹣2＜ξ＜1）＝（）A．0.2B．0.3C．0.5D．0.6【分析】由已知求得正态分布曲线的对称轴，再由已知结合对称性可得P（ξ＞﹣2）＝0.8，则P（﹣2＜ξ＜1）＝0.8﹣0.5＝0.3．解：∵随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），∴正态分布曲线的对称轴为x＝1，又P（ξ＜4）＝0.8，∴P（ξ＞﹣2）＝0.8，则P（﹣2＜ξ＜1）＝0.8﹣0.5＝0.3．故选：B．5．（x3﹣）5展开式中的常数项是（）A．﹣270B．﹣90C．90D．270【分析】写出二项展开式的通项公式，令x的幂指数等于0，即15﹣5r＝0，求出r的值，进而求得．解：（x3﹣）5的通项公式C5r（﹣3）r x15﹣5r，令15﹣5r＝0，解得r＝3，则C53（﹣3）3＝﹣270，故（x3﹣）5展开式中的常数项是﹣270，故选：A．6．现有5个人独立地破译某个密码，已知每人单独译出密码的概率均为p，且＜p＜1，则恰有三个人译出密码的概率是（）A．C p3B．C p2（1﹣p）3C．C p3（1﹣p）2D．1﹣C（1﹣p）2【分析】由条件利用n次独立重复实验中恰好发生k次的概率计算公式即可求解．解：由题意可知，恰有三个人译出密码的概率P＝．故选：C．7．若椭圆5x2+ky2＝5的一个焦点是（0，2），则实数k＝（）A．B．1C．15D．25【分析】把椭圆化为标准方程后，找出a与b的值，然后根据a2＝b2+c2，表示出c，并根据焦点坐标求出c的值，两者相等即可列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k 的值．解：把椭圆方程化为标准方程得：x2+＝1，因为焦点坐标为（0，2），所以长半轴在y轴上，则c＝＝2，解得k＝1．故选：B．8．某景观湖内有四个人工小岛，为方便游客登岛观赏美景，现计划设计三座景观桥连通四个小岛，且每个小岛最多有两座桥连接，则设计方案的种数最多是（）A．8B．12C．16D．24【分析】一个岛最多建两座桥，利用排列的计算公式即可得出．解：设4个小岛分别为A，B，C，D，一个岛最多建两座桥，但是下面这样的两个排列对应一种建桥方法，A﹣B﹣C﹣D，D﹣C﹣B﹣A，要去掉重复的这样，因此共有×A44＝12种方法．故选：B．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．9．疫情就是号令，防控就是责任．在党中央的坚强领导和统一指挥下，全国人民众志成城、团结一心，掀起了一场坚决打赢疫情防控阻击战的人民战争．如图展示了2月14日至29日全国疫情的变化情况，根据该折线图，下列结论正确的是（）A．16天中每日新增确诊病例数量均下降且19日的降幅最大B．16天中新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差均大于1500C．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊数量D．19日至29日每日新增治愈病例数量均大于新增确诊与新增疑似病例数量之和【分析】根据图象，逐一分析即可解：由图可得每日新增确诊病例有增有减，故A错误，新增确诊、新增疑似、新增治愈病例数量的极差分别约2200，2300，2000为均大于1500，故B正确；由图，19﹣29日每日新增治愈病例数量折线统计图均在新增确诊数量折线图的上方，故C正确；由图，发现20日的新增治愈病例数量约为2300，而新增确诊与新增疑似病例数量之和约为2500，故D错误，故选：BC．10．已知定义域为R的函数f（x），且函数y＝的图象如图，则下列结论中正确的是（）A．f′（1）＝f′（﹣1）＝0B．函数f（x）在区间（﹣∞，﹣1）上单调递增C．当x＝1时，函数f（x）取得极小值D．方程f′（x）＝0与f（x）＝0均有三个实数根【分析】由已知函数的图象，根据原函数的单调性与导函数的正负性之间的关系，列表写出y，f'（x）和f（x）随x的变化情况，即可逐一对选项进行判断．解：对于A，当x＝1时，y＝f'（1）＝0；当x＝﹣1时，y＝﹣f'（﹣1）＝0，即f′（1）＝f′（﹣1）＝0，∴A正确；由函数图象可知，y，f'（x）和f（x）随x的变化情况如下表：x（﹣∞，﹣（﹣1，0）（0，1）（1，+∞）1）y﹣+﹣+f'（x）+﹣﹣+f（x）↑↓↓↑对于B，函数f（x）在（﹣∞，﹣1）上单调递增，即B正确；对于C，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，∴在x＝1处取得极小值，即C正确；对于D，f'（x）＝0仅有两个实数根，无法判断f（x）＝0的根的情况，即D错误．故选：ABC．11．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为线段BC1上的一个动点，下列结论中正确的是（）A．A1D⊥D1PB．平面PAD1⊥平面BCC1B1C．存在唯一的点P，使得∠CPD1为90°D．当点P为BC1中点时，CP+PD1取得最小值【分析】根据A1D⊥平面ABC1D1即可判断A正确；根据AB⊥平面BCC1B1即可判断B 正确；建立空间坐标系，利用向量法判断C；根据侧面展开图判断D．解：（1）连接AD1，则A1D⊥AD1，∵C1D1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，∴C1D1⊥A1D，又AD1∩C1D1＝D1，∴A1D⊥平面ABC1D1，又D1P⊂平面ABC1D1，∴A1D⊥D1P，故A正确；（2）∵AB⊥平面BCC1B1，AB⊂平面ABC1D1，∴平面ABC1D1⊥平面BCC1B1，即平面PAD1⊥平面BCC1B1，故B正确；（3）以D为原点，以DA，DC，DD1为坐标轴建立空间坐标系D﹣xyz，设正方体棱长为1，则B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），C1（0，1，1），则＝（1，0，﹣1），＝（0，0，1），＝（0，1，0），设＝λ＝（λ，0，﹣λ）（0＜λ＜1），则＝+＝（λ，1，﹣λ），＝+＝（λ，0，1﹣λ），若D1P⊥CP，则•＝0，即λ2+λ（λ﹣1）＝0，解得λ＝0或λ＝，∴当P与C1重合或P为BC1的中点时，∠CPD1＝90°，故C错误；（4）将△BCC1沿BC1翻折到平面ABC1D1上，则当P为线段CD1与BC1的交点时，CP+PD1取得最小值，由于△BCC1是等腰直接三角形，四边形ABC1D1是矩形，显然P不可能是BC1的中点，故D错误．故选：AB．12．已知P是双曲线C：＝1上任意一点，A，B是双曲线的两个顶点，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0），若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，则下列说法正确的是（）A．双曲线的方程为﹣y2＝1B．双曲线的离心率为C．函数y＝log a（x+1+）（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的一个焦点D．直线x﹣y＝0与双曲线C有两个交点【分析】可设P（s，t），s＞0，t＞0，代入双曲线的方程，结合不等式恒成立思想，以及基本不等式求得m，进而得到双曲线的方程和离心率，以及焦点，可判断A，B，C，再由直线y＝x和双曲线的方程联立，即可判断D．解：可设P（s，t），s＞0，t＞0，可得﹣＝1，即有＝＞0，由A（﹣2，0），B（2，0），可得k1k2＝•＝，即k1k2＝，若|k1|+|k2|≥t恒成立，且实数t的最大值为1，可得|k1|+|k2|的最小值为1，则2＝1，解得m＝1，可得双曲线的方程为﹣y2＝1，则e＝＝，故A正确，B错误；由双曲线的焦点为（±，0），函数y＝log a（x+1+）（a＞0，a≠1）的图象恒过双曲线C的焦点（﹣，0），故C正确；由y＝x与﹣y2＝1联立，可得方程无实数解，故D错误．故选：AC．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则实数a的取值范围为（﹣1，7）．【分析】由|log2x﹣a|＜5，得﹣5＜log2x﹣a＜5，即log2x﹣5＜a＜log2x+5．把问题转化为（log2x﹣5）max＜a＜（log2x+5）min，分别求出log2x﹣5的最大值与log2x+5的最小值得答案．解：由|log2x﹣a|＜5，得﹣5＜log2x﹣a＜5，即log2x﹣5＜a＜log2x+5．∵x∈[4，16]，∴log2x∈[2，4]，要使不等式|log2x﹣a|＜5对任意x∈[4，16]恒成立，则（log2x﹣5）max＜a＜（log2x+5）min，即﹣1＜a＜7．∴实数a的取值范围为（﹣1，7）．故答案为：（﹣1，7）．14．如图，直线l是曲线y＝f（x）在x＝4处的切线，则f（4）+f′（4）＝．【分析】由题意可得f（4）＝5，结合两点的斜率公式和导数的几何意义，计算可得所求和．解：由图象可得f（4）＝5，直线l经过（0，3），（4，5），可得直线l的斜率为＝，即有f′（4）＝，可得f（4）+f′（4）＝5+＝．故答案为：．15．如图，将桌面上装有液体的圆柱形杯子倾斜α角（母线与竖直方向所成角）后，液面呈椭圆形，当α＝30°时，该椭圆的离心率为【分析】设出圆柱的底面半径，然后求解椭圆的长半轴与短半轴的长，求出c，然后求解离心率即可．解：由题意，椭圆的短轴长为圆柱的直径，椭圆的长轴、圆柱底面的直径和母线的一部分，三者组成一个直角三角形，如图ABC，且长轴与直径的夹角为30°．∴cos30°＝，即，所以∴离心率e＝＝．故答案为：．16．已知F为抛物线x2＝2py（p＞1）的焦点，点A（1，p），M为抛物线上任意一点，|MA|+|MF|的最小值为3，则p＝2；若线段AF的垂直平分线交抛物线于P，Q两点，则四边形APFQ的面积为4．【分析】过A作抛物线的准线的垂线交于M，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离可得，|MA|+|MF|的最小值为A到准线的距离，由题意可得p的值，进而求出A，F的坐标，求出线段AF的中点D的坐标，及AF的斜率，进而求出线段AF的中垂线的方程，与抛物线联立求出两根之和及两根之积，求出弦长|PQ|，及|AF|的长度，进而求出四边形APFQ的面积．解：过A作抛物线的准线的垂线交抛物线于M，交准线与于点，由抛物线的性质可得|MF|＝|MN|，所以|MA|+|MF|＝|MA|+|MN|≥|AN|＝p﹣（﹣）＝，由题意可得：＝3，解得p＝2，所以抛物线的方程为：x2＝4y；由抛物线的方程可得A（1，2），F（0，1），所以AF的中点D（，），k AF＝＝1，所以AF的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣），即y＝﹣x+2，设P（x1，y1），Q（x2，y2），与抛物线联立，整理可得x2+4x﹣8＝0，x1+x2＝﹣4，x1x2＝﹣8，所以弦|PQ|＝＝•＝4，|AF|＝＝，所以S APFQ＝|PQ|•|AF|＝＝4；故答案为：2，4．四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解下列关于x的不等式：（1）x（x+2）﹣1≥x（3﹣x）；（2）≥2．【分析】由已知结合二次不等式及分式不等式的解法即可求解．解：（1）由x（x+2）﹣1≥x（3﹣x）可得2x2﹣x﹣1≥0，解可得，x或x≥1，故不等式的解集为：{x|x或x≥1}；（2）由≥2可得，﹣2≥0，整理可得，，所以x2+2x﹣3＜0，解可得，﹣3＜x＜1，故不等式的解集为{x|﹣3＜x＜1}．18．已知函数f（x）＝lg（a≠1）为奇函数．（1）求实数a；（2）设函数g（x）＝f（x）+．①求g（）+g（﹣）；②试证明函数g（x）的图象关于点（0，1）对称．【分析】（1）根据奇函数的定义，f（x）＝﹣f（﹣x），建立关于a的等式，解之即可；（2）①由（1）知，f（x）＝lg，于是g（x）＝lg+，再代入x＝和x ＝﹣，进行运算化简即可得解；②结合指数和对数的运算法则，对g（x）+g（﹣x）进行化简，得到g（x）+g（﹣x）＝2即可得证．解：（1）因为函数f（x）为奇函数，所以f（x）＝﹣f（﹣x），即lg＝﹣lg＝lg，所以＝，化简整理得，1﹣x2＝1﹣a2x2，即a2＝1，a＝±1，由于a≠1，所以a＝﹣1．（2）证明：①由（1）知，f（x）＝lg，所以g（x）＝lg+．所以g（）+g（﹣）＝（lg+）+（lg+）＝lg3++lg+＝lg（3×）+2（）+2（﹣1）＝2；②因为g（x）+g（﹣x）＝（lg+）+（lg+）＝lg（•）++＝lg1+＝0+2＝2．所以函数g（x）的图象关于点（0，1）对称．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD．（1）若E，F分别为棱PC，AB的中点，求证：CD⊥EF；（2）若直线PC与AB所成角的正弦值为，求二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【分析】（1）取PD中点G，连接EG，AG，证明四边形AFEG为平行四边形，得AG ∥EF，再由已知证明CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，可得CD⊥EF；（2）由（1）知，CD⊥PD，在Rt△PDC中，设PD＝2a，由直线PC与AB所成角的正弦值为，得tan，可得AD＝CD＝，求解PO，取BC中点M，连接OM，证明∠PMO为二面角P﹣BC﹣A的平面角，求解三角形可得二面角P﹣BC﹣A的余弦值．【解答】（1）证明：如图，取PD中点G，连接EG，AG，∵E是PC的中点，∴EG∥CD∥AB，EG＝，又AF＝，∴EG∥AF且EG＝AF，则四边形AFEG为平行四边形，得AG∥EF．取AD中点O，连接PO，∵PA＝PD，∴PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴PO⊥平面ABCD，则PO⊥CD，又CD⊥AD，PO∩AD＝O，∴CD⊥平面PAD，得CD⊥AG，∵AG∥EF，∴CD⊥EF；（2）解：由（1）知，CD⊥PD，在Rt△PDC中，设PD＝2a，∵直线PC与AB所成角的正弦值为，即sin∠PCD＝，∴cos，即tan，∴CD＝．则AD＝CD＝．在Rt△PDO中，PO＝．取BC中点M，连接OM，则OM⊥BC，由（1）知PO⊥BC，PO∩OM＝O，则BC⊥平面POM，∴BC⊥PM．则∠PMO为二面角P﹣BC﹣A的平面角．在Rt△POM中，PO＝，OM＝CD＝，PM＝．∴cos∠PMO＝＝．∴二面角P﹣BC﹣A的余弦值为．20．推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：得分[30，40）[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]男性人数40901201301106030女性人数2050801101004020（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？不太了解比较了解男性250330女性150270（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，连同n（n∈N*）名男性调查员一起组成3个环保宣传队．若从这n+10人中随机取3人作为队长，且男性队长人数的期望ξ不小于2．求n的最小值．附：K2＝，（n＝a+b+c+d）临界值表：P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（1）根据调查数据，算出问卷得分不低于60分的人数，即可得到得分不低于60分的概率：（2）计算K 的观测值K2，对照题目中的表格，得出统计结论；（3）随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，得到随机变量ξ的分布列，再由Eξ≥2，解出n≥2即可．解：（1）由调查数据可得，问卷得分不低于60分的比率为：＝0.6，故从该社区随机抽取一名居民其得分不低于60分的概率为0.6；（2）由题意得列联表如下：所以K2＝≈5.542，因为5.542＞3.841，所以有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）由题意可知，分层抽样抽取的10人中，男性6人，女性4人，随机变量ξ的所有可能取值为0，1，2，3，其中P（ξ＝0）＝，P（ξ＝1）＝，P（ξ＝2）＝，P（ξ＝3）＝，所以随机变量ξ的分布列为：ξ0123PEξ＝×0+×1+×2+×3≥2，∴×1+×2+×3≥2，可得：6（n+6）+4（n+6）（n+5）+（n+6）（n+5）（n+4）≥（n+10）（n+9）（n+8），∴3（n+6）（n2+17n+72）≥2（n+10）（n+9）（n+8），∴3（n+6）≥2（n+10），解得：n≥2．21．如图，已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e＝，过F作一直线l1交椭圆E于A，B两点（其中A在x轴的上方），过点A作直线l2：x ＝4的垂线，垂足为C．（1）求椭圆E的方程；（2）问：在x轴上是否存在一个定点T，使得B，T，C三点共线？若存在，求出T的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由椭圆的右焦点的坐标及离心率可得a，c的值，再由a，b，c之间的关系求出b的值，进而求出椭圆的方程；（2）假设存在T满足条件设直线AB的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，再由B，T，C三点共线，所以＝λ进而可得成比例，可得：m（+t）＝，不论m为何值，当+t＝0即t＝﹣时等式不成立，所以假设不成立，及不存在T满足条件．解：（1）由题意可得c＝1，且e＝＝，所以a＝2，又b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，所以椭圆的方程为：+＝1；（2）由（1）可得F1（﹣1，0），假设存在定点T（t，0）使得B，T，C三点共线，由题意显然直线AB的斜率不为0，设直线AB的方程为x＝my﹣1，设A（x1，y1），B（x2，y2），由题意可得C（4，y1），直线与椭圆联立，整理可得：（4+3m2）x2﹣6my﹣9＝0，y1+y2＝①，y1y2＝②，因为使得B，T，C三点共线，所以＝λ，即（t﹣x2，﹣y2）＝λ（t﹣4，﹣y1），所以＝＝，整理可得ty1﹣（my2﹣1）y1＝ty2﹣4y2，两边同时除以y1y2可得（﹣）t＝m﹣﹣③，可得+＝﹣m，所以＝﹣m﹣，代入③可得﹣mt﹣•t＝m﹣，整理可得：m（+t）＝，不论m为何值，当+t＝0，即t＝﹣时等式不成立，所以假设不成立即不存在T满足条件．22．对于函数f（x），g（x），如果存在实数s，使得f（s）＝g（s），f′（s）＝g′（s）同时成立，则称函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”．若函数f（x）＝ax3+bx2+cx+d，g（x）＝e x（其中a，b，c，d为实数，e为自然对数的底数）．（1）当a＝0，b＝﹣1，c＝d＝1时，判断函数f（x）和g（x）是否互为“亲密函数”，并说明理由；（2）当b＝c＝d＝0时，若函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”，求证：对任意的实数x都满足f（x）≤g（x）．【分析】（1）根据条件得到当x＝0时能使f（x）＝g（x），f′（x）＝g′（x）；（2）将条件转化为证x3≤e x，分别考虑x≤0和x＞0时的情况，当x≤0时，x3≤0＜e x，则f（x）≤g（x）恒成立；当x＞0时，即证3ln≤x﹣3，利用换元思想，设函数h（t）＝lnt﹣t+1，利用导数得到其单调性，进而可得h（t）≤h（1）＝0，所以lnt ≤t﹣1，得证．解：（1）因为a＝0，b＝﹣1，c＝d＝1，则f（x）＝﹣x2+x+1，g（x）＝e x，所以f′（x）＝﹣2x+1，g′（x）＝e x，所以存在实数0，使得f（0）＝g（0），f′（0）＝g′（0），则函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”；（2）当b＝c＝d＝0时，f（x）＝ax3，因为函数f（x）和g（x）互为“亲密函数”，故存在实数s，使得f（s）＝g（s），f′（s）＝g′（s）同时成立，则，解得s＝3，即a＝，下证：x3≤e x，当x≤0时，x3≤0＜e x，则f（x）≤g（x）恒成立；当x＞0时，要证x3≤e x，只要证≤e x﹣3，即证3ln≤x﹣3，设t＝（t＞0），则只要证3lnt≤3t﹣3，即证lnt≤t﹣1，设h（t）＝lnt﹣t+1（t＞0），则h′（t）＝，令h′（t）＝0，解得t＝1，当t∈（0，1）时，h′（t）＞0，h（t）递增，当t∈（1，+∞）时，h′（t）＜0，h（t）递减，所以h（t）≤h（1）＝0，所以lnt≤t﹣1，即x3≤e x，综上，对任意实数x都满足f（x）≤g（x）．。